Tài liệu Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH LƯƠNG DUY NHẬT MINH VỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC MÃ SỐ: 9 46 01 02 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Nghệ An – 2021 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An. Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS. Nguyễn Văn Đức 2. TS. Nguyễn Trung Thành Phản biện 1: ......................................................................... Phản biện 2: ......................................................................... Phản biện 3: ......................................................................... Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp tại ...................................................................................................................... vào hồi............giờ.........phút, ngày.........tháng..........năm.......... Có thể tìm hiểu luận án tại: 1. Thư viện Quốc gia Việt Nam 2. Thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh 1 LỜI NÓI ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic đã được các nhà khoa học quan tâm nghiên cứu từ những năm 60 của thế kỉ 20. Các nhà toán học có các công trình về bài toán xác định nguồn có thể kể ra là Cannon, Đinh Nho Hào, Đặng Đức Trọng, Hasanov, Isakov, Li, Savateev, Prilepko, Yang và Fu,... Bài toán kể trên thường đặt không chỉnh theo nghĩa Hadamard. Một bài toán được gọi là đặt chỉnh theo nghĩa Hadamard nếu nó thỏa mãn cả ba điều kiện sau: i) Nghiệm của bài toán luôn tồn tại. ii) Nghiệm của bài toán là duy nhất. iii) Nghiệm phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không được thỏa mãn, thì bài toán được gọi là đặt không chỉnh. Với bài toán đặt không chỉnh, một sai số nhỏ của dữ liệu cũng có thể dẫn đến sai lệch lớn về nghiệm. Do đó, bài toán đặt không chỉnh thường khó giải số hơn bài toán đặt chỉnh vì các dữ liệu sử dụng trong các bài toán này thường được tạo ra do đo đạc nên không tránh khỏi có sai số. Hơn nữa nhiều tính toán chỉ được thực hiện gần đúng. Để giải các bài toán đặt không chỉnh, các nhà khoa học thường đề xuất các phương pháp chỉnh hóa, tức là sử dụng nghiệm của một bài toán đặt chỉnh để làm nghiệm xấp xỉ cho bài toán đặt không chỉnh ban đầu. Các nghiên cứu về bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic thường tập trung vào ba chủ đề chính đó là: i) Tính duy nhất nghiệm. ii) Tính ổn định nghiệm. iii) Các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp giải số. Đã có rất nhiều công trình nghiên cứu về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic do đây là mô hình toán học của các bài toán thực tiễn như xác định nguồn nhiệt trong phương trình truyền nhiệt, xác định nguồn ô nhiễm nước, ô nhiễm không khí,... Hiện nay có nhiều vấn đề mở liên quan đến bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic cần được nghiên cứu, trong đó các kết quả về đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho trường hợp phương trình có hệ số phụ thuộc thời gian chưa được nghiên cứu một cách đầy đủ, chỉ có một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này. Hướng nghiên cứu về bài toán xác định nguồn 2 của phương trình parabolic bậc phân đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà khoa học. Tuy nhiên, hầu hết các kết quả kể trên dành cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian hoặc theo biến không gian, chỉ có ít kết quả dành cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian. Về các kết quả đánh giá ổn định và chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn của phương trình parabolic trong không gian Banach, theo sự tìm kiếm của chúng tôi thì cũng chỉ có một số ít kết quả liên quan. Với các lý do trên, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án của mình là: "Về một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic". 2. Mục đích nghiên cứu Luận án nghiên cứu một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, tập trung vào ba chủ đề: Thứ nhất, chúng tôi đưa ra các đánh giá ổn định; Thứ hai, chúng tôi đề xuất các phương pháp chỉnh hóa; Thứ ba, chúng tôi thiết lập các thuật toán, lập trình và đưa ra các ví dụ số để minh họa cho các phương pháp chỉnh hóa được đề xuất trong luận án này. 3. Đối tượng nghiên cứu Luận án nghiên cứu bài toán xác định nguồn trong 03 trường hợp: i) Phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); ii) Phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); iii) Phương trình parabolic trong không gian Banach. 