Tài liệu Về một số ,ở rộng đinh lý điểm bất động caristi cho ánh xạ đa trị

Môc Lôc Trang Môc lôc 1 Lêi nãi ®Çu 2 Ch­¬ng 1: Mét sè më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ 4 1.1 Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Bµi to¸n Kirk vµ më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi . . . . 10 1.3 Më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho c¸c kh«ng gian gi¸ trÞ vÐct¬ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ch­¬ng 2: Mét sè øng dông cña c¸c më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi 23 2.1 §iÓm bÊt ®éng cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Mét sè øng dông cña c¸c ®Þnh lý Caristi më réng . . . . . . . 29 KÕt luËn 37 Tµi liÖu tham kh¶o 38 1 lêi nãi ®Çu Lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng lµ mét trong nh÷ng h­íng nghiªn cøu quan träng, bëi nã cã nhiÒu øng dông trong c¸c ngµnh to¸n häc kh¸c nhau, víi rÊt nhiÒu kÕt qu¶ næi tiÕng nh­: Nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Brouwer (1912), nguyªn lý ¸nh x¹ co Banach (1922), nguyªn lý ®iÓm bÊt ®éng Schauder (1930) vµ c¸c ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng cña Caristi (1976), Kirk (1977), .... Më réng lý thuyÕt ®iÓm bÊt ®éng cho c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ, cho ®Õn nay c¸c nhµ to¸n häc ®· thu ®­îc rÊt nhiÒu kÕt qu¶ cã gi¸ trÞ. Tuy nhiªn ®©y vÉn lµ h­íng nghiªn cøu ®ang ®­îc c¸c nhµ to¸n häc quan t©m nghiªn cøu vµ høa hÑn ®¹t ®­îc nh÷ng kÕt qu¶ thó vÞ vÒ lý thuyÕt còng nh­ øng dông. Trªn c¬ së c¸c bµi b¸o point theorem cña M. A. Khamsi (2009), Remarks on Caristi's fixed Extension of Caristi's fixed point theorem to vector valued metric spaces cña R. P. Agarwal, M. A. Khamsi (2011), Applications of Caristi's fixed point results cña A. Latif, N. Hussain, M. A. Kutbi (2012), cïng c¸c tµi liÖu tham kh¶o kh¸c, d­íi sù h­íng dÉn cña NG¦T. PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n, chóng t«i ®· tiÕp cËn h­íng nghiªn cøu nµy vµ thùc hiÖn ®Ò tµi: VÒ mét sè më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ. Môc tiªu cña luËn v¨n lµ giíi thiÖu mét sè kÕt qu¶ vÒ më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ. Cô thÓ qua luËn v¨n nµy chóng t«i m« t¶ ®Æc tr­ng cña c¸c yÕu tè cùc tiÓu, tr×nh bµy bµi to¸n Kirk vÒ më réng ®Þnh lý Caristi, më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho c¸c kh«ng gian gi¸ trÞ vÐct¬, mét sè më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ, ®iÓm bÊt ®éng cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ, mét sè øng dông cña c¸c më réng ®Þnh lý Caristi. Víi môc ®Ých trªn luËn v¨n ®­îc tr×nh bµy thµnh hai ch­¬ng. Ch­¬ng 1 víi nhan ®Ò Mét sè më réng cña ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ. Trong ch­¬ng nµy, môc 1 t¸c gi¶ giíi thiÖu mét sè kiÕn thøc lµm c¬ së tr×nh bµy cña luËn v¨n. Môc 2 tr×nh bµy bµi to¸n Kirk vµ më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi. Môc 3 tr×nh bµy më réng ®Þnh lý Caristi cho c¸c kh«ng gian gi¸ trÞ vÐct¬. 