Tài liệu Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------- VŨ THỊ TUYỂN         VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP       LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC                        Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI  TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------------- VŨ THỊ TUYỂN          VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học  Mã số: 60.46.15        LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC    Người hướng dẫn khoa học:  PGS. TS Phan Viết Thư            Hà Nội 2014  MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI NÓI ĐẦU ............................................................................................ 1 Chương I. Các kiến thức cơ sở ................................................................ 3  1.1  Không gian metric ............................................................................ 3  1.2  Không gian đo và Độ đo .................................................................. 4  1.3  Độ đo Lebesgue ............................................................................... 5  1.3.1     Độ đo Lebesgue trên  .............................................................. 5  1.3.2     Độ đo Lebesgue trên k  ............................................................. 6  1.4  Hàm số đo được ............................................................................... 6  1.4.1    Cấu trúc của hàm số đo được ...................................................... 6  1.4.2   Các dạng hội tụ ............................................................................ 7  1.5       Không gian định chuẩn .................................................................. 7  1.6       Tích phân Lebesgue ....................................................................... 9  1.7  Không gian tô pô .............................................................................. 10  Chương II. Các không gian hàm ........................................................... 12  2.1       Không gian ℒ và L  .................................................................... 12  2.1.1    Không gian ℒ  .......................................................................... 12  2.1.2    Tính chất cơ bản ....................................................................... 12  2.1.3    Không gian L  .......................................................................... 13  2.1.4    Cấu trúc tuyến tính của L  ........................................................ 13  2.1.5    Cấu trúc thứ tự của L  ............................................................... 14  2.1.6    Các tính chất quan trọng của L  ................................................ 15  2.1.7    Cấu trúc nhân của L  ................................................................ 18  2.1.8    Hoạt động của các hàm Borel trên L  ........................................ 19  2.1.9    Không gian L  phức .................................................................. 19  2.2       Không gian L .............................................................................. 20  2.2.1    Không gian L  .......................................................................... 20  2.2.2    Cấu trúc thứ tự của L  ............................................................... 21  2.2.3    Chuẩn của L  ............................................................................ 21  2.2.4.  L  là một không gian Riesz ........................................................ 24  2.2.5    Nhắc lại về kỳ vọng có điều kiện .............................................. 26  2.2.6   L như là một sự hoàn chỉnh ...................................................... 28  2.2.7    Không gian L  phức .................................................................. 32  2.3       Không gian L∞  ............................................................................. 33  2.3.1    Cấu trúc thứ tự của L∞  .............................................................. 34  2.3.2    Chuẩn của L∞  ............................................................................ 35  2.3.3    Tính đối ngẫu giữa L∞  và L  ...................................................... 37  2.3.4    Một không gian con trù mật của L∞  .......................................... 41  2.3.5    Kỳ vọng có điều kiện ................................................................ 42  2.3.6    Không gian L∞  phức ................................................................. 43  2.4      Không gian L  .............................................................................. 43  2.4.1    Cấu trúc thứ tự của L  .............................................................. 