Tài liệu Về giả thuyết abc và một số ứng dụng

  • Số trang: 49 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 104 |
  • Lượt tải: 0
nhattuvisu

Đã đăng 27125 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHỔNG THỊ THÚY HỒNG VỀ GIẢ THUYẾT ABC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC KHỔNG THỊ THÚY HỒNG VỀ GIẢ THUYẾT ABC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số 60 46 01 13 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN - NĂM 2015 1 Mục lục Mở đầu 3 1 Các 1.1 1.2 1.3 1.4 kiến thức chuẩn bị Ideal và Radical . . . Phép lấy đạo hàm . . Định lý Mason . . . . Một vài ứng dụng của . . . . 4 4 9 13 15 2 Giả 2.1 2.2 2.3 2.4 thuyết abc và một số ứng dụng Giả thuyết abc . . . . . . . . . . . . . . . . Một số ứng dụng của giả thuyết abc . . . . Giả thuyết abc đồng dư . . . . . . . . . . . Một số hệ quả khác của giả thuyết abc . . . 2.4.1 Số lũy thừa hoàn hảo . . . . . . . . 2.4.2 Phương trình Fermat tổng quát . . 2.4.3 Giả thuyết Erdös - Woods . . . . . 2.4.4 Bài toán Warings . . . . . . . . . . 2.4.5 Bài toán của P. Erdös . . . . . . . . 2.4.6 Mạnh hơn giả thuyết abc. Ước lượng 2.4.7 Giả thuyết abc dạng tường minh . . . . . . . . . . . . . 21 21 21 29 37 37 39 40 41 42 43 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . định lý Mason . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tốt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nhất có thể? . . . . . . . Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 2 Mở đầu Từ xa xưa, các nhà toán học đã biết chuyển các kết quả số học sang giải quyết trên các đa thức và từ những bài toán và giả thuyết cho đa thức, người ta phát biểu tương tự cho số học. Điều này hoàn toàn hợp lý, bởi tập số nguyên và tập các đa thức có sự tương tự rất lớn. Việc giải quyết bài toán trên đa thức thường đơn giản hơn do đa thức có phép tính đạo hàm. Vì vậy định lý Mason cho đa thức được phát biểu tương tự cho số nguyên là giả thuyết abc. Giả thuyết này được phát biểu vào năm 1985 bởi J. Oesterle’ trong một kết quả của đường cong Elliptic của bộ môn hình học đại số, ngay sau đó D.R. Mason phát biểu dựa vào sự tương tự của số nguyên và đa thức. Giả thuyết abc kéo theo rất nhiều hệ quả và các giả thuyết liên quan. Mục đích của luận văn là trình bày định lý Mason và một số ứng dụng của định lý này. Từ định lý Mason cho đa thức ta có sự tương tự số học đó là giả thuyết abc. Từ đó nghiên cứu một số hệ quả trong số rất nhiều các hệ quả của giả thuyết này. Bản luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứng dụng" được tiến hành chủ yếu dựa vào một số tài liệu tham khảo. Bài luận văn "Về giả thuyết abc và một số ứng dụng" gồm có: mở đầu, hai chương nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo. Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Trong chương này trình bày định nghĩa ideal, radical, một số tính chất của ideal, radical. Phép lấy đạo hàm trong vành và các tính chất của phép lấy đạo hàm. Định lý Mason và một số ứng dụng của định lý này. Chương 2 Giả thuyết abc và một số ứng dụng Trong chương này trình bày giả thuyết abc và một số hệ quả của giả thuyết này. Định lý tiệm cận Fermat, Định lý tiệm cận Catalan và một số hệ quả khác. 3 Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và chỉ bảo tận tình của PGS. TS. Nông Quốc Chinh, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với sự quan tâm, động viên và sự chỉ bảo hướng dẫn tận tình của thầy. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô trong Ban Giám hiệu, Khoa Toán - Tin, phòng đào tạo trường Đại học Khoa học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K7B Trường Đại học Khoa học, cùng gia đình tôi đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tuy nhiên do sự hiểu biết của bản thân và khuôn khổ luận văn thạc sĩ, nên chắc chắn rằng trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự chỉ dạy và đóng góp của các thầy, cô và các bạn đồng nghiệp. Tác giả 4 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị Mục đích của tôi trong chương này là trình bày một số kiến thức như ideal, radical, phép lấy đạo hàm trong vành, định lý Mason và một vài ứng dụng của định lý này. Trong chương này ta quy ước một vành R là một vành giao hoán, có phần tử đơn vị. 1.1 Ideal và Radical Định nghĩa 1.1. Một tập con I của vành R được gọi là ideal của R nếu: i) I là nhóm con của nhóm (R, +) . ii) ax ∈ I, ∀a ∈ I, x ∈ R. Ví dụ 1.1. i) R và {0} là các ideal R. ii) Tập các số nguyên chẵn là một ideal của vành Z. iii) Tập các đa thức có hạng tử tự do bằng 0 là một ideal của vành R [t], trong đó R [t] là vành các đa thức với hệ số trong vành R. Mệnh đề 1.1. Giao của một họ các ideal của một vành R cho trước là một ideal của R. Chứng minh Giả sử (Ai )i∈I là một họ các ideal của R. Đặt A = ∩ Ai i∈I 5 Khi đó A là nhóm con của nhóm cộng giao hoán R. Ta có ∀x ∈ R, ∀a ∈ A ⇒ a ∈ Ai ∀i ⇒ ax ∈ Ai ∀i ⇒ ax ∈ A ⇒ A là ideal của R . Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2. Nếu A là một tập con khác rỗng của vành R thì tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn có dạng a1 r1 + a2 r2 + ... + ak rk với ai ∈ A, ri ∈ R, i = 1, ..., k là một ideal của R kí hiệu bởi hAi và gọi là ideal sinh bởi A. Một ideal sinh bởi một phần tử a ∈ R gọi là một ideal chính và kí hiệu bởi hai = aR = {ar : r ∈ R} . Định nghĩa 1.3. Vành chính là vành mà mọi ideal đều là ideal chính. Ví dụ 1.2. i) Z là vành chính. ii) Z/mZ là vành chính. Định nghĩa 1.4. Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu: i) I 6= R. ii) ∀a, b ∈ R, ab ∈ I kéo theo a ∈ I hoặc b ∈ I . Định nghĩa 1.5. Phổ của vành R kí hiệu là Spec(R), là tập tất cả các ideal nguyên tố của R. Định lí 1.1. Phổ của vành các số nguyên là Spec(Z) = {pZ : p là số nguyên tố hoặc p = 0}. Chứng minh Vì Z là vành chính nên mọi ideal của nó có dạng dZ với d là số nguyên không âm. Nếu d = 0 thì dZ = {0}, ideal {0} là ideal nguyên tố, vì ab = 0 khi và chỉ khi a = 0 hoặc b = 0. Giả sử d ≥ 1. 6 TH1 : d = p là một số nguyên tố và ab ∈ pZ thì p là ước của ab. Theo bổ đề Euclid, p là ước của a hoặc p là ước của b, do đó a ∈ pZ hoặc b ∈ pZ. Vậy pZ là iđêan nguyên tố với mọi số nguyên tố p. TH2 : d là hợp số, ta có thể viết d = ab, trong đó 1 < a ≤ b < d. Nếu a ∈ dZ thì a = dk = abk với k nguyên dương, suy ra 1 = bk , vô lý. Do đó a ∈ / dZ. Tương tự b ∈ / dZ. Vì d = ab ∈ dZ, suy ra dZ không phải là một ideal nguyên tố. Do vậy, các ideal nguyên tố của vành Z là các ideal có dạng pZ, với p là nguyên tố hoặc p = 0. Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.6. Một phần tử x của vành R được gọi là lũy linh nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho xk = 0. Ví dụ 1.3. i) Phần tử không trong một vành bất kì là phần tử lũy linh. Phần tử đơn vị 1 trong vành không là phần tử lũy linh. ii) Lớp đồng dư 6 + 27Z là phần tử lũy linh của vành Z/27Z. Định nghĩa 1.7. Ta gọi tập tất cả các phần tử lũy linh của R là radical của vành R và kí hiệu bởi N (R). Nhận xét N (R) là một ideal của vành R. Thật vậy: • ∀a, b ∈ N (R), tồn tại các số nguyên k, h sao cho ak = 0, bh = 0. Dùng khai triển Newton có ngay mọi hạng tử trong khai triển (a − b)k+h đều bằng 0, suy ra (a − b)k+h = 0 nên (a − b) ∈ N (R) . • ∀a ∈ N (R), ∀x ∈ R, do R là vành giao hoán ta có (ax)k = ak .xk = 0, suy ra ax ∈ N (R) . Định nghĩa 1.8. Ta gọi tích của các ước nguyên tố khác nhau của số nguyên khác không m là radical của số m và kí hiệu là rad (m). Ta có Y rad (m) = p. p|m 7 Ví dụ 1.4. rad (72) = 2.3 = 6, rad (30) = 2.3.5 = 30, rad (−1) = 1. Q rad (3n ) = 3, rad (n!) = p, p là số nguyên tố. 2≤p≤n n rad (a ) = rad a đối với mọi số nguyên a. Định lí 1.2. Với m ≥ 2 ta có: i) Z/mZ là vành chính và các ideal của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp đồng dư d + mZ, với d là ước của m. ii) Các ideal nguyên tố của Z/mZ là các ideal sinh bởi các lớp đồng dư p + mZ, trong đó p là một ước số nguyên tố của m. iii) Radical của Z/mZ là ideal sinh ra bởi lớp đồng dư rad (m) + mZ. Chứng minh i) Giả sử J là một ideal bất kì của vành Z/mZ. Xét phép chiếu chính tắc p : Z → Z/mZ (p (x) = x + mZ) . Ta có p là một đồng cấu vành và p−1 (J) = I là một ideal của Z. Rõ ràng I = {a ∈ Z|p (a) = a + mZ ∈ J} . Do Z là vành chính nên I là ideal chính, ta có I = dZ (d là số nguyên dương nhỏ nhất trong I ). Do p (m) = mZ ∈ J nên m ∈ I = dZ suy ra d là ước của m. Mặt khác, do d ∈ I nên p (d) = d + mZ ∈ J suy ra ideal chính trong Z/mZ sinh bởi hd + mZi chứa trong J . Ngược lại, lấy bất kì