Tài liệu VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Thành Thị Phương Bối VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. BÙI TƯỜNG TRÍ Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin gửi lời tri ân sâu sắc đến PGS.TS Bùi Tường Trí, người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin chân thành gửi lời cảm ơn đến quý thầy cô trong khoa ToánTin thuộc trường Đại học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giảng dạy, truyền đạt những kiến thức quý báu và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành chương trình đào tạo ở trường. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến các bạn cùng khóa và các anh chị khóa trên đã nhiệt tình giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình tôi đã tạo điều kiện, hỗ trợ cho tôi cả về tinh thần lẫn vật chất để tôi có thể yên tâm hoàn thành khóa học. Bản thân tôi đã cố gắng học tập, tìm hiểu và hoàn thành luận văn bằng cả tâm huyết và năng lực của mình nhưng luận văn chắc sẽ không thể tránh khỏi những thiếu sót. Vì thế, tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp chân thành từ quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn chỉnh hơn. TP.HCM, Tháng 09 năm 2013 Tác giả Thành Thị Phương Bối 1 MỤC LỤC trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn MỤC LỤC ............................................................................................................. 1 T 0 0T BẢNG KÍ HIỆU ................................................................................................... 2 T 0 0T PHẦN MỞ ĐẦU ................................................................................................... 3 T 0 0T Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................... 4 T 0 T 0 Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO T 0 HOÁN .................................................................................................................. 16 0T 2.1. Định lý ..................................................................................................... 16 T 0 0T 0T 0T 2.2. Định lý R.E. Johnson ............................................................................. 21 T 0 0T 0T T 0 2.3. Định lý ..................................................................................................... 22 T 0 0T 0T 0T 2.4. Định lý ..................................................................................................... 25 T 0 0T 0T 0T 2.5. Định lý Albert, Neumann, Fuchs ......................................................... 26 T 0 0T 0T T 0 2.6. Định lý ..................................................................................................... 28 T 0 0T 0T 0T 2.7. Các ví dụ về vành không giao hoán sắp thứ tự ................................... 31 T 0 0T 0T T 0 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 35 T 0 0T TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................. 