Tài liệu Vế hình học của công thức vết trên SL (2,IR)

„I HÅC QUÈC GIA H€ NËI TR×ÍNG „I HÅC KHOA HÅC TÜ NHI–N ------------------ HO€NG THÀ DUNG V˜ HœNH HÅC CÕA CÆNG THÙC V˜T TR–N SL (2, R) LUŠN V‹N TH„C Sž KHOA HÅC Chuy¶n ng nh: TON GIƒI TCH M¢ sè: 60460102 Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH. É NGÅC DI›P H€ NËI- 2014 Möc löc Líi c£m ìn Mð ¦u 2 .................................... 3 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Sì l÷ñc v· SL (2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 T¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh l¶n nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc 1.1.2 Ph¥n t½ch Iwasawa v  ph¥n t½ch Cartan cõa G . . . . . . . 1.1.3 Nhâm con døng. ë o tr¶n G . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 T½ch ph¥n quÿ ¤o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Li¶n hñp ên ành . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Nhâm Weil v  nhâm Langlands, L-nhâm . . . . . . . . . . 1.3 Biºu di¹n cõa SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Gi£ h» sè cõa chuéi ríi r¤c, L - gâi . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Biºu di¹n cõa GL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Biºu di¹n cõa SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Tham sè Langlands cho SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Tham sè Langlands cho GL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Tham sè Langlands cho SL(2, R) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Nhâm con nëi soi cõa SL (2, R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t 2.1 V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Cæng thùc têng Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o . . . 2.3.1 Tr÷íng hñp γ câ d¤ng ÷íng ch²o khi γ → 1 2.3.2 Tr÷íng hñp γ = r(θ) khi θ → 0 . . . . . . . . . 2.4 Ph²p chuyºn v¸ cõa cæng thùc v¸t . . . . . . . . . . 2.5 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 5 5 6 7 7 7 8 8 9 11 11 12 12 13 14 15 15 16 16 17 18 20 21 23 26 27 28 Líi c£m ìn Ho n th nh ÷ñc luªn v«n n y, ngo i sü né lüc cõa b£n th¥n, tæi ¢ nhªn ÷ñc sü ch¿ b£o, gióp ï tø nhi·u ph½a cõa c¡c th¦y gi¡o, cæ gi¡o, gia ¼nh v  b¤n b±. °c bi»t tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi ng÷íi th¦y k½nh m¸n GS.TSKH. é Ngåc Di»p, ng÷íi ¢ trüc ti¸p truy·n thö ki¸n thùc, quy¸t ành h÷îng nghi¶n cùu v  tªn t¼nh h÷îng d¨n cho tæi ho n th nh b£n luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn th¦y. Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ gi¡o khoa To¡n - Cì - Tin håc, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H  Nëi, nhúng ng÷íi ¢ trüc ti¸p gi£ng d¤y v  gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp t¤i tr÷íng. C£m ìn to n thº b¤n b± v  ng÷íi th¥n ¢ âng gâp þ ki¸n, gióp ï, ëng vi¶n tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v  ho n th nh luªn v«n n y. Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât. K½nh mong nhªn ÷ñc þ ki¸n âng gâp cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p º b£n luªn v«n ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn. H  Nëi, ng y 20 th¡ng 10 n«m 2014 Håc vi¶n Ho ng Thà Dung 2 Mð ¦u Gi£i t½ch i·u háa tr¶n nhâm Lie nâi chung d¨n ¸n vi»c ph¥n t½ch mët biºu di¹n b§t ký ra têng c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy. Biºu di¹n ch½nh quy cõa nhâm tr¶n khæng gian th÷ìng cõa nâ theo nhâm con ríi r¤c âng vai trá quan trång. Theo lþ thuy¸t biºu di¹n h m v¸t (theo ành ngh¾a h m suy rëng), x¡c ành duy nh§t lîp t÷ìng ÷ìng cõa biºu di¹n. V¸t cõa ph¦n ríi r¤c cõa biºu di¹n ch½nh quy ÷ñc vi¸t th nh chuéi c¡c v¸t cõa biºu di¹n nhån v  do â l  têng c¡c t½ch ph¥n quÿ ¤o t÷ìng ùng. Cæng thùc v¸t kh¡ phùc t¤p nh÷ng khi h¤n ch¸ xuèng nhâm con nëi soi th¼ k¸t qu£ trð n¶n t÷ìng èi ìn gi£n. · t i ÷ñc °t ra l : V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL (2, R). Nëi dung cõa luªn v«n gçm 2 ch÷ìng: • Ch÷ìng 1: Tâm t­t mët sè ki¸n thùc chu©n bà. Sì l÷ñc c§u tróc cõa SL(2, R).  Biºu di¹n cõa SL(2, R).  Tham sè Langlands cho SL(2, R).  Nhâm con nëi soi cõa SL(2, R).  • Ch÷ìng 2: Tr¼nh b y v· v¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t ph¦n ríi r¤c cõa biºu di¹n ch½nh quy tr¶n SL(2, R) v  thu gån cõa nâ tr¶n nhâm con nëi soi cõa SL(2, R). V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n.  Cæng thùc têng Poisson.  Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o.  V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung Do thíi gian thüc hi»n luªn v«n khæng nhi·u, ki¸n thùc cán h¤n ch¸ n¶n khi l m luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng h¤n ch¸ v  sai sât. T¡c gi£ mong nhªn ÷ñc sü gâp þ v  nhúng þ ki¸n ph£n bi»n cõa quþ th¦y cæ v  b¤n åc. Xin ch¥n th nh c£m ìn! H  Nëi, ng y 20 th¡ng 10 n«m 2014 Håc vi¶n Ho ng Thà Dung 4 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Sì l÷ñc v· SL (2, R) SL (2, R) b¬ng 1: l  nhâm c¡c ma trªn c§p 2 × 2 tr¶n tr÷íng sè thüc R vîi ành thùc  SL (2, R) =   a b |a, b, c, d ∈ R; ad − bc = 1 . c d Ta k½ hi»u G = SL (2, R), ¤i sè Lie cõa G l  g0 = sl (2, R) gçm c¡c ma trªn thüc c§p 2 × 2 câ v¸t b¬ng 0 v  câ cì sð gçm c¡c ma trªn:  H=  1 0 ;X = 0 −1   0 1 ;Y = 0 0   0 0 . 1 0 1.1.1 T¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh l¶n nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc K½ hi»u H = {z = x + iy|x, y ∈ R, y > 0} l  nûa tr¶n cõa m°t ph¯ng phùc. T¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nhcõa G tr¶n H ÷ñc x¡c ành nh÷ sau: Vîi méi g = ac db ∈ G, z ∈ H ta câ:  gz = D¹ th§y: gz =  az + b a b . z= c d cz + d (az + b) (cz + d) ac|z|2 + bd + adz + bcz = . |cz + d|2 |cz + d|2 Do ad − bc = 1 n¶n suy ra: Im (gz) = 5 Im (z) . |cz + d|2 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung V¼ vªy n¸u z ∈ H th¼ gz ∈ H. °t: K = {g ∈ G|gi = i}. Khi â a2 + b2 = 1, c2 + d2 = 1 v  ad − bc = 1. Hay K l  nhâm c¡c ma trªn  r(θ) =  cosθ sin θ − sin θ cosθ v  θ ∈ [0, 2π) . Ph¥n lo¤i c¡c ph¦n tû cõa G Gåi λ l  gi¡ trà ri¶ng cõa ph¦n tû g ∈ G, x²t ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa g: tr (g) ± 2 q tr (g)2 − 4 λ − tr (g) λ + 1 = 0 ⇔ λ = 2 N¸u |tr (g) | < 2 th¼ g ÷ñc gåi l  elliptic. − N¸u |tr (g) | = 2 th¼ g ÷ñc gåi l  