44  2.4.2    Chuẩn của L  ............................................................................ 44  2.4.3    Một số không gian con trù mật của L  ...................................... 48  2.4.4    Tính đối ngẫu của các không gian L  ....................................... 50  2.4.5    Thứ tự - đầy đủ của L .............................................................. 54  2.4.6    Kỳ vọng có điều kiện ................................................................ 54  2.4.7    Không gian L  .......................................................................... 55  2.4.8    Không gian L phức ................................................................. 56  Chương III. Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều .............. 57  3.1      Hội tụ theo độ đo .......................................................................... 57  3.1.1    Các định nghĩa .......................................................................... 57  3.1.2    Các nhận xét ............................................................................. 58  3.1.3    Hội tụ điểm ............................................................................... 58  3.1.4    Tính chất của không gian tôpô tuyến tính  ( ) đối với lớp các  không gian đo ....................................................................................... 61  3.1.5    Một mô tả tương tự của tôpô của sự hội tụ theo độ đo .............. 65  3.1.6    Nhúng L vào L  ....................................................................... 66  3.1.7    Không gian L  phức .................................................................. 70  3.2   Khả tích đều .................................................................................... 70  3.2.1    Định nghĩa ................................................................................ 70  3.2.2    Các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp của các tập khả  tích đều trong ℒ hay L . ...................................................................... 71  3.2.3  Một số mô tả tương tự của tính khả tích đều. .............................. 74  3.2.4    Mối liên hệ giữa tính khả tích đều và tôpô của sự hội tụ theo độ  đo. ........................................................................................................ 78  3.2.5      Không gian ℒ và L  phức ...................................................... 80  3.3      Hội tụ yếu trong L  ....................................................................... 80  KẾT LUẬN ............................................................................................... 87 TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................ 88 LỜI CẢM ƠN   Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết  ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã  tận  tình  giúp  đỡ, hướng dẫn  và đóng  góp  nhiều ý  kiến quý báu.  Tác  giả  cũng  xin  chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học  Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia  đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này.    Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo  của  các  thầy  cô  giáo  và  bản  thân  cũng  hết  sức  cố  gắng,  song  không  tránh  khỏi  những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của  các thầy  cô,  các  bạn để  bản luận  văn này  được hoàn chỉnh  hơn.  Tác  giả  xin  chân  thành cảm ơn!      Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014  Học viên  Vũ Thị Tuyển  LỜI NÓI ĐẦU     Bản  luận  văn  giới  thiệu  về  các  không  gian  hàm  Lp .  Các  không  gian  Lp là  các  không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa  một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng  được gọi là các không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên  bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary). Các không gian  Lp lập nên một lớp  quan trọng của các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô,  chúng  có  ứng  dụng  quan  trọng  trong  vật  lí,  xác  suất  thống  kê,  toán  tài  chính,  kỹ  thuật và nhiều lĩnh vực khác.       Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các  giáo  trình  giải  tích  hàm  cũng  như  lí  thuyết  độ  đo  và  tích  phân  cơ  bản,  các  không  gian  này  chưa  được  mô  tả  chi  tiết.  Với  mong  muốn  trình  bày  các  ý  tưởng  chung  cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian  , nhằm giúp cho việc sử dụng các  không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn  của mình là:   “Về một số không gian hàm thường gặp”.      Luận văn được chia thành 3 chương:  Chương I: Các kiến thức cơ sở.  Chương II: Các không gian hàm.   Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều.          