Tài liệu Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

MỤC LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG ...............................................................................................3 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT ................................................................3 LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................................4 LỜI CAM ĐOAN.............................................................................................................5 MỞ ĐẦU ..........................................................................................................................6 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN ...................................11 1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm..................................11 1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm...........................................................11 1.1.2. Quá trình ñiểm................................................................................................12 1.1.3. Phân loại bảo hiểm .........................................................................................14 1.2. Quá trình Markov..................................................................................................17 1.2.1. Định nghĩa......................................................................................................17 1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất..................................................................19 1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc..............................................................22 1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo ñược ...........................................................22 1.3.2. Thời ñiểm Markov và thời ñiểm dừng.............................................................23 1.3.3. Kỳ vọng có ñiều kiện......................................................................................24 1.3.4. Martingale [6].................................................................................................25 1.3.5. Định lý thời ñiểm dừng chọn ñối với Martingale trên......................................25 KẾT LUẬN CHƯƠNG 1.............................................................................................27 CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV.............................28 2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp ñệ quy .....................................................................................29 2.1.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất............................................................................................29 2.1.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất............................................................................................42 2.1.3. Kết quả ước lượng số......................................................................................55 2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất bằng phương pháp Martingale...............................................................................59 2.2.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất............................................................................................59 2.2.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất............................................................................................64 KẾT LUẬN CHƯƠNG 2.............................................................................................70 CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM..............................................................................................................................71 3.1. