Tài liệu Vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Hồ Nguyễn Đăng Khoa VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN VIẾT ĐÔNG Thành phố Hồ Chí Minh - 2012 2 Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của TS. Nguyễn Viết Đông. Nhân dịp này, tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy và gia đình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới toàn thể các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin và phòng Sau đại học – trường Đại học Sư phạm Tp. Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã luôn bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn này. Tp. Hồ Chí Minh, ngày 17 tháng 09 năm 2012 Học viên Hồ Nguyễn Đăng Khoa 3 Mục lục Lời cảm ơn ......................................................................................................................................... 2 Bảng kí hiệu ..................................................................................................................................... 4 Mở đầu ............................................................................................................................................... 6 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................................................. 7 §1. Môđun ....................................................................................................................................... 7 §2. Vành ........................................................................................................................................ 21 Chương 2. VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH ............................................... 26 §1. Định nghĩa và tính chất cơ bản................................................................................................ 26 §2. Ứng dụng................................................................................................................................. 34 Kết luận ............................................................................................................................................ 42 Tài liệu tham khảo .......................................................................................................................... 44 4 Bảng kí hiệu Kí hiệu Ý nghĩa  Tập hợp các số tự nhiên  Tập hợp các số nguyên  Tập hợp các số hữu tỉ Ker f Hạt nhân của đồng cấu f Im f Ảnh của đồng cấu f J ( R) Căn Jacobson của vành R l ( X ), r ( X ) Linh hóa tử trái của tập hợp X , linh hóa tử phải của tập hợp X l (a ), r (a ) Linh hóa tử trái của phần tử a , linh hóa tử phải của phần tử a R Mod , Mod R Phạm trù các R -môđun trái, phạm trù các R -môđun phải HomR ( X , Y ) Tập hợp tất cả đồng cấu từ R -môđun X vào R -môđun Y Ext1R ( A, B) R M, MR Tích mở rộng của R -môđun A và R -môđun B R -môđun trái M , R -môđun phải M 1M Ánh xạ đồng nhất của tập hợp M i, ɩ Ánh xạ nhúng Card X Lực lượng của tập hợp X M RI , R M I Môđun tích trực tiếp của họ I