Tài liệu Vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích ở lớp 10

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trường Tồn VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trường Tồn VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10 Chuyên ngành: Lý Luận Và Phương Pháp dạy Học Môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. ĐOÀN HỮU HẢI Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 1 LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Đoàn Hữu Hải, hiệu trưởng trường TH – THCS – THPT Trương Vĩnh Ký, Q.11, TP. Hồ Chí Minh, nguyên trưởng phòng đào tạo trương Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh đã dành nhiều công sức hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tôi hoàn thành luận văn này Tôi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ cho chúng tôi những kiến thức didactic toán. Xin trân trọng cảm ơn các thầy cô khác đã tham gia giảng dạy lớp didactic toán khóa 19. Tôi cũng chân thành cảm ơn: * Ban Giám Hiệu trường Đại Học Sư Phạm đã tạo điều kiện tốt nhất về điều kiện học tập trong suốt thời gian tôi học tập tại trường * Phòng Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh đã giúp tôi hoàn tất chương trình và các thủ tục bảo vệ luận văn * Ban giám hiệu trường TH – THCS – THPT Đại Việt, Gò Vấp TP. Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất về mặt thời gian để tôi hoàn thành khóa học * Các bạn giáo viên đồng nghiệp: Nguyễn Thị Kim Cúc (trường THPT Bình Sơn, Hòn Đất, Kiên Giang), Trần Nguyễn Quang Thái (trường THPT Thanh Bình I, Thanh Bình, Đồng Tháp), Cao Bảo Đằng (trường THPT Thủ Khoa Nghĩa, Châu Đốc, An Giang) đã hỗ trợ tôi hoàn thành bài thực nghiệm * Các bạn cùng khóa didactic toán khóa 19 đã chia sẽ những niềm vui cũng như những khó khăn trong suốt khóa học 2 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT ĐS: đại số HH: hình học HS: học sinh GV: giáo viên SBT: sách bài tập SGK: sách giáo khoa SGV: sách giáo viên HHGT: hình học giải tích THCS: trung học cơ sở THPT: trung học phổ thông [X, tr.Y]: tài liệu tham khảo X, trang Y X/SBT/Y: bài tập X của SBT trang Y X/SGK/Y: bài tập X của SGK trangY 3 MỤC LỤC Trang LỜI CẢM ƠN ........................................................................................... 1 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT .............................................................. 2 MỤC LỤC ................................................................................................ 3 MỞ ĐẦU ................................................................................................. 5 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................... 5 2. Mục đích nghiên cứu .............................................................................................. 6 3. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn ................................................ 7 3.1. Phương pháp nghiên cứu: ............................................................................. 7 3.2. Cấu trúc của luận văn .................................................................................. 7 CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH 9 1. Hình vẽ trong dạy hình học .................................................................................... 9 1.1. Hình hình học và hình vẽ ............................................................................. 9 1.1.1. Hình hình học ........................................................................................ 9 1.1.2. Hình vẽ ................................................................................................ 