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov ..................................................................................72 3.2. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối ................................................................87 3.3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối...........................................................................90 3.4. Kết quả thực nghiệm số .....................................................................................93 KẾT LUẬN CHƯƠNG 3.............................................................................................95 KẾT LUẬN CHUNG ...................................................................................................101 1 PHỤ LỤC .....................................................................................................................103 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ...................................................105 TÀI LIỆU THAM KHẢO ...........................................................................................106 2 DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1. Ước lượng chặn trên của xác suất thiệt hại ψ (1) (u , xi , yr ) Bảng 3.1. Xác suất thiệt hại ψ t(1) (u) của mô hình (3.2) Bảng 3.2. Xác suất thiệt hại ψ t(2) (u) của mô hình (3.3) DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT hcc: hầu chắc chắn hcc A = B ⇔ P ( ( A \ B ) ∪ ( B \ A) ) = 0 A ≤ B(hcc) ⇔ P ( A > B ) = 0 3 LỜI CẢM ƠN Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành ñến tập thể cán bộ hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TS Bùi Khởi Đàm 2. TS Nguyễn Hữu Tiến Đặc biệt PGS. TS Bùi Khởi Đàm, ñã giao ñề tài, tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả luận án chân thành cảm ơn lãnh ñạo, các thầy, cô giáo và cán bộ Viện Toán ứng dụng và Tin học, Viện Sau ñại học – Trường Đại học Bách khoa Hà nội ñã làm hết sức trách nhiệm, nhiệt tình giúp ñỡ và tạo mọi ñiều kiện thuận lợi cho chúng tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án. Tác giả luận án chân thành cảm ơn các ñồng nghiệp ở Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương và Nhà trường ñã tạo ñiều kiện giúp ñỡ tôi làm việc và học tập. Cuối cùng, tác giả luận án xin dành lời cảm ơn ñặc biệt tới gia ñình, người thân và bạn bè, những người ñã thường xuyên giúp ñỡ, chia sẻ ñộng viên và là chỗ dựa ñể tôi có thể hoàn thành luận án này! Phùng Duy Quang 4 LỜI CAM ĐOAN Tác giả luận án xin cam ñoan ñây là công trình nghiên cứu của tác giả. Các kết quả nêu trong luận án này là trung thực và chưa từng ñược các tác giả khác công bố trong bất kỳ công trình nào. Xác nhận của Tập thể hướng dẫn Tác giả luận án Phùng Duy Quang 5 MỞ ĐẦU Trong những năm gần ñây các công ty bảo hiểm ñược mở ra ở nhiều nơi nhằm mục ñích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt ñộng bảo hiểm cũng là một hoạt ñộng ñầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa ñựng sự rủi ro. Việc ñánh giá mức ñộ rủi ro và thời ñiểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết ñòi hỏi cần ñược nghiên cứu và giải quyết ñể hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) ñã ñược nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần ñây, ñặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn ñề trọng tâm ñược nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy ñiển), công trình này ñã ñưa ñến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau ñó, Carmer, H. và trường phái Stockholm ñã phát triển các ý tưởng của Lundberg và ñóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả ñó Cramer ñã ñóng góp một cách ñáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản ñầu tiên trong số những ñóng góp ñó là mô hình Cramer – Lundberg. Trong mô hình rủi ro cổ ñiển, bài toán thường ñược nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp, ñều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn ñề này như: Asmussen, S. [10], Buhlma, H. [13], Embrechts, P. [26], Kluppelberg, C. [36], Grandell, J. [30], Hipp, C. [32], Schmidli, H. [56], Musiela, M. [42], Nyrhinen, H. [44], Paulsel, J. [46], 6 Schmidt, K. D. [55], … Các công trình trên ñều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ. Bên cạnh ñó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale ñể chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác ñộng của yếu tố lãi suất như: Cai, J .