parabolic. − N¸u |tr (g) | > 2 th¼ g ÷ñc gåi l  hyperbolic. − 1.1.2 Ph¥n t½ch Iwasawa v  ph¥n t½ch Cartan cõa G Ph¥n t½ch Iwasawa cõa G l  ph¥n t½ch   câ d¤ng G =KAN vîi uθ = exp θ(X − Y ) = K=  A=  at = exp tH =  N= cosθ sin θ − sin θ cosθ  ns = exp sX = et 0 0 e−t 1 s 0 1  t∈R ,  | s∈R . Ta câ v  . Cö thº vîi méi g = t½ch Iwasawa cõa nâ l  g = uθ atns, trong â K∼ = S 1, A ∼ =R N ∼ =R θ ∈ [0, 2π) ,  |  |   a b c d  ∈G th¼ ph¥n p ab + cd a − ic , et = a2 + c2 , s = √ . eiθ = √ 2 2 a +c a2 + c 2 Ho n to n t÷ìng tü, G công ÷ñc ph¥n t½ch d÷îi d¤ng G = AN K v  d¤ng n y công ÷ñc gåi l  ph¥n t½ch Iwasawa cõa G. Ngo i ra, ta cán câ ph¥n t½ch Cartan cõa G l  G = KAK . 6 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung 1.1.3 Nhâm con døng. ë o tr¶n G ành ngh¾a 1.1. Cho γ ∈ G, nhâm con døng cõa ph¦n tû γ trong G, k½ hi»u Gγ , Gγ = g ∈ G| g −1 γg = γ .  Ph¦n tû γ ∈ G l  ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy m¤nh n¸u nhâm con døng Gγ cõa nâ l  mët xuy¸n cüc ¤i tùc l  Gγ = T = SO(2, R), khi â ta công câ nhâm th÷ìng Gγ \G = {Gγ x | x ∈ G}. ành ngh¾a 1.2. Mët ë o µ tr¶n Gγ \G ÷ñc gåi l  G - b§t bi¸n ph£i n¸u µ(Ax) = µ(A) vîi måi tªp Borel A trong Gγ \G v  måi x ∈ G. ë o G - b§t bi¸n tr¡i công ÷ñc ành ngh¾a ho n to n t÷ìng tü. Mët ë o µ tr¶n G gåi l  ë o Haar n¸u nâ b§t bi¸n d÷îi t¡c ëng cõa G. èi vîi ph¥n t½ch Iwasawa G = AN K , ph¦n tû x ∈ G ta câ ph¥n t½ch x = ank (vîi a ∈ A, n ∈ N, k ∈ K ), k½ hi»u da, dn, dk t÷ìng ùng l  ë o Haar tr¶n A, N, K . Khi â ë o tr¶n G, k½ hi»u dx, v  ta câ dx = da dn dk. Vîi h m f x¡c ành v  kh£ t½ch tr¶n G, ta câ Z Z f (x)dx = G Z dk Z da K A f (ank)dn. N èi vîi ph¥n t½ch Cartan G = KAK , vîi måi x ∈ G ta câ ph¥n t½ch x = k1ak2, Z Z f (x)dx = G K×K Z dk1 dk2 |t2 − t−2 |f (k1 at k2 )da, A trong â k1, k2 ∈ K v  a ∈ A. 1.2 Mët sè ki¸n thùc li¶n quan 1.2.1 T½ch ph¥n quÿ ¤o Cho G = SL(2, R), γ ∈ G l  ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy m¤nh, Gγ = T l  nhâm con døng cõa γ , h m f ∈ Cc∞(G). T½ch ph¥n quÿ ¤o cõa h m f tr¶n quÿ 7 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung ¤o cõa γ ÷ñc cho bði cæng thùc: Z f (x−1 γx)dẋ, Oγ (f ) = Gγ \G trong â dẋ l  ë o G-b§t bi¸n ph£i tr¶n th÷ìng Gγ \G. 1.2.2 Li¶n hñp ên ành Cho G = SL(2, R), γ, γ 0 ∈ G ÷ñc gåi l  li¶n hñp n¸u tçn t¤i x ∈ G sao cho γ 0 = xγx−1 . 0 èi vîi ph¦n tû ch½nh quy nûa ìn m¤nh,  ta nâi r¬ng γ, γ ∈ G l  li¶n  hñp ên a b ành n¸u tçn t¤i x ∈ SL(2, C) = | a, b, c, d ∈ C ; ad − bc = 1 sao cho c d γ 0 = xγx−1 . Cho f ∈ Cc∞(G), γ ∈ G l  ph¦n tû ch½nh quy m¤nh, khi â t½ch ph¥n quÿ ¤o ên inh cõa h m f èi vîi ph¦n tû γ ÷ñc cho bði SOγ (f ) = X Oγ 0 (f ). γ 0 ∈S(γ) Trong â S(γ) l  tªp hñp c¡c ph¦n tû ¤i di»n cõa c¡c lîp li¶n hñp trong lîp li¶n hñp ên ành cõa γ . 1.2.3 Nhâm Weil v  nhâm Langlands, L-nhâm ành ngh¾a 1.3. Ta k½ hi»u WR l  nhâm Weil cõa R x¡c ành nh÷ sau: - Nhâm Weil cõa C l  WC = C× . - Nhâm Weil cõa R l  nhâm con c¡c ma trªn trong SU (2) ÷ñc sinh bði      z 0 0 −1 × ,z∈C v  wσ = 1 0 . 