Trong  chương  I,  tác  giả  nêu  các  khái  niệm  và  các  định  lí  cơ  bản  của  giải  tích  hàm. Đó là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo,  hàm  đo  được  cùng  với  các  tính  chất  hội  tụ  và  khả  tích,  khái  niệm  về  không  gian  định chuẩn, các khái niệm trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ  được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này.  1          Mục  đích  chính  của  chương  II  là  thảo  luận  về  các  không  gian  hàm  Lp ,1  p     và  các  tính  chất.  Điều  đặc  biệt  là  ta  coi  các  không  gian  đó  là  không  gian  con  của  một  không  gian  lớn  hơn    gồm  các  lớp  tương  đương  của  các  hàm  (hầu  như)  đo  được.  Chính  vì  vậy,  các  không  gian  hàm  lần  lượt  được  trình  bày  là  không  gian  ,  không  gian  (không  gian  các  hàm  đo  được  khả  tích), không  gian  (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian  (không gian các hàm số có  lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian này được trình bày một  cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét  chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù mật quan trọng,  áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là mở  rộng cho không gian  phức.           Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không  gian L . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong L  và hội tụ yếu trong L . Ngoài ra trong  chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp  các tập khả tích đều trong ℒ hay L .       Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa  luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các  thầy cô và sự góp ý chân thành của các bạn đọc.  Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014                                                                                                     Học viên                                                                                                    Vũ Thị Tuyển   2 Chương I. Các kiến thức cơ sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ  d : X  X    các số thực, thỏa mãn các điều kiện:  i) ii) iii) d (x, y)  0  x  y    d (x, y)  d (y, x) x, y  X   d (x, y)  d (x,z)  d(z, y) x, y,z  X   Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric,  kí hiệu là (X,d).  Hàm  d (x, y)  x  y  x, y  X  là một metric trong tập  (khoảng cách thông  thường). Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực.  Định nghĩa 1.2. a) Dãy   xn n trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu:    0, N ( ),  m, n  N  suy ra  d (x m , x n )     b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của  không gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này.    Chẳng hạn, không gian Euclide  n  là không gian đầy đủ. Không gian  C a ,b  là  không gian đầy đủ.  Định nghĩa 1.3.  Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của  E, được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu  E    Định nghĩa 1.4  Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là:  i) ii) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó  Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong.  Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu  int E    iii) Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E  chứa A.  Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong  X.  3 1.2 Không gian đo và Độ đo Định nghĩa 1.5. 1) Cho tập  X  rỗng, một họ    các tập con của X được gọi là một σ - đại số nếu nó  thỏa mãn các điều kiện sau:  i.  X   và nếu  A   thì  A c    trong đó  AC  X \ A   ii. Hợp của đếm được các tập thuộc Σ cũng thuộc Σ.  2) Nếu    là σ - đại số các tập con của X thì cặp  ( X , )  gọi là một không gian đo  được (đo được với    hoặc   - đo được)  Định nghĩa 1.6. Cho một không gian đo được  ( X , )   1) Một ánh xạ   :    0,    được gọi là một độ đo nếu:  i) ii)  ()  0      có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa:     (A n ) n  ,( An  Am  , n  m)     An     (A n )     n 1  n 1 2) Nếu   là một độ đo xác định trên    thì bộ ba  ( X , ,  )  gọi là một không  gian đo. Định nghĩa 1.7. Cho  ( X ,  ,  )  là một không gian đo. Khi đó a)   là độ đo đủ, hay  ( X ,  ,  ) là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi  A  E   và   ( E )  0  thì  A   nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là  đo được.                        b) ( X ,  ,  ) là không gian xác suất nếu   ( X )  1.                                                                    Trong trường hợp này,    gọi là một xác suất hay độ đo xác suất.  c)   là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  gọi là không gian đo hoàn toàn  hữu hạn nếu   ( X )  .                                                  