Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều...

Tài liệu Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy newton mốc cách đều

.PDF
160
59
104

Mô tả:

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS. Nguyễn Văn Khải. Sự giúp đỡ và hướng dẫn tận tình song rất nghiêm túc của thầy trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập. Tác giả xin chân thành cảm ơn người thân, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này. Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Hương LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Khải. Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 05 tháng 11 năm 2013 Tác giả Đặng Thị Hương Mục lục Mở đầu 1 1 Một số vấn đề về đa thức nội suy 5 1.1. Bài toán nội suy cổ điển . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Một số công thức biểu diễn . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1. Công thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2. Công thức nội suy Newton . . . . . . . . . . . . . 8 2 Phân tích công thức nội suy Newton mốc cách đều 14 2.1. Phân tích định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2. Phân tích qua các bài toán cụ thể . . . . . . . . . . . . . 15 2.2.1. Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược . . . . 15 2.2.2. Các bài toán mũ, logarit . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3. Các bài toán căn thức, phân thức hữu tỉ . . . . . 63 2.2.4. Các bài toán dạng chuỗi hàm . . . . . . . . . . . 75 2.2.5. Các bài toán siêu bội . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Kết luận 153 Tài liệu tham khảo 156 iii MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong cuốn sách "Các cơ sở toán học tính toán" (tiếng Nga) của B.P. Demidovich và I.A. Maron, Matxcova 1963 tại trang 510 có viết: "Nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần x0 ta dùng công thức nội suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần xn ta dùng công thức nội suy Newton lùi sẽ có lợi". Từ ảnh hưởng của cuốn sách này mà rất nhiều giáo trình về Giải tích số ở Việt Nam cũng có nhận xét tương tự: Phương pháp tính, Lê Đình Thịnh, Nhà xuất bản khoa học và kỹ thuật, 1995 tại trang 103 "Các công thức nội suy Newton tiến dùng để tính các giá trị ở đầu bảng, các công thức nội suy Newton lùi dùng để tính các giá trị ở cuối bảng". Giải tích số, Phạm Kỳ Anh, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 tại trang 49 "Nếu cần tính f (x) tại x ' x0 (x ' xn ) ta nên dùng công thức nội suy Newton tiến (lùi) thì độ chính xác cao hơn." Giải tích số, Nguyễn Minh Chương - Nguyễn Văn Khải - Khuất Văn Ninh - Nguyễn Văn Tuấn - Nguyễn Tường, Nhà xuất bản giáo dục, 2009 tại trang 54 "Nếu cần tính f (x) tại x gần x0 thì nên dùng đa thức nội suy Newton ở đầu bảng, ý nghĩa tương tự cho đa thức nội suy Newton ở cuối bảng và giữa bảng." Phương pháp số, Tôn Tích Ái, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2001 tại trang 104 "Công thức nội suy Newton tiến được sử dụng để nội suy và ngoại suy các điểm x nằm gần điểm x0 đầu tiên của bảng.", tại trang 105 "Công thức nội suy Newton lùi được sử dụng để nội suy và ngoại suy các điểm gần với điểm cuối của bảng xn ." Toán học tính toán, Doãn Tam Hòe, Nhà xuất bản giáo dục, 2005 tại trang 79 "Với các bảng số liệu quá dài, người ta dùng công thức 2 Newton tiến để nội suy ở đầu bảng, công thức lùi để nội suy ở cuối bảng". Giải tích số, Trần Anh Bảo - Nguyễn Văn Khải - Phạm Văn Kiều Ngô Xuân Sơn, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2003 tại trang 33 "Nếu cần tính f (x) tại x gần x0 thì nên dùng công thức nội suy Newton tiến; ngược lại, nếu cần tính f (x) tại x gần xn thì nên dùng công thức nội suy Newton lùi." Giải tích số, Phạm Phú Triêm - Nguyễn Bường, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, 2000 tại trang 110 "Công thức nội suy Gregory Newton tiến thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f (x) tại vùng đầu của bảng. Tuy nhiên, nó cũng có thể dùng được để nội suy ở cuối bảng, nhưng rất bất tiện", tại trang 114 "Công thức nội suy Gregory Newton lùi thường hay được dùng để tìm giá trị của hàm f (x) tại vùng cuối của bảng." ... Tuy nhiên, có một số giáo trình khác về Giải tích số không đưa ra nhận xét trên: Phương pháp tính, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất bản Giáo dục, 2007. Phương pháp tính, Dương Thủy Vỹ, Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật, 1999. Nhằm làm sáng tỏ vấn đề này trong các phân tích định tính cũng như các phân tích định lượng qua các bài toán cụ thể tôi chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ của mình: “Về phạm vi áp dụng của công thức nội suy Newton mốc cách đều”. 3 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn làm sáng tỏ vấn đề tại sao khi x gần x0 thì tính gần đúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến lại tốt hơn so với sử dụng công thức nội suy Newton lùi; tương tự khi x gần xn thì tính gần đúng f (x) sử dụng công thức nội suy Newton lùi lại tốt hơn so với sử dụng công thức nội suy Newton tiến. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp nội suy Newton một cách chi tiết về lý thuyết và phân tích công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi trên những bài toán cụ thể nhằm làm sáng tỏ vấn đề trên. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng: Nghiên cứu về đa thức nội suy Newton mốc cách đều và ứng dụng. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, giáo trình liên quan đến công thức nội suy Newton. Trình bày cụ thể các bài toán nhằm làm sáng tỏ mục đích nghiên cứu. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết: Thu thập tài liệu, đọc và phân tích, tổng hợp để được một nghiên cứu tổng quan về công thức nội suy Newton mốc cách đều. Nghiên cứu ứng dụng: Vận dụng công thức nội suy Newton mốc cách đều vào giải bài toán. 4 6. Dự kiến đóng góp mới Đề tài nghiên cứu làm sáng tỏ vấn đề nêu trên và làm rõ tại sao dẫn đến kết quả đó. Luận văn là tài liệu phục vụ cho các bạn sinh viên học tập và nghiên cứu. Chương 1 Một số vấn đề về đa thức nội suy 1.1. Bài toán nội suy cổ điển Trong thực tế, thường gặp những hàm số y = f (x) không