Tài liệu Vận dụng các yếu tố lôgic trong giải toán tiểu học

Bé gi¸o dôc vµ ®µo t¹o Tr­êng ®¹i häc s­ ph¹m hµ néi 2 Ph¹m ThÞ Huynh VËn dông c¸c yÕu tè l«gic Trong gi¶i to¸n tiÓu häc Chuyªn ngµnh: Gi¸o dôc häc (BËc TiÓu häc) M· sè : 60 14 01 Ng­êi h­íng dÉn khoa häc: TS. KhuÊt V¨n Ninh Hµ Néi 2008 PhÇn më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi X· héi ®ang vËn ®éng vµ biÕn ®æi kh«ng ngõng theo xu thÕ cña thêi ®¹i: n¨ng ®éng, linh ho¹t, ph¸t triÓn liªn tôc. Lµm thÕ nµo ®Ó mçi con ng­êi trong x· héi còng ®Òu đ¸p øng ®­îc nh÷ng yªu cÇu mµ x· héi ®Æt ra? §ã chÝnh lµ môc tiªu, ®ång thêi còng lµ nÒn t¶ng, ®éng lùc cho sù ph¸t triÓn cña x· héi, nhÊt lµ khi chóng ta ®· héi nhËp WTO. §Ó cã thÓ thùc sù ®¸p øng ®­îc nh÷ng yªu cÇu ®ã cña x· héi th× viÖc n©ng cao tÇm nhËn thøc cña mçi ng­êi, n©ng cao chÊt l­îng gi¸o dôc x· héi, ®µo t¹o nh÷ng ng­êi lao ®éng cã søc khoÎ, cã ®øc, cã tµi vµ n¨ng lùc thùc tiÔn lµ viÖc lµm cÇn thiÕt vµ tÊt yÕu. Nh­ chóng ta ®· biÕt, trong hÖ thèng gi¸o dôc quèc d©n, bËc TiÓu häc lu«n ®­îc kh¼ng ®Þnh lµ bËc häc gi÷ vÞ trÝ, vai trß nÒn t¶ng bëi v× nã ®Æt c¬ së nÒn mãng cho qu¸ tr×nh h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn hÖ thèng thao t¸c t­ duy, trÝ tuÖ cho con ng­êi. ChÝnh v× vËy, néi dung, ch­¬ng tr×nh c¸c m«n häc ë bËc TiÓu häc hiÖn nay rÊt ®­îc quan t©m, chó ý x©y dùng theo h­íng tèi ­u nhÊt cho sù tiÕp nhËn vµ ph¸t triÓn toµn diÖn cho häc sinh tiÓu häc. Trong hÖ thèng c¸c m«n häc ë bËc TiÓu häc th× m«n To¸n cã vÞ trÝ vµ vai trß ®Æc biÖt quan träng. Nã cung cÊp nh÷ng kiÕn thøc s¬ gi¶n, c¬ b¶n vÒ sè häc, h×nh häc, ®¹i l­îng, gi¶i to¸n… Qua ®ã h×nh thµnh cho häc sinh n¨ng lùc to¸n häc c¬ b¶n: Kh¶ n¨ng ph©n tÝch, tæng hîp, t­ duy l«gic… vµ tõ ®ã rÌn luyÖn ph­¬ng ph¸p häc tËp vµ c¸ch thøc lµm viÖc khoa học sau nµy. Néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë TiÓu häc hiÖn nay ®­îc tr×nh bµy trªn c¬ së cña to¸n häc hiÖn ®¹i vµ l«gic to¸n. Qua thùc tÕ nghiªn cøu, gi¶ng d¹y ë tr­êng tiÓu häc, t«i nhËn thÊy yÕu tè l«gic trong To¸n TiÓu häc kh¸ phong phó vµ quan träng song l¹i kh«ng ®­îc tr×nh bµy t­êng minh. Bëi vËy, viÖc khai th¸c ®­îc hÕt dông ý cña SGK vµ tµi liÖu h­íng dÉn lµ ®iÒu khã kh¨n ®èi víi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y. §iÒu nµy còng dÉn ®Õn viÖc häc sinh tiÕp thu kiÕn thøc ch­a hÖ thèng, h¹n chÕ kh¶ n¨ng h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t­ duy l«gic cña c¸c em. Trong néi dung m«n To¸n ë TiÓu häc, gi¶i to¸n lµ ho¹t ®éng c¬ b¶n, quan träng, chiÕm vÞ trÝ vµ thêi l­îng lín. Lµm thÕ nµo ®Ó cã thÓ khai th¸c, vËn dông c¸c yÕu tè l«gic vµo viÖc gi¶i to¸n tiÓu häc cho hÖ thèng vµ cã hiÖu qu¶ h¬n ®èi víi gi¸o viªn và häc sinh trong qu¸ tr×nh d¹y và häc gi¶i to¸n? §Ó tr¶ lêi c©u hái nµy, t«i lùa chän ®Ò tµi: “VËn dông c¸c yÕu tè l«gic trong gi¶i to¸n TiÓu häc”, hy väng sÏ gióp cho gi¸o viªn vµ häc sinh d¹y vµ häc to¸n mét c¸ch hÖ thèng, gãp phÇn b­íc ®Çu h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn t­ duy l«gic, rÌn luyÖn kü n¨ng gi¶i to¸n cho häc sinh tiÓu häc ngµy mét tèt h¬n. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Nh»m gãp phÇn n©ng cao hiÖu qu¶ cña viÖc d¹y häc gi¶i to¸n ®èi víi gi¸o viªn, ®ång thêi h×nh thµnh, ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn kÜ n¨ng t­ duy (trong ®ã cã t­ duy l«gic) cho häc sinh tiÓu häc khi thùc hµnh gi¶i to¸n. 3. §èi t­îng nghiªn cøu C¸c d¹ng to¸n trong ch­¬ng tr×nh To¸n TiÓu häc vËn dông c¸c yÕu tè l«gic ®Ó gi¶i bµi. 4. Néi dung nghiªn cøu Nghiªn cøu c¬ së lý luËn cña viÖc vËn dông c¸c yÕu tè l«gic vµo gi¶i to¸n TiÓu häc. Ph©n tÝch c¸c yÕu tè l«gic trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë TiÓu häc hiÖn nay. VËn dông c¸c yÕu tè l«gic vµo viÖc gi¶i to¸n ë TiÓu häc. Thùc nghiÖm s­ ph¹m. 5. Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu - Ph­¬ng ph¸p nghiªn cøu lý luËn. - Thùc nghiÖm. - Tæng kÕt tµi liÖu. 6. Nh÷ng ®ãng gãp míi vÒ mÆt khoa häc cña ®Ò tµi Qu¸ tr×nh nghiªn cøu ®Ò tµi dùa trªn c¬ së cña To¸n häc hiÖn ®¹i vµ l«gic häc, nh÷ng thµnh tùu cña t©m lý häc vµ qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y thùc tÕ ë tr­êng tiÓu häc lµm s¸ng tá mét sè vÊn ®Ò: X©y dùng mét c¸ch cã hÖ thèng c¸c bµi to¸n mang ®Æc tr­ng l«gic ë TiÓu häc: + X©y dùng ch­¬ng tr×nh gi¶i tõng lo¹i bµi, d¹ng bµi. + Thùc hiÖn gi¶i mÉu. + Giíi thiÖu bµi to¸n t­¬ng tù. LuËn v¨n cã thÓ dïng lµm tµi liÖu tham kh¶o cho gi¸o viªn vµ häc sinh tiÓu häc. 7. CÊu tróc luËn v¨n: LuËn V¨n gåm ba phÇn: + PhÇn më ®Çu. + PhÇn néi dung. Ch­¬ng 1: C¬ së lý luËn. Ch­¬ng 2: VËn dông c¸c yÕu tè l«gic vµo gi¶i To¸n ë TiÓu häc. Ch­¬ng 3: Thùc nghiÖm s­ ph¹m. + PhÇn kÕt luËn. PHÇN NéI DUNG CH¦¥NG 1: C¬ së lý luËn 1. C¬ së t©m lý häc Trong nÒn gi¸o dôc quèc d©n, TiÓu häc lµ bËc häc cã tÝnh chÊt phæ cËp, lµ nÒn mãng, t¹o tiÒn ®Ò v÷ng ch¾c cho trÎ häc lªn c¸c bËc häc tiÕp theo. Theo t©m lý häc duy vËt biÖn chøng, cuéc sèng cña con ng­êi lµ mét dßng ho¹t ®éng. ë mçi giai ®o¹n løa tuæi kh¸c nhau, con ng­êi cã nh÷ng ho¹t ®éng chñ ®¹o kh¸c nhau. Trong ®ã ë TiÓu häc, ho¹t ®éng häc lµ ho¹t ®éng chñ ®¹o bëi v× ho¹t ®éng nµy kh«ng chØ chiÕm nhiÒu thêi gian h¬n, khiÕn häc sinh tËp trung nhiÒu t©m t­ h¬n mµ nã cßn mang ®Õn cho häc sinh nh÷ng ®èi t­îng míi ch­a hÒ cã vµ t¹o ra sù ph¸t triÓn ë trÎ. Ho¹t ®éng chñ ®¹o nµy còng lµ nguyªn nh©n c¬ b¶n ®­a ®Õn cÊu t¹o t©m lý míi cho häc sinh tiÓu häc. NhËn thøc cña häc sinh tiÓu häc lµ mét qu¸ tr×nh mang nh÷ng ®Æc tr­ng riªng biÖt, cô thÓ nh­ sau: 1.1. Qu¸ tr×nh nhËn thøc c¶m tÝnh 1.1.1. Tri gi¸c Tri gi¸c cña häc sinh tiÓu häc mang tÝnh ®¹i thÓ, Ýt ®i s©u vµo chi tiÕt. Khi tri gi¸c c¸c em ch­a ph©n biÖt chÝnh x¸c c¸c ®èi t­îng, ®«i khi cßn lÉn lén. Kh¶ n¨ng ph©n tÝch, t¸ch c¸c ®èi t­îng ch­a cao, bëi vËy trong qu¸ tr×nh tri gi¸c, c¸c em th­êng th©u tãm vÒ c¸i toµn bé, ®¹i thÓ ®Ó tri gi¸c. Tri gi¸c cña häc sinh tiÓu häc (nhÊt lµ häc sinh ®Çu cÊp) th­êng g¾n víi hµnh ®éng cô thÓ cña c¸c em. Do ®ã, trong qu¸ tr×nh gi¸o dôc, vËn dông ®óng ®¾n, hîp lý luËn ®iÓm: “Tr¨m nghe kh«ng b»ng mét thÊy, tr¨m thÊy kh«ng b»ng mét lµm” lµ viÖc lµm rÊt cÇn thiÕt. Tri gi¸c cña häc sinh tiÓu häc cßn mang ®Ëm mµu s¾c c¶m xóc. Trong qu¸ tr×nh tri gi¸c, kh¶ n¨ng ®¸nh gi¸, ­íc l­îng vÒ thêi gian, kh«ng gian cña c¸c em cßn h¹n chÕ, nhÊt lµ khi c¸c ®èi t­îng thay ®æi vÞ trÝ trong kh«ng gian. Tri gi¸c cña häc sinh tiÓu häc cßn chÞu ¶nh h­ëng vµ t¸c ®éng nhiÒu cña yÕu tè trùc gi¸c. 1.1.2. TrÝ nhí TrÝ nhí trùc quan h×nh t­îng ®­îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn m¹nh cßn trÝ nhí tõ ng÷ - l«gic kÐm ph¸t triÓn. Bëi vËy, c¸c ®¬n vÞ tri thøc ®­îc c¸c em ghi nhí cßn rêi r¹c, ch­a cã hÖ thèng, khi cÇn t¸i hiÖn tri thøc cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n.V× thÕ trong qu¸ tr×nh d¹y häc, ng­êi gi¸o viªn cÇn gióp c¸c em cã ®­îc c¸ch thøc ghi nhí tõng lo¹i ®¬n vÞ tri thøc dùa vµo c¸c ®iÓm tùa l«gic hoÆc s¬ ®å l«gic. 1.1.3. Chó ý Chó ý lµ mét hiÖn t­îng t©m lý, nã lµ mét yÕu tè quan träng quyÕt ®Þnh cho kÕt qu¶ cña ho¹t ®éng häc. ë häc sinh tiÓu häc, chó ý kh«ng chñ ®Þnh chiÕm ­u thÕ h¬n chó ý cã chñ ®Þnh. Do thiÕu kh¶ n¨ng tæng hîp nªn sù tËp trung chó ý cña häc sinh tiÓu häc cßn bÞ ph©n t¸n, nhÊt lµ khi cã c¸c t¸c ®éng míi mÎ, bÊt ngê, rùc rì… Bëi vËy viÖc sö dông ®å dïng d¹y häc nh­ tranh ¶nh, h×nh vÏ… mét c¸ch hîp lý lµ ®iÒu kiÖn quan träng ®Ó tËp trung sù chó ý cña häc sinh, t¹o ra sù h­ng phÊn, hÊp dÉn cña giê häc. §èi víi häc sinh cuèi TiÓu häc, chó ý cã chñ ®Þnh cña c¸c em ph¸t triÓn m¹nh. Sù chó ý cña c¸c em cã thÓ kÐo dµi liªn tôc trong kho¶ng thêi gian mét tiÕt häc. 1.2. Qu¸ tr×nh nhËn thøc lý tÝnh Qu¸ tr×nh nhËn thøc lý tÝnh bao gåm t­ duy vµ t­ëng t­îng. 1.2.1. T­ duy 1.2.1.1. T­ duy T­ duy lµ qu¸ tr×nh nhËn thøc lý tÝnh, nã ph¶n ¸nh nh÷ng thuéc tÝnh b¶n chÊt cña sù vËt, hiÖn t­îng. T­ duy lµ qu¸ tr×nh ph¶n ¸nh thÕ giíi vËt chÊt d­íi d¹ng nh÷ng h×nh ¶nh lý t­ëng. T­ duy cña trÎ em míi ®Õn tr­êng lµ t­ duy cô thÓ mang tÝnh h×nh thøc b»ng c¸ch dùa vµo nh÷ng ®Æc ®iÓm trùc quan cña ®èi t­îng vµ hiÖn t­îng cô thÓ. Nhµ t©m lý häc næi tiÕng J.Piaget (Thuþ SÜ) cho r»ng t­ duy cña trÎ tõ 7 ®Õn 10 tuæi vÒ c¬ b¶n cßn ë giai ®o¹n nh÷ng thao t¸c cô thÓ, dùa vµo kinh nghiÖm trùc quan. C¸c em khã chÊp nhËn nh÷ng gi¶ thiÕt kh«ng thËt. Häc sinh ë cuèi bËc TiÓu häc (9 - 11 tuæi), kh¶ n¨ng t­ duy ®· ph¸t triÓn kh¸ hoµn chØnh, ®Æc biÖt lµ líp 5. C¸c em ®· cã thÓ t¸ch khái c¸i cô thÓ ®Ó thao t¸c víi c¸c hµm mÖnh ®Ò th«ng qua lêi nãi hoÆc kÝ hiÖu to¸n häc. 1.2.1.2. T­ duy l«gic T­ duy l«gic lµ qu¸ tr×nh t­ duy ®¶m b¶o tÝnh chÝnh x¸c theo c¸c quy luËt, kh«ng ph¹m ph¶i nh÷ng sai lÇm trong qu¸ tr×nh lËp luËn, biÕt ph¸t hiÖn ra nh÷ng m©u thuÉn. §ã chÝnh lµ phÈm chÊt cña t­ duy cã gi¸ trÞ lín trong bÊt kú lÜnh vùc khoa häc vµ ho¹t ®éng thùc tiÔn nµo. T­ duy l«gic cña con ng­êi kh«ng ph¶i lµ yÕu tè bÈm sinh, di truyÒn mµ nã ®­îc h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn trong ho¹t ®éng thùc tiÔn. Muèn ®¶m b¶o tÝnh bÒn v÷ng cña nã th× con ng­êi ph¶i rÌn luyÖn vµ cñng cè nã mét c¸ch th­êng xuyªn. 1.2.2. T­ëng t­îng T­ëng t­îng cña häc sinh tiÓu häc cßn t¶n m¹n, Ýt cã tæ chøc. H×nh ¶nh trong qu¸ tr×nh t­ëng t­îng cña c¸c em cßn ®¬n gi¶n, ®¬n ®iÖu, hay g¾n liÒn víi h×nh mÉu cô thÓ, kh«ng cã tÝnh bÒn v÷ng. 2. C¬ së l«gic häc 2.1. Sù h×nh thµnh vµ ph¸t triÓn cña l«gic häc L«gic häc ®· ®­îc h×nh thµnh vµo thÕ kû IV tr­íc c«ng nguyªn vµ nhµ triÕt häc vÜ ®¹i cæ Hy L¹p A - ri - xt«t ®­îc coi lµ ng­êi s¸ng lËp ra l«gic häc. ¤ng lµ ng­êi ®Çu tiªn nghiªn cøu tØ mØ kh¸i niÖm vµ ph¸n ®o¸n, lý thuyÕt suy luËn vµ chøng minh. ¤ng ®· m« t¶ hµng lo¹t c¸c thao t¸c l«gic, nªu lªn quy luËt c¬ b¶n cña t­ duy: Quy luËt ®ång nhÊt, quy luËt m©u thuÉn, quy luËt bµi trung (quy luËt lo¹i tõ c¸i thø ba) trong t¸c phÈm “Siªu h×nh häc”. L«gic häc do A - ri - xt«t s¸ng lËp ra cã tªn gäi lµ l«gic h×nh thøc v× nã xuÊt hiÖn vµ ph¸t triÓn víi t­ c¸ch lµ mét khoa häc vÒ c¸c h×nh thøc cña t­ duy ph¶n ¸nh néi dung. Vµo nöa cuèi thÕ kû XIX, c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n cña To¸n häc ®­îc ¸p dông réng r·i trong l«gic häc. Nhµ b¸c häc ng­êi §øc Phrª - ghª (1848 - 1925) ®· ph¸t triÓn c¸c ph­¬ng ph¸p tÝnh to¸n cña To¸n häc ¸p dông vµo l«gic häc. L«gic ký hiÖu hay l«gic to¸n ra ®êi vµ ph¸t triÓn m¹nh mÏ g¾n víi tªn nhµ b¸c häc Bul, Sri«®er¬, Pirx¬… LÇn ®Çu tiªn, l«gic biÖn chøng ®­îc nhµ triÕt häc duy t©m kh¸ch quan Hª Ghen (1770 - 1831) tr×nh bµy. Nghiªn cøu theo quan ®iÓm duy vËt häc thuyÕt cña Hª ghen, kh¸i qu¸t c¸c thµnh tùu cña triÕt häc, M¸c vµ Anghen ®· s¸ng t¹o ra phÐp biÖn chøng duy vËt vµ ®­îc V. I. Lªnin ph¸t triÓn tiÕp tôc. Ngµy nay, l«gic hiÖn ®¹i bao gåm hai khoa häc ®éc lËp t­¬ng ®èi nhau ®ã lµ l«gic h×nh thøc vµ l«gic biÖn chøng. Chóng ph¸t triÓn trong sù t¸c ®éng qua l¹i chÆt chÏ víi nhau, bæ sung