Tài liệu Về giả thuyết sendov

LỜI CẢM ƠN Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn khoa học của thày PGS.TS.Tạ Duy Phượng. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới thầy giáo PGS. TS. Tạ Duy Phượng, người đã luôn quan tâm, động viên, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán- Giải tích đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi bày tỏ lòng biết ơn tới BGH trường THPT Yên Dũng số 3, gia đình, người thân, bạn bè,... đã động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành bản luận văn này. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Lương LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Lương Mục lục Lời mở đầu 5 Chương 1. TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT SENDOV VÀ CÁC GIẢ THUYẾT LIÊN QUAN 8 1.1 Định lý Gauss- Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Định lí Gauss- Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.1 Phát biểu giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . . . 16 1.2.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov . . . . . . . . . . . 18 1.1.2 1.2 1.3 Định lý Rolle Một số giả thuyết và kết quả liên quan đến giả thuyết Sendov 21 1.3.1 Một số kết quả mạnh hơn giả thuyết Sendov khi 2≤n≤8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Đa thức chỉ có các nghiệm thực . . . . . . . . . . . 23 1.3.3 Đa thức với các hệ số thực . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4 Đa thức có các nghiệm trên đường tròn đơn vị . . . 24 1.3.5 Đa thức với số lượng nghiệm phân biệt hạn chế . . 25 1.3.6 Đa thức cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Chương 2. CHỨNG MINH GIẢ THUYẾT SENDOV CHO TRƯỜNG HỢP n ≤ 8 2.1 Chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức có bậc n ≤ 8 . 31 31 4 2.2 2.1.1 Phát biểu định lí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.3 Chứng minh Định lí và các bổ đề . . . . . . . . . . 40 2.1.4 Một số nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Chứng minh một số công thức đánh giá ρ (zi , ri ) . . . . . 56 2.2.1 Một số công thức đánh giá ρ (zi , ri ) . . . . . . . . . 56 2.2.2 Một số kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.2.3 Chứng minh một số công thức đánh giá ρ (zi , ri ) . 57 2.2.4 Một số nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62 5 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Ta đã biết Định lí Rolle sau đây. Định lí Rolle: Giả sử f : R → R là một hàm khả vi trên đoạn [a, b] ⊂ R và f (a) = f (b). Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f 0 (c) = 0. Từ Định lí Rolle ta có hệ quả sau cho đa thức. Hệ quả: Giả sử đa thức P (x) = xn + a1 xn−1 + ... + an−1 x + an có tất cả m nghiệm thực phân biệt là x1 < x2 < ... < xm (đồ thị hàm số y = P (x) cắt trục hoành tại các điểm x1 < x2 < ... < xm , m ≥ 2 ). Khi ấy đa thức đạo hàm P 0 (x) = nxn−1 + (n − 1)a1 xn−2 + ... + 2an−2 x + an−1 có ít nhất m − 1 nghiệm thực u1 < u2 < ... < um−1 sao cho x1 ≤ u1 < x2 ≤ u2 < x3 ≤ u3 < ... < xm . Khoảng cách nhỏ nhất từ nghiệm ui , i = 1, ..., m − 1 của đa thức đạo hàm P 0 (x) đến hai nghiệm gần nó nhất bao giờ cũng nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai nghiệm ấy, tức là min{ui − xi ; xi+1 − ui } ≤ xi+1 − xi , i = 1, ..., m − 1. 