biết biểu thức giải tích cụ thể của chúng; chẳng hạn bằng đo đạc, thực nghiệm ta chỉ thu được ở dạng một bảng số, nghĩa là biết giá trị yi tại điểm xi tương ứng (i = 0, 1, . . . , n). Cũng có trường hợp biết quy luật biến đổi y = f (x) nhưng f (x) có dạng quá phức tạp thì giá trị y = f (x) cũng khó tính toán được. Trong các trường hợp như vậy người ta tìm cách thay hàm f (x) bởi hàm P (x) đơn giản, thường P (x) được chọn là đa thức. Định nghĩa 1.1.1. Hệ n + 1 điểm phân biệt {xi } với xi ∈ [a, b] , i = 0, . . . , n được gọi là n + 1 mốc nội suy. Sau đây ta kí hiệu Pn = (1, x, . . . , xn ) là không gian vecto trên R sinh bởi hệ các đơn thức 1, x, . . . , xn . Định lý 1.1.1. Cho n + 1 mốc nội suy xi và n + 1 giá trị ω0 , ω1 , . . . , ωn . Khi đó, tồn tại duy nhất Pn (x) ∈ Pn sao cho Pn (xi ) = ωi , i = 0, . . . , n (1.1) Chứng minh. Đa thức Pn (x) ∈ Pn có dạng a0 + a1 x + . . . + an xn với n + 1 hệ số ai . 5 6 Điều kiện (1.1) tương đương với n + 1 phương trình tuyến tính và n + 1 ẩn ai : a0 + a1 xi + . . . + an xi n = ωi (i = 0, . . . , n) (1.2) Định thức của hệ là định thức Vandermonde tại x0 , x1 , . . . , xn : 2 n 1 x0 x0 · · · x0 1 x x2 · · · xn 1 1 V (x0 , x1 , . . . , xn , ) = . . .1 . .. .. .. .. 2 n 1 xn xn · · · xn Để tính V , ta xét hàm dạng định thức x20 · · · xn0 1 x0 . .. .. .. .. . . . V (x) = V (x0 , x1 , . . . , xn−1 , x) = 1 xn−1 x2n−1 · · · xnn−1 1 x x2 · · · xn (1.3) rõ ràng V (x) ∈ Pn , đồng thời V (x) triệt tiêu tại x0 , x1 , . . . , xn−1 hay nói cách khác V (x) có n nghiệm là x0 , x1 , . . . , xn−1 . Do đó V (x0 , x1 , . . . , xn−1 , x) = A(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ) ở đó A là đại lượng chỉ phụ thuộc vào x0 , x1 , . . . , xn−1 . Để tính A ta khai triển (1.3) theo dòng cuối và ta có hệ số của xn là V (x0 , x1 , . . . , xn−1 ), vì vậy A = V (x0 , x1 , . . . , xn−1 ). Từ đó ta có V (x0 , x1 , . . . , xn−1 , x) = V (x0 , x1 , . . . , xn−1 )(x − x0 ) . . . (x − xn−1 ). (1.4) Đặc biệt V (x0 , x1 , . . . , xn−1 , xn ) = V (x0 , x1 , . . . , xn−1 )(xn −x0 )(xn −x1 ) . . . (xn −xn−1 ) (1.5) 7 Từ V (x0 , x1 ) = x1 − x0 và (1.5) ta có V (x0 , x1 , x2 ) = (x1 − x0 )(x2 − x0 )(x2 − x1 ) Vậy V (x0 , x1 , . . . , xn ) = n Y (xi − xj ). (1.6) i>j Vì các điểm x0 , x1 , . . . , xn phân biệt nên V 6= 0, định lí được chứng minh. Định nghĩa 1.1.2. Đa thức nội suy Pn (x) tồn tại duy nhất theo định lí 1.1.1 được gọi là đa thức nội suy. Bài toán nêu trong định lí 1.1.1 được gọi là bài toán nội suy cổ điển. 1.2. Một số công thức biểu diễn Định lí 1.1.1 mục 1.1 đã chứng minh đa thức nội suy tồn tại và duy nhất. Tuy nhiên, để tìm đa thức nội suy từ hệ phương trình (1.2) theo phương pháp Cramer nêu trong định lí là khá cồng kềnh, phức tạp. Trong mục này, ta tìm cách tính nhanh đa thức nội suy mà không cần giải hệ (1.2). 