Tài liệu Về phương trình hàm cauchy và ứng dụng

„I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ MŠN V— PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ ÙNG DÖNG THI NGUY–N, 5/2017 „I HÅC THI NGUY–N TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC o0o NGUY™N THÀ MŠN V— PH×ÌNG TRœNH H€M CAUCHY V€ ÙNG DÖNG Chuy¶n ng nh: Ph÷ìng ph¡p To¡n sì c§p M¢ sè: 60 46 01 13 LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC GIO VI–N H×ÎNG DˆN TS. TR†N XU…N QUÞ THI NGUY–N, 5/2017 1 Möc löc Mð ¦u 2 Ch÷ìng 1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 4 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n . . . . . . . . . . . . 1.1.1. V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh . . . . . . 1.1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc 1.1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô . . . . . . . . . . . 1.1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit . . . . . . . . 1.1.5. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh . . . . . . . 1.2. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy nhi·u bi¸n . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh nhi·u bi¸n . . . 1.2.2. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh nhi·u bi¸n . 1.2.3. Hai ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nhi·u bi¸n kh¡c . 1.3. Mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy . . . . . . . . . . 1.4. Mët sè b i to¡n ¡p döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6 11 14 17 18 23 23 27 28 29 35 Ch÷ìng 2. Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy 37 2.1. Têng c¡c lôy thøa cõa sè nguy¶n . . . . . . . . . . . 2.1.1. Têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n . . . . . . . . 2.1.2. Têng b¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n 2.1.3. Têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n . 2.2. Têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng . . . 2.3. Sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû . . . . . . . . . . . 2.4. Têng cõa chuéi húu h¤n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 38 39 39 42 43 44 K¸t luªn 47 T i li»u tham kh£o 48 2 Mð ¦u Ph÷ìng tr¼nh h m l  mët nh¡nh cõa to¡n håc hi»n ¤i, tø n«m 1747 ¸n 1750 nh  to¡n håc J. D'Alembert ¢ cæng bè 3 b i b¡o li¶n quan v· ph÷ìng tr¼nh h m, ¥y ÷ñc xem l  c¡c k¸t qu£ ¦u ti¶n v· ph÷ìng tr¼nh h m. M°c dò ph÷ìng tr¼nh h m ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tr¶n 260 n«m, nh÷ng nâ thüc sü ÷ñc nghi¶n cùu m¤nh trong c¡c l¾nh vüc lþ thuy¸t v  ùng döng cõa to¡n håc ch¿ kho£ng 100 n«m trð l¤i ¥y. ¦u th¸ k 20, k¸ ti¸p nhúng âng gâp quan trång cõa D. Hilbert trong lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ¢ l m cho lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m trð n¶n r§t quan trång v  thu ÷ñc nhi·u k¸t qu£ thó và, ch¯ng h¤n nh÷ S. Pincherle (1906, 1912); E. Picard (1928); G. Hardy, J.E. Littlewood and G. Polya (1934); M. Ghermanescu (1960); J.Ac