2 Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đạo hàm có khoảng cách tới ít nhất một nghiệm của đa thức không quá 1. Câu hỏi đặt ra là: Nếu ta xét tất cả các nghiệm phức, thì kết quả trên được mở rộng như thế nào? Trước tiên ta nhắc lại định lí sau đây: Định lí Gauss - Lucas: Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức. 6 Khi ấy mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P 0 (z) đều nằm trong bao lồi của tập các điểm nghiệm của đa thức P (z) = 0. Năm 1958, nhà toán học Bugaria Blagovest Sendov đã phát biểu Giả thuyết Sendov: Giả sử các nghiệm zi , i = 1, ..., n của đa thức P (z) = (z − z1 ) ... (z − zn ) nằm bên trong hình tròn đơn vị đóng |z| ≤ 1 trong mặt phẳng phức. Khi ấy mỗi hình tròn đóng có bán kính bằng 1, tâm tại điểm nghiệm zi đều chứa một điểm dừng (điểm nghiệm của đa thức đạo hàm). Vì tất cả các nghiệm của đa thức P (z) = 0 nằm trong hình tròn đơn vị đóng |z| ≤ 1 nên theo Định lí Gauss-Lucas, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P 0 (z) = 0 cũng nằm trong hình tròn đóng |z| ≤ 1. Tuy nhiên, nói chung khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm trong đường tròn |z| ≤ 1 bằng 2 nên chưa có thể khẳng định được tính đúng đắn của giả thuyết Sendov. Số 1 trong đánh giá của giả thuyết Sendov chặt. Thật vậy, đa thức P (z) = z n − 1 có tất cả n nghiệm phức nằm trên đường tròn đơn vị, trong khi đó nghiệm của đa thức đạo hàm P 0 (z) = nz n−1 có nghiệm duy nhất z = 0 bội n − 1. Khoảng cách giữa nghiệm bất kì của đa thức và nghiệm của đạo hàm đều bằng 1. Giả thuyết Sendov được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trên thế giới. Sau 50 năm, đã có hơn 100 bài báo viết về giả thuyết này. Năm 1999, giả thuyết Sendov đã được J. E. Brown và học trò của Ông, G. Xiang chứng minh cho các đa thức bậc không vượt quá 8 Cho đến nay, kỉ lục này vẫn được giữ. Theo chúng tôi, đây là một giả thuyết thú vị, có quan hệ mật thiết giữa toán sơ cấp và toán cao cấp. Vì vậy tôi chọn đề tài này 7 làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày tổng quan về giả thuyết Sendov dưới dạng một luận văn cao học. Phát biểu và chứng minh giả thuyết Sendov cho đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 8 dựa theo các bài báo và các sách trong trích dẫn. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu giả thuyết Sendov và các vấn đề liên quan. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đa thức Pn (z) và giả thuyết Sendov. Phạm vi nghiên cứu: Các bài báo và các tài liệu liên quan đến quan hệ giữa nghiệm của đa thức và nghiệm của đa thức đạo hàm. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích, hình học giải tích và giải tích phức để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho giáo viên và học sinh chuyên toán, sinh viên và học viên cao học về Giả thuyết Sendov. Xây dựng một Tài liệu tham khảo tương đối đầy đủ về giả thuyết Sendov. Tham gia cùng Thày hướng dẫn viết một Chương trong bản thảo bộ sách Phương trình đa thức. Chương 1 TỔNG QUAN VỀ GIẢ THUYẾT SENDOV VÀ CÁC GIẢ THUYẾT LIÊN QUAN 1.1 Định lý Gauss- Lucas Ta đã biết Định lí quen thuộc và quan trọng sau đây. 1.1.1 Định lý Rolle Định lý 1.1.1. (Rolle, 1691)Giả sử f : R → R là một hàm khả vi trên đoạn[a, b] ⊂ R và f (a) = f (b). Khi ấy tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a, b) sao cho f 0 (c) = 0. Từ Định lí Rolle ta có hệ quả sau cho đa thức. Hệ quả 1.1. Giả sử đa thức P (x) = a0 xn +a1 xn−1 +...+an−1 x+an có tất cả m nghiệm thực phân biệt x1 < x2 < ... < xm ( đồ thị hàm số y = P (x) cắt hoặc tiếp xúc với trục hoành tại các điểm x1 < x2 < ... < xm , m ≥ 2). Khi ấy đa thức đạo hàm P 0 (x) = na0 xn−1 + (n − 1) a1 xn−2 + ... + 2an−2 x + an−1 có không ít hơn m − 1 nghiệm thực, trong đó có u1 < u2 < ... < um−1 sao cho x1 ≤ u1 < x2 ≤ u2 < x3 ≤ u3 < ... < xm . Khoảng cách nhỏ nhất từ nghiệm ui , i = 1, ..., m − 1 của đa thức đạo hàm P 0 (x) đến hai nghiệm gần nó nhất của đa thức P (x) bao giờ cũng 9 nhỏ hơn một nửa khoảng cách giữa hai nghiệm ấy, tức là min {ui − xi ; xi+1 − ui } ≤ xi+1 − xi , i = 1, ..., m − 1. 2 Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp luôn tồn tại ít nhất một nghiệm của đạo hàm có khoảng cách tới ít nhất một nghiệm của đa thức không vượt quá 1. Nhận xét 1.1. Điều kiện số nghiệm m ≥ 2 của đa thức P (x) là quan trọng. Thí dụ, đa thức P (x) = (x − 1)(4x2 + 1) = 4x3 − 4x2 + x − 1 có duy nhất một nghiệm thực x = 1, nhưng đa thức đạo hàm P 0 (x) = 12x2 − 8x + 1 = (2x − 1)(6x − 1) có hai nghiệm x = 1 2 và x = 1 6 không trùng với (không nằm trong khoảng) x = 1. (Hình 1.1) Hình 1.1 Nhận xét 1.2. Đạo hàm P 0 (x) có thể có nhiều hơn một nghiệm trong khoảng hai nghiệm của P (x). Thí dụ, đa thức P (x) = x4 − 2x2 − 3 = √

x2 − 3 x2 + 1 chỉ có hai nghiệm x1,2 = ± 3, nhưng đa thức đạo hàm
P 0 (x) = 4x3 − 4x = 4x x2 − 1 có ba nghiệm x1 = 0 và x2,3 = ±1 trong √ √
khoảng − 3, 3 . (Hình 1.2) Nhận xét 1.3. Khi số nghiệm thực nhỏ hơn thật sự bậc của đa thức (2 ≤ m < n) thì đa thức đạo hàm P 0 (x) có thể có những nghiệm khác nằm 10 Hình 1.2 ngoài khoảng hai nghiệm của P (x).

Thí dụ, đa thức P (x) = x2 − x − 2 19x2 − 159x + 342 có hai nghiệm thực x1 = 1 và x2 = 2. Đạo hàm P 0 (x) = 2 (38x − 1) (x − 3) (x − 4) có một nghiệm x1 = 1 38 nằm trong nhưng hai nghiệm x2 = 3, x3 = 4 nằm ngoài khoảng (-1, 2). (Hình 1.3) Hình 1.3 Nhận xét 1.4. Định lí Rolle chỉ đúng khi f (x) là hàm số xác định trên tập số thực, nhận giá trị thực và không còn đúng trong trường số phức. Thí du, hàm số f (z) = eiπz − 1 có hai nghiệm z = 0 và z = 2, nhưng đạo hàm của nó f 0 (z) = iπeiπz không có nghiệm, do đó cũng không có nghiệm trong khoảng (0, 2). Tuy nhiên, ta vẫn có thể đặt câu hỏi sau đây. Từ Hệ quả 1.1 ta đã thấy: Giữa hai nghiệm thực phân biệt của đa thức 11 với hệ số thực của biến số thực bao giờ cũng có ít nhất một nghiệm của đạo hàm. Câu hỏi đặt ra là : Nếu ta xét tất cả các nghiệm phức, thì kết quả trên được mở rộng như thế nào? Để trả lời câu hỏi này, trước tiên ta phát biểu Định lí Gauss-Lucas về phân bố nghiệm của đa thức và nghiệm của đạo hàm trên mặt phẳng phức. 1.1.2 Định lí Gauss- Lucas