d)   là độ đo   -  hữu hạn, hay  ( X ,  ,  ) gọi là không gian đo   - hữu hạn nếu  tồn tại dãy   An n    sao cho:   X   An ,   (A n )  ,  n  *                                                  n 1 e)     là độ đo nửa hữu hạn, hay  ( X ,  ,  )  là một không gian đo nửa hữu hạn  nếu với mọi  E   và   ( E )    thì tồn tại F  E thỏa mãn  F    và  0  (F )   . f)   là độ đo khả địa phương hóa, hay  ( X ,  ,  )  là một không gian đo khả địa  phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi  E   , tồn tại một  H    thỏa  mãn: E \ H là bỏ qua được với mọi  E E   (i) 4 (ii) Nếu  G  và  E \ G là bỏ qua được với mọi  E E thì  H \ G  là bỏ qua  được. Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của  E   trên  .  g) Một tập  E    gọi là một nguyên tử đối với    hay   - nguyên tử nếu   ( E)  0  và với mỗi tập F thỏa mãn   F   ,  F  E thì  E \ F là bỏ qua  được.     Định nghĩa 1.8.   Một ánh xạ   * :    0,    xác định trên  P(X)   A : A  X    được gọi là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện  ii)  * (A)  0,  A    * ()  0 iii) Nếu  A   An  thì    * (A)    * (A n ).   i)   n 1 n 1 Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử *  là một độ đo ngoài trên X và     là lớp tất  cả các tập con A của X sao cho:   * (E)   * (E A)   * (E\ A) E  X (*)        Khi đó   là một σ - đại số và hàm tập     * (thu hẹp của  * trên   ) là một   độ đo   trên .  Độ đo    gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài  * . Tập A thỏa mãn điều  kiện (*) gọi là tập  * - đo được.   Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giả sử m là một độ đo trên đại số  ⊂ {∑ mỗi  A  X , ta đặt  ∗ ( ) = ( ) : { } ∈ℕ ⊂ , ⊂ ⋃ thì  * là một độ trên X và   ∗ ( ) = ( ), ∀ ⊂ ( ). Với  }. đồng thời mọi tập thuộc σ - đại  * số ℱ( ) đều   đo được.  1.3 1.3.1 Độ đo Lebesgue Độ đo Lebesgue trên        Tồn tại một σ - đại số    các tập con của   mà mỗi  A   gọi là một tập đo  được theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo   xác định trên   (gọi là  độ đo Lebesgue trên  ) thỏa mãn các tính chất sau:  i) ii) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được.  Nếu I là khoảng với đầu mút a, b (   a  b  t ) thì   (I)  b a    Tập hữu hạn hoặc đếm được là  (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng  0  5 iii) iv) v) 1.3.2 Tập  A là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi    0  tồn tại tập đóng  F, tập mở G sao cho  F  A  G ,   (G\ F)     Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập  x  A, xA  cũng là tập (L) – đo  được và    (x  A)   (A) ,   (xA)  x  (A)   Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn.  Độ đo Lebesgue trên k        Trong không gian Euclid k chiều  k độ đo m có thể khuếch thành độ đo   k trên một σ - đại số   k  F (Ck )  Ck .  Độ đo   k  này gọi là độ đo Lebesgue trên  k và các tập hợp thuộc lớp   k  gọi là tập đo được (L) trong  k .   F (C k )  chính là σ  - đại số  Borel trong  k .   1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9. Cho một không gian X, một σ - đại số    những tập con của X, và  một tập  A  . Một hàm số  f (x) : X   gọi là đo được trên tập A đối với σ - đại số   nếu    (a  ),  x  A : f (x)  a     Khi trên σ - đại số    có một độ đo μ ta nói  f(x) đo được đối với độ đo μ hay  μ  – đo được.        Trong trường hợp  X  k ,   B k (σ - đại số Borel trong  được theo nghĩa Borel, hay  f(x) là một hàm số Borel.  1.4.1 k ) thì ta nói  f(x) là đo  Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.10.  Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu  của A là hàm số   A (x)  xác định  như sau:  0 khi x  A                                             A (x)     1 khi x  A Định nghĩa 1.11.  Một hàm số  f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được  và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi   i (i  1, 2,...n) là các giá trị khác nhau của nó  n và nếu Ai   x : f (x)   i   thì các tập  Ai  đo được, rời nhau và ta có  f (x)   i  A (x)    i 1 i        Ngược lại, nếu  f(x) có dạng đó và các tập  Ai  đo được, rời nhau thì  f(x) là một  hàm đơn giản  Định lí 1.3. Mỗi hàm số  f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy  hàm đơn giản  f n (x) ,   f (x)  lim f n (x) n  6        Nếu f (x)  0x  A  thì có thể chọn các  f n  sao cho  f n (x)  0  và  f n1 (x)  f n (x)  với mọi n và  x  A   1.4.2 Các dạng hội tụ Định nghĩa 1.12.  Trong không gian X bất kì, cho một σ - đại số    và  một độ đo μ trên  . Ta nói hai hàm số  f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết  f (x)  g (x) h.k .n  nếu:  (B  A)  (B)  0  và   x  A \ B  f (x)  g(x)         Hai hàm số  f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ  nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng  tương đương với nhau.  Định lí 1.4. Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm  số đo được  f(x) cũng đều đo được.  