zel (1966); and M. Kuczma (1968). G¦n ¥y, ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc r§t nhi·u nh  To¡n håc nêi ti¸ng cõa th¸ giîi nghi¶n cùu, v  câ nhúng âng gâp lîn lao cho c£ to¡n lþ thuy¸t v  to¡n ùng döng, ch¯ng h¤n nh÷ qua c¡c cuèn s¡ch cõa A.N. Sarkovskii and G.P.Reljuch (1974); J. Ac
zel and Z. Da
roczy (1975); J. Dhombres (1979).... Ch½nh sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t ph÷ìng tr¼nh h m m  c¡c k¸t qu£ cõa nâ ¢ ÷ñc xem x²t nghi¶n cùu cho èi t÷ñng håc sinh trung håc phê thæng. Thº hi»n qua c¡c ký thi håc sinh giäi quèc gia, c¡c b i to n v· ph÷ìng tr¼nh h m luæn thu hót BTC quan t¥m v  lüa chån. V¼ vªy, · t i luªn v«n th¤c s¾ ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p s³ tªp trung v o lîp ph÷ìng tr¼nh h m cì b£n, â l : V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  ùng döng. Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng. 3 Ch÷ìng 1: Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Ch÷ìng n y tr¼nh b y c¡c ành ngh¾a, ành lþ, chùng minh v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  c¡c d¤ng cõa nâ. T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô v  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit. Tr¼nh b y mð rëng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. ÷a ra mët sè b i to¡n vªn döng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh º gi£i quy¸t. Mët sè b i to¡n l  · thi håc sinh giäi c¡c n÷îc, ÷ñc tr½ch tø t i li»u [9] cõa t¡c gi£ Titu Andreescu v  Iurie Boreico. Ch÷ìng 2: Mët sè ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Ch÷ìng n y tr¼nh b y ùng döng cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy trong t½nh têng lôy thøa cõa sè nguy¶n (têng cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n, têng b¼nh ph÷ìng cõa n sè tü nhi¶n ¥u ti¶n, têng lôy thøa k cõa n sè tü nhi¶n ¦u ti¶n), t½nh têng lôy thøa cõa c¡c sè trong d¢y c§p sè cëng, t¼m sè c°p câ thº rót ra tø n ph¦n tû, lüc l÷ñng cõa mët tªp hñp v  têng cõa chuéi húu h¤n. º ho n thi»n luªn v«n tr÷îc h¸t tæi xin gûi líi c£m ìn s¥u s­c tîi TS. Tr¦n Xu¥n Quþ ¢ d nh thíi gian h÷îng d¨n, ¡nh gi¡, ch¿ b£o, tªn t¼nh gióp ï trong qu¡ tr¼nh x¥y düng · t i v  ho n thi»n luªn v«n. Qua ¥y tæi công xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi t§t c£ c¡c th¦y cæ, Ban gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin - Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o i·u ki»n, gióp ï trong suèt qu¡ tr¼nh ho n th nh khâa håc. Tæi mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa th¦y, cæ v  c¡c b¤n. Th¡i Nguy¶n, ng y 05 th¡ng 5 n«m 2017 T¡c gi£ luªn v«n Håc vi¶n Nguy¹n Thà Mªn 4 Ch÷ìng 1 Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Vi»c nghi¶n cùu v· h m cëng t½nh câ tø thíi A.M. Legendre l  ng÷íi ¦u ti¶n cè g­ng t¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R. Vi»c nghi¶n cùu h» thèng ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh ¢ ÷ñc khði x÷îng bði A.L. Cauchy trong cuèn s¡ch cõa æng "Coursd d'Analyse" n«m 1821. Mët ph÷ìng tr¼nh bao gçm mët h m ch÷a bi¸t v  