Tài liệu Về nguyên lý địa phương toàn cục cho dạng toàn phương

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM THỊ HƯƠNG VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2017 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - PHẠM THỊ HƯƠNG VỀ NGUYÊN LÝ ĐỊA PHƯƠNG - TOÀN CỤC CHO CÁC DẠNG TOÀN PHƯƠNG Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐÀO PHƯƠNG BẮC Hà Nội - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Đào Phương Bắc. Nhân dịp này, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành nhất tới Thầy. Người đã cho tôi biết muốn làm khoa học thì phải học, phải đọc như thế nào. Được làm việc dưới sự hướng dẫn của Thầy, tôi thấy mình trưởng thành hơn rất nhiều. Thầy cũng là Người đã dành nhiều thời gian, công sức để hướng dẫn, kiểm tra và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo và các thầy cô trong khoa Toán Cơ - Tin học, trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại học Quốc Gia Hà Nội về những kiến thức, những điều tốt đẹp mà tôi đã nhận được trong suốt quá trình học tập tại Khoa. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến Phòng Sau Đại học của nhà trường đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành các thủ tục trong học tập và bảo vệ luận văn này. Cuối cùng, tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè. Những người luôn bên cạnh động viên ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần trong cuộc sống và học tập. Mặc dù bản thân tôi đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn này vẫn khó tránh khỏi những thiếu sót. Vì vậy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy, cô và các bạn. Hà Nội, ngày 28 tháng 05 năm 2017 Phạm Thị Hương 1 Mục lục 1 Nguyên lý Hasse - Minkowski cho các dạng toàn 1.1 Trường p-adic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Kí hiệu Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dạng toàn phương trên Qp và trên Q . . . . . . . 1.3.1 Dạng toàn phương . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Dạng toàn phương trên Qp . . . . . . . . . 1.3.3 Dạng toàn phương trên Q . . . . . . . . . phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Các phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski cho hệ các dạng toàn phương 2.1 Phản ví dụ của Lind và Reichardt . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Phản ví dụ của Birch và Swinnerton-Dyer . . . . . . . . . . . . 2.3 Họ các phản ví dụ của W. Aitken và F. Lemmermeyer . . . . . 2.3.1 Cách tham số hóa đường conic . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Nghiệm modulo một số nguyên tố lẻ . . . . . . . . . . . 2.3.3 Nghiệm modulo lũy thừa một số nguyên tố . . . . . . . . 2.4 Mật độ các phản ví dụ của nguyên lý Hasse . . . . . . . . . . . 2.5 Lời giải một số bài tập liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 5 5 11 14 14 16 17 20 20 22 23 24 26 27 32 35 Danh mục các kí hiệu 1. P: tập hợp các số nguyên tố. 2. Fq : trường hữu hạn có q phần tử. 3. Q: trường các số hữu tỉ. 4. Z: vành các số nguyên. 5. Z/m: vành các số nguyên modulo m. 6. Zp : vành p-adic. 7. Qp : trường p-adic. 8.   9.  x p : kí hiệu Legendre của x, trong đó p là một số nguyên tố. L/K p  : kí hiệu Artin. 