Tài liệu Về một số bài toán ngược trong phương pháp trọng lực

80 GIAO DUCvA BAo TAO TRUONG BAI HQ'C TONG H<)P THANH P'HO HO CHi MINH vO VAN THANH VE MOT s6 BAt ToAN NGlJQC TRONG PHUONG PHAp TRQNG Lt)'C CHUYEN NGANH : E)!AVAT LY MAs6: 1,02,24 TOM TAT LuAN AN PHO TIEN sf KHOA HQC ToAN-LY D!-J.XH.TU"NHIEN . '" ~~ ~ '! <1' ,;>, I ' ,- " t .-1 ~ ~,.'S'. ~, ~', tI ' , ' J '....!fN , ~ l THAN H PHO HO CHi MINH - 1995 r- Cong trlnh duQc haan thanh t~i TRUONG BAI HQC TONG H<;jPTHANH PHO HO CHI MINH Nguoi huang d§.n khoa h9C : Giao Su Tie'n SI BANG BINH ANG B~i H9CT6ng HQpTp. H6 Chi Minh Nhii'ngnguoi nh~n xet : 1. 2. Cd quan nh~n xet : Lu~n an duQc bllO v'f;t~i HQi d6ng cha'm Iu~n an Nha nuac VaGgio ngay thang nam 1995 t~i Truong B~i H9C T6ng HQP Tp. HA Chi Minh. Co th~ tlm d9c lU~i1an t~i Thu vi~n Truong B~i H9C T6ng HQp Tp. H6 Chi Minh va Thll' vi~n Khaa H9c T6ng HQp Tp. H6 Chi Minh. 1 D!C DIEM CHUNG CUA LU~ AN 1. M-q.eweh nghien euu B~ tai "V~ mQt s6 bai tmin nguqe trbng phuang phap trc;mgItJe"duqe thtJe hi~n nhAm : (i) V~ n4t h<;>ethu~t, ehlnh h6a mQt s6 bai toan nguqe tuye'n tinh khong chlnh thuCmg g~p trong phuang phap tr<;>ngItJc trong V~t Ij dia c~u U'ng d\illg. (ii) V~ n4t U'ngd1:mg,tren ca sO'cae m~ hinh toanda khao sat, dua ra mQt s6 phuang phap x1i Ij s6 li~u trong phuang phap tr<;>ngItJe. 2. Phtidng phap nghien euu Cae bai roan duqe dua v~ phuang trlnh tieh phan lo~i I Av=F trong do A la roan t1i tuye'n tinh lien t'.1egiiJa cae khong gian ham, F duqe tinh tU cae diJ ki~n cho va v la ham c~n time Hai phuang phap chlnh h6a duqc dung la phuang phap Tikhonov va phuang phap bai roan moment. Cong c'.1toan h9C duge s1i d'.1ngla Iy thuye't giai tieh va giai tieh ham, giai tich s6. Cae thu~t roan dua ra duqe I~p trlnh d~ eh~y tren may tinh ea nhan. 3. Nhung dong gap moi eua lu;J.nan. (i) Tim duqe nghi~m chlnh h6a cua mQt s6 bai toan nguqe tuye'n tinh; uae luqng duqe SID s6 giiJa nghi~m chlnh h6a va nghi~m chinh xac duai anh hudng eua nhi~u do d~e; -' c 2 (ii) Bua ra phuang phap tinh cac s6 li~u do tr(;mg h,ic trong nhUng vung khong co s61i~u do. (iii) Bua ra mQt cacn. tie'p t\lc giai tlch trt1dng di thudng tr~mg h,ic v~ phia di vl}t. (iv) x8.c dinh hi~u 86 ml%t dQ di Vl}t va moi trudng xung quanh tU 86 do di thudng tr<;mg h,ic va gradient cua no iran mQt mi~n hUll h~n. Bong gap mai 180dua bai toan Cauchy hinh xtYly s6 li~u tr<;mg h,ic. 4. Y nghiathl1c . vao mo ti~n cua lu~n an. Ke't qua nghien coo cua d~ tai 113.CC1sa khoa h<;>ctrong giai toan dinh lugngs61i~u tr<;>ngIvc trong V~t ly dia Call ling d\lng. B6ng thai d~ tai con dugc stYd\;mg trong nghien coo khoa h<;>cva giao d\lc dilO ~o ng8onh Vl}t ly dia Call. 5. ca'u trUc lu~n an. NQi dung lul}n an dugc trlnh bay trong6 chuang, ma dan, ke't lul}n va thu m\lc tai li~u tham khao; g6m 99 trang danh may. 6. Gid'i thi~u cac bai baa va baa cao. khoa lien quaD de'n lu~n an. hQc NQi dung cua lul}n an da dugc cong b6 trong 7 cong trinh trong nuac va nuac ngoai. MQt phan ke't qua cua lu~n an da dugc baa CaDtham