2 Ch­¬ng 2 víi tiªu ®Ò Mét sè øng dông cña c¸c më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi. Trong ch­¬ng nµy, môc 1 dµnh cho tr×nh bµy ®iÓm bÊt ®éng cña c¸c ¸nh x¹ ®a trÞ. Môc 2 tr×nh bµy mét sè øng dông cña c¸c ®Þnh lý Caristi më réng. LuËn v¨n ®­îc hoµn thµnh t¹i tr­êng §¹i häc Vinh d­íi sù h­íng dÉn tËn t×nh cña thÇy gi¸o PGS. TS. TrÇn V¨n ¢n. T¸c gi¶ xin bµy tá lßng biÕt ¬n s©u s¾c nhÊt ®Õn thÇy, nh©n dÞp nµy t¸c gi¶ xin ch©n thµnh c¶m ¬n Ban chñ nhiÖm khoa To¸n, Phßng ®µo t¹o Sau ®¹i häc, quÝ thÇy, c« trong tæ Gi¶i tÝch Khoa To¸n tr­êng §¹i häc Vinh ®· gióp ®ì trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp vµ hoµn thµnh luËn v¨n. T¸c gi¶ còng xin c¶m ¬n c¸c b¹n häc viªn cao häc khãa 19 To¸n - Gi¶i tÝch t¹i tr­êng §¹i häc Vinh ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi gióp t¸c gi¶ hoµn thµnh nhiÖm vô trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp. MÆc dï cã nhiÒu cè g¾ng, song luËn v¨n kh«ng tr¸nh khái nh÷ng sai xãt. RÊt mong nhËn ®­îc nh÷ng ý kiÕn ®ãng gãp cña quÝ thÇy, c« vµ b¹n ®äc ®Ó luËn v¨n ®­îc hoµn thiÖn. NghÖ An, ngµy 28 th¸ng 08 n¨m 2013 T¸c gi¶ Hå Minh Hïng 3 ch­¬ng 1 mét sè më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho ¸nh x¹ ®a trÞ Mét sè kiÕn thøc chuÈn bÞ 1.1 1.1.1 §Þnh nghÜa. ([1]) Cho tËp hîp gäi lµ mét 1. t«p« trªn X X. Hä τ c¸c tËp con cña X ®­îc nÕu tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau φ ∈ τ, X ∈ τ. 2. NÕu U1 , U2 ∈ τ , th× U1 ∩ U2 ∈ τ . 3. NÕu Ui ∈ τ , i ∈ I , th× Ui ∈ τ . i∈I TËp hîp gian t«p« X vµ ký hiÖu lµ ®­îc gäi lµ c¸c më cïng víi mét t«p« ®iÓm trong kh«ng gian 1.1.2 cho trªn nã ®­îc gäi lµ mét hay ®¬n gi¶n lµ U kh«ng C¸c phÇn tö cña τ gäi lµ mét X tËp X . PhÇn bï cña tËp më lµ tËp ®ãng. kh«ng gian Hausdorff) tån t¹i mét l©n cËn X. cña kh«ng gian, mçi phÇn tö cña §Þnh nghÜa. ([1]) Kh«ng gian t«p« (hay lµ 1.1.3 (X, τ ) τ cña X ®­îc gäi lµ T2 -kh«ng nÕu hai ®iÓm bÊt kú kh¸c nhau x vµ l©n cËn V cña y sao cho x, y ∈ X U ∩ V = φ. X . Mét mªtric trªn X §Þnh nghÜa. ([1]) Cho tËp hîp gian lµ mét hµm d : X × X → R tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) d(x, y) ≥ 0 víi mäi x, y ∈ X 2) d (x, y) = d (y, x) víi mäi x, y ∈ X ; 3) d (x, z) ≤ d (x, y) + d (y, z) víi mäi x, y, z ∈ X . TËp hîp gian mªtric ®­îc gäi lµ X cïng víi mét mªtric vµ ký hiÖu lµ ®iÓm gi÷a hai ®iÓm vµ d d (x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y ; trªn nã ®­îc gäi lµ mét kh«ng (X, d) hay ®¬n gi¶n lµ X . Mçi phÇn tö cña X cña kh«ng gian X , sè d(x, y) ®­îc gäi lµ kho¶ng c¸ch x vµ y . 