10. OK : vành nguyên của trường số K. 11. Gal(L/K): nhóm Galois của mở rộng K ⊂ L. 2 Lời mở đầu Cho một hệ phương trình đa thức thuần nhất với hệ số trong Q. Câu hỏi tự nhiên đặt ra là liệu hệ phương trình này có nghiệm hữu tỷ (các tọa độ đều thuộc Q) hoặc nghiệm nguyên (các tọa độ đều nguyên) hay không? Tiếp đến khi đã có nghiệm thì liệu tập nghiệm “nhiều” đến mức độ nào? Một kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này là nguyên lý địa phương-toàn cục, hay nguyên lý HasseMinkowski (đôi khi chỉ gọi đơn giản là nguyên lý Hasse). Nguyên lý khẳng định một dạng toàn phương với hệ số hữu tỷ có nghiệm không tầm thường trên Q khi và chỉ khi nó có nghiệm không tầm thường trên mọi trường p-adic Qp cũng như trên R. Câu hỏi tiếp theo được đặt ra là liệu nguyên lý Hasse còn đúng không nếu ta thay một dạng toàn phương bởi một hệ các dạng toàn phương, hoặc thay vì xét dạng toàn phương, ta xét các dạng có bậc cao hơn. Ta biết câu hỏi này sẽ có câu trả lời phủ định theo các phản ví dụ của E. Selmer (xem [10], đối với dạng bậc ba 3x3 + 4y 3 + 5z 3 = 0), hoặc hệ hai dạng toàn phương (Lind-Reichardt, tìm ra độc lập và gần như đồng thời, xem [6], [9]). Sau đó còn có nhiều phản ví dụ khác về hệ các dạng toàn phương có thể tìm thấy trong [5], [13], [8], v.v... Mục đích của luận văn là tìm hiểu chứng minh của nguyên lý Hasse và những phản ví dụ liên quan, đặc biệt là lớp các phản ví dụ của W. Aitken, F. Lemmermeyer (xem [2]). Chương 1 tác giả trình bày trình bày sơ lược về số p-adic, sơ lược chứng minh nguyên lý Hasse cho các dạng toàn phương. Vì sự phức tạp của chứng minh, tác giả cần thừa nhận khẳng định quan trọng về ký hiệu Hilbert (xem Định lý 1.2.5), sau đó trình bày công việc này trong phần chứng minh Định lý 1.3.11. Chương 2 tác giả điểm qua một số phản ví dụ của nguyên lý Hasse-Minkowski khi ta xét hệ các dạng toàn phương thay vì chỉ xét một dạng toàn phương. Mở đầu chương này tác giả trình bày phản ví dụ cổ điển của Lind và Reichardt, sau đó là phản ví dụ của Swinnerton-Dyer (xem mục 2.2). Phần chính của chương này dành cho việc trình bày họ các phản ví dụ cho bởi W. Aitken, F. Lemmermeyer (xem [2]) là mở rộng trực tiếp của phản ví dụ Lind-Reichardt. Cụ thể phản ví dụ được cho như sau. Định lý 1. Ta xét hệ phương trình diophantine có dạng   u2 − qw2 = dz 2 = v2,  uw 3 (1) trong đó (1) q ∈ P sao cho q ≡ 1(8), (2) d 6= 0, không có ước chính phương và q - d, ∗4 (3) d ∈ F∗2 q \ Fq , (4) q ∈ F4p với mọi p là ước nguyên tố lẻ của d. Khi đó hệ phương trình nói trên vi phạm nguyên lý Hasse, nghĩa là hệ có nghiệm trong Qp với mọi p ∈ P, hệ có nghiệm thực nhưng hệ không có nghiệm hữu tỉ. (Lưu ý khi nói đến nghiệm ta chỉ xét các nghiệm không tầm thường). Bổ đề 2.3.11 cho thấy điều kiện d ∈ / F∗4 q đưa ra để đảm bảo hệ phương trình không có nghiệm trên Q. Ngoài ra để chỉ ra hệ có nghiệm trên mọi trường p-adic Qp , đầu tiên ta cần khẳng định hệ có nghiệm theo mọi modulo p, hay nói cách khác hệ có nghiệm trên trường hữu hạn Fp . Điều này được trình bày ở Mục 2.3.2 cho các số nguyên tố lẻ. Tiếp đến ta cần chứng minh tồn tại nghiệm mạnh cho modulo mọi lũy thừa của p (xem Mục 2.3.3). Các điều kiện còn lại trong Định lý được đưa ra để đảm bảo sự tồn tại các nghiệm mạnh. Nhận xét rằng họ các phản ví dụ của Aitken-Lemmermeyer nhiều vô hạn theo nhận xét sau. Với d = 2, mỗi số nguyên