Tài liệu Về nửa nhóm số hầu đối xứng với bội 5

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI 5 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2020 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHẠM THỊ THƠM VỀ NỬA NHÓM SỐ HẦU ĐỐI XỨNG VỚI BỘI 5 Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 84.60.104 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. NGUYỄN THỊ DUNG THÁI NGUYÊN - 2020 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng luận văn này là hoàn toàn trung thực và không trùng lặp với các luận văn trước đây. Các thông tin, tài liệu trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 9 năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học PGS.TS. NGUYỄN THỊ DUNG i Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Nguyễn Thị Dung, giảng viên Trường Đại học Nông Lâm- Đại học Thái Nguyên. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Cô. Trong suốt quá trình làm luận văn, Cô đã dành nhiều thời gian và công sức để chỉ bảo hướng dẫn tôi từ những điều nhỏ nhặt nhất tới những vấn đề khó khăn Cô vẫn luôn kiên nhẫn, tận tình quan tâm giúp đỡ tôi để hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo của Viện Toán học và Đại học Thái Nguyên, những người đã tận tình giảng dạy và khích lệ, động viên tôi vượt qua những khó khăn trong học tập. Tôi xin cảm ơn ban lãnh đạo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Khoa Sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã giúp đỡ, động viên, ủng hộ tôi để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình. Thái Nguyên, ngày 10 tháng 9 năm 2020 Học viên PHẠM THỊ THƠM ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Số Frobenius và tập Apéry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phân loại các nửa nhóm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Nửa nhóm số đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Nửa nhóm số giả đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5 18 2.1 Đặc trưng nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5 . . . . . . . . . . . 18 2.2 Iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm số hầu đối xứng bội 5 . . . 25 2.2.1 Vành nửa nhóm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2.2 Đặc trưng của iđêan định nghĩa của vành nửa nhóm hầu đối xứng bội 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tài liệu tham khảo 28 36 iii Mở đầu Cho nửa nhóm số H = hn1 , . . . , nr i = {c1 n1 + c2 n2 + . . . + cr nr | 0 6 ci ∈ Z} hữu hạn sinh bởi các số nguyên dương {n1 , . . . , nr }. Khi đó ta nói rằng r là chiều nhúng, n1 là bội của H với kí hiệu tương ứng là emb(H) và e(H). Tập các khoảng trống là tập G(H) = N \ H và số g(H) =| G(H) | gọi là giống của H. Số Frobenius, ký hiệu bởi F(H), là số nguyên lớn nhất không thuộc H. Số nguyên x là giả Frobenius nếu x ∈ / H và x + h ∈ H, với mọi h ∈ H \ {0} và tập tất cả các số giả Frobenius của H được ký hiệu là PF(H), số phần tử của tập PF(H) được gọi là kiểu của H, ký hiệu bởi t(H). Trong lý thuyết nửa nhóm số, có ba lớp quan trọng được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất là nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng và hầu đối xứng. Cho trước một nửa nhóm số bất kỳ, việc xác định xem chúng thuộc loại nào là một bài toán khá phức tạp. Nhiều tác giả đã nghiên cứu về nửa nhóm số với chiều nhúng 3 và việc phân loại các nửa nhóm số giả đối xứng với chiều nhúng 