Tài liệu Về đồng dư đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HOÀN VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN THỊ HOÀN VỀ ĐỒNG DƯ ĐA THỨC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Thị Kiều Nga THÁI NGUYÊN - 2019 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với TS Nguyễn Thị Kiều Nga, cô đã trực tiếp hướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu vừa qua. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tới các quý thầy, cô giáo đã giảng dạy lớp cao học Toán K11A, các bạn học viên và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trường. Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân luôn khuyến khích động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viết luận văn này. Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế. Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2019 Tác giả Nguyễn Thị Hoàn i Mục lục Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 1.2 Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Bậc của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Phép chia với dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.1.4 Nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.5 Ước chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất của đa thức 7 Một số định lý cơ bản của số học . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Đồng dư đa thức 10 2.1 Đồng dư đa thức với môđun một đa thức . . . . . . . . . . 10 2.2 Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư 2.3 môđun một . đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Trường A[x] (p(x)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.4 Đồng dư đa thức với môđun nguyên tố . . . . . . . . . . . . 18 2.5 Đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố 2.6 Đồng dư x2 ≡ a (mod m) 2.7 Phương trình đồng dư bậc hai tổng quát . . . . . . . . . . . 35 . . . . . . 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong giải toán sơ cấp 38 3.1 Tìm đa thức dư khi chia đa thức f (x) cho g(x) trong A[x] . 38 3.2 Chứng minh đa thức f (x) chia hết cho đa thức g(x) trong A[x] 40 3.3 Tìm điều kiện để f (x) chia hết cho g(x) 6= 0 trong A[x] . . 43 ii 3.4 Bài toán về nghiệm của đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.5 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57 iii Mở đầu Đa thức là một khái niệm cơ bản và quan trọng của toán học. Đa thức không chỉ là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà còn là công cụ quan trọng được sử dụng trong các nghiên cứu của Giải tích như Lý thuyết điều khiển, Lý thuyết tối ưu... Trong các kỳ thi học sinh giỏi trong và ngoài nước các bài toán về đa thức cũng thường được đề cập đến. Vì thế trong chương trình toán phổ thông đa thức là một chuyên đề quan trọng và cần thiết trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi. Đồng dư đa thức là một vấn đề được nhiều nhà toán học quan tâm khi nghiên cứu về đa thức mà trường hợp đặc biệt là các phương trình đồng dư hoặc các đồng dư thức. Theo [4], cho A là một trường, f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Ta nói f (x) đồng dư với g(x) theo môđun p(x) nếu và chỉ nếu f (x) − g(x) chia hết cho p(x) trong A[x]. Vì thế "đồng dư đa thức theo môđun một đa thức" có thể coi là tổng quát của khái niệm "đồng dư thức" đã biết. Luận văn "Về đồng dư đa thức" nghiên cứu về đồng dư đa thức theo môđun một đa thức, đồng dư đa thức theo môđun số