0 z̄ Nhâm SU (2) l  mët nhâm compact vîi sè chi·u 22 biºu di¹n bði c¡c ma trªn unitary vîi c¡c ph¦n tû câ ành thùc b¬ng 1, ÷ñc gåi l  nhâm unitary °c bi»t. K½ hi»u Gal(C/R) l  nhâm Galois cõa mð rëng C/R gçm hai ph¦n tû: mët ph¦n tû l  tü çng c§u çng nh§t, ph¦n tû cán l¤i l  tü çng c§u li¶n hñp phùc. Ph¦n tû wσ t¡c ëng li¶n hñp nh÷ l  ph¦n tû khæng t¦m th÷íng trong nhâm Gal(C/R) tr¶n C×. nh x¤ WR → Gal(C/R) ÷ñc x¡c ành bði σ 7→ wσ , chó þ 8 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung r¬ng wσ2 = −1 do â mð rëng cõa WC = C× bði Gal(C/R) l  mð rëng khæng t¦m th÷íng. ành ngh¾a 1.4. Nhâm Langlands, k½ hi»u LF , LF = WR , n¸u tr÷íng cì sð F l  C ho°c R v  LF = WR × SL(2, C), n¸u F p-adic. K½ hi»u Ǧ l  nhâm Lie phùc thu gån cõa G = SL(2, R), khi â Ǧ = P GL(2, C). Nhâm Galois Gal(C/R) t¡c ëng tr¶n Ǧ qua tü çng c§u ch¿nh h¼nh ÷ñc gi£ thi¸t giú nguy¶n t¡ch. Nhâm G l  t¡ch n¶n t¡c ëng â l  t¦m th÷íng. WR t¡c ëng tîi Gal(C/R) qua ¡nh x¤ tü nhi¶n cõa nâ. ành ngh¾a 1.5. L-nhâm cõa G, k½ hi»u L G = Ǧ o WR . 1.3 Biºu di¹n cõa SL(2, R) ành ngh¾a 1.6. Cho G l  mët nhâm (GL(2, R) ho°c SL(2, R)), E l  khæng gian Hilbert. Mët biºu di¹n cõa G trong E l  mët çng c§u tø G v o nhâm tü ¯ng c§u tuy¸n t½nh li¶n töc GL(E) cõa E. π : G → GL(E), sao cho vîi måi v²c tì v ∈ E th¼ ¡nh x¤ tø G v o E x¡c ành bði x 7→ π(x)v l  ¡nh x¤ li¶n töc. Biºu di¹n π ÷ñc gåi l  biºu di¹n unita n¸u π(x) l  unita vîi måi x ∈ G. ành ngh¾a 1.7. Cho π biºu di¹n cõa nhâm G trong khæng gian Hilbert E, W l  mët khæng gian con cõa E. Ta nâi W l  G-b§t bi¸n n¸u π(x)W ⊂ W vîi måi x ∈ G. ành ngh¾a 1.8. Mët biºu di¹n π : G → GL(E) gåi l  b§t kh£ quy n¸u E khæng câ khæng gian con b§t bi¸n n o kh¡c ngo i {0} v  E. Cho π l  biºu di¹n cõa G trong khæng gian Hilbert E, gi£ sû r¬ng E= M d 9 En , V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung    trong â En l  khæng gian ri¶ng thù n cõa K = | θ ∈ [0, 2π) . Ph¦n tû v ∈ E l  K-húu h¤n n¸u π(K)v sinh mët khæng gian v²c tì húu h¤n chi·u. cosθ sin θ − sin θ cosθ ành ngh¾a 1.9. Biºu di¹n π cõa G trong khæng gian Hilbert E ÷ñc gåi l  ch§p nhªn ÷ñc n¸u dimEn húu h¤n vîi måi n. X²t ph¥n t½ch Iwasawa cõa nhâm G = SL(2, R): G = PK (vîi P = AN), σ l  biºu di¹n cõa P tr¶n khæng gian Hilbert V. Gåi H(σ) l  khæng gian c¡c ¡nh x¤ f : G → V sao cho f |K ∈ L2 (K) v  f (py) = ∆(p) 1 2 σ(p)f (y), trong â ∆(p) = α(a) l  h m modular tr¶n P. ành ngh¾a 1.10. Biºu di¹n π cõa G tr¶n H(σ) cho bði tành ti¸n ph½a ph£i tr¶n bi¸n, tùc l  π(y)f (x) = f (xy), gåi l  biºu di¹n c£m sinh cõa σ l¶n G . °t ρ(a) = α(a)1/2, vîi méi sè phùc s v  x = ank ∈ G x¡c ành ρs (x) = ρs (ank) = ρ(a)s+1 . Khi â ρs (k) = ρs (n) = 1. D¹ th§y h m µs : P → C∗ cho bði µs = ρ(a)s = as l  mët °c tr÷ng (tùc l  çng c§u li¶n töc v o C∗). N¸u nâ câ gi¡ trà tuy»t èi b¬ng 1 th¼ µs l  mët °c tr÷ng unita. K½ hi»u Hs l  khæng gian cõa biºu di¹n πs c£m sinh bði µs, nâ l  khæng gian Hilbert c¡c h m x¡c ành tr¶n G sao cho i) f (any) = ρs+1f (y); ii) f |K ∈ L2(K). ành ngh¾a 1.11. Hå c¡c biºu di¹n {πs } x¡c ành nh÷ tr¶n gåi l  biºu di¹n chuéi ch½nh cõa SL(2, R). 