3 đã được mô tả tường minh trong [5], [13]. Ta cũng đã có phân loại của tất cả nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng là 4 với bội 6 4, nghĩa là nửa nhóm số có dạng H = ha, b, c, di với a 6 4. Nếu a = 4 thì t(H) = 3 và H là hầu đối xứng nếu và chỉ nếu sau khi thay đổi các biến ta có b = 2α + β + 1, c = 2β + 2, d = 2α + 3β − 1, trong đó α là số nguyên dương và β là số nguyên dương chẵn bất kỳ (xem [12, Định lý 2.6] và [14]). Trường hợp nửa nhóm số hầu đối xứng có chiều nhúng 4 với bội a = 5, nghĩa là nửa nhóm số có dạng H = h5, b, c, di, nhờ công trình của H. Nari, T. Numata and K. Wanatabe [14], ta có thể tính được tường minh các số b, c, d (sau khi hoán vị nếu cần thiết) thỏa mãn những điều kiện nhất định và thu được các nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng. Cho k là một trường. Khi đó vành nửa nhóm số k[H] liên kết với H là đại số 1 con của vành đa thức k[t] được sinh bởi các đơn thức t ni , hay k[H] = k[t n1 , . . . ,t nr ]. Cho R := k[x1 , . . . , xr ] là vành đa thức r biến trên k, đặt I = IH là hạt nhân của toàn cấu tự nhiên ϕ : R → S := k[H] định nghĩa bởi ϕ(xi ) = t ni , với 0 6 i 6 r. Nếu ta xem R và S như là các vành phân bậc bởi S0 = R0 = k, degt = 1 và deg xi = ni , với mọi 1 6 i 6 r thì với phân bậc này, I là iđêan thuần nhất sinh bởi các nhị thức và được gọi là iđêan định nghĩa của H và vành S ⊂ k[t] có biểu diễn như là thương của R/I. Vành nửa nhóm số có thể được xem là một trong những cây cầu nối giữa Số học và Đại số, rất nhiều tính chất của nửa nhóm số được phản ánh bởi những tính chất đại số của vành nửa nhóm liên kết với chúng. Đặc biệt, có nhiều nghiên cứu về tính chất đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng của H thông qua số phần tử sinh của iđêan định nghĩa I (xem [4], [7], [8], [12], [13],...). Ký hiệu µ(I) là số phần tử sinh của I. Khi chiều nhúng r = 3, J. Herzog [8] đã đưa ra đặc trưng đầy đủ về iđêan định nghĩa I và ông đã chứng minh rằng µ(I) 6 3. Khi r = 4 và H là nửa nhóm giả đối xứng, iđêan định nghĩa I cũng đã được mô tả chi tiết bởi H. Bresinsky [4] với kết quả chính là µ(I) 6 5. Mục đích của luận văn là tìm hiểu về nửa nhóm số hầu đối xứng với bội 5 và chiều nhúng 4. Các kết quả của chương này được viết dựa theo bài báo của H. Nari, T. Numata and K. Wanatabe trong [14]. Cấu trúc của luận văn gồm hai chương. Chương 1 dành để nhắc lại các kết quả về số Frobenius, giả Frobenius, tập Apéry và mối liên hệ giữa các khái niệm này. Trong chương 1, việc phân loại thành các lớp nửa nhóm số đối xứng, giả đối xứng, hầu đối xứng chứa nhau và đặc trưng của chúng cũng đã được đưa ra và chứng minh chi tiết. Chương 2 chứng minh lại các kết quả chính của H. Nari, T. Numata and K. Watanabe trong bài báo [14]. Mục 1 dành để chứng minh chi tiết đặc trưng của các nửa nhóm số có bội là 5 và chiều nhúng 4. Kết quả chính của Mục 2 là hệ quả của Mục 1, đó là tính được tường minh iđêan định nghĩa I của vành nửa nhóm số k[H], qua đó tính được µ(I) = 5 nếu H là giả đối xứng và µ(I) = 6 nếu H là hầu đối xứng với t(H) = 3. Phần kết luận của luận văn tổng kết một số công việc đã thực hiện. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Số Frobenius và tập Apéry Ký hiệu Z và N tương ứng là tập các số nguyên và số nguyên không âm. Ta nói rằng tập H ⊂ N là nửa nhóm nếu 0 ∈ H và H + H ⊆ H. Cho H là nửa nhóm trên N. Nếu tồn tại số r > 0 và n1 < . . . < nr ∈ N sao cho H = Nn1 + . . . + Nnr = {k1 n1 + . . . + kn nr |ki ∈ N} thì ta nói rằng H được sinh bởi n1 , . . . , nr . Ta cũng nói rằng H là sinh tối thiểu bởi n1 , . . . , nr nếu các tập con thực sự của tập {n1 , . . . , nr } không sinh ra H. Khi đó ta nói rằng emb(H) = r là chiều nhúng, e(H) = n1 là bội của H, tập các khoảng trống là G(H) = N \ H và số g(H) =| G(H) | là giống của H. Khi đó ta ký hiệu H = hn1 , . . . , nr i và nếu N \ H là tập hữu hạn thì ta nói rằng H là nửa nhóm số. Ta có kết quả sau đây. Định lý 1.1.1. Cho r > 2 và H = hn1 , . . . , nr i. Khi đó gcd(n1 , . . . , nr ) = 1 nếu và chỉ nếu N \ H là tập hữu hạn. Chứng minh. Giả sử rằng N \ H là tập hữu hạn. Ta đặt gcd(n1 , . . . , nr ) = d. Khi đó mọi số thuộc tập H đều chia hết cho d nên nếu d > 1 thì mọi số tự nhiên có dạng kd + 1, với k ∈ N, đều không thuộc tập H, dẫn đến N \ H là tập vô hạn, suy ra mâu thuẫn. Vậy d = 1. Ngược lại, giả sử r = 2, tức là H = hn1 , n2 i và gcd(n1 , n2 ) = 1. • Trường hợp nếu n1 = 1 hoặc n2 = 1 thì H = {k1 n1 + k2 n2 |ki ∈ N} = N. Do đó N \ H = 0/ là tập hữu hạn. • Trường hợp n1 > 1 và n2 > 1. Theo định lý Bezout, tồn tại các số nguyên tố 3 cùng nhau s1 , s2 sao cho s1 n1 + s2 n2 = 1. Ta có thể giả sử rằng s1 > 0 và s2 < 0. Cho k > 0 là số nguyên đủ lớn, ta có thể viết k = qn2 + t, trong đó 0 ≤ t < n2 , vì vậy k = qn2 + t(s1 n1 + s2 n2 ) = ts1 n1 + (q + ts2 )n2 . Vì k là đủ lớn nên ta có (q + ts2 ) > 0, kéo theo k ∈ H. Do đó N \ H là tập hữu hạn. Lập luận tương tự với trường hợp r > 2. Từ Định lý 1.1.1, ta thấy rằng H = hn1 , . . . , nr i là nửa nhóm số khi và chỉ khi gcd(n1 , . . . , nr ) = 1. Ta nhắc lại một số định nghĩa và tính chất cơ sở của số Frobenius, giả Frobenius và tập Apéry (xem [1], [3]). Định nghĩa 1.1.2. (i) Số Frobenius, ký hiệu bởi F(H), là số nguyên lớn nhất không thuộc H. (ii) Ta nói rằng số nguyên x là giả Frobenius nếu x ∈ / H và x + h ∈ H, với mọi h ∈ H \ {0}. Ta ký hiệu PF(H) là tập các số giả Frobenius của H PF(H) = {x ∈ / H | x + h ∈ H, ∀ 0 6= h ∈ H} = {x ∈ / H | x + ni ∈ H, ∀i = 1, . . . , r}. (iii) Kiểu của H, ký hiệu bởi t(H), là số phần tử của tập PF(H). (iv) Cho n 6= 0 là một phần tử thuộc H. Tập Apéry ứng với n của H là tập Ap(H, n) = {h ∈ H | h − n ∈ / H}. Chú ý 1.1.3. (i) F(H) là số lớn nhất trong tập PF(H). Thật vậy, giả sử ngược lại F(H) ∈ / PF(H). Khi đó tồn tại h ∈ H \ {0} sao cho F(H) + h ∈ / H. Nhưng điều này mâu thuẫn với tính cực đại của định nghĩa số F(H). Do đó F(H) là số lớn nhất trong tập PF(H). (ii) Cho 6H là một quan hệ hai ngôi xác định trên H như sau: với d, d 0 ∈ Z, ta viết d 6H d 0 nếu d 0 − d ∈ H. Khi đó (Z, ≤H ) là một tập sắp thứ tự từng phần và PF(H) là tập gồm các phần tử cực đại của Z \ H theo quan hệ ≤H . (iii) Với mỗi nửa nhóm số H, ta ký hiệu tập g − H = {F(H) − h | h ∈ H}. Khi đó H và g − H là không giao nhau vì F(H) − h ∈ g − H, nếu F(H) − h ∈ H thì (F(H) − h) + h = F(H) ∈ H, vô lý (xem [5]). (iv) Số Frobenius là số duy nhất thuộc cả hai tập PF(H) và tập g − H. Thật vậy, theo ý (i), ta đã có F(H) là số lớn nhất thuộc tập PF(H). Mặt khác, ta có 4 F(H) = F(H) − 0 ∈ g − H. Lấy bất kỳ phần tử x ∈ g − H và x 6= F(H), khi đó tồn tại 0 < h ∈ H sao cho x = F(H) − h. Do đó ta có x + h = F(H) ∈ / H, suy ra x∈ / PF(H). (xem [5]). Ví dụ 1.1.4. (1) Cho nửa nhóm H = h5, 6i. Khi đó ta được F(H) = 19, và PF(H) = 19 = {F(H)} do đó t(H) = 1 và G(H) = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19} do