gia hQi nghi khoa h<;>ctrong nuac. Tac gia xin bay to long bie'tan san siic v~ Thay huang d~n GSTS B~ng Binh Ang, nglidi da he't long diu diit va huang dAn thvchi~n lul}n an nay. 3 . Trong qua trinh hoan thanh lul%n an, tac gia da nhl%n dl1gc nhi~u y kie'n quy bau cua PGS La Quang To~i, BHTH Tp. HCM, PGS Trlin V1nh Twin, Trung Tam H9C Li~u Tp. HCM, GST8 La Minh Trie't, Vi~n Khoa H9C Gong Ngh~ va Moi TrliCmg,PT8 Nguy~n Bt1c Tie'n, BHBK Tp. HCM, PT8 La Quang Quye't, Phan vi~n Dliu Khi. Lul%nan nay khong th~ hoan thanh ne'u thie'u slJ giup dO' v~ vl%tcha't ding nhl1 tinh thlin cua PG8 Nguy~n Van Be'n, PGS Nguy~n Nhl%tKhanh, Th~c 81 Trlin Ta'n My~. Giang Viall B~ng Van Li~t, Khoa Vl%t Ly BHTH Tp. HCM; Giang Viall Binh Ng9c Thanh, Khoa Toan BHTH Tp. HCM, Giang Vian Chu Bt1c Khanh, TrliCmg DlJ Bi B~i H9C Tp. HCM. Tac gia xin bay to long bie't an chan thanh d6i v6'i ta't ca cac ca nhan va cctquan n6i trail. ~ ./ r 4 PHAN MO HINH I TOAN HOC ChUdng 1 : ruNG QUAN vE BAI ToAN NGUQC TRONG TRQNG LVC T. Blli toaD thu~n, hili toaD ngdqc. Trong V4tly,khi me}t nh6m slf ki~n nha't dinh nao do dugc hQi du thi sinh ra mQt nh6m slf ki~n nha't dinh khac. Hai nh6m slf ki~n nay d\1gc baa la co lien h~ nhan - qua d6i v6i nhau. Nh6m trtiac g<;>ila nhan, nh6m sau g<;>ila qua. Thi d\l trong Tr<;>ngI1JC,ph an b6 IIU%tde} kh6i lugng cua mQt vl%tla nhan con the' tr<;>ngllfC do vl%t nay sinh ra la qua. Biii toan cho ml%t de} kh6i lugng (nhan), tim the" tr<;>ng 11JC(qua) dugc g<;>iIii bai toan thul%n; con bai toan bie"t the' tr<;>ngllfC tim phan b6 ml%t dQ kh6i lugng la bai toan ngugc. ll. Bi(;u di~n toaD h9C. . Me}t qua trinh Vl%tly thucmg dugc bi~u di~n bang ma hinh roan g6m : dliu vila, h~ th6ng, dliu ra (hlnh 1). 1 1 ' ' 1 ! , i I F D>uv,o '~-----------1' I P I Heth6ng ----- . -------- D'"" u QUa trlnh --_u_-- , i I , 5 Hinh 1. Mo hinh toan cua mQt qua trinh V~t 1y. Vi~c nghien cllu qua trinh V~t 1y thong qua mo hinh toan co thg chia thanh ba 1o~ibai toan sau day: (A) Bai toan thu~n : Cho d~u vaG va h~ th6ng (tham so), till d~u ra. (B) Bai toan khoi ph\lc : Cho d~u ra va h~ th6ng (tham so) till d~u vaG. "(C) Bai toan xac dinh h~ th6ng : Cho d~u vaG va d~u ra, xac dinh h~ th6ng (tham so). Bai toan" thuQc lo~i (A) duqc baa 1a thu~n vi no thee chi~u tli nhan tai qua. Theo y nghla nay thi cac bai toan thuQc lo~i (B) va (C) duqc gQi1a bai toan nguqc. Bai toan (B) thuC1ngxua't hi~n trong phuemg phap tli trQng llfC;bai toan (C) trong tham do di~n va dia cha'n. ill. Bai toaD khong chinh. Nam 1902, nha toan hQc Phap J.Hadamard dua ra cae tieu chmln dg mQt bai toan duqc gQi 1a d~t dung (chinh) nhu sau. 1.- Nghi~m phai t6n t~i (slf t6n taD. 2.- Nghi~m phai duqc xac dinh mqt cach duy nha't bi1icac dli ki~n cho (SIf duy nha't). 3.