Năm 1836, Gauss đã nhận xét rằng, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P 0 (x), không trùng với nghiệm bội của đa thức P (x) có thể được coi như là điểm cân bằng của một trường lực được tạo ra bởi các hạt đồng chất đặt tại mỗi điểm nghiệm zi của đa thức (m hạt nếu zi là nghiệm bội m), nếu mỗi hạt sinh ra một lực hút tỉ lệ nghịch với khoảng cách các hạt. Chính vì lẽ đó, nghiệm ςj của đa thức đạo hàm P 0 (z) = 0 thường được gọi là điểm cân bằng, điểm tới hạn hoặc điểm dừng của đa thức P (z). Từ nay về sau, các thuật ngữ nghiệm ς của đa thức đạo hàm, điểm dừng, điểm tới hạn, điểm cân bằng của đa thức được sử dụng theo cùng một nghĩa P 0 (ς) = 0 . Từ nhận xét trên của Gauss, năm 1874, F. Lucas, một kĩ sư người Pháp, đã phát biểu và chứng minh Định lí 1.1.2 dưới đây, sau này được gọi là Định lí Gauss-Lucas. Định lý 1.1.2. (Gauss 1836, Lucas 1874)Giả sử P (z) là một đa thức với các hệ số phức. Nếu mọi nghiệm của đa thức P (z) nằm trong nửa mặt phẳng phức đóng thì mọi nghiệm của đa thức đạo hàm P 0 (z) cũng nằm 12 trong nửa mặt phẳng đóng ấy. Dưới đây chúng tôi trình bày chứng minh Định lí Gauss-Lucas theo B. Gadner [13] (với các giải thích tỉ mỉ). Có thể xem Định lí Gauss-Lucas trong [23], trang 179-180, trong [25], trang 12-14 và trong [33], trang 651652. Ta biết rằng, phương trình tham số của đường thẳng trên mặt phẳng đi qua điểm a(a1 , a2 ) với vectơ chỉ phương b = (b1 , b2 ) có dạng   x = a1 + b1 t  y (1.1) = a2 + b2 t Đồng nhất vectơ z = (x, y) trong R2 với số phức z = x + yi, ta có thể biểu diễn đường thẳng (1.1) dưới dạng Im ((z − a)/b) = 0 (1.2) Thật vậy, ta có Hình 1.4 z − a (x + yi) − (a1 + a2 i) ((x + yi) − (a1 + a2 i)) (b1 − b2 i) = = b b1 + b2 i b21 + b22 (b1 x + b2 y − a1 b1 − a2 b2 ) − i (b2 x − b1 y − a1 b2 + a2 b1 ) = b21 + b22 Chứng tỏ Im ((z − a)/b) = 0 ⇔ b2 x − b1 y − a1 b2 + a2 b1 = 0. Thay phương trình đường thẳng (1.1) vào phương trình trên ta thấy: 13 Những điểm z = (x, y) của đường thẳng (1.1) và chỉ những điểm ấy thỏa mãn (1.2). Như vậy, có thể coi (1.2) là phương trình đường thẳng trong R2 (Hinh 1.4). Sử dụng biểu diễn phương trình đường thẳng dưới dạng (1.2), kết hợp với công thức tính đạo hàm của hàm logarit phức, chúng ta có thể dễ dàng chứng minh Định lí Gauss- Lucas. Chứng minh định lí Gauss- Lucas Theo định lí cơ bản của đại số, đa thức phân tích P thành nhân tử như sau P (z) = a0 (z − z1 ) (z − z2 ) ... (z − zn ) Vì vậy, log P (z) = log a0 + log (z − z1 ) + log (z − z2 ) + ... + log (z − zn ) Và lấy vi phân cả hai phía ta được n X 1 P 0 (z) 1 1 1 = + + ... + = . P (z) z − z1 z − z2 z − zn z − zk (1.3) k=1 Giả sử nửa mặt phẳng H chứa tất cả các nghiệm của P được mô tả bởi Im ((z − a)/b) ≤ 0. Khi ấy: Im ((z1 − a)/b) ≤ 0, Im ((z2 − a)/b) ≤ 0,..., Im(zn − a)/b ≤ 0 Giả sử z∗ ∈ / H. Khi ấy Im ((z ∗ − a)/b) > 0 . Do đó z ∗ − zk Im b    z ∗ − a − zk + a = Im b  ∗    z −a zk − a = Im − Im >0 b b  Với một số phức bất kì u = α + βi ta có 1 1 α − βi α β ū = = = 2 − i = . u α + βi (α + βi) (α − βi) α + β 2 α2 + β 2 α2 + β 2 14 β 1 Tức là, nếu Imu = β thì Im u1 = − α2 +β 2 hay Imu và Im u luôn trái dấu.  
