Tài liệu Về mô hình kinh tế nash - cournot

  • Số trang: 58 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 128 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MÔ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ————————————— ĐỖ HỒNG THÁI VỀ MÔ HÌNH KINH TẾ NASH - COURNOT CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN QUÝ THÁI NGUYÊN - 2011 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Chương 1.Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan . . . . . . 7 1.1.Một số khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp . . . . . . . . . 15 1.4.Bài toán bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.5.Bài toán tối ưu hoá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.6.Bài toán điểm bất động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Chương 2.Mô hình kinh tế Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.Mô hình kinh tế Nash-Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.1. Phát biểu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.2. Mô hình kinh tế Nash-Cournot với bài toán cân bằng. . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.Mô hình kinh tế Nash-Cournot cho một số trường hợp riêng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.1. Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá của các hãng là như nhau và hàm chi phí tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2.2. Hàm lợi nhuận có hệ số giảm giá của các hãng là khác nhau và hàm chi phí tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương 3.Mô hình cân bằng kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.Mô hình kinh tế Nash-Cournot với hàm chi phí lõm. 42 3.2.Sự tồn tại nghiệm của mô hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 3.3.Một phương pháp phân rã giải mô hình với hàm chi phí lõm tuyến tính từng khúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Bản luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Quý. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy về sự hướng dẫn tận tình trong suốt thời gian tác giả nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Trong quá trình học tập chương trình cao học tại Đại học khoa học, tác giả đã nhận được sự quan tâm giúp đỡ và sự giảng dạy tận tình của GS. Nguyễn Văn Mậu, GS Lê Dũng Mưu, GS. Trần Vũ Thiệu, PGS. Lê Thị Thanh Nhàn, PGS. Nông Quốc Chinh, PGS.Đỗ Văn Lưu, PGS. Tạ Duy Phượng, TS. Nguyễn Thị Thu Thuỷ, TS. Vũ Mạnh Xuân, TS. Vũ Vinh Quang, cùng rất nhiều thầy, cô giáo công tác tại Viện Toán Học Việt Nam, Viện Công Nghệ Thông Tin, Trường đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy, các cô. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, cô giáo Trường đại học khoa học- Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho việc học tập và nghiên cứu của tác giả. Tác giả xin chân thành cảm ơn các anh chị, các bạn học viên lớp cao học toán K3A (Đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên), bạn bè, đồng nghiệp. Đặc biệt cảm ơn bạn Trần Xuân Thiện đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 07 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái 3 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Mô hình cân bằng thị trường độc quyền tập đoàn do A. Cournot đưa ra vào năm 1838 và đã được rất nhiều tác giả trên thế giới tập trung nghiên cứu. Mô hình này có thể được mô tả như một bài toán cân bằng Nash trong lý thuyết trò chơi không hợp tác gồm n người chơi. Gần đây người ta quan tâm rất nhiều đến việc giải quyết bài toán trên vì những ứng dụng của nó vào thực tiễn cuộc sống là rất đa dạng, đặc biệt là trong lĩnh vực kinh tế. Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng về mô hình kinh tế Nash - Cournot là việc xây dựng phương pháp giải mô hình trong các trường hợp cụ thể. Nhiều tác giả trên thế giới đã gắn kết mô hình kinh tế Nash – Cournot với các bài toán quen thuộc như: bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu, bài toán điểm bất động và đã đưa ra được các phương pháp giải trong nhiều trường hợp cụ thể với những giả thiết khác nhau. Nội dung của bản luận văn này là trình bày một cách khái quát về bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan. Sau đó mô tả mô hình kinh tế Nash - Cournot dưới dạng bài toán cân bằng và đưa ra phương pháp giải mô hình trong một số trường hợp riêng. Bản luận văn gồm 3 chương. • Chương 1. Trình bày khái quát về bài toán cân bằng và các bài toán có liên quan như bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu hóa, bài toán điểm bất động. • Chương 2. Giới thiệu về mô hình kinh tế Nash - Cournot và việc đưa mô hình kinh tế Nash - Cournot về bài toán cân bằng mà cụ thể là đưa mô hình về bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, sau đó nghiên cứu mô hình trong trường hợp hàm lợi nhuận có hệ số giảm Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 giá như nhau, khác nhau và hàm chi phí tuyến tính. • Chương 3. Nghiên cứu mô hình kinh tế Nash- Cournot trong trường hợp hàm chi phí lõm và đưa ra một phương pháp giải mô hình trong trường hợp hàm chi phí lõm và tuyến tính từng khúc. Do thời gian thực hiện luận văn có hạn, kiến thức của tác giả còn hạn chế, sử dụng phần mềm soạn thảo text chưa thực sự thành thạo nên bản luận văn này không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và các bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, ngày 19 tháng 05 năm 2011 Tác giả Đỗ Hồng Thái Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Chương 1 Bài toán cân bằng và các bài toán liên quan Trong chương này, sau khi đưa ra một số khái niệm cơ bản có liên qua đến nội dụng của bản luận văn, chúng tôi sẽ giới thiệu một số bài toán cơ bản có liên quan đến mô hình kinh tế Nash - Cournot. Đó là các bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán tối ưu và bài toán điểm bất động. 1.1. Một số khái niệm cơ bản Dưới đây ta trình bày một số khái niệm cơ bản, những khái niệm này có liên quan mật thiết với các nội dung quan trọng của chương. Định nghĩa 1.1. (Hàm lồi, xem [10], định nghĩa 1.1.3) Cho W là các tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , ϕ : W → R là một hàm. Hàm ϕ được gọi là: (i) Lồi trên W nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W và ∀α ∈ [0, 1], ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 (ii) Lồi ngặt trên trên W nếu với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W và ∀α ∈ (0, 1), ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) < αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ). (iii) Lồi mạnh trên trên W với hằng số r > 0 nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W và ∀α ∈ [0, 1], ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ αϕ(u) + (1 − α)ϕ(v ) − 0, 5α(1 − α)r ku − vk2 (iv) Giả lồi trên W : với mỗi cặp u, v ∈ W và ∀α ∈ [0; 1] nếu h∇ϕ(v ), u − vi ≥ 0 thì ϕ(u) ≥ ϕ(v ). (v) Tựa lồi trên W nếu với mỗi cặp u, v ∈ W và ∀α ∈ [0, 1] ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) ≤ max {ϕ(u), ϕ(v )}. (vi) Tựa lồi thực sự trên W nếu ϕ là tựa lồi trên W và với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W , ∀α ∈ (0, 1) ta có: ϕ (αu + (1 − α)v ) < max {ϕ(u), ϕ(v )}. Định nghĩa 1.2. (Ánh xạ đơn điệu, xem [10], định nghĩa 1.1.1) Cho W là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , Q : W → Rn là một ánh xạ, ánh xạ Q được gọi là: (i) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W , ta có: hQ(u) − Q(v ), u − vi ≥ 0 (ii) Đơn điệu ngặt trên W nếu với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W ta có: hQ(u) − Q(v ), u − vi > 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 (iii) Đơn điệu mạnh trên W với hằng số r > 0 nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W ta có: hQ(u) − Q(v ), u − vi ≥ r ku − vk2 (iv) Giả đơn điệu trên W : với mỗi cặp điểm u, v ∈ W nếu hQ(v ), u − vi ≥ 0 thì hQ(u), u − vi ≥ 0. (v) Tựa đơn điệu trên W : với mỗi cặp điểm u, v ∈ W nếu hQ(v ), u − vi > 0 thì hQ(u), u − vi ≥ 0. (vi) Tựa đơn điệu thực sự trên W : với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W nếu hQ(v ), u − vi > 0 thì hQ(z ), u − vi > 0 trong đó z ∈ (0, 5(u + v ), u). Định nghĩa 1.3. (Song hàm cân bằng, xem [10], định nghĩa 2.1.4) Cho U là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , Φ : U × U → R ∪ {+∞} được gọi là một song hàm cân bằng trên U nếu: Φ(u, u) = 0, ∀u ∈ U Ví dụ 1.1: Cho hàm Φ(x, y ) = x2 − 2xy + y 2 x, y ∈ R. Hiển nhiên ta có Φ(x, x) = 0 ∀x ∈ R. Vậy Φ là một song hàm cân bằng trên R. Ví dụ 1.2: Cho hàm Φ(x, y ) = x − y x, y ∈ R. Hiển nhiên ta có Φ(x, x) = 0 , ∀x ∈ R. Vậy Φ là một song hàm cân bằng trên R. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Định nghĩa 1.4. (Song hàm cân bằng đơn điệu, xem [10], định nghĩa 2.1.5) Cho W là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn , Φ : W × W → R ∪ {+∞} là một song hàm cân bằng, song hàm Φ được gọi là: (i) Đơn điệu trên W nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W , ta có: Φ(u, v ) + Φ(v, u) ≤ 0 (ii) Đơn điệu ngặt trên W nếu với mỗi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W , ta có: Φ(u, v ) + Φ(v, u) < 0. (iii) Đơn điệu mạnh trên W với hằng số r > 0 nếu với mỗi cặp điểm u, v ∈ W ta có: 2 Φ(u, v ) + Φ(v, u) ≤ −r ku − vk . (iv) Giả đơn điệu trên W : với mỗi cặp điểm u, v ∈ W , nếu Φ(u, v ) ≥ 0 thì Φ(v, u) ≤ 0. (v) Tựa đơn điệu trên W : với mỗi cặp điểm u, v ∈ W , nếu Φ(u, v ) > 0 thì Φ(v, u) ≤ 0. (vi) Tựa đơn điệu thực sự trên W nếu Φ là tựa đơn điệu trên W và với mọi cặp điểm phân biệt u, v ∈ W : nếu Φ(u, v ) > 0 thì Φ(z, u) < 0, ∀z ∈ (0, 5(u + v ), v ). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Định nghĩa 1.5. (Ánh xạ co, xem [7], định nghĩa 1.1.1) Cho U là tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn . Ánh xạ F : U → U được gọi là ánh xạ co nếu: ||F (u) − F (v )|| ≤ α||u − v||; ∀u, v ∈ U, ∀α ∈ R, 0 < α < 1 Khi α = 1 ta gọi ánh xạ F xác định như trên là ánh xạ không giãn. 1.2. Bài toán cân bằng Bài toán cân bằng là một bài toán có rất nhiều ứng dụng, đặc biệt là trong kinh tế. Sau đây ta sẽ trình bày bài toán và một số tính chất cơ bản của bài toán này. Định nghĩa 1.6. (Bài toán cân bằng, xem [10], định nghĩa 2.1.4) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ : U ×U → R∪{+∞} là một song hàm cân bằng trên U . Bài toán cân bằng là bài toán:  Tìm điểm u∗ ∈ U sao cho (EP ) Φ (u∗ , v ) ≥ 0, ∀v ∈ U Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP) là: SOL- EP(Φ,U). Định nghĩa 1.7. (Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng, xem [10], định nghĩa 2.1.4) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ : U ×U → R∪{+∞} là một song hàm cân bằng trên U . Bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng (EP) là bài toán:  Tìm điểm v ∗ ∈ U sao cho Φ (u, v ∗ ) ≤ 0, ∀u ∈ U (DP ) Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu của bài toán cân bằng (EP) là: SOL - DP(Φ,U). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Sau đây chúng ta đi tìm hiểu vấn đề về sự tồn tại nghiệm và tính chất nghiệm của bài toán cân bằng. Mệnh đề 1.1. (Xem [10], mệnh đề 2.1.14) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ : U ×U → R∪{+∞} là một song hàm cân bằng sao cho: với mỗi v ∈ U thì Φ(., v ) là hàm nửa liên tục trên và mỗi u ∈ U thì Φ(u, .) là giả lồi. Ngoài ra ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: (a) U là tập bị chặn. (b) Tồn tại tập con bị chặn W 6= ∅ của U sao cho với mỗi u ∈ U \W có v ∈ W thoả mãn Φ (u, v ) < 0. Khi đó bài toán cân bằng (EP) có nghiệm. Mệnh đề 1.2. (Xem [10], mệnh đề 