các môđun M R , môđun tích trực tiếp của họ I các môđun R M 5 M* Môđun đối ngẫu của môđun M A× B Tích Đề-các của hai tập hợp A và B dim L K Số chiều của không gian vectơ K trên trường L ∏M Môđun tích trực tiếp của họ môđun {M i }i∈I i∈I i K [ x1 , x2 , , xn ,] Vành đa thức của vô số ẩn x1 , x2 ,..., xn ,... trên trường K ( x1 , x2 , x3 ,) Trường phân thức của vô số ẩn x1 , x2 , x3 ,... trên trường số hữu tỉ  6 Mở đầu Trong đại số nói chung và lý thuyết vành nói riêng, có thể nói lớp vành Noether là một trong những lớp vành cơ bản nhất. Chính vì thế, việc nghiên cứu các dạng mở rộng của lớp vành này là một đề tài rộng lớn, thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học và cho đến nay chúng ta đã thu được nhiều kết quả đáng kể. Đặc biệt, gần đây Lixin Mao [17] đã chỉ ra một dạng mở rộng mới, khá thú vị của lớp vành Noether, đó chính là vành với các linh hóa tử hữu hạn sinh hay gọi tắt là vành AFG . Với mong muốn hiểu rõ hơn về những tính chất cơ bản, cũng như một số ứng dụng lí thú của dạng mở rộng mới này, do đó, luận văn sẽ đi trình bày lại một cách chi tiết các kết quả về vành AFG có trong bài báo: “A generalization of Noetherian rings, Taiwanese Journal of Mathematics, 12(2), pp.501-512” của Lixin Mao. Nội dung luận văn sẽ được trình bày trong 2 chương: Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. Chương này sẽ đi trình bày các kiến thức cơ bản về Môđun và Vành, làm cơ sở để chứng minh các kết quả trong chương 2. Chương 2: VÀNH VỚI CÁC LINH HÓA TỬ HỮU HẠN SINH. Chương này sẽ trình bày nội dung chính của luận văn: định nghĩa, một số tính chất cơ bản và ứng dụng của vành AFG . Luận văn này chắc chắn sẽ không tránh khỏi sai sót. Rất mong nhận được ý kiến đóng góp từ thầy cô và các bạn để luận văn hoàn chỉnh hơn. Xin chân thành cảm ơn ! 7 Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong suốt luận văn này, nếu không nói gì thêm, vành R luôn được hiểu là vành kết hợp, có đơn vị 1 ≠ 0 và mọi R -môđun được xét là môđun unita trái hoặc phải. §1. Môđun Tiết này sẽ trình bày những kiến thức cơ bản về môđun, đây là cơ sở để chúng tôi làm rõ những tính chất của vành AFG . Để tránh nặng nề về mặt thuật ngữ, trong tiết này chúng tôi sẽ gọi các R -môđun trái là các môđun và tất cả các kết quả mà chúng tôi trình bày về các R -môđun trái đều chuyển sang một cách tương tự cho các R -môđun phải. Trước hết, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa về hệ sinh và cơ sở của một môđun. Cho R -môđun X . Tập hợp S ⊂ X , S ≠ ∅ là hệ sinh của X nếu với bất kì phần tử x ∈ X thì : x = r1s1 + r2 s2 +  + rn sn với r1 , r2 ,..., rn ∈ R và s1 , s2 ,..., sn ∈ S . Tập hợp S là độc lập tuyến tính nếu: 0 r1s1 + r2 s2 +  + rn sn = 8 thì r= r2= = rn= 0. 1 Một hệ sinh S của môđun đồng thời là hệ độc lập tuyến tính được gọi là cơ sở của môđun X . 