a + mZ ∈ J ta có a ∈ I nên a = dr với r nguyên. Suy ra a + mZ = dr + mZ = (d + mZ) (r + mZ) ∈ hd + mZi . Từ đó suy ra J = hd + mZi và a + mZ ∈ J khi và chỉ khi d là ước của a. 8 ii) Gọi J là ideal chính sinh bởi d + mZ, trong đó d là ước của m, d ≥ 2. Nếu d = p là nguyên tố và (a + mZ) (b + mZ) = ab + mZ ∈ J thì p là ước của ab và do đó p là ước của a hoặc của b, tức là a + mZ ∈ J hoặc b + mZ ∈ J suy ra J là ideal nguyên tố. Nếu d = ab là hợp số, trong đó 1 < a ≤ b < d thì a + mZ ∈ / J và b + mZ ∈ / J nhưng (a + mZ) (b + mZ) = d + mZ ∈ J , nên J không phải là ideal nguyên tố. Do đó, ideal nguyên tố của vành Z/mZ là các ideal có dạng p + mZ, trong đó p là ước nguyên tố của m. Do vậy  Spec (Z/mZ) = hp + mZi | với p là ước nguyên tố của m . iii) Lớp đồng dư a + mZ là lũy linh trong R khi và chỉ khi với k nguyên dương (a + mZ)k = ak + mZ = mZ. Điều này tương đương với a + mZ là lũy linh khi và chỉ khi m là ước  của ak . Suy ra rad (m) là ước của rad ak = rad (a). Từ đó ta có rad (m) là ước của a. Vì vậy a + mZ ∈ hrad (m) + mZi . Ta có N (Z/mZ) = hrad (m) + mZi . Định lý được chứng minh. Cho f (t) ∈ C [t] là đa thức bậc n. Nếu α1 , ..., αr là các nghiệm phân biệt của f (t) thì ta có thể phân tích f (t) thành tích các số hạng tuyến Q tính dạng f (t) = cn ri=1 (t − αi )mi , trong đó hệ số đầu tiên cn 6= 0 và m1 + ... + mr = n. Định nghĩa 1.9. Radical của đa thức f (x) được định nghĩa bởi rad (f ) = r Y (t − αi ) . i=1 Tập hợp các nghiệm của đa thức f (t) là một tập hữu hạn Z (f ) = {α ∈ C : f (α) = 0} = {α1 , ..., αr } . 9 Ta kí hiệu No (f ) là số các nghiệm phân biệt của f , tức là No (f ) = |Z (f )| = r. Định nghĩa 1.10. Bậc của rad (f ) là số nghiệm phân biệt của f (t), tức là deg rad (f ) = No (f ) . Trong đại số cao cấp, đối với vành đa thức một ẩn C[t] trên trường số phức ta đã biết kết quả sau: Vành C[t] là vành chính. 1.2 Phép lấy đạo hàm Định nghĩa 1.11. Phép lấy đạo hàm trong vành R là một ánh xạ D : R → R sao cho với mọi x, y ∈ R, D (x + y) = D (x) + D (y) , (1.1) D (xy) = D (x) y + xD (y) . (1.2) Điều kiện (1.1) nói rằng D là một đồng cấu của nhóm cộng trong R. Điều kiện (1.2) ta có D (1) = D (1.1) = D (1) .1 + 1.D (1) . Suy ra D (1) = 0. Nếu x ∈ R, x khả nghịch ta có    D (x) + x.D x−1 . D (1) = D x.x−1 = D (x) .x−1 + x.D x−1 = x  D (x) Vì D (1) = 0 nên + x.D x−1 = 0. x Suy ra  D (x) D x−1 = − 2 . x Ngoài ra, theo quy nạp thì ∀x1 , x2 , ..., xn ∈ R D (x1 ... xn ) = n X x1 ... xi−1 D (xi ) xi+1 ... xn . i=1 Định lí 1.3. Cho R là một vành và R [t] là vành các đa thức với hệ số trong R. Định nghĩa D : R [t] → R [t] bởi: ! m m X X i D ai t = iai ti−1 . i=0 i=1 10 thì D là một phép lấy đạo hàm trên R [t]. Chứng minh Lấy m n X X i f = f (t) = ai t , g = g (t) = bj tj . i=0 j=0 Suy ra D (f + g) = D (f ) + D (g) Do đó D là một đồng cấu của nhóm cộng