Tài liệu Vành tự đồng cấu của p – nhóm abel

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Dũng VÀNH TỰ ĐỒNG CẤU CỦA P – NHÓM ABEL Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 8460104 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. PHẠM THỊ THU THỦY Thành phố Hồ Chí Minh – 2020 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS. Phạm Thị Thu Thủy, luận văn chuyên ngành Đại số và lý thuyết số với đề tài: “Vành tự đồng cấu của p - nhóm Abel” được hoàn thành bởi sự nhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả. Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. TP. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của luận văn tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn TS. Phạm Thị Thu Thủy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làm và hoàn thiện luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới quý thầy cô trong khoa Toán Tin học, trường Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh. Quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi rất nhiều trong việc hoàn thành luận văn này. Tôi cũng không quên bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô trong Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là quý thầy cô trong phòng Sau Đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và làm việc trong suốt quá trình học Cao học. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và bạn bè, những người luôn bên cạnh động viên, giúp đỡ, ủng hộ tôi cả về vật chất và tinh thần trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong suốt quá trình thực hiện đề tài, song có thể còn có những mặt hạn chế, thiếu sót. Tôi rất mong nhận được ý kiến đóng góp và sự chỉ dẫn của các thầy cô giáo và các bạn học viên. TP. Hồ Chí Minh, tháng 05 năm 2020 Tác giả Nguyễn Ngọc Dũng MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC LỜI MỞ ĐẦU ............................................................................................................1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ......................................................................2 1.1 Nhóm Abel ........................................................................................................ 2 1.2 Một số kết quả của lý thuyết tập hợp ................................................................ 8 Chương 2. TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN ..................................11 2.1 Định nghĩa và một số tính chất của tự đồng cấu của nhóm Abel ................... 11 2.2 Tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn ........................................................ 