1.1.1 Định nghĩa. Môđun X được gọi là môđun hữu hạn sinh nếu X có một hệ sinh hữu hạn. Chú ý: Với mỗi R -môđun trái M và một họ {Li }i∈I các R -môđun phải, ta luôn có đồng cấu: ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) i∈I i∈I được xác định bởi ϕ (( zi ) ⊗ x) = ( zi ⊗ x). Đặc biệt, ta có đồng cấu: ϕ : R I ⊗R M → M I R được xác định bởi ϕ ((ai ) ⊗ x) = (ai x) . Dựa vào các đồng cấu này, mệnh đề sau sẽ cho chúng ta thêm một công cụ để chứng minh một môđun là môđun hữu hạn sinh. 1.1.2 Mệnh đề ([21], Lemma 13.1). Cho M là R -môđun, các khẳng định sau là tương đương : (a) M là môđun hữu hạn sinh. (b) ϕ : (∏ Li ) ⊗ R M → ∏ ( Li ⊗ R M ) là toàn cấu với mọi họ {Li }i∈I các R i∈I i∈I môđun phải. (c) ϕ : RRI ⊗ R M → M I là toàn cấu với mọi tập chỉ số I . Chứng minh. (a) ⇒ (b) Giả sử M sinh bởi các phần tử x1 , x2 , , xn . Lấy ui (ui ) I ∈ ∏ ( Li ⊗ R M ) , khi đó= i∈I ∑ (z n ∑z j =1 ji ⊗ x j với z ji ∈ Li . Vì thế (ui ) I là ảnh của ) ⊗ x j .Vậy ϕ là toàn cấu. ji I j (b) ⇒ (c) rõ ràng. (c) ⇒ (a) Ta chọn tập chỉ số I là M . Xét phần tử u ∈ M M mà thành phần thứ x chính là x . Vì ϕ : RRM ⊗ R M → M M là toàn cấu nên= ta có u ϕ (∑ (rjx ) ⊗ x j ) với j 9 (r1x ), (r2 x ), , (rnx ) ∈ R M và x1 , x2 , , xn ∈ M . Rõ ràng x = ∑ rjx x j với mọi j x ∈ M . Vậy x1 , x2 , , xn là hệ sinh của M .  1.1.3 Định nghĩa. Môđun X có cơ sở được gọi là môđun tự do. 1.1.4 Nhận xét. • Cho S là một tập hợp khác rỗng, ta hoàn toàn có thể xây dựng một R -môđun tự do có cơ sở là S , kí hiệu là F ( S ) (xem [1,tr.50]). • R -môđun X là tự do khi và chỉ khi X đẳng cấu với tổng trực tiếp của họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R (xem [1, Định lý 4, tr.51]). • Tập S ≠ ∅ trong môđun X là cơ sở của X khi và chỉ khi với bất kì môđun Y , mỗi ánh xạ f : S → Y đều có thể mở rộng tới một đồng cấu duy nhất f : X → Y (xem [1, Định lý 5, tr.51]). 1.1.5 Định nghĩa. Môđun F được gọi là môđun tự do hữu hạn sinh nếu F có cơ sở hữu hạn. 1.1.6 Nhận xét. R -môđun F là tự do hữu hạn sinh khi và chỉ khi F ≅ R n với n∈ . Chứng minh. ( ⇒ ) Giả sử R -môđun F là tự do hữu hạn sinh, khi đó F có cơ sở hữu hạn là {a1 , a2 , , an } . Ta định nghĩa đồng cấu π : R n → F theo cách sau: π ((r1 , r2 , , rn )) = r1a1 + r2 a2 +  + rn an . Vì {a1 , a2 , , an } là hệ sinh của F nên π là toàn ánh. Mặc khác {a1 , a2 , , an } độc lập tuyến tính nên π là đơn ánh. Vậy π là đẳng cấu hay F ≅ R n . ( ⇐ ) hiển nhiên.  1.1.7 Định nghĩa. Môđun P được gọi là môđun xạ ảnh nếu với mọi toàn cấu σ : B → C , mỗi đồng cấu f : P → C , tồn tại một đồng cấu ϕ : P → B sao cho f = σϕ . 10 Chú ý: Mỗi môđun tự do đều là môđun xạ ảnh (xem [1, Định lý 1, tr. 73]). 1.1.8 Định lý ([1, Định lý 5]). Đối với mỗi môđun P , ba phát biểu sau là tương đương: a) P là môđun xạ ảnh. χ δ b) Mỗi dãy khớp 0 → A → B → P → 0 là chẻ ra. c) P đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của một môđun tự do. 1.1.9 Định nghĩa. Đồng cấu f : M → P được gọi là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh (projective preenvelope) của R -môđun M nếu P là môđun xạ ảnh và với mọi đồng cấu g đi từ M vào bất kì môđun xạ ảnh P ' , luôn tồn tại một đồng cấu h : P → P ' sao cho g = hf . Chú ý: Nếu đồng cấu f là đơn ánh (tư, toàn ánh) thì ta gọi f là đơn cấu (t.