cho nhau. 2.2. C¸c kh¸i niÖm 2.2.1. Kh¸i niÖm l«gic “L«gic” cã nghÜa lµ “t­ t­ëng”, “tõ”, “trÝ tuÖ”. Nã ®­îc b¾t nguån tõ tiÕng Hy L¹p “l«gos”. L«gic chÝnh lµ sù biÓu hiÖn tËp trung c¸c quy luËt b¾t buéc qu¸ tr×nh t­ duy cña con ng­êi ph¶i tu©n theo, cã nh­ vËy míi ph¶n ¸nh ®óng ®¾n hiÖn thùc kh¸ch quan. Ngoµi ra, nã cßn biÓu hiÖn c¸c quy t¾c lËp luËn khoa häc vµ nh÷ng h×nh thøc trong ®ã lËp luËn tån t¹i. MÆt kh¸c, “l«gic” cßn biÓu thÞ mét sè tÝnh quy luËt kh¸c cña thÕ giíi kh¸ch quan. 2.2.2. Kh¸i niÖm l«gic häc L«gic häc lµ mét khoa häc nghiªn cøu vÒ c¸c quy luËt vµ h×nh thøc cña t­ duy h­íng vµo viÖc nhËn thøc ®óng ®¾n hiÖn thùc. 2.2.3. Kh¸i niÖm mÖnh ®Ò MÖnh ®Ò lµ mét kh¸i niÖm c¬ b¶n cña l«gic, ®ã lµ nh÷ng c©u ph¶n ¸nh tÝnh ®óng ®¾n hoÆc sai thùc tÕ kh¸ch quan. Nh÷ng c©u nghi vÊn, c©u c¶m th¸n, c©u mÖnh lÖnh ®Òu kh«ng ph¶i lµ mÖnh ®Ò v× nã kh«ng ph¶n ¸nh tÝnh ®óng hoÆc sai mét thùc tÕ kh¸ch quan nµo. Trong l«gic mÖnh ®Ò, ta th­êng ký hiÖu mÖnh ®Ò lµ a, b, c,… NÕu mÖnh ®Ò ®óng, ta nãi mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ ch©n lý b»ng 1; nÕu mÖnh ®Ò sai th× ta nãi mÖnh ®Ò cã gi¸ trÞ ch©n lý b»ng 0. 2.2.4. Kh¸i niÖm hµm mÖnh ®Ò Hµm mÖnh ®Ò lµ mét c©u chøa biÕn vµ trë thµnh mÖnh ®Ò khi ta thay biÕn ®ã b»ng mét h»ng trong mét tËp hîp x¸c ®Þnh. Ta th­êng ký hiÖu hµm mÖnh ®Ò nh­ sau: P(x) : Hµm mÖnh ®Ò mét biÕn. P(x,y,…): Hµm mÖnh ®Ò 2, 3 hoÆc nhiÒu biÕn. 2.2.5. Kh¸i niÖm suy luËn a. Kh¸i niÖm Suy luËn lµ rót ra mÖnh ®Ò míi tõ mét hay nhiÒu mÖnh ®Ò ®· cã. MÖnh ®Ò ®· cã gäi lµ tiÒn ®Ò cña suy luËn. MÖnh ®Ò míi ®­îc gäi lµ kÕt luËn cña suy luËn. b. Ph©n lo¹i suy luËn Cã hai lo¹i suy luËn lµ suy luËn diÔn dÞch (suy luËn suy diÔn) vµ suy luËn nghe cã lý (suy luËn cã lý). Suy luËn suy diÔn lµ c¸ch suy luËn ®i tõ c¸i chung ®Õn c¸i riªng, tõ quy t¾c tæng qu¸t ¸p dông vµo tõng tr­êng hîp cô thÓ. Suy luËn suy diÔn lu«n lu«n cho kÕt qu¶ ®¸ng tin cËy nÕu nã xuÊt ph¸t tõ nh÷ng tiÒn ®Ò ®óng. Suy luËn suy diÔn gåm: phÐp suy diÔn, phÐp quy n¹p hoµn toµn. Suy luËn nghe cã lý (suy luËn cã lý) kh«ng theo mét quy t¾c tæng qu¸t nµo ®Ó tõ nh÷ng tiÒn ®Ò ®· cã rót ra mét kÕt luËn x¸c ®Þnh. Khi dïng nã th× tõ nh÷ng tiÒn ®Ò ®óng cã khi ta rót ra ®­îc c¸c kÕt luËn ®óng, cã khi rót ra ®­îc kÕt luËn sai. Suy luËn cã lý gåm: suy luËn quy n¹p kh«ng hoµn toµn, phÐp t­¬ng tù, phÐp ®¶o ng­îc. 2.2.6. Kh¸i niÖm chøng minh Chøng minh lµ thao t¸c l«gic dïng ®Ó lËp luËn tÝnh ch©n thùc cña ph¸n ®o¸n nµo ®ã nhê c¸c ph¸n ®o¸n ch©n thùc kh¸c cã mèi liªn hÖ víi ph¸n ®o¸n Êy. Chøng minh bao gåm ba thµnh phÇn liªn quan chÆt chÏ víi nhau: luËn ®Ò, luËn cø, luËn chøng (lËp luËn). Chøng minh bao gåm chøng minh trùc tiÕp vµ chøng minh gi¸n tiÕp.  Chøng minh trùc tiÕp: lµ chøng minh trong ®ã tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò ®­îc trùc tiÕp rót ra tõ c¸c luËn cø. S¬ ®å chøng minh trùc tiÕp: p : luËn ®Ò a, b, c,… : c¸c luËn cø. k, l, m,…: c¸c ph¸n ®o¸n ch©n thùc ®­îc suy ra tõ a, b, c… ( a,b,c )  ( k,l,m )  p  Chøng minh gi¸n tiÕp: lµ chøng minh trong ®ã tÝnh ch©n thùc cña luËn ®Ò ®­îc rót ra trªn c¬ së lËp luËn tÝnh gi¶ dèi cña ph¶n luËn ®Ò. 2.3. C¸c quy luËt c¬ b¶n cña t­ duy 2.3.1. Quy luËt ®ång nhÊt Trong qu¸ tr×nh lËp luËn, mäi t­ t­ëng ®ång nhÊt víi chÝnh nã. Trong l«gic kÝ hiÖu (l«gic to¸n), nã ®­îc biÓu thÞ: a  a hay a  a Quy luËt ®ång nhÊt ®­îc biÓu thÞ “a lµ a” (®èi víi ph¸n ®o¸n), “A lµ A” ®èi víi kh¸i niÖm. 2.3.2. Quy luËt kh«ng m©u thuÉn Trong qu¸ tr×nh t­ duy, lËp luËn vÒ mét ®èi t­îng nµo ®ã kh«ng ®­îc võa kh¼ng ®Þnh, võa phñ ®Þnh ë cïng mét quan hÖ. MÆt kh¸c, khi t­ duy vÒ mét vÊn ®Ò nµo ®ã ®­îc thÓ hiÖn b»ng hai ph¸n ®o¸n ®èi lËp th× chóng kh«ng thÓ cïng ch©n thùc hoÆc cïng gi¶ dèi. Trong l«gic kÝ hiÖu, nã ®­îc biÓu thÞ : a  a . 