mët ho°c nhi·u ¤o h m cõa nâ ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n. V½ dö nh÷ f 0 (x) + mx = 5 v  00 0 f (x) + f (x) + sin(x) = 0. C¡c ph÷ìng tr¼nh gçm t½ch ph¥n cõa h m sè ch÷a bi¸t ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n. Mët v i v½ dö v· ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n f (x) = ex − Zx ex−t f (t) dt, 0 Z1 [1 − xcos(xt)]f (t)dt, f (x) = sin(x) + 0 5 v  Zx f (x) = [tf 2 (t) − 1]dt. 0 Ph÷ìng tr¼nh h m l  ph÷ìng tr¼nh trong â c¡c ©n l  c¡c h m sè. V½ dö v· ph÷ìng tr¼nh h m l  f (x + y) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)f (y), f (xy) = f (x)f (y), f (xy) = f (x) + f (y), f (x + y) = f (x)g(y) + g(x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), f (x + y) + f (x − y) = 2f (x) + 2f (y), f (x + y) = f (x) + f (y) + f (x)f (y), f (x + y) = g(xy) + h(x − y), f (x) − f (y) = (x − y)h(x + y), f (pr, qs) + f (ps, qr) = 2f (p, q) + 2f (r, s), g(f (x)) = g(x) + β, g(f (x)) = αg(x), α 6= 1 v  f (t) = f (2t) + f (2t − 1). Ph¤m vi cõa ph÷ìng tr¼nh h m bao gçm c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n, ph÷ìng tr¼nh t½ch ph¥n.... C¡c ph÷ìng tr¼nh h m l  mët l¾nh vüc cõa to¡n håc tr¶n 200 n«m tuêi. Hìn 5000 b i b¡o ¢ ÷ñc cæng bè trong l¾nh vüc n y. Tuy nhi¶n èi vîi luªn v«n th¤c s¾ tæi ch¿ tªp trung nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy v  mët sè ùng döng cõa nâ. N«m 1747 v  1750, d'Alambert ¢ cæng bè 3 b i b¡o trong â b i thù nh§t l  ph÷ìng tr¼nh h m (xem Acz²l (1966)). Ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc nghi¶n cùu bði d'Alambert (1747), Euler (1768), Poisson (1804), Cauchy (1821), Darboux (1875) v  nhi·u nh  to¡n håc kh¡c. Hilbert 6 (1902) · xu§t trong sü nèi ti¸p vîi v§n · 5 cõa æng l  ành lþ h m vi ph¥n cung c§p ph÷ìng ph¡p µp v  m¤nh º gi£i ph÷ìng tr¼nh h m, trong â gi£ thi¸t kh£ vi l  i·u ki»n khæng thº thi¸u. Nhí · xu§t cõa Hilbert nhi·u nghi¶n cùu v· ph÷ìng tr¼nh h m ¢ xem x²t vîi c¡c ph÷ìng tr¼nh h m kh¡c nhau khæng câ mët v i ho°c ½t c¡c gi£ thi¸t ·u. Sü né lüc n y ¢ gâp ph¦n ph¡t triºn ành lþ hi»n ¤i v· ph÷ìng tr¼nh h m. Lþ thuy¸t c¡c d¤ng quy t­c to¡n håc hi»n ¤i cõa ph÷ìng tr¼nh h m ng y c ng ph¡t triºn nhanh châng ð cuèi thªp k¿ 6. Gi£i ph÷ìng tr¼nh h m ngh¾a l  t¼m t§t c£ c¡c h m sè thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m. º thu ÷ñc mët nghi»m, c¡c h m sè ph£i bà giîi h¤n bði mët °t tr÷ng ri¶ng (nh÷ l  gi£i t½ch, bà ch°n, li¶n töc, lçi, kh£ vi, o ÷ñc hay ìn i»u). 1.1. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mët bi¸n 1.1.1. V· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh Ph¦n n y giîi thi»u v· ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh v  x¡c ành nghi»m cõa nâ (÷ñc tr½ch tø t i li»u[7]). Cho f : R → R trong â R l  tªp sè thüc, f l  h m sè thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y) = f (x) + f (y) (1.1) vîi måi x, y ∈ R. Ph÷ìng tr¼nh h m n y ¢ ÷ñc bi¸t l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. Ph÷ìng tr¼nh h m (1.1) ÷ñc nghi¶n cùu ¦u ti¶n bði A.M. Legendre (1791) v  C.F. Gauss (1809) nh÷ng A.L. Cauchy (1821) l  ng÷íi ¦u ti¶n t¼m ra nghi»m trong lîp h m li¶n töc. Ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ và tr½ quan trång trong to¡n håc nâ ÷ñc · cªp tîi trong h¦u h¸t c¡c kh½a c¤nh cõa to¡n håc. ành ngh¾a 1.1 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l  h m cëng t½nh n¸u nâ thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy f (x + y) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R. ành ngh¾a 1.2 H m sè f : R → R ÷ñc gåi l  h m tuy¸n t½nh khi v  ch¿ khi nâ câ d¤ng f (x) = cx (∀x ∈ R), 7 trong â c l  mët h¬ng sè tòy þ. ç thà cõa h m tuy¸n t½nh f (x) = cx l  mët ÷íng khæng th¯ng, i qua gèc do â nâ ÷ñc gåi l  tuy¸n t½nh. H m sè tuy¸n t½nh thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy. C¡c c¥u häi ÷ñc ÷a ra l  câ h m n o kh¡c thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy hay khæng? Ta th§y r¬ng ch¿ câ nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy l  tuy¸n t½nh. ¥y l  k¸t qu£ ÷ñc chùng minh bði Cauchy v o n«m 1821. ành lþ 1.1 Cho f : R → R l  li¶n töc v  thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). Khi â f tuy¸n t½nh, ngh¾a l  f (x) = cx trong â c l  mët h¬ng sè tòy þ. Chùng minh. Tr÷îc ti¶n ta cè ành x rçi l§y t½ch ph¥n hai v¸ cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) theo bi¸n y ta ÷ñc Z1 f (x) = f (x)dy 0 Z1 [f (x + y) − f (y)]dy = 0 Z1+x Z1 f (u)du − = x f (y)dy, khi u = x + y. 0 V¼ h m sè f li¶n töc n¶n suy ra f 0 (x) = f (1 + x) − f (x). (1.2) Tø t½nh cëng t½nh cõa f ta câ f (1 + x) = f (1) + f (x). (1.3) Thay (1.3) v o (1.2) ta câ f 0 (x) = f (1) = c. Suy ra f (x) = cx + d thay v o (1.1) suy ra d = 0. Trong ành lþ 1.1 ta sû döng t½nh li¶n töc cõa f º k¸t luªn r¬ng f kh£ t½ch. T½nh t½ch ph¥n cõa f b­t buëc nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh 8 Cauchy cëng t½nh l  tuy¸n t½nh. Do â méi nghi»m kh£ t½ch cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh công tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.3 Mët h m f : R → R ÷ñc gåi l  kh£ t½ch àa ph÷ìng khi v  ch¿ khi nâ l  t½ch ph¥n tr¶n måi kho£ng húu h¤n. Theo tr¶n méi nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh công l  tuy¸n t½nh. Ta ÷a ra mët c¡ch chùng minh ÷ñc ÷a ra bði Shapiro 1973. Gi£ sû f l  mët nghi»m kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Do â f (x + y) = f (x) + f (y) óng vîi måi x, y ∈ R. Tø â sû döng t½nh kh£ t½ch àa ph÷ìng cõa f ta ÷ñc Zy f (x)dz yf (x) = 0 Zy [f (x + z) − f (z)]dz = 0 Zx+y Zy f (u)du − = x Zx+y f (z)dz 0 f (u)du − = 0 Zy Zx f (u)du − 0 f (u)du. 0 V¸ ph£i cõa ¯ng thùc tr¶n b§t bi¸n khi ta thay êi vai trá cõa x v  y tø â suy ra yf (x) = xf (y) vîi måi x, y ∈ R. Do â vîi x 6= 0 ta ÷ñc f (x) = c, x vîi c l  mët h¬ng b§t ký. i·u n y suy ra f (x) = cx vîi måi x ∈ R \ {0}. Cho x = 0 v  y = 0 ð (1.1) ta ÷ñc f (0) = 0. Nh÷ vªy f l  mët h m tuy¸n t½nh tr¶n R. M°c dò chùng minh cõa ành lþ 1.1 ng­n gån v  ch¿ gçm c¡c ph²p t½nh vi ph¥n, t½ch ph¥n