10 1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu .............................................. 10 2. Hình học giải tích ................................................................................................. 13 CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ DẠY – HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH LỚP 10 .......................................................................... 16 A. Phân tích chương trình ......................................................................................... 16 4 B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10 ....................................................................... 17 I. Tìm hiểu SGV ................................................................................................ 17 II. Tìm hiểu SGK ............................................................................................... 20 1.Hình vẽ trong giới thiệu các khái niệm ...................................................... 20 2. Hình vẽ trong dạy - học các bài tập ........................................................... 26 CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM ............................................. 67 1. Mục đích ............................................................................................................... 67 2. Giới thiệu bài toán thực nghiệm. .......................................................................... 67 3.1. Các chiến lược ............................................................................................ 68 3.2. Phân tích các bài toán thực nghiệm ............................................................ 68 4. Phân tích a posteriori ............................................................................................ 80 4.1. Thống kê bài toán 1 ................................................................................... 80 4.2. Thống kê bài toán 2 .................................................................................... 81 4.3. Thống kê bài toán 3 .................................................................................... 84 4.4. Phân tích bài toán 4 .................................................................................... 86 KẾT LUẬN ............................................................................................ 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO .......................................................................... 92 PHỤ LỤC ……………………………………………………………………………96 5 MỞ ĐẦU 1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát Trong chương trình toán trung học ở Việt Nam hiện hành, các phương pháp để tiếp cận hình học đã giới thiệu đầy đủ. Ở cấp THCS, phương pháp tổng hợp là duy nhất. Đến cấp THPT, bên cạnh phương pháp tổng hợp (lớp 11 và 12) HS được giới thiệu thêm phương pháp vectơ (lớp 10) và phương pháp tọa độ (lớp 10, 12). - SGV HH10 có ghi nhận sau: ”Trong chương trình Hình học 10, HS làm quen với một phương pháp tư duy mới: tư duy hình học bằng những con số, tìm hiểu tính chất của các đường thẳng, đường cong, đường elip thông qua phương trình của chúng Việc đưa “vectơ và phương pháp tọa độ” vào chương trình Hình học lớp 10 giúp cho học sinh sớm tiếp cận với một phương pháp tư duy hiện đại mang tính khoa học cao, giúp cho HS có thêm những công cụ mới để suy luận và tư duy một cách chặt chẽ và chính xác, tránh được các hiểu lầm do trực giác mang tới”[19, tr 8] - Trong thực tế giảng dạy bài toán: “Cho tam giác ABC biết đỉnh B(4; − 1) , phương trình đường cao CH : −2 x + 3 y − 12 = 0 . Lập 0 và trung tuyến CK : 2 x + 3 y = phương trình