2.3.3. Quy luËt lo¹i trõ c¸i thø ba. Quy luËt nµy biÓu ®¹t hai ph¸n ®o¸n nÕu m©u thuÉn víi nhau th× kh«ng thÓ cïng gi¶ dèi hoÆc cïng ch©n thùc. NghÜa lµ mét trong hai ph¸n ®o¸n ph¶i lµ gi¶ dèi hoÆc ch©n thùc. Trong l«gic kÝ hiÖu, nã ®­îc biÓu thÞ: a  a 2.3.4. Quy luËt lý do ®Çy ®ñ T­ duy ®óng ®¾n lµ t­ duy ®­îc chi phèi bëi c¸c ®iÒu kiÖn ®¶m b¶o tÝnh chøng minh ®­îc, tÝnh cã c¨n cø. Mçi t­ t­ëng ®­îc thõa nhËn lµ ch©n thùc nÕu nã cã lý do ®Çy ®ñ. C¸c quy luËt c¬ b¶n cña t­ duy cã mèi liªn hÖ chÆt chÏ víi nhau. ViÖc tu©n theo c¸c yªu cÇu cña quy luËt c¬ b¶n cña l«gic h×nh thøc lµ ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt ®Ó nhËn thøc ®óng ®¾n hiÖn thùc kh¸ch quan.V× vËy, trong qu¸ tr×nh lËp luËn cÇn ph¶i sö dông phèi hîp c¸c quy luËt mét c¸ch nhuÇn nhuyÔn, ®¶m b¶o mèi liªn hÖ biÖn chøng gi÷a chóng, cã nh­ thÕ, ®¬n vÞ tri thøc ®­îc lÜnh héi míi ®¶m b¶o tÝnh l«gic. 2.4. C¸c phÐp to¸n l«gic 2.4.1. C¸c phÐp to¸n l«gic trªn mÖnh ®Ò 2.4.1.1. PhÐp phñ ®Þnh : Phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p lµ mét mÖnh ®Ò sai khi p ®óng vµ ®óng khi p sai. KÝ hiÖu lµ p (§äc lµ “kh«ng p”). B¶ng gi¸ trÞ ch©n lý: p p 1 0 0 1 2.4.1.2. PhÐp héi: Héi cña hai mÖnh ®Ò p vµ q lµ mét mÖnh ®Ò ®óng khi c¶ p vµ q cïng ®óng vµ sai trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i. KÝ hiÖu lµ p  q (§äc lµ “ p vµ q”) B¶ng gi¸ trÞ ch©n lý: p q p  q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 2.4.1.3. PhÐp tuyÓn: TuyÓn cña hai mÖnh ®Ò p vµ q lµ mét mÖnh ®Ò sai khi c¶ hai cïng sai vµ ®óng trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i. KÝ hiÖu lµ p  q (§äc lµ “p hoÆc q”). B¶ng gi¸ trÞ ch©n lý: p q pq 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2.4.1.4. PhÐp kÐo theo: PhÐp kÐo theo cña hai mÖnh ®Ò p vµ q lµ mét mÖnh ®Ò sai khi p ®óng, q sai vµ ®óng trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i. KÝ hiÖu: p  q (§äc lµ “p kÐo theo q” hay “nÕu p th× q”). B¶ng gi¸ trÞ ch©n lý: p q pq 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2.4.1.5. PhÐp t­¬ng ®­¬ng: Cho hai mÖnh ®Ò p vµ q. MÖnh ®Ò “p t­¬ng ®­¬ng víi q” lµ mét mÖnh ®Ò ®óng khi c¶ hai mÖnh ®Ò p vµ q hoÆc cïng ®óng hoÆc cïng sai vµ sai trong c¸c tr­êng hîp cßn l¹i. KÝ hiÖu : p  q (§äc lµ “p t­¬ng ®­¬ng víi q”) nã phï hîp víi ý nghÜa cña côm tõ “khi vµ chØ khi” hay“nÕu vµ chØ nÕu”. B¶ng gi¸ trÞ ch©n lý: p q p q 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 2.4.2. Nh÷ng ®¼ng thøc c¬ b¶n: §¼ng thøc vÒ phñ ®Þnh cña phñ ®Þnh p p TÝnh chÊt giao ho¸n cña phÐp héi vµ phÐp tuyÓn p  q  q p p  q  q p TÝnh chÊt kÕt hîp cña phÐp héi vµ phÐp tuyÓn (p  q)  r  p  (q  r) TÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp héi vµ phÐp tuyÓn p  (q  r)  (p  q)  (p  r ) p  (q  r)  (p  q)  (p  r) TÝnh chÊt luü ®¼ng cña phÐp héi vµ phÐp tuyÓn p  p p p  p p §Þnh luËt §ê Mooc - g¨ng. pq  p  q pq  p  q Kh¶ n¨ng biÓu diÔn phÐp to¸n l«gic (  ) qua c¸c phÐp to¸n logic kh¸c. (p  q)  p  q (p  q)  p  q §¼ng thøc liªn hÖ ®Õn phÐp t­¬ng ®­¬ng. p  q  (p  q)  (q  p) p  q q  p p  q pq §¼ng thøc liªn hÖ ®Õn c¸c h»ng 0, 1. p  0  0 p 1 1 p  1  p p  p 1 p 0  p p p  1 §¼ng thøc liªn quan ®Õn phÐp to¸n l«gic (  ) pq q  p 2.5. C¸c quy t¾c suy luËn 2.5.1. §Þnh nghÜa vÒ quy t¾c suy luËn Gi¶ sö S1 , S2,…, Sn, T lµ mét d·y h÷u h¹n c¸c c«ng thøc cña cïng c¸c biÕn p, q,…, r. NÕu tÊt c¶ c¸c bé gi¸ trÞ cña p, q,…, r lµm cho S1, S2,…, Sn nhËn gi¸ trÞ 1 còng ®ång thêi lµm cho T nhËn gi¸ trÞ 1 th× T gäi lµ hÖ qu¶ l«gic cña S1, S2,…, Sn . Khi ®ã ta còng nãi r»ng cã mét quy t¾c suy luËn tõ c¸c tiÒn ®Ò S1,S2,…, Sn tíi c¸c hÖ qu¶ l«gic T cña chóng. KÝ hiÖu: S1 , S2, …,Sn T 2.5.2. C¸c quy t¾c suy luËn th­êng gÆp. 2.5.2.1. Quy t¾c kÕt luËn Quy t¾c suy luËn : p,p  q ®­îc gäi lµ quy t¾c kÕt luËn. q D¹ng tæng qu¸t cña quy t¾c kÕt luËn lµ p1, p 2 ,...., p n ,  p1  p 2 ....  