nh÷ng nâ l¤i khæng hi»u qu£ cao v  câ nhi·u ki¸n thùc. Gií ta s³ tr¼nh b y mët c¡ch chùng minh kh¡c s³ gióp ta hiºu hìn v· nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Ta x²t ành ngh¾a sau. 9 ành ngh¾a 1.4 Mët h m sè f : R → R ÷ñc gåi l  thu¦n nh§t húu t¿ khi v  ch¿ khi f (rx) = rf (x) (1.4) vîi måi x ∈ R v  måi sè húu t¿ r. ành lþ sau s³ cho th§y måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh l  thu¦n nh§t húu t¿. ành lþ 1.2 Cho h m sè f : R → R l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh th¼ f thu¦n nh§t húu t¿. Ngo i ra f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ Q. Chùng minh. Thay x = 0, y = 0 v o (1.1) ta th§y f (0) = f (0) + f (0) v  ta câ f (0) = 0. (1.5) Thay y = −x trong (1.1) v  dòng (1.5), ta th§y f l  h m l´ tr¶n R ngh¾a l  f (−x) = −f (x) vîi måi x ∈ R. (1.6) Nh÷ vªy ta ¢ ch¿ ra ÷ñc mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh b¬ng 0 t¤i iºm gèc v  l  h m sè l´. Ti¸p theo ta ch¿ ra r¬ng nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh l  thu¦n nh§t húu t¿. Thªt vªy, vîi måi x ∈ R, ta câ f (2x) = f (x + x) = f (x) + f (x) = 2f (x). Tø â f (3x) = f (2x + x) = f (2x) + f (x) = 2f (x) + f (x) = 3f (x). Têng qu¡t hìn, ta câ f (nx) = nf (x) (1.7) vîi måi sè nguy¶n d÷ìng n. N¸u n l  mët sè nguy¶n ¥m khi â −n l  sè nguy¶n d÷ìng v  tø (1.7) v  (1.6) ta ÷ñc f (nx) = f (−(−n)x) = −f (−nx) v¼ f l  h m sè l´ = −(−n)f (x) = nf (x). 10 Do â ta ¢ ch¿ ra r¬ng f (nx) = nf (x) vîi måi sè nguy¶n n v  måi sè thüc x ∈ R. Ti¸p theo ta x²t r l  sè húu t¿ tòy þ th¼ k r= , l trong â k l  sè nguy¶n (kh¡c khæng), l l  sè nguy¶n d÷ìng. Ta câ kx = l(rx). Sû döng t½nh thu¦n nh§t nguy¶n cõa f ta ÷ñc kf (x) = f (kx) = f (l(rx)) = lf (rx); ngh¾a l  k f (rx) = f (x) = rf (x). l Do â f l  thu¦n nh§t húu t¿. M°t kh¡c vîi x = 1 th¼ tø ph÷ìng tr¼nh tr¶n °t c = f (1) ta ÷ñc f (r) = cr vîi måi sè húu t¿ r ∈ Q. Vªy f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ v  ta câ i·u ph£i chùng minh. B¥y gií ta ÷a ra c¡ch chùng minh thù hai cõa ành lþ 1.1. Chùng minh. Cho f l  nghi»m li¶n töc cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh. Vîi x ∈ R b§t ký tçn t¤i mët d¢y {rn } c¡c sè húu t¿ hëi tö v· x. V¼ f thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh Cauchy cëng t½nh. Tø ành lþ 1.2 ta câ f tuy¸n t½nh tr¶n tªp húu t¿ ngh¾a l  f (rn ) = crn vîi måi n. B¥y gií dòng t½nh li¶n töc cõa h m f ta ÷ñc f (x) = f ( lim rn ) n→∞ = lim f (rn ) n→∞ = lim crn n→∞ = cx. Ta câ i·u ph£i chùng minh. ành lþ 1.3 (Darboux (1875)) Gi£ sû f l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm t ∈ R th¼ nâ li¶n töc tr¶n R. 11 Chùng minh. Gi£ sû f li¶n töc t¤i t v  x l  mët iºm b§t ký do â ta câ lim f (y) = f (t). Ti¸p theo ta s³ chùng minh r¬ng f li¶n töc t¤i x. y→t X²t lim f (y) = lim f (y − x + x − t + t) y→x y→x = lim [f (y − x + t) + f (x − t)] y→x = lim f (y − x + t) + lim f (x − t) y→x y→x = f (t) + f (x − t) = f (t) + f (x) − f (t) = f (x). i·u â chùng minh ÷ñc f li¶n töc t¤i x v  v¼ x tòy þ n¶n f li¶n