Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Vành các hàm số học và một vài ứng dụng...

Tài liệu Vành các hàm số học và một vài ứng dụng

.PDF
46
32
85

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THU GIANG VÀNH CÁC HÀM SỐ HỌC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NÔNG QUỐC CHINH THÁI NGUYÊN, NĂM 2015 i Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Mở đầu 1 1 Các 1.1 1.2 1.3 kiến thức chuẩn bị Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con . . . . . . . . Định nghĩa vành, idean, miền nguyên . . . . . . . . . . . Ước chung lớn nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 5 2 Vành các hàm số học 2.1 Vành các hàm số học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Các tính chất của vành các hàm số học . . . . . . . . . . 8 8 10 3 Một vài hàm số học cơ bản 3.1 Giá trị trung bình của hàm số học . . . 3.2 Hàm số Möbius . . . . . . . . . . . . . 3.3 Hàm nhân tính . . . . . . . . . . . . . 3.4 Giá trị trung bình của phi - hàm Euler 3.5 Một số bài toán áp dụng . . . . . . . . 16 16 26 30 33 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 1 Mở đầu Trong lý thuyết số, các hàm số học có vai trò hết sức quan trọng. Nhiều nhà toán học nổi tiếng thế giới khi nghiên cứu về các hàm số học đã có nhiều kết quả hết sức lý thú và có giá trị, được ứng dụng rộng rãi trong lý thuyết số nói riêng và trong toán học nói chung. Mục đích của luận văn là hệ thống các tính chất của vành các hàm số học, đạo hàm của hàm số học. Tiếp theo, trình bày một số kết quả, tính chất của một vài hàm số học đặc biệt và các dạng bài toán ứng dụng liên quan. Ngoài phần Mở đầu và Kết luận, luận văn được chia thành ba chương đề cập đến các vấn đề sau đây: Chương 1 trình bày về các kiến thức chuẩn bị liên quan đến khái niệm nhóm, vành, các vấn đề về ước số và ước chung lớn nhất. Chương 2 trình bày các tính chất và các dạng toán về vành số học. Chương 3 trình bày một số lớp hàm số học như hàm Möbius (thuận và đảo), hàm nhân tính, phi - hàm Euler và các ứng dụng liên quan trong số học. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Phó Giáo sư, Tiến sĩ Nông Quốc Chinh, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn, cung cấp tài liệu và truyền đạt những kinh nghiệm nghiên cứu cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán - Tin, phòng Đào tạo trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, Trường THPT Hòn Gai và bạn bè đồng nghiệp đã giúp đỡ tạo điều kiện cho tôi hoàn thành bản luận văn này. 2 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bị 1.1 Định nghĩa nhóm, nhóm xyclic, nhóm con Định nghĩa 1.1 (Định nghĩa nhóm). Một tập hợp