nguyên tố và lũy thừa một số nguyên tố. Các kết quả trong luận văn được tham khảo ở các tài liệu [2], [4], [6], [7]. Hơn nữa, chúng tôi cũng đưa ra được đặc trưng của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Mệnh đề 2.1.2) và một số tính chất của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức (Định lý 2.1.3). Sử dụng đồng dư đa thức, chúng tôi nghiên cứu một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong giải toán sơ cấp. Luận văn gồm 3 chương. Chương 1: Trình bày một số kiến thức chuẩn bị về đa thức và một số tính chất số học cần thiết cho các chương sau. Chương 2: Nghiên cứu về đồng dư đa thức: Đồng dư đa thức theo môđun 1 một đa thức và một số trường hợp đặc biệt là môđun số nguyên tố và lũy thừa số nguyên tố. Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của đồng dư đa thức trong toán sơ cấp. Mặc dù đã rất cố gắng nhưng do thời gian và năng lực nghiên cứu còn hạn chế nên rất mong được sự góp ý của các thầy cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn. 2 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức về đa thức một ẩn và kiến thức về số học như khái niệm đa thức, bậc, nghiệm của đa thức, một số định lý thường gặp như Định lý phép chia với dư, Định lý Bezout, Viete, hàm Euler, một số định lý quan trọng của số học,... nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau. 1.1 1.1.1 Một số kiến thức cơ bản về đa thức một ẩn Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1. Cho A là một vành giao hoán có đơn vị. Một đa thức một ẩn với hệ số trên A là một biểu thức có dạng: f (x) = a0 + a1 x + ... + am xm , trong đó ai ∈ A với mọi i = 0, m và x là một kí hiệu gọi là biến. Khi đó, ai gọi là các hệ số thứ i của đa thức, ai xi gọi là hạng tử thứ i của đa thức, a0 gọi là hạng tử tự do. Kí hiệu A[x] là tập các đa thức một biến x với hệ số trong A. Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn và g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm 3 thuộc A[x]. Không giảm tính tổng quát, ta có thể giả sử m > n và m = n + t. Khi đó g(x) = b0 + b1 x + ... + bn xn + bn+1 xn+1 + ... + bn+t xn+t . Ta nói hai đa thức f (x) và g(x) là bằng nhau nếu ai = bi với mọi i = 0, n và bn+1 = ... = bn+t = 0. Định nghĩa 1.1.2. Cho hai đa thức f (x) = a0 + a1 x + ... + an xn và g(x) = b0 + b1 x + ... + bm xm thuộc A[x]. Khi đó max {n,m} f (x) + g(x) = X (ai + bi )xi . i=0 f (x)g(x) = m+n i X X i=0  aj bi−j xi . j=0 Quy ước ai = 0 nếu i > n và bi = 0 nếu i > m. Khi đó A[x] là một vành giao hoán có đơn vị với phép cộng và phép nhân các đa thức, A[x] gọi là vành đa thức một ẩn với hệ số trong A. 1.1.2 Bậc của đa thức Định nghĩa 1.1.3. Bậc của đa thức khác 0 trong A[x] f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn là n nếu an 6= 0, kí hiệu deg f (x) = n. Quy ước, đa thức 0 không có bậc hoặc có bậc là −∞. Sau đây là tính chất về bậc của đa thức Định lý 1.1.4. Giả sử f (x), g(x) là hai đa thức khác 0 thuộc A[x]. 4 (i) Nếu f (x) + g(x) 6= 0 thì   n o deg f (x) + g(x) 6 max deg f (x), deg g(x) (ii) Nếu f (x)g(x) 6= 0 thì   deg f (x)g(x) 6 deg f (x) + deg g(x), đẳng thức sẽ xảy ra nếu A là miền nguyên. 1.1.3 Phép chia với dư Định lý 1.1.5. (Định lý phép chia với dư). Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc A[x], g(x) là đa thức có hệ số cao nhất khả nghịch trong A. Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x] sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0. Các đa thức q(x) và r(x) trong định lý trên lần lượt gọi là đa thức thương và dư trong phép chia f (x) cho g(x). Nếu r(x) = 0 thì ta nói f (x) chia hết cho g(x). Kết quả sau đây là hệ quả trực tiếp của Định lý phép chia với dư trong trường hợp đa thức g(x) là đa thức bậc nhất có hệ số cao nhất là 1. Hệ quả 1.1.6. (Định lý Bezout). Cho A là một vành giao hoán có đơn vị và g(x) ∈ A[x], α ∈ A. Khi đó dư của phép chia f (x) cho x − α là f (α). Chú ý 1.1.7. Cho f (x) ∈ A[x], α ∈ A. Ta có lược đồ sau gọi là lược đồ Horner để tìm thương và dư của phép chia f (x) cho x − α. Giả sử n P f (x) = ai xi , an 6= 0. Theo Định lý phép chia với dư, chia f (x) cho i=0 x − α, ta được f (x) = (x − α)q(x) + r với r = f (α) và deg q(x) = n − 1. Giả sử q(x) = bn−1 xn−1 + ... + b1 x + b0 . Đồng nhất các hệ số, ta có bn−1 = an , bn−2 = an−1 + αbn−1 , ..., bk−1 = ak + αbk , ..., b0 = a1 + αb1 , r = a0 + αb0 . an an−1 ... a1 a0 α bn−1 = an bn−2 = an−1 + αbn−1 ... b0 = a1 + αb1 r = a0 + αb0 5 Nếu A là một trường, g(x) ∈ A[x], g(x) 6= 0 thì hiển nhiên hệ số cao nhất của g(x) là khả nghịch. Vì thế ta có ngay hệ quả sau: Hệ quả 1.1.8. Cho A là một trường và f (x), g(x) là hai đa thức thuộc A[x], g(x) 6= 0. Khi đó tồn tại duy nhất q(x), r(x) ∈ A[x] sao cho f (x) = g(x)q(x) + r(x) và deg r(x) < deg g(x) nếu r(x) 6= 0. 1.1.4 Nghiệm của đa thức Trong toàn bộ mục này, ta luôn giả sử A là một vành giao hoán có đơn vị. Định nghĩa 1.1.9. Giả sử A là một vành con của vành giao hoán K . Cho f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x]. Khi đó, số α ∈ K được gọi là nghiệm của đa thức f (x) trong K nếu f (α) = a0 + a1 α + ... + an−1 αn−1 + an αn = 0, Từ Định lý Bezout ta có ngay bổ đề sau. Bổ đề 1.1.10. Phần tử α ∈ A là nghiệm của f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi f (x) chia hết cho x − α. Định nghĩa 1.1.11. Cho K là vành giao hoán chứa vành A, f (x) ∈ A[x], α ∈ K . Nếu tồn tại số tự nhiên k 6= 0 sao cho f (x) chia hết cho (x − α)k nhưng f (x) không chia hết cho (x − α)k+1 thì α được gọi là nghiệm bội bậc k của f (x). Nếu k = 1 thì α được gọi là nghiệm đơn, k = 2 thì α được gọi là nghiệm kép. Từ Định nghĩa 1.1.11, ta có ngay bổ đề sau: Bổ đề 1.1.12. Phần tử α ∈ K là nghiệm bội bậc k của f (x) ∈ A[x] khi và chỉ khi f (x) chia hết cho (x − α)k . Sau đây là công thức Viete về mối liên hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của đa thức đó. 6 Mệnh đề 1.1.13. (Công thức Viete). Cho A là một miền nguyên và f (x) = a0 + a1 x + ... + an−1 xn−1 + an xn ∈ A[x]. Giả sử α1 , α2 , ..., αn là các nghiệm của f (x) trong một miền nguyên K chứa A. Khi đó n X αi = (−1)an−1 a−1 n i=1 X i 1 thì ϕ(n) = |{a ∈ N, a < n, (a, n) = 1}|. Nhận xét 1.2.2. Nếu p nguyên tố thì ϕ(p) = p − 1 Ví dụ 1.2.3. ϕ(4) = 2, ϕ(8) = 4, ϕ(5) = 4, ϕ(7) = 6. Ta có công thức tính hàm Euler như sau: Giả sử n có phân tích tiêu chuẩn n = pα1 1 pα2 2 ...pαk k thì ϕ(n) = p1α1 −1 (p1 − 1)pα2 2 −1 (p2 − 1)...pαk k −1 (pk − 1). Hay  1  1  1 ϕ(n) = n 1 − 1− ... 1 − . p1 p2 pk Định lý 1.2.4. (Định lý Euler). Cho a là số nguyên, n là số nguyên dương và (a, n) = 1. Khi đó aϕ(n) ≡ 1( mod n). 8 Định lý sau là hệ quả của Định lý Euler. Định lý 1.2.5. (Định lý Fermat). Cho p là số nguyên tố và với a là số nguyên bất kỳ. Khi đó ap ≡ a( mod p). Hoặc phát biểu dưới dạng khác: Cho p là số nguyên tố, a là số nguyên, (a, p) = 1. Khi đó ap−1 ≡ 1( mod p). 