4 MÖnh ®Ò. ([1]) Gi¶ sö (X, d) lµ mét kh«ng gian mªtric, 1.1.4 xi ∈ (X, d), i = 1, 2, . . . , n. Khi ®ã ta cã d(x1 , xn ) ≤ d(x1 , x2 ) + d(x2 , x3 ) + · · · + d(xn−1 , xn ). §Þnh nghÜa. ([1]) D·y 1.1.5 gäi lµ héi tô {xn } trong kh«ng gian mªtric (X, d) ®­îc x∈X tíi ®iÓm vµ kÝ hiÖu lµ xn → x hay lim xn = x nÕu n→∞ d (x, xn ) → 0 khi n → ∞. NhËn xÐt. 1) Trong kh«ng gian mªtric (X, d), mét d·y héi tô chØ héi tô vÒ mét ®iÓm duy nhÊt. 2) NÕu §Þnh nghÜa. ([1]) Cho X lµ mét kh«ng gian mªtric. D·y {xn } trong 1.1.6 X gäi lµ mäi xn → x, yn → y th× d (xn , yn ) → d (x, y). d·y Cauchy nÕu víi mäi ε>0 tån t¹i sè n0 ∈ N sao cho víi n, m ≥ n0 ta cã d (xn , xm ) < ε. Kh«ng gian mªtric trong X 2) NÕu d·y 1.1.7 ®­îc gäi lµ ®Çy ®ñ nÕu mäi d·y Cauchy ®Òu héi tô. NhËn xÐt. 1) NÕu d·y d·y con (X, d) {xn } {xn } héi tô th× nã lµ d·y Cauchy. lµ d·y Cauchy trong kh«ng gian mªtric {xnk } héi tô vÒ ®iÓm x ∈ X §Þnh nghÜa. ([2]) Cho X th× d·y X vµ cã {xn } còng héi tô vÒ x. lµ mét kh«ng gian vÐct¬ trªn tr­êng K (thùc hoÆc phøc). Ta nãi r»ng t«p« X (hay lµ t«p« vÐct¬ τ trªn trªn X lµ t­¬ng thÝch víi víi cÊu tróc ®¹i sè X ) nÕu c¸c phÐp to¸n ®¹i sè trong X trªn ®Òu liªn tôc theo t«p« ®ã, nghÜa lµ 1) Víi mäi x1 , x2 ∈ X t¹i c¸c l©n cËn 2) Víi mäi t¹i sè vµ víi mäi l©n cËn V cña ®iÓm x1 + x2 , tån V1 cña x1 , V2 cña x2 sao cho V1 + V2 ⊂ V . x ∈ X , víi mäi α ∈ K vµ víi mäi l©n cËn V r > 0 vµ l©n cËn W cña ®iÓm β ∈ K tho¶ m·n |β − α| < r. 5 cña αx, tån x sao cho βW ⊂ V , víi mäi Kh«ng gian vÐct¬ X trªn tr­êng K ®­îc gäi lµ kh«ng gian vÐct¬ t«p« nÕu trªn nã ®· cho mét t«p« τ t­¬ng thÝch víi cÊu tróc ®¹i sè trªn §Þnh nghÜa. ([2]) Gi¶ sö 1.1.8 X X. lµ kh«ng gian vÐct¬ t«p« trªn tr­êng K (thùc hoÆc phøc). 1) X ®­îc gäi lµ l©n cËn kh«ng gian låi ®Þa ph­¬ng B cña ®iÓm 0 ∈ X nÕu nã cã mét c¬ së sao cho mäi phÇn tö cña B lµ c¸c tËp låi. 2) X ®­îc gäi lµ l©n cËn U cña kh«ng gian bÞ chÆn ®Þa ph­¬ng 0 lµ tËp bÞ chÆn. §Þnh nghÜa. ([2]) Cho 1.1.9 nÕu nã cã mét (thùc hoÆc phøc). Hµm X lµ mét kh«ng gian vÐct¬ trªn tr­êng . : X → R ®­îc gäi lµ mét chuÈn trªn X K nÕu nã tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau 1) x ≥ 0 víi mäi x ∈ X vµ 2) λx = |λ|. x x∈X 3) x+y ≤ x + y TËp hîp X NhËn xÐt. Gi¶ sö vµ ký hiÖu lµ vµ λ ∈ K; x, y ∈ X . . trªn nã ®­îc gäi lµ mét kh«ng (X, . ) hay ®¬n gi¶n lµ X . X lµ mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn, víi bÊt kú x, y ∈ X ta d(x, y) = x − y sinh bëi chuÈn víi mäi cïng víi mét chuÈn gian ®Þnh chuÈn ®Æt víi mäi x = 0 khi vµ chØ khi x = 0; trªn . Khi ®ã d lµ mét mªtric trªn X . Ta gäi d lµ mªtric X. V× kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ tr­êng hîp ®Æc biÖt cña kh«ng gian mªtric nªn tÊt c¶ c¸c kÕt qu¶ vÒ kh«ng gian mªtric còng ®óng cho kh«ng gian ®Þnh chuÈn. 