2.1.16) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ : U ×U → R∪{+∞} là một song hàm cân bằng. Khi đó: (i) Nếu Φ là đơn điệu ngặt trên U thì bài toán cân bằng (EP) có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Nếu Φ(., v ) là nửa liên tục trên với mỗi v ∈ U , Φ(u, .) là nửa liên tục dưới với mỗi u ∈ U , đồng thời Φ là đơn điệu mạnh trên U thì bài toán cân bằng (EP) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. (i) Giả sử u∗ và v ∗ là hai nghiệm phân biệt của bài toán cân bằng (EP). Khi đó ta có: Φ(u∗ , v ∗ ) ≥ 0. và: Φ(v ∗ , u∗ ) ≥ 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Mặt khác do Φ là đơn điệu ngặt nên ta có: Φ(u∗ , v ∗ ) + Φ(v ∗ , u∗ ) < 0; ∀u∗ , v ∗ ∈ U Đây là một điều vô lý. Vậy nếu Φ là đơn điệu ngặt thì bài toán cân bằng (EP) có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Theo kết quả (i) ở trên ta chỉ cần chứng mình bài toán cân bằng (EP) có nghiệm. Thật vậy, lấy bất kỳ z ∈ U. Từ giả thiết Φ(z, .) là nửa liên tục dưới ta luôn có số µ > −∞ sao cho: Φ(z, w ) ≥ µ, ∀w ∈ B (z, 1) ∩ U . Chọn bất kỳ: u ∈ U \B (z, 1) và số: λ= 1 |z − u| . Khi đó ta có: w = λu + (1 − λ)z ∈ B (z, 1) ∩ U Bằng việc sử dụng tính lồi ta có: µ ≤ Φ(z, w) ≤ Φ(z, u)/ kz − uk sử dụng tính đơn điệu mạnh của Φ ta lại có: 2  Φ(v, z ) ≤ −µ kz − uk − r kz − uk = − kz − uk µ + r kz − uk < 0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 trong đó: kz − uk > −µ r Hơn nữa ta có:   −µ W = U ∩ B (z, µ0 ) với µ0 = max 1, . r Sử dụng (b) của mệnh đề 1.1. ta có kết luận bài toán cân bằng (EP) có nghiệm, từ đó ta có kết luận bài toán cân bằng (EP) có nghiệm duy nhất.  Mệnh đề 1.3. (Xem [10], mệnh đề 2.1.16) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ : U ×U → R∪{+∞} là một song hàm cân bằng trên U. Khi đó: (i) Nếu Φ(u, .) là tựa lồi và nửa liên tục dưới với mỗi u ∈ U thì tập nghiệm của bài toán đối ngẫu với bài toán cân bằng SOL − DP (Φ, U) là lồi và đóng. (ii) Nếu Φ(., v ) là nửa liên tục trên với mỗi v ∈ U và Φ(u, .) là giả lồi thực sự với mỗi u ∈ U thì tập nghiệm của bài toán đối ngẫu với bài toán cân bằng nằm trong tập nghiệm của bài toán cân bằng, nghĩa là SOL − DP (Φ, U) ⊆ SOL − EP (Φ, U). (iii) Nếu Φ là giả đơn điệu thì tập nghiệm của bài toán cân bằng nằm trong tập nghiệm của bài toán đối ngẫu với bài toán cân bằng, nghĩa là SOL − EP (Φ, U) ⊆ SOL − DP (Φ, U). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 1.3. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp Một trong những trường hợp riêng quan trọng của bài toán cân bằng là bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, bài toán được mô tả như sau: Định nghĩa 1.8. (Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, xem [10]) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ và hàm ϕ : Rn → R ∪ {+∞}. Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp là bài toán:  Tìm điểm u∗ ∈ U sao cho hF (u∗ ), v − u∗ i + ϕ(v ) − ϕ(u∗ ) ≥ 0, ∀v ∈ U (M V I ) Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp là: SOL - MVI(F,U). Nhận xét: Bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) là một trường hợp riêng của bài toán cân bằng (EP). Thật vậy, bằng cách đặt hàm Φ như sau: Φ (u, v ) = hF (u), v − ui + ϕ(v ) − ϕ(u) Ta dễ dàng nhận thấy Φ là một song hàm cân bằng, do đó bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) trở thành bài toán cân bằng (EP). Định nghĩa 1.9. (Bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp, xem [10]) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ và ϕ : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi. Bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp là bài toán:  Tìm điểm v ∗ ∈ U sao cho hF (u), u − v ∗ i + ϕ(u) − ϕ(v ∗ ) ≥ 0, ∀u ∈ U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (DM V I ) http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Ta ký hiệu tập