9 Chương 2 Đồng dư đa thức Trong chương này chúng tôi trình bày một số vấn đề về đồng dư đa thức là: Đồng dư đa thức với môđun một đa thức, đồng dư đa thức với môđun nguyên tố và đồng dư đa thức với môđun lũy thừa nguyên tố. Các kết quả này được tham khảo ở [2], [4], [6], [7]. Chúng tôi cũng đưa ra đặc trưng của đồng dư đa thức theo môđun một đa thức và một số tính chất của nó. 2.1 Đồng dư đa thức với môđun một đa thức Trong mục này, chúng tôi trình bày về đồng dư đa thức với môđun một đa thức. Các kết quả chính trong mục này chúng tôi tham khảo trong [4]. Trong suốt mục này, ta luôn giả thiết vành A là một trường. Định nghĩa 2.1.1. [4]. Cho f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Ta nói đa . thức f (x) và g(x) đồng dư theo môđun p(x) nếu f (x) − g(x)..p(x). Nếu f (x) và g(x) đồng dư theo môđun p(x) thì kí hiệu là
f (x) ≡ g(x) mod p(x) . Mệnh đề sau đây chúng tôi đưa ra đặc trưng của đồng dư đa thức với môđun một đa thức Mệnh đề 2.1.2. Cho các đa thức f (x), g(x), p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Các khẳng định sau là tương đương
(i) f (x) ≡ g(x) mod p(x) ; 10 (ii) f (x) và g(x) cho cùng một đa thức dư khi chia cho p(x); (iii) f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) ∈ A[x]. Chứng minh. (i) ⇒ (ii). Vì A là một trường nên tồn tại phép chia có dư trong A[x]. Giả sử f (x) = p(x)q(x) + r(x). Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg p(x) và g(x) = p(x)h(x) + s(x). Nếu s(x) 6= 0 thì deg s(x) < deg p(x). Ta xét các trường hợp sau: + Trường hợp 1. Nếu ít nhất một trong hai đa thức r(x), s(x) bằng 0, không mất tính tổng quát, ta giả sử r(x) = 0. Khi đó,   f (x) − g(x) = p(x) q(x) − h(x) − s(x).
. . Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên f (x) − g(x)..p(x). Suy ra s(x)..p(x). Điều này xảy ra khi và chỉ khi s(x) = 0 (vì deg s(x) < deg p(x)). . + Trường hợp 2. Nếu r(x) và s(x) 6= 0 thì f (x) − g(x)..p(x) khi và chỉ khi . r(x) − s(x)..p(x). Vì deg (r(x) − s(x)) = max {deg r(x), deg s(x)} < deg p(x) nên r(x) − s(x) = 0. Do đó r(x) = s(x). (ii) ⇒ (iii). Giả sử f (x) = p(x)h(x) + r(x), g(x) = p(x)k(x) + r(x). Nếu r(x) 6= 0 thì deg r(x) < deg p(x). Khi đó r(x) = g(x) − p(x)k(x). Do đó, f (x) = g(x) + p(x)t(x) với t(x) = h(x) − k(x). (iii) ⇒ (i). Hiển nhiên. Sau đây, chúng tôi đưa ra một số tính chất của đồng dư đa thức với môđun một đa thức. Chú ý rằng các đa thức trong phần này đều thuộc A[x]. Định lý 2.1.3. a) Quan hệ đồng dư của các đa thức thuộc A[x] theo môđun đa thức p(x) là quan hệ tương đương trên A[x];
b) Nếu fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k thì
f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) ≡ g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x) mod p(x) ;
f1 (x)f2 (x)...fk (x) ≡ g1 (x)g2 (x)...gk (x) mod p(x) ; 11

c) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x)h(x) ≡ g(x)h(x) mod p(x) ;

d) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x)±h(x) ≡ g(x)±h(x) mod p(x) ;

e) Nếu f (x)+h(x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x) ≡ g(x)−h(x) mod p(x) ;

f) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì f (x) + h(x)p(x) ≡ g(x) mod p(x) ;
g) Với t là một số tự nhiên bất kì. Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì
f t (x) ≡ g t (x) mod p(x) ;
h) Nếu fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k . Khi đó với mọi ui (x) ∈ A[x], i = 1, k thì
u1 (x)f1 (x) + ... + uk (x)fk (x) ≡ u1 (x)g1 (x) + ... + uk (x)gk (x) mod p(x) .

i) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì h(f (x)) ≡ h(g(x)) mod p(x) ;
k) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) và t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x) thì f (x) g(x) p(x)
≡ mod ; t(x) t(x) t(x)
l) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) và t(x) là ước chung của f (x), g(x) và
p(x), t(x) = 1 thì f (x) g(x) ≡ t(x) t(x)
mod p(x) ;

m) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p1 (x) , f (x) ≡ g(x) mod p2 (x) , ...,

f (x) ≡ g(x) mod pk (x) thì f (x) ≡ g(x) mod p(x) với p(x) ∈ A[x] là bội chung nhỏ nhất của p1 (x), ..., pk (x);
n) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) , t(x) là ước của p(x) thì
f (x) ≡ g(x) mod t(x) ;
p) Nếu f (x) ≡ g(x) mod p(x) thì (f (x), p(x)) = (g(x), p(x)). Chứng minh. a) + Với mọi f (x) ∈ A[x], hiển nhiên
f (x) ≡ f (x) mod p(x) . Do đó quan hệ đồng dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất phản xạ.
. + Giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) . Suy ra f (x) − g(x) .. p(x). Do đó 12
. g(x) − f (x)..p(x). Kéo theo g(x) ≡ f (x) mod p(x) . Vì thế quan hệ đồng dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất đối xứng.
+ Với mọi f (x), g(x), h(x) ∈ A[x], giả sử f (x) ≡ g(x) mod p(x) và
. . g(x) ≡ h(x) mod p(x) . Suy ra f (x) − g(x)..p(x), g(x) − h(x)..p(x). Do

. đó, f (x) − g(x) + g(x) − h(x) = f (x) − h(x)..p(x). Hay
f (x) ≡ h(x) mod p(x) . Suy ra quan hệ đồng dư theo môđun đa thức p(x) có tính chất bắc cầu.
b) Theo giả thiết fi (x) ≡ gi (x) mod p(x) với mọi i = 1, k nên sẽ tồn tại các đa thức hi (x) ∈ A[x], i = 1, k sao cho fi (x) = gi (x) + hi (x)p(x). Do đó,

f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) = g1 (x) + h1 (x)p(x) ± g2 (x) + h2 (x)p(x)
± ... ± gk (x) + hk (x)p(x) = [g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x)] + [h1 (x) ± h2 (x) ± ... ± hk (x)]p(x). Vì thế
f1 (x) ± f2 (x) ± ... ± fk (x) ≡ g1 (x) ± g2 (x) ± ... ± gk (x) mod p(x) . Ta có f1 (x)f2 (x)...fk (x) = [g1 (x) + h1 (x)p(x)]...[gk (x) + hk (x)p(x)]. Suy ra f1 (x)f2 (x)...fk (x) = g1 (x)g2 (x)...gk (x) + p(x)t(x). Do đó f1 (x)f2 (x)...fk (x) ≡ g1 (x)g2 (x)...gk (x) (mod p(x)). Các tính chất c, d, e, f, g, h là hệ quả của tính chất b.
i) Giả sử h(x) = a0 + a1 x + ... + an xn . Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên
[f (x)]i ≡ [g(x)]i mod p(x) , ∀i = 0, n.
Suy ra ai [f (x)]i ≡ ai [g(x)]i mod p(x) với ∀i = 0, n. n n
P P Do đó ai [f (x)]i ≡ ai [g(x)]i mod p(x) . i=0 i=0


Vì thế h f (x) ≡ h g(x) mod p(x) . k) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho f (x) = g(x) + h(x)p(x). 13 Vì t(x) là ước chung của f (x), g(x), p(x) nên ta có f (x) g(x) p(x) = + h(x) . t(x) t(x) t(x) Vậy f (x) g(x) ≡ t(x) t(x) mod p(x)
. t(x) l) Vì f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên f (x) − g(x) = p(x)h(x), trong đó . h(x) ∈ A[x]. Do t(x) là ước chung của f (x), g(x) nên f (x) − g(x)..t(x).