36 T 0 0T 2 BẢNG KÍ HIỆU Kí hiệu Đọc là charR Đặc số của vành R MR M là R − module phải R M M là R − module trái R MR M là song module J ( R) Căn Jacobson của vành R P Thứ tự trên vành R  [ x] Vành các đa thức biến x có hệ số thực T Tiền thứ tự trên vành R T Cái bao đóng chia của T 3 PHẦN MỞ ĐẦU Vành số nguyên  có một cấu trúc thứ tự tự nhiên được định nghĩa với hai phép toán cộng và nhân trong  . Cụ thể: ∀a, b, c ∈ , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c , 0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab. Trong  , chúng ta có quan hệ thứ tự: ... < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < ... Nếu chúng ta tiên đề hóa những tính chất cơ bản trên, chúng ta sẽ đi đến khái niệm một vành sắp thứ tự. Tuy nhiên không phải bất cứ vành R nào cũng có thể đưa vào một quan hệ thứ tự để nó trở thành một vành sắp thứ tự. Điều đó càng phức tạp hơn đối với lớp các vành không giao hoán. Trong trường hợp nếu R là một trường thì Artin và Schreier đã chỉ ra rằng: một trường R là trường sắp thứ tự nếu và chỉ nếu R là “số thực hình thức”, −1 không là tổng của các bình phương trong R . Vậy với những điều kiện gì thì vành R sắp thứ tự và các vành không giao hoán sắp thứ tự có các đặc trưng cơ bản nào? Luận văn sẽ tìm hiểu và làm rõ vấn đề trên. 4 Chương 1- MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này sẽ trình bày một số kiến thức cơ bản và các kết quả có liên quan chặt chẽ đến chương sau như: lý thuyết vành, lý thuyết module, quan hệ thứ tự, trường sắp thứ tự. 1.1. Định nghĩa vành Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phép toán thường được kí hiệu là “+” (đọc là phép cộng) và “.” (đọc là phép nhân). Ta nói R, +,. là một vành nếu các điều kiện sau được thỏa mãn: i) R, + là một nhóm giao hoán. ii) R,. là một nửa nhóm. iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng: với các phần tử tùy ý x, y, z ∈ R ta có: x ( y + z ) = xy + xz và ( y + z ) x =yx + zx. Nếu phép nhân là giao hoán thì ta gọi R là vành giao hoán, nếu phép nhân có phần tử đơn vị thì ta gọi R là vành có đơn vị. 1.2. Định nghĩa vành con Một bộ phận A khác rỗng của vành R cùng với hai phép toán của vành R cảm sinh trên A lập thành một vành thì ta nói A là vành con của vành R. 1.3. Định lý Cho A là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương đương: 5 1.4. i) A là vành con của R ; ii) Với mọi x, y ∈ A, x + y ∈ A, xy ∈ A, − x ∈ A; iii) Với mọi x, y ∈ A, x − y ∈ A và xy ∈ A . Định nghĩa ideal của một vành Cho R là một vành, một vành con I của R được gọi là ideal trái (ideal phải) của vành R nếu thỏa mãn các điều kiện: rx ∈ I ( xr ∈ I ) , ∀x ∈ I , ∀r ∈ R. Vành con I của R được gọi là ideal của vành R nếu I vừa là ideal trái vừa là ideal phải của vành R . 1.5. Định lý Cho I là một tập con khác rỗng của vành R . Các mệnh đề sau tương đương: i) I là ideal của R ; ii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x + y ∈ I , − x ∈ I , rx ∈ I và xr ∈ I ; iii) Với mọi x, y ∈ I và r ∈ R, x − y ∈ I , rx ∈ I và xr ∈ I . 1.6. Định nghĩa ideal nguyên tố Một ideal I của vành R được gọi là ideal nguyên tố nếu I ≠ R và với hai ideal M , N ⊆ R, MN ⊆ I thì M ⊆ I hoặc N ⊆ I . 1.7. Định nghĩa ideal tối đại Một ideal I của vành R được gọi là ideal tối đại nếu I ≠ R và nếu M là một ideal thỏa I ⊂ M ⊂ R thì I = M hoặc M = R . 6 1.8. Định lý − Định nghĩa Giả sử I là ideal của vành R . Khi đó ta xét nhóm thương của nhóm cộng Abel R . I • Lớp xy + I chỉ phụ thuộc vào các lớp x + I và y + I mà không phụ thuộc vào sự lựa chọn của các phần tử đại diện x, y từ các lớp đó. Và ta gọi xy + I là tích của hai lớp x + I và y + I . • R cùng với hai phép toán: I Phép cộng: ( x + I , y + I )  x + y + I Phép nhân: ( x + I , y + I )  xy + I là vành, gọi là vành thương của R trên I . Nhận xét: 1) Nếu R là vành giao hoán thì vành thương R I cũng giao hoán. 2) Nếu vành R có đơn vị e thì vành thương R 1.9. e+I . I có đơn vị Định nghĩa đồng