töc t¤i måi iºm. ành lþ sau ¥y ÷ñc suy ra tø ành lþ 1.1 v  ành lþ 1.3. ành lþ 1.4 Cho f l  nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh (1.1). N¸u f li¶n töc t¤i mët iºm th¼ f l  tuy¸n t½nh ngh¾a l  f (x) = cx vîi måi x ∈ R. ành lþ 1.5 N¸u mët h m cëng t½nh thüc f ho°c l  bà ch°n mët ph½a ho°c l  ìn i»u th¼ nâ l  tuy¸n t½nh. ành lþ 1.6 N¸u f l  mët h m cëng t½nh thüc f bà ch°n tr¶n mët o¤n [a, b] th¼ nâ l  tuy¸n t½nh ngh¾a l  tçn t¤i mët h¬ng sè c sao cho f (x) = cx vîi måi x ∈ R. 1.1.2. Ph÷ìng tr¼nh h m cëng t½nh tr¶n khæng gian phùc Ð ph¦n n y ta tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ câ li¶n quan ¸n h m cëng t½nh vîi gi¡ trà phùc trong khæng gian phùc ÷ñc tr½ch tø t i li»u [7]. Mët h m b§t ký f : C → C câ thº vi¸t f (z) = f1 (z) + if2 (z), khi f1 : C → R (1.8) v  f2 : C → R ÷ñc cho bði f1 (z) = Ref (z) v  f2 (z) = Imf (z). (1.9) 12 N¸u f l  cëng t½nh th¼ tø (1.8) v  (1.9) ta câ f1 (z1 + z2 ) = Ref (z1 + z2 ) = Re[f (z1 ) + f (z2 )] = Ref (z1 ) + Ref (z2 ) = f1 (z1 ) + f1 (z2 ), v  f2 (z1 + z2 ) = Imf (z1 + z2 ) = Im[f (z1 ) + f (z2 )] = Imf (z1 ) + Imf (z2 ) = f2 (z1 ) + f2 (z2 ). ành lþ 1.7 N¸u f : C → C l  cëng t½nh th¼ tçn t¤i h m cëng t½nh fkj : R → R (k, j = 1, 2) sao cho f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz). ành lþ ti¸p theo li¶n quan tîi d¤ng cõa h m phùc li¶n töc cëng t½nh trong m°t ph¯ng phùc. ành lþ 1.8 N¸u f : C → C l  mët h m li¶n töc cëng t½nh th¼ tçn t¤i hai sè phùc c1 v  c2 sao cho f (z) = c1 z + c2 z (1.10) vîi z l  sè phùc li¶n hñp cõa z . Chùng minh. V¼ f cëng t½nh n¶n theo ành lþ 1.8 ta câ f (z) = f11 (Rez) + f12 (Imz) + if21 (Rez) + if22 (Imz), vîi fkj : R → R (k, j = 1, 2) l  c¡c h m sè cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc, x¡c ành tr¶n tªp sè thüc. V¼ f li¶n töc n¶n c¡c h m fkj công li¶n töc v¼ vªy fkj (x) = ckj x, vîi ckj (k, j = 1, 2) l  c¡c sè thüc. Do â ta câ 13 f (z) =c11 Rez + c12 Imz + ic21 Rez + ic22 Imz = (c11 + ic21 )Rez + (c12 + ic22 )Imz = a Re z + b Im z Khi a = c11 + ic21 , b = c12 + ic22 = a Re z − i(bi)Imz a + bi a − bi a + bi a − bi = Rez + Rez − iImz + iImz 2 2 2 2 a − bi a − bi a + bi a + bi = Rez + iImz + Rez − iImz 2 2 2 2 a − bi a + bi = (Rez + iImz) + (Rez − iImz) 2 2 a − bi a + bi = z+ z 2 2 = c1 z + c2 z vîi c1 = a + bi a − bi v  c2 = l  c¡c sè phùc. 2 2 Rã r ng r¬ng khæng gièng h m cëng t½nh nhªn gi¡ trà thüc x¡c ành tr¶n tªp sè thüc h m nhªn gi¡ trà phùc cëng t½nh li¶n töc tr¶n m°t ph¯ng phùc khæng tuy¸n t½nh. Ta s³ t¼m i·u ki»n º nâ tuy¸n t½nh. ành ngh¾a 1.5 Mët h m sè f : C → C ÷ñc gåi l  gi£i t½ch khi v  ch¿ khi f kh£ vi tr¶n C. ành lþ 1.9 N¸u f : C → C l  h m gi£i t½ch cëng t½nh th¼ tçn t¤i mët sè phùc c sao cho f (z) = cz; ngh¾a l  f l  tuy¸n t½nh. Chùng minh. V¼ f l  gi£i t½ch n¶n f l  kh£ vi. ¤o h m f (z1 + z2 ) = f (z1 ) + f (z2 ) (1.11) theo bi¸n z1 , ta ÷ñc f 0 (z1 + z2 ) = f 0 (z1 ) vîi måi z1 v  z2 trong C. V¼ th¸ ta chån z1 = 0 v  z2 = z ta ÷ñc f 0 (z) = f (0) = c. Tø â ta th§y r¬ng f (z) = cz + b. Trong â b l  mët sè phùc. Thay biºu thùc cõa f (z) v o (1.11) ta ÷ñc b = 0. 