16 KẾT LUẬN ..............................................................................................................24 TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................25 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU : Tập hợp các số tự nhiên. : Tập hợp các số tự nhiên khác 0 . * : Tập hợp các số nguyên. : Tập hợp các số hữu tỉ. ai iI : Họ các phần tử ai với i  I . : Nhóm con sinh bởi phần tử a . a : Vành các số nguyên mod p . p o a  : Cấp của phần tử a . hp  a  : p - độ cao của phần tử a . X : Lực lượng của tập hợp X . Hom  A, B  : Tập hợp các đồng cấu nhóm từ A đến B . End A : Tập hợp các tự đồng cấu nhóm của . G : Tích trực tiếp của các nhóm Gi , i  I .  Gi : Tổng trực tiếp của các nhóm Gi , i  I . iI iI i 1 LỜI MỞ ĐẦU Mọi nhóm Abel đều là một module trên vành tự đồng cấu của mình, hơn nữa các tính chất của vành đồng cấu phản ánh nhiều thông tin về bản thân nhóm Abel. Mối quan hệ giữa tính chất của nhóm Abel và tính chất của vành đồng cấu luôn là đề tài nhận được nhiều quan tâm. Mặc dù trong trường hợp chung, các kết quả về vành tự đồng cấu của nhóm Abel còn khá rời rạc, nhưng đối với lớp nhóm Abel xoắn, cụ thể là các p - nhóm Abel, nhiều kết quả đẹp đã đạt được trong các công trình của Baer, Kaplansky, Richman, Walker, Pierce v.v. Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày có hệ thống những kết quả về tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn. Luận văn gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương 2: Vành tự đồng cấu của nhóm Abel xoắn. Chương 2 gồm 2 bài. Bài 2.1 trang bị các kiến thức chung về tự đồng cấu của nhóm Abel. Bài 2.2 trình bày các kết quả về tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn. 2 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương này trình bày một số khái niệm về nhóm, đồng cấu nhóm, tổng trực tiếp, tích trực tiếp. Trình bày định lý phổ dụng của tổng trực tiếp, tích trực tiếp và các kết quả của lý thuyết tập hợp. Các kết quả của chương này sẽ được sử dụng trong chương sau. 1.1 Nhóm Abel Định nghĩa 1.1.1. Nhóm là một tập hợp G   , trên đó đã xác định một phép toán hai ngôi thỏa các điều kiện: i) Với mọi x, y , z  G ta có  x  y   z  x   y  z  . ii) Tồn tại 0  G sao cho với mọi x  G , ta có x  0  0  x  x . iii) Với mọi x  G , tồn tại   x   G sao cho   x   x  x    x   0 . Nếu nhóm G thỏa mãn x  y  y  x với mọi x  G thì G được gọi là nhóm Abel. Trong luận văn này mọi nhóm được xét đều là nhóm Abel, nên để đơn giản khi ghi “nhóm” ta mặc nhiên hiểu là “nhóm Abel”. Định nghĩa 1.1.2. Tập con A của một nhóm G được gọi là nhóm con của G nếu thỏa mãn các điều kiện: i) A  . ii) Với mọi a, b  A ta có a   b   A . Nhóm con A của G được ký hiệu A  G . Định nghĩa 1.1.3. Cho nhóm G và phần tử a  G . Cấp của phần tử a là số nguyên dương nhỏ nhất n sao cho na  0 . Kí hiệu cấp của a là o  a  . Nếu không tồn tại số nguyên dương n như vậy thì ta quy ước o  a    . Định nghĩa 1.1.4. Cho G là một nhóm. Với mỗi số tự nhiên m , đặt G  m  x  G mx  0 . Đồng cấu nhóm 3 Định nghĩa 1.1.5. Cho hai nhóm G và G . Một ánh xạ f : G  G được gọi là đồng cấu nhóm nếu với mọi a, b  G ta có f  a  b   f  a   f  b  . Tập hợp tất cả các đồng cấu nhóm từ G đến G ký hiệu là Hom  G , G   . Ta cũng ký hiệu End G  Hom  G , G  . Nếu đồng