cấu vành Một ánh xạ f từ vành R vào vành R ' được gọi là một đồng cấu vành nếu f bảo toàn các phép toán, nghĩa là ∀x, y ∈ R f ( x + y= ) f ( x) + f ( y) f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) 7 Một đồng cấu từ vành R vào vành R được gọi là một tự đồng cấu của R . Một đồng cấu đồng thời là đơn ánh, toàn ánh, song ánh được gọi lần lượt là đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu. Một tự đồng cấu song ánh được gọi là một tự đẳng cấu. Nếu tồn tại một đẳng cấu từ R vào R ' thì ta nói R đẳng cấu với R ' . Kí hiệu: R ≅ R'. 1.10. Các ví dụ về đồng cấu vành 1) Ánh xạ đồng nhất id R của vành R là một tự đẳng cấu, gọi là tự đẳng cấu đồng nhất của R . 2) Giả sử A là vành con của vành R . Khi đó ánh xạ bao hàm iA : A → R định bởi iA ( x ) = x là một đơn cấu, gọi là đơn cấu chính tắc. 3) Giả sử I là một ideal của vành R . Khi đó ánh xạ π : R → R định I bởi π ( x )= x + I là một toàn cấu, gọi là toàn cấu chính tắc . 4) Giả sử R, R ' là hai vành. Khi đó ánh xạ f : R → R ' định bởi f ( x ) = 0 R ' ( 0 R ' là phần tử không của vành R ' ) là một đồng cấu, gọi là đồng cấu tầm thường. 5) Cho R là một vành có đơn vị và a ∈ R khả nghịch. Khi đó ánh xạ f : R → R , định bởi f ( x ) = axa −1 là một tự đẳng cấu của R . 1.11. Mệnh đề Nếu f : R → R' f ( − x ) =− f ( x ) , ∀x ∈ R . 1.12. Mệnh đề là đồng cấu vành thì f ( 0R ) = 0R ' và 8 Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành. Đặc biệt, tích của hai đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành cũng là một đơn cấu (tương tứng, toàn cấu, đẳng cấu) vành. 1.10. Mệnh đề Ánh xạ ngược của một đẳng cấu vành cũng là một đẳng cấu vành. 1.13. Định lý Cho đồng cấu vành f : R → R ' và A là một vành con của R , A ' là vành con của R ' . Khi đó: i) f ( A ) là vành con của R ' . ii) f −1 ( A ') là vành con của R . Hơn nữa, nếu A ' là ideal của R ' thì f −1 ( A ') cũng là ideal của R . Đặc biệt: Im f = f ( R ) là vành con của R ' , ker f = f −1 ( 0 R ' ) là ideal của R . Ta gọi Im f là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f . 1.14. Định lý Đồng cấu vành f : R → R ' là đơn cấu khi và chỉ khi ker f = {0 R } . 1.15. Định lý đẳng cấu 1 Cho đồng cấu vành f : R → R ' . Khi đó ánh xạ f : R f ( x + ker f ) = f ( x ) là đơn cấu vành. Đặc biệt R ker f ker f ≅ Im f . → R ' định bởi 9 1.16. Định lý đẳng cấu 2 Cho R là một vành và I là một ideal của R , A là một vành con của R . Khi đó I + A là vành con của R ; I là ideal của I + A ; I ∩ A là ideal của A và A ∩ A ≅ ( I + A ) qua đẳng cấu vành x + I ∩ A  x + I . I I 1.17. Định lý đẳng cấu 3 Cho R là một vành và I là ideal của R . Khi đó: i) A là vành con của vành thương R I khi và chỉ khi A có dạng A ' I với A ' là vành con của R và A ' chứa I . ii) A là ideal của vành thương R I nếu và chỉ nếu A có dạng A ' I với A ' là ideal của R và A ' chứa I . Hơn nữa, ta có: (R I ) ( A' I ) ≅R A' ( ) qua đẳng cấu ( x + I ) + A '  x + A ' . I 1.18. Định nghĩa Cho R là một vành có đơn vị. Nếu mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch (đối với phép nhân) thì R được gọi là một thể (hay vành chia). 1.19. Định nghĩa Một thể giao hoán được gọi là một trường. 1.20. Định nghĩa Vành giao hoán R được gọi là miền nguyên nếu tích của các phần tử khác không luôn khác không. 10 1.21. Định nghĩa Một vành R được gọi là một miền nếu R ≠ 0, ab = 0 ⇒ a = 0 hoặc b = 0 . 