các đa thức. Vì m X n m+n X X X i j ai bj tk , f (t) g (t) = ai t bj t = i=0 j=0 k=0 i+j=k ta có D (f g) = = = = m+n X k=1 m+n X k X ai bj tk−1 i+j=k X k=1 i+j=k m+n X X (i + j)ai bj ti+j−1 iai t i−1 j bj t + k=1 i+j=k m X n X iai ti−1 bj tj + i=1 j=0 m+n X X ai ti jbj tj−1 k=1 i+j=k m X n X ai ti jbj tj−1 i=0 j=1 = D (f ) g + f D (g) . Do đó, D là một phép lấy đạo hàm trên R [t]. Định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.12. Miền nguyên là vành giao hoán, khác 0 và không có ước của 0. Định nghĩa 1.13. Trường là một vành giao hoán, khác 0 và mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch. Định lí 1.4. Cho R là một miền nguyên với trường các thương F , và cho D là một phép lấy đạo hàm trên R. Tồn tại duy nhất phép lấy đạo hàm DF 11 trên F sao cho DF (x) = D (x) , ∀x ∈ R. Chứng minh Trước hết ta chứng minh ánh xạ DF : F → F a Xác định như sau: ∀x ∈ F, x = b  a  D (a) b − D (b) a DF (x) = DF = b b2 là một phép lấy đạo hàm trên F và thỏa mãn DF (a) = D (a) , ∀a ∈ R. c a ∀x = , y = ∈ F ta có: b d   a c  ad + bc • DF (x + y) = DF + = DF b d bd D (ad + bc) bd − (ad + bc) D (bd) b2 d2 [D (ad) + D (bc)] bd − (ad + bc) [D (b) d + bD (d)] = b2 d2 [D (a) d + aD (d) + D (b) c + bD (c)] bd = b2 d2 ad2 D (b) + abdD (d) + bcdD (b) + b2 cD (d) − b2 d2 D (a) b − aD (b) D (c) d − cD (d) = + b2 d2 = DF (x) + DF (y) .  ac  D (ac) bd − acD (bd) = • DF (xy) = DF bd b2 d2 [D (a) c + aD (c)] bd − ac (D (b) d + bD (d)) = b2 d2 D (a) bc aD (b) c a D (c) d a cD (d) = − + − b2 d b2 d b d2 b d2 (D (a) b − aD (b)) c a D (c) d − cD (d) = + 2d b d2 a c a cb = DF + DF b d b d = D (x) y + xD (y) . = (1.3) 12 • Hiển nhiên với mọi a ∈ R ta có DF (a) = D (a) . Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm DF trên F sao cho DF (a) = D (a) , ∀a ∈ R. Gọi x ∈ F và x 6= 0. a Tồn tại a, b ∈ R với b 6= 0 và x = . b Vì a = bx ∈ R nên D (a) = DF (a) = DF (bx) = DF (b) x + bDF (x) = D (b) x + bDF (x), và a D (a) − D (b) x D (a) b − D (b) a DF = DF (x) = = DF (x) . = b b b2 Do đó, phép lấy đạo hàm DF trên F theo công thức (1.3) là xác định duy nhất theo phép lấy đạo hàm D trên R. Định lý được chứng minh. Giả sử D là một phép lấy đạo hàm trên trường F . Với mỗi x 6= 0 trong F , xét ánh xạ L : F ∗ → F ∗, D (x) . x Khi đó F ∗ là tập các phần tử khả nghịch trong trường F , F ∗ = F \ {0}. Ta có xác định như sau: L (x) = D (xy) D (x) y + xD (y) D (x) D (y) = = + = L (x) + L (y) , L (xy) = xy xy x y    x D (x) D y −1 D (x) D (y) L = + = − = L (x) − L (y) . y x y −1 x y Định nghĩa 1.14. Ta gọi ánh xạ L xác định như trên là phép lấy đạo hàm lôgarit trên F . Theo định lý cơ bản của Đại số, mọi đa thức với hệ số phức luôn có n nghiệm phức (kể cả bội), nên C là trường đóng đại số. Giả sử f (t) ∈ C[t] , kí 13 hiệu N0 (f ) là tập các nghiệm phân biệt của đa thức f (t). Nếu bậc