1.1.10 §Þnh nghÜa. ([2]) Kh«ng gian ®Þnh chuÈn gian Banach nÕu kh«ng gian mªtric kh«ng gian ®Çy ®ñ. 6 X ®­îc gäi lµ kh«ng (X, d) víi mªtric sinh bëi chuÈn lµ §Þnh nghÜa. ([12]) Cho 1.1.11 X lµ kh«ng gian mªtric, φ=A⊂X vµ f : A → R. f Hµm ®­îc gäi lµ bÞ chÆn d­íi (bÞ chÆn trªn) trªn A nÕu tån t¹i h ∈ R sao cho f (x) ≥ h (t­¬ng øng, f (x) ≤ h) víi mäi x ∈ A. §Þnh nghÜa. ([12]) Cho 1.1.12 f : A → R vµ x0 ∈ A. Hµm f ε > 0, nÕu víi mäi tån t¹i X lµ kh«ng gian mªtric, ®­îc gäi lµ δ > 0 φ = A ⊂ X, nöa liªn tôc d­íi sao cho t¹i f (x0 ) − f (x) < ε x0 ∈ A víi mäi x ∈ B(x0 , δ), tøc lµ lim inf f (x) ≥ f (x0 ). x→x0 f NÕu nöa liªn tôc d­íi t¹i mäi ®iÓm trªn liªn tôc d­íi Hµm f nöa liªn tôc trªn f ®­îc gäi lµ nöa trªn A nÕu hµm −f lµ nöa liªn A. §Þnh nghÜa. ([12]) TËp 1.1.13 th× A. ®­îc gäi lµ tôc d­íi trªn x∈A X cïng víi quan hÖ < tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn 1) x < x víi mäi x ∈ X 2) x < y, y < x kÐo theo x = y (tÝnh ph¶n ®èi xøng). 3) x < y, y < z (tÝnh b¾c cÇu). ®­îc gäi lµ 1.1.14 thø tù lµ (tÝnh ph¶n x¹). kÐo theo x x kÐo theo x = a. 7 x∈X quan hÖ cña X a 1. Tr­íc hÕt ta ®­a ra mét vÝ dô ®Ó tr¶ lêi bµi to¸n Kirk ®Æt ra lµ kh«ng hoµn toµn ®óng. VÝ dô.([12]) Gi¶ sö ®­îc cho bëi 1 1 xn = 1 + 2 + 3 + ... + tËp hîp con ®ãng cña T :M →M M = {xn : n ≥ 1} ⊂ [0, ∞)} cho bëi [0, ∞) n ≥ 1. Khi ®ã ∞ φ(xn ) = i=n+1 lµ mét vµ v× thÕ nã ®Çy ®ñ. Ta x¸c ®Þnh ¸nh x¹ 1 = φ(x) − φ(T x), (n + 1)p 1 ip , víi mäi n ≥ 1. DÔ dµng thÊy r»ng nöa liªn tôc d­íi. H¬n n÷a ta còng cã thÓ chøng tá r»ng kh«ng në, nghÜa lµ M xn T xn = xn + 1 víi mäi n ≥ 1. Khi ®ã ta cã d(x, T x)p = trong ®ã 1 n , víi mäi trong ®ã c¸c T φ lµ hµm lµ ¸nh x¹ d(T x, T y) ≤ d(x, y), víi mäi x, y ∈ M . Vµ râ rµng T kh«ng cã ®iÓm bÊt ®éng. 1.2.7 NhËn xÐt. ([12]) MÆc dï vÝ dô trªn cho ta mét c©u tr¶ lêi phñ ®Þnh ®èi víi bµi to¸n cña Kirk, mét sè c©u tr¶ lêi bé phËn cho bµi to¸n nµy 12 còng ®· ®­îc t×m thÊy. L­u ý r»ng c¸ch tiÕp cËn ®Õn kÕt qu¶ truyÒn thèng cña Caristi lµ kh«ng cßn cã thÓ. ThËt vËy, nÕu chóng ta x¸c ®Þnh trªn kh«ng gian mªtric M mét quan hÖ x 0 vµ δ0 > 0 mµ víi mäi liªn tôc, khi ®ã tån t¹i ε0 > 0 sao η −1 ([0, ε0 ]) ⊂ [0, ε0 ]. Víi c¸c gi¶ thiÕt nµy, chóng ta cã kÕt qu¶ sau 1.2.8 §Þnh lý. ([12]) Gi¶ sö x¸c ®Þnh mét quan hÖ M lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ. Ta < trªn M cho bëi x < y khi vµ chØ khi η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x), trong ®ã η vµ φ tháa m·n tÊt c¶ c¸c gi¶ thiÕt trªn. Khi ®ã, (M, <) ph¶i cã cã mét phÇn tö cùc tiÓu x∗ , nghÜa lµ nÕu th× chóng ta x = x∗ . Chøng minh. §Æt φ0 = inf{φ(x) : x ∈ M}. Mε = {x ∈ M : φ(x) ≤ φ0 + ε}. ®Æt x < x∗ nªn Mε nÕu x, y ∈ M V× φ ε > 0, ta lµ lµ hµm nöa liªn tôc d­íi, lµ mét tËp hîp con ®ãng kh¸c rçng cña vµ Víi bÊt kú M. Còng l­u ý r»ng x < y , th× η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x), ®iÒu nµy kÐo theo φ0 ≤ φ(x) ≤ φ(y) ≤ φ0 + ε. V× thÕ η(d(x, y) ≤ ε. Sö dông ε, ε0 vµ δ0 liªn kÕt víi