tố q ≡ 1 (mod 8) thỏa mãn: 2 là bình phương nhưng không là lũy thừa bậc 4 modulo q (ví dụ q = 17). Bằng việc sử dụng Định lý mật độ Chebotarev cùng một số tính toán cho kí hiệu Artin, ta biết tập số nguyên tố đó là vô hạn và có mật độ 18 trong tập các số nguyên tố. Nói riêng trong [2] Aitken và F. Lemmermeyer đã cung cấp một họ vô hạn các phản ví dụ kiểu Lind-Reichardt. Chi tiết cho nhận xét được tác giả trình bày ở mục 2.4 Phần cuối của chương này tác giả trình bày lời giải một số bài tập đưa ra trong [2] và làm rõ một số lưu ý trong bài báo [2]. Hà Nội, ngày tháng năm 2017 Sinh viên Phạm Thị Hương 4 Chương 1 Nguyên lý Hasse Minkowski cho các dạng toàn phương 1.1 Trường p-adic Trong mục này tác giả điểm qua một số chi tiết trong việc xây dựng các số p-adic. Với mọi n ≥ 1, đặt An = Z/pn Z là vành các lớp số nguyên modulo pn , trong đó p là một số nguyên tố cho trước. Xét đồng cấu φn : An → An−1 , x + pn Z 7→ x + pn−1 Z. Nhận thấy đây là một toàn ánh và hạt nhân của nó là pn−1 An . Khi đó dãy các đồng cấu . . . → An → An−1 → . . . → A2 → A1 lập thành một hệ xạ ảnh với tập chỉ số là Z≥1 . Định nghĩa 1.1.1. Vành các số nguyên p-adic Zp là giới hạn xạ ảnh của hệ {(An , φn )} được cho như trên Zp = lim Z/pn . ←− 5 Nhận xét 1.1.2. Một phần tử thuộc Zp = lim(Z/pn , φn ) là một dãy hình thức ←− x = (. . . , xn , . . . , x1 ) trong đó xn ∈ Z/pn và φn (xn ) = xn−1 với n ≥ 2. Các phép toán cộng và nhân trên Zp được thực hiện trên từng tọa độ x + y = (. . . , xn + yn , . . . , x1 + y1 ), xy = (. . . , xn yn , . . . , x1 y1 ). Mệnh đề 1.1.3. (a) Một phần tử của Zp (tương ứng trong Z/pn ) là khả nghịch khi và chỉ khi nó không chia hết cho p. (b) Nếu kí hiệu Z∗p là nhóm các phần tử khả nghịch của Zp thì mọi phần tử khác 0 của Zp đều có thể viết dưới dạng pn u với u ∈ Z∗p và n ≥ 0. Chứng minh. (a) Theo giả thiết Zp = lim(Z/pn , φn ), mỗi phần tử x ∈ Zp khi và ←− chỉ khi nó có dạng x = (. . . , xn , . . . , x2 , x1 ), trong đó xn ∈ Z/pn và xn ≡ xm (mod pm ) nếu m ≤ n. Giả sử x ∈ Zp và không chia hết cho p. Thế thì x1 , x2 , . . . , không chia hết cho p. Nếu x1 6≡ 0 (mod p), thì tồn tại duy nhất y1 6= 0 (mod p) sao cho: x1 y1 ≡ 1 trong Z/p. Ta chỉ ra tồn tại y2 ∈ Z/p2 sao cho: x 1 y1 ≡ 1 (mod p2 ) và y2 ≡ y1 (mod p). Thật vậy,   x2  p ≡ x1 (mod p), - x1 , kéo theo p - x2 , suy ra (x2 , p) = 1. Vậy tồn tại y2 ∈ Z/p2 sao cho x2 y2 ≡ 1 (mod p2 ). Mặt khác, x2 ≡ x1 (mod p) ⇒ x2 = x1 + pa ⇒ (x1 + pa)y2 ≡ 1 (mod p2 ) ⇒ x1 y1 ≡ 1 (mod p) ⇒ y2 ≡ y1 (mod p). 6 Lặp lại thủ tục này ta có xn yn = 1( trong Z/pn ) và yn ≡ ym (mod pm ). (b) Với x ∈ Zp , x 6= 0, tồn tại n lớn nhất sao cho xn ≡ 0 trong Z/pn . Ta có x = pn u với u = p−n (. . . , xn+2 , xn+1 , 0, 0, . . . , 0), suy ra u - p hay u ∈ (Zp )∗ . Với x là một phần tử khác không của Zp , x = (. . . , xn , . . . , x2 , x1 ) và ta xét n là số lớn nhất sao cho xn = 0. Thế thì x = pn u với u ∈ Z∗p . Khi đó số nguyên n được gọi là định giá p-adic của x và kí hiệu là vp (x). Đặt vp (0) = ∞ và ta có vp (xy) = vp (x) + vp (y), vp (x + y) ≥ inf(vp (x), vp (y)). Trên Zp ta trang bị một tôpô tự nhiên sau: Từng không gian (Z/pn ) gồm pn điểm Q ta xét tôpô rời rạc. Khi đó Zp là tập con đóng của không gian tích n≥1 (Z/pn ) và được trang bị tôpô cảm sinh từ tôpô tích. Mệnh đề 1.1.4. (xem [11, Prop. 3, trang 12]) Tôpô trên Zp có thể định nghĩa bởi khoảng cách như sau d(x, y) = e−vp (x−y) . Không gian Zp là một không gian mêtric đầy đủ và Z trù mật trong nó. Ở đây phép nhúng từ Z vào Zp được cho bởi: a ∈ Z 7→ ([a]pn := a + pn Z)n≥1 ∈ Zp . Định nghĩa 1.1.5. Trường số p-adic, kí hiệu Qp , là trường các thương của vành Zp . Cho phương trình F (x1 , . . . , xm ) = 0, (1.1) trong đó F ∈ Z[x1 , . . . , xm ] là một đa thức thuần nhất với hệ số trong Z có bậc d dương. Một bộ gồm m tọa độ (a1 , . . . , am ) được gọi là nghiệm không tầm thường của phương trình (1.1) nếu nó thỏa mãn phương trình đó và có ít nhất một ai khác không. Một phần tử (bộ) gồm m tọa độ (a1 , . . . , am ) ∈ Zm được gọi là nguyên thủy nếu ước chung lớn nhất của a1 , . . . , am bằng 1. Tương tự, bộ (a1 , . . . , am ) ∈ Zm được gọi là một nghiệm nguyên thủy modulo N của F nếu bộ đó là nguyên thủy và thỏa mãn phương trình F (a1 , . . . , am ) ≡ 0 (mod N ). Nếu F = 0 (mod N ) có nghiệm (a1 , . . . , am ) với ai khả nghịch (modulo N ). −1 Gọi a−1 i là phần tử nghịch đảo của ai trong Z/N hay ai ai = 1 (mod N ), khi đó 7 −1 −1 −1 nhân các tọa độ của (a1 , . . . , am ) với a−1 i (modulo N ) ta được (a1 ai , . . . , ai−1 ai , 1, ai+1 ai , cũng là một nghiệm của phương trình (do phương trình thuần nhất) và −1 −1 UCLN(a1 ai−1 , . . . , ai−1 a−1 i , 1, ai+1 ai , . . . , am ai ) = 1 −1 −1 −1 nên (a1 a−1 i , . . . , ai−1 ai , 1, ai+1 ai , . . . , am ai ) là một nghiệm nguyên thủy của F = 0 (mod N ). Mệnh đề 1.1.6. (xem [2, Prop. 4, trang 624]) Cho fi ∈ Z[X1 , . . . , Xm ], i = 1, n là các đa thức thuần nhất với hệ số trong Z. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: (1) Hệ có nghiệm nguyên thủy modulo pk với mọi k. (2) Hệ có nghiệm không tầm thường trong Zp . (3) Hệ có nghiệm không tầm thường trong Qp . Chứng minh. Khẳng định (2) và (3) tương đương do hệ phương trình là thuần nhất nên tính chất nghiệm không thay đổi khi ta nhân vào nó một số khác không. (2) ⇒ (1): Giả sử (2) thỏa mãn hay phương trình có nghiệm không tầm thường (x1 , . . . , xm ) trong Zp . Gọi pk là lũy thừa lớn nhất của p chia hết xi với mọi i = 1, . . . , m. Ta chia xi cho pk với mọi i = 1, . . . , m, suy ra ta có thể giả sử tồn tại ít nhất một tọa độ khả nghịch trong Zp . Ta viết xi = (ai1 , ai2 , . . .). Khi đó, với mỗi k, bộ (a1k , . . . , amk ) là một nghiệm modulo pk . Do xi khả nghịch trong Zp , nên aik khả nghịch trong Z/pk (trong đó aik ∈ Z là một phần tử khả −1 nghịch modulo pk ). Suy ra (a1k a−1 ik , . . . , amk aik ) là nghiệm nguyên thủy modulo pk . (1) ⇒ (2): Giả sử (1) thỏa mãn. Ta cần xây dựng ck = (ck1 , . . . , ckm ) ∈ Zm sao cho (i) ck là nghiệm nguyên thủy modulo pk , (ii) ck+1 ≡ ck (mod pk ), Để chỉ ra điều này ta xét điều kiện (iii) dưới đây (iii) Với mọi λ ≥ k thì tồn tại nghiệm nguyên thủy modulo pλ đồng dư với ck modulo pk (điều kiện mở rộng vô hạn). Chúng ta sẽ chứng minh tồn tại họ ck = (ck1 , ..., ckm ) ∈ Zm thỏa mãn điều kiện (iii) bằng quy nạp theo k. 8 Đầu tiên ta chứng minh tồn tại c1 thỏa mãn điều kiện (iii). Giả sử phản chứng mỗi nghiệm nguyên thủy modulo p đều không mở rộng được ra vô hạn. Khi lấy sai khác modulo p chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên thủy modulo p. Ứng mỗi nghiệm nguyên thủy