[14], [15], Cai J. and Dickson, D. C. M. [17], Gaier, J. [29], Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [59], Tang, Q. [60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67]…Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như ñối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên ñòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do ñó, ñể phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu ñã và ñang ñược nhiều nhà toán học quan tâm, ñó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. [7], Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller, A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], … Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] ñã xây dựng ñược các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc. Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại ñối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình ñã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre [18], Rullière, D. and Loisel, St. [54], De Vylder, F. E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M. J. [23], [24], Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. [34],[35], Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. [49]. Công trình của Hong, N.T.T. [33] ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác t t i =1 i =1 xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: U t = u + ∑ X i − ∑ Yi , 7 với dãy tiền thu bảo hiểm là { X i } , dãy tiền chi trả bảo hiểm {Yi } , thời gian t nhận giá trị nguyên dương. Với những lý do trên, chúng tôi xác ñịnh ñối tượng nghiên cứu của luận án là một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời rạc có tác ñộng của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). Luận án ñã thu ñược các kết quả mới sau ñây: a. Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất, chúng tôi sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác ñộng của lãi suất, mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. [33], luận án ñã xây dựng ñược công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng ñược góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm. Nội dung của luận án gồm 3 chương. 8 Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov Trong chương này, chúng tôi ñã sử dụng phương pháp ñệ quy và phương pháp Martingale ñể xây dựng ñược các bất ñẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại ñối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối. Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng [33] cho mô hình bảo hiểm có tác ñộng của lãi suất, luận án ñã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác ñộng của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại ñược xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov. Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược báo cáo tại - Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội. - Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014). - Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam 9 Các kết quả chủ yếu của luận án ñã ñược ñăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). 