4. Phạm vi nghiên cứu Chúng tôi nghiên cứu các đánh giá ổn định, các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn cho: phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ); phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ) và phương trình parabolic trong không gian Banach. 5. Phương pháp nghiên cứu Đây là một đề tài thuộc lĩnh vực khoa học cơ bản chuyên ngành Toán Giải tích và Toán Ứng dụng. Do đó, chúng tôi chủ yếu sử dụng phương pháp suy luận lôgic trên cơ sở các kết quả đã có. Đồng thời chúng tôi sử dụng các phương pháp số để giải các bài toán xác định nguồn. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Luận án góp phần làm phong phú thêm các kết quả nghiên cứu về bài toán ngược và bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án đã đạt được một 3 số kết quả về đánh giá ổn định, đề xuất các phương pháp chỉnh hóa và phương pháp số để giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho học viên cao học, nghiên cứu sinh ngành Toán. 7. Tổng quan và cấu trúc của luận án 7.1. Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án Để tiện cho việc giới thiệu các kết quả nghiên cứu liên quan đến bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, chúng tôi lấy một ví dụ cụ thể của phương trình parabolic tuyến tính trong không gian Hilbert. Cho T là số thực dương, X là không gian Hilbert với chuẩn k · k, u : [0, T ] → X là hàm từ [0, T ] đến X và F ∈ X . Ta xét bài toán giá trị ban đầu  u0 (t) + Au(t) = F, u(0) = 0, t ∈ (0, T ), (1) trong đó A là toán tử tuyến tính không bị chặn trên X . Bài toán (1) là bài toán thuận, trong đó ta cần xác định u khi F đã biết. Bài toán xác định nguồn cho (1) là tìm hàm nguồn F từ các đo đạc của hàm u. Đây là một bài toán ngược. Có nhiều kiểu đo đạc khác nhau được sử dụng, ví dụ: đo đạc trên biên, đo đạc tại thời điểm cuối hoặc đo đạc tại một số điểm rời rạc... Do đó, có rất nhiều dạng bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Các bài toán xác định nguồn là các bài toán đặt không chỉnh. Do tính đặt không chỉnh, nghiệm của bài toán không phải bao giờ cũng tồn tại và trong trường hợp tồn tại, nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu của bài toán. Điều này làm cho bài toán đặt không chỉnh khó giải hơn nhiều so với các bài toán đặt chỉnh. Thông thường, các nhà toán học phải đề xuất các phương pháp chỉnh hóa để giải các bài toán đặt không chỉnh. Có nhiều phương pháp chỉnh hóa để giải bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic, chẳng hạn như: phương pháp tựa đảo, phương pháp Tikhonov, phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp biến phân, phương pháp gradient liên hợp, phương pháp làm nhuyễn,... Sau đây, chúng tôi tóm tắt về các dạng bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic mà luận án nghiên cứu và tóm tắt về những kết quả chính mà luận án đã đạt được. i) Thứ nhất, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ), cụ thể chúng tôi xét bài toán tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn: 4  ∂u   (x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   ∂t u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,     u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn , (19) với ∆ là toán tử Laplace, các hàm a(t), h(t) đã biết và g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối T > 0. Khi tìm hiểu về dạng bài toán này, chúng tôi nhận thấy rằng đối với bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số không phụ thuộc thời gian, có nhiều kết quả đạt được liên quan đến tính duy nhất nghiệm; đánh giá ổn định và các phương pháp chỉnh hóa. Kết quả liên quan đến trường hợp hệ số phụ thuộc thời gian như trong luận án mà chúng tôi đề xuất là chưa phổ biến. Chỉ có một vài kết quả về tính duy nhất nghiệm của dạng bài toán này được đưa ra trong nghiên cứu của D’haeyer và cộng sự, của Slodička và Johansson. Năm 2014, D’haeyer và cộng sự xét bài toán xác định nguồn phụ thuộc biến không gian cho phương trình parabolic với các hệ số phụ thuộc vào