G được gọi là một nhóm nếu tồn tại một ánh xạ từ tích Descartes G × G vào G (ảnh của phần tử (a, b) ∈ G × G, với a, b là những phần tử tùy ý của G, qua ánh xạ này ta kí hiệu là ab) thỏa mãn các tính chất sau đây (G1) Kết hợp: a(bc) = (ab)c, ∀a, b, c ∈ G. (G2) Có đơn vị: Tồn tại một phần tử a ∈ G sao cho ae = ea = a, ∀a ∈ G. (G3) Có nghịch đảo: Với mỗi phần tử a ∈ G luôn tồn tại một phần tử b ∈ G sao cho ab = ba = e. Phần tử ab được gọi là tích của a và b và ánh xạ xác định tích ở trên được gọi là phép toán trên nhóm nhân G. Phần tử e trong(G2) được gọi là phần tử đơn vị của G, phần tử b trong (G3) được gọi là phần tử nghịch đảo của a trong G và kí hiệu là a−1 . Nếu ab = ba, ∀a, b ∈ G, thì nhóm G được gọi là nhóm Abel, hay là nhóm giao hoán. Một nhóm G được gọi là hữu hạn hay vô hạn nếu tập hợp G là hữu hạn hay vô hạn phần tử. Trường hợp nhóm G là hữu hạn thì số phần tử của G được gọi là cấp của nhóm đó và kí hiệu là |G|. 3 Định nghĩa 1.2. Một nhóm G được gọi là nhóm xyclic nếu mọi phần tử của nó đều là lũy thừa của một phần tử a ∈ G. Khi đó ta gọi a là phần tử sinh của nhóm xyclic G và kí hiệu là G = hai. Theo định nghĩa, một nhóm xyclic G với phần tử sinh là a có thể viết dưới dạng G = {an | n ∈ Z}. Định nghĩa 1.3. Một tập hợp con H của của một nhóm G được gọi là một nhóm con của G nếu các điều kiện sau đây được thõa mãn: (i) Phép toán nhân là đóng đối với H, tức xy ∈ H ∀ x, y ∈ H; (ii) H chứa phần tử đơn vị e của G; (iii) x−1 ∈ H, ∀x ∈ H. Nói cách khác, H 6= ∅ và là một nhóm con với phép toán nhân chính là phép toán của G.. Để chỉ H là nhóm con của G kí hiệu H ≤ G. Định lý 1.1. Một tập hợp con H là một nhóm con của một nhóm G khi và chỉ khi H 6= ∅ và xy −1 ∈ H, ∀x, y ∈ H. 1.2 Định nghĩa vành, idean, miền nguyên Định nghĩa 1.4. (Định nghĩa vành): Một tập hợp R được gọi là một vành nếu trên R có hai phép toán hai ngôi, một gọi là phép cộng và một gọi là phép nhân, sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn: (R1) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng.(R1 ) Tập hợp R là một nhóm Abel đối với phép cộng. (R2) Phép nhân trên R là kết hợp và có đơn vị. (R3) Luật phân phối: Phép nhân là phân phối đối với phép cộng, nghĩa là với các phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta luôn có (x + y)z = xz + yz và z(x + y) = zx + zy. Như thông thường ta kí hiệu phần tử đơn vị đối với phép nhân của R và eR và phần tử không của nhóm Abel cộng của R và 0R . Trường 4 hợp vành R đã xác định cụ thể trước thì ta kí hiệu đơn giản 1 cho phần tử đơn vị và 0 cho phần tử không của R. Một vành R được gọi là vành giao hoán, nếu phép nhân của R thỏa mãn thêm điều kiện xy = yx, ∀x, y ∈ R. Định nghĩa 1.5. Một vành giao hoán không có ước của không được gọi là một miền nguyên Định nghĩa 1.6. Một vành R được gọi là một trường, nếu R là một vành giao hoán và mọi phần tử khác không của R đều có nghịch đảo, nghĩa là tập hợp R∗ = R\{0} lập thành một nhóm đối với phép nhân của R. Định nghĩa 1.7. (i) Một tập hợp con A của một vành R được gọi là một vành con của R, nếu A lập thành một nhóm con Abel với phép cộng của R và đóng đối với phép nhân, tức ab ∈ A. Trường hợp R là một trường thì một vành con của R được gọi là một trường con nếu nó là một trường với phép toán trên R. (ii) Một tập hợp con a của một vành R được gọi là một idean trái (hoặc idean phải) của R, nếu a là một vành con của R và thỏa mãn tính chất Ra ⊆ a (hoặc aR ⊆ a). Nếu a vừa là idean phải vừa là idean trái của R thì được gọi là một idean của R. Định nghĩa 1.8. Cho R là một vành giao hoán, phần tử x ∈ R. • x được gọi là một ước của y nếu tồn tại z ∈ R sao cho xz = y. Khi đó, ta kí hiệu x|y. • x được gọi là một ước của 0 nếu x khác 0 và tồn tại phần tử y khác 0 thuộc R sao cho xy = 0. • x được gọi là phần tử khả nghịch nếu tồn tại y thuộc R sao cho xy = 1. 5 Ví dụ 1.1. Trong 6Z, các ước của 0 là 2̄, 3̄, 4̄. Các phần tử khả nghịch là 1̄, 5̄. Trong mZ, các ước của 0 là ā sao cho a không chia hết m và (a, m) > 1. Các phần tử khả nghịch là ā sao cho (a, m) = 1. 1.3 Ước chung lớn nhất Định nghĩa 1.9. Cho A ⊂ Z; A 6= {0}; nếu với mọi a ∈ A ta đều có a chia hết cho d thì ta nói d là ước chung của tập A. Số nguyên d được gọi là ước chung lớn nhất của A nếu c|d với mọi ước chung c của A, kí hiệu là d = gcd(A). Định lý 1.2. Cho H là một nhóm con của nhóm các số nguyên với phép cộng. Tồn tại duy nhất một số nguyên không âm d sao cho H là tập gồm tất cả các bội của d, đó là H = {0, ±d, ±2d, . . .} = dZ. Chứng minh. Ta có 0 ∈ H với mọi nhóm con H. Nếu H = {0} thì ta chọn d = 0 và H = 0. Hơn nữa, d = 0 là phần tử sinh duy nhất của nhóm con này. Nếu H 6= {0} thì tồn tại a ∈ H, a 6= 0.. Vì −a cũng thuộc H nên kéo theo H chứa số nguyên dương. Do tập hợp số nguyên dương là tập sắp thứ tự tốt nên H chứa số nguyên dương nhỏ nhất d. Với mọi q ∈ Z, ta có dq = |d + d +{z. . . + d} thuộc H do H là nhóm q con của Z, từ đó suy ra dZ ⊆ H. Giả sử a là phần tử bất kì của H, theo thuật toán chia, ta có thể viết a = dq + r với q, r là số nguyên dương 0 ≤ r < d − 1. Vì dq thuộc H và H là nhóm nên suy ra r = a − dq thuộc H. Vì 0 ≤ r < d và d là số nguyên dương nhỏ nhất trong H, ta phải có r = 0 tức là a = dq ∈ dZ và H ⊆ dZ. Dẫn đến H = dZ. Nếu H = dZ = d0 Z, với d, d0 là các số nguyên dương thì d0 ∈ dZ suy ra d0 = dq. Q là số nguyên