z ∗ −zk b Từ đây ta có, nếu Im b > 0 thì Im z ∗ −zk < 0. Do đó, từ (1.3) ta có: bP 0 (z ∗ ) Im P (z ∗ )  Vì thế 0 ∗ P (z ) P (z ∗ )  = n X k=1  b Im ∗ z − zk  < 0. 6= 0 và P 0 (z ∗ ) 6= 0. Do đó, nếu P 0 (z) = 0 thì z ∈ H. Định lí được chứng minh. Hệ quả 1.2. Đa giác lồi trong mặt phẳng phức chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z) thì cũng chứa tất cả các nghiệm của P 0 (z) . Ví dụ 1.1.1. Nếu P (z) có 8 nghiệm r1 , ..., r8 được phân bố như trên Hình 1.5 thì đa giác lồi nhỏ nhất chứa tất cả các nghiệm của nó là ngũ giác lồi có các đỉnh là r1 , r2 , r3 , r4 , r5 . Hình 1.5 Áp dụng Định lí Gauss-Lucas cho nửa mặt phẳng xác định bởi đường thẳng đi qua r1 r2 , ta khẳng định các nghiệm của đa thức đạo hàm phải nằm trong nửa mặt phẳng chứa ngũ giác lồi r1 r2 r3 r4 r5 . Lần lượt áp dụng Định lí Gauss-Lucas cho các cạnh tiếp theo, ta đi đến kết luận: Tất cả các nghiệm của đa thức đạo hàm nằm trong đa thức bao lồi r1 r2 r3 r4 r5 chứa 15 tất cả các nghiệm của đa thức. Hệ quả dưới đây yếu hơn Hệ quả 1.2, nhưng tiện dùng hơn. Hệ quả 1.3. Một đường tròn chứa tất cả các nghiệm của đa thức P (z), cũng chứa tất cả nghiệm của đa thức P 0 (z). Chú ý 1. Để tiện nghiên cứu, nếu cần thì dùng phép đổi biến, chúng ta có thể giới hạn lớp các đa thứcđã được chuẩn hóa đối với vị trí các nghiệm theo nghĩa: Tất cả các nghiệm nằm trong đĩa (hình tròn) đơn vị đóng trong mặt phẳng phức D̄ (0, 1) = {z: |z| ≤ 1} . Chúng ta dễ dàng sử dụng Hệ quả 1.3 để đưa ra hệ quả dưới đây cho lớp các đa thức này. Hệ quả 1.4. Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình tròn đơn vị đóng |z| ≤ 1 , thì tất cả các nghiệm của P 0 (z) cũng nằm trong cũng nằm trong hình tròn đơn vị đóng |z| ≤ 1. Chú ý 2. Ở đây chúng ta chỉ nghiên cứu tập tất cả các đa thức có các nghiệm nằm trong |z| ≤ 1. Hệ quả 1.4 không còn đúng nếu hàm được xét không phải là một đa thức. z Ví dụ, xét hàm số f (z) = ze 2 chỉ có nghiệm duy nhất z = 0, tức là tất z cả các nghiệm của f (z) = ze 2 nằm trong|z| ≤ 1 . Tuy nhiên, đạo hàm
z z z của nó f 0 (z) = e 2 + 12 ze 2 = 21 z + 1 e 2 có nghiệm z = −2 và nghiệm này nằm ngoài |z| ≤ 1. Ở trên ta đã lưu ý: Coi khoảng cách lớn nhất giữa hai nghiệm thực liên tiếp của đa thức không vượt quá 2, thì giữa hai nghiệm liên tiếp của đa thức luôn tồn tại một nghiệm của đạo hàm có khoảng cách tới một nghiệm của đa thức không vượt quá 1. Xuất hiện bài toán tương tự:Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm (phức) 16 của đa thức đạo hàm và nghiệm (phức) của đa thức. Từ hệ quả 1.3 của Định lí Gauss-Lucas ta có hệ quả đơn giản sau đây. Hệ quả 1.5. Nếu tất cả các nghiệm của đa thức P (z) nằm trong hình tròn đóng D̄ (0, r) = {z: |z| ≤ r} và z1 là một nghiệm của P (z) , thì hình tròn tâm z1 bán kính 2r chứa tất cả các nghiệm của P 0 (z) . Hệ quả này là hiển nhiên, vì mọi nghiệm của đa thức và mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa bán kính r. Do đó khoảng cách giữa một nghiệm của đa thức tới tất cả các nghiệm của đạo hàm không vượt quá đường kính của đường tròn, tức là không vượt quá 2r. Năm 1958, nhà toán học người Bungaria Blagovest Sendov đã đặt câu hỏi: Nếu thay 2r trong hệ quả trên bằng đại lượng r thì khẳng định trên còn đúng không?