các cạnh của tam giác ABC ” chúng tôi nhận thấy có hiện tượng sau: + Khi giải bài toán này, phần lớn HS đều có sử dụng đến hình vẽ. Khi được hỏi lí do tại sao lại dùng hình vẽ vào làm bài toán này, HS cho rằng chưa xác định được điểm đi qua cũng như vectơ pháp tuyến của các đường thẳng trong đề bài. Do đó, hình vẽ là cần thiết để biểu diễn các quan hệ mà từ đó ta chỉ ra được điểm đi qua và vectơ pháp tuyến. Chẳng hạn, khai thác giả thiết về đường trung tuyến CK, hình vẽ sẽ chỉ ra hai đặc điểm của điểm K: trung điểm của AB, giao điểm của AB và CK. Giải hệ phương trình gồm hai phương trình của hai đường thẳng CK và AB (vừa tìm ra). Khi 6 đó ta tìm được tọa độ của điểm K, rồi suy ra tọa độ của A. Khi đó, viết phương trình đường thẳng AC là viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và C (tìm được ban đầu). + Khi trao đổi với đồng nghiệp về việc hướng dẫn giảng dạy bài toán này cho HS chúng tôi ghi nhận được ý kiến là nên dùng hình hình vẽ để hướng dẫn HS. Theo họ, hình vẽ sẽ mang đến cho HS yếu tố trực quan dể tiếp thu kiến thức. Tính “đại số” trong hình học giải tích là mỗi đường gắn với một phương trình. Họ cũng khẳng định là hình vẽ cũng cần thiết trong dạy hình học giải tích đặc biệt là hình học giải tích phẳng (hình học giải tích lớp 10). Và thực tế là họ đã thành công khi gợi ý (nếu HS làm không được khi không dùng hình vẽ) cho HS dùng một hình vẽ để phân tích bài toán. Như vậy, ta thấy mục đích của chương trình HH10, đặc biệt phần phương pháp tọa độ, thể chế có đưa ra một phương pháp khác để nghiên cứu HH mà không phụ thuộc vào hình vẽ. Tuy nhiên trong quá trình dạy – học thực tế về nội dung này chúng tôi lại thấy sự xuất hiện của hình vẽ trong bài làm của HS, trong bài giảng của GV. Từ thực tế này làm nảy sinh một số câu hỏi: Hình vẽ là gì? Hình vẽ có vai trò như thế nào trong dạy và học hình học? Đặc trưng khoa học luận của hình học giải tích là gì? Hình vẽ có được thể chế đưa ra khi nghiên cứu hình học giải tích lớp 10 không? Nếu có, các hình vẽ được các tác giả SGK lựa chọn đưa ra trong tình huống nào? Mục đích của việc đưa ra các hình vẽ là gì? Trong quá trình đi tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên tạo điều kiện cho chúng tôi có một nghiên cứu “vai trò của hình vẽ trong hình học giải tích ở lớp 10” 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm câu trả lời cho những câu hỏi được nêu ra ở trên. Chúng tôi trình bày lại các câu hỏi nghiên cứu như sau: - Q1: Những kiểu nhiệm vụ nào của thể chế sẽ tạo điều kiện cho học sinh sử dụng hình vẽ trong hình học giải tích ? Khi đó hình vẽ được sử dụng với chức năng nào ? 7 Q2: Điều kiện ràng buộc của thể chế lên việc dạy – học hình học giải tích là gì? Cụ thể là vai trò của hình vẽ trong dạy – học hình học giải tích lớp 10. Các câu hỏi này sẽ được được đề cập đến trong thể chế dạy - học toán hình học giải tích lớp 10. Để trả lời các câu hỏi này, chúng tôi cần sử dụng lí thuyết nhân chủng học (mối quan hệ thể chế, quan hệ các nhân) làm lí thuyết tham chiếu. Bên cạnh đó, chúng tôi chọn thêm lí thuyết tình huống làm lí thuyết tham chiếu. 4. Phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn 4.1. Phương pháp nghiên cứu: Trong phạm vi lí thuyết tham chiếu đã lựa chọn, để trả lời các câu hỏi đã đề ra, chúng tôi sẽ tiến hành những nghiên cứu sau: - Tìm hiểu một vài đặc trưng khoa học luận của hình vẽ - Tổng hợp các công trình nghiên cứu về vai trò của hình vẽ trong nghiên cứu hình học - Tìm hiểu chương trình, SGK toán HH10 để làm rõ mối quan hệ thể chế đối với đối tượng hình vẽ - Xây dựng tình huống thực nghiệm cho phép trả lời cho các câu hỏi đã đặt ra hay để hợp thức giả thuyết