cấu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh) thì ta nói f là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nhóm. Tổng trực tiếp và tích trực tiếp Định nghĩa 1.1.6. Cho một họ không rỗng các nhóm Gi , i  I . Khi đó tập tích Descartes G iI i cùng với phép toán định nghĩa  xi    yi    xi  yi  với mọi  xi  ,  yi    Gi iI tạo thành một nhóm, gọi là tích trực tiếp các nhóm Gi , i  I . Định lý 1.1.7 (Định lý về tính phổ dụng của tích trực tiếp). Cho họ nhóm X i iI , khi đó với bất kỳ nhóm X , mỗi họ đồng cấu  fi : X  X i iI được phân   tích một cách duy nhất qua họ các phép chiếu  pi :  X t  X i  . Nói cách khác,  tI iI tồn tại và duy nhất một đồng cấu f : X   X t sao cho fi  pi f với mọi i  I . tI Chứng minh. Đồng cấu f được xây dựng theo công thức sau: ! f X   Xt tI fi pi Xi 4 Với mọi x  X , f  x    f i  x  iI . Khi đó hiển nhiên thỏa mãn điều kiện pi f  f i , với mọi i  I . Với mọi x, x  X , ta có f  x  x    f i  x  x  iI   f i  x   f i  x  iI   f i  x  iI   f i  x  iI  f  x   f  x  Suy ra f là một đồng cấu. Nếu có đồng cấu h : X   X t sao cho pi h  f i thì khi đó với mọi x  X : tI h  x    pi h  x  iI   f i  x  iI  f  x  . Suy ra h  f nghĩa là f là duy nhất. Định nghĩa 1.1.8. Cho một họ không rỗng các nhóm Gi , i  I . Tập con của G iI i gồm các bộ x   xi iI , xi  Gi mà hầu hết trừ ra một số hữu hạn các thành phần xi  0 , là nhóm con trong Gi , i  I và kí hiệu là  G , gọi là tổng trực tiếp ngoài của các nhóm iI i  Gi . iI Định nghĩa 1.1.9. Cho họ  Ai iI là các nhóm con của nhóm G thỏa i) A G iI ii) i Với mọi j  I ta có A j   iI ,i  j Ai  0 . thì G gọi là tổng trực tiếp trong của các nhóm con Ai , i  I . Nhận xét 1.1.10. Hai cách định nghĩa tổng trực tiếp trong và tổng trực tiếp ngoài là tương đương nhau. 5 a Ghi chú 1.1.11. Từ nay quy ước, khi ghi iI i nghĩa là chỉ có hữu hạn các ai  0 . Tính chất 1.1.12. Cho a   A iI i i iI với ai  Ai , i  I . Nếu a iI i  0 thì ai  0 với mọi i  I . Định lý 1.1.13 (Định lý về tính phổ dụng của tổng trực tiếp). Cho họ không rỗng nhóm  X i iI , khi đó với bất kỳ nhóm X , mỗi họ đồng cấu   ft : X t  X  luôn được phân tích một cách duy nhất qua họ các phép nhúng jt : X t   X i tI  tI . Nói cách khác, tồn tại và duy nhất một đồng cấu: f :  X t  X sao cho f t  f jt tI với mọi t  I . Chứng minh. Đồng cấu f được xây dựng như sau: ji X t   X i iI ft ! f X Với mọi x   xi    ji  xi    X i iI iI Thì f  x    f i  xi  . iI Hiển nhiên với mọi t  I ta có fji  f t fjt  xt   ft  xt  . Ta có thể kiểm tra dễ dàng f là đồng cấu. vì với mọi xt  X t thì 6 Hơn nữa, nếu có đồng cấu g :  X i  X mà gjt  f t , với mọi t  I thì iI g f vì khi đó với mọi x   xt    jt  xt  ta có tI   g  x   g   jt  xt     gjt  xt    f t  xt   f  x  . Suy ra f là duy nhất. tI  tI  tI Cao độ của một phần tử Định nghĩa 1.1.14. Cho x là một phần tử bất kỳ của nhóm G và p là một số nguyên tố.  Nếu n  * là số nguyên, không âm lớn nhất sao cho x  p n G thì n được gọi là p - độ cao của x . Ký hiệu p - độ cao của x là h p  x  .  