ư, toàn cấu) tiền phủ xạ ảnh. 1.1.10 Định nghĩa. R -môđun M được gọi là môđun biểu diễn hữu hạn (finitely presented) nếu tồn tại một dãy khớp 0 → K → F → M → 0 trong đó F là R môđun tự do và cả F và K đều là R -môđun hữu hạn sinh. Như vậy, theo Định nghĩa 1.1.10, chúng ta dễ dàng thấy rằng mỗi môđun biểu diễn hữu hạn đều là môđun hữu hạn sinh. 1.1.11 Bổ đề (Bổ đề Schanuel, [20, Proposition 3.12]). Cho các dãy khớp các R môđun α π α' π' 0 → K →P→M → 0 và 0 → K '→ P '→ M → 0 trong đó P và P ' là các môđun xạ ảnh, khi đó ta có đẳng cấu: K ⊕ P ' ≅ K '⊕ P. 11 1.1.12 Mệnh đề ([20. Corollary 3.13]). Nếu M là môđun biểu diễn hữu hạn và ϕ φ 0 → K →F →M → 0 là một dãy khớp các R -môđun, trong đó F là môđun tự do hữu hạn sinh thì K là môđun hữu hạn sinh. Chứng minh. Vì M là môđun biểu diễn hữu hạn nên tồn tại dãy khớp ϕ' φ' 0 → K '→ F '→ M → 0 với F ' là môđun tự do và cả F ' và K đều là hữu hạn sinh. Theo Bổ đề Schanuel, ta suy ra K ⊕ F ' ≅ K '⊕ F . Do K ' và F là hữu hạn sinh nên K '⊕ F là hữu hạn sinh và vì thế kéo theo K ⊕ F ' là hữu hạn sinh. Mặt khác K là ảnh của K ⊕ F ' thông qua đồng cấu chiếu nên K cũng là hữu hạn sinh.  1.1.13 Định nghĩa. Cho M là R -môđun trái (t.ư, phải) và X là một tập con khác rỗng của M . Tập hợp tất cả các phần tử r ∈ R sao cho rx = 0 (t.ư, xr = 0 ) với mọi x ∈ X được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X , ta kí hiệu là l ( X ) (t.ư, r ( X ) ) Chú ý: Nếu X = {a} chỉ có một phần tử, khi đó linh hóa tử trái (t.ư, phải) của X còn được gọi là linh hóa tử trái (t.ư, phải) của a và được kí hiệu đơn giản là l (a ) (t.ư, r (a ) ). 1.1.14 Định lý ([6, Theorem 2.2]). Cho R là một vành, hai khẳng định sau là tương đương : (i) Mọi iđêan trái hữu hạn sinh của R đều là môđun biểu diễn hữu hạn. (ii) l (a ) là iđêan trái hữu hạn sinh với mọi a ∈ R và giao của hai iđêan trái hữu hạn sinh bất kì của R lại là iđêan trái hữu hạn sinh. Chứng minh. Lấy a ∈ R , khi đó ta có dãy khớp 0 → l (a ) → R → Ra → 0 , điều này chứng tỏ l (a ) là hữu hạn sinh khi và chỉ khi Ra là biểu diễn hữu hạn. Bây giờ giả sử I1 , I 2 là hai iđêan trái hữu hạn sinh của R và giả sử ta có αi βi các dãy khớp 0 → K i → Fi → I i → 0 , i = 1, 2 , trong đó các Fi là các môđun tự do 12 hữu hạn sinh. Đặt K là hạt nhân của toàn cấu ϕ : F1 ⊕ F2 → I1 + I 2 ,(a, b)  ϕ (a, b= ) β1 (a ) + β 2 (b) . Khi đó ta có biểu đồ giao hoán sau : 0 ↓ I1 ∩ I 2 ↓ 0 → K1 ⊕ K 2 → F1 ⊕ F2 → I1 ⊕ I 2 → 0 ↓ ↓ ↓ → K  → F1 ⊕ F2 → I1 + I 2 → 0 0  ↓ 0 trong đó các hàng và cột là khớp và ánh xạ F1 ⊕ F2 → F1 ⊕ F2 là ánh xạ đồng nhất. Bằng các bước săn biểu đồ đơn giản, ta dễ dàng chứng minh được tồn tại một đồng cấu từ K vào I1 ∩ I 2 sao cho dãy 0 → K1 ⊕ K 2 → K → I1 ∩ I 2 → 0 là khớp. Vì thế, nếu K1 và K 2 là hữu hạn sinh thì K là hữu hạn sinh khi và chỉ khi I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh. Nghĩa là, nếu I1 và I 2 là biểu diễn hữu hạn thì I1 + I 2 là biểu diễn