10 CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale. 1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm Giả sử một công ty bảo hiểm phát hành một loại chứng từ bảo hiểm về một dịch vụ tài chính nào ñó. Khách hàng là người mua chứng từ ñó. Công ty bảo hiểm với số vốn ban ñầu là u > 0 , thu ñược của khách hàng một khoản tiền mua bảo hiểm với phí suất c > 0 . Tại mỗi thời ñiểm t , công ty phải trả một số tiền bảo hiểm tổng cộng là S (t ) cho các khách hàng có nhu cầu ñòi trả bảo hiểm. Quỹ vốn của công ty bảo hiểm ñược xác ñịnh bởi U (t ) = u + ct − S (t ). (1.1) Quỹ vốn phải dương thì công ty mới có lãi, ngược lại nếu U (t ) < 0 thì có sự cố “thiệt hại”. Thông thường ñối với mô hình bài toán thiệt hại, người ta thường có các giả thiết sau ñây: A. Dãy tiền chi trả {Yi }i ≥1 là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối, kỳ vọng chung hữu hạn là µ . B. Khoảng thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp {ti }i ≥1 cũng là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối G , kỳ vọng hữu hạn chung và ñộc lập với dãy {Yi }i≥1 . C. Số các yêu cầu ñòi trả N (t ) trong khoảng thời gian [ 0,t ] ñược ñịnh n nghĩa: N (t ) = sup {n ≥ 1, Tn ≤ t} , t ≥ 0 và Tn = ∑ ti . i =1 với quy ước supØ = 0. Khi ñó 11 N (t ) S (t ) = ∑ Yi . (1.2) i =1 Xác suất thiệt hại ñến thời gian hữu hạn T hay vô hạn ñược xác ñịnh tương ứng như sau (a) Xác suất thiệt hại ñến thời gian hữu hạn T ký hiệu là ψ (u, T ) ñược ñịnh nghĩa bởi ψ (u, T ) = P {∃t ≤ T :U (t ) < 0} , (1.3) trong ñó u là vốn ban ñầu,T là mốc thời gian xác ñịnh cho trước. (b) Xác suất thiệt hại trong thời gian vô hạn ký hiệu là ψ (u ) ñược ñịnh nghĩa bởi ψ (u ) = ψ (u , ∞) = lim ψ (u , T ) . T →∞ (c) Thời ñiểm thiệt hạiτ (T ) là một thời ñiểm dừng ngẫu nhiên ñược ñịnh nghĩa bởi τ (T ) = inf {t : 0 ≤ t ≤ T ,U (t ) < 0} . (1.4) Quy ước: infØ= ∞. 1.1.2. Quá trình ñiểm Định nghĩa 1.1. [5] Quá trình ngẫu nhiên { N( t ),t ≥ 0} ñược gọi là quá trình ñiểm nếu N( t ) biểu thị tổng số lần một biến cố nào ñó xảy ra cho ñến thời ñiểm t . Vậy, quá trình ñiểm N( t ) là quá trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục, lấy giá trị nguyên dương và có bước nhảy tại các thời ñiểm ngẫu nhiên To , T1 ,..., Tn ,... sao cho To = 0, 0 ≤ T1 < T2 < ... và lim Tn = +∞. n →∞ Khi ñó, có thể viết n khi t ∈ [Tn , Tn+1 ) , n ≥ 0 Nt =  +∞ khi t = +∞ hoặc +∞ N t = ∑ n.1[Tn ,Tn +1 ) , n =1 12 trong ñó 1[Tn ,Tn +1 ) là hàm chỉ tiêu của tập [Tn , Tn +1 ) . Sau ñây, chúng ta xét một vài quá trình ñiểm phổ biến nhất. 1.1.2.1. Quá trình Poisson thuần nhất Quá trình ñiểm của dòng yêu cầu phổ biến nhất là quá trình Poisson thuần nhất. Khi ñó các yêu cầu tới theo những thời ñiểm tuân theo quy luật Poisson. Định nghĩa 1.2.[5] Quá trình ngẫu nhiên liên tục { N( t ),t ≥ 0} là quá trình Poisson cường ñộ λ > 0 nếu thỏa mãn: i) N (0) = 0 , ii) { N( t ),t ≥ 0} có số gia ñộc lập, ii) Số biến cố xảy ra trong bất kỳ khoảng thời gian nào có ñộ dài t là một biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson với trung bình λ t (λ > 0) . Điều này có nghĩa là, với mọi s, t ≥ 0 ta có P { N t + s − N s = n} = e − λt (λ t ) n ; n = 0,1, 2,... n! Từ ñó, ta có E ( N t ) = λt. 1.1.2.2. Quá trình Poisson không thuần nhất Định nghĩa 1.3.[5] Quá trình Poisson không thuần nhất là quá trình Poisson với cường ñộ λ( t ) , là hàm phụ thuộc thời gian. Trường hợp ñặc biệt, nếu λ( t ) = λ là hằng số thì quá trình Poison không thuần nhất sẽ trở thành quá trình Poisson thuần nhất. 1.1.2.3. Quá trình Poisson phức hợp Định nghĩa 1.4.[5] Cho quá trình Poisson N( t ) với cường ñộ λ > 0 . Giả sử Y1 ,Y2 ,...là một dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập, cùng phân phối và ñộc lập với quá trình N( t ) . Khi ñó, quá trình ngẫu nhiên Z( t ) ñịnh nghĩa bởi N( t ) Z( t ) = Y1 + Y2 + ... + YN ( t ) = ∑Y k k =1 13 ñược gọi là quá trình Poisson phức hợp. Có hai cách biểu diễn quá trình Poisson phức hợp. Ngoài cách biểu diễn như trên, quá trình Z( t ) còn có thể ñược biểu diễn bởi ∞ Z( t ) = ∑ Yk 1[τ k 0. Người ta mô tả các biến cố bảo hiểm phải bồi thường lớn (loại ñặc biệt và tai họa) bởi các phân phối ñuôi nặng, chẳng hạn F( y ) = 1 − F( y ) ~ y −α ,α > 0 (các phân phối Pareto). 