nghiên cứu 4.2. Cấu trúc của luận văn - Mở đầu: chúng tôi trình bày vài ghi nhận ban đầu, mục đích của đề tài, khung lí thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn - Chương 1: chúng tôi trình bày về vai trò của hình vẽ trong dạy - học hình học. Bên cạnh đó, chúng tôi trình bày thêm một vài đặc trưng khoa hoc học luận của hình học giải tích 8 - Chương 2: chúng tôi tiến hành tìm hiểu chương trình và phân tích SGK HH10 để làm rõ mối quan hệ thể chế với hình vẽ trong hình học giải tích. Tổng hợp kết quả chương 1, chương 2 để đề xuất giả thuyết nghiên cứu - Chương 3: chúng tôi tiến hành một thực nghiệm: mục đích nhằm kiểm chứng tính hợp thức của các giả thuyết nghiên cứu - Kết luận: chúng tôi tóm tắt các kết quả đã đạt được trong chương 1, 2, 3 và nêu lên hướng mở ra từ luận văn này 9 CHƯƠNG 1: HÌNH VẼ TRONG DẠY HỌC HÌNH HỌC. HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mục đích của chương: Tổng hợp lại các công trình nghiên cứu về hình vẽ trong dạy – học hình học chúng tôi sẽ tóm tắt lại các vai trò của hình vẽ trong dạy – học hình học mà các công trình nghiên cứu trước đã chỉ ra. Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn có một nghiên cứu về hình học giải tích. Tài liệu mà chúng tôi sử dụng để tóm tắt - Phương pháp dạy học hình học ở trường THPT của PGS.TS Lê Thị Hoài Châu - Nghiên cứu didactique về hình vẽ trong dạy học hình học trường hợp: bước chuyển từ tiểu học sang trung học cơ sở của Trần Thị Kim Nhung (luận văn thạc sĩ) - Các chức năng của hình vẽ trong dạy học hình học không gian. Trường hợp: các bài toán dựng hình và mối quan hệ của giáo viên đối với những bài toán này của Abdelhamid Chaachoua, người dịch TS. Nguyễn Xuân Tú Huyên - Hình học và không gian, Đoàn Hữu Hải (bài giảng trong chương trình thạc sĩ didactic toán, ĐHSP TP. Hồ Chí Minh) 1. Hình vẽ trong dạy hình học 1.1. Hình hình học và hình vẽ 1.1.1. Hình hình học - Hình học là một khoa học về không gian, sinh ra từ việc giải quyết những vấn đề của không gian. Mọi khái niệm cơ sở của hình học – đường thẳng, sự song song, khoảng cách, góc, quan hệ vuông góc, … đều được hình thành từ những tình huống, những hiện tượng rất đa dạng của không gian vật lý. [4, tr203] 10 - Đối tượng nghiên cứu của hình học là các hình hình học. Chúng được mô tả qua các tiên đề, định nghĩa, tính chất. [4, tr.203] - Hình hình học là tập hợp các điểm khác rỗng của không gian. Hình hình học là một đối tượng lí tưởng, tất cả những hình vẽ cụ thể của nó có thể vẽ được chỉ là những phép biểu diễn không hoàn chỉnh. [3, tr.188] 1.1.2. Hình vẽ - Hình vẽ là một mô hình của đối tượng hình học, là hình biểu diễn phẳng của các hình hình học. Hình vẽ là hình được vẽ cụ thể trên một tờ giấy, là bản vẽ vật chất của các hình hình học, đối với các hình vẽ này các số đo giữ vị trí trung tâm. [15, tr.1] - Hình vẽ không phản ánh đúng những tính chất hình học vốn có đối với bài toán. Vị trí của hình vẽ trên tờ giấy là không thích đáng đối với bài toán hình học, hình vẽ chỉ là một vị trí cụ thể của một đối tượng hình học [15, tr.1] 1.2. Hình vẽ trong các công trình đã nghiên cứu - Hình vẽ - đối tượng vật chất: hình vẽ là đối tượng nghiên cứu, người học phải làm việc trên các hình vẽ. Ta xem hình vẽ thuộc về thế giới cảm nhận. Vai trò này thường xuất hiện ở giai đoạn dạy và học cấp tiểu học - Hình vẽ - mô hình: Hình vẽ dùng để biểu diễn cho một đối tượng tổng quát, trừu tượng. Ở đây hình vẽ được xem như mô hình của đối tượng hình học. + Trong lĩnh vực lý thuyết, hình vẽ được xem là mô hình của đối tượng hình học, hình vẽ cho phép nhận ra các tính chất của đối tượng hình học, trong trường hợp này hình vẽ gắn với những