hữu hạn khi và chỉ khi I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh. Bây giờ giả sử ta có (i). Theo giả thiết I1 , I 2 và I1 + I 2 là các môđun biểu diễn hữu hạn, do đó theo chứng minh trên ta có I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh. Ngược lại, giả sử ta có (ii). Lấy I = Ra1 + Ra2 +  + Ran là một iđêan trái hữu hạn sinh của R . Ta đi chứng minh I là biểu diễn hữu hạn bằng quy nạp. Giả sử n > 1 và (i) đúng với k < n . Đặt I1 = Ra1 + Ra2 +  + Ran −1 và I 2 = Ran , rõ ràng I= I1 + I 2 . Theo giả thiết quy nạp ta có I1 và I 2 là biểu diễn hữu hạn, kết hợp giả thiết I1 ∩ I 2 là hữu hạn sinh nên theo chứng minh trên ta suy ra I= I1 + I 2 là biểu diễn hữu hạn.  1.1.15 Định nghĩa. R -môđun trái (t.ư, phải) A được gọi là môđun dẹt trái (t.ư, phải) nếu hàm tử (− ⊗ R A) (t.ư, ( A ⊗ R −) ) là hàm tử khớp. 13 Chú ý: Mỗi môđun xạ ảnh là môđun dẹt (xem [20, Proposition 3.46]). Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát môđun dẹt không nhất thiết là xạ ảnh. Tuy nhiên chúng ta có kết quả sau: 1.1.16 Định lý ([20, Theorem 3.56]). Môđun biểu diễn hữu hạn-dẹt là môđun xạ ảnh. 1.1.17 Định nghĩa. Môđun M được gọi là môđun xạ ảnh đơn (singly projective) nếu với mọi toàn cấu f : N → M , mỗi đồng cấu g : C → M trong đó C là môđun xylic, tồn tại một đồng cấu h : C → N sao cho g = fh. 1.1.18 Định lý. Cho R -môđun M , các phát biểu sau là tương đương: (1) M là môđun xạ ảnh đơn. (2) Với mỗi môđun con xylic N của M , ánh xạ nhúng ɩ : N → M luôn phân tích qua được một R -môđun xạ ảnh P , nghĩa là tồn tại các đồng cấu g : N → P , h : P → M sao cho ɩ = hg . (3) Với mỗi môđun con xylic N của M , ánh xạ nhúng ɩ : N → M luôn phân tích qua được một R -môđun tự do hữu hạn sinh F . (4) Với mỗi R -môđun xylic N , mọi đồng cấu f : N → M luôn phân tích qua được một R -môđun tự do hữu hạn sinh F . Chứng minh. (1) ⇒ (4) Giả sử ta có R -môđun xylic N = Ra và f là một đồng cấu đi từ N vào M . Xét F ( M ) là R -môđun tự do sinh bởi M và π là đồng cấu mở rộng lên toàn F ( M ) của ánh xạ đồng nhất 1M : M → M . Do M là môđun xạ ảnh đơn nên tồn tại đồng cấu g : N → F ( M ) sao cho f = π g . Vì g (a ) ∈ F ( M ) nên g (a ) có sự biểu thị tuyến tính qua cơ sở M của F ( M ) như sau : g (a )= k1m1 + k2 m2 +  + kn mn , ki ∈ R, mi ∈ M , i= 1, , n. Đặt F là môđun con của F ( M ) sinh bởi các phẩn tử m1 , m2 , , mn , rõ ràng F là môđun tự do hữu hạn sinh. Ta đặt h là hạn chế của đồng cấu π trên F , dễ thấy f = hg và F chính là môđun tự do hữu hạn sinh cần tìm. (4) ⇒ (3) và (3) ⇒ (2) rõ ràng. 14 (2) ⇒ (1) Giả sử ta có toàn cấu ϕ : K → M và đồng cấu σ : C → M với C là R môđun xylic. Vì ảnh của đồng cấu σ là môđun xylic và do (2) nên tồn tại R môđun xạ ảnh P và các đồng cấu g : C → P , h : P → M sao cho σ = hg . Mặt khác, do P là xạ ảnh nên tồn tại đồng cấu λ : P → K sao cho h = ϕλ . Dễ thấy σ = ϕ (λ g ) . Vậy M là môđun xạ ảnh đơn.  