p n   q q Theo quy t¾c suy luËn nµy th× nÕu p1, p2,…, pn lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng ®ång thêi mÖnh ®Ò (p1  p2 …  pn)  q còng ®óng th× mÖnh ®Ò q còng ®óng. ChÝnh tõ quy t¾c nµy, trong to¸n häc, ®Ó chøng minh q lµ mét mÖnh ®Ò ®óng, nÕu ®· cã ®Þnh lý (p1  p2 …  pn)  q th× chØ cÇn chøng minh p1, p2,…,pn lµ c¸c mÖnh ®Ò ®óng. 2.5.2.2. Quy t¾c b¾c cÇu Quy t¾c suy luËn p  q ,p  r ®­îc gäi lµ quy t¾c suy luËn b¾c cÇu. pr D¹ng tæng qu¸t cña quy t¾c suy luËn b¾c cÇu lµ: (p  p1),(p1  p2), …, (pn-1  pn), (pn  q) pq Theo quy t¾c suy luËn nµy th× nÕu p suy ra ®­îc p1, p1 suy ra ®­îc p2,…, pn suy ra ®­îc q th× p suy ra ®­îc q. Nhê quy t¾c suy luËn nµy ta cã c¬ së ®Ó nèi c¸c m¾t xÝch suy luËn rêi r¹c thµnh mét chØnh thÓ chøng minh. 2.5.2.3. Quy t¾c suy luËn ph¶n chøng Quy t¾c suy luËn q, p  q ®­îc gäi lµ quy t¾c suy luËn ph¶n chøng . p Theo quy t¾c suy luËn nµy th×: Gi¶ sö cho q lµ mét mÖnh ®Ò ®óng, nÕu tõ phñ ®Þnh cña mÖnh ®Ò p suy ra ®­îc mÖnh ®Ò phñ ®Þnh cña q th× mÖnh ®Ò p ®óng. Quy t¾c suy luËn trªn lµ c¬ së cña ph­¬ng ph¸p chøng minh ph¶n chøng. Trªn ®©y lµ mét sè quy t¾c suy luËn th­êng gÆp, ngoµi ra cßn cã mét sè quy t¾c suy luËn kh¸c. 2.6. C¸c phÐp suy luËn vµ chøng minh th­êng gÆp 2.6.1. PhÐp suy diÔn PhÐp suy diÔn lµ c¸ch suy luËn ®i tõ c¸i chung ®Õn c¸i riªng, tõ quy t¾c tæng qu¸t ¸p dông vµo tõng tr­êng hîp cô thÓ. 2.6.2. PhÐp quy n¹p PhÐp quy n¹p lµ phÐp suy luËn ®i tõ c¸i cô thÓ ®Ó rót ra kÕt luËn tæng qu¸t, ®i tõ c¸i riªng ®Õn c¸i chung. Cã 2 lo¹i phÐp quy n¹p lµ: quy n¹p kh«ng hoµn toµn vµ quy n¹p hoµn toµn. PhÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn: Quy n¹p kh«ng hoµn toµn lµ phÐp suy luËn ®i tõ mét vµi tr­êng hîp riªng ®Ó nhËn xÐt råi rót ra kÕt luËn chung. Cã thÓ tãm t¾t néi dung cña phÐp quy n¹p kh«ng hoµn toµn nh­ sau: TiÒn ®Ò - C¸c phÇn tö a1, a2,…,an ®Òu cã tÝnh chÊt p - a1, a2,…,an lµ mét sè phÇn tö cña tËp hîp X KÕt luËn (Dù ®o¸n) TÊt c¶ c¸c phÇn tö cña X ®Òu cã tÝnh chÊt p. ( ë ®©y gi¶ thiÕt lµ X cã nhiÒu h¬n n phÇn tö ). Khi suy luËn theo kiÓu quy n¹p kh«ng hoµn toµn cã khi kÕt luËn lµ ®óng, cã khi kÕt luËn lµ sai nªn ®©y chØ lµ mét phÐp suy luËn cã lý vµ cÇn kiÓm tra tr­íc khi ¸p dông. PhÐp quy n¹p hoµn toµn: PhÐp quy n¹p hoµn toµn lµ phÐp suy luËn ®i tõ viÖc kh¶o s¸t tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp riªng råi nhËn xÐt ®Ó nªu ra kÕt luËn chung cho tÊt c¶ c¸c tr­êng hîp riªng ®ã vµ chØ cho c¸c tr­êng hîp riªng Êy mµ th«i. Cã thÓ tãm t¾t néi dung cña phÐp quy n¹p hoµn toµn nh­ sau: TiÒn ®Ò - TËp hîp A gåm tÊt c¶ c¸c phÇn tö a1, a2,…, an - C¸c phÇn tö a1, a2,…, an ®Òu cã tÝnh chÊt p KÕt luËn Mäi phÇn tö cña A ®Òu cã tÝnh chÊt p. PhÐp quy n¹p hoµn toµn lµ mét phÐp suy luËn cho ta kÕt luËn ®óng v× kÕt luËn chung chØ kh¼ng ®Þnh vÒ c¸c tr­êng hîp ®· ®­îc thö thÊy ®óng. 2.6.3. PhÐp t­¬ng tù PhÐp t­¬ng tù lµ phÐp suy luËn ®i tõ sù gièng nhau cña mét sè thuéc tÝnh nµo ®ã cña 2 ®èi t­îng ®Ó rót ra kÕt luËn vÒ sù gièng nhau cña c¸c thuéc tÝnh kh¸c cña 2 ®èi t­îng ®ã. C¸c kÕt luËn rót ra tõ phÐp t­¬ng tù cã khi ®óng, cã khi sai. Do ®ã, ®©y chØ lµ phÐp suy luËn cã lý vµ cÇn kiÓm tra l¹i c¸c kÕt luËn cña phÐp t­¬ng tù tr­íc khi sö dông. 2.6.4. PhÐp ®¶o ng­îc §¶o