η (nh­ ®Þnh nghÜa 13 ë trªn), khi ®ã ta nhËn ®­îc cd(x, y) ≤ η(d(x, y)) ≤ φ(y) − φ(x) x, y ∈ Mε0 víi mäi víi x < y. §èi víi Mε0 ta x¸c ®Þnh quan hÖ míi <∗ b»ng c¸ch 1 x <∗ y ⇔ d(x, y) ≤ (φ(y) − φ(x)). c Râ rµng (Mε0 , <∗ ) lµ mét tËp hîp ®­îc s¾p thø tù bé phËn víi tÊt c¶ c¸c gi¶ thiÕt cÇn thiÕt ®Ó ®¶m b¶o cho sù tån t¹i cña mét phÇn tö cùc tiÓu ®èi víi quan hÖ <∗ . B©y giê ta sÏ thÊy r»ng x∗ ∈ M tiÓu ®èi víi quan hÖ thø tù x < x∗ . φ(x∗ ), Khi ®ã ta cã ®iÒu nµy kÐo theo ®©y, ta cã η(d(x, y) ≤ ε0 , φ(x∗ ) − φ(x) víi x <∗ x∗ . ®­îc còng lµ phÇn tö cùc < trong M . ThËt vËy, gi¶ sö x ∈ M η(d(x, x∗ )) ≤ φ(x∗ ) − φ(x). φ(x) ≤ φ0 + ε, ®iÒu nµy kÐo theo V× x∗ §Æc biÖt, ta cã nghÜa lµ x∗ x ∈ Mε0 . sao cho φ(x) ≤ Nh­ tr­íc cd(x, x∗ ) ≤ η(d(x, x∗ )) ≤ lµ cùc tiÓu trong (Mε0 , <∗ ) nªn ta nhËn x = x∗ . §Þnh lý ®­îc chøng minh. KÕt qu¶ tiÕp theo lµ mét c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh bé phËn cho bµi to¸n cña Kirk. 1.2.9 §Þnh lý. ([12]) Gi¶ sö T :M →M lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ lµ mét ¸nh x¹ sao cho víi mäi φ(x) − φ(T x), trong ®ã c¸c hµm nªu trªn. Khi ®ã Chøng minh. nhiªn, ta cã M T η vµ cã η(d(x, T x)) ≤ tháa m·n tÊt c¶ c¸c gi¶ thiÕt cã mét ®iÓm bÊt ®éng. X¸c ®Þnh mèi quan hÖ T (x) < x víi mäi x ∈ M . cùc tiÓu, th× ta cã φ x∈M < nh­ trong §Þnh lý 1.2.8. HiÓn §Æc biÖt, nÕu x∗ lµ mét phÇn tö T (x∗ ) = x∗ . §©y lµ mét kÕt qu¶ thó vÞ bëi v× quan hÖ < kh«ng lµ quan hÖ thø tù bé phËn. Do ®ã phÇn tö cùc tiÓu lµ ®iÓm bÊt ®éng qua mét ¸nh x¹ bÊt kú T , do ®ã nã kh«ng phô thuéc vµo ¸nh x¹. 1.2.10 NhËn xÐt. ([12]) L­u ý r»ng nÕu η lµ céng tÝnh d­íi th× η(x) η(h) = sup{ ; x > 0}. h→0 h x lim 14 (SA) §Ó hoµn chØnh chóng ta ®­a ra chøng minh c«ng thøc (SA). V× tÝnh d­íi, ta cã sao cho η(nx) ≤ n.η(x), víi mäi x ≥ 0 vµ n ≥ 1. 0 < h < x. x ≤ (n(h) + 1)h. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt η lµ céng Gi¶ sö h vµ x n(h) ≥ 1 sao cho n(h)h < η(x) ≤ η((n(h) + 1)h) ≤ (n(h) + 1)η(h). V× thÕ ta cã §iÒu nµy kÐo theo η(x) (n(h) + 1)η(h) (n(h) + 1)η(h) ≤ ≤ . x x n(h)h V× lim n(h) = ∞, ta ®­îc h→0 η(x) x h→0 lim sup x→0 ≤ lim inf η(h) . Râ rµng tõ ®©y ta suy ra h η(x) η(h) ≤ lim inf . h→0 n h BÊt ®¼ng thøc nµy kÐo theo sù tån t¹i cña giíi h¹n lim η(h) . h h→0 Tõ ®ã ®¼ng thøc (SA) dÔ dµng suy tõ bÊt ®¼ng thøc η(x) η(h) ≤ lim . h→0 h x Râ rµng tõ ®ång nhÊt thøc nµy ta suy ra η(h) > 0. h→0 h lim V× thÕ tån t¹i h»ng sè c>0 vµ δ0 > 0 sao cho víi mäi t ∈ [0, δ0 ] ta cã η(t) ≥ ct. Ta thu ®­îc mét kÕt qu¶ cho ¸nh x¹ ®a trÞ t­¬ng tù víi §Þnh lý 1.2.9 nh­ sau: 1.2.11 §Þnh lý. ([12]) Gi¶ sö M lµ mét kh«ng gian mªtric ®Çy ®ñ vµ T : M → P(M) lµ mét ¸nh x¹ ®a trÞ sao cho T (x) = φ víi mäi x ∈ M , tån t¹i y ∈ T (x) ®Ó η(d(x, y)) ≤ φ(x) − φ(y), tháa m·n tÊt c¶ c¸c gi¶ thiÕt trªn. Khi ®ã nghÜa lµ tån t¹i x∈M Chøng minh. sao cho