10 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung 1.3.1 Gi£ h» sè cõa chuéi ríi r¤c, L - gâi Cho G = SL(2, R), t¥m cõa G l  Z(G) = {g ∈ G| ∀x ∈ G, gx = xg}, π l  biºu di¹n chuéi ríi r¤c cõa G. Ta nâi h m f ∈ Cc∞(G) l  mët gi£ h» sè (chu©n t­c) èi vîi π n¸u vîi b§t k¼ biºu di¹n b§t kh£ quy t«ng vøa ph£i π0 ta câ  1 n¸u π0 ' π, trace π 0 (f ) = 0 tr÷íng hñp cán l¤i. Ta k½ hi»u fπ l  gi£ h» sè èi vîi π (nâ l  khæng duy nh§t). T½ch ph¥n quÿ ¤o cõa fπ èi vîi ph¦n tû ch½nh quy nûa ìn γ ÷ñc x¡c ành bði.  Θπ (γ −1 ) n¸u γ l  elliptic, Oγ (fπ ) = 0 tr÷íng hñp cán l¤i. trong â Θπ l  °c tr÷ng cõa π. ành ngh¾a 1.12. X²t mët biºu di¹n chuéi ríi r¤c π v  k½ hi»u fπ l  gi£ h» sè t÷ìng ùng. Hai biºu di¹n chuéi ríi r¤c π v  π 0 cõa G ÷ñc gåi l  thuëc còng mët L-gâi n¸u vîi b§t k¼ ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy m¤nh γ ta câ SOγ (fπ ) = c(π, π 0 )SOγ (fπ0 ), trong â c(π, π 0 ) l  h¬ng sè kh¡c khæng. 1.3.2 Biºu di¹n cõa GL(2, R) T§t c£ c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõa GL(2, R) ·u l  th÷ìng con cõa chuéi ch½nh ρ(µ1, µ2), trong â µi l  °c tr÷ng cõa R×. C¡c biºu di¹n chuéi ch½nh l  ÷ñc c£m sinh bði c¡c °c tr÷ng tø nhâm con Borel:ρ(µ1, µ2) l  biºu di¹n ch½nh quy ph£i trong khæng gian c¡c h m trìn sao cho  f α x 0 β   g   12 α = µ1 (α)µ2 (β)  f (g). β Gi£ sû r¬ng t½ch µ1µ2 l  unita, ta câ ba lo¤i th÷ìng con theo gi¡ trà cõa µ = µ1µ−1 2 - Biºu di¹n chuéi ch½nh b§t kh£ quy π(µ1, µ2) khi µ 6= xn.sign(x) vîi n ∈ Z \ {0}. Nhúng biºu di¹n n y l  unita hâa n¸u µ l  unita ho°c n¸u µ = |x|s vîi s l  sè thüc v  −1 < s < 1. - Biºu di¹n húu h¤n chi·u π(µ1, µ2) khi µ = xn.sign(x). Biºu di¹n n y l  unita 11 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung hâa n¸u n = ±1. - Biºu di¹n chuéi ríi r¤c σ(µ1, µ2) khi µ = xn.sign(x) vîi n ∈ Z \ {0}. Nhúng biºu di¹n n y l  unita hâa. Nhúng biºu di¹n kh¡c nhau l  t÷ìng ÷ìng khi ho¡n và µi: π(µ1, µ2) ' π(µ2, µ1). 1.3.3 Biºu di¹n cõa SL(2, R) B§t k¼ biºu di¹n b§t kh£ quy cõa SL(2, R) ·u l  h¤n ch¸ cõa biºu di¹n b§t kh£ quy cõa GL(2, R). H¤n ch¸ n y ho°c câ ph¦n cán l¤i b§t kh£ quy (l  tr÷íng hñp biºu di¹n chuéi ch½nh câ gi¡ trà tham sè còng lo¤i) ho°c bà t¡ch l m hai th nh ph¦n b§t kh£ quy m  hñp cõa nâ l  mët L-gâi cho SL(2, R). Hai biºu di¹n π v  π0 l  còng thuëc mët L-gâi n¸u v  ch¿ n¸u tr¶n quan h» t÷ìng ÷ìng chóng ÷ñc li¶n hñp bði α: 0 π ' π ◦ Ad(α) trong â  α= −1 0 0 1  . Ta câ sü ph¥n lo¤i sau ¥y: - Biºu di¹n chuéi ch½nh b§t kh£ quy π(µ) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõa π(µ1, µ2) tr¶n SL(2, R) vîi µ 6= xn .sign(x), n ∈ Z. - Biºu di¹n húu h¤n chi·u π(µ) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõa π(µ1, µ2) tr¶n SL(2, R) vîi µ = xn.sign(x), n 6= 0. + − - Biºu di¹n chuéi ríi r¤c L-gâi σ(D|n| , D|n| ) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõa σ(µ1 , µ2 ) tr¶n SL(2, R) vîi µ = xn.sign(x), n ∈ Z \ {0}. - Giîi h¤n cõa biºu di¹n chuéi ríi r¤c L-gâi σ(D0+, D0−) thu ÷ñc bði h¤n ch¸ cõa π(µ1 , µ2 ) tr¶n SL(2, R) vîi µ = sign(x). C¡c L-gâi cõa biºu di¹n ÷ñc ch¿ rã bði c¡c °c tr÷ng µ v  µ−1 l  t÷ìng ÷ìng. 1.4 Tham sè Langlands cho SL(2, R) Tham sè Langlands l  lîp Ǧ− li¶n hñp cõa çng c§u ch¿nh h¼nh ϕ : LR → L G, 12 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung sao cho hñp vîi ph²p chi¸u tü nhi¶n cõa LG → WR th nh LR → L G → WR , l  ph²p chi¸u tü nhi¶n cõa LR l¶n tr¶n WR sao cho £nh cõa c¡c ph¦n tû cõa WR l  nûa ìn. Tham sè ÷ñc gåi l  th½ch hñp (vîi G) n¸u £nh cõa ϕ trong Ǧ khæng n¬m trong nhâm con parabolic trø khi nâ l  G. 1.4.1 Tham sè Langlands cho GL(2, R) Mët tham sè Langlands cho GL(2, R) l  lîp li¶n hñp çng c§u cõa WR trong GL(2, C) vîi £nh nûa ìn. Vîi z = ρ.eiθ , °t χs,n(z) = ρseinθ khi â tr¶n li¶n hñp c¡c ¡nh x¤ ch§p nhªn ÷ñc câ d¤ng nh÷ sau: - Vîi si ∈ C , mi ∈ Z2  ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 (z) = χs1 ,0 (z) 0 0 χs2 ,0 (z) v  tr¶n li¶n hñp ta câ ϕs ,m ,s ,m - Vîi s ∈ C , n ∈ Z 1  ϕs,n (z) = 1 2 2  vîi ϕs ,m ,s ,m (wσ ) = 1 ' ϕs2 ,m2 ,s1 ,m1 χs,n (z) 0 0 χs,−n (z)  1 2 2  0 (−1)m1 0 (−1)m2  . vîi ϕs,n(wσ ) =  0 (−1)n 1 0  v  tr¶n li¶n hñp ta câ ϕs,n ' ϕs,−n. Giao cõa hai tªp hñp c¡c lîp li¶n hñp cõa c¡c ¡nh x¤ l  lîp nhúng tham sè câ d¤ng ϕs,0 ' ϕs,1,s,0 ' ϕs,0,s,1 K½ hi»u ε l  çng c§u tø WR → C× x¡c ành bði ε(z) = 1 v  ε(wσ ) = −1 N¸u ϕ l  mët tham sè Langlands th¼ ϕ⊗ε'ϕ n¸u v  ch¿ n¸u ϕ thuëc lîp ϕs,n vîi s v  n b§t k¼. T÷ìng ùng giúa biºu di¹n b§t kh£ quy v  tham sè Langlands cho GL(2, R) thu ÷ñc nh÷ d÷îi ¥y. Ta câ mët song ¡nh tü nhi¶n giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa 13 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõa GL(2, R) v  c¡c lîp li¶n hñp cõa çng c§u ch§p nhªn ÷ñc cõa WR trong GL(2, C) nh÷ sau: π(µ1 , µ2 ) 7−→ ϕs1 ,m1 ,s2 ,m2 vîi µi = |x|s sign(x)m i i v  vîi µ1µ2(x) = |x|2ssign(x)n+1 n trong â µ1µ−1 2 (x) = x sign(x). Tham sè Langlands t÷ìng ùng vîi biºu di¹n t«ng vøa ph£i n¸u £nh cõa ¡nh x¤ bà ch°n tùc l  si thu¦n £o. σ(µ1 , µ2 ) 7−→ ϕs,n 1.4.2 Tham sè Langlands cho SL(2, R) Tø song ¡nh giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng cõa biºu di¹n v  lîp li¶n hñp cõa tham sè Langlands cho GL(2, R) suy ra song ¡nh giúa c¡c lîp t÷ìng ÷ìng L-gâi cõa biºu di¹n b§t kh£ quy ch§p nhªn ÷ñc cõa SL(2, R) v  c¡c lîp li¶n hñp cõa c¡c çng c§u ch§p nhªn ÷ñc cõa WR trong P GL(2, C). - Tham sè hâa cho π(µ) l  lîp li¶n hñp cõa tham sè hâa ph²p chi¸u ϕs,m ÷ñc x¡c ành bði ϕs,m,0,0 vîi µ(x) = |x|ssign(x)m. - Tham sè hâa cho Dn± l  lîp li¶n hñp cõa tham sè hâa ph²p chi¸u ϕn x¡c ành bði ϕ0,n. Ta th§y r¬ng ϕ0,n ⊗ ε = αϕ0,n α −1 trong â α =  −1 0 0 1  . Nh÷ng ε câ mët t¥m £nh do â tham sè hâa ph²p chi¸u x¡c ành bði ϕ0,n v  ϕ0,n ⊗ ε l  b¬ng nhau. i·u n y ch¿ ra r¬ng £nh ph²p chi¸u cõa α thuëc t¥m hâa cõa £nh ph²p chi¸u cõa ϕ0,n. Cho ϕn l  tham sè hâa ph²p chi¸u x¡c ành bði ϕ0,n v  Sϕ l  t¥m hâa £nh cõa ϕn v  Sϕ l  th÷ìng cõa Sϕ bði th nh ph¦n li¶n thæng Sϕ0 cõa nâ nh¥n vîi t¥m ZǦ cõa Ǧ: + Khi n 6= 0 ta câ Sϕ = Sϕ ' {1, α}. + Khi n = 0 nhâm Sϕ0 l  mët xuy¸n nh÷ng Sϕ l¤i ÷ñc sinh bði £nh cõa α. n n n n n n 0 0 14 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung 1.5 Nhâm con nëi soi cõa SL (2, R) ành ngh¾a 1.13. Nhâm con nëi soi H cõa nhâm G l  nhâm tüa ch´ ra m  L-nhâm L H l  th nh ph¦n li¶n thæng cõa t¥m hâa cõa mët ph¦n tû nûa ìn cõa L-nhâm L G. Trong t§t c£ c¡c v½ dö ð tr¶n nhúng èi t÷ñng trong tøng