ng­îc mét phÐp suy luËn ®· cho lµ thiÕt lËp mét phÐp suy luËn míi b»ng c¸ch ®æi chç gi÷a tiÒn ®Ò vµ kÕt luËn cña phÐp suy luËn ®ã. Khi ®¶o ng­îc mét suy luËn, cã khi ta ®­îc mét suy luËn ®¸ng tin cËy nh­ng còng cã khi ta ®­îc mét suy luËn kh«ng ®¸ng tin cËy. V× thÕ, phÐp ®¶o ng­îc mét suy luËn chØ cho ta mét suy luËn cã lý, nã chØ lµ mét dù ®o¸n cÇn ph¶i kiÓm tra l¹i. 2.6.5. PhÐp ph¶n chøng PhÐp ph¶n chøng lµ phÐp suy luËn dùa trªn nhËn xÐt: “ NÕu tõ mét mÖnh ®Ò A nµo ®ã mµ b»ng suy diÔn ta rót ra ®­îc mét ®iÒu v« lý th× mÖnh ®Ò A lµ sai hay mÖnh ®Ò tr¸i ng­îc víi A lµ ®óng”. Ch­¬ng 2 VËn dông c¸c yÕu tè l«gic vµo gi¶i to¸n ë tiÓu häc I. Ph©n tÝch c¸c yÕu tè l«gic trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë TiÓu häc I.1. VÞ trÝ, nhiÖm vô, môc tiªu, ®Æc ®iÓm, néi dung m«n to¸n ë tiÓu häc I.1.1. VÞ trÝ, nhiÖm vô, môc tiªu m«n To¸n ë TiÓu häc ViÖc d¹y vµ häc m«n To¸n lµ mét trong nh÷ng nhiÖm vô hµng ®Çu cña gi¸o viªn vµ häc sinh tiÓu häc bëi viÖc d¹y vµ häc To¸n ë TiÓu häc mang l¹i nh÷ng kiÕn thøc to¸n häc s¬ ®¼ng cÇn thiÕt, lµ b­íc chuÈn bÞ quan träng cho qu¸ tr×nh d¹y häc to¸n häc ë c¸c bËc häc tiÕp theo. Ngoµi môc tiªu chñ yÕu lµ rÌn luyÖn kÜ n¨ng tÝnh to¸n th× m«n To¸n ë TiÓu häc cßn ph¶i ph¸t triÓn t­ duy vµ båi d­ìng ph­¬ng ph¸p suy luËn, båi d­ìng t­ duy khoa häc vµ t­ duy l«gic cho häc sinh tiÓu häc. Së dÜ to¸n häc cã vÞ trÝ, vai trß quan träng nh­ vËy v× to¸n häc lµ c«ng cô bæ trî rÊt cÇn thiÕt ®Ó tiÕp thu c¸c m«n häc kh¸c, ®Ó nhËn thøc thÕ giíi xung quanh, ®Ó ho¹t ®éng trong thùc tiÔn cã hiÖu qu¶…gãp phÇn rÊt quan träng trong viÖc rÌn luyÖn nh÷ng ®øc tÝnh, phÈm chÊt cÇn thiÕt cña ng­êi lao ®éng míi: cÇn cï, s¸ng t¹o,v­ît khã… I.1.2. §Æc ®iÓm cña m«n To¸n ë TiÓu häc M«n To¸n ë TiÓu häc lµ m«n häc thèng nhÊt kh«ng chia thµnh c¸c ph©n m«n riªng. §Æc ®iÓm x©y dùng ch­¬ng tr×nh SGK: H¹t nh©n cña m«n To¸n lµ sè häc (sè tù nhiªn, ph©n sè, sè thËp ph©n). C¸c néi dung c¬ b¶n vÒ ®¹i l­îng; c¸c yÕu tè ®¹i sè vµ thèng kª; c¸c yÕu tè h×nh häc; gi¶i c¸c bµi to¸n cã lêi v¨n ®­îc s¾p xÕp g¾n bã víi h¹t nh©n sè häc t¹o ra sù hç trî lÉn nhau gi÷a c¸c néi dung ®ã cña m«n to¸n. CÊu tróc néi dung h¹t nh©n sè häc cña m«n To¸n cïng víi c¸c néi dung kh¸c lµ cÊu tróc theo kiÓu ®ång t©m. Nhê cÊu tróc s¾p xÕp nµy mµ c¸c néi dung cña m«n To¸n ®­îc cñng cè th­êng xuyªn vµ ®­îc ph¸t triÓn tõ ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p, tõ dÔ ®Õn khã. Trong SGK To¸n ë c¸c líp ®Òu cã phÇn «n tËp bæ sung ë ®Çu n¨m häc, hÖ thèng ho¸ ë cuèi n¨m häc. Ngoµi c¸c tiÕt d¹y häc kiÕn thøc míi vµ luyÖn tËp ®Ó cñng cè kiÕn thøc míi cßn cã c¸c tiÕt luyÖn tËp chung ®Ó «n tËp cñng cè kiÕn thøc vµ kÜ n¨ng trong tõng giai ®o¹n häc tËp. I.1.3. Néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë TiÓu häc M«n To¸n ë TiÓu häc bao gåm 5 tuyÕn kiÕn thøc chÝnh lµ: - Sè häc. - YÕu tè ®¹i sè vµ thèng kª. - YÕu tè h×nh häc. - §¹i l­îng vµ ®o ®¹i l­îng. - Gi¶i to¸n cã lêi v¨n. I.2. Ph©n tÝch c¸c yÕu tè l«gic trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë bËc TiÓu häc I.2.1. MÖnh ®Ò MÖnh ®Ò lµ yÕu tè ®­îc thÓ hiÖn xuyªn suèt trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë bËc TiÓu häc. Cô thÓ nã thÓ hiÖn ë tõng líp nh­ sau: (1). Líp 1 a. Mét sè mÖnh ®Ò ë líp 1, mÖnh ®Ò ®­îc ®­a ra d­íi d¹ng nh÷ng kh¼ng ®Þnh ®¬n gi¶n, kh¼ng ®Þnh ®óng, thÓ hiÖn b»ng ký hiÖu to¸n häc hoÆc ph¸t biÓu b»ng lêi. VD1: 1<2 1+1=2 Mét bÐ h¬n hai Mét céng mét b»ng hai b. T×m gi¸ trÞ ch©n lý cña mÖnh ®Ò VD2: §iÒn ®óng (§) hoÆc sai (S ) vµo chç trèng: §iÓm A ë trong h×nh tam gi¸c. §iÓm B ë ngoµi h×nh tam gi¸c. C. §iÓm E ë ngoµi h×nh