và d ∈ d0 Z suy ra d = s0 q 0 , q 0 là số nguyên. Do đó, d = d0 q 0 = dqq 0 tức là qq 0 = 1 nên q = q 0 = ±1 và d = ±d0 . Vì d và d0 là các số nguyên dương nên d = d0 . Và d là số nguyên duy nhất sinh nhóm con H.  6 Ví dụ 1.2. Nếu H là nhóm con chứa tất cả các số nguyên có dạng 35x + 91y thì 7 = 35(−5) + 91.2 ∈ H và H = 7Z. Định lý 1.3. Giả sử A ⊂ Z; A 6= {0}, khi đó A có ước chung lớn nhất duy nhất và tồn tại các số nguyên a1 , . . . , ak ∈ A và x1 , . . . , xk ∈ Z sao cho gcd(A) = a1 , x1 + . . . ak xk . Chứng minh. Kí hiệu H là tập con của Z chứa tất cả các số nguyên tố có dạng a1 , x1 + . . . ak xk với a1 , . . . at ∈ A và x1 , . . . , xt ∈ Z, với t ∈ N. Khi đó H là nhóm con của Z và A ⊆ H. Theo định lí 1.2, tồn tại duy nhất số nguyên dương d sao cho H = dZ, tức là H chứa tất cả các bội của d và do đó mọi số nguyên a ∈ A đều là bội của d, suy ra d là ước chung của A. Vì d ∈ H nên tồn tại các số nguyên a1 , . . . , ak ∈ A và x1 , . . . , xt ∈ Z sao cho d = a1 x1 + . . . + ak xk . Giả sử c là một ước chung bất kì của A, ta có c là ước của a1 , . . . , ak nên c là ước của d. Vậy mọi ước chung của A đều là ước của d nên d là ước chung lớn nhất của A. Nếu các số nguyên dương d và d0 cùng là ước chung lớn nhất thì d|d0 và d0 |d nên d = d0 . Tức là ước chung gcd(A) là duy nhất.  Kí hiệu: Nếu A = {a1 , . . . , ak } là tập hữa hạn số nguyên không đồng thời bằng không, ta viết gcd(A) = (a1 , . . . , ak ). Ví dụ (35, 91) = 7 = 35.(−5) + 91.2. Định lý 1.4. Cho a1 , . . . , ak là các số nguyên không đồng thời bằng 0. Thì (a1 , . . . , ak ) = 1 khi và chỉ khi tồn tại các số nguyên x1 , . . . , xk sao cho a1 x1 + . . . + ak xk = 1. Chứng minh. Điều này dễ dàng thu được từ định lý 1.3  7 Định nghĩa 1.10. Ta nói các số a1 , . . . , ak là nguyên tố cùng nhau nếu ước chung lớn nhất của chúng là 1. Các số nguyên a1 , . . . , ak là đôi một nguyên tố cùng nhau nếu (ai , aj ) = 1, i 6= j. Ví dụ 1.3. Ba số nguyên 6,10,15 là nguyên tố cùng nhau nhưng không là đôi một nguyên tố cùng nhau vì (6, 10, 15) = 1 nhưng (6, 10) = 2; (6, 15) = 3; (10, 15) = 5. 8 Chương 2 Vành các hàm số học 2.1 Vành các hàm số học Định nghĩa 2.1. Hàm số học là hàm số có miền xác định là tập các số nguyên dương và miền giá trị là tập các số phức. Ví dụ 2.1. a) Hàm d(n) đếm các ước khác nhau của một số tự nhiên n ≥ 1 là hàm số học. b) Hàm phi-Euler ϕ(n) là hàm  số học. 1 nếu n = 1 là hàm số học. c) Hàm δ : Z+ → C, δ(n) = 0 nếu n ≥ 2 d) Hàm O : Z+ → C, O(n) = 0 là hàm số học. Định nghĩa 2.2. Cho hai hàm số học f và g. a) Ta định nghĩa tổng của f và g là hàm số học được xác định như sau (f + g)(n) = f (n) + g(n), ∀n ∈ N∗ . b) Ta định nghĩa tích của f và g là hàm số học được xác định như sau (f.g)(n) = f (n).g(n), ∀n ∈ N∗ .. c) Tích chập Dirichle của f và g là hàm số được xác định như sau X X (f ∗ g)(n) = f (d).g(n/d) = f (d)g(d0 ), ∀n ∈ N∗ .. d|n dd0 =n 9 Định lý 2.1. Tập hợp tất cả các hàm số học với phép toán cộng và tích chập Dirichle là một vành giao hoán có đơn vị với phần tử không là hàm O(n), và phần tử đơn vị là δ(n). Chứng minh. Ta dễ dàng kiểm tra được tập hợp tất cả các giá trị phức của hàm số học là một nhóm Abel với phép cộng là hàm O(n). Ta chỉ cần chứng minh tích chập Dirichle có tính chất giao hoán, kết hợp và nhân phân phối đối với phép cộng. Thật vậy, ta có các hàm số học f, g và h bằng cách tính toán trực tiếp ta có X X g(n|d)f (d) f (d)g(n|d) = (f ∗ g)(n) = d|n d|n = X g(d)f (n/d) = (g ∗ f )(n) d|n và   X X (f ∗ g) ∗ h (n) = (f ∗ g)(d)h(n/d) = (f ∗ g)(d)h(m) dm=n d|n = X X dm=n kl=d = X = X k|n f (k)g(l)h(m) dlm=n X f (k) k|n X f (k)g(l)h(m) = g(l)h(m) = lm=n|k X f (k) k|n X l|(n|k) n g(l)h kl n   f (k)(g ∗ h) = (f ∗ (g ∗ h) (n). k Tương tự     X f ∗ (g + h) (n) = f (d) g(n/d) + h(n/d) d|n = X f (d)g(n/d) + d|n X f (d)h(n/d) d|n = (f ∗ g)(n) + (f ∗ h)(n). Cuối cùng, ta cũng thấy rằng δ ∗ f (n) = X d|n δ(d)f (n/d) = f (n) 10 đối với mọi hàm số học f , và vì vậy tập hợp tất cả các giá trị của hàm số học là vành giao hoán với phép nhân δ(n).  2.2 Các tính chất của vành các hàm số học Định nghĩa 2.3. Cho R là một vành giao hoán có đơn vị. Ánh xạ D : R → R thỏa mãn: với mọi x, y thuộc vào R có  D(x + y) = D(x) + D(y); D(x.y) = D(x)y + xD(y) được gọi là đạo hàm trên vành R. Nhận xét 2.1. a) Kí hiệu 1 là phần tử đơn vị của vành R. Khi đó D(1) = 0. Thậy vậy D(1) = D(1.1) = D(1).1 + 1.D(1) = D(1) + D(1) suy ra D(1) = 0 (vì R với phép cộng là một nhóm). b) Nếu phần tử x thuộc R có phần tử nghịch đảo (đối với phép nhân) thì ta có D(x) D(x−1 ) = − 2 . x Thực vậy, từ 1 0 = D(1) = D(x.x−1 ) = D(x). + xD(x−1 ) x suy ra D(x−1 ) = − D(x) . x2 c) Ta cũng có thể chứng minh được X D(x1 .x2 ....xn ) = x1 x2 ...xi−1 D(xi )xi+1 ...xn. . Định lý 2.2. Giả sử R là một vành giao hoán có đơn vị và R[t] là vành đa thức một ẩn với hệ R. Khi đó ánh xạ D : R[t] → R[t] xác ! số trong m m X X định bởi D ai ti = iai ti thì D là một phép lấy đạo hàm trên i=0 R[t]. i=1 11 Chứng minh. Lấy f = f (t) = m X i ai t , g = g(t) = i=0 m X bj tj . j=0 Dễ dàng suy ra D(f + g) = D(f ) + D(g). Do đó D là một đồng cấu của nhóm cộng các đa thức. Vì m X m n+m X X X i j ai b j t k . f (t).g(t) = ai t b j t = i=0 j=0 k=0 i+j=k Ta có D(f g) = = = = m+n X k=1 n+m X k X ai bj tk−1 i+j=k X k=1 i+j=k m+n X X (i + j)ai bj ti+j−1 iai t i−1 j bj t + k=1 i+j=k m X n X iai ti−1 bj tj + i=1 j=0 m+n X X ai ti jbj tj−1 k=1 i+j=k m n XX ai ti jbj tj−1 i=0 j=0 = D(f )g + f D(g). Do đó D là một phép lấy đạo hàm trên R[t].  