của f (t) là n và hệ tử cao nhất khác 0 là an ta có: N0 (f ) f (t) = an Y (t − αi )ni , i=1 trong đó α1 , ..., αN0 (f ) là các nghiệm phân biệt của f (t), ni là các số nguyên NP 0 (f ) dương xác định nghiệm αi có bội là ni trong f (t) và n = ni . i=1 Nhận xét Nếu D là phép lấy đạo hàm trên C [t] thì theo Định lý (1.3) N0 (f ) D (f ) = an X N0 (f ) ni −1 ni (t − αi ) i=1 Y (t − αj )nj j=1 j6=i và N0 (f ) X ni D (f ) L (f ) = = . f t − α i i=1 Gọi N0 (g) g (t) = bm Y (t − βj )mj j=1 là một đa thức khác 0 trong C [t] và xét hàm hữu tỉ f /g ∈ C (t) . Khi đó   No (f ) No (g) X ni X mj f L = L (f ) − L (g) = − . g t − α t − β i j i=1 j=1 1.3 (1.4) Định lý Mason Định lí 1.5. Nếu a, b, c là các đa thức với hệ số phức, nguyên tố cùng nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức a+b=c 14 thì max {deg (a) , deg (b) , deg (c)} ≤ No (abc) − 1 = deg (rad (abc)) − 1, với No (abc) là số các nghiệm phân biệt của đa thức abc và rad (abc) là radical của abc. Vì định lý Mason đối xứng theo a, b, c nên có thể viết phương trình dưới dạng a + b + c = 0. Chứng minh Giả sử D là phép lấy đạo hàm duy nhất, xác định trên trường các hàm hữu tỉ C (t). Theo định lý 1.3, định lý 1.4, giả sử L là phép lấy đạo hàm a b lôgarit, ta xây dựng hàm hữu tỉ khác không u = và v = trong C (t). c c Khi đó u+v =1 và     D (u) D (v) uL (u) + vL (v) = u +v u v = D (u) + D (v) = D (u + v) = D (1) = 0. Vì L (v) 6= 0, theo nhận xét ở trên ta có b v L (u) = =− . a u L (v) Đặt N0 (a) Y a = a (t) = an (t − αi )ni , i=1 N0 (b) Y b = b (t) = bm (t − βi )mi , i=1 N0 (c) c = c (t) = cm Y (t − γi )ri . i=1 Áp dụng (1.4), ta thu được L (u) = L a c N0 (a) = X i=1 N0 (c) X rk ni − , t − αi t − γ k j=1 (1.5) 15   NX N0 (c) 0 (b) X rk b mj L (v) = L = − . c t − β t − γ j k j=1 j=1 Vì các đa thức a, b, c là nguyên tố cùng nhau, radical của tích abc là: q = rad (abc) = N0 (a) N0 (b) Y Y i=1 (t − αi ) N0 (c) (t − βi ) i=1 Y (t − γi ) , i=1 và deg (q) = deg (rad (abc)) = N0 (a) + N0 (b) + N0 (c) . Ngoài ra, qL (u) và qL (v) là các đa thức có bậc cao nhất là deg (q) − 1. Theo (1.5) ta có b L (u) qL (u) =− =− a L (v) qL (v) do đó a (qL (u)) = −b (qL (v)) . Vì các đa thức a, b nguyên tố cùng nhau nên qL (v) chia hết cho a. Do đó deg (a) ≤ deg (qL (v)) ≤ deg (q) − 1 = deg (rad (abc)) − 1. Tương tự deg (b) ≤ deg (qL (u)) ≤ deg (q) − 1 = deg (rad (abc)) − 1 và deg (c) ≤ deg (rad (abc)) − 1. Định lý được chứng minh. 1.4 Một vài ứng dụng của định lý Mason Định lý Mason cho ta một cách chứng minh đơn giản của định lý Fermat đối với đa thức có hệ số phức. Định lí 1.6. Với mọi n ≥ 3, không tồn tại các đa thức khác không với hệ số phức a, b, c nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là hằng số và thỏa mãn 16 phương trình an + bn = cn . Chứng minh Cho n ≥ 3, giả sử tồn tại các đa thức khác không với