tính chất của một đối tượng hình học và biểu diễn cho một đối tượng trừu tượng, tổng quát + Trong lĩnh vực cảm nhận thế giới: hình vẽ được xem là mô hình của đối tượng vật chất, trong trường hợp này hình vẽ được sử dụng như một là mô hình của đối tượng vật chất để hình thành cho HS những tính chất của đối tượng hình học 11 * Trong dạy học hình học, hình vẽ giữ một vai trò nhất định “hình vẽ là những công cụ thích hợp để truyền đạt tri thức tại bậc tiểu học” [29] * Theo Trần Thị Kim Nhung hình vẽ có các vai trò sau: ” Hình vẽ tạo điều kiện cho HS nắm tình huống học tập, hiểu được khái niệm toán học trừu tượng, giúp khám phá, tìm ra đường lối trong quá trình giải các bài toán hình học, hình vẽ là công cụ thích hợp để truyền đạt các tri thức hình học” [26, tr.12] * Theo Bessot [29], hình vẽ có các vai trò sau: - Trong học tập“ Hình vẽ tạo điều kiện cho HS nắm bắt tình huống học tập một cách cụ thể, hầu như mang tính chất vật chất, như vậy ngay từ giai đoạn đầu tiếp cận với hình học, HS có thể vận dụng khả năng của mình thông qua hành động. HS có điều kiện học tập tích cực hơn thông qua việc sử dụng hình và thực hành về hình” - Trong giải toán:”phần thì chúng minh họa cho các tình huống học tập, phần khác chúng là điểm tựa trực giác trong quá trình nghiên cứu khi cho thấy rõ các quan hệ hay giả thuyết về quan hệ trên một đối tượng trông thấy được, trong khi chỉ phát ngôn thôi thì các quan hệ hay giả thuyết về quan hệ lại không được rõ ràng lắm” * Theo Duval, trong giai đoạn nghiên cứu, hình vẽ có chức năng phát hiện. Hình vẽ cho phép nhìn thấy và hiểu ngay vấn đề nêu trong bài toán, giúp cho việc tìm ra lời giải bài toán: Hình vẽ được xem như công cụ khám phá để giải toán, đặc biệt trong các bài toán chứng minh. “ Hình vẽ tạo điều kiện cho ta thấy ngay tổng thể tình huống. Hình vẽ là phương tiện trực tiếp để giúp ta khảo sát nhiều khía cạnh của vần đề, dự đoán kết quả của phương pháp sử dụng và chọn một lời giải” [29] * Abdelhamid Chaachoua [29] lại có những nghiên cứu về vai trò của hình vẽ trong dạy – học một bài toán hình học phẳng. Ở đây, hình vẽ có các chức năng sau: - Chức năng của hình vẽ trong đề bài toán: Thứ nhất là minh họa cho đề bài toán, điều này có ý nghĩa cho bài toán có giả thiết phức tạp, hay đề toán có nhiều giả thiết. Thứ hai là thể hiện giả thiết của bài toán 12 - Chức năng của hình vẽ trong giải bài toán: Dự đoán kết quả và tìm đường lối giải bài toán. Đây là chức năng đặc thù của giai đoạn phát hiện trong hoạt động giải toán và gọi là chức năng thực nghiệm. - Chức năng của hình vẽ trong lời giải của HS: + Minh họa các giai đoạn: trên hình vẽ, HS thực hiện các đường kẻ phụ, để lại dấu compa để chỉ em đã dựng đường trung trực như thế nào chẳng hạn, ghi số đo các cạnh, tô màu các phần trong hình …. + Hình vẽ trong lời giải toán: đối với một số dạng toán, vấn đề là thực hiện đường kẻ. Trong trường hợp này, hình vẽ là thực hiện một phần của lời giải. *Theo Parzysz [4, tr.205], thì lại có một nghiên cứu về vai trò của hình vẽ trong dạy - học hình học không gian. Tóm tắt, chứng tỏ, phỏng đoán là ba chức năng cơ bản của hình vẽ trong dạy –học hình học mà Parzysz đã đề cập đến. Tóm tắt: hình vẽ là một bản tóm tắt rõ ràng và S trực quan nhất cho một bài toán, nếu HS biết cách thể hiện. Nó bộc lộ hết những giả thiết, những mối liên hệ giữa các yếu tố, tạo điều kiện giúp HS giải toán một cách dễ dàng. K Cũng lưu ý, trong hình học phẳng, ta chỉ quan tâm đến hai đối tượng là “điểm” và “đường thẳng”, C A trong khi trong hình học không gian xuất hiện thêm một đối tượng thứ ba là “mặt phẳng”. Do đó, các mối H quan hệ trong hình vẽ của một hình không gian sẽ phức