Nếu x  p n G với mọi n  * thì h p  x    . Nhận xét 1.1.15. Cho x là một phần tử bất kỳ của nhóm G và p là một số nguyên tố. Khi đó h p  x   n khi và chỉ khi x  p nG \ p n1G . Nhóm xoắn Định nghĩa 1.1.16. Nhóm G được gọi là nhóm xoắn nếu với mọi x  G , tồn tại m  * sao cho mx  0 . Ví dụ 1.1.17. Nhóm thương là một nhóm xoắn. Định nghĩa 1.1.18. Cho G là một nhóm xoắn. Với mỗi số nguyên tố p , đặt G p  x  G | o  x   p k , k   Khi đó G p là một nhóm con của G và được gọi là p – thành phần của G . Mệnh đề 1.1.19. Cho G là một nhóm xoắn. Khi đó G   G p với G p là các p p - thành phần của G . Chứng minh. Ta chứng minh G   G p . Thật vậy, với mọi x  G , vì G là nhóm xoắn p nên tồn tại m  * sao cho mx  0 . Giả sử m  p1e1 . p2e2 ... pkek . Ta kí hiệu 7 mi  m , i  1, k . Vì ƯCLN  m1 ; m2 ;...; mk   1 nên tồn tại li  , i  1, k sao cho piei k  k  . Từ đó ta có l m  1 x  1. x  l m x  li xi , với xi  mi x . Ta thấy   i i  i i  i 1 i 1  i 1  k o  xi   piei nên xi  G pi . Vậy G   G p . p Ta chứng minh G p   G p  0 . Giả sử x  G p   G p . Vì x   G p nên q p q p q p x  x1  x2  ...  xn xi  Gqi , qi  p . Đặt o  xi   qi i n ta dễ thấy o  x   qii . Mặt i 1 khác vì x  G p nên o  x   p với   . Mà ÖCLN  p; qi   1 với mọi i  1, n nên suy ra p  1 hay x  0 . Vậy G p   G p  0 . q p Vậy G   G p . p Định nghĩa 1.1.20. Cho G là một nhóm. Nhóm con A của G được gọi là nhóm con hoàn toàn bất biến của G nếu mọi f  End G ta có f  A   A .  Ví dụ 1.1.21. Cho G là nhóm, T G   a  G m  * , ma  0 là phần xoắn của G . Khi đó T  G  là nhóm con hoàn toàn bất biến của G . Chứng minh. Lấy f  End G bất kỳ. Khi đó, với mọi a  T  G  tồn tại m  * sao cho ma  0 . Suy ra mf  a   f  ma   f  0   0 . Suy ra f  a   T  G  . Vậy T  G  là nhóm con hoàn toàn bất biến của G . Định lý 1.1.22. Các p - thành phần của nhóm xoắn G là các nhóm con hoàn toàn bất biến của G . Chứng minh. 8 Giả sử G p là một p - thành phần của G . Lấy f  End G bất kỳ. Khi đó, với mọi x  G p , tồn tại k    sao cho p k x  0 . Suy ra pk f  x   f p k x  f  0  0 . Suy ra f  x   G p . Vậy G p là nhóm con hoàn toàn bất biến của G . Nhóm bị chặn Định nghĩa 1.1.23. Một nhóm G được gọi là bị chặn nếu tồn tại số tự nhiên n sao cho o  x   n với mọi x  G . Nhận xét 1.1.24. a) Nếu p - nhóm G bị chặn thì có số nguyên dương n sao cho với mọi x  G thì o  x   p n . b) Một p - nhóm G bị chặn khi và chỉ khi p n G  0 với n  * nào đó. Ví dụ 1.1.25. a) Cho G là một nhóm. Với mỗi số tự nhiên m thì nhóm G  m  là nhóm bị chặn. b) Với mỗi số tự nhiên m thì nhóm thương m  m cũng là nhóm bị chặn. 1.2 Một số kết quả của lý thuyết tập hợp Lực lượng của tập hợp Cho X là một tập hợp. Ta kí hiệu X là lực lượng của tập hợp X và Exp X là tập hợp tất cả các tập con của X . Định lý 1.2.1 (Định lý Cantor). Cho X là tập hợp bất kỳ. Khi đó Exp X  X . Mệnh đề 1.2.2. Trong các tập hợp có lực lượng vô hạn, tập hợp các số tự nhiên là tập hợp có lực lượng vô hạn nhỏ nhất. Ta kí hiệu 0  N . Định lý 1.2.3 (Định lý về bình phương lực lượng). Cho X là tập hợp vô hạn. Khi đó X  X  X . Hệ quả 1.2.4. Nếu X là tập hợp vô hạn thì X n  X , với mọi n  * . 