Theo Định lý 1.1.18, chúng ta có thể thấy rằng mọi môđun xạ ảnh đều là môđun xạ ảnh đơn. Tương tự định nghĩa đồng cấu tiền phủ xạ ảnh, ta có định nghĩa đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn như sau : 1.1.19 Định nghĩa. Đồng cấu f : M → P được gọi là đồng cấu tiền phủ xạ ảnh đơn (singly projective preenvelope) của R -môđun M nếu P là môđun xạ ảnh đơn và với mọi đồng cấu g đi từ M vào bất kì môđun xạ ảnh đơn P ' , tồn tại một đồng cấu h : P → P ' sao cho g = hf . Chú ý: Nếu đồng cấu f là đơn ánh (t.ư, toàn ánh) thì ta gọi f là đơn cấu (t.ư, toàn cấu) tiền phủ xạ ảnh đơn. 1.1.20 Định nghĩa. Môđun con A của R -môđun B được gọi là môđun con thuần khiết (pure submodule) nếu đồng cấu 1C ⊗ i : C ⊗ A → C ⊗ B là đơn ánh với mọi R -môđun phải C , trong đó 1C là ánh xạ đồng nhất của môđun C và i là ánh xạ nhúng từ môđun A vào môđun B . Ngoài định nghĩa trên, theo [16, Theorem 4.89], chúng ta có thể định nghĩa môđun con thuần khiết như sau: Môđun con A của R -môđun B là môđun con thuần khiết nếu a j ∈ A (1 ≤ j ≤ n), bi ∈ B (1 ≤ i ≤ m) và sij ∈ R (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) sao cho a j = ∑ i sij bi với mọi j , tồn tại ai' ∈ A (1 ≤ i ≤ m) sao cho a j = ∑ i sij ai' với mọi j . Định nghĩa này sẽ giúp chúng ta kết quả sau : 1.1.21 Định lý. Môđun con thuần khiết của môđun xạ ảnh đơn là xạ ảnh đơn. Chứng minh. Giả sử A là môđun con thuần khiết của R -môđun xạ ảnh đơn B và N = Ra là môđun con xylic của A . Do B là xạ ảnh đơn nên tồn tại R -môđun tự do 15 hữu hạn sinh F và các đồng cấu g : N → F , h : F → B sao cho i = hg , với i là ánh xạ nhúng từ N vào B (theo Định lý 1.1.17). Gọi {e j } j =1,n là cơ sở của F và đặt x j = h(e j ) với j = 1, , n . Do g (a ) ∈ F nên g (a ) = ∑ j =1 rj e j với rj ∈ R . Mặt khác n ( g (a )) ta= có a h= r h (e ) ∑ ∑= j j j r x j . Khi đó do A là môđun con thuần khiết j j của môđun B nên tồn tại y1 , y2 , , yn trong A sao cho a = ∑ j rj y j . Bây giờ ta xét đồng cấu η : F → A được xác định bởi η (e j ) = y j với j = 1, 2, , n , khi đó = a= ∑ j rj y j r η (e ) ∑= j j j η= (∑ j rj e j ) η g (a ) với j = 1, 2, , n . Do a là phần tử sinh của N nên điều này kéo theo η g = ɩ , với ɩ là ánh xạ nhúng từ N vào A . Vậy A là môđun xạ ảnh đơn (theo Định lý 1.1.17).  1.1.22 Định lý ([8, Lemma 5.3.12]). Cho M và N là các R -môđun. Khi đó tồn tại một bản số vô hạn ℵα phụ thuộc vào Card N và Card R sao cho với bất kì đồng cấu f : N → M , tồn tại một môđun con thuần khiết S của M sao cho f ( N ) ⊂ S và Card S ≤ ℵα . 1.1.23 Định nghĩa. Cho C là một lớp con của phạm trù các R -môđun trái R Mod . Một C -tiền phủ (C -preenvelope) của R -môđun trái M là một đồng cấu φ : M → F với F ∈ C sao cho với mọi đồng cấu f : M → F ' trong đó F ' ∈ C, tồn tại một đồng cấu g : F → F ' sao cho gφ = f . 