modulo p này, tồn tại λc > 0 để không tồn tại nghiệm nguyên thủy c0 modulo pλc sao cho c0 ≡ c (mod p). Khi đó ∀λ ≥ λc , cũng không tồn tại nghiệm nguyên thủy c0 (mod pλ ) sao cho c0 ≡ c (mod p). Vì chỉ có hữu hạn nghiệm sai khác modulo p nên tồn tại λ lớn hơn mọi λc . Theo giả thiết tồn tại một nghiệm nguyên thủy c ≡ c (mod pλ ) nên nghiệm c này cũng là nghiệm nguyên thủy modulo p nên mâu thuẫn. (Rõ ràng c ≡ c (mod p)). Do đó tồn tại c1 thỏa mãn điều kiện (iii). Giả sử tồn tại c1 , . . . , cu thỏa mãn ba điều kiện i) với mọi k ≤ u, ii) với mọi k < u, iii) với mọi k ≤ u. Chọn cu+1 là nghiệm nguyên thủy modulo pu+1 sao cho cu+1 ≡ cu (mod pu ) và điều kiện iii)thỏa mãn với k = u + 1. Ngược lại, nếu không tồn tại cu+1 thỏa mãn điều kiện iii) thì lặp lại lập luận ở bước k = 1 suy ra cu cũng sẽ không thỏa mãn điều kiện (iii). Theo nguyên lý quy nạp chúng ta xây dựng được một dãy c1 , c2 , . . . thỏa mãn ba điều kiện i), ii) và iii). Do đó (2) thỏa mãn. Ta chuyển sang những khẳng định liên quan đến Bổ đề Hensel. Bổ đề 1.1.7. (xem [11, trang 14]) Cho f ∈ Zp [X] và f 0 là đạo hàm hình thức của f . Đặt x ∈ Zp , n, k ∈ Z sao cho 0 ≤ 2k < n, f (x) ≡ 0 (mod pn ), vp (f 0 (x)) = k. Khi đó, tồn tại y ∈ Zp sao cho f (y) ≡ 0 (mod pn+1 ), vp (f 0 (y) = k, y≡x (mod pn−k ). Chứng minh. Đặt y = x + pn−k z, với z ∈ Zp . Áp dụng công thức khai triển Taylor ta có: f (y) = f (x) + pn−k zf 0 (x) + p2n−2k a với a ∈ Zp nào đó . Theo giả thiết f (x) = pn b và f 0 (x) = pk c, b ∈ Zp và c ∈ Z∗p , ta có tồn tại z sao cho b + zc ≡ 0 (mod p). Thật vậy c ∈ Z∗p nên tồn tại c−1 là nghịch đảo của c, chọn z = (mp − b)c−1 . Do đó với y = x + pn−k z được chọn như trên ta có f (y) = pn b + pn−k zcpk + p2n−2k a ≡ 0 (mod pn+1 ), f 0 (y) = f 0 (x) + pn−k zf ”(x) = pk c + pn−k zf ”(x) ≡ pk c (mod pn−k )( do n − k > k vì n > 2k). Thế thì vp (f 0 (y)) = k. 9 Định lý 1.1.8. (xem [11, Thm. 1, trang 14]) Cho f ∈ Zp [X1 , X2 , . . . , Xm ], x = (x1 , . . . , xm ) ∈ (Zp )m , n, k ∈ Z và j là một số nguyên sao cho 0 ≤ j ≤ m. Giả sử rằng 0 < 2k < n và f (x) ≡ 0 (mod pn ) và vp ( ∂f ) = k. ∂Xj Khi đó tồn tại một nghiệm của f trong (Zp )m sao cho f (y) = 0 trong (Zp )m và y ≡ x (mod pn−k ). Chứng minh. Đầu tiên ta xét trường hợp m = 1: Áp dụng Bổ đề trên cho: x = x(0) ∈ Zp , f (x(0) ) ≡ 0 (mod pn ), vp (f (x(0) ) = k, rút ra tồn tại x(1) ∈ Zp sao cho f (x(1) ) ≡ 0 (mod pn+1 ), vp (f 0 (x(1) ) = k, x(1) ≡ x(0) (mod pn−k ). Lặp lại lập luận này ta xây dựng được một dãy x(0) , x(1) , . . . , x(q) , . . . sao cho x(q+1) ≡ x(q) (mod pn+q−k ), f (x(q) ) ≡ 0 (mod pn+q ). Từ đó suy ra (x(i) ) là dãy Cauchy. Do Zp là đầy đủ (theo Mệnh đề 1.1.4) nên tồn tại y = lim x(n) , ta có f (y) = 0, y ∈ Zp , y ≡ x (mod pn−k ). ←− m > 1: Chúng ta sẽ đưa về trường hợp m = 1. Đặt fe ∈ Zp [Xj ] là đa thức một biến đặt được bằng cách lấy Xj = xi với i 6= j. Áp dụng trong trường hợp m = 1 cho fe suy ra tồn tại yj ≡ xj (mod pn−k ) sao cho fe(yj ) = 0. Đặt yi = xi với i 6= j suy ra y = (yi ) là nghiệm của f và y ≡ x (mod pn−k ). Cho g là một đa thức nhiều biến có hệ số trên trường k, một nghiệm x của g được gọi là đơn nếu ít nhất một đạo hàm riêng ∂g/∂Xj khác không tại x. Hệ quả 1.1.9. (xem [11, Cor. 1, trang 15]) Mọi nghiệm đơn thu gọn modulo p của đa thức f đều nâng được lên