14 Chó þ 1.1 Ta th§y ành lþ 1.13 khæng óng cho h m phùc trong m°t ph¯ng phùc, công bi¸t r¬ng câ mët tü çng c§u giai o¤n cõa m°t ph¯ng phùc (theo Kamke (1927)) mët tü çng c§u giai o¤n l  mët ¡nh x¤ 1-1 to n ¡nh, cëng t½nh v  nh¥n t½nh tr¶n C. Trong cuèn Cours D'Analyse, Cauchy (1821) ¢ nghi¶n cùu th¶m 3 ph÷ìng tr¼nh h m kh¡c l  f (x + y) = f (x)f (y) (1.12) f (xy) = f (x) + f (y) (1.13) f (xy) = f (x)f (y) (1.14) v  b¶n c¤nh ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy cëng t½nh f (x + y) = f (x) + f (y) (1.15) vîi måi x, y ∈ R. Trong c¡c ph¦n ti¸p theo ta gi£i 3 ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy tr¶n. Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m n y ÷ñc x¡c ành theo c¡c h m cëng t½nh. Cuèi còng sû döng nghi»m têng qu¡t ta thu ÷ñc nghi»m li¶n töc cõa méi ph÷ìng tr¼nh h m tr¶n. 1.1.3. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô Trong möc n y ta s³ x²t ph÷ìng tr¼nh h m d¤ng (1.12), d¤ng ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô. Ta s³ x¡c ành nghi»m têng qu¡t cõa h m sè mô Cauchy (1.12) m  khæng gi£ sû c¡c i·u ki»n ch½nh quy nh÷ t½nh li¶n töc, t½nh bà ch°n hay t½nh kh£ vi tr¶n h m f . ành lþ 1.10 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f (x + y) = f (x)f (y), vîi måi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.12) ÷ñc cho bði f (x) = eA(x) v  f (x) = 0 ∀x ∈ R vîi A : R → R l  h m cëng t½nh. (1.16) 15 Chùng minh. D¹ th§y f (x) = 0 vîi måi x ∈ R l  nghi»m cõa (1.12). Ta x²t f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Ta s³ chùng minh r¬ng f (x) 6= 0 ∀x ∈ R. Gi£ sû i·u ng÷ñc l¤i tçn t¤i sè y0 sao cho f (y0 ) = 0. Tø (1.12) ta câ f (y) = f ((y − y0 ) + y0 ) = f (y − y0 )f (y0 ) = 0 vîi måi y ∈ R. i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t l  f (x) khæng çng nh§t b¬ng 0. Do â f (x) 6= 0 ∀x ∈ R. t Cho x = = y trong (1.12) ta th§y 2  2 t f (t) = f 2 vîi måi t ∈ R. Vªy f (x) > 0 vîi måi x ∈ R. L§y loga cì sè e hai v¸ cõa (1.12) ta ÷ñc ln f (x + y) = ln f (x) + ln f (y). X²t ¡nh x¤ A : R → R vîi A(x) = ln f (x) ta ÷ñc A(x + y) = A(x) + A(y). (1.17) Vªy f (x) = eA(x) vîi A l  h m cëng t½nh. Ta câ h» qu£ sau l  k¸t qu£ hiºn nhi¶n cõa ành lþ tr¶n. H» qu£ 1.1 N¸u h m sè f : R → R thäa m¢n f (x + y) = f (x)f (y), vîi måi x, y th¼ nghi»m têng qu¡t li¶n töc cõa (1.12) ÷ñc cho bði f (x) = ecx v  f (x) = 0 ∀x ∈ R, (1.18) vîi c l  mët h¬ng sè tòy þ. Cho n l  mët sè nguy¶n d÷ìng. Gi£ sû câ ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y + nxy) = f (x)f (y) (1.19) 1 1 v  y > − khi â n → 0, ph÷ìng tr¼nh n n h m (1.19) trð ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy mô. Ph÷ìng tr¼nh n y ÷ñc nghi¶n cùu bði Thielman (1949). thäa m¢n vîi sè thüc x > − 16 ành lþ 1.11 Måi nghi»m f cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (x + y + nxy) = f (x)f (y), vîi måi x, y > − 1 câ d¤ng n f (x) = 0 ho°c f (x) = eA(ln(1+nx)) , (1.20) vîi A : R → R l  h m cëng t½nh. Chùng minh. Ta