đó g(H) = 10. Tập g − H = {1, 2, 3, 4, 7, 8, 9, 13, 14, 19}. Ta thấy ngay rằng G(H) = g − H và F(H) ∈ PF(H) cũng như F(H) ∈ g − H. Tập Apéry là Ap(H, 5) = {0, 6, 12, 18, 24}. x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 (2) Cho H = h4, 7, 9i. Khi đó F(H) = 10, PF(H) = {5, 10} ⊃ {F(H)} nên t(H) = 2 và tập các khoảng trống G(H) = {1, 2, 3, 5, 6, 10} do đó g(H) = 6. Ta thấy tập g − H = {1, 2, 3, 6, 10}, do đó F(H) ∈ PF(H) cũng như F(H) thuộc g − H. Tập Apéry Ap(H, 4) = {0, 7, 9, 14}. x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (3) Cho H = h5, 9, 11, 17i . Khi đó F(H) = 13, PF(H) = {6, 12, 13} nên t(H) = 3 và G(H) = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 13}, do đó g(H) = 9. Ta tìm được tập g − H = {2, 3, 4, 8, 13} . Rõ ràng rằng F(H) = 13 thuộc cả hai tập PF(H) và 5 g − H. Tập Apéry là Ap(H, 5) = {0, 9, 11, 17, 18}. x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Kết quả sau cho ta mối liên hệ giữa tập Apéry và các số Frobenius, giả Frobenius. Định lý 1.1.5. Cho H = hn1 , . . . , nr i là nửa nhóm số. Khi đó ta có (i) Ap(H, n1 ) = {w0 , . . . , wn1 −1 }, trong đó wi là phần tử nhỏ nhất của H sao cho wi ≡ i (mod n1 ) với mọi i = 0, . . . , n1 − 1. (ii) F(H) = max{s − n1 |s ∈ Ap(H, n1 )}. (iii) PF(H) = {w − n1 |w ∈ max ≤H (Ap(H, n1 ))}. Chứng minh. (i) Trước hết, ta chứng minh wi ∈ Ap(H, n1 ) với i = 0, . . . , n1 − 1. Giả sử ngược lại, nghĩa là tồn tại chỉ số i ∈ {0, . . . , n1 − 1} sao cho wi − n1 ∈ H. Vì thế cả wi − n1 và wi ∈ H đều đồng dư với i (mod n1 ) và wi − n1 < wi , dẫn đến mâu thuẫn với định nghĩa của wi . Do đó Ap(H, n1 ) có ít nhất n1 phần tử. Bây giờ để chứng minh khẳng định ta chỉ cần chỉ ra rằng Ap(H, n1 ) có chính xác n1 phần tử. Giả sử rằng card(Ap(H, n1 )) > n1 . Khi đó tồn tại hai phần tử s1 < s2 trong tập Ap(H, n1 ) sao cho cả s1 < s2 đều đồng dư với i (mod n1 ) với chỉ số i nào đó trong tập {0, . . . , n1 − 1}, nghĩa là s2 = s1 + kn1 , với k > 0.Vì vậy s2 6∈ Ap(H, n1 ), dẫn đến điều vô lý. (ii) Ta đặt ϕ := max{s − n1 |s ∈ Ap(H, n1 )}. Theo định nghĩa của tập Apéry ta có ϕ ∈ / H. Vì thế để chứng minh F(H) = ϕ, ta chỉ cần chỉ ra rằng nếu h ∈ N sao cho h > ϕ thì h ∈ H. Lấy i ∈ {0, . . . , n1 − 1} sao cho h ≡ i (mod n1 ). Khi đó ta có thể viết h = wi + αn1 = (wi − n1 ) + (α + 1)n1 , trong đó α ∈ Z. Vì wi ∈ H và từ h > wi − n1 , ta có (α + 1) > 0 và vì thế α ≥ 0, điều này kéo theo h ∈ H. (iii) Cho u ∈ PF(H), ta chứng minh u ∈ {w − n1 |w ∈ max ≤H (Ap(H, n1 ))}. Vì 0 < n1 ∈ H và u ∈ PF(H) nên theo định nghĩa ta được u + n1 ∈ H. Hơn nữa vì u + n1 − n1 = u ∈ / H nên u + n1 ∈ Ap(H, n1 ). Do đó tồn tại w ∈ Ap(H, n1 ) sao cho 6 u + n1 = w. Giả sử tồn tại w0 ∈ Ap(H, n1 ) sao cho w ≤H w0 . Khi đó w0 − w ∈ H hay w0 − u − n1 ∈ H. Nếu 0 < w0 − u − n1 ∈ H thì u + (w0 − u − n1 ) = w0 − n1 ∈ H suy ra mâu thuẫn. Vậy w0 − u − n1 = 0 hay w0 = u + n1 = w. Do đó nếu w thuộc max ≤H (Ap(H, n1 )) thì u = w − n1 . Ngược lại, lấy w ∈ max ≤H (Ap(H, n1 )), ta chứng minh u = w − n1 thuộc PF(H). Vì w ∈ Ap(H, n1 ) nên theo định nghĩa, ta có w − n1 ∈ / H. Giả sử tồn tại phần tử 0 < h ∈ H sao cho w − n1 + h = w + h − n1 ∈ / H. Do w + h ∈ H nên theo định nghĩa ta có w + h ∈ Ap(H, n1 ). Hơn nữa, ta lại có w + h − w = h ∈ H nên suy ra w ≤H w + h. Do tính cực đại của w nên ta phải có w = w + h hay h = 0, mâu thuẫn. Vậy với mọi 0 6= h ∈ H, ta có w − n1 + h ∈ H hay u = w − n1 ∈ PF(H). Hệ quả 1.1.6. Với mỗi i = 0, . . . , n1 − 1, ta đặt Hi = {s ∈ H|s ≡ i (mod n1 )}. Khi đó H là hợp không giao nhau của các tập H0 , . . . Hn1 −1 . Chứng minh. Ta có ngay kết quả theo Định lý 1.1.5, (i). Hệ quả 1.1.7. Cho r = 2 và giả sử rằng n1 , n2 là các số nguyên tố cùng nhau. Khi đó F(H) = (n1 − 1)(n2 − 1) − 1. Chứng minh. Ta chứng minh theo phương pháp tổ hợp bằng cách sử dụng tập Apéry. Cho s ∈ Ap(H, n1 ) là phần tử khác không. Theo định nghĩa của tập Apéry, ta có s = kn2 với k ∈ N và 0 < k < n1 . Vì n1 , n2 là các số nguyên tố cùng nhau nên ta có in2 6≡ jn2 (mod n1 ) với mọi 0 < i < j < n1 . Cho 0 < j < n1 và giả sử rằng jn2 ∈ / Ap(H, n1 ). Khi đó jn2 − n1 ∈ H, suy ra tồn tại 0 ≤ i < j < n1 và k ∈ N sao cho jn2 − n1 = in2 + kn1 , hay jn2 − in2 = (k + 1)n1 , điều này kéo theo in2 ≡ jn2 (mod n1 ). Do đó i = j, dẫn đến mâu thuẫn. Vậy jn2 ∈ Ap(H, n1 ) với mọi 0 < j < n1 . Suy ra Ap(H, n1 ) := {0, n2 , . . . , (n1 − 1)n2 }. Vì vậy F(H) = (n1 − 1)(n2 ) − n1 = (n1 − 1)(n2 − 1) − 1. Mệnh đề 1.1.8. Cho H là nửa nhóm số. Khi đó ta luôn có 2g(H) > F(H) +t(H). Chứng minh. Ta định nghĩa tập N(H) := {h ∈ H | h < F(H)}. Rõ ràng rằng nếu h ∈ N(H), thì F(H)−h ∈ / H, và nếu f ∈ PF(H), f 6= F(H) thì F(H)− f ∈ / H. Khi đó ánh xạ ϕ : N(H)∪[PF(H)\{F(H)}] → G(H) cho bởi ϕ(h) = F(H)−h là đơn 7 ánh. Mặt khác vì | N(H) |= F(H) + 1 − g(H) và | [PF(H) \ {F(H)}] |= t(H) − 1 nên ta có | N(H)∪[PF(H)\{F(H)}] |6| G(H) | hay F(H)+1−g(H)+t(H)−1 6 g(H). Vì thế nếu H là nửa nhóm số thì ta luôn có bất đẳng thức 2g(H) > F(H) + t(H). 1.2 Phân loại các nửa nhóm số Theo Mệnh đề 1.1.8, nếu H là nửa nhóm số thì ta luôn có kết quả là hai lần giống của H luôn lớn hơn hoặc bằng tổng của số Frobenius và kiểu của H. Vậy khi nào thì dấu "=" xảy ra? Kiểu của H có ảnh hưởng như thế nào tới cấu trúc của nó? Trong mục này ta sẽ phân loại các nửa nhóm số thành các lớp chứa nhau không những thỏa mãn dấu đẳng thức trên mà còn có kiểu đặc biệt như t(H) = 1 hoặc t(H) = 2. 1.2.1 Nửa nhóm số đối xứng Định nghĩa 1.2.1. Một nửa nhóm số H được gọi là đối xứng nếu với mỗi số nguyên x ∈ Z, hoặc x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H. Chú ý 1.2.2. (i) Nếu H đối xứng thì F(H) là số lẻ. Thật vậy, giả sử ngược lại, F(H) F(H) là số chẵn, tức là F(H)/2 ∈ Z. Nếu ∈ / H thì do H đối xứng nên 2 F(H) F(H) F(H) − ∈ H. Suy ra ∈ H. Do đó F(H) ∈ H, vô lý. Vậy F(H) là số 2 2 lẻ. (ii) Theo Chú ý 1.1.3, (iii) và định nghĩa, ta có H là đối xứng tương đương với H ∪ (g − H) = Z. Nửa nhóm số đối xứng có những tính chất đẹp đẽ sau. Định lý 1.2.3. Cho H là nửa nhóm số và tập Apérylà Ap(H, n1 ) = {0 = w1 < w2 < . . . < wn1 }. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) H là đối xứng. 8 (ii) wi + wn1 −i+1 = wn1 , với mọi 1 6 i 6 n1 . (iii) PF(H) = {F(H)} hay t(H) = 1. (iv) 2g(H) = F(H) + 1. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Theo Định lý 1.1.5, (ii) ta có F(H) = max{wi − n1 | wi ∈ Ap(H, n1 ), i = 1, ..., n1 } = wn1 − n1 . Lấy wi ∈ Ap(H, n1 ), theo định nghĩa ta có wi − n1 ∈ / H. Vì H là nửa nhóm số đối xứng nên F(H) − (wi − n1 ) ∈ H. Suy ra wn1 − n1 − (wi − n1 ) = wn1 − wi = k ∈ H hay wn1 = wi + k. Nếu k ∈ / Ap(H, n1 ) thì k − n1 ∈ H. Vì wi ∈ Ap(H, n1 ) nên wi ∈ H. Do đó wi +k −n1 ∈ H hay wn1 −n1 ∈ H (vô lý vì wn1 ∈ Ap(H, n1 )). Do đó tồn tại w j ∈ Ap(H, n1 ) sao cho k = w j , vì thế wn1 = wi + w j với ( j ∈ {1, . . . , n1 }). Mặt khác vì 0 = w1 < w2 < . . . < wn1 