không gian và thời gian. Cụ thể, với miền Ω ⊂ Rn , họ xét bài toán xác định    ∂u + Lu = f (x)   u=0    u(x, 0) = u (x) 0 nguồn thỏa mãn trong Ω × (0, T ), trên ∂Ω × (0, T ), (20) với x ∈ Ω, với T > 0 là thời điểm cuối, L là toán tử elliptic vi phân tuyến tính cấp hai với hệ số phụ thuộc vào cả biến thời gian và không gian, ∂Ω là biên của miền Ω. Họ xác định hàm nguồn f (x) với các điều kiện của bài toán thuận và thêm thông tin bổ sung từ dữ liệu đo đạc tại một thời điểm nhất định u(x, T ) = ΨT (x). Họ đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra một phương pháp lặp ổn định để giải bài toán này. Năm 2016, Slodička và Johansson đưa ra các kết quả về tính duy nhất nghiệm của một số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic tuyến tính với hệ số phụ thuộc thời gian. Họ xác định f (x) thỏa mãn    ∂u(x, t) + L(t)u(x, t) = f (x)h(t) trong Ω × (0, T ),   u=0 trên ∂Ω × (0, T ),    u(x, 0) = u (x) với x ∈ Ω, 0 (21) với h(t) cho trước và các thông tin của L(t), T, u(x, T ), Ω, ∂Ω tương tự (20). Quay lại với bài toán xác định nguồn mà chúng tôi đề xuất, chúng tôi chứng minh đánh giá ổn định kiểu Hölder cho bài toán này (Định lý 2.2.1). Phương pháp làm nhuyễn đã được sử dụng để chỉnh hóa bài toán. Chúng tôi đạt được các đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu 5 tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 2.3.2 và 2.3.5). Chúng tôi đề xuất thuật toán và trình bày các ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa đã sử dụng. ii) Thứ hai, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian. Bài toán như sau: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn  γ   ∂tα u + (−∆) 2 u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   (23) u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn . ∂α là đạo α ∂t γ hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t, γ là số thực dương, (−∆) 2 là toán tử Laplace bậc phân, g(x) là dữ liệu tại thời điểm cuối. Các nghiên cứu thường tập trung vào bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân chỉ theo biến thời gian, hoặc chỉ theo biến không gian, không có nhiều kết quả đối với bài toán có phương trình theo cả biến không gian và thời gian. Năm 2014, Tartar và cộng sự xét bài toán xác định hàm u(t, x) và f (x) với t ∈ (0, T ) và x ∈ Ω = (−1, 1) thỏa mãn   ∂β α   u(t, x) = −rβ (−∆) 2 u(t, x) + f (x)h(t, x), (t, x) ∈ ΩT ,  β  ∂t    u(t, −1) = u(t, 1) = 0, 0 < t < T, (24)   u(0, x) = 0, x ∈ Ω,      u(T, x) = ϕ(x), x ∈ Ω̄, Trong đó, T là số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , ..., xn ) ∈ Rn , ∂tα = trong đó, ΩT := (0, T ) × Ω, r > 0 là tham số, f (x) ∈ L2 (Ω), h(t, x) cho trước là hàm khả vi liên tục, β ∈ (0, 1), α ∈ (1, 2) là bậc của đạo hàm bậc phân theo ∂β biến thời gian và không gian, T > 0 là thời điểm cuối và β là đạo hàm bậc phân ∂t Caputo. Với dữ liệu tại thời điểm cuối T , các tác giả đã chứng minh được nghiệm tồn tại và duy nhất. Năm 2018, Li và Wei xét bài toán xác định thành phần phụ thuộc thời gian p(t) của hàm nguồn có dạng f (x)p(t) thỏa mãn  β α  2 u(x, t) + f (x)p(t),  ∂ u(x, t) = −(−∆) (x, t) ∈ ΩT ,  0+    u(x, 0) = φ(x), x ∈ Ω̄,   u(x, t) = 0, x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ],     u(x , t) = g(t), x0 ∈ Ω, 0 < t ≤ T, 0 (25) trong đó, ΩT := Ω × (0, T ], Ω ⊂ Rn ; T > 0 là thời điểm cuối; α ∈ (0, 1), β ∈ (1, 2) α là bậc của đạo hàm bậc phân theo biến thời gian và không gian; ∂0+ là đạo hàm 6 bậc phân Caputo. Các tác giả đã chứng minh tính duy nhất nghiệm và đưa ra đánh giá ổn định cho bài toán này. Năm 2014, Tuấn và cộng sự đã nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến không gian và thời gian, bài toán của họ ngoài các thông số tương tự (24) thì họ thay phương trình đầu ∂β của (24) bởi phương trình β u(t, x) = −rβ (−∆)α/2 u(t, x) + f (x)h(t). Hàm h lúc ∂t này chỉ phụ thuộc vào biến thời gian t. Ngoài ra, ở phương trình u(T, x) = ϕ(x), thì trong đó x ∈ Ω thay vì x ∈ Ω̄. Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt Fourier để giải bài toán này, họ nêu ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán, họ đã đưa ra đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Tuy nhiên, các tác giả đã không đưa ra các ví dụ số để minh họa cho kết quả của họ. Trong luận án, chúng tôi chứng minh được đánh giá ổn định với bậc tối ưu cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ) (Định lý 3.2.3 và Nhận xét 3.2.4). Chúng tôi sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán và đạt được các đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 3.3.2 và 3.3.6). Chúng tôi cũng đề xuất thuật toán và trình bày các ví dụ số để minh họa cho kết quả. iii) Thứ ba, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach và sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán này. Giả sử X là không gian Banach với chuẩn k · k, A : D(A) ⊂ X → X là toán tử tuyến tính không bị chặn sao cho −A sinh ra nửa nhóm giải tích {S(t)}t≥0 trên X (xem Định nghĩa 1.2.4), ở đây D(A) là miền xác định của A và giả thiết D(A) là trù mật trong X . Với t ∈ [0, T ], ký hiệu u(t) là một hàm từ [0, T ] vào X và F ∈ X , ta xác định hàm nguồn F từ bài toán    u0 (t) + Au(t) = F, t ∈ (0, T ),   (26) u(0) = 0,    u(T ) = g, với g ∈ X là dữ liệu đo tại thời điểm cuối. Theo sự tìm hiểu của chúng tôi, các kết quả về bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach vẫn còn hạn chế, một vài kết quả sớm nhất về dạng bài toán này là của Iskenderov và Tagiev; Rundell. Tính duy nhất nghiệm của bài toán (26) đã được chứng minh trong nghiên cứu của Eidelman; Tikhonov. Trong trường hợp F là một hàm phụ thuộc biến thời gian, các tác giả cũng đã chứng minh được tính duy nhất nghiệm. Năm 2005, Tikhonov và Eidelman đã xét bài toán ngược trong không gian Banach E , với A là toán tử tuyến tính đóng với miền D(A) ⊂ E (có thể không 7 trù mật trong E ). Lấy T > 0 và hàm ϕ 6= 0 liên tục trên [0, T ]. Bài toán xác định {u(t), p} thỏa mãn    ∂u(t) = Au(t) + ϕ(t)p, ∂t  u(0) = u0 , u(T ) = u1 , 0 ≤ t ≤ T, (27) u0 , u1 ∈ D(A). Các tác giả chứng minh được tính duy nhất nghiệm của bài toán nói trên và nghiệm được mô tả qua các giá trị riêng của toán tử A. Với X là không gian Banach, k · k là chuẩn của X , năm 1980, Rundell xét bài toán tìm cặp hàm u(t), f thỏa mãn   du + Au = f, dt (28)  u(0) = u0 , u(T ) = u1 , trong đó A là toán tử tuyến tính trong X và f ∈ X , thông tin bổ sung là hai giá trị của u tại hai điểm cố định (t = 0 và t = T > 0). Với giả thiết u0 , u1 ∈ D(A) (D(A) là miền của A, giả sử thêm A−1 : X → D(A) tồn tại và A là toán tử sinh ra một nửa nhóm liên tục mạnh {S(t)}t≥0 sao cho kS(t)k < 1, tác giả chỉ chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn này và cặp {u(t), f } Rt cho bởi u(t) = S(t)u0 + S(t − τ )f dτ và f = (I − S(T ))−1 (Au1 + AS(T )u0 ), với 0 I là toán tử đồng nhất trong X . Năm 1991, Eidelman đã sử dụng lý thuyết nửa nhóm để chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn trong không gian Banach E , tác giả đã xét bài toán xác định cặp hàm {v(t), p} thỏa mãn ∂v = Av + f (t) + p, ở đây A là toán tử tuyến tính không bị chặn, f (t) là một hàm ∂t liên tục trên [0, t1 ] lấy giá trị trong E , p ∈ E là thành phần chưa biết và thêm các điều kiện biên: v(0) = v0 , v(t1 ) = v1 . Năm 2007, Prilepko và cộng sự đã đề xuất chỉnh hóa một bài toán xác định nguồn trong không gian Banach. Tuy nhiên, các tác giả không đưa ra đánh giá về tốc độ hội tụ và các ví dụ số không được thực hiện. Năm 2013, Hasanov và cộng sự đã sử dụng lý thuyết nửa nhóm của toán tử để biểu diễn nghiệm và chứng minh tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định nguồn cho một phương trình truyền nhiệt ut = Au + F với dữ liệu đo tại thời điểm cuối uT (x) := u(x, T ). Quay trở lại bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach đã được đề xuất trong luận án, như đã nói ở trên, chúng tôi sử dụng một phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán, chúng tôi đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder theo luật chọn tham số kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm (Định lý 4.2.7 và 4.2.9). Chúng tôi cũng sử dụng một vài ví dụ số để minh họa cho phương pháp chỉnh hóa. 8 7.2. Cấu trúc luận án Nội dung chính của luận án được trình bày trong 04 chương. Trong Chương 1, chúng tôi trình bày một số kết quả bổ trợ cần sử dụng trong luận án này. Trong Chương 2, luận án chứng minh các đánh giá ổn định và sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Trong Chương 3, luận án chứng minh đánh giá ổn định với bậc tối ưu và sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Trong Chương 4, luận án sử dụng phương pháp dựa trên lý thuyết nửa nhóm để chỉnh hóa bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic trong không gian Banach. Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại các buổi seminar của Bộ môn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh, Hội thảo khoa học "Nghiên cứu và dạy học Toán đáp ứng yêu cầu đổi mới Giáo dục hiện nay" tại Trường Đại học Vinh, Nghệ An ngày 21/9/2019. Các kết quả trong luận án này cũng đã được viết thành 03 bài báo trong đó có 01 bài đăng trên tạp chí Inverse Problems in Science and Engineering (SCIE, IF: 1.314), 01 bài đăng trên tạp chí Applicable Analysis (SCIE, IF: 1.107) và 01 bài đăng trên tạp chí Applied Numerical Mathematics (SCIE, IF: 1.979). 9 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số kiến thức về Giải tích Định nghĩa 1.1.1. Giả sử v : Rn → R là một hàm đo được. Với p là số thực thỏa mãn 1 ≤ p < ∞, không gian Lp (Rn ) được xác định bởi   Z Lp (Rn ) = v : Rn → R : |v|p dx < ∞ Rn với chuẩn kvkLp :=  p1 |v|p dx . Z Rn Định nghĩa 1.1.3. Với các hàm k ∈ L1 (Rn ) và f ∈ L2 (Rn ), ta định nghĩa tích chập của k và f như sau 1 (k ∗ f )(x) = √ ( 2π)n 1 k(x − y)f (y)dy = √ ( 2π)n Rn Z Z k(y)f (x − y)dy, Rn với x ∈ Rn . Định nghĩa 1.1.4. Với mỗi hàm v ∈ L2 (Rn ), ta xác định các hàm F và F−1 từ L2 (Rn ) vào L2 (Rn ) như sau 1 b(ξ) := √ F(v)(ξ) := v ( 2π)n Z ξ ∈ Rn , eiξ·x v(ξ)dξ, x ∈ Rn , Rn 1 F (v)(x) := v̌(x) := √ ( 2π)n −1 e−iξ·x v(x)dx, Z Rn trong đó, ξ · x là tích vô hướng của ξ và x trong Rn . Ta gọi F(v)(ξ) và F−1 (v)(x) lần lượt là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm v . Định nghĩa 1.1.5. Với số thực dương p, không gian H p (Rn ) được định nghĩa bởi   Z H p (Rn ) = v ∈ L2 (Rn ) : |vb(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ < ∞ Rn với chuẩn kvkH p := Z Rn |vb(ξ)|2 (1 + |ξ|2 )p dξ  12 . 10 Ngoài ra, ta định nghĩa chuẩn ||| · |||q trong không gian H p (Rn ) như sau. Định nghĩa 1.1.6. Cho q > 0. Với v : Rn → R là một hàm đo được, ta ký hiệu Z  21 2 |||v|||q := e2q|ξ| |vb(ξ)|2 dξ . Rn Định nghĩa 1.1.9. Với η := (η1 , . . . , ηn ) ∈ Rn , ηj > 0, j = 1, ..., n, kí hiệu Mη,2 (Rn ) là tập hợp các hàm nguyên dạng mũ η theo biến x ∈ Rn thuộc L2 (Rn ). Định nghĩa 1.1.11. Giả sử ν > 0. Hàm Dν (x) := n Y sin(νxj ) j=1 xj , x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , được gọi là nhân Dirichlet. Trong luận án này, ta đặt các tập hợp Mν := {x ∈ Rn : |xj | < ν, j = 1, 2, ..., n} và Qν := Rn \ Mν . Định nghĩa 1.1.14. Hàm Gamma được xác định bởi công thức sau Z ∞ e−t tz−1 dt, z ∈ C, Rez > 0, Γ(z) = 0 Định nghĩa 1.1.16. Với T > 0, cho f là một hàm khả vi liên tục trên đoạn [0, T ]. Khi đó, đạo hàm bậc phân Caputo với bậc α ∈ (0, 1) của f trên (0, T ] được kí hiệu ∂α là α f và được xác định bởi ∂t Z t 1 ∂α −α ∂ (t − s) f (t) = f (s)ds, 0 < t 6 T. ∂tα Γ(1 − α) 0 ∂s Định nghĩa 1.1.17. Với α > 0, β > 0, hàm Mittag–Leffler Eα,β được định nghĩa Eα,β (z) := ∞ X k=0 1.2 zk , z ∈ C. Γ(αk + β) Một số kiến thức về nửa nhóm các toán tử tuyến tính bị chặn Định nghĩa 1.2.2. Giả sử A là toán tử tuyến tính có miền xác định D(A) trù mật trên không gian Banach X . i) Số λ ∈ C được gọi là một giá trị chính quy của toán tử A nếu tồn tại toán tử tuyến tính bị chặn (λI − A)−1 trên X . Tập tất cả các giá trị chính quy của toán tử A được gọi là tập giải và kí hiệu là ρ(A). R(λ, A) = (λI − A)−1 được gọi là toán tử giải hay là giải thức của toán tử A, với λ ∈ ρ(A). ii) Tập σ(A) = C \ ρ(A) được gọi là tập phổ của A. 11 Định nghĩa 1.2.4. Ta gọi tập Ω được xác định bởi Ω := {z : ϕ1 < arg z < ϕ2 , ϕ1 < 0 < ϕ2 } là một hình quạt. Với z ∈ Ω, giả sử S(z) là toán tử tuyến tính bị chặn. Họ {S(z)}z∈Ω là một nửa nhóm giải tích trên Ω nếu thỏa mãn các điều kiện dưới đây: i) Với mọi z ∈ Ω, z → S(z)x là giải tích trên Ω; ii) S(0) = I (I là toán tử đồng nhất trong X ). Ngoài ra lim z→0, z∈Ω S(z)x = x, ∀x ∈ X ; iii) Với mọi z1 , z2 ∈ Ω, ta có S(z1 + z2 ) = S(z1 )S(z2 ). Một họ {S(t)}t≥0 được gọi là nửa nhóm giải tích nếu nó là giải tích trên một hình quạt Ω chứa nửa trục thực không âm. Định nghĩa 1.2.5. Toán tử A (có thể không bị chặn) là toán tử sinh của một nửa