Định nghĩa 1.13.  Dãy hàm  f n  gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số  f(x) trên  A   nếu tồn tại  B  A, B ,  (B)  0  sao cho  lim f n (x)  f (x) với mọi n  x  A \ B   Định nghĩa 1.14.  Cho những hàm số  f n (x)(n  1, 2,...)  và f(x) đo được trên một tập   A. Ta nói dãy  f n (x) hội tụ theo độ đo μ tới  f(x) và viết   f n (x)  f (x),  nếu     0,lim   x  A : f n (x)  f(x)     0   n          Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo  độ đo và hội tụ hầu khắp nơi  Định lí 1.5. Nếu một dãy f n (x) đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một   hàm số  f(x) thì  f(x) đo được và nếu   (A)    thì  f n (x)  f (x)   1.5 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.15. Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số  thực   hay các số phức  . Hàm    xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó  thỏa mãn các điều kiện sau:  i) ii) iii)  (x)  0 x  E  và   (x)  0  x  0    ( x)    (x)  với mọi    K ,  x  E     (x  y)   (x)   (y),  x, y  E   Định nghĩa 1.16. Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn    trên nó là một không  gian định chuẩn.         Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với  khoảng cách sinh bởi chuẩn   7 d (x, y)   (x  y),(x, y  E)   Chú ý: Ta kí hiệu  x  thay cho   (x),(x  E)  và gọi là chuẩn của véc tơ x.  Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach.         Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn   a , b  , kí hiệu  C a ,b   là  một không gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn:  f  sup  f (x) : x   a, b , f  Ca ,b    Định lí 1.6 (Hausdorff). Tập con X trong  không gian Banach E là compact nếu và  chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn.  Định nghĩa 1.17.  Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm  được trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy   xn   E sao cho với mọi  x  E tồn  tại một dãy con  xnk  x   Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là:  i) Tập bị chặn nếu  sup  x , x  X       ii) Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi    0  tồn tại tập hữu hạn  A  E  sao cho: x  X , y  A : x  y     iii) Com pắc nếu mọi dãy   xn n  X  có một dãy con  xnk  hội tụ tới một    phần tử  x  X    Nhận xét: a) Tập con hữu hạn  A  E  thỏa mãn (ii) gọi là một   - lưới hữu hạn  của X        b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn.  Định nghĩa 1.19.  Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số  f(x) xác định trên X  và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là  một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu:  i) ii) f ( x1  x2 )  f ( x1 )  f ( x2 ) với mọi x1 , x2  X . f ( x)   f ( x) với mọi x  X và mọi số  Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính  f gọi  là bị chặn nếu có một hằng số  K  0  để cho   f ( x)  K x x  X   Số K  0  nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí  hiệu là  f . Dễ dàng chứng minh   f  sup x0 f ( x)  sup f ( x) x 1 x 8 Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập  thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian  đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*.        Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra,  với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt   f  sup f (x)  thì X* trở thành một không gian  x X , x 1 định chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach.  Định nghĩa 1.20. Cho  ( X ,  ,  )  là một không gian đo và  :   hàm cộng tính hữu hạn    là một phiếm  a)  được gọi là liên tục tuyệt đối đối với    (thường viết   ) nếu    0 , tồn  tại    0  thỏa mãn   E    với mọi  F    và   ( E  F )   .      b)  được gọi là thực sự liên tục đối với    nếu    0 , tồn tại  E   ,    0  thỏa  mãn   E  là hữu hạn và   F    với  E   .    1.6 Tích phân Lebesgue Định nghĩa 1.21. Cho  A  là  tập  đo  được,  f : A   ,     là  hàm  đơn  giản,  đo  được trên A. Gọi  f1 , f 2 , f3 ,..., f n  là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt   Ak   x  A : f (x)  f k  , k  1, 2,..., n   n n A   và f (x)   f k  Ai x  A i 1       Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo    là số  k 1 n  A f (x) d    f k  (A k )    k 1 Định lí 1.7. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  f : A   0,    là hàm đo được.  Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được  f n (x)  0  hội tụ h.k.n  về  f(x) trên A.  Định nghĩa 1.22. Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo    là:   A   f (x)d   lim   f n (x) d     n  A  Định nghĩa 1.23. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm  f : A  trên A. Khi đó ta có:   là hàm đo được  f (x)  f  (x)  f  (x)  với  f  (x),f  (x)  0   Các hàm số  f  (x),f  (x)  có tích phân tương ứng trên A là   f  (x)d  ,   f  (x)d    A 9 A Nếu hiệu   f  (x) d    f  (x) d   có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là :  A A  f (x) d    f A  A (x) d    f  (x) d  A Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với  tích phân Lebesgue)  Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi). điệu tăng đến f(x) trên A thì  Nếu  f n (x)  0  và  f n (x) đơn    lim   f n (x) d     f (x) d  n  A  A Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu  f n (x)  là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm  đến một hàm  f(x) liên tục trên   thì  f n (x)  hội tụ đều đến  f(x). Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou). Nếu  f n (x)  0  thì      lim f n (x) d    lim  f n (x)d     A n  n A Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu  fn (x)  g (x) , g(x) khả tích  và  f n (x)  f(x) ( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì   lim  f n (x) d    f (x) d  n A A 1.7 Không gian tô pô Định nghĩa 1.24. Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ  G những tập con của X là  một tô pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu:  i) ii) iii) Hai tập  , X đều thuộc  G   G kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập  thuộc họ  G thì cũng thuộc họ đó.  G  kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn  hoặc vô hạn) tập thuộc họ  G thì cũng thuộc họ đó.  Tập X cùng với một tô pô  G trên X gọi là không gian tô pô   X , G (hay không gian  tô pô X). Các tập thuộc họ  G  gọi là tập mở.  Định nghĩa 1.25. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ  f đi từ X vào Y gọi  là liên tục tại  x0  nếu với mọi lân cận  U y của điểm  y0  f ( x0 ) đều có một lân cận  0 V x của điểm  x0 sao cho  f (Vx ) U y , nghĩa là  x Vx  f ( x) U y .  Ánh xạ  f  gọi  0 0 0 0 là liên tục nếu nó liên tục tại mọi  x  X .    10 0     Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không  gian metric vào một không gian metric khác. Định lí 1.12. Một ánh xạ  f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là  liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:  (i) (ii) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X)  Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X)  Cho  f  là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô   thì do toán tử  f  bảo toàn các phép toán tập nên  f 1 (Gy ) sẽ là một tô pô trên X. Nếu X vốn đã có  sẵn một tô pô  Gx thì định lí 1.12 cho biết rằng  f  là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi  1 f 1 (Gy )  Gx nghĩa là khi nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức  f 1 (Gy ) ) yếu hơn tô pô  trên  X  Gx  . Cũng từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có tô pô  thì có thể biến X thành không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô pô  f 1 (Gy ), đó là  tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh xạ  f.       Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không  gian metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy  hội tụ.         Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu:  (i) (ii) A, B  S  A  B  S    A S, A  B  B  S   Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận  của x đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ  f  đi từ một không gian tô pô X  vào không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc  S  x ta đều có  f (S )  f ( x).   Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất,  còn với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta  xét các không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp  điểm  x1 , x2  X đều có hai lân cận  V1 ,V2  của  x1 , x2 sao cho  V1  V2  . Một  không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không gian Housdorff  (không  gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff  (tô pô tách).  Định lí 1.13. Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới  nhiều nhất một điểm. Định nghĩa 1.26.    Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều  có một lọc mạnh hơn hội tụ.     11 Chương II. Các không gian hàm       Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian  L1 ,  L và  Lp   trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là  các không gian con của một không gian lớn hơn  L0  gồm các lớp tương đương của  các hàm (hầu như) đo được.  2.1 Không gian và        Nguyên  tắc  gần  như  đầu  tiên  của  lý  thuyết  độ  đo  chính  là  các  tập  có  độ  đo  không  thường  được  bỏ  qua.  