-Và Ông đi đến giả thuyết (sau này mang tên Sendov) dưới đây. 1.2 1.2.1 Giả thuyết Sendov Phát biểu giả thuyết Sendov Giả thuyết Sendov được phát biểu một cách khá đơn giản và tự nhiên như sau. Định lý 1.2.1. Giả thuyết 1 (Giả thuyết Sendov ) Giả sử mọi nghiệm của đa thức P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + ... + an nằm trong đĩa đơn vị đóng D̄ (0; 1) = {z : |z| ≤ 1} . Khi ấy nếu z1 là một nghiệm của P (z) thì tồn tại một nghiêm ζ của P 0 (z) nằm trong |z − z1 | ≤ 1 Giả thuyết Sendov nói rằng: Giao (miền thấu kính) của hình tròn đơn 17 vị đóng D̄ (0; 1) tâm ở gốc tọa độ và hình tròn bán kính là 1 D̄ (z1 ; 1) tâm ở điểm nghiệm z1 của đa thức phải chứa ít nhất một điểm là nghiệm của đa thức đạo hàm (z1 = r trong Hình 1.6). Hình 1.6 Nhận xét 1.5. Ta thấy rằng, đa thức P (z) = z n − 1 có tất cả n nghiệm nằm trên đường tròn đơn vị đóng D̄ (0; 1) và đa thức P 0 (z) = nz n−1 có duy nhất một nghiệm z = 0 bội n − 1, tức là khoảng cách từ một điểm nghiệm bất kì của đa thức đến một điểm nghiệm bất kì của đạo hàm đều bằng 1. Vì vậy không thể thay bán kính r = 1 bởi số bé hơn. Giả thuyết Sendov cũng có thể phát biểu dưới dạng sau. Định lý 1.2.2. (Giả thuyết Sendov 1’) Giả sử mọi nghiệm z1 , ..., zn của đa thức P (z) = a0 z n + a1 z n−1 + ... + an nằm trong đĩa đơn vị đóng D̄ (0, 1) = {z: |z| ≤ 1}. Khi ấy mỗi đĩa đóng D̄ (z1 , 1) , ..., D̄ (zn , 1) đều chứa ít nhất một điểm dừng của P (z). Vì theo Định lí Gauss-Lucas, mọi nghiệm của đa thức đạo hàm đều nằm trong đĩa đơn vị đóng D̄ (0, 1) nên Giả thuyết Sendov 1’ nói rằng, trong mỗi miền thấu kính D̄ (0, 1) ∩ D̄ (zk , 1) , k = 1, ..., n đều chứa ít nhất một điểm dừng. 18 Hình 7 minh họa trường hợp đa thức có tám nghiệm zi , i = 1, ..., 8 nằm trong hình tròn đơn vị. Trong mỗi hình tròn bán kính bằng 1 tâm zi đều có ít nhất một trong bảy nghiệm của đa thức đạo hàm. Hình 1.7 1.2.2 Tổng quan về giả thuyết Sendov Tác giả của giả thuyết Sendov, nhà toán học Bungaria Blagovest Sendov đã viết trong [33]: Năm 1958, để ý đến đại lượng 2r trong hệ quả của Định lí Gauss-Lucas (Hệ quả 1.5), Ông đã đặt câu hỏi: điều gì sẽ xảy ra nếu thay 2r bằng r? Câu hỏi này dẫn Ông đến phát biểu một giả thuyết, mà Ông tin nó phải đúng. Năm 1959, Bl. Sendov đã đề xuất giả thuyết này với N. Obreshkhov, khi Ông là trợ lí (assistant) của Giáo sư N. Obreshkhov. Tuy nhiên, có lẽ Giáo sư Obreshkhov đã để ý, vì vậy đã không nhắc đến giả thuyết này trong cuốn sách của mình in năm 1963. Một thời gian dài giả thuyết Sendov đã không được ai biết đến. Năm 1962, Bl. Sendov đã thông báo giả thuyết này cho một số đồng nghiệp. Giáo sư M. Marden, một chuyên gia về Hình học Đa thức, đã viết như sau [21]: “Giả thuyết 1 xứng đáng được mang tên nhà toán học Bungaria Blagovest Sendov. Ông đã giới thiệu cho tôi, và có thể cả những người khác, về giả thuyết này vào năm 1962 tại Hội nghị toán học Quốc tế tổ 19 chức tại Stockholm.” Tại Hội nghị Quốc tế về