1.2.1. Công thức nội suy Lagrange n Q Đặt Φj (x) = i6=j n Q (x − xi ) j = 0, . . . , n. (xj − xi ) i6=j Khi đó Φj (x) là một đa thức của ẩn x và deg Φj (x) = n với mọi j = 0, . . . , n, hơn nữa, ( Φj (xi ) = 1 i=j 0 i 6= j 8 với j = 0, . . . , n. Đặt Ln (x) = n X yj Φj (x) (1.7) j=0 thì deg Ln (x) ≤ n và Ln (xi ) = yi với i = 0, . . . , n. Đa thức Ln (x) ở (1.7) thỏa mãn bài toán nêu trong định lí 1.1.1, nó được gọi là đa thức nội suy Lagrange. Đa thức nội suy Lagrange được cho ở dạng công thức nên cũng gọi là công thức nội suy Lagrange. n n Q Q 0 (xj ) = (xj − xi ) j = 0, . . . , n. Đặt ωn+1 (x) = (x − xi ) thì ωn+1 i=0 Thay ωn+1 (x) và i6=j 0 ωn+1 (xj ) Ln (x) = vào biểu thức của Ln (x) ta có n X j=0 yj ωn+1 (x) . (x − xj )ω 0 n+1 (xj ) (1.8) Ta cũng nói đa thức Ln (x) cho bởi (1.8) là đa thức nội suy Lagrange. Nhận xét 1.1. Đa thức nội suy Lagrange có ưu điểm là đơn giản, dễ tính nhưng nhược điểm là nếu thêm mốc nội suy thì lại phải tính lại từ đầu, không sử dụng được kết quả tính toán cũ. 1.2.2. Công thức nội suy Newton 1.2.2.1. Khái niệm tỷ sai phân và một số tính chất Định nghĩa 1.2.1. Cho hàm số y = f (x) xác định trên đoạn [a; b] và n + 1 mốc nội suy {xi } , i = 0, 1, . . . , n. Khi đó: yi+1 − yi Tỷ số được gọi là tỷ sai phân cấp 1 của hàm số y = f (x) xi+1 − xi tại xi và kí hiệu là f (xi ; xi+1 ). f (xi+1 ; xi+2 ) − f (xi ; xi+1 ) Tỷ số được gọi là tỷ sai phân cấp 2 của xi+2 − xi hàm số y = f (x) tại xi và kí hiệu là f (xi ; xi+1 ; xi+2 ). f (xi+1 ; . . . ; xi+k ) − f (xi ; . . . ; xi+k−1 ) Tỷ số được gọi là tỷ sai phân xi+k − xi cấp k của hàm số y = f (x) tại xi và kí hiệu là f (xi ; xi+1 ; . . . ; xi+k ). 9 Tính chất 1. trong đó ω(x) = k X f (xi ) f (x0 ; . . . ; xk ) = ω 0 (xi ) i=0 k Q (1.9) (x − xj ). j=0 f (x0 ) f (x1 ) + . x0 − x1 x1 − x0 Giả sử ta chứng minh được với k ≤ n. Khi đó Chứng minh. Với k = 1, ta có f (x0 , x1 ) = f (x1 ; . . . ; xn+1 ) − f (x0 ; . . . ; xn ) xn+1 − x0 n+1  n f (x ) P f (xi ) P 1 i = − xn+1 − x0 i=1 ω 0 1 (xi ) i=1 ω 0 0 (xi ) ω(x) ω(x) với ω1 (x) = ; ω0 (x) = và ω(x) = (x − x0 ) . . . (x − xn+1 ). x − x0 x − xn+1 Như vậy f (x0 ; x1 ; . . . ; xn+1 ) = f (x0 ; x1 ; . . . ; xn+1 ) = Ta có ω10 (xi ) f (xn+1 ) f (x0 ) + ω 0 0 (x0 )(x0 − xn+1 ) ω 0 1 (xn+1 )(xn+1 − x0 ) n P f (xi ) 1 1 + − . ω 0 1 (xi ) ω 0 0 (xi ) i=1 xn+1 − x0 ω 0 (xi ) ω 0 (xi ) 0 = ; ω0 (xi ) = . xi − x0 xi − xn+1 Suy ra ω0 1 1 xn+1 − x0 . − 0 = ω 0 (xi ) ω 0 (xi ) 1 (xi ) Vậy n+1 X f (xi ) f (x0 ; x1 ; . . . ; xn+1 ) = . 0 (x ) ω i i=0 Điều phải chứng minh. Tính chất 2. Tỷ sai phân là hàm đối xứng với các xi , n X f (xi ) . f (x0 ; x1 ; . . . ; xn ) = f (x1 ; x0 ; . . . ; xn ) = . . . = 0 (x ) ω i i=0 10 Tính chất 3. Tỷ sai phân cấp m + 1 của đa thức bậc m đồng nhất bằng 0. Chứng minh. Giả sử P (x) là đa thức bậc m. Ta phải chứng minh P (x; x0 ; x1 ; . . . ; xm ) ≡ 0 ∀x ∈ [a; b] ở đó (m + 2) số x, x0 , x1 , . . . , xm là đôi một khác nhau. Ta có P (x; x0 ) = P (x) − P (x0 ) là đa thức bậc m − 1 vì x − x0 m P (i) (x ) P (x) − P (x0 ) P i = (x − x0 )i−1 . x − x0 i! i=1 P (x; x0 ) − P (x0 ; x1 ) là đa thức bậc m − 2. x − x1 Bằng phương pháp quy nạp ta có P (x; x0 ; x1 ; . . . ; xk ) là đa thức bậc Tương tự P (x; x0 ; x1 ) = m − (k + 1). Vậy P (x; x0 ; x1 ; . . . ; xm−1 ) là đa thức bậc 0. Từ đó ta có điều phải chứng minh. 1.2.2.2. Công thức nội suy Newton