tam gi¸c. .A §iÓm C ë ngoµi h×nh tam gi¸c. .B .I §iÓm D ë trong h×nh tam gi¸c. §iÓm I ë ngoµi h×nh tam gi¸c . .D (2). Líp 2 a. Mét sè mÖnh ®Ò VD3: A B C Ba ®iÓm A, B, C cïng n»m trªn mét ®­êng th¼ng. A, B, C lµ ba ®iÓm th¼ng hµng. b. T×m gi¸ trÞ ch©n lý cña mÖnh ®Ò .E VD4: Khoanh vµo ch÷ ®Æt tr­íc gi¸ trÞ ®óng: x+5=5 A. x = 5 C. x = 0 B. x = 10 D. x = 1 (3). Líp 3 a. Mét sè mÖnh ®Ò VD5: a. Ba tr¨m nh©n hai b»ng s¸u tr¨m 300 x 2 = 600 b. M­êi t¸m chia chÝn b»ng hai 18 : 9 = 2 b. T×m gi¸ trÞ ch©n lý cña mÖnh ®Ò VD6: Khoanh vµo ch÷ ®Æt tr­íc c©u tr¶ lêi ®óng: Trong c¸c phÐp chia cã d­ víi sè chia lµ 3, sè d­ lín nhÊt cña c¸c phÐp chia ®ã lµ: A. 3 C. 1 B. 2 D. 0 (4). Líp 4 a. Mét sè mÖnh ®Ò C¸c mÖnh ®Ò ®­îc ®­a ra ë líp 4 vÉn chñ yÕu lµ nh÷ng kh¼ng ®Þnh ®óng, tuy nhiªn, mÖnh ®Ò ®· kh¸i qu¸t h¬n. §Ó ®­a ra ®­îc nh÷ng mÖnh ®Ò ®ã (d­íi d¹ng mét quy t¾c, mét kÕt luËn) häc sinh cÇn qua mét sè vÝ dô hoÆc qua mét sè c¸c thao t¸c t­ duy. VD7: Khi ®æi chç c¸c sè h¹ng trong mét tæng th× tæng kh«ng thay ®æi. Khi ®æi chç c¸c sè h¹ng trong mét tÝch th× tÝch kh«ng thay ®æi. b. T×m gi¸ trÞ ch©n lý cña mÖnh ®Ò VD8: §iÒn sè thÝch hîp vµo « trèng a.3 x 5 = x 3 b. 2 m 4 dm = ……dm (5). Líp 5 a. Mét sè mÖnh ®Ò VD9: - Ph©n sè cã tö sè lín h¬n mÉu sè th× lín h¬n 1. - H×nh thoi cã 2 ®­êng chÐo vu«ng gãc víi nhau. b. T×m gi¸ trÞ ch©n lý cña mÖnh ®Ò VD10: §óng ghi §, sai ghi S vµo « trèng: 0,75 m ®äc lµ: Kh«ng ph¶y b¶y m­¬i l¨m mÐt khèi. B¶y m­¬i l¨m phÇn tr¨m mÐt khèi. Kh«ng ph¶y b¶y tr¨m n¨m m­¬i mÐt khèi. I.2.2. Hµm mÖnh ®Ò Hµm mÖnh ®Ò ®­îc kh¸i qu¸t tõ c¸c mÖnh ®Ò, cã tÝnh trõu t­îng vµ kh¸i qu¸t h¬n mÖnh ®Ò. Hµm mÖnh ®Ò xuÊt hiÖn trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n to¸n ë tiÓu häc tõ ch­a kh¸i qu¸t ®Õn kh¸i qu¸t h¬n theo c¸c líp. Trong qu¸ tr×nh häc tËp, viÖc lÜnh héi c¸c tri thøc d¹ng nµy ®èi víi häc sinh cßn gÆp nhiÒu khã kh¨n. Sau ®©y lµ mét sè vÝ dô vÒ hµm mÖnh ®Ò ë c¸c líp TiÓu häc. (1). Líp 1 VD1: Hµm mÖnh ®Ò ®­îc tr×nh bµy mét c¸ch ®¬n gi¶n, t­êng minh: 0+1=1 1+0=1 1+0=0+1 Häc sinh ngÇm hiÓu mét sè céng víi 0 vÉn b»ng chÝnh nã. Tuy nhiªn hµm mÖnh ®Ò nµy kh«ng ®­îc ph¸t biÓu, tr×nh bµy d­íi d¹ng tæng qu¸t lµ : a  N  a + 0 = a (2). Líp 2 Hµm mÖnh ®Ò b¾t ®Çu thÓ hiÖn cã tÝnh kh¸i qu¸t ë d¹ng c¸c quy t¾c : VD2: Muèn t×m sè bÞ trõ, ta lÊy hiÖu céng víi sè trõ. Tuy nhiªn còng vÉn cã néi dung cßn g¾n víi c¸i cô thÓ: VD3: a. 5 + 7 = 12 b. 0 x 2 = 0 7 + 5 = 12 2x0=0 (3). Líp 3 ë líp 3, yÕu tè hµm mÖnh ®Ò tiÕp tôc thÓ hiÖn cã tÝnh kh¸i qu¸t d­íi d¹ng c¸c quy t¾c, c¸c c¸ch tÝnh nhiÒu h¬n ë líp 2: quy t¾c tÝnh chu vi, diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt, gÊp mét sè lªn nhiÒu lÇn, gi¶m mét sè ®i nhiÒu lÇn,… VD4: Muèn gÊp mét sè lªn nhiÒu lÇn, ta lÊy sè ®ã nh©n víi sè lÇn. Muèn tÝnh chu vi h×nh vu«ng, ta lÊy ®é dµi mét c¹nh nh©n víi 4. (4). Líp 4 Hµm mÖnh ®Ò tiÕp tôc thÓ hiÖn d­íi d¹ng kh¸i qu¸t h¬n. Nã ®­îc thÓ hiÖn th«ng qua mét sè biÓu thøc chóa ch÷, c«ng thøc, ph­¬ng ph¸p gi¶i c¸c bµi to¸n ®iÓn h×nh, mét sè dÊu hiÖu chia hÕt cho 2, 3, 5, 9… VD5: a. a + b = b + a. b. Sè bÐ = (tæng – hiÖu) : 2 c. Sè lín = (tæng + hiÖu) : 2 (5). Líp 5 Hµm mÖnh ®Ò ë líp 5 chñ yÕu thÓ hiÖn ë c¸c quy t¾c, c¸c c«ng thøc … VD6: C«ng thøc tÝnh chu vi h×nh trßn: C = d x 3,14 I.2.3. §Þnh nghÜa, kh¸i niÖm Trong néi dung ch­¬ng tr×nh m«n To¸n ë TiÓu häc, yÕu tè ®Þnh nghÜa, kh¸i niÖm ®a sè ®­îc tr×nh bµy d­íi d¹ng nh÷ng biÓu t­îng, m« h×nh trùc quan. Sau ®©y lµ mét vµi vÝ dô cô thÓ. (1). Líp 1 VD1: A H×nh vu«ng H×nh tam gi¸c B §­êng th¼ng AB. (2). Líp 2: B A B D D C H×nh ch÷ nhËt ABCD A C §­êng gÊp khóc ABCD