c°p ÷ñc thay th¸ bði li¶n hñp d÷îi ph¦n tû ω = iα trong chu©n hâa cõa SO(2) trong SL(2, C). L÷u þ r¬ng n¸u σ l  ph¦n tû khæng t¦m th÷íng cõa nhâm Galois th¼ ph¦n tû −1 aσ = wσ(w)  = −1 0 0 −1  sinh ra mët nhâm con c§p 2 v  câ thº çng nh§t nâ vîi H 1(C/R, SO(2)). °c tr÷ng cõa 2-nhâm ÷ñc gåi l  °c tr÷ng nëi soi, câ hai nhâm con nëi soi cõa SL(2, R) t÷ìng ùng vîi hai °c tr÷ng n y. Nhâm con nëi soi t÷ìng ùng vîi °c tr÷ng t¦m th÷íng l  ch½nh SL(2, R), trong khi â nhâm con nëi soi t÷ìng ùng vîi °c tr÷ng khæng t¦m th÷íng l  xuy¸n compact T (R) = SO(2, R). 1.6 K¸t luªn Ch÷ìng n y ¢ tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc cì b£n câ li¶n quan ¸n nëi dung ch½nh cõa luªn v«n ð ch÷ìng 2. C¡c kh¡i ni»m nh÷ t¡c ëng ph¥n tuy¸n t½nh, ph¥n t½ch Iwasawa, nhâm con døng, ë o gióp ta hiºu hìn v· c§u tróc cõa SL (2, R). °c bi»t ki¸n thùc v· biºu di¹n cõa SL (2, R), tham sè hâa Langlands v  nhâm con nëi soi s³ âng vai trá chõ chèt trong c¡ch x¥y düng v  bi¸n êi cæng thùc v¸t tr¶n SL (2, R). 15 Ch÷ìng 2 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t Ch÷ìng n y s³ tr¼nh b y v· v¸t cõa to¡n tû câ nh¥n, cæng thùc têng Poisson, tø â ta bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o. 2.1 V¸t cõa to¡n tû câ nh¥n Cho G l  nhâm compact àa ph÷ìng, Γ l  nhâm con ríi r¤c cõa G v  R l  biºu di¹n ch½nh quy cõa G tr¶n L2(Γ\G) [R(g)φ](x) = φ(xg) vîi g ∈ G, x ∈ Γ\G. Ùng vîi biºu di¹n unita cõa nhâm G ta câ biºu di¹n t÷ìng ùng cõa ¤i sè Haar L1 (G) (èi vîi t½ch chªp) cho bði Z Z R(f )φ(x) = f (g)φ(xg)dg = G f (x−1 g)φ(g)dg. G Gi£ sû f ∈ Cc∞(G). B¬ng c¡ch t¡ch t½ch ph¥n, ta câ thº vi¸t Z R(f )φ(x) = X f (x −1 Z γg)φ(g)dg = Γ\G γ∈Γ Kf (x, g)φ(g)dg. Γ\G Do â R(f ) l  mët to¡n tû t½ch ph¥n vîi h¤t nh¥n trìn Kf (x, g) = X f (x−1 γg). γ∈Γ R(f ) l  lîp v¸t v  câ thº t½nh v¸t cõa nâ theo hai c¡ch. ¦u ti¶n, ta câ thº vi¸t Z trace R(f ) = Z Kf (x, x)dx = Γ\G X Γ\G γ∈Γ 16 f (x−1 γx)dx. V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung K½ hi»u [γ] = { δ−1γδ | δ ∈ Γγ \Γ }, trong â Γγ l  t¥m hâa cõa γ trong Γ. Khi â, ta câ Z X f (x −1 −1 δ Z γδx)dx = f (x −1 Z γx)dx = vol(Γγ \Gγ ) Γγ \G Γ\G δ∈Γ \Γ γ f (x−1 γx)dx. Gγ \G Do â, ta câ trace R(f ) = X vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ). [γ] ¥y l  cæng thùc v¸t cõa to¡n tû câ nh¥n, nâ cán ÷ñc gåi l  cæng thùc v¸t Arthur-Selberg. Ta công câ thº t½nh trace R(f ) b¬ng c¡ch thù hai theo k¸t qu£ cõa Gelfand, Graev v  Piatetski-Shapiro, L2(Γ\G) ph¥n t½ch ríi r¤c th nh têng trüc ti¸p cõa c¡c biºu di¹n b§t kh£ quy cõa G, xu§t hi»n vîi méi bëi sè húu h¤n. V¼ vªy trace R(f ) = X m(π)trace π(f ), π∈Ĝ trong â Ĝ l  èi ng¨u unita cõa G, m(π) l  bëi sè cõa π v  trace π(f ) l  v¸t cõa R to¡n tû π(f ) = G f (x)π(x)dx. V¼ vªy, ta câ cæng thùc X vol(Γγ \Gγ ) Oγ (f ) = [γ] X m(π)trace π(f ). π∈Ĝ L÷u þ r¬ng trong v¸ tr¡i (v¸ h¼nh håc) thøa sè ¦u ti¶n phö thuëc v o Γ nh÷ng khæng phö thuëc v o f trong khi â thøa sè thù hai l¤i phö thuëc v o f m  khæng phö thuëc v o Γ. T÷ìng tü cho v¸ ph£i (v¸ phê) cõa cæng thùc. Ph¥n phèi Oγ (f ) v  trace π(f ) l  b§t bi¸n theo ngh¾a b§t bi¸n d÷îi li¶n hñp cõa f bði