Tương  tự,  hai  hàm  trùng  nhau  hầu  khắp  nơi  có  thể  thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần  này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng  hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua  được.   2.1.1 Không gian Định nghĩa 2.1. Giả sử  ( X ,  ,  ) là một không gian đo bất kỳ. Ta viết  L 0 , hay  L0 () , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các  tập con bỏ qua được của  X , Nghĩa là:       Nếu  E  X ,  E C là tập   - không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu  f E  là   - đo  được ( đo được đối với   - đại số bổ sung theo   )  2.1.2 Tính chất cơ bản       Nếu  ( X ,  ,  )  là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau  đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc.   (a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong  X  thuộc vào  L 0    (b) f  g L0  với mọi f , g L0  (nếu  f F và  g F , thì  ( f  g ) ( F G )  ( f F )  ( g G ) là đo  được).   (c)  cf L0  với mọi  f  L0 , c  .  (d)  f  g L0   với mọi  f , g L0 .   (e) Nếu  f L0  và  h :   là Borel đo được, thì  hf L0 .  (f) Nếu  ( fn )n   là một dãy trong  L 0  và  f  lim fn  được xác định (như là một hàm  n nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .  12 (g) Nếu  ( fn )n    là một dãy trong  L 0   và  f  sup f n  được xác định (như là một hàm  n nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .  (h) Nếu  ( f n )n  là một dãy trong  L 0   và  f  inf f n  được xác định (như là một hàm  n nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .   (i) Nếu  ( fn )n  là một dãy trong  L 0  và  f  limsup f n  được xác định (như là một hàm  n nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .  (j) Nếu  ( f n )n   là một dãy trong  L 0   và  f  liminf f n  được xác định (như là một  n hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong  X , thì  f L0 .  (k)  L 0  thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của  X , bằng nhau hầu khắp nơi đối với một hàm   - đo được từ  X  vào   nào đó.   2.1.3 Không gian Định nghĩa 2.2.    Giả sử  ( X ,  ,  )  là một không gian đo bất kỳ. Khi đó  “  h.k .n  “  là  một quan hệ tương đương trên  L 0 .  Viết  L0 , hoặc là  L0 ( ) , là tập các lớp tương  đương trong  L 0   dưới quan hệ “  h.k .n  “. Với  f L0 ,  viết  f   là lớp tương đương  trong  L0 .   2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của        Giả sử  ( X ,  ,  )  là không gian đo bất kỳ, và đặt  L0  L0 (  ) ,  L0  L0 ( ) .   (a) Nếu  f1 , f 2 , g1 , g2 L0  và  f1 h.k .n f 2 ,   g1 h.k .n g2  thì  f1  g1 h.k .n f 2  g2 . Tương tự  chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong  L0   bởi cách đặt  f   g   ( f  g )  với  tất cả  f , g L0    (b) Nếu  f1 , f2 L0   và  f1 h.k .n f2   thì  cf1 h.k .n cf 2   với mọi  c . Tương tự chúng ta  có thể định nghĩa phép nhân vô hướng trên  L0  bởi cách đặt  cf   (cf )  với tất cả  f L0 , c .   (c)  L0   là một không gian tuyến tính trên  , với phần tử không  0 ,  ở đây  0  là hàm  có tập xác định là  X  và nhận giá trị  0 , và phần tử đối   f   ( f ) .     Thật vậy  (i)   f  ( g  h )  ( f  g )  h  với tất cả   f , g , h L0 ,  vì vậy  u  (v  w )  (u  v )  w   với tất cả   u, v, w  L0  .  (ii)  f  0  0  f   với mọi  f L0 ,   vì vậy  u  0  0   u  u  với mọi  u  L0 .    13 (iii)  f  ( f ) h.k .n 0  với mọi  f L0 ,   vì vậy  f   ( f )  0  với mọi  f L0 .    (iv)  f  g  g  f  với mọi  f , g L0 ,     vì vậy  u  v  v  u  với mọi  u, v  L0 .     (v)  c ( f  g )  cf  cg  với tất cả  f , g L0   và  c  ,     vì vậy  c (u  v )  cu  cv  với mọi  u, v  L0 và  c .  (vi)  ( a  b ) f  af  bf  với tất cả    f  L0 , a, b  ,    vì vậy  ( a  b )u  au  bu  với tất cả  u  L0 , a, b  .    (vii)  ( ab ) f  a (bf )  với tất cả  f  L0 , a, b  , vì vậy  ( ab )u  a (bu )  với tất cả  u  L0 , a, b  .   (viii)  1 f  f với tất cả  f L0 , vì vậy  1u  u  với tất cả  u  L0 .    2.1.5 Cấu trúc thứ tự của          Giả sử  ( X ,  ,  )  là không gian đo bất kỳ và đặt  L0  L0 ( ), L0  L0 ( ).    (a) Nếu  f1 , f 2 , g1 , g2 L0 , f1 h.k .n f 2 , g1 h.k .n g2  và  f1 h.k .n g1 , thì  f2 h.k .n g2 . Vì vậy  chúng ta có thể xác định một quan hệ    trên  L0  bằng cách nói rằng  f   g   nếu và  chỉ nếu  f h.k .n g.    (b)    là một thứ tự một phần trên  L0 .  Thật vậy, nếu  f , g , h L0  và  f h.k .n g  và  g h.k .n h , thì  f h.k .n h.  Tương tự  u  w  với  u, v, w  L0  và  u  v, v  w.  Mặt khác, nếu  f L0   thì  f h.k.n f ; do  u  u   với mọi  u  L0 .  Cuối cùng, nếu  f , g L0   và  f h.k .n g  và  g h.k .n f , thì  f h.k .n g ,  vì vậy nếu  u  v  và  v  u  thì  u  v.   (c)  L0 ,  với  ,  là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không  gian tuyến tính với một thứ tự     thỏa mãn:  (i) nếu  u  v  thì  u  w  v  w với mọi  w,    (ii) nếu  0  u thì  0  cu  với mọi  c  0.         Thật vậy, nếu  f , g , h L0  và  f h.k .n g,  thì  f  h h.k .n g  h.  Nếu  f L0  và  f h.k .n 0,  thì  cf h.k .n 0  với mọi  c  0.    (d)  L0  là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính  thứ tự một phần thỏa mãn  u  v  sup{u , v}, u  v  inf{u , v}  được xác định với tất cả  u, v  L0 .    Chứng minh:   14