1.22. Định nghĩa Cho R là một miền, miền R ' ⊇ R gọi là một vành các thương của R nếu ∀x ∈ R ', ∃a, b ∈ R \ {0} : ax ∈ R, xb ∈ R. 1.23. Định nghĩa đặc số của vành Vành R gọi là vành có đặc số s ≠ 0 nếu s là số nguyên dương bé nhất thỏa s.r= 0 R , ∀r ∈ R (*) Vành R gọi là vành có đặc số 0 nếu 0 là số nguyên duy nhất thỏa (*). 1.24. Mệnh đề Nếu vành R có đặc số s ≠ 0 thì mọi phần tử không phải là ước của không trong vành đều có cấp bằng s . Nếu vành R có đặc số s = 0 thì mọi phần tử không phải là ước của không đều có cấp vô hạn. Chứng minh. Xét vành R và giả sử r ∈ R không phải là ước của 0 . Nếu R có đặc số s ≠ 0 , ta có sr = 0 và r có cấp là n là một ước số của s . Ta chứng tỏ n = s . Với mọi = 0 R 0 R và do r không phải là ước của 0 R , suy ra x ∈ R , ta có ( nx= ) r x ( nr ) x= nx = 0 R . Vậy n = s . Bây giờ nếu vành R có đặc số s = 0 và giả sử r có cấp hữu hạn n . Lập luận như trên, ta có: nx = 0 R với mọi x ∈ R , điều này trái với giả thiết R có đặc số s = 0 . Vậy r có cấp vô hạn. 11 1.25. Hệ quả Đặc số của vành R có đơn vị 1R ≠ 0 R chính là cấp của phần tử đơn vị 1R trong nhóm cộng R (tức là số nguyên s > 0 bé nhất sao cho s.1R = 0 R ). 1.26. Mệnh đề Nếu R là một miền thì hoặc R có đặc số 0 hoặc R có đặc số nguyên tố. Chứng minh. Vì R ≠ {0 R } nên có x ∈ R, x ≠ 0 R và do đó, nếu R có đặc số s ≠ 0 thì phải có s > 1 . Hơn nữa, nếu giả sử s = mm ' với 1 < m, m ' < s thì phải có r ∈ R sao cho m ' r ≠ 0 R , ngoài ra phần tử b = m ' r không phải là ước của 0 theo giả thiết, nên theo mệnh đề 1.24, b có cấp s và do m < s , ta có mb ≠ 0 R (*); nhưng mặt khác, = m ( m ' r= ta có mb ) ( mm ')=r sr= 0 R (mâu thuẫn với (*)). Vậy đặc số s ≠ 0 phải là số nguyên tố. 1.27. Hệ quả Một miền nguyên, một thể hay một trường hoặc có đặc số 0 , hoặc có đặc số nguyên tố. 1.28. Định nghĩa module Cho R là một vành tùy ý và M là một nhóm cộng Aben. M được gọi là mr một R − module phải nếu có một ánh xạ f : M × R → M , ( m, r )  f ( m, r ) = sao cho ∀m, m1 , m2 ∈ M và ∀a, b ∈ R thì: 12 i) m ( a + b ) = ma + mb. ii) ( m1 + m2 ) a =m1a + m2a. iii) ( ma ) b = m ( ab ). Chú ý: M R là R − module phải, tương tự có R M là R − module trái, M vừa là R − module phải vừa là R − module trái gọi là song module. Kí hiệu: R M R . 1.29. Định nghĩa module con Cho R − module M và tập ∅ ≠ N ⊂ M , N được gọi là module con của M nếu: i) ∀x, y ∈ N : x − y ∈ N . ii) ∀a ∈ R, ∀x ∈ N : xa ∈ N . Tất nhiên module con N là một R − module với phép toán cảm sinh và M N cũng là R − module được gọi là module thương. 1.30. Định nghĩa M được gọi là module đơn hay bất khả quy nếu MR ≠ 0 và M có đúng hai module con là M và 0 . 1.31. Định nghĩa Cho M là R − module, A ( M ) là tập hợp các phần tử của R linh hóa toàn 0} . bộ M : A ( M ) = {r ∈ R : Mr = 13 1.32. Định nghĩa M là R − module trung thành khi và chỉ khi A ( M ) = 0 . 1.33. Định nghĩa vành nguyên thủy Vành R được gọi là vành nguyên thủy nếu nó có một R − module bất khả quy và trung thành. 1.34. Định nghĩa căn Jacobson của một vành Căn Jacobson của một vành R là tập tất cả các phần tử của R mà linh hóa mọi R − module bất khả quy. Kí hiệu: J ( R ) . Nếu R không có module bất khả quy thì ta đặt J ( R ) = R . 1.35. Định nghĩa vành nửa nguyên thủy Nếu J ( R ) = 0 thì R được gọi là vành nửa nguyên thủy. 1.36. Định nghĩa vành nguyên tố Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu ∀a, b ∈ R sao cho aRb = ( 0 ) thì ta có a = 0 hoặc b = 0 . 