mët ph¦n tû cõa G. 2.2 Cæng thùc têng Poisson X²t tr÷íng hñp quen thuëc G = R, Γ = Z, gi£ sû r¬ng f ∈ Cc∞(R), cho to¡n tû t½ch chªp R(f ) tr¶n L2(T ) = L2(Z\R) Z R(f )φ(x) = Z f (y − x)φ(y)dy f (y)φ(x + y)dy = R R 17 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) = Z X Ho ng Thà Dung Z f (y + n − x)φ(y)dy = Kf (x, y)φ(y)dy. T n∈Z T trong â Kf (x, y) = P f (y + n − x) ∈ C ∞(T × T ), ta câ thº t½nh v¸t cõa R(f ) n∈Z b¬ng hai c¡ch. Z trace R(f ) = Kf (x, x)dx = T X f (n). n∈Z M°t kh¡c, ta câ thº ch²o hâa R(f ) sû döng cì sð trüc chu©n en = e2πin, n ∈ Z, R(f ) = fˆ(n)en (fˆ l  bi¸n êi Furier cõa f ). Do â trace R(f ) = X fˆ(n). n∈Z V¼ vªy, ta câ cæng thùc têng Poisson X f (n) = X n∈Z fˆ(n). n∈Z 2.3 Bi¸n êi cæng thùc v¸t theo t½ch ph¥n quÿ ¤o K½ hi»u G = SL(2, R), Γ = SL(2, Z) v  H l  nhâm con nëi soi cõa nâ (tùc l  H = SL(2, R) trong tr÷íng hñp °c tr÷ng t¦m th÷íng ho°c H = SO(2, R) trong tr÷íng hñp khæng t¦m th÷íng). X²t xuy¸n elliptic T = SO(2, R) v  κ l  mët °c tr÷ng nëi soi t÷ìng ùng vîi nhâm con nëi soi H cõa G. Ta câ κ = 1 n¸u H = SL(2, R) v  κ = −1 n¸u H = SO(2, R). Gåi B l  nhâm con Borel cõa G chùa T, B gçm t§t c£ c¡c ma trªn tam gi¡c tr¶n trong SL(2, R) câ d¤ng   a b 0 a−1 . K½ hi»u ∆B (γ) = Y (1 − γ −α ), α>0 trong â t½ch ÷ñc l§y tr¶n c¡c nghi»m d÷ìng x¡c ành bði B. Chån nhâm con Borel BH = B trong H chùa TH = T t÷ìng th½ch vîi ¯ng c§u j: TH ' T . Mët κ - t½ch ph¥n quÿ ¤o èi vîi ph¦n tû ch½nh quy γ ∈ T ÷ñc x¡c ành bði: Oγκ (f ) Z κ(x)f (x−1 γx)dẋ = T \G 18 V¸ h¼nh håc cõa cæng thùc v¸t tr¶n SL(2, R) Ho ng Thà Dung Khi κ = 1, κ - t½ch ph¥n quÿ ¤o l  t½ch ph¥n quÿ ¤o ên ành v  ÷ñc k½ hi»u l  SOγ (f ). Ta nh­c l¤i L-nhâm cõa G, k½ hi»u LG v  LG = Ǧ o WR = P GL(2, C) o WR. T÷ìng tü, L-nhâm LH = Ȟ o WR cõa H, l  th nh ph¦n li¶n thæng cõa t¥m hâa cõa mët ph¦n tû nûa ìn trong LG. ành ngh¾a 2.1. Ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc cõa L H v o trong L G l  mët L-çng c§u η : L H → L G mð rëng tü nhi¶n cõa Ȟ → Ǧ sao cho h¤n ch¸ cõa nâ tr¶n Ȟ l  ch¿nh h¼nh v  l  çng nh§t tr¶n WR . M»nh · 2.1. Gi£ sû câ mët ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc η : L H → L G. Ta câ thº g­n vîi bë ba (G, H, η) mët °c tr÷ng χG,H cõa T vîi t½nh ch§t sau. Cho f l  mët gi£ h» sè èi vîi chuéi ríi r¤c tr¶n G, khi â tçn t¤i mët h m f H l  tê hñp tuy¸n t½nh cõa c¡c gi£ h» sè èi vîi chuéi ríi r¤c tr¶n H sao cho γ = j(γH ) ch½nh quy trong T v  κ SOγH (f H ) = ∆G H (γH , γ)Oγ (f ) vîi ∆G H (γH , γ) l  thøa sè chuyºn cho bði cæng thùc −1 −1 q(G)+q(H) ∆G χG,H ∆B (γ −1 ).∆BH (γH ) . H (γH , γ) = (−1) Ph²p bi¸n êi f 7→ f H cõa gi£ h» sè câ thº ÷ñc mð rëng cho t§t c£ c¡c h m trong Cc∞(G); º l m i·u n y ng÷íi ta ph£i mð rëng t÷ìng ùng γ 7→ γH (gåi l  chu©n hâa), èi vîi t§t c£ c¡c ph¦n tû nûa ìn ch½nh quy v  x¡c ành c¡c thøa sè chuyºn èi vîi xuy¸n. ành lþ 2.1. Gi£ sû câ mët ph²p nhóng ch§p nhªn ÷ñc η : L H → L G. Ta câ ∞ thº x¡c ành thøa sè chuyºn ∆G H (γH , γ) sao cho vîi b§t k¼ f ∈ Cc (G) tçn t¤i mët h m f H ∈ Cc∞ (H) vîi κ SOγH (f H ) = ∆G H (γH , γ)Oγ (f ) khi γH l  d¤ng chu©n cõa γ ch½nh quy nûa ìn v  SOγH (f H ) = 0 19