tạp hơn. Mặt khác, một đối tượng hình học trong không B Hình 1.1: Hình minh họa phản ví gian được chuyển sang hình vẽ bằng sự phiên dịch các tính chất hình học của nó sang các quan hệ trên hình. Việc phiên dịch này thực hiện qua các phép chiếu song song. Chính vì thế, hình vẽ chỉ giữ lại một số tính chất của đối tượng hình học ban đầu như 13 tính song song, tính thẳng hàng, các trọng tâm và tỉ lệ giữa các độ dài. Có thể thấy, trong hình học phẳng, ta luôn luôn vẽ được một hình chính xác với những mối liên hệ: thuộc, song song, vuông góc, bằng nhau,… Nhưng đối với hình học không gian, điều này không phải lúc nào cũng thực hiện được. Ví dụ, hai đường thẳng vuông góc nhau theo tính chất, nhưng trên hình vẽ có thể là không, hai đường thẳng chéo nhau trên thực tế, nhưng trên hình, ta lại thấy chúng cắt nhau,… Vì vậy, để thực hiện tốt chức năng tóm tắt của hình vẽ, HS cần phải có một số kĩ năng vẽ hình nhất định. Bên cạnh đó, việc sử dụng các phần mềm vẽ hình cũng là một cách giúp HS tìm được những hình vẽ rõ ràng, trực quan nhất có thể. Chứng tỏ: Trong một số trường hợp, hình vẽ có thể cung cấp cho ta các phản ví dụ để bác bỏ một mệnh đề nào đó. Ví dụ, ta có thể bác bỏ mệnh đề “trong không gian, đường thẳng vuông góc với một đường thẳng bất kì trong mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng ấy” bằng một hình vẽ. Đây là một mệnh đề mà HS hay nhầm lẫn (phải vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thì mệnh đề mới đúng). Nhìn vào hình vẽ 1.1, ta thấy KH ⊥ AB, AB ⊂ ( ABC ) nhưng KH không thể vuông góc mặt phẳng (ABC). Phỏng đoán: Hình vẽ đúng, trực quan giúp HS phát hiện ra các tính chất của hình và hình thành những phán đoán hoặc tìm hướng giải quyết bài toán. 2. Hình học giải tích - Sự phát triển của hình học đòi hỏi phải xét những bài toán liên quan đến các đường cong, mặt cong phức tạp. Chính vì thế mà việc nghiên cứu hình học bằng phương pháp tổng hợp bộc lộ những hạn chế, do sử dụng hình vẽ như một công cụ. Điều này khiến các nhà hình học mong muốn tìm kiếm một lời giải mang tính tổng quát mà không phụ thuộc vào hình vẽ. - Và sự ra đời của hình học giải tích đã đáp ứng được các yêu cầu đó. Hình học giải tích – sự kết hợp giữa hình học và đại số. Có hai hướng hiểu cho sự kết hợp này là sự sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học, hay dùng hình học để giải thích đại số. 14 Descartes và Fermat đều thiên về cách sử dụng đại số vào nghiên cứu hình học vì hai ông cho rằng phương pháp đại số hiệu quả hơn, tổng quát hơn phương pháp hình học và mang lại khả năng giải mọi bài toán hình học. Tư tưởng cơ bản của phương pháp do Descartes và Fermat xây dựng là biểu diễn các quan hệ hình học bằng những phương trình đại số thông qua trung gian là hệ trục tọa độ. Ta thay thế các đối tượng và các quan hệ hình học thành những đối tượng và quan hệ đại số, rồi sau đó “dịch” các tính chất hình học thành tính chất đại số, quy bài toán hình học về bài toán đại số. Do đó việc giải bài toán hình học được dẫn đến việc giải một hay nhiều phương trình. Tính toán trên các số trở thành “hạt nhân” của lời giải bài toán hình học. Phương pháp mới này (phương pháp giải tích) xác lập mối quan hệ giữa hình học và đại số, đem lại khả năng khái quát cho lời giải của bài toán hình học. Theo Descartes “đại số có thể nghiên cứu những phương trình thuộc mọi dạng mà không cần quan tâm đến nghĩa hình học của nó”. Trong hình học giải tích, hình học được nghiên cứu bằng công cụ “véctơ –toạ độ” – nghiên cứu hình học với công cụ vectơ được gắn vào hệ tọa độ. Nó cho phép thiết lập mối quan hệ giữa phương pháp giải tích và phương pháp vectơ. “Với phương pháp vectơ người ta