với mốc bất kì Gọi Ln (x) là đa thức nội suy Lagrange của hàm số thực y = f (x) xác định trên đoạn [a; b] và kí hiệu Ln (x; x0 ), Ln (x; x0 ; x1 ), . . . là các tỷ sai phân của Ln (x) tại x. Khi đó ta có Ln (x; x0 ) = Ln (x) − Ln (x0 ) . x − x0 Vậy nên Ln (x) = Ln (x0 ) + Ln (x; x0 )(x − x0 ). Lại có Ln (x; x0 ; x1 ) = Từ đó rút ra: Ln (x; x0 ) − Ln (x0 ; x1 ) . x − x1 11 Ln (x; x0 ) = Ln (x0 ; x1 ) + Ln (x; x0 ; x1 )(x − x1 ). Tương tự ta có Ln (x; x0 ; . . . ; xi ) = Ln (x; x0 ; . . . ; xi−1 ) − Ln (x0 ; . . . ; xi ) . x − xi Từ đó rút ra Ln (x) = Ln (x0 ) + Ln (x0 ; x1 )(x − x0 ) + Ln (x0 ; x1 ; x2 )(x − x0 )(x − x1 ) + . . . + Ln (x0 ; x1 ; . . . ; xn )(x − x0 )(x − x1 ) . . . (x − xn−1 ). Mặt khác Ln (xi ) = yi = f (xi ), Ln (x0 ; x1 ; . . . ; xk ) = f (x0 ; x1 ; . . . ; xk ) (∀k = 1, . . . , n). Vậy ta có Pn (x) = f (x0 ) + f (x0 ; x1 )(x − x1 ) + f (x0 ; x1 ; x2 )(x − x0 )(x − x1 ) + . . . . . . + f (x0 ; x1 ; . . . ; xn )(x − x0 ) . . . (x − xn−1 ) (1.10) Công thức (1.10) được gọi là công thức nội suy Newton với mốc bất kì. Nhận xét 1.2. Nếu thêm một vài mốc nội suy thì để tìm công thức nội suy Newton ta chỉ phải tính thêm một vài số hạng cuối, không phải tính lại từ đầu, đây là ưu điểm của công thức nội suy Newton so với công thức nội suy Lagrange. 1.2.2.3. Khái niệm về sai phân và một số tính chất Giả sử f : R → R là một hàm số cho trước, h là hằng số khác 0. Ta gọi ∆0 f (x) = f (x) là sai phân cấp 0 của f (x) tại x. ∆f (x) = f (x + h) − f (x) là sai phân cấp 1 của f (x) tại x.   ∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) , n ≥ 1 là sai phân cấp n của f (x) tại x. Tính chất 4. ∆ là toán tử tuyến tính, nghĩa là ∀α, β ∈, ∀f, g thì ∆(αf + βg) = α∆f + β∆g. 12 Tính chất 5. i, ∆(c) = 0 với mọi hằng số c. ii, ∆(xn ) là đa thức bậc n − 1. iii, ∆m (xn ) = 0 với m > n. iv, ∆n (xn ) = c. n P Tính chất 6. f (x + nh) = Cni ∆i f (x). i=0 Chứng minh. Ta có f (x + nh) = f (x) + ∆f (x) = (1 + ∆)f (x) với 1 là toán tử đơn vị. f (x + 2h) = f ((x + h) + h) = (1 + ∆)f (x + h). Từ đó ta có f (x + 2h) = (1 + ∆)2 f (x). Theo quy nạp toán học ta có f (x + nh) = (1 + ∆)n f (x). n P Khai triển Newton của (1 + ∆)n có f (x + nh) = Cni ∆i f (x). i=0 Tính chất 7. ∆n f (x) = n P (−1)i Cni f [x + (n − i)h] . i=0 Chứng minh. Ta có ∆n f (x) = [(1 + ∆) − 1]n f (x) n P = (−1)i Cni (1 + ∆)n−i f (x) = i=0 n P (−1)i Cni f [x + (n − i)h] i=0 Công thức nội suy Newton tiến Giả sử rằng mốc nội suy x0 < x1 < . . . < xn , xi+1 − xi = h ∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thức nội suy Pn (x) ở dạng Pn (x) = a0 +a1 (x−x0 )+a2 (x−x0 )(x−x1 )+. . .+an (x−x0 ) . . . (x−xn−1 ). Ta có Pn (xi ) = f (xi ) = yi với i = 0, . . . , n. Thay x lần lượt bằng x0 , x1 , . . . , xn ta thu được ∆y0 ∆i y0 a0 = y0 , a1 = , . . . , ai = . h i!hi 13 Vậy ta có ∆y0 ∆2 y0 (x − x0 ) + (x − x0 )(x − x1 ) + . . . 2 1!h 2!h ∆n y0 (x − x0 ) . . . (x − xn−1 ). ... + n!hn Dùng phép biến đổi x = x0 + th, xj = x0 + jh, j = 0, . . . , n − 1 ta Pn (x) = y0 + thu được Pn (x0 + th) = y0 + ∆y0 ∆2 y0 ∆n y0 t+ t(t − 1) + . . . + t(t − 1) . . . (t − n + 1). 