thành một nghiệm của f với hệ số trong Zp . Chứng minh. Được suy ra trực tiếp từ Định lý trên với n = 1, k = 0. Hệ quả 1.1.10. ( xem [11, Cor. 2, trang 15]) Giả sử p 6= 2. Cho f (X) = P aij Xi Xj với aij = aji là một dạng toàn phương có hệ số trong Zp với biệt thức det(aij ) khả nghịch. Cho a ∈ Zp . Khi đó mọi nghiệm nguyên thủy của phương trình f (x) ≡ a (mod p) đều có thể nâng thành một nghiệm đúng của phương trình f (x) = a. 10 Chứng minh. Vì f (X) = P aij Xi Xj nên ∂f P = 2 j aij Xj , hay ∂Xi   ∂f     a11 . . . a1n  X1    ∂X1   .    . . . . . . . . . .   .  =  .    .    .   ∂f  an1 . . . ann .   Xn ∂Xn   (1.2) Do det(aij ) 6≡ 0 (mod p), suy ra phương trình (1.2) có nghiệm duy nhất. Mặt ∂f khác nếu ≡ 0 (mod p) với mọi i = 1, . . . , m thì phương trình trên chỉ ∂xi có nghiệm tầm thường (X1 , . . . , Xm ) ≡ 0 (mod p) (mâu thuẫn với giả thiết ∂f x = (x1 , . . . , xm ) là nguyên thủy). Do đó tồn tại ít nhất 6≡ 0 (mod p) hay ∂xi nghiệm đó không phải là nghiệm đơn. Theo Hệ quả trên suy ra điều phải chứng minh. Hệ quả 1.1.11. Giả sử p = 2, f = aij Xi Xj với aij = aji là dạng toàn phương có hệ số trong Z2 và a ∈ Z2 . Giả sử thêm x là nghiệm nguyên thủy của f (x) ≡ a (mod 8). Khi đó có thể nâng x thành nghiệm đúng miễn là các đạo hàm riêng ∂f ∂Xj tại x không bị triệt tiêu modulo 4.. Điều kiện cuối cùng này được thỏa mãn nếu det(aij ) là khả nghịch. P Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lý trên với n = 3, k = 1. 1.2 Kí hiệu Hilbert Trong mục này chúng ta kí hiệu k hoặc là trường số thực R hoặc trường số p-adic Qp . Định nghĩa 1.2.1. Cho a, b ∈ k ∗ . Ta đặt (a, b) = 1 nếu z 2 − ax2 − by 2 = 0 có một nghiệm (x, y, z) 6= 0 trong k 3 . (a, b) = −1 trong các trường hợp khác. Số (a, b) = ±1 được gọi là kí hiệu Hilbert của cặp (a, b) trên k. Định lý 1.2.2. (xem [11, Thm. 1.20]) Đối với các trường thực và p-adic, ký hiệu Hilbert được cho như sau: (a) Nếu k = R, ta có   (a, b) = 1 nếu a > 0 hoặc b > 0,  (a, b) = −1 nếu a < 0 và b < 0. 11 (b) Nếu k = Qp , a = pα u, b = pβ v; u, v ∈ Z∗p , thì  β  α (a, b) = (−1)αβε(p) up . vp (a, b) = (−1)ε(u)ε(v)+αw(v)+βw(u) trong đó   u p là kí hiệu Legendre u p nếu p 6= 2, nếu p = 2, với u là ảnh của u modulo p, ε(u) = u2 − 1 u−1 , w(u) = theo modulo 2. 2 8 Chứng minh. (a): Với k = R, khẳng định trên là tầm thường. Thật vậy, giả sử √ a > 0, khi đó z 2 − ax2 − by 2 = 0 có nghiệm không tầm thường ( a, 1, 0) ∈ R3 . √ Tương tự với b > 0 phương trình có nghiệm không tầm thường ( b, 0, 1) ∈ R3 . Suy ra (a, b) = 1 nếu a > 0 hoặc b > 0. Với a < 0, b < 0, suy ra z 2 − ax2 − by 2 = 0 khi và chỉ khi x = y = z = 0, suy ra (a, b) = −1. (b): Với k = Qp , ta cần bổ đề sau. Bổ đề 1.2.3. (xem [11, Lemma, trang 21]) Cho v ∈ Z∗p , khi đó phương trình z 2 − px2 − vy 2 = 0 có nghiệm không tầm thường (z, x, y) ∈ Q3p sao cho z, y ∈ Z∗p và x ∈ Zp . Chứng minh. Do phương trình z 2 − ax2 − by 2 = 0 thuần nhất nên nếu phương trình có nghiệm không tầm thường trong Qp thì có nghiệm nguyên thủy (z, x, y) ∈ Zp × Zp × Zp . Giả sử z ≡ 0 (mod p), hoặc y ≡ 0 (mod p). Do z 2 − px2 − vy 2 = 0 kéo theo z 2 − vy 2 ≡ 0 (mod p); v ∈ Z∗p nên z 2 ≡ 0 (mod p), y 2 ≡ 0 (mod p); do p là nguyên tố nên z ≡ 0 (mod p), y ≡ 0 (mod p), suy ra px2 ≡ 0 (mod p2 ) hay x ≡ 0 (mod p). Do đó (z, x, y) không là nghiệm