1.37. Định nghĩa quan hệ thứ tự Quan hệ hai ngôi ℜ trong một tập hợp X được gọi là một quan hệ thứ tự trong X nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây: i) Phản xạ: xℜx, ∀x ∈ X . ii) Phản xứng: ∀x, y ∈ X , nếu xℜy và yℜx thì x = y . 14 iii) Bắc cầu: ∀x, y, z ∈ X , nếu xℜy và yℜz thì xℜz . Quan hệ này mở rộng quan hệ “bé hơn hoặc bằng” trong tập hợp số thực và thường được kí hiệu là “ ≤ ”. Nếu với mọi cặp ( x, y ) ta có xℜy hoặc yℜx thì quan hệ thứ tự ℜ được gọi là tuyến tính hay toàn phần, còn nếu trong X tồn tại các cặp phần tử không so sánh được với nhau thì ℜ được gọi là quan hệ thứ tự bộ phận. 1.38. Định nghĩa Cho ( X , ≤ ) là một tập sắp thứ tự. Khi đó ta định nghĩa: • Cận trên của một tập con A của X là phần tử x ∈ X thỏa a ≤ x, ∀a ∈ A. • Một dây chuyền trong X là một tập con A của X thỏa ∀a, b ∈ A thì a ≤ b hoặc b ≤ a . • Phần tử cực đại của X là phần tử x0 ∈ X sao cho nếu x ∈ X , x 0 ≤ x thì x0 = x . 1.39. Bổ đề Zorn Nếu X là một tập không rỗng được sắp thứ tự bộ phận và mọi dây chuyền tăng của X đều có cận trên nằm trong X thì X có phần tử cực đại. 1.40. Định nghĩa Một trường F là trường sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần “<” trên F sao cho ∀a, b, c ∈ F , ta có: 15 a < b ⇒ a + c < b + c, 0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab. 1.41. Định nghĩa trường Một ∑ F = {a 2 2 1 là thực hình thức nếu −1∉ ∑ F 2 với + ... + an2 / n ∈ , ai ∈ F ,1 ≤ i ≤ n} là tổng của các bình phương trong F. 1.42. Định lý Artin- Schreier Một trường F là thực hình thức nếu và chỉ nếu F sắp thứ tự. 16 Chương 2- VỀ CẤU TRÚC THỨ TỰ TRONG CÁC VÀNH KHÔNG GIAO HOÁN Chương này sẽ trình bày các tính chất và mối quan hệ giữa vành tiền sắp thứ tự và vành sắp thứ tự, điều kiện để một tiền thứ tự trở thành một thứ tự, mối quan hệ giữa miền nguyên sắp thứ tự và vành các thương, mối quan hệ giữa vành sắp thứ tự Acsimet và tính giao hoán của vành. Trước tiên, ta định nghĩa khái niệm thông thường của một vành sắp thứ tự như sau: 2.1. Định lý 2.1.1. Định nghĩa R là vành sắp thứ tự nếu tồn tại một thứ tự toàn phần " < " trên R sao cho ∀a, b, c ∈ R , ta có: a < b ⇒ a + c < b + c; 0 < a,0 < b ⇒ 0 < ab. 2.1.2. Định nghĩa Hình nón dương của thứ tự " < " là tập hợp P = {c ∈ R : 0 < c} thỏa mãn ba tính chất sau: ( 2.1) P + P ⊆ P. ( 2.2 ) P.P ⊆ P. ( 2.3) P ∪ ( − P ) =R \ {0}. 17 Nhận xét: Nếu cho tập P thỏa mãn 3 tính chất trên thì ta định nghĩa một thứ tự trên vành R bởi a < b ⇔ b − a ∈ P . Khi đó R là vành sắp thứ tự với " < " . Do đó, ta có P thỏa 3 tính chất trên là một thứ tự trên R . 2.1.3. Mệnh đề Nếu P là một thứ tự trên vành R ≠ 0 thì P ∩ ( − P ) =∅,1∈ P và R là một miền có đặc số 0 . Chứng minh. Giả sử nếu a ∈ P ∩ ( − P ) thì a ∈ P và a ∈ ( − P ) suy ra −a ∈ P. Ta có: 0 = a + ( −a ) ∈ P + P ⊆ P (mâu thuẫn với tính chất (2.3)). Do đó P ∩ ( − P ) =∅ . 12 =− Mặt khác, ta cũng có 1∈ P hoặc −1∈ P vì 1 = ( 1) ∈ P.P ⊆ P . Mở rộng với 2 bất kỳ số tự nhiên n , ta có: n.1 = 1 + ... + 1∈ P . Do đó charR = 0. Cuối cùng, ta chứng minh R là một miền. Nếu b, c ∈ R \ {0} thì việc lựa chọn một cách thích hợp dấu của b và c cho ta ( ±b )( ±c ) ∈ P.P ⊆ P và bc ≠ 0 . Vậy R là một miền. Nhận xét: Mệnh đề trên cho ta điều kiện cần để một vành R có tồn tại một thứ tự trong R . Nhìn chung, các điều kiện này là không đủ để đảm bảo sự tồn tại của một thứ tự. Trong phần sau của luận văn, ta sẽ tìm ra một số điều kiện đủ để một vành tùy ý được sắp thứ tự. Ý tưởng đầu tiên là của J.P.Serre về sự mở rộng của khái niệm thứ tự là khái niệm tiền thứ tự.