- Nghi~m phai tuy thuQc mQt cach lien t\lc va cac dli ki~n cho (slf 6n dinh). Ne'u mQt (ho~c nhi~u hem) trong ba tieu chmln noi tran khong duqc thoa thi bai toan duqc gQi 1a khong chinh. ./ r 6 IV. Chinh hoa Chinh hoam(>t -bai toan khong ehinh la tim nghi~m xS:p xi 6n dinh eua bai toan, g9i la nghi~m ehinh boa. Trong lul%nan nay me gill dunghai phl1cmg phap : ph\1C1IlgphIlp Tikhonov va phl1cmg phap dung hai toan maIDen hOO h~n 1. Phudng - phap chinhhoa Tikhonov V6'i U vaF la cae khong gian ham, xet anh x~ A: U F ~ UEU~fEF Au= f (1) Gia stYphl1cmgtrlnh (1), v6i ~n u la bai toan khong ehinh thee nghla di~u ki~n 3 bi vi ph~m. - B~ ehinh hoa Tikhonov, thay bai toan (1) b~ng bai toan. Bp u =f (2) Bp dl1ge eh9n sac eho (2) la bai toan d~t dung thee nghla Hadamard. 2. Phudng phap chinhhoa dung bai toaD momen hiiu hIt-no V6'i H va KIa cae khong gian ham va A:H ~ K veH ~ Gia sa phti<1llgtrinh (3), vai ~n ham v, ne'u co nghi~m thi se co vo s6 nghi~m. B!iy gid ta co bai toan khong chinh theo Hadamard (di~u ki~n 2 bi vi ph~m). Chinh hoa (3) biing each thay (3) bai cae bai toan moment hfiu h~n Aiv = i = 1, ..,n (x) . (5) a thi (4) co d~ng J v(l;)g(xbl;)d~ = q>(xi), i = 1,...,n (6) a trong do ~n ham v trong phti<1llgtrinh (6) (ma chung toi ky hi~u 1a vn) dtiqc tim trong khong gian hfiu h~n chi~u sinh bai cae gi vai gi (~= g(xi,1;) V. Me}t 86 bili to an ngUQc trong 'fr9ng I1fc. Trong phti<1llgphap tr~mg hie thudng g~p cae bai toan nguqe tuye'n tfnh sail day: ale Bili tmin tim phan b6 m~t de}p(x). Trong bai toan nay nguC1ita eho hinh dang va kfeh thtiae eua di v~t 0, di thtidng ilg do di v~t gay ra. Tim ph an b6 m~t de:?p . ...! r 8 Bay la bai toan khong chinh thee nghla co vo so nghi~m ho~c khong co nghi~m. hi. Bai toan chuy~n tniong xu6ng duOi. Trong bai roan nay nguai ta cho di thuang tr«;mgl,!c U;li ~t co dQ caoh, bell tren ~t d6t, tim di thuang trc;mg l,!c U;li~t d6t. Bai roan nay thuQc lo~i khong chinh thee nghla khong co nghi~m ho~c ne'u co. nghi~m thi nghi~m la duy nh6t nhu'ng khong . tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao cac dii' ki~n . choo c/. Bai toan ngol1-i 8UY86li~u do. Trong bai roan nay nguai ta chi cho di thuang trgng l,!c Uo va gradient ul cua no trong mQt wng hOOh~n tren ~t d6t, tim v la gradient cua di thuang tren ~t d6t bell ngoai mi~n do d~c. Bay la bai. roan khong chinh thee nghla nghi~m khong tuy thuQc mQt cach lien t\lc vao di~u ki~n chao d!. Bai toan tim hinh d~ng D. Trong bai toan nay nguai ta cho p tim hinh d~ng D tU di thuang tr«;mgl,!c do tren m~t d6t. Bay la bID toan phi tuyen. Bai roan nay dii du 0 }thoa v2u 1 l =0 , tren D, u(x,O)= Uo(x) . (1) (2) (3) ,- 1(x) (4) 11 trong do q>(x)= 1tUo(x) -J In Ix - ~ ~1 (~d~ I (4) La phtiang trlnh tich ph an tfnh v. Chinh hoa (4) bAng cae bai toan moment hoo h~n _l_n (V n , g J = q>i ,1<'< trong do (5) ,1 i gi=lnlxi-1 n, xi E I q>i =CP(xi) Chung t6i thu dtigc ke't qua ([6]) (i) Nghi~m chinh hoa trti6'c, tim dtigc ~b ...'