nhóm giải tích liên tục mạnh bị chặn đều {e−zA }Re z >0 , bằng cách chuyển sang chuẩn tương đương |||x||| = sup ke−zA k, nếu cần thiết, ta giả sử ke−zA k ≤ 1, với Re z > 0. Re z >0 Định nghĩa 1.2.6. Với A là toán tử sinh và s > 0, ta xác định Z 1 − cos(sr) irA dr G(s, A) := e . r2 π R (1.5) Định nghĩa 1.2.10. Giả sử A là một toán tử tuyến tính đóng, có miền xác định D(A) trù mật trên không gian Banach X , A thỏa mãn Định nghĩa 1.2.5, ω là một số thực dương và V là một lân cận của 0 trong mặt phẳng phức C. Ta xác định tập hợp Σ+ như sau: ρ(A) ⊃ Σ+ := {λ : 0 < ω < |argλ| ≤ π} ∪ V. Với b > 0, công thức sau là định nghĩa lũy thừa A−b của toán tử A: Z 1 −b A := z −b (A − Iz)−1 dz, 2πi C (1.7) trong đó C là một quỹ đạo nằm trong tập giải của toán tử A từ ∞e−iv đến ∞eiv ,
−1 với ω < v < π . Ngoài ra, Ab := A−b và A0 = I . Trong (1.7), nếu b = n, n là số nguyên dương, thì tích phân này giải tích trong Σ+ . 1.3 1.3.1 Bài toán đặt không chỉnh Định nghĩa bài toán đặt không chỉnh Xét phương trình Ax = y , bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ liệu y ∈ Y (X, Y là hai không gian Banach, A : X → Y là toán tử liên tục) được gọi là đặt chỉnh trên hai không gian Banach X, Y nếu cả ba điều kiện sau được thỏa mãn: 12 i) Với mỗi y ∈ Y thì tồn tại nghiệm x ∈ X mà thỏa mãn bài toán trên. ii) Có không quá một nghiệm x ∈ X thỏa mãn bài toán với mỗi y ∈ Y . iii) Bài toán ổn định trên hai không gian X, Y , nghiệm x ∈ X của bài toán phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y ∈ Y của bài toán, tức là với x, x0 ∈ X , y, y0 ∈ Y ta có x hội tụ về x0 theo chuẩn k · kX khi y hội tụ về y0 theo chuẩn k · kY . Nếu một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, khi đó bài toán trở thành đặt không chỉnh. 1.3.2 Chỉnh hóa bài toán đặt không chỉnh Một toán tử bị chặn S phụ thuộc tham số δ > 0, từ không gian Y vào không gian X được gọi là toán tử chỉnh hóa cho bài toán Ax = y trong trường hợp cụ thể là dữ liệu sai số y δ , nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) Tồn tại số δ1 > 0 sao cho toán tử S xác định với mọi δ ∈ [0, δ1 ] và với y0 ∈ Y thì ky0 − y δ kY ≤ δ . ii) Với mọi γ > 0, tồn tại số dương δ(γ, y δ ) ≤ δ1 mà thỏa mãn: ky0 − y δ kY ≤ δ ≤ δ(γ, y δ ), kéo theo kx0 − Sy δ kX = kx0 − xδ kX ≤ γ. Với việc định nghĩa toán tử chỉnh hóa như trên, trường hợp δ(γ, y δ ) được chọn không phụ thuộc vào dữ liệu sai số y δ thì ta gọi là cách chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm, còn trong trường hợp δ(γ, y δ ) được chọn phụ thuộc vào y δ thì ta gọi là cách chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm. 1.3.3 Bậc tối ưu Trong mục này, chúng tôi trình bày một số nội dung liên quan đến Bậc tối ưu. dựa trên tham khảo nghiên cứu của Tautenhahn công bố vào năm 1998. 1.4 Phương pháp chỉnh hóa làm nhuyễn Trong mục này, chúng tôi tóm tắt một số nội dung liên quan đến phương pháp làm nhuyễn. Với phương pháp làm nhuyễn, ta có thể giải các bài toán đặt không chỉnh trong các trường hợp tổng quát, trong đó có bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic. Nhờ phương pháp làm nhuyễn, ta có thể thu được các đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa và phương pháp này cũng được triển khai trên các phần mềm tính toán. 13 CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số biến thiên theo thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Các kết quả trong chương này đã được công bố trong bài báo: N. V. Duc, L. D. Nhat Minh and N. T. Thanh (2020), "Identifying an unknown source term in a heat equation with time-dependent coefficients", Inverse Problems in Science and Engineering. https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1798421 (SCIE, IF: 1.314). 