trong ®ã c¸c hµm T η vµ φ cã mét ®iÓm bÊt ®éng, x ∈ T (x). B»ng c¸ch x¸c ®Þnh quan hÖ < nh­ trong §Þnh lý 1.2.8. Râ rµng ta cã víi mäi x ∈ M , tån t¹i y ∈ T (x) sao cho y < x. 15 §Æc biÖt, nÕu x∗ lµ phÇn tö cùc tiÓu cña tËp (M, <) th× ta sÏ cã x∗ = y , víi mäi y ∈ T (x∗ ) sao cho y = x∗ . Do ®ã ta cã x∗ ∈ T (x∗ ). Më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cho c¸c kh«ng gian gi¸ trÞ vÐct¬ 1.3 (V, ≤) lµ mét kh«ng gian Banach ®­îc s¾p thø tù. Nãn V+ = {v ∈ Cho V : v ≥ θ}, trong ®ã θ lµ vÐct¬ kh«ng cña V , t háa m·n c¸c tÝnh chÊt (1) V+ ∩ (−V+ ) = {θ}, (2) V+ + V+ ⊂ V+ , (3) αV+ ⊂ V+ , víi mäi α ≥ 0. C¸c kh¸i niÖm vÒ kh«ng gian mªtric gi¸ trÞ vÐct¬ dùa theo ®Þnh nghÜa sau: 1.3.1 §Þnh nghÜa. ([4]) Cho x¸c ®Þnh mét (i) (ii) (iii) kho¶ng c¸ch M lµ mét tËp hîp. nÕu d(x, y) = 0 khi vµ chØ khi x = y , d(x, y) = d(y, x) víi mäi x, y ∈ M , d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) víi mäi x, y, z ∈ M . (M, d) ®­îc gäi lµ kh«ng gian mªtric vÐct¬ (viÕt t¾t lµ vvms). CÆp 1.3.2 §Þnh lý. ([3]) Gi¶ sö trong ®ã V = RN víi (M, d) lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬, N = {n ∈ N : n ≥ 1}. Cho ¸nh x¹ T : M → M. Gi¶ thiÕt tån t¹i mét to¸n tö d­¬ng RN + ¸nh x¹ d : M × M → V tháa m·n ρ(A) < 1, trong ®ã A : RN → RN , nghÜa lµ A(RN ) ⊂ + ρ(A) lµ b¸n kÝnh phæ cña d(T (x), T (y)) ≤ Ad(x, y), víi mäi x, y ∈ M . Khi ®ã 16 A mµ (1) Tån t¹i tô ®Õn ω∈M sao cho víi mäi x0 ∈ M , quü ®¹o {T (x0 )} héi ω , vµ h¬n n÷a ta cã ∞ n n −1 Ak d(T (x0 ), ω) ≤ A (I−A) d(x0 , T (x0 )) = d(x0 , T (x0 )), k=n víi mäi (2) §iÓm ω n ≥ 1. lµ ®iÓm bÊt ®éng cña T trong M. Nh­ Caristi ®· lµm ®èi víi tr­êng hîp nguyªn lý ¸nh x¹ co Banach cæ ®iÓn, chóng t«i ®· bµn luËn vÒ ý t­ëng cña m×nh cho kh«ng gian mªtric vÐct¬. Víi c¸c gi¶ thiÕt cña §Þnh lý 1.3.2, trong ®ã V kh«ng cßn lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu víi mäi RN , chóng ta cã: d(T (x), T 2 (x)) ≤ d(x, T (x)) x ∈ M , nã kÐo theo d(x, T (x)) + d(T (x), T 2 (x)) ≤ d(x, T (x)) + Ad(x, T (x)). Do ®ã d(x, T (x)) − Ad(x, T (x)) ≤ d(x, T (x)) − d(T (x), T 2 (x)) hoÆc (I − A)d(x, T (x)) ≤ d(x, T (x)) − d(T (x), T 2 (x)). §Æt dA (x, y) = (I − A)d(x, y) tra r»ng nÕu I−A víi mäi x, y ∈ M. Khi ®ã dÔ dµng kiÓm lµ mét to¸n tö t­¬ng øng 1-1 d­¬ng, th× kho¶ng c¸ch gi¸ trÞ vÐct¬ x¸c ®Þnh trªn M. dA lµ mét V× vËy nÕu chóng ta ®Æt F (x) = d(x, T (x)), th× ta cã dA (x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x)). Nh­ Caristi ®· lµm, ng­êi ta cã thÓ tù hái víi nh÷ng gi¶ thiÕt g× trªn kh«ng gian mªtric vÐct¬ bÊt kú (M, d), ¸nh x¹ F kú T :M →M tháa m·n : M → V+ vµ ¸nh x¹ bÊt d(x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x)) víi mäi x ∈ M , cã mét ®iÓm bÊt ®éng. Chóng t«i sÏ tiÕp cËn c©u hái nµy th«ng qua thø tù Bronsted. 