nên ta có thể viết wn1 = wi + wn1 −i+1 với 1 6 i 6 n1 . (ii) ⇒ (i). Lấy wi ∈ Ap(H, n1 ), theo định nghĩa ta có wi −n1 ∈ / H. Ta cần chứng minh F(H) − (wi − n1 ) ∈ H. Thậy vậy, theo (ii), ta luôn có wn1 = wi + wn1 −i+1 nên F(H) − (wi − n1 ) = wn1 − n1 − (wi − n1 ) = wn1 − wi = wn1 −i+1 ∈ H. Do đó H đối xứng theo định nghĩa. (i) ⇔ (iii). Giả sử H là nửa nhóm số đối xứng. Ta cần chứng minh t(H) = 1 hay PF(H) = {F(H)}. Theo Chú ý 1.1.3, (i), F(H) là số lớn nhất thuộc tập PF(H). Giả sử tồn tại phần tử x ∈ PF(H) và x 6= F(H). Theo định nghĩa tập giả Frobenius, ta có x ∈ / H và x + h ∈ H với mọi 0 6= h ∈ H. Vì H là đối xứng nên ta có F(H) − x = h ∈ H hay x + h = F(H) ∈ H, vô lý. Vậy x = F(H) hay F(H) là số duy nhất thuộc tập PF(H). Ngược lại, có t(H) = 1 hay PF(H) = {F(H)}. Ta cần chứng minh H là đối xứng. Giả sử ngược lại, H không đối xứng. Khi đó theo [5], số k(H) = max{x | x ∈ / H, x ∈ / g − H} luôn tồn tại. Ta sẽ chứng minh k(H) ∈ PF(H). Giả sử ngược lại, khi đó tồn tại h ∈ H nào đó sao cho k(H) + h ∈ / H. Vì tính lớn nhất của k(H) nên ta suy ra k(H) + h ∈ g − H, hay k(H) + h = F(H) − h0 , thỏa mãn h0 ∈ H. Do đó ta có 9 k(H) = F(H) − (h + h0 ) ∈ g − H, vô lý. Vậy k(H) ∈ PF(H) và k(H) 6= F(H), mâu thuẫn với giả thiết. Do đó H là đối xứng. F(H) + 1 , khi và chỉ khi F(H) 2 là số lẻ và trong tập {0, 1, . . . , F(H)}, số phần tử thuộc H bằng số phần tử không (i)⇔ (iv). Ta có 2g(H) = F(H) + 1 ⇔ g(H) = thuộc H, khi và chỉ khi nếu x ∈ / H thì F(H) − x ∈ H, khi và chỉ khi H đối xứng. 1.2.2 Nửa nhóm số giả đối xứng Định nghĩa 1.2.4. Một nửa nhóm số H được gọi là giả đối xứng nếu F(H) là số chẵn và với mỗi số x ∈ Z \ {F(H)/2}, hoặc x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H. F(H) + n1 ∈ Ap(H, n1 ). Thật vậy 2 F(H) F(H) ta sẽ chứng minh + n1 ∈ H. Giả sử ngược lại, + n1 ∈ / H. Do H 2 2 F(H) F(H) F(H) + n1 6= nên F(H) − ( + n1 ) ∈ H. Suy ra là giả đối xứng và 2 2 2 F(H) F(H) F(H) − n1 thuộc H. Do đó − n1 + n1 ∈ H. Khi đó ∈ H, vô lý. Do đó 2 2 2 F(H) F(H) F(H) F(H) + n1 ∈ H. Vì ∈ / H nên = + n1 − n1 ∈ / H. Vậy ta được 2 2 2 2 F(H) + n1 ∈ Ap(H, n1 ). 2 (ii) Theo Chú ý 1.1.3, (iii) và định nghĩa, ta có H là giả đối xứng tương đương Chú ý 1.2.5. (i) Nếu H là giả đối xứng thì với H ∪ (g − H) = Z \ {F(H)/2}. (iii) Theo Định lý 1.2.3, (i) suy ra (iii), ta thấy nếu H không là đối xứng thì k(H) là số lớn thứ hai trong tập PF(H). Hơn nữa ta suy ra 2k(H) > F(H), vì nếu x∈ / H, x ∈ / g − H thì F(H) − x ∈ / H và F(H) − x ∈ / g − H, và với mỗi x ∈ Z, có ít F(H) nhất một trong hai số x hoặc F(H) − x lớn hơn hoặc bằng . 2 Nửa nhóm số giả đối xứng được đặc trưng như sau. Định lý 1.2.6. Cho H là nửa nhóm số và F(H) là chẵn và tập Apéry là F(H) Ap(H, n1 ) = {0 = w1 < w2 < . . . < wn1 −1 = + n1 , wn1 = F(H) + n1 }. Khi 2 đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) H là giả đối xứng. (ii) wi + wn1 −i = wn1 , với mọi 2 6 i < n1 − 1. 10  F(H) , F(H) . (iii) PF(H) = 2 (iv) 2g(H) = F(H) + 2.  