2.1 Giới thiệu bài toán Ta xét bài toán xác định nguồn sau đây Bài toán ISP1: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn:  ∂u   (x, t) = a(t)∆u(x, t) + f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   ∂t x ∈ Rn , u(x, 0) = 0,     u(x, T ) = g(x), (2.2) x ∈ Rn , ∂u là sự thay đổi của nhiệt độ theo thời gian, hàm a(t) là hệ số phụ thuộc ∂t thời gian, hàm f (x)h(t) là nguồn nhiệt, ∆ là toán tử Laplace. Trong thực tế, dữ liệu đo đạc thường chứa sai số. Do đó, thay vì có dữ liệu chính xác g(x) ta giả sử chỉ có dữ liệu sai số g δ (x) ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn kg − g δ kL2 ≤ δ , trong đó δ là một hằng số dương cho trước biểu thị mức độ sai số đo đạc và k · kL2 là chuẩn L2 trong Rn . Trong suốt chương này, ta sử dụng các giả thiết dưới đây. Giả thiết 1: Hàm a(t) liên tục trên [0, T ] và tồn tại các hằng số dương a và a sao cho a ≤ a(t) ≤ a, với mọi t ∈ [0, T ]. Giả thiết 2: Hàm h(t) khả tích trên [0, T ] và bị chặn trên bởi h > 0. Ngoài ra, h(t) thỏa mãn một trong các điều kiện sau: trong đó a) Tồn tại một hằng số dương h sao cho h(t) ≥ h, với mọi t ∈ [0, T ]. b) h(t) ≥ 0, với mọi t ∈ [0, T ] và RT θ h(t)dt > 0 với mỗi θ ∈ [0, T ). 14 Giả thiết 3: Hàm f (x) thỏa mãn một trong các điều kiện dưới đây: a) kf kH p ≤ Ep với các hằng số dương p và Ep . b) |||f |||q ≤ Eq với các hằng số dương q và Eq . Để thuận tiện trong việc trình bày, ta dùng các ký hiệu sau đây Z T Z T Z T RT −τ s a(t)dt H(θ) := h(t)dt, b := a(t)dt, I(θ, τ ) := e h(s)ds, θ 0 (2.5) θ với θ ∈ [0, T ] và τ ∈ R. 2.2 Đánh giá ổn định Định lý 2.2.1. Giả sử Giả thiết 1 được thỏa mãn và kgkL2 ≤ δ . Khi đó i) Nếu Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , thì p 2(p+2) kf kL2 ≤ C1 2 p Epp+2 δ p+2 , (2.17) với C1 là hằng số dương. ii) Nếu Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , thì kf kL2 ≤ (H(0)) 2.3 −q q+b δ b q+b q q+b Eq . (2.18) Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn Đầu tiên, ta làm trơn hàm dữ liệu sai số g δ để thu được toán tử Sν (g δ ) dưới đây r !n Z 2 1 δ δ Sν (g )(x) = (Dν ∗ g )(x) = n Dν (y)g δ (x − y)dy. (2.23) π π Rn Tiếp theo, ta xác định nghiệm chỉnh hóa f ν của giải bài toán: Tìm hàm f ν thỏa mãn  ν ∂v   (x, t) = a(t)∆v ν (x, t) + f ν (x)h(t),   ∂t v ν (x, 0) = 0,     ν v (x, T ) = Sν (g δ )(x), nghiệm chính xác f (x) bằng cách x ∈ Rn , t ∈ (0, T ), x ∈ Rn , (2.24) x ∈ Rn . Các định lý dưới đây phát biểu đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. Định lý 2.3.2. Giả sử Giả thiết 1 đúng. Khi đó i) Nếu các Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ và tham số chỉnh hóa ν 1   p+2 Ep được chọn là ν = δ , thì tồn tại một hằng số Cp > 0 sao cho đánh giá sai số sau là đúng p 2 kf − f ν kL2 ≤ Cp δ p+2 Epp+2 . (2.31) 15 ii) Nếu các Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ và tham số chỉnh hóa ν  1 1 Eq 2 được chọn là ν = ln , thì đánh giá sai số sau là đúng q+b δ   b q 1 δ q+b Eqq+b , (2.32) kf − f ν kL2 ≤ 1 + H(θ1 ) với θ1 ∈ [0, T ). Giả sử 0 < δ < kg δ kL2 . Chọn τ > 1. Tồn tại duy nhất số dương νδ phụ thuộc vào δ và thỏa mãn G(νδ ) = kSνδ (g δ ) − g δ kL2 = τ δ. (2.41) Định lý 2.3.5. Giả sử Giả thiết 1 đúng và tham số chỉnh hóa νδ được chọn theo (2.41). Khi đó, i) Nếu các Giả thiết 2(a) và 3(a) thỏa mãn, với Ep > δ , thì tồn tại một hằng số Cp∗ > 0 sao cho p 2 kf − f νδ kL2 ≤ Cp∗ δ p+2 Epp+2 . (2.42) ii) Nếu các Giả thiết 2(b) và 3(b) thỏa mãn, với Eq > δ , thì tồn tại một hằng số Cq∗ > 0 sao cho q b kf − f νδ kL2 ≤ Cq∗ δ q+b Eqq+b . 2.4 (2.43) Thuật toán và ví dụ số Trong mục này, chúng tôi dùng các ví dụ trong không gian một chiều và hai chiều để minh họa cho tính hữu hiệu của thuật toán. 2.5 Kết luận Chương 2 Các kết quả của chương này là 1. Đưa ra đánh giá ổn định kiểu Hölder cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). 2. Sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán nói trên và đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm với bậc tốt hơn các nghiên cứu trước đây. Chúng tôi cũng đưa ra đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm mà các nghiên cứu trước đây chưa đề cập đến. 3. Thiết lập thuật toán không lặp để giải số bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic với hệ số phụ thuộc thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). 16 CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH NGUỒN CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC BẬC PHÂN THEO BIẾN THỜI GIAN VÀ KHÔNG GIAN Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến thời gian và không gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). Các kết quả của chương này đã được công bố trong bài báo: N. V. Thang, N. V. Duc, L. D. Nhat Minh and N. T. Thanh (2021), "Identifying an unknown source term of a time-space fractional parabolic equation", Applied Numerical Mathematics, 166, 313-332. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.04.016 (SCIE, IF: 1.979). 3.1 Giới thiệu bài toán ∂α = α là Giả sử T là số thực dương, α ∈ (0, 1), x = (x1 , ..., xn ) ∈ R . Kí hiệu ∂t đạo hàm bậc phân Caputo bậc α theo biến t. Với hằng số γ > 0, ta xác định toán γ tử Laplace bậc phân (−∆) 2 bởi công thức n ∂tα γ (−∆) 2 v(x) := F−1 (|ξ|γ F(v)(ξ))(x), γ trong đó v ∈ D((−∆) 2 ) = H γ (Rn ) với H γ (Rn ) là không gian Sobolev với bậc γ . Ở đây F và F−1 lần lượt là phép biến đổi Fourier và phép biến đổi Fourier ngược của hàm v như đã định nghĩa ở Chương 1. Bài toán chúng tôi quan tâm có dạng sau đây Bài toán ISP2: Tìm cặp hàm {u(x, t), f (x)} thỏa mãn  γ   ∂tα u + (−∆) 2 u = f (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   u(x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    u(x, T ) = g(x), x ∈ Rn , (3.1) với γ > 0 và 0 < α < 1. Trong (3.1), hàm g(x) là dữ liệu đo đạc tại thời điểm cuối T . Giả sử chỉ có dữ liệu đo đạc g δ ∈ L2 (Rn ) thỏa mãn kg − g δ kL2 ≤ δ, với δ > 0 là hằng số cho trước mô tả mức độ sai số của dữ liệu. (3.2) 17 Ở đây, hàm h(t) trong (3.1) là một hàm khả vi liên tục trên [0, T ] thỏa mãn Giả thiết 2 trong Chương 2, tức là h(t) ≥ 0, t ∈ [0, T ]; Z T h(s)ds > 0, s ∈ [0, T ). (3.3) 0 Trong chương này, ta giả sử hàm h(t) thỏa mãn thêm điều kiện sau, đó là: tồn tại hằng số T0 ∈ [0, T ) sao cho h(t) ≥ η > 0, t ∈ [T0 , T ]. Ngoài ra, với p > 0, ta giả sử tồn tại số dương E > δ thỏa mãn điều kiện kf kH p ≤ E. 3.2 (3.4) Đánh giá ổn định Định lý 3.2.3. Nếu f là một nghiệm của bài toán (3.1) và kf kp ≤ E, p > 0, e > 0 sao cho kgk ≤ δ với δ ≤ E , thì tồn tại hằng số C γ p e γ+p E γ+p . kf kL2 ≤ Cδ (3.8) Nhận xét 3.2.4. Trong Định lý 3.2.3, đánh giá (3.8) có bậc tối ưu. 3.3 Chỉnh hóa bài toán xác định nguồn Ta tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn. Bài toán (3.1) xác định cặp hàm {u(x, t), f (x)} được thay bởi bài toán tìm cặp hàm {v ν (x, t), f ν } thỏa mãn  γ   ∂tα v ν + (−∆) 2 v ν = f ν (x)h(t), x ∈ Rn , t ∈ (0, T ),   (3.12) v ν (x, 0) = 0, x ∈ Rn ,    v ν (x, T ) = S (g δ )(x), x ∈ Rn , ν q n 2 δ (Dν ∗ g δ )(x). Bài toán (3.12) là một bài toán ổn định, ta với Sν (g )(x) := π sẽ chứng minh điều này trong Định lí 3.3.1. Định lý 3.3.1. Bài toán (3.12) là ổn định. Hơn nữa, nếu {viν (x, t), fiν } là nghiệm của (3.12) tương ứng với dữ liệu giδ , i = 1, 2, thì tồn tại hằng số C̄ > 0 sao cho kf1ν − f2ν kL2 ≤ C̄(1 + ν γ )kg1δ − g2δ kL2 . Sau đây là định lý đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm. Định lý 3.3.2. Giả sử điều kiện (3.4) được thỏa mãn, với E > δ và tham số chỉnh 1   p+γ E hóa ν = . Khi đó, tồn tại hằng số C ∗ > 0 sao cho δ p γ kf − f ν kL2 ≤ C ∗ δ p+γ E p+γ . 18 Trong luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm, giả sử 0 < δ < kg δ kL2 , lấy τ > 1 sao cho 0 < τ δ < kg δ kL2 . Ta đặt hàm G : (0, +∞) → (0, +∞) cho bởi G(ν) = kSν (g δ ) − g δ kL2 . Tồn tại số νδ > 0 phụ thuộc vào tham số δ sao cho G(νδ ) = kSνδ (g δ ) − g δ kL2 = τ δ. (3.23) Đánh giá sai số cho nghiệm chỉnh hóa theo theo luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu hậu nghiệm được phát biểu trong định lý sau. Định lý 3.3.6. Giả sử điều kiện (3.4) được thỏa mãn, tham số νδ được chọn bởi công thức (3.23) và E > δ . Khi đó, tồn tại một hằng số C ∗∗ > 0 sao cho p γ kf − f νδ kL2 ≤ C ∗∗ δ p+γ E p+γ . 3.4 Thuật toán và ví dụ số Trong mục này, chúng tôi thiết lập một phương pháp giải số trực tiếp để tính toán nghiệm chỉnh hóa f ν và chúng tôi sử dụng các ví dụ trong không gian một chiều và hai chiều. 3.5 Kết luận Chương 3 Các kết quả của chương này là 1. Đạt được đánh giá ổn định kiểu Hölder với bậc tối ưu cho bài toán xác định nguồn cho phương trình parabolic bậc phân theo cả biến không gian và thời gian trong không gian Hilbert L2 (Rn ). 2. Tiếp tục sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa bài toán này và đạt được đánh giá sai số kiểu Hölder cho nghiệm chỉnh hóa theo cả luật chọn tham số chỉnh hóa kiểu tiên nghiệm và hậu nghiệm. 3. Xây dựng một thuật toán trực tiếp để giải bài toán này trên phần mềm Matlab, trình bày các ví dụ trong không gian một chiều và hai chiều để minh họa cho tính hữu hiệu của phương pháp chỉnh hóa.