17 (M, d) lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬ ®Çy §Þnh lý. ([4]) Gi¶ sö 1.3.3 ®ñ trªn mét thø tù ®Çy ®ñ vµ F : M → V+ Cho bÊt kú V lµ mét dµn Banach liªn tôc ®Çy ®ñ. lµ mét ¸nh x¹ nöa liªn tôc d­íi. Khi ®ã mét ¸nh x¹ T :M →M sao cho d(x, T (x)) ≤ F (x) − F (T (x)) víi mäi x ∈ M cã mét ®iÓm bÊt ®éng. Chøng minh. Nhê ¸nh x¹ F ta x¸c ®Þnh mét thø tù trªn M nh­ sau x ≤ y ⇔ d(x, y) ≤ F (y) − F (x) víi mäi x, y ∈ M. : M → M tháa m·n d(x, T (x)) ≤ Sö dông thø tù nµy, mét ¸nh x¹ bÊt kú T F (x) − F (T (x)) víi mäi x ∈ M , sÏ cè ®Þnh mét ®iÓm cùc tiÓu nµo ®ã. V× thÕ, bµi to¸n ®iÓm bÊt ®éng chuyÓn sang bµi to¸n vÒ sù tån t¹i ®iÓm cùc tiÓu cña thø tù M. Khi ®ã ≤ trong {F (xα ); α ∈ Γ} M. α ≤ α0 V α0 ∈ Γ víi mäi sao cho α ∈ Γ. tån t¹i trong αn ∈ Γ sao cho V+ . V× lµ mét xÝc trong V lµ mét dµn Ba- v = inf{F (xα ); α ∈ Γ} tån t¹i trong V+ . F (xα0 ) = v. Gi¶ sö khi ®ã liªn tôc, nªn khi ®ã ta cã {xα ; α ∈ Γ} lµ mét xÝc trong nach ®Çy ®ñ vµ liªn tôc, khi ®ã Gi¶ sö tån t¹i Gi¶ sö Khi ®ã dÔ dµng thÊy r»ng F (xα ) = v inf α∈Γ F (xα ) − v F (xαn ) − v < 1 n . V× víi mäi = 0. α ∈ Γ. Víi mäi {xα ; α ∈ Γ} V× n ≥ 1, lµ mét xÝc M , tån t¹i βn sao cho xβn = min{xαi , i = 1, 2, ..., n} víi mäi n ≥ 1. Râ rµng {F (xβn )} lµ mét d·y gi¶m mµ nã héi tô theo chuÈn ®Õn v. V× d(xβn+1 , xβn ) ≤ F (xβn+1 ) − F (xβn ), n = 1, 2, ..., khi ®ã ta cã h−1 d(xβn+h , xβn ) ≤ h−1 d(xβn+k , xβn+k+1 ) ≤ k=1 F (xβn+k ) − F (xβn+k+1 ) k=1 hoÆc d(xβn+h , xβn ) ≤ F (xβn ) − F (xβn+h ) h−1 víi mäi n, h ≥ 1. d(xβn+1 , xβn ) V× thÕ, chuçi c¸c vect¬ d­¬ng lµ bÞ k=1 h−1 chÆn. V× V liªn tôc, khi ®ã chuçi §iÒu nµy kÐo theo d·y (M, V ) {xβn } lµ ®Çy ®ñ, th× d·y d(xβn+1 , xβn ) héi tô theo chuÈn. k=1 lµ d·y Cauchy. Bëi vËy, nÕu ta gi¶ thiÕt {xβn } héi tô ®Õn mét ®iÓm nµo ®ã 18 x ∈ M. x lµ cËn d­íi cña {xα : α ∈ Γ}. TiÕp theo ta chøng tá r»ng ¸nh x¹ nöa liªn tôc d­íi vµ d·y α ∈ Γ. F lµ mét {xβn } héi tô ®Õn ®iÓm x ∈ M , nªn ta cã F (x) ≤ lim inf F (xβn ) vµ ®Æc biÖt ta cã x ≤ xβn n→∞ ta cè ®Þnh mét V× NÕu tån t¹i víi mäi n ≥ 1.TiÕp theo n0 ≥ 1 sao cho xn0 ≤ x, th× ta sÏ cã x ≤ xα . Gi¶ sö ng­îc l¹i r»ng víi bÊt kú n ≥ 1 ta cã xα ≤ xβn , ®iÒu nµy kÐo theo F (xα ) ≤ F (xβn ) víi bÊt kú n ≥ 1. dµng suy ra r»ng V× thÕ xÝc F (xα ) = v . Nhê c¸ch x¸c ®Þnh v , ta dÔ §iÒu nµy m©u thuÉn víi lËp luËn ë trªn. {xα ; α ∈ Γ} cã cËn d­íi. Do ®ã ¸p dông Bæ ®Ò Zorn ta suy ra tån t¹i phÇn tö cùc tiÓu ®èi víi thø tù ≤ trªn M. §Þnh lý ®­îc chøng minh. L­u ý r»ng nÕu (M, d) kho¶ng c¸ch gi¸ trÞ vÐct¬ lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬ ®Çy ®ñ, th× dA (x, y) = (I − A)d(x, y), trong ®ã I−A lµ mét to¸n tö 1-1 d­¬ng, còng lµ ®Çy ®ñ. Tõ ®ã ta cã hÖ qu¶ sau 1.3.4 HÖ qu¶. ([4]) Gi¶ sö (M, d) lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬ ®Çy ®ñ trªn mét dµn Banach thø tù ®Çy ®ñ vµ liªn tôc lµ mét ¸nh x¹ liªn tôc sao cho x ∈ M, trong ®ã I −A V . Cho