1.1.24 Định lý ([7, Lemma 3.1]). Giả sử C là một lớp các R -môđun trái đóng với hạng tử trực tiếp. Nếu mỗi R -môđun trái đều có một C - tiền phủ thì C sẽ đóng với tích trực tiếp. Chứng minh. Với bất kì họ môđun {Fi }i∈I ⊂ C, ∏F i∈I i có một C -tiền phủ φ : ∏ Fi → F (theo giả thiết). Đặt pi : ∏ Fi → Fi là phép chiếu thứ i . Khi đó tồn i∈I i∈I tại đồng cấu ψ i : F → Fi sao cho ψ i= φi pi , ∀i ∈ I . Ta định nghĩa đồng cấu 16 ψ : F → ∏ Fi theo quy tắc ψ ( x) = (ψ i ( x))i∈I với mọi x ∈ F . Với mỗi i∈I ( xi )i∈I ∈ ∏ Fi , ta đặt φ ( xi )i∈I = x , khi đó i∈I = xi p= ψ iφ= (( xi )) ψ i ( x), i (( xi )) và do đó ψφ ((= xi )) ψ= ( x) (ψ i = ( x)) ( xi ), hay ψφ = 1 F . Vì vậy ∏ i i∈ I ∏F i∈I i là một hạng tử trực tiếp của F , và vì thế ∏F ∈ C i∈I i (theo giả thiết). Vậy C đóng với tích trực tiếp.  1.1.25 Định nghĩa. Môđun J là môđun nội xạ khi và chỉ khi với mỗi đơn cấu f :B → J sao cho f = f χ . χ : A → B , mỗi đồng cấu f : A → J , tồn tại đồng cấu  1.1.26 Định lý (Tiêu chuẩn Baer, [1]). R -môđun J là nội xạ khi và chỉ khi với bất kì iđêan trái I của R và bất kì đồng cấu f : I → J , luôn tồn tại phần tử q ∈ J sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q . Cho R là một vành. Ta xét các điều kiện sau : (C1 ) Bất kì đồng cấu f : I → R với I là iđêan trái hữu hạn sinh của R , luôn tồn tại phần tử q ∈ R sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q . (C1* ) Bất kì đồng cấu f : I → R với I là iđêan trái xylic của R , luôn tồn tại phần tử q ∈ R sao cho với mọi λ ∈ I , ta có f (λ ) = λ q . (C 2 ) r ( I1 ∩ I 2 ) = r ( I1 ) + r ( I 2 ) với mọi cặp iđêan trái hữu hạn sinh I1 , I 2 của R . (C3 ) r (l ( I )) = I với mọi iđêan phải xylic I của R . 1.1.27 Định lý ([12, Theorem 1]). Các khẳng định sau là đúng đối với vành R bất kì : (i) R thỏa điều kiện (C1* ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện (C3 ) . (ii) R thỏa điều kiện (C1 ) khi và chỉ khi R thỏa điều kiện (C 2 ) và (C3 ) . Chứng minh. (i) Giả sử R thỏa điều kiện (C1* ) . Bây giờ ta xét iđêan trái xylic Ra, a ∈ R . Lấy b là một phần tử bất kì trong r (l (a )) . Vì l (a ) ⊆ l (b) nên tồn tại 17 đồng cấu ϕ : Ra → Rb được xác định bởi ϕ (ra= ) rb, ∀r ∈ R . Theo (C1* ) , tồn tại phần tử c ∈ R sao cho ϕ (a= = b , và do đó b ∈ aR . Vậy r (l (aR= ) ac )) aR = r (l (a )) .Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện (C3 ) . Lấy Ra là iđêan trái xylic của R và giả sử θ là một đồng cấu từ Ra vào R , đặt θ (a ) = aθ , rõ ràng l (a ) ⊆ l (aθ ) . Vì vậy, theo (C3 ) ta có aθ R = r (l (aθ R )) ⊆ r (l (aR )) = aR , do đó tồn tại phần tử c ∈ R sao cho aθ = ac . Như vậy ta đã tìm được phần tử c∈R sao cho θ θ (ra= ) rθ (a= ) ra= r (ac= ) (ra )c, ∀r ∈ R . (ii) Giả sử R thỏa điều kiện (C1 ) . Lấy I1 , I 2 là hai iđêan trái hữu hạn sinh của R và b là một phần tử bất kì trong r ( I1 ∩ I 2 ) . Tiếp tục lấy c là một phần tử bất kì trong R , ta xét các đồng cấu sau: θ1 : I1 → I1c x  xc và θ 2 : I 2 → I 2 (c + b ) y  y (c + b ) Vì b ∈ r ( I1 ∩ I 2 ) nên θ1= ( x) θ 2 ( x), ∀x ∈ I1 ∩ I 2 , do đó tồn tại đồng cấu : θ : I1 + I 2 → I1c + I 2 (c + b) x + y  xc + y (c + b) Theo (C1 ) , tồn tại phần tử a ∈ R sao cho θ ( x + y ) = ( x + y )a, ∀x ∈ I1 , ∀y ∈ I 2 . Do đó ta có : c − a ∈ r ( I1 ), (c + b) − a ∈ r ( I 2 ). Vì vậy b = (c + b − a ) − (c − a ) ∈ r ( I1 ) + r ( I 2 ) . Do đó r ( I1 ∩ I 2 ) = r ( I1 ) + r ( I 2 ) . Vậy * R thỏa điều kiện (C 2 ) . Mặt khác R thỏa điều kiện (C1 ) nên thỏa điều kiện (C1 ) kéo theo thỏa điều kiện (C3 ) . 