Định lý 2.3. Cho R là một miền nguyên cùng với trường các thương F , và D là đạo hàm trên vành R. Khi đó tồn tại duy nhất đạo hàm DF trên F sao cho DF (x) = D(x) với mọi x thuộc R. Chứng minh. Giả sử tồn tại một phép lấy đạo hàm DF trên F sao cho DF (a) = D(a), ∀a ∈ R. a Gọi x ∈ F và x 6= 0. Tồn tại a, b ∈ R với b 6= 0 và x = . Vì a = bx ∈ R b nên D(a) = DF (a) = DF (bx) = D(b)x + bDF (x) = D(b)x + bDF (x). 12 Và DF a b = DF (x) = D(a) − D(b)x D(a)b − D(b)a = = DF (x). b b2 Do đó phép lấy đạo hàm DF trên F là duy nhất theo phép lấy đạo hàm trên D trên R.  Định nghĩa 2.4. Giả sử D là đạo hàm trên trường F ánh xạ L : F ∗ → D(x) F ∗ xác định bởi L(x) = được gọi là đạo hàm logarit của F. x Nhận xét 2.2. Dễ dàng chứng minh được rằng: ∀x, y ∈ F ∗ = F |{0} ta có L(x.y) = L(x) + L(y),   x L = L(x) − L(y). y Định lý 2.4. Kí hiệu A là vành tất cả các hàm số học và L là hàm số học dược xác định bởi L(n) = log(n); ∀n ≥ 1. Khi đó ánh xạ: D:A→A f 7→ L.f là một đạo hàm trên vành các hàm số học. Chứng minh. Với mọi f, g thuộc A ta có D(f + g) = L(f + g) = L.f + L.g = D(f ) + D(g) nên D là một đồng cấu đối với phép cộng. Nhận xét với d|n ta luôn có  n  n n L(n) = L d. = log d. = log d + log = L(d) + L (n/d) . d d d Với mọi f, g thuộc A, với mọi n ≥ 1 ta có X L(n)(f ∗ g)(n) = L(n) f (d)g (n/d) d|n 13 = X = X L(n)f (d)g (n/d) d|n   [(L(d) + L(n/d)]f (d)g n/d d|n = ((L.f ) ∗ g + f ∗ (L.g))(n) = (D(f ) ∗ g + f ∗ D(g))(n). Do vậy D(f ∗ g) = D(f ) ∗ g + f ∗ D(g) theo định nghĩa ta có D là đạo hàm trên vành các hàm số học.  Định lý 2.5. Cho f và g là các hàm số học. Ta khẳng định (f ∗g)(n) = 0 với mọi n ∈ N∗ khi và chỉ khi hoặc f = 0 hoặc g = 0. Từ đó suy ra vành các hàm số học là một miền nguyên. Chứng minh. Ta có (f ∗ g)(n) = 0, với mọi n ≥ 1 từ (f ∗ g)(1) = f (1) = 0 f (1)g(1) = 0 ⇒ g(1) = 0 . Giả sử g(1) 6= 0 ⇒ f (1) = 0. Ta sẽ chứng minh f (n) = 0∀ngeq1. Với mọi số nguyên tố p ta có: 0 = (f ∗ g)(p) = f (1).g(p) + f (p).g(1) suy ra f (p) = 0 với mọi số nguyên tố p. Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được f (pk ) = 0 với p là số nguyên tố. Nếu n = p1 .p2 suy ra (f ∗ g)(n) = f (1).g(n) + f (p1 ).g(p2 ) + f (p2 ).g(p1 ) + f (n).g(1) = 0. Từ đó suy ra với mọi n : f (n) = 0 hay f = 0. Vậy vành A các hàm số học là một miền nguyên.  