câ ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) t÷ìng ÷ìng vîi  f (1 + nx)(1 + ny) − 1 n  = f (x)f (y). (1.21) °t 1 + nx = eu v  1 + ny = ev . Suy ra u = ln(1 + nx) v  v = ln(1 + ny). Vi¸t l¤i (1.21) ta ÷ñc  u+v   u   v  e −1 e −1 e −1 f =f f (1.22) n n n vîi måi u, v ∈ R °t  φ(u) = f ev − 1 n  (1.23) trong ph÷ìng tr¼nh (1.22) ta câ φ(u + v) = φ(u)φ(v) (1.24) vîi måi u,v ∈ R. V¼ vªy theo ành lþ 1.10 ta câ φ(x) = eA(x) ho°c φ(x) = 0 ∀x ∈ R, (1.25) vîi A : R → R l  h m cëng t½nh. Do â tø (1.23) v  (1.25) chóng ta thu ÷ñc f (x) = 0 ho°c f (x) = eA(ln(1+nx)) vîi A : R → R l  h m cëng t½nh. Tø â ta câ h» qu£ sau. H» qu£ 1.2 Måi nghi»m li¶n töc f cõa ph÷ìng tr¼nh h m (1.19) vîi måi sè thüc x > − 1 1 v  måi y > − câ d¤ng l  n n f (x) = 0 ho°c f (x) = (1 + nx)k , trong â k l  mët h¬ng sè tòy þ. (1.26) 17 1.1.4. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy Logarit B¥y gií ta xem x²t ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy thù hai (1.13). ¥y l  ph÷ìng tr¼nh h m ÷ñc bi¸t ¸n nh÷ ph÷ìng tr¼nh Cauchy logarit. ành lþ 1.12 N¸u ph÷ìng tr¼nh h m (1.13), tø ph÷ìng tr¼nh l  f (xy) = f (x) + f (y) óng vîi måi x, y ∈ R \ {0} th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l  f (x) = A(ln|x|) ∀x ∈ R \ {0} (1.27) vîi A l  mët h m cëng t½nh. Chùng minh. ¦u ti¶n ta thay x = t v  y = t v o ph÷ìng tr¼nh (1.13) ta ÷ñc f (t2 ) = 2f (t). T÷ìng tü thay x = −t v  y = −t v o (1.13) ta câ f (t2 ) = 2f (−t). Do â ta ÷ñc f (t) = f (−t) ∀t ∈ R \ {0}. (1.28) Ti¸p theo gi£ sû ph÷ìng tr¼nh h m (1.13) óng vîi måi x > 0 v  y > 0. X²t x = es v  y = et (1.29) suy ra s = ln x v  t = ln y. (1.30) Chó þ s, t ∈ R do x, y ∈ R+ trong â R+ = {x ∈ R|x > 0}. Tø (1.29) v  (1.13) ta câ f (es+t ) = f (es ) + f (et ). °t A(s) = f (es ). Sû döng ph÷ìng tr¼nh cuèi còng ta câ A(s + t) = A(s) + A(t) (1.31) 18 vîi måi s, t ∈ R. Tø (1.31) ta câ f (x) = A(ln x) ∀x ∈ R+ . (1.32) Do f (t) = f (−t) n¶n nghi»m têng qu¡t cõa (1.13) l  f (x) = A(ln |x|) ∀x ∈ R \ {0}. Theo ành lþ tr¶n ta câ c¡c h» qu£ sau. H» qu£ 1.3 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R+ l  f (x) = A(ln x), (1.33) vîi A : R → R l  mët h m cëng t½nh. H» qu£ 1.4 Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R l  f (x) = 0 ∀x ∈ R. (1.34) H» qu£ 1.5 Nghi»m li¶n töc têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh h m f (xy) = f (x) + f (y) vîi måi x, y ∈ R \ {0} ÷ñc cho bði f (x) = c ln |x| ∀x ∈ R \ {0}, (1.35) vîi c l  mët h¬ng sè thüc tòy þ. 1.1.5. Ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh X²t ph÷ìng tr¼nh Cauchy cuèi còng (1.14). ¥y l  ph÷ìng tr¼nh phùc t¤p nh§t trong ba ph÷ìng tr¼nh ÷ñc x²t trong ch÷ìng n y. Tr÷îc ti¶n ta c¦n sû döng kh¡i ni»m h m d§u. H m d§u ÷ñc kþ hi»u bði sgn(x), ÷ñc ành ngh¾a nh÷ sau   1 n¸u x > 0 sgn(x) = (1.36) 0 n¸u x = 0  −1 n¸u x < 0 Ph÷ìng tr¼nh h m câ d¤ng (1.14) ÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh h m Cauchy nh¥n t½nh. Mët h m sè f ÷ñc gåi l  nh¥n t½nh khi v  ch¿ khi f (xy) = f (x)f (y) vîi måi x v  y .