T : M → M d(T (x), T 2 (x)) ≤ Ad(x, T (x)) lµ mét to¸n tö 1-1 d­¬ng, th× T víi mäi cã mét ®iÓm bÊt ®éng. Chøng minh. Ta chøng minh r»ng dA (x, T (x)) = (I − A)d(x, T (x)) ≤ d(x, T (x)) − d(T (x), T 2 (x)) ®óng víi mäi x ∈ M. V× (M, dA ) ®Çy ®ñ vµ F (x) = d(x, T (x)) liªn tôc, nªn tõ §Þnh lý 1.3.3 suy ra sù tån t¹i mét ®iÓm bÊt ®éng cña T. HÖ qu¶ trªn cã thÓ ®­îc xem nh­ lµ mét sù c¶i tiÕn kÕt qu¶ chÝnh cña R. P.Agarwal in [3]. ThËt vËy, nÕu ta cã vµ A : V → V sao cho V = l2 , kh«ng gian Hilbert, A(xn ) = ((1 − εn )xn ), trong ®ã εn ∈ (0, 1) vµ lim εn = 0, th× (I − A) lµ mét to¸n tö kh«ng suy biÕn sao cho b¸n kÝnh n→∞ phæ ρ(A) = 1. TiÕp theo chóng t«i tr×nh bµy mét kÕt qu¶ t­¬ng tù nh­ ®Þnh lý c¬ b¶n cña Suzuki trong [14], mµ nã lµ tæng qu¸t hãa c¸c më réng ®· biÕt 19 cña ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi. §Þnh lý. ([4]) Gi¶ sö 1.3.5 (M, d) lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬ ®Çy ®ñ trªn mét dµn Banach liªn tôc, thø tù ®Çy ®ñ V , F : M → V+ mét ¸nh x¹ nöa liªn tôc d­íi (viÕt t¾t lµ lsc). Cho T :M →M x¹ sao cho φ(x) lµ mét to¸n tö tháa m·n V lµ ¸nh d(x, T (x)) ≤ φ(x)(F (x) − F (T (x))) víi mäi x ∈ M , trong ®ã 0 ≤ φ(x)(v) n÷a chóng ta gi¶ thiÕt r»ng tån t¹i cña lµ sao cho φ(x) ≤ A, t¹i nh÷ng khi vµ chØ khi x0 ∈ M x mµ 0 ≤ v. H¬n vµ mét to¸n tö d­¬ng F (x) ≤ F (x0 ). Khi ®ã T A cã mét ®iÓm bÊt ®éng. Chøng minh. §Æt M0 = {x ∈ M ; F (x) ≤ F (xo )}. Râ rµng ta cã M0 = ∅. V× F lµ mét ¸nh x¹ nöa liªn tôc d­íi, nªn con ®ãng cña M . Do ®ã M0 lµ mét kh«ng gian mªtric vÐct¬ ®Çy ®ñ. Râ rµng ta cã F (T (x)) ≤ F (x), víi mäi x ∈ M . M0 lµ mét tËp hîp Do ®ã ta cã T (M0 ) ⊂ M0 . NÕu chóng ta ký hiÖu T0 lµ sù thu hÑp cña T trªn M0 , khi ®ã T0 tháa m·n d(x, T (x)) ≤ A(F (x) − F (T (x))), víi mäi x ∈ Mo . Hµm gi¸ trÞ vÐct¬ míi F ∗ : M0 → V+ x¸c ®Þnh bëi F ∗ (x) = AF (x) lµ mét ¸nh x¹ nöa liªn tôc d­íi. Sö dông §Þnh lý 1.3.3 ta suy ra tån t¹i mét ®iÓm bÊt ®éng cña trong T0 M0 , khi ®ã nã còng lµ mét ®iÓm bÊt ®éng cña T . KÕt qu¶ tiÕp theo lµ t­¬ng tù nh­ ®Þnh lý c¬ b¶n ®­îc t×m thÊy trong [12], mµ nã lµ më réng ®Þnh lý ®iÓm bÊt ®éng Caristi cæ ®iÓn vµ ®­a ra c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh riªng cho bµi to¸n Kirk. Thùc sù Kirk ®· hái lµ liÖu ¸nh x¹ x ∈ M, T :M →M sao cho ®èi víi hµm d­¬ng η η(d(x, T x)) ≤ φ(x) − φ(T x), nµo ®ã, cã mét ®iÓm bÊt ®éng? Trong thùc tÕ, c©u hái ban ®Çu cña Kirk ®· ®­îc xÐt khi sè p > 1. víi mäi η(t) = tp , ®èi víi mét §Æc biÖt, mét c©u tr¶ lêi phñ ®Þnh cho bµi to¸n ®­îc ®­a ra. Ngoµi ra nã chØ ra r»ng nÕu tôc, sao cho tån t¹i η : [0, ∞) → [0, ∞) lµ kh«ng gi¶m vµ liªn c > 0 vµ δ0 > 0 mµ víi mäi t ∈ [0, δ0 ] ta cã η(t) ≥ ct, th× bµi to¸n Kirk cã mét c©u tr¶ lêi kh¼ng ®Þnh. L­u ý r»ng víi c¸c gi¶ ®Þnh trªn, v× η liªn tôc, tån t¹i ε0 > 0 sao cho η −1 ([0, ε0 ]) ⊂ [0, δ0 ]. 20