Lí thuyết hàm giải tích (Theory of analytic functions), Erevan, 6-13 tháng 9, 1965, nhà toán học Bungaria L. Ilieff đã phát biểu Giả thuyết 1 (trong trao đổi không chính thức với các đồng nghiệp) và đề cập đến tên Giáo sư Blagovest Sendov như là tác giả của giả thuyết này. Trong cuốn sách [15] in năm 1967, Giáo sư W. K. Hayman đã viết giả thuyết Sendov thành Problem 4.5 và gọi là Giả thuyết Ilieff. Vì vậy, cả chục năm sau đó, Giả thuyết Sendov đã được biết đến rộng rãi như là Giả thuyết Ilieff. Giả thuyết Sendov hiển nhiên đúng cho đa thức bậc hai. Thật vậy, vì tam 2 thức Thật vậy, P (z) = z + bz + c có hai nghiệm z1,2 = và P 0 (z) = 2z + bcó nghiệm ζ = −b 2 = √ −b± b2 −4c 2 z1 +z2 2 .   2  Suy ra nếu |z1,2 | ≤ 1 thì |z1 − z2 | = |z2 − z1 | ≤ 2 và |ζ − z1 | =  z1 +z − z 1 = 2  z −z  1  2 1  ≤ .2 = 1. 2 2 Vậy giả thuyết Sendov đúng với n = 2. Sau khi Giả thuyết Sendov (dưới tên Giả thuyết Ilieff) được giới thiệu trong cuốn sách của W. K. Hayman (1967), hàng loạt các tác giả đã chứng minh giả thuyết này cho các đa thức bậc thấp. D. A. Brannan [4] là người đầu tiên chứng minh Giả thuyết Sendov cho trường hợp n = 3 vào năm 1968. Cũng năm đó, Z. Rubinstein [28] đã chứng minh giả thuyết này cho 3 ≤ n ≤ 4. Năm 1969, A. Joyal [16] và G. Schmeisser [30] đã nhận được kết luận mạnh hơn cho trường hợp 3 ≤ n ≤ 4. Một số tác giả khác cũng tham gia chứng minh giả thuyết Sendov, cho trường hợp n = 3: B. Saff và J. B. Twomey, 1971 [29], G. L. Cohen và G. H. Smith, 1988 [10]; J. Borcea, 1996, [2]; P. G. Todorov, 20 1996, [36] và cho trường hợp n = 4: G. L. Cohen và G. H. Smith, 1988 [11]. Như một hệ quả đơn giản, trường hợp 3 ≤ n ≤ 4 được suy ra từ một Định lí trong [33] của Bl. Sendov. Năm 1969, A. Meir và A. Sharma [22] đã chứng minh giả thuyết Sendov cho trường hợp n ≤ 5. Năm 1971, Gacs [12] đã mở rộng kết quả mạnh hơn của G. Schmeisser cho trường hợp n ≤ 5. Trường hợp n ≤ 5 cũng được chứng minh bởi S. Kumar và B. G. Shenoy năm 1992 [19] và J. Borcea, 1996, [2]. Vào năm 1986, V. I. Istrătescu thông báo trong Abstracts of the American Mathematical Society (June 1986) là đã chứng minh giả thuyết Sendov đúng cho mọi n. Tuy nhiên điều này không được công nhận. Hơn 20 năm sau trường hợp n = 5 , J. Brown đã cho một số tiến bộ đáng kể trong chứng minh trường hợp n ≤ 6 vào các năm 1988 và 1991 (xem [5, 6]). Năm 1992, Katsoprinakis [17] đã trình bày chứng minh Giả thuyết Sendov cho trường hợp n = 6. Tuy nhiên, chứng minh của Ông đã sử dụng một Bổ đề phát biểu thiếu chính xác trong một cuốn sách. Vì vậy, chứng minh của Katsoprinakis là chưa hoàn chỉnh. Năm 1996, Borcea [2] đã cho một chứng minh giả thuyết Sendov cho n = 6. Cùng năm đó Katsoprinakis [18] cũng đã cho một chứng minh chính xác dựa trên cơ sở sửa lại chứng minh cũ. Trương hợp n = 7 đã được J. Borcea chứng minh năm 1996, [3] và J. Brown chứng minh năm 1997, [7]. Năm 1999, J. Brown và học trò của Ông, G. Xiang đã chứng minh cho trường hợp Theo Bl. Sendov [33]: Chứng minh của J. Brown và G. Xiang rất công phu. Nó dựa trên đánh giá trên và đánh giá dưới của tích các