hệ số phức x, y , z thỏa mãn không đồng thời là hằng số, đôi một là nguyên tố cùng nhau và xn + y n = z n . Theo định lý Mason với a = xn , b = y n , c = z n , ta có rad (abc) = rad (xn y n z n ) = rad (xyz) . Vì deg (xn ) = n deg (x) nên ta có n deg (x) ≤ n max {deg (x) , deg (y) , deg (z)} = max {deg (xn ) , deg (y n ) , deg (z n )} = max {deg (a) , deg (b) , deg (c)} ≤ deg (rad (abc)) − 1 = deg (rad (xyz)) − 1 ≤ deg (x) + deg (y) + deg (z) − 1. Một cách tương tự ta có kết quả như vậy đối với n deg (y) , n deg (z) . Do đó: n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) ≤ 3 (deg (x) + deg (y) + deg (z)) − 3 ≤ n (deg (x) + deg (y) + deg (z)) − 3 Vô lý. Định lý được chứng minh. Hệ quả 1.1. Không tồn tại đa thức khác hằng a, b, c nguyên tố cùng nhau từng đôi một thỏa mãn a2014 + b2015 = c2016 . Chứng minh Giả sử tồn tại các đa thức khác hằng a, b, c nguyên tố cùng nhau từng đôi một, thỏa mãn hệ quả trên. 17 Áp dụng định lý Mason ta có:   max deg a2014 , deg b2015 , deg c2016 ≤ No a2014 .b2015 .c2016 − 1 ⇔ max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ No (a.b.c) − 1 ⇔ max {2014 deg a, 2015 deg b, 2016 deg c} ≤ deg a + deg b + deg c − 1 Từ đây suy ra: 2014 deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1, 2015 deg b ≤ deg a + deg b + deg c − 1, 2016 deg c ≤ deg a + deg b + deg c − 1. Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được kết quả sau 2011 deg a + 2012 deg b + 2013 deg c ≤ −3 điều này hoàn toàn vô lý. Điều phải chứng minh. Định lí 1.7. Không tồn tại các đa thức a, b, c thỏa mãn am + b n = c k với 1 1 1 + + ≤ 1; m, n, k ∈ Z∗+ . m n k Chứng minh Giả sử tồn tại các đa thức a, b, c thỏa mãn am + bn = ck với 1 1 1 + + ≤ 1; m, n, k ∈ Z∗+ . m n k Áp dụng định lý Mason ta có:   max deg am , deg bn , deg ck ≤ No am .bn .ck − 1 ⇔ max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ No (a.b.c) − 1 ⇔ max {m deg a, n deg b, k deg c} ≤ deg a + deg b + deg c − 1. 18 Từ đây ta suy ra: m deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1 1 deg a ⇒ ≥ . m deg a + deg b + deg c − 1 Hoàn toàn tương tự ta cũng rút ra được: 1 deg b ≥ , n deg a + deg b + deg c − 1 degc 1 ≥ . k deg a + deg b + deg c − 1 Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức trên ta thu được kết quả sau 1 1 1 deg a + deg b + degc + + ≥ > 1. m n k deg a + deg b + deg c − 1 Kết quả này mâu thuẫn với giả thiết. Định lý được chứng minh. Định lý Mason cho ta một cách chứng minh định lý Davenport. Định lí 1.8. Giả sử a, b là hai đa thức khác hằng, nguyên tố cùng nhau và a3 6= b2 . Khi đó ta có:  1 deg a3 − b2 ≥ deg (a) + 1, 2  1 deg a3 − b2 ≥ deg (b) + 1. 3 Chứng minh Ta đặt c = a3 − b 2 . Áp dụng định lý Mason ta có   max deg a3 , deg b2 , deg c ≤ No a3 b2 c − 1  ⇒ deg a3 ≤ No a3 b2 c − 1 ⇒ 3 deg a ≤ deg a + deg b + deg c − 1. (1.6)
- Xem thêm -