18 Ngược lại, giả sử R thỏa điều kiện (C 2 ) và (C3 ) . Khi đó R thỏa (C1* ) vì (i). Giả sử I = Ra1 + Ra2 +  + Ran là một iđêan trái hữu hạn sinh của R . Ta đi chứng minh R thỏa điều kiện (C1 ) bằng quy nạp theo n - số phần tử sinh của I . Rõ ràng R thỏa điều kiện (C1 ) với n = 1 (theo (i)). Giả sử R thỏa (C1 ) với k= n − 1 , ta cần chứng minh R thỏa (C1 ) khi k = n . Gọi ϕ : I → R là một đồng cấu bất kì từ I vào R và ϕ1 , ϕ 2 lần lượt là hạn chế của ϕ trên và Ran . Theo giả thiết quy nạp, tồn tại c1 , c2 ∈ R sao cho ϕ ( x= ) xc1 , ∀x ∈ I1 và ϕ ( = y ) yc2 , ∀y ∈ Ran . Vì ϕ1 và ϕ 2 là trùng nhau trên I1 ∩ Ran nên ta có c1 − c2 ∈ r ( I1 ∩ Ran ) . Mặt khác, do R thỏa (C 2 ) nên r ( I1 ∩ Ran ) = r ( I1 ) + r ( Ran ) , vì thế c1 − c2 = b1 − b2 với b1 ∈ r ( I1 ), b2 ∈ r ( Ran ) . Ta đặt c = c1 + b1 = c2 + b2 . Dễ dàng kiểm tra được rằng ϕ ( x= ) xc, ∀x ∈ I . Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, ta suy ra R thỏa điều kiện (C1 ) với mọi n ∈  .  1.1.28 Định nghĩa. Môđun con N của R -môđun M được gọi là môđun con cốt yếu (essential submodule) của M nếu N ∩ K ≠ 0 với mọi môđun con K ≠ 0 của M. 1.1.29 Định nghĩa. Nếu N là môđun con cốt yếu của môđun nội xạ E thì E được gọi là bao nội xạ của môđun N , kí hiệu E ( N ) . Chú ý: Mọi môđun đều có bao nội xạ (xem [5, Proposition 7.13]). Cho M là R -môđun phải, khi đó ta có thể biến nhóm cộng aben HomR ( M , R ) thành R -môđun trái với phép nhân ngoài được xác định theo cách sau: (rf )(m) = r ( f (m)) với f ∈ HomR ( M , R ), m ∈ M , r ∈ R. 1.1.30 Định nghĩa. R -môđun trái HomR ( M , R ) được gọi là môđun đối ngẫu của R -môđun phải M , kí hiệu là M * . 19 1.1.31 Nhận xét. • Nếu M là môđun tự do hữu hạn sinh thì M * cũng là môđun tự do hữu hạn sinh. • Cho f : N → M là đồng cấu môđun, dễ thấy ánh xạ f * : M * → N * được xác định theo công thức f * (α ) = α f với mọi α ∈ M * là một đồng cấu môđun. Hơn nữa, nếu f là toàn cấu thì f * là đơn cấu. Chứng minh. Giả sử M là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở hữu hạn là m1 , m2 , , mn . Với mỗi i ∈ {1, 2, , n} , ta định nghĩa các đồng cấu ϕi : M → R như sau 1 i = j 0 i ≠ j ϕi ( m j ) =  Khi đó ϕi ∈ M * với i = 1, 2, , n . Dễ thấy M * là môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở là ϕ1 , ϕ 2 , , ϕ n . (ii) Giả sử ánh xạ f : N → M là toàn cấu. Khi đó ta có : f * (α ) = f * ( β ) ⇔ α f = β f ⇒ α = β hay f * là đơn cấu.  1.1.32 Định nghĩa. R -môđun M được gọi là môđun xoắn yếu (torsionless) nếu M thỏa một trong hai điều kiện tương đương sau : (i) Ánh xạ chính tắc = M → M ** HomR ( M * , R), m  ( f  f (m)), m ∈ M , f ∈ M * là đơn cấu. (ii) M có thể nhúng vào tích trực tiếp của một họ nào đó các bản sao của vành hệ tử R . 1.1.33 Nhận xét. R -môđun R / I là xoắn yếu khi và chỉ khi I là linh hóa tử trái của một tập con khác rỗng X nào đó của R .