nghiệm của bài toán đối ngẫu của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) là: SOL-DMVI(F,U). Sau đây là một số kết quả về sự tồn tại nghiệm và tính chất nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI). Mệnh đề 1.4. (Xem [10], hệ quả 2.1.2) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ liên tục và ϕ : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới nhưng không nhất thiết khả vi.Ngoài ra ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn: (i) U là tập bị chặn. (ii) Tồn tại tập con bị chặn W 6= ∅ của tập U sao cho với mỗi u ∈ U \W , có v ∈ W thoả mãn: hF (u), u − vi + ϕ(u) − ϕ(v ) > 0. Khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) có nghiệm. Mệnh đề 1.5. (Xem [10], hệ quả 2.1.3) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ liên tục, và ϕ : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới nhưng không nhất thiết khả vi.Khi đó: (i) Nếu u∗ ∈ U là một nghiệm của bài toán (DMVI) thì u∗ cũng là một nghiệm của bài toán (MVI). (ii) Tập nghiệm của bài toán (DMVI) là tập lồi và đóng. (iii) Nếu F là đơn điệu trên U thì bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) là tương đương với bài toán (DMVI). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chứng minh. Đặt: Φ (u, v ) = hF (u), v − ui + ϕ(v ) − ϕ(u). Khi đó bài toán (MVI) trở thành bài toán (EP) và bài toán (DMVI) trở thành bài toán (DP). Do đó: (i) Được suy ra từ (ii) của mệnh đề 1.3. (ii) Được suy ra từ (i) của mệnh đề 1.3. (iii) Do F là đơn điệu nên ta có: Φ(u, v ) + Φ(v, u) = hF (u), v − ui + hF (v ), u − vi suy ra: Φ(u, v ) + Φ(v, u) = hF (u) − F (v ), v − ui ≤ 0. Vì vậy Φ là một song hàm cân bằng đơn điệu nên theo (iii)của mệnh đề (1.3) và (i) của mệnh đề này ta suy ra điều phải chứng minh.  Mệnh đề 1.6. (Xem [10], hệ quả 2.1.14) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ liên tục, và ϕ : Rn → R ∪ {+∞} là một hàm lồi chính thường, nửa liên tục dưới nhưng không nhất thiết khả vi. Khi đó: (i) Nếu F là đơn điệu ngặt trên U thì bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) có nhiều nhất một nghiệm. (ii) Nếu F là đơn điệu mạnh trên U thì bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp (MVI) có nghiệm duy nhất. Chứng minh. Nếu F là đơn diệu ngặt (đơn điệu mạnh) thì hàm Φ xác định như sau Φ (u, v ) = hF (u), v − ui + ϕ(v ) − ϕ(u) cũng là đơn điệu ngặt (đơn điệu mạnh), vì vậy theo kết quả của mệnh đề (1.2), ta có các kết quả trong mệnh đề (1.6). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 1.4. Bài toán bất đẳng thức biến phân Bài toán bất đẳng thức biến phân là một trường hợp riêng của bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp. Bài toán được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.10. (Bài toán bất đẳng thức biến phân, xem [10]) Cho U là tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , F : U → Rn là một ánh xạ liên tục. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:  Tìm điểm u∗ ∈ U sao cho hF (u∗ ), u − u∗ i ≥ 0, ∀u ∈ U (V IP ) Ta ký hiệu tập tất cả các nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) là: SOL - VIP(F,U). Nhận xét. Hiển nhiên trong bài toán bất đẳng thức biến phân hỗn hợp nếu hàm ϕ đồng nhất bằng 0 thì nó trở thành bài toán (VIP). Sau đây là một mệnh đề quan trọng nói về mối quan hệ giữa bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) với bài toán cân bằng(EP). Mệnh đề 1.7. (Xem [10], định lý 2.1.2) Cho U là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của Rn , Φ là một song hàm cân bằng trên U . Giả sử với mỗi u ∈ U cố định, Φ(u, .) là một hàm lồi, khả vi liên tục trên một tập mở W ⊃ U . Đặt: J (u) := ∂Φ ∂v v =u Khi đó bài toán cân bằng (EP) tương đương với bất đẳng thức biến phân:  Tìm điểm u ∈ U sao cho hJ (u), v − ui ≥ 0, ∀v ∈ U Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 18
- Xem thêm -