~n E = : V6'i cP {cpJ ,1 ~ i ~ n R d~ cho n V n (q» cho (6) = L~igi i=l la nghi~m chinh hoa cua (4). (ii) U6'c ltigng sai s6: V6'i nhi~u dil ki~n 0 > 0 thoa II ~ - q> IL ~0 thi 8ai 86 giila nghi~m chinh hoa va nghi~m chinh xac Vo la IIVn«»(/-l)- Vo 11O} r ~ l . thoa V2u = 0 ,tren D, u(x, y,O)= uo (x, y) , (x, y) e K , Uy(x,y,O)=Ul(~'Y) ,(x,y)eK, va lien t1}ctren D ={ (7) (8) (9) (x, y, z) 1- 00 < x, y < 00 , Z ~0 } va K = { x, Y ) (10) R2\K [(x -~) + (y - 11)] cp(x, y)= 27tUo(x, y) - II K [(X u 1(~11)d~d11 1/2 - ~)2 + (Y - 11)2] Chinh hoa bflng bai toan moment hUll h~n, thu dugc ke't qua tl1ang t\f nhu 11.2 trong chuang nay. 13 IV. Bai tmin Cauchy cho phudng trong mQt dai khong d~u. trinh Laplace IV.I. Bai toaD. Bai toan dl1gcxet la : TimmQt ham u(x,y) vai (x,y) E D trong do D la mQt mi~n phling dl1gcd~nh nghia bd'i D = {(x,y).I-co 0 thoa IIF-Fo 11<8 thl sai s6 giila nghi~m chinh hoa Vg(13=8)va nghi~m chinh xac cho bi!Ji . live- Yo II::;K{ln(B)-l khi 8~O . trong do K la h~ng s6. ChUc1ng 3 : B.Al TOAN nffiICHLET NGU(jC CHO PHUdNG TRiNH LAPLACE I. GiOi thit?:u. Bai toaD Dirichlet chophttang trlnh Laplace la bai toan d~t dung cc:>di~n. Tuy nhien trong khoa h9c va ky thu~t co nhi~u tniemg hgp quan..tr9ng dtta de'n vi~c phiii xet bai roan tlm dil ki~n Dirichlet tran bien cua mi~n xac dinh cua mQt ham di~u boa khi chi bie't gia tIi cua ham di~u boa nay tran mQt mi~n con cua mi~n xac dinh. Bay la bai toan Dirichlet ngugc cho phuong trlnh Laplace. Trong phl1ang phap tham do tr9ng hie cua Bia v~t ly, nguai ta do di thl1ang tr9ng h!c i!JdQ cao k d6i vai ~t dlit. Trttang di thl1ang nay phan anh cac c4u trUc dia chlit d g~n mat dlit - di thttemg dia phl1ang - cimg vai cac cliu trUc dia chlit d san dl1ai m4t dlit - di thttemg khu V1f.c -. B~ 19Cdi di 15 thuCrng khu v,!c, nghla lam n6i b~t cae di thuCrng dia phuang, ngliCrita phai xac dinh di thuCrngtr<;mgl,!c (; ngay tren m~tda't. Trong truCrng hgp nay, cae tri gia di thuCrng tr<;mghjc do 0 dq caD k so vai m~t da't du d€ xac dinh di thuCrngtren ~t da't. ll. Bai toan Dirichletngtigc cho phudng Laplace tren nua ml}t phAng. trinh ll.l Bai toan. Bai toan dugc xet la cho ham u(x, y) veti (x, y) e D trong do D = {(x, y) 1- 00< x < 00,y > 0 } thoa V2U(X,Y)= 0 {. u(x, k) = f(x) (x,y) E D (14) 'fix E R, k > 0 vai k la h~ng s6 va f la ham cho trliac. TIm ham v(x) =u(x,O). ll.2. Thie't l~p phu'dng boa. trinh tich phan va chinh Chung toi thie't l~p dugc phuang t,rinh tich phan L ro kv(~)d~ f( X ) , 'fix E R 1[ 2 2 f (15) (x -~) + k trong do f(x) la ham cho truac va v(~) la ham c~n tim. -'00 Phuang trinh nay truac day da dugc nhi~u ngliCri giai b~ng phuang phap xa'p xi. Dung phuang phap chinh hoa Tikhonov chung toi thu dugc ke't qua gi6ng IV.2 Chuang 2. ([4]) 16 m Bai tmin Dirichlet ng\tqc cho ph1idng trinh Laplace tren nua khong gian. m.l Bai toaD Bai tmin dtigc xet bay gid 1a cho.ham u(x,y,z) vai (x,y,x) E D, trongdo D = {(x,y, z) 1- 00 < x < 00 ,~ 00 < y < 00, Z > 0 } thoa V2u(x,y,Z) = 0 (x,y,z)eD { u(x, y, k) = f(x, y) \::Ix,Y e R2, k > 0 (16) Ta tim v(x,y) = u(x,y,O). m.2. Thie't l;)p ph1idngtrlnh dch phan va chinh hoa Chung t6i thie't 1~p dugc phU<1Ilgtrinh tich phan ..L k J ~ co J co -a) kv(!;, 11)d~dTl [(x - ~2 + (y -11)2 + k2] ~ f( ~y ) (17) trong do f 1a ham cho trtiac va v 180d1;s;is2ntren B. Vd'i dil ki~n - Xem thêm -