F(H) + n1 ∈ Ap(H, n1 ) theo 2 F(H) Chú ý 1.2.5. Ta có + n1 < F(H) + n1 = max{Ap(H, n1 )} = wn1 . Ta lấy 2 F(H) F(H) wi ∈ Ap(H, n1 ) \ { + n1 }. Khi đó wi − n1 ∈ / H và vì wi 6= + n1 nên 2 2 F(H) . Do H là nửa nhóm số giả đối xứng nên F(H) − (wi − n1 ) ∈ H. wi − n1 6= 2 F(H) Suy ra wn1 −n1 −(wi −n1 ) = wn1 −wi = w j ∈ H, trong đó w j 6= +n1 (vì nếu 2 F(H) F(H) F(H) w j = wn1 −wi = +n1 thì (F(H)+n1 )−wi = +n1 , suy ra wi = , 2 2 2 F(H) ∈ / H). Vậy, ta có wi + wn1 −i = wn1 , với dẫn đến vô lý vì wi ∈ H trong khi 2 2 6 i < n1 − 1. F(H) (ii) ⇒ (i). Lấy x ∈ Z sao cho x ∈ / H và x 6= . Chứng minh F(H) − x ∈ H. 2 Thật vậy lấy w ∈ Ap(H, n1 ) sao cho w ≡ x (mod n1 ), nghĩa là w = x + kn1 với Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Do H là giả đối xứng nên 0 6= k ∈ N hay x = w − kn1 . Ta xét 2 trường hợp: F(H) • Nếu w = + n1 = wn1 −1 thì 2 F(H)−x = F(H)−(w−kn1 ) = F(H)−( Do x 6= F(H) F(H) +n1 −kn1 ) = +(k −1)n1 . 2 2 F(H) nên k 6= 1 do đó k ≥ 2. Suy ra 2 F(H) F(H) + (k − 1)n1 = + n1 + λ n1 ∈ H 2 2 với λ ≥ 0. Suy ra F(H) − x ∈ H. • Nếu wi 6= 0 với 2 6 i < n1 − 1 thì F(H) − x = F(H) − (wi − kn1 ) = F(H) + n1 − wi + (k − 1)n1 = wn1 − wi + (k − 1)n1 = wn1 −i + (k − 1)n1 . Từ đó F(H) − x ∈ H. Vậy cả 2 trường hợp nếu x ∈ / H thì F(H) − x ∈ H nên H là giả đối xứng theo định nghĩa. 11 (i)⇔(iii). Giả nhóm số giả đối xứng, ta cần chứng minh t(H) = 2  sử H là nửa  F(H) F(H) hay PF(H) = , F(H) . Thật vậy, vì F(H) là số chẵn nên ∈ Z. Dễ 2 2 F(H) F(H) F(H) F(H) thấy ∈ / H vì nếu ∈ H thì F(H) = + , vô lý. Ta sẽ chứng 2 2 2 2  F(H) F(H) F(H) minh ∈ PF(H). Giả sử với h ∈ H \ 0, ta có +h ∈ / H, vì H là 2 2 2 F(H) F(H) +h) thuộc H hay −h = h0 ∈ H. Nhưng khi giả đối xứng nên F(H)−( 2 2 F(H) F(H) F(H) đó = h + h0 ∈ H, vô lý. Từ đó suy ra + h ∈ H do đó ∈ PF(H). 2 2 2 F(H) Giả sử tồn tại phần tử x ∈ PF(H) mà x 6= F(H) và x 6= , theo định nghĩa 2   F(H) tập giả Frobenius ta có x ∈ / H, x + h thuộc H với mọi h ∈ H \ 0, . Vì 2 H là giả đối xứng nên F(H) − x = h thuộc H hay F(H) = x + h, vô lý. Vậy F(H) , F(H)}. PF(H) = { 2   F(H) Ngược lại, giả sử tập giả Frobenius PF(H) = , F(H) . Lấy phần tử 2 F(H) x ∈ Z sao cho x ∈ / H và x 6= . Ta sẽ chứng minh F(H) − x ∈ H. Giả sử 2 F(H) − x ∈ / H, khi đó x ∈ / g − H. Theo định nghĩa k(H) là số lớn nhất trong những số x như vậy và theo Chú ý 1.2.5, (iii), vì k(H) là số lớn thứ hai trong tập F(H) . Vì với mọi x ∈ Z, hoặc x > k(H) PF(H) nên từ giả thiết, ta có k(H) = 2 F(H) hoặc F(H) − x > k(H) và vì tính chất lớn nhất của k(H) nên ta có hoặc x = 2 F(H) hoặc F(H) = , mâu thuẫn. Vậy F(H) − x ∈ H hay H là giả đối xứng. 2 F(H) (i) ⇔(iv). Ta có 2g(H) = F(H) + 2 nếu và chỉ nếu g(H) = + 1 và F(H) 2 F(H) là số chẵn, nếu và chỉ nếu trong tập {0, 1, . . . , F(H)}, ngoại trừ số , có đúng 2 một nửa số phần tử thuộc H, nghĩa là với mọi x thuộc Z \ {F(H)/2}, hoặc x ∈ H hoặc F(H) − x ∈ H, nếu và chỉ nếu H là giả đối xứng. 1.2.3 Nửa nhóm số hầu đối xứng Khái niệm nửa nhóm số hầu đối xứng được định nghĩa bởi Barucci và Froberg trong [3]. Mục này nhắc lại một số kết quả trong [3], [12], [14]. 12 Định nghĩa 1.2.7. Một nửa nhóm số H được gọi là hầu đối xứng nếu x ∈ / H kéo theo hoặc F(H) − x ∈ H hoặc x ∈ PF(H). Chú ý 1.2.8. (i) Cho H là nửa nhóm số. Ta đặt L(H) = {x ∈ Z \ H | F(H) − x ∈ / H} . Khi đó H là hầu đối xứng nếu và chỉ nếu L(H) ⊆ PF(H). Thật vậy, giả sử rằng L(H) ⊆ PF(H). Lấy phần tử bất kỳ x ∈ Z \ H. Khi đó nếu F(H) − x ∈ / H thì x ∈ L(H), suy ra x ∈ PF(H), hay H là hầu đối xứng theo định nghĩa. Ngược lại, giả sử H là hầu đối xứng. Khi đó với mọi x ∈ L(H) ta có x ∈ / H và F(H) − x ∈ / H. Do đó theo giả thiết x ∈ PF(H), suy ra L(H) ⊆ PF(H). (ii) Từ (i), dễ thấy rằng H là đối nếu và chỉ nếu L(H) = 0, / còn H là giả  xứng  F(H) . đối xứng nếu và chỉ nếu L(H) = 2 (iii) Theo (ii), rõ ràng rằng nếu nửa nhóm số H là đối xứng hoặc giả đối xứng thì H là hầu đối