nguyên thủy, mâu thuẫn. Quay lại chứng minh của phần (b) của Định lý 1.2.2. Ở đây tác giả giới hạn chỉ chứng minh cho trường hợp p lẻ, trường hợp p = 2 tác giả dẫn về tài liệu [11, trang 22]. Trường hợp p 6= 2: Do ký hiệu Hilbert (·, ·) : k ∗ /(k ∗ )2 × k ∗ /(k ∗ )2 → {±1} là một dạng song tuyến tính đối xứng không suy biến trên F2 (xem [11, Prop. 2, trang 19]), nên ta chỉ cần xét ba trường hợp sau. 1) α = 0, β = 0: phương trình trở thành z 2 − ux2 − vy 2 = 0. Ta sử sụng kết quả sau 12 (1.3) Bổ đề 1.2.4. (Trường hợp riêng của Định lý Chavalley-Warning, xem [11, Corollary, trang 6])Mọi phương trình thuần nhất bậc hai có nhiều hơn hai biến trên trường hữu hạn đều có nghiệm không tầm thường. Áp dụng Bổ đề 1.2.4 suy ra phương trình (1.3) có nghiệm không tầm thường modulo p. Mặt khác dạng toàn phương  z 2 − ux2 − vy 2 = (z   z 1 0 0       x y) 0 −u 0  x  y 0 0 −v có biệt thức disc(z 2 − ux2 − vy 2 ) = uv ∈ Z∗p . Do đó mọi nghiệm của z 2 − ux2 − vy 2 = 0 (mod p) đều nâng được thành một nghiệm thực sự trên trường p−adic, hay (u, v) = 1. 2) α = 1, β = 0.   Chúng ta sẽ kiểm tra (pu, v) = vp . Do (u, v) = 1 nên (pu, v) = (p, v), suy ra ta chỉ cần kiểm tra (p, v) = ( vp ). Nếu v ∈ (Q∗p )2 thì (p, v) = 1 với mọi p, v suy ra (p, v) = ( vp ). Nếu v 6∈ Q∗,2 p , suy ra ( p ) = −1. Theo Bổ đề 1.2.3 suy ra z 2 − px2 − vy 2 = 0 không có nghiệm không tầm thường trong Qp vì ngược lại thì z 2 − vy 2 ∈ Z∗p , z, y ∈ Z∗p mà z 2 − vy 2 = px2 6∈ Z∗p , mâu thuẫn). 3) α = 1, β = 1.    Ta phải kiểm tra (pu, pv) = (−1)(p−1)/2 up vp . Ta có (a, b) = (a, −ab) = (a, (1 − a)b) với mọi a, b. Do đó (pu, pv) = (pu, −p2 uv) = (pu, −uv). Áp dụng         −1 u v −1 trường hợp trên ta có (pu, −uv) = −uv = . Mặt khác = p p p p p (−1)(p−1)/2 . Khẳng định sau đây là tổng hợp của nhiều kết quả trong số học như Định lý Trung Hoa về giá trị thặng dư, Định lý xấp xỉ yếu và Định lý Dirichlet về tính vô hạn của số nguyên tố trong cấp số cộng. Khẳng định này cũng là một chi tiết quan trọng cần đến trong chứng minh Nguyên lý Hasse-Minskowski. Định lý 1.2.5. (xem [11, Thm. 4, trang 24]) Cho (ai )i∈I là họ hữu hạn các phần tử trong Q∗ và đặt (εi,v )i∈I,v∈V là họ các số nhận giá trị ±1. Để tồn tại x ∈ Q∗ sao cho (ai , x)v = εi,v với mọi i ∈ I và với mọi v ∈ V , điều kiện cần và đủ là các điều kiện sau được thỏa mãn: i) Hầu hết mọi phần tử εi,v đều bằng 1 (tức là trừ một số hữu hạn εi,v = −1). Q ii) Với mọi i ∈ I ta có v∈V εi,v = 1. iii) Với mọi v ∈ V tồn tại xv ∈ Q∗v sao cho (ai , xv ) = εi,v với mọi i ∈ I. 13 1.3 1.3.1 Dạng toàn phương trên Qp và trên Q Dạng toàn phương Định nghĩa 1.3.1. Cho V là một môđun trên vành giao hoán A. Một ánh xạ Q : V → A được gọi là dạng toàn phương trên V nếu: 1) Q(ax) = a2 Q(x) với a ∈ A và x ∈ V . 2) Ánh xạ (x, y) 7→ Q(x + y) − Q(x) − Q(y) là một dạng song tuyến tính. Cặp (V, Q) được gọi là một môđun toàn phương. Trong mục này chỉ giới hạn với vành A là một trường k có đặc số khác 2. Ta đặt: 1 x.y = {Q(x + y) − Q(x) − Q(y)}, với x, y ∈ V. 2 Định nghĩa 1.3.2. (Ma trận của dạng toàn phương) Cho (ei )1≤i≤n là một cơ sở tùy ý của V . Ta định nghĩa ma trận của dạng toàn phương Q đối với cơ sở (ei )1≤i≤n là ma trận A = (aij ) trong đó aij = ei .ej . Nhận xét thấy ma trận A là đối xứng. Nếu chúng ta thay đổi cơ sở (e1 , . . . , en ) thành (e01 , . . . , e0n ), và ma trận A0 của Q đối với cơ sở mới là X T .A.X trong đó X T là ma trận chuyển của ma trận X. Nói riêng det(A0 ) = det(A). det(X)2 , điều này chỉ ra rằng det(A) được xác định sai khác nhân với một phần tử của k ∗2 , nó được gọi là biệt thức của Q và kí hiệu là disc(Q). Hai phần tử x, y ∈ V được gọi là trực giao với nhau nếu x.y = 0. Tập các phần tử trực giao của một tập con H của V kí hiệu là H 0 là một không gian véctơ con của V . Nếu V1 và V2 là hai không gian véctơ con của V , chúng được gọi là trực giao nếu V1 ⊂ V20 , tức là nếu x ∈ V1 , y ∈ V2 suy ra x.y = 0. Phần bù trực giao V 0 của V là chính nó được gọi là căn (hoặc là hạt nhân) của V và được hiệu rad(V ). Đối chiều của nó được gọi là hạng của Q. Nếu V 0 = 0 thì chúng ta nói rằng dạng Q không suy biến. Định lý của Witt. Cho (V, G) và (V 0 , G0 ) là hai môđun toàn phương không suy biến; đặt U là không gian véctơ con của V , và s:U →V0 14 là một đơn cấu bảo toàn các dạng Q và Q0 từ U vào V 0 . Câu hỏi đặt ra là có thể mở rộng đơn cấu s lên toàn bộ không gian U hay không. Chúng ta bắt đầu với trường hợp U không suy biến: Bổ đề 1.3.3. Nếu U là không suy biến, chúng ta có thể mở rộng s thành đơn cấu s1 : U1 → V trong đó U1 chứa U như là một siêu phẳng. Tổng quát hơn chúng ta có Định lý của Witt sau đây. Định lý 1.3.4. (xem [11, Thm. 3, trang 31]) Nếu (V, G) và (V 0 , G0 ) đẳng cấu với nhau và không suy biến thì mọi đơn cấu s : U −→ V 0 của một không gian véctơ con U của V có thể mở rộng thành đẳng cấu giữa V 0 và V. Đặt f (X) = ni=1 aii Xi2 + 2 i j và do đó ma trận A = (aij ) là đối xứng. Cặp (k n , f ) là một môđun toàn phương, tương ứng với f (hoặc với ma trận A). P P Định nghĩa 1.3.5. Hai dạng toàn phương f và f 0 được gọi là tương đương nếu các môđun toàn phương tương ứng của nó là đẳng cấu với nhau. Kí hiệu f ∼ f 0 . Cho f (X1 , X2 , . . . , Xn ) và g(X1 , . . . , Xm ) là hai dạng toàn phương; ta kí hiệu f + g là dạng toàn phương f (X1 , . . . , Xn ) + g(Xn+1 , . . . , Xn+m ), với n + m biến. Tương tự chúng ta định nghĩa f − g chính là f + (−g). Định nghĩa 1.3.6. Một dạng f (X1 , X2 ) với hai biến được gọi là hyperbolic nếu ta có f ∼ X1 X2 ∼ X12 − X22 . Chúng ta gọi dạng f (X1 , . . . , Xn ) biểu diễn một phần tử a của k nếu tồn tại x ∈ k n , x 6= 0, sao cho f (x) = a. Mệnh đề 1.3.7. (xem [11, Prop. 3, trang 33]) Nếu f biểu diễn 0 và không suy biến, ta có f ∼ f2 + g trong đó f2 là một dạng hyperbolic. Hơn nữa, f biểu diễn mọi phần tử của k. 15 Hệ quả 1.3.8. (xem [11, Cor. 2, trang 33]) Cho g và h là hai dạng không suy biến có hạng ≥ 1, đặt f = g − h. Khi đó các tính chất sau tương đương: a) f biểu diễn 0. b) Tồn tại a ∈ k ∗ được biểu diễn bởi g và h. c) Tồn tại a ∈ k ∗ sao cho g − aZ 2 và h − aZ 2 biểu diễn 0. 1.3.2 Dạng toàn phương trên Qp Cho p là số nguyên tố, k là trường p-adic Qp . Cho (V, Q) là một môđun toàn phương hạng n và d(Q) = disc(Q) là biệt thức của nó. Khi e = (e1 , e2 , . . . , en ) là một cơ sở trực giao của V , ta đặt ai = ei .ei , và rút ra d(Q) = a1 . . . an (trong k ∗ /k ∗2 ) Đặt ε(e) = i 0. Ta viết a dưới dạng a= Y v (a) p p , p Ta có fp biểu diễn 0 nên a là một bình phương trong Qp nên vp (a) là một số chẵn với mọi số nguyên tố p. Do đó a là một bình phương trong Q suy ra f 17