. . Suy ra p(x)h(x)..t(x). Vì p(x), t(x) = 1 nên h(x)..t(x). Đặt h(x) = m(x) ∈ A[x]. t(x) Suy ra f (x) − g(x) p(x)h(x) ≡ = p(x)m(x). t(x) t(x) Vậy f (x) g(x) ≡ (mod p(x)). t(x) t(x)
. m) Vì f (x) ≡ g(x) mod pi (x) , ∀i = 1, k nên f (x)−g(x)..pi (x), ∀i = 1, k . Suy ra f (x) − g(x) là bội chung của p1 (x), ..., pk (x). Giả sử p(x) là bội . chung nhỏ nhất của p1 (x), p2 (x), ..., pk (x). Khi đó, ta có f (x) − g(x)..p(x). Vậy f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) n) Theo giả thiết f (x) ≡ g(x) (mod p(x)) nên tồn tại h(x) sao cho f (x) = g(x) + h(x)p(x). (2.1) Vì t(x) là ước của p(x) nên tồn tại `(x) sao cho p(x) = t(x)`(x). (2.2) Thay (2.2) vào (2.1) ta có f (x) = g(x)+h(x)p(x) = g(x)+[h(x)`(x)]t(x). Vậy f (x) ≡ g(x) (mod t(x)).
p) Giả sử d(x) = f (x), p(x) , suy ra d(x)|f (x), d(x)|p(x).
Vì f (x) ≡ g(x) mod p(x) nên f (x) = g(x) + p(x)h(x). 14 (2.3) Suy ra g(x) = f (x) − p(x)h(x).
Do đó d(x)|g(x). Từ đó ta thấy d(x) là ước chung của g(x), p(x) . Giả sử m(x) là ước chung của g(x), p(x). Từ (2.3) ta có m(x) là ước của f (x) nên m(x) là ước chung của f (x), p(x). Mệnh đề 2.1.4. Giả sử m(x) là một đa thức có bậc lớn hơn hoặc bằng 1 và f (x) là đa thức bất kỳ, f (x) ∈ A[x]. Khi đó f (x) đồng dư theo môđun m(x) với đa thức duy nhất r(x) mà deg r(x) < deg m(x) và r(x) gọi là phần dư có bậc nhỏ nhất theo môđun m(x). Chứng minh. Theo Định lý phép chia với dư, ta có f (x) = m(x)q(x) + r(x) với deg r(x) < deg m(x).
Do đó f (x) ≡ r(x) mod m(x) . Hiển nhiên ta có mệnh đề sau đây Mệnh đề 2.1.5. Giả sử r ∈ A và f (x) ∈ A[x]. Khi đó
f (x) ≡ f (r) mod (x − r) . Ví dụ 2.1.6. Cho m(x) = x2 + x + 1 ∈ Z3 [x]. Tìm dư trong phép chia f (x) = x5 + 2x3 + x2 + 1 cho m(x). Giải. Ta có f (x) = m(x)(x2 + 2x + 2) + (x + 1). Vậy x + 1 chính là phần dư có bậc nhỏ nhất của f (x) theo môđun m(x). 2.2 Tập hợp gồm các lớp tương đương theo quan hệ đồng dư môđun một đa thức Cho p(x) ∈ A[x], p(x) 6= 0. Khi đó quan hệ đồng dư theo môđun p(x) là một quan hệ tương đương trên A[x]. Với mọi f (x) ∈ A[x], lớp tương đương của f (x) theo quan hệ đồng dư môđun p(x), hay gọi là lớp đồng dư của f (x) môđun p(x), viết [f (x)]p(x) hoặc [f (x)] nếu p(x) đã rõ. n 
o  [f (x)]p(x) = g(x) ∈ A[x] g(x) ≡ f (x) mod p(x) .
Chú ý rằng [f (x)]p(x) = [g(x)]p(x) khi và chỉ khi f (x) ≡ g(x) mod p(x) . 15