xứng, nhưng điều ngược lại chưa chắc đúng. Ví dụ 1.2.9. (i) Cho nửa nhóm H = h3, 5i. Khi đó x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ta có: F(H) = 7; PF(H) = {7},t(H) = 1; G(H) = {1, 2, 4, 7} , g(H) = 4; L(H) = 0; / g − H = {1, 2, 4, 7} ; Ap(H, 3) = {w1 = 0, w2 = 5, w3 = 10} . Khi đó theo Định nghĩa 1.2.1, Chú ý 1.2.2 và Định lý 1.2.3, ta có H là nửa nhóm số đối xứng với các dấu hiệu nhận biết sau: (1) Rõ ràng với mọi x ∈ Z, ta thấy hoặc x ∈ H, hoặc F(H) − x ∈ H. (2) g − H = G(H) = {1, 2, 4, 7} ; L(H) = 0; / H ∪ g − H = Z. (3) PF(H) = {7} = {F(H)},t(H) = 1. 13 (4) 2g(H) = F(H) + 1 = 8. (5) Với mọi wi ∈ Ap(H, 3) ta có wi + w3−i+1 = w3 = 10 với mọi i = 1, . . . , 3. Vì vậy H cũng là hầu đối xứng theo Chú ý 1.2.8 (iii). (ii) Cho H = h4, 5, 7i. Khi đó x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Ta có: F(H) = 6; PF(H) = {3, 6},t(H) = 2; L(H) = {3}, k(H) = 3; G(H) = {1, 2, 3, 6} , g(H) = 4; g − H = {1, 2, 6} ; Ap(H, 4) = {w1 = 0, w2 = 5, w3 = 7, w4 = 10} . Khi đó vì F(H) = 6 ⊂ PF(H) = {3, 6} nên H không là đối xứng. Theo Định nghĩa 1.2.4, Chú ý 1.2.5 và Định lý 1.2.6, ta có H là nửa nhóm số giả đối xứng với các dấu hiệu nhận biết sau: (1) Rõ ràng với mọi 0 6= x ∈ Z\{ thuộc H. F(H) }, ta thấy hoặc x thuộc H, hoặc F(H)−x 2 F(H) = 3}; 2 (3) F(H) = 6 ∈ PF(H) = {3, 6},t(H) = 2, k(H) = 3 là số lớn thứ hai thuộc (2) g − H = {1, 2, 6} ⊂ G(H) = {1, 2, 3, 6} ; H ∪ g − H = Z \ { tập PF(H). (4) 2g(H) = F(H) + 2 = 8. (5) Với mọi wi ∈ Ap(H, 4) ta có wi + w4−i = w4 = 10 với mọi 2 6 i < 3. F(H) }. (6) L(H) = {3} = { 2 (7) L(H) = {3} ⊂ PF(H) nên H là hầu đối xứng, cộng với t(H) = 2 nên H là giả đối xứng. (iii) Cho H = h5, 7, 11, 13i. Khi đó x∈H x∈ /H ↓ ↓ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14 Ta có F(H) = 9; PF(H) = {6, 8, 9},t(H) = 3; L(H) = {1, 3, 6, 8}, k(H) = 8; G(H) = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9} , g(H) = 7; g − H = {2, 4, 9} ; Ap(H, 4) = {w1 = 0, w2 = 7, w3 = 11, w4 = 13, w5 = 14} . Khi đó vì F(H) = 9 6⊆ PF(H) = {6, 8, 9} nên H không là đối xứng, vì t(H) = 3 nên H cũng không là giả đối xứng. Theo Định nghĩa 1.2.7, Chú ý 1.2.8, ta có H không là nửa nhóm số hầu đối xứng vì: (1) Tồn tại phần tử 1 ∈ / H và 1 ∈ / PF(H) nhưng F(H) − 1 = 8 ∈ / H. (2) Tập L(H) = {1, 3, 6, 8} 6⊆ PF(H) = {6, 8, 9}. Kết quả sau được chứng minh bởi [2] và [3]. Định lý 1.2.10. Cho H là nửa nhóm số. Khi đó các mệnh đề sau là tương đương: (i) H là hầu đối xứng. (ii) 2g(H) = F(H) + t(H). Hệ quả 1.2.11. Nửa nhóm số H là giả đối xứng nếu và chỉ nếu H là hầu đối xứng với t(H) = 2. Chứng minh. Theo Chú ý 1.2.8, ta chỉ cần chứng minh chiều ngược lại. Giả sử H là hầu đối xứng và t(H) = 2. Ta đã có 2g(H) = F(H) + t(H) = F(H) + 2 (theo F(H) F(H) + 1, do đó ∈ Z. Vì F(H) ∈ / H nên Định lý 1.2.10). Suy ra g(H) = 2 2 F(H) F(H) ∈ / H. Do F(H) − ∈ / H nên theo định nghĩa nửa nhóm hầu đối xứng, 2 2 F(H) F(H) ta có ∈ PF(H). Vì thế PF(H) = {F(H), } nên H là giả đối xứng 2 2 theo Định lý 1.2.6. Ta có một đặc trưng rất quan trọng của nửa nhóm số hầu đối xứng thông qua tập Apéry và tập giả Frobenius được chứng minh bởi H. Nari [12]. Định lý 1.2.12. Cho H là nửa nhóm số và n là một phần tử khác không của H. Đặt tập Ap(H, n) = {0 < α1 < α2 < . . . < αm } ∪ {β1 < β2 < . . . < βt(H)−1 } với m = n − t(H) và PF(H) = {βi − n, αm − n = F(H) | 1 6 i 6 t(H) − 1}. Đặt fi = βi − n và ft (H) = αm − n = F(H). Các điều kiện sau là tương đương: 15