Định lý 2.6. Hàm số học f là khả nghịch trong A khi và chỉ khi f (1) 6= 0. Chứng minh. Giả sử f khả nghịch trong vành các hàm số học A. Khi đó tồn tại g ∈ A sao cho (f ∗ g) = δ hay  1 với n = 1 (f ∗ g)(n) = δ(n) = 0 với 2 ≤ n ∈ N. 14 Vậy nên (f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1. Suy ra f (1) 6= 0. Ngược lại, giả sử f (1) 6= 0. Ta xác định hàm số học g ∈ A bằng quy nạp như sau: (f ∗ g)(1) = f (1)g(1) = δ(1) = 1 nên g(1) = 1 . f (1) (f ∗ g)(2) = f (1)g(2) + f (2)g(1) = δ(2) = 0 nên g(2) = − f (2) . f 2 (1) Tương tự f (3) . f 2 (1) (f ∗ g)(4) = f (1)g(4) + f (2)g(2) + f (4)g(1) = δ(4) = 0 g(3) = − 2 (4)f (1) . Suy ra g(4) = f (2)−f f 3 (1) Giả sử đã biết g(1), g(2), . . . , g(k) ta tính được g(k + 1) theo công thức:   X k+1 (f ∗ g)(k + 1) = f (1)g(k + 1) + f (d)g = 0. d 1 1 : (f ∗ g)(n) = 0 (f ∗ g)(1) = 1 ⇒ f ∗ g = δ. Từ đó suy ra f là khả nghịch trong A.  Định lý 2.7. Kí hiệu IN là tập hợp tất cả các hàm số học f thỏa mãn f (n) = 0 với mọi n ≤ N , N là một số nguyên dương cho trước. Khi đó tập IN là một idean của vành các hàm số học A. Chứng minh. Rõ ràng IN 6= ∅ vì 0 ∈ IN . Với mọi f, g ∈ IN ta có ∀n 6= N : (f − g)(n) = f (n) − g(n) = 0 suy ra f − g thuộc IN . Hay IN là nhóm con của nhóm cộng các hàm số học A. 15 Với mọi f thuộc IN , với mọi g thuộc A ta có n X f (d).g . ∀n ≤ N ; (f ∗ g)(n) = d d|n n ≤ n nên f (d) = 0, g(n/d) = 0 với mọi d là ước của n. Suy d ra f ∗ g ∈ IN . Tương tự ta cũng có g ∗ f ∈ IN . Vậy theo định nghĩa IN là một diean của A.  Do d ≤ n, 16 Chương 3 Một vài hàm số học cơ bản 3.1 Giá trị trung bình của hàm số học Định nghĩa 3.1. Giá trị trung bình F (x) của một hàm số học f (n) được xác định bởi công thức X F (x) = f (x), ∀x ∈ R n≤x với tổng tất cả các số nguyên dương n ≤ x. Đặc biệt, F (x) = 0 với x < 1. Hàm số F (x) được gọi là hàm tổng của f . Định nghĩa 3.2. a. Phần nguyên của số thực x được biểu thị bởi [x] là một số nguyên lớn nhất không vượt quá x và có duy nhất số nguyên n thỏa mãn n ≤ x ≤ n + 1. Phần thập phân của x là số thực {x} = x − [x] ∈ [0, 1). b. Hàm g(t) là hàm đơn thức trên tập I nếu tồn tại một số t0 ∈ I sao cho g(t) là hàm tăng với t ≤ t0 và giảm với t ≥ t0 .  5 5 1 = −2 và {− } = . Ví dụ 3.1. − 3 3 3 Mọi số thực x đều có thể viết được duy nhất dưới dạng x = [x] + {x}. logk t Ví dụ 3.2. Hàm f (t) = là đơn thức trên nửa khoảng [1, ∞) với t t0 = ek . Trong giải tích thực đã được chứng minh được mỗi hàm là đơn điệu hoặc đơn thức trên đoạn [a, b] là khả tích. 17 Định lý 3.1. a. Cho a và b là hai số nguyên với a < b và f (t) là hàm số đơn điệu trên [a, b]. Khi đó b  X min f (a), f (b) ≤ f (n) − n=a Zb  f (t) dt ≤ max f (a), f (b) (3.1) a b. Cho x và y là các số thực với y < [x] và cho f (t) là hàm số đơn điệu không âm trên trên đoạn [y, x]. Khi đó b Z X  ≤ max f (y), f (x) f (t) dt f (n) − (3.2) y - Xem thêm -

Tài liệu liên quan