có thể cộng, trừ, nhân trực tiếp trên các đối tượng hình học không thoát ly khỏi phạm vi hình học và vì thế vừa tận dụng được công cụ đại số, vừa khai thác được phương diện trực giác trong quá trình tìm tòi lời giải cho bài toán” [4, tr.59]. Đặc trưng của phương pháp giải tích là lấy hệ trục tọa độ làm trung gian để chuyển bài toán hình học thành bài toán đại số. Như vậy, với công cụ véctơ trong phương pháp của mình, hình học giải tích sẽ không thoát ly hoàn toàn với hình vẽ. Với những ưu điểm là không lệ thuộc vào hình vẽ, đem lại khả năng khái quát cho lời giải. Nhưng về phương diện sư phạm ta cần quan tâm tổ chức dạy - học như thế nào để HS tiếp cận nhanh nhất và tốt nhất. Bởi lẽ, vấn đề nghiên cứu chính của hình học là các hình hình học. Và các hình hình học này được biểu diễn bằng các hình vẽ. Chúng đóng vai trò rất quan trọng trong nghiên cứu hình học vì đây là điểm tựa trực giác cho việc tìm tòi lời giải cho bài toán. Thế nhưng trong hình học giải tích thì lời giải mang tình tổng quát vì nó không lệ thuộc vào hình vẽ. Khai thác yếu tố trực 15 giác cho HS là vần đề cần thiết trong dạy – học hình học giải tích. Làm như vậy để giúp HS vượt qua những khó khăn giữa một bên là ngôn ngữ hình thức với một bên là biểu tượng không gian, giúp HS chú ý đến sự kết hợp giữa ngôn ngữ hình thức và nội dung. Nếu chỉ chú ý vào khai thác một trong hai mặt này thì sẽ gặp những khó khăn nhất định trong việc giải bài toán hình học giải tích. Nếu không chú trọng các biểu thức hình thức thì HS thiếu kiến thức, kĩ năng giải bài toán bằng phương pháp tọa độ. Nhưng nếu không chú ý mặt ngữ nghĩa của nội dung thì họ sẽ gặp khó khăn trong việc dịch bài toán sang ngôn ngữ hình thức đại số hóa. Kết luận - Hình vẽ là một đối tượng cần thiết trong quá trình dạy – học hình học ở trường phổ thông. Hình vẽ góp phần quan trọng trong việc dạy – học về lí thuyết và bài tập. Trong lĩnh vực lí thuyết thì hình vẽ có vai trò là minh họa cho các khái niệm. Trong việc dạy các bài tập thì hình vẽ sẽ chỉ ra được giả thiết cho bài toán, chỉ ra tất cả những cái mà đề bài cho và cũng chỉ ra những dự đoán về kết quả của bài toán. Trên cơ sở này, hình vẽ sẽ chỉ ra đường lối đi tìm lời giải cho bài toán. Nhờ trực giác về hình vẽ của bài toán ta đang đề cập mà phương hướng đi tìm lời giải được vạch ra. Hình vẽ cho ta trực giác ban đầu để đi tìm lời giải cho bài toán. Với cách tiếp cận này ta thấy hình vẽ là cần thiết cho một bài toán hình học. Hình vẽ là yếu tố quan trọng trong việc đưa ra lời giải một bài toán hình học - Hình học giải tích là một phương pháp nghiên cứu của hình học với đối tượng nghiên cứu cũng là các đường (đường thẳng, đường tròn,…). Các đường này được nghiên cứu một cách tổng quát thông qua phương trình của các đường. Tuy nhiên khi nghiên cứu hình học giải tích ta không thoát ly hoàn toàn khỏi hình vẽ Như vậy xét về mặt sư phạm và tâm lí lứa tuổi của HS, bên cạnh cung cấp cho HS một phương pháp mới nghiên cứu hình học thì vấn đề cần quan tâm là HS sẽ tiếp cận các kiến thức đó như thế nào? Các hình vẽ có được thể chế khai thác trong việc dạy – học hình học giải tích không? Các hình vẽ có phát huy được vai trò của mình trong việc dạy – học hình học giải tích không? 