9 Hệ quả 1.2.5. Cho Y là một tập hợp vô hạn, X là tập hợp bất kỳ thỏa mãn X  Y . Khi đó X  Y  Y . Định lý 1.2.6. Cho X là một tập hợp vô hạn. Khi đó lực lượng tập hợp các tập con hữu hạn của X bằng lực lượng của X . Chứng minh. Gọi S là tập hợp các tập con hữu hạn của X . Ta xây dựng được  như sau : X  a a S Hiển nhiên  là ánh xạ và là đơn ánh, suy ra X  S . Gọi Sn là tập hợp gồm tất cả những tập con của X có nhiều nhất n phần tử. Khi đó S  Sn . Mặt khác, với mỗi số nguyên dương n , ta xây dựng F như sau: n F: Xn  a1 , a2 ,..., an   Sn a1, a2 ,..., an  Hiển nhiên F là ánh xạ và là toàn ánh, suy ra Sn  X n  X . Do đó Sn  0 X  X , vì X  0 . S  n Vậy X  S  X , suy ra X  S . Định lý đã được chứng minh. Tự số Cho tập hợp X   , nếu trên X xây dựng được quan hệ thứ tự “  ” thì ta nói X là tập được sắp. Hơn nữa, nếu mọi tập con khác rỗng của X đều có phần tử nhỏ nhất thì ta nói X là tập được sắp tốt. Định nghĩa 1.2.7. Cho f : X Y  X , và Y ,   là hai tập được sắp tốt. Ánh xạ được gọi là tăng ngặt nếu với mọi x1 , x2  X , f  x1   f  x2  . Định nghĩa 1.2.8. Cho  X ,   và Y ,   là các tập được sắp tốt. x1  x2 thì 10 Ánh xạ f : X  Y được gọi là đồng dạng khi và chỉ khi f là song ánh và f tăng ngặt. X và Y được gọi là đồng dạng khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ đồng dạng f : X  Y . Kí hiệu X Y. Dễ dàng kiểm tra quan hệ đồng dạng giữa các tập được sắp tốt là quan hệ tương đương. Do đó lớp các tập được sắp tốt sẽ được chia thành các lớp tương đương đội một không giao nhau theo quan hệ đồng dạng. Định nghĩa 1.2.9. Mỗi lớp tương đương các tập được sắp tốt (theo quan hệ đồng dạng) được gọi là một tự số. Các tự số hữu hạn chính là các số tự nhiên và tự số vô hạn đầu tiên là tự số được đại diện bởi tập số tự nhiên cùng với quan hệ thứ tự thông thường, kí hiệu là . Mọi tự số  đều có tự số liên kề phía sau nó là   1 . Tuy nhiên không phải tự số nào cũng có tự số liền kề phía trước, những tự số như vậy được gọi là tự số giới hạn, ví dụ như  là tự số giới hạn. 11 Chương 2. TỰ ĐỒNG CẤU CỦA NHÓM ABEL XOẮN Chương này trình bày định nghĩa và một số tính chất của tự đồng cấu của nhóm Abel và của nhóm Abel xoắn. Cuối cùng trình bày chi tiết và có hệ thống việc mô tả tự đồng cấu của p - nhóm Abel bị chặn. 2.1 Định nghĩa và một số tính chất của tự đồng cấu của nhóm Abel Cho G là một nhóm. Trên tập tất cả các tự đồng cấu của G , ký hiệu EndG , ta xét phép toán cộng và phép toán nhân như sau: Với cặp tự đồng cấu bất kỳ f f , g  End G , tổng  g  và tích  fg  là ánh xạ từ G tới G xác định theo công thức: f Với mọi a  G , Dễ thấy, f  g  a   f  a   g  a  và  fg  a   f  g  a   .  g  và  fg  cũng là các tự đồng cấu của G . Hơn nữa EndG cùng phép cộng và phép nhân ở trên là một vành, gọi là vành tự đồng cấu của nhóm G.  