1! 2! n! (1.11) Công thức (1.11) là công thức nội suy Newton tiến hoặc đa thức nội suy Newton ở đầu bảng. Công thức nội suy Newton lùi Giả sử rằng mốc nội suy xn > xn−1 > . . . > x0 , xi+1 − xi = h fn (x) ở dạng ∀i = 0, . . . , n − 1. Ta tìm đa thức nội suy P fn (x) = a0 +a1 (x−xn )+a2 (x−xn )(x−xn−1 )+. . .+an (x−xn ) . . . (x−x1 ). P fn (x)(xi ) = f (xi ) = yi với i = 0, . . . , n. Thay x lần lượt bằng Ta có P x0 , x1 , . . . , xn ta thu được ∆yn−1 ∆i yn−i , . . . , ai = . a0 = yn , a1 = h i!hi Vậy ta có ∆yn−1 ∆2 yn−2 f Pn (x) = yn + (x − xn ) + (x − xn )(x − xn−1 ) + . . . 1!h n 2!h2 ∆ y0 ... + (x − xn ) . . . (x − x1 ). n!hn x − xn Dùng phép biến đổi x = xn + th, t = ta thu được h 2 n fn (xn +th) = yn + ∆yn−1 t+ ∆ yn−2 t(t+1)+. . .+ ∆ y0 t(t+1) . . . (t+n+−1). P 1! 2! n! (1.12) Công thức (1.12) là công thức nội suy Newton lùi hoặc đa thức nội suy Newton ở cuối bảng. Nhận xét 1.3. Công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi cũng chỉ là cách viết khác của công thức nội suy Lagrange. Chương 2 Phân tích công thức nội suy Newton mốc cách đều Trong chương này, tác giả tiến hành phân tích định tính và phân tích định lượng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi trên các bài toán cụ thể thông qua đánh giá số phép toán cần thực hiện và sai số mắc phải nhằm làm sáng tỏ vấn đề luận văn đưa ra, đó là: "Nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần x0 ta nên dùng công thức nội suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần xn ta nên dùng công thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác cao hơn." 2.1. Phân tích định tính Xét lại công thức nội suy Newton tiến ∆y0 ∆2 y0 ∆n y0 t+ t(t − 1) + . . . + t(t − 1) . . . (t − n + 1), Pn (x0 + th) = y0 + 1! 2! n! công thức nội suy Newton lùi ∆yn−1 ∆2 yn−2 ∆n y0 f Pn (xn +th) = yn + t+ t(t+1)+. . .+ t(t+1) . . . (t+n−1). 1! 2! n! Công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi đều là các đa thức có bậc cao nhất bằng n. 14 15 Ta quy ước số phép toán thực tế cần tính toán bằng tổng số phép toán nhân và chia của biến t trong biểu thức, chẳng hạn trong biểu thức ∆n y0 t(t − 1) . . . (t − n + 1) ta bỏ qua phép tính nhân chia với các hằng n! số ∆n y0 , n! và trong biểu thức t(t − 1) . . . (t − n + 1) có (n − 1) phép toán nhân. Khi tính gần đúng giá trị f (x) sử dụng công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi ta thấy hai công thức trên có số phép toán thực hiện với hằng số là bằng nhau và số phép toán nhân chia n(n − 1) cần thực hiện với biến t đều là . 2 Kết luận. Về mặt định tính số phép toán cần thực hiện khi sử dụng công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi để tính gần đúng giá trị f (x) khi x gần x0 hoặc x gần xn là bằng nhau. Như vậy, nhận xét "Nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần x0 ta nên dùng công thức nội suy Newton tiến, nếu cần tính gần đúng f (x) tại x gần xn ta nên dùng công thức nội suy Newton lùi thì độ chính xác cao hơn." về lý thuyết là chưa thuyết phục. 2.2. Phân tích qua các bài toán cụ thể Trong mục này, tác giả sử dụng phần mềm Maple 16 để tính gần đúng giá trị của f (x) bằng công thức nội suy Newton tiến và công thức nội suy Newton lùi. Từ đó đánh giá sai số của công thức trong từng trường hợp cụ thể. Trong các bài toán sau, các kết quả được làm tròn đến 15 chữ số sau dấu chấm thập phân. 2.2.1. Các bài toán lượng giác, lượng giác ngược Bài toán 2.1. Cho f (x) = sin(πx) trên [0; 1] với 15 mốc nội suy cách 1 đều xi = 0 + ih, h = , i = 0, . . . , 15. 