16 CHƯƠNG II: VAI TRÒ CỦA HÌNH VẼ TRONG THỂ CHẾ DẠY – HỌC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Ở LỚP 10 Vần đề nghiên cứu: Ở cấp độ lớp 10, việc đưa vào lần đầu tiên “ phương pháp nghiên cứu hình học thông qua đại số”. Nghiên cứu những đối tượng hình học và các quan hệ của chúng mà HS đã được học trong hình học: đường thẳng, đường tròn, …, tính song song, tính vuông góc,… HS đã quen làm việc trên các hình vẽ. Bây giờ, người ta biểu diễn đường thẳng bằng một phương trình, biểu diễn quan hệ vuông góc bằng một đẳng thức vectơ,… Trong những tình huống mới này, đối tượng hình vẽ có còn xuất hiện không? SGK khai thác hình vẽ trong việc trình bày khái niệm mới, quan hệ mới như thế nào? Khai thác hình vẽ trong việc giải quyết các kiểu nhiệm vụ ra sao? Hiệu ứng của việc khai thác này là gì? Để làm sáng tỏ các vấn đề trên, chúng tôi dùng các tài liệu sau để phân tích: - Chương trình môn toán trung học năm 2006 - SGK Toán hình học lớp 10 - SBT Toán hình học lớp 10 - SGV Toán hình học lớp 10 A. Phân tích chương trình Qua tìm hiểu “chương trình giáo dục phổ thông môn toán”, nhận thấy: Đối tượng hình vẽ không được chương trình yêu cầu trong việc tiếp thu các kiến thức về phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn, phương trình đường elip. Chúng tôi sẽ tiếp tục nghiên cứu xem việc triển khai những yêu cầu mà chương trình qui định như thế nào? Yếu tố hình vẽ có được các tác giả SGK quan tâm không? Nếu được quan tâm thì nó được thể hiện cụ thể như thế nào? 17 B. Phân tích SGK, SBT, SGV HH10 I. Phân tích SGV * Theo SGV, phương pháp tọa độ được đưa vào giảng dạy nhằm mục tiêu: - Hiểu: đường thẳng, đường tròn, đường elip trong mặt phẳng - Biết: + Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng. Lập phương trình đường tròn khi biết các điều kiện xác định của nó. Nắm được định nghĩa và lập được phương trình chính tắc của elip. + Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng bằng phương trình của chúng. + Tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng. + Xác định được tâm và bán kính khi biết phương trình đường tròn. Xác định được các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của nó. + Lập được phương trình tiếp tuyến của đường tròn khi biết tiếp điểm. * SGV có đưa vào các hình vẽ trong hướng dẫn giảng dạy các khái niệm: liên hệ giữa hệ số góc với vectơ chỉ phương, các trường hợp đặc biệt của đường thẳng, hình dạng của elip. Về bài tập, SGV có đưa ra các hình vẽ trong quá trình gợi ý giải các bài tập sau: trong ôn tập chương III (bài 1; 4; 5; 7; 9; 10); ôn tập cuối năm (bài 6; 7; 9). Bên cạnh đó SGV còn đưa ra thêm hình vẽ trong phần “kiến thức bổ sung” về: phương trình đường phân giác của các góc hợp bởi hai đường thẳng, phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đường tròn. Với cách đưa vào các hình vẽ trong HHGT10 của SGV có thể hiểu: - Hình vẽ được thể chế chú ý khai thác trong dạy – học cả khái niệm và bài tập. Mặc dù không gợi ý đưa vào trong mọi tình huống, mọi bài tập. Điều này được hiểu, có thể là do khuôn khổ của một chương trình dạy học. - Yếu tố trực quan của hình vẽ vẫn còn giá trị trong dạy – học HHGT10. Chẳng hạn: 18 + Khi hướng dẫn dạy các dạng đặc biệt của đường thẳng, SGV có gợi ý như sau “hoạt động 7 giúp HS hiểu một cách trực quan các dạng phương trình đường thẳng. Các đường thẳng d1 , d 2 , d 3 , d 4 được thể hiện trên h.3.5”. Như vậy tính trực quan của hình vẽ vẫn còn được thể chế chú ý khai thác trong HHGT10 + Khi gợi ý về “phương trình đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng” (trong phần bổ sung kiến thức) SGV cũng có đưa ra hình vẽ. Hình vẽ tạo thuận lợi cho việc hình thành công thức. Nếu không có hình vẽ HS gặp một số khó khăn sau: không định hướng được cách giải (do không biết điểm đi qua và vectơ pháp tuyến), có thể không trả lời đầy đủ các kết quả của bài toán (bài toán luôn có hai đường thẳng cần tìm, đó là hai đường thẳng vuông góc với nhau). - Các bài tập mà SGV có đưa ra hình vẽ một cách tường minh gợi ý trong hướng dẫn giảng dạy là các bài tập ôn tập chương III. Đây là các bài tập mang tính