Ví dụ 2.1.1 End . Chứng minh. Ta xây dựng F :  End f 1 f Từ định nghĩa, hiển nhiên F là đồng cấu vành. Ta chứng minh F là đơn cấu. Cho f  End thỏa F  f   0 , nghĩa là nên f  n   nf 1  0 với mọi n  . f 1  0 . Khi đó, vì f  End Ta chứng minh F là toàn cấu. Thật vậy, với mọi n  sao cho f 1  n . Vậy End A  . Ví dụ 2.1.2. End m  m m , tồn tại f  End 12 Chứng minh. Ta xây dựng F : End m  m f 1 f Hiển nhiên F là đồng cấu vành. Ta chứng minh F là đơn cấu. Cho f  End f 1  0 . Khi đó, vì f  End m m thỏa F  f   0 , nghĩa là nên f  n   nf 1  0 với mọi n  . Ta chứng minh F là toàn cấu. Thật vậy, với mọi n  m , tồn tại f  End m sao cho f 1  n . Vậy End m  m . Mệnh đề 2.1.3. Cho đẳng cấu nhóm f : A  C . Khi đó ánh xạ f*: End A  End C  f  f 1 Là một đẳng cấu vành. Ta nói f : A  C cảm sinh f * : End A  End C . Chứng minh. Ta chứng minh f * là đồng cấu vành. Với  ,   End A tùy ý, ta có f *      f     f 1  f  f 1  f  f 1  f *    f *    f *    f  f 1  f  f 1. f  f 1  f *   . f *    Lấy  ,   End A bất kỳ. Giả sử f *    f *    thì f  f 1  f  f 1 . Vì f là đẳng cấu nên    . Do đó f * là đơn cấu. Mặt khác, với   EndC tùy ý, xét   f 1 f  End A . Khi đó f *    ff 1 ff 1   . Vậy f * là toàn cấu. Vậy f * là đồng cấu vành từ End A đến EndC . Bổ đề 2.1.4. Cho nhóm C và họ nhóm  Ai iI với I là tập chỉ số tùy ý, khi đó ta có đẳng cấu nhóm Hom  A , C    Hom  A ,C  . iI i iI i 13 Chứng minh. Với mọi i  I , với mọi f  Hom  A ,C  , gọi iI i ji là phép nhúng từ Ai vào  Ai . Xét dãy đồng cấu: iI ji f Ai   Ai  C . iI Khi đó fji  Hom  Ai , C  . Bây giờ ta định nghĩa:  : Hom  A , C  i iI f  Với mọi f , g  Hom   Hom  A , C  iI i  fji iI  A , C  , ta có: iI i   f  g    f  g  ji iI   fji iI   gji iI    f     g  .  Lấy  fi iI   Hom  Ai , C  . Khi đó, ta có họ  fi : Ai  C. Theo Định lý iI tính phổ dụng của tổng trực tiếp tồn tại duy nhất đồng cấu f từ  Ai iI vào C thỏa fji  f i với mọi i  I , do đó   f    fji iI   f i iI . Vậy  là đẳng cấu. Bổ đề 2.1.5. Cho nhóm A và họ nhóm C j  với J là tập chỉ số tùy ý, khi jJ đó ta có đẳng cấu nhóm   Hom  A,  C j    Hom  A, C j  .  jJ  jJ Chứng minh.   Với mọi j  J , với mọi f  Hom  A,  C j  , gọi  j là phép chiếu từ  jJ  và C j . Xét dãy đồng cấu: C jJ j 14 f A   C jJ  j j  C j Khi đó  j f  Hom  A, C j  . Bây giờ ta định nghĩa:   : Hom  A,  C j    jJ    f  f j  Hom  A, C  j jJ jJ     là đồng cấu. Với mọi f , g  Hom  A,  C j  , ta có:  jJ    f  g    j  f  g  jJ   j f  jJ   j g  jJ    f     g  .   f j cấu là đẳng cấu. Lấy f  j jJ   Hom  A, C j  . Khi đó, ta có họ iI : A  C j  . Theo Định lý tính phổ dụng của tích trực tiếp tồn tại duy nhất đồng f từ A vào C jJ j thỏa j f  fj với mọi jJ , do đó   f    j f  jJ   f j  jJ . Định lý 2.1.6. Cho các họ nhóm  Ai iI và B j  . Khi đó tồn tại đẳng cấu jJ các nhóm:   Hom   Ai ,  B j    Hom  Ai , B j  . J  I  I J Chứng minh. Áp dụng Bổ đề 2.1.4 và Bổ đề 2.1.5, ta có:     Hom   Ai ,  B j    Hom  Ai ,  B j     Ai , B j     Ai , B j  . jJ jJ i , j I  J  iI  iI   iI jJ Hệ quả 2.1.7. Cho G   Ai với Ai là các nhóm con hoàn toàn bất biến của iI G . Khi đó ta có đẳng cấu nhóm End G   End Ai iI