15 16  1) Tính gần đúng f    1 99 , f trực tiếp từ biểu thức f (x) = 100 100 sin(πx). 2) Xây dựng đa thức nội suy Newton tiến P (x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên. 3) Xây dựng đa thức nội suy Newton lùi Pe(x) với 15 mốc nội suy cách đều ở trên.   1 4) Tính gần đúng f bằng cách áp dụng: 100 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P . e e b) Công thức nội suy Newton  lùi P (x) và chỉ ra sai số ∆P . 99 5) Tính gần đúng f bằng cách áp dụng: 100 a) Công thức nội suy Newton tiến P (x) và chỉ ra sai số ∆P . b) Công thức nội suy Newton lùi Pe(x) và chỉ ra sai số ∆Pe. Lời giải.  1 ≈ 0.031410759078128 1) Ta có f 100   99 f ≈ 0.031410759078128. 100 2) Lập đa thức nội suy Newton tiến P (x) của hàm số f (x) = sin(πx)  với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]:   t P (x) = P = −3.474640026 × 10−21 t14 + 3.648372031 × 10−19 t13 15 −2.921120157 × 10−18 t12 − 8.042480059 × 10−16 t11 −5.72660740 × 10−16 t10 + 2.141909957 × 10−12 t9 −3.41862489 × 10−14 t8 − 3.507183876 × 10−9 t7 −6.36185 × 10−13 t6 + 0.000003358242421t5 −3.19587 × 10−12 t4 − 0.001531174155t3 −1.5625 × 10−12 t2 + 0.2094395102t. 3) Lập đa thức nội suy Newton lùi Pe(x) của hàm số f (x) = sin(πx) với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1]: 17   t Pe(x) = Pe 1 + = −3.474640026 × 10−21 t14 15 −3.648372028 × 10−19 t13 − 2.921120118 × 10−18 t12 +8.042480076 × 10−16 t11 − 5.72660699 × 10−16 t10 −2.141909957 × 10−12 t9 − 3.41862364 × 10−14 t8 +3.507183876 × 10−9 t7 − 6.36185 × 10−13 t6 −0.000003358242421t5 − 3.19587 × 10−12 t4 +0.001531174155t3 − 1.5625 × 10−12 t2 − 0.2094395102t.   1 4) Tính gần đúng f bằng cách áp dụng: 100   1 = 0.031410759072201. a) P 100 Sai sốmắcphải ∆P = 10−12 × 5.927. 1 b) Pe = 0.031410753331442. 100 Sai số mắc phải ∆Pe= 10−9  × 5.746686. 99 5) Tính gần đúng f bằng cách áp dụng: 100   99 a) P = 0.031410753289691. 100 Sai sốmắcphải ∆P = 10−9 × 5.788437. 99 b) Pe = 0.031410759072201. 100 Sai số mắc phải ∆Pe = 10−12 × 5.927. Nhận xét 2.1. Sử dụng công thức nội suy Newton tiến, công thức nội suy Newton lùi để tính gần đúng f (x) = sin(πx) với 15 mốc nội suy cách đều trên [0; 1] ta thấy: 1 - Với x = gần x0 thì công thức nội suy Newton tiến cho ta kết 100 quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton lùi. 99 gần x15 thì công thức nội suy Newton lùi cho ta kết - Với x = 100 quả có độ chính xác cao hơn công thức nội suy Newton tiến. Như vậy, trong bài toán này để tính gần đúng f (x) khi x gần x0 sử dụng công thức nội suy Newton tiến tốt hơn công thức nội suy Newton
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan

Tài liệu vừa đăng