1.1.4. Một số mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên ñộc lập 1.1.4.1. Mô hình ñổi mới và mô hình Cramer – Lundberg Xét mô hình bảo hiểm (1.1) với các giả thiết sau: A1. Dãy khoảng thời gian giữa hai lần ñòi trả liên tiếp {ti }i ≥1 là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối với kỳ vọng hữu hạn chung; 14 B1. Dãy tiền chi trả {Yi }i ≥1 là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối với hàm phân phối xác suất F( y ) = P( Y1 < y ) sao cho F( 0 ) = 0 và kỳ vọng chung hữu hạn là µ ; C1. Hai dãy biến ngẫu nhiên {ti }i ≥1 và {Yi }i ≥1 là ñộc lập với nhau. Khi ñó, mô hình (1.1) ñược gọi là mô hình ñổi mới. Đối với mô hình này chúng ta thu ñược kết quả E (U( t )) = u + ct − µ E ( N( t )) . (1.5) Nếu giả thiết A1 ñược thay bởi dãy biến ngẫu nhiên khoảng thời gian giữa hai lần ñòi trả {ti }i ≥1 ñược giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập, cùng phân phối mũ với kỳ vọng chung hữu hạn E( t1 ) = 1 λ , thì mô hình này ñược gọi là mô hình Cramer – Lundberg, và khi ñó E (U( t )) = u + ct − λµ E ( N( t )) . (1.6) Đối với mô hình Cramer – Lundberg, chúng ta có kết quả nổi tiếng về ước lượng xác suất thiệt hại. Định lý 1.1. (Định lý Cramer – Lundberg, xem [54]) Giả sử các giả thiết của mô hình Cramer – Lundberg ñược thỏa mãn. Khi ñó, tồn tại số r = R > 0 thỏa mãn phương trình λ +∞ c ∫e rx ( 1 − F( x ))dx = 1, 0 và các xác suất thiệt hại ñến thời gian hữu hạn T cùng xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn ñược ước lượng tương ứng như sau và ψ ( u,T ) ≤ e− Ru , (1.7) ψ ( u ) = lim ψ ( u,T ) ≤ e− Ru . (1.8) T →∞ 1.1.4.2. Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc Trong mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc, ở mỗi thời kỳ dãy tiền thu bảo hiểm { X n }n≥1 và dãy tiền chi trả bảo hiểm {Yn }n≥1 ñược giả thiết là các dãy biến ngẫu 15 nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối và hai dãy biến ngẫu nhiên này là ñộc lập với nhau. Khi ñó, vốn của công ty bảo hiểm ở thời kỳ thứ t là biến ngẫu nhiên sau t t k =1 k =1 U t = u + ∑ X k − ∑ Yk , (1.9) trong ñó, U o = u > 0 , u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm. Ta ký hiệu t t k =1 k =1 St = ∑ Yk − ∑ X k . Khi ñó, xác suất thiệt hại ñến thời kỳ t ñược ñịnh nghĩa bởi  t     k =1  t ψ t ( u ) = P ∪ (U k < 0 ) = P ∪ ( S k > u )  k =1  và xác suất thiệt hại với thời gian vô hạn là ∞  ∞   t =1   t =1  ψ ( u ) = limψ t ( u ) = P ∪ (U t < 0 ) = P ∪ ( St > u ) . t →∞ (1.10) Khi ñó, ta có kết quả sau Định lý 1.2. (Định lý 3.1, xem [64]) Giả sử tồn tại số R > 0 thỏa mãn ( ) E e R( Y1 − X1 ) = 1. Khi ñó, xác suất thiệt hại (1.10) thỏa mãn bất ñẳng thức Lundberg ψ ( u ) ≤ e − Ru . 1.1.4.3. Mô hình bảo hiểm với thời gian rời rạc có tác ñộng của lãi suất Xét mô hình bảo hiểm tổng quát với thời gian rời rạc có tác ñộng của lãi suất, ở mỗi thời kỳ dãy tiền thu bảo hiểm X = { X i }i ≥1 , dãy tiền chi trả bảo hiểm Y = {Y j } j ≥1 , dãy lãi suất I = {I k }k ≥1 ñược giả thiết là các dãy biến ngẫu nhiên không âm, ñộc lập cùng phân phối và ba dãy biến ngẫu nhiên này là ñộc lập với nhau. Khi ñó, vốn của công ty bảo hiểm ở thời kỳ thứ t là biến ngẫu nhiên ñược xác ñịnh trong hai trường hợp sau 16 - Trường hợp 1: ở mỗi thời kỳ t ( t ≥ 1 ), vốn của kỳ trước ñược ñem ñầu tư với lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên I . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau U t = U t −1( 1 + I t ) + X t − Yt ,t = 1, 2 ,..., (1.11) U o = u > 0. - Trường hợp 2: ở mỗi thời kỳ t ( t ≥ 1 ), không những vốn của kỳ trước mà cả tiền thu bảo hiểm ở kỳ hiện tại cũng ñược tính lãi suất là dãy I . Khi ñó, vốn ở thời kỳ t ñược xác ñịnh như sau U t = (U t −1 + X t )( 1 + I t ) − Yt ,t = 1, 2 ,..., (1.12) U o = u > 0. với u là vốn ban ñầu của công ty bảo hiểm. Khi ñó, xác suất thiệt hại ñến thời kỳ t ñược ñịnh nghĩa bởi  t  Ψ t ( u ) = P ∪ (U k < 0 ) ,  k =1 (1.13)  và xác suất thiệt hại (với thời gian vô hạn) là ∞   t =1  Ψ ( u ) = limΨ t ( u ) = P ∪ (U t < 0 ) . t →∞ (1.14) Bài toán ước lượng xác suất thiệt hại ñã ñược Sundt, B. và Teugels, T.L. [57], [58] nghiên cứu cho trường hợp dãy lãi suất là dãy hằng số trong mô hình rủi ro Poisson phức hợp. Chủ ñề này ñược tiếp tục nghiên cứu trong các mô hình rủi ro, bởi nhiều tác giả như Asmussen, S. [10], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], ñã xét mô hình (1.11) và (1.12) trong trường hợp ñặc biệt khi dãy lãi suất { I n }n≥1 là các hằng số. Ngoài ra, Cai J. [14], [15], Xu, L. và Wang, R. [64] cũng ñã xét mô hình (1.11) và (1.12) khi { I n }n≥1 là xích Markov và dãy { X i }i ≥1 , {Y j } là các dãy biến ngẫu nhiên j ≥1 ñộc lập hoặc dãy tự hồi quy cấp 1. 1.2. Quá trình Markov 1.2.1. Định nghĩa Giả sử ( Ω ,A ,P) là không gian xác suất, (E, B) là không gian ño sao cho tất cả các tập gồm một ñiểm là ño ñược (tức là {e} ∈ B). Giả sử X = { X t , t ∈ T } với 17 T ⊂ R là quá trình ngẫu nhiên nhận giá trị trong E (E ñược gọi là không gian trạng thái của X t ) tức là với mỗi t ∈ T , X t : Ω → E là ánh xạ ño ñược nếu X t−1 (C ) ∈ A, ∀C ∈ B. Giả sử trước thời ñiểm s , X ở trạng thái nào ñó, còn ở thời ñiểm s , X ở trạng thái i . Ta cần biết tại thời ñiểm t trong tương lai ( t > s ) , X ở trạng thái j với xác suất là bao nhiêu? Nếu xác suất này chỉ phụ thuộc s, t , i, j thì ñiều này có nghĩa là: sự tiến triển của X trong tương lai chỉ phụ thuộc vào hiện tại và ñộc lập với quá khứ hay nói một cách khác khi ñã biết hiện tại thì tương lai và quá khứ của quá trình X ñộc lập với nhau. Về phương diện xác suất, ta phải dùng xác suất có ñiều kiện ñể diễn tả tính Markov. Cụ thể là, nếu s là thời ñiểm hiện tại thì X s = x là trạng thái hiện tại, {X q , q < s} là quá khứ, { X t , s < t} là tương lai. Khi ñó tính Markov ñược ñịnh nghĩa như sau Định nghĩa 1.5 [6] Quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } ñược gọi là quá trình có tính Markov nếu P ( A1 A2 X s ) = P ( A1 X s ) .P ( A2 X s ) , trong ñó A1 là biến cố thuộc về tương lai, tức là biến cố thuộc vào σ − trường sinh bởi { X t , s < t} , A2 là biến cố thuộc về quá khứ, tức là biến cố thuộc vào σ − trường sinh bởi { X q , q < s} . Khi ñó, quá trình ngẫu nhiên X = { X t , t ∈ T } ñược gọi là quá trình Markov. • Tùy theo tập T là rời rạc hay liên tục ta có khái niệm quá trình Markov với thời gian rời rạc hay liên tục. Đặc biệt, một quá trình Markov với thời gian rời rạc còn ñược gọi là xích Markov. • Để ñơn giản tính Markov có thể ñược hiểu như sau 18 Quá trình X = { X t , t ∈ T } với không gian trạng thái E có tính Markov nếu { } { } P X tn +1 = j X to = io ,..., X tn −1 = in−1 , X tn = i = P X tn +1 = j X tn = i với bất kỳ t0 < t1 < t2 < ⋯ < tn < tn +1 và i0 ,…, in −1 , i, j ∈ E. Ta xem tn là hiện tại, tn +1 là tương lai, ( t0 , t1 ,… , tn−1 ) là quá khứ. Nếu ký hiệu p ( s, i, t , j ) = P { X t = j X s = i} ( s < t ) thì ñây là xác suất có ñiều kiện ñể quá trình tại thời ñiểm s ở trạng thái i , ñến thời ñiểm t chuyển sang trạng thái j , vì thế ta gọi p ( s, i, t , j ) là xác suất chuyển trạng thái của quá trình ngẫu nhiên X . Định nghĩa 1.6.[6] Quá trình Markov X = { X t , t ∈ T } có xác suất chuyển chỉ phụ thuộc vào (t − s ) , tức là: p ( s, i, t , j ) = p ( s + h, i, t + h, j ) ñược gọi là quá trình Markov là thuần nhất theo thời gian. 1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất Giả sử ( X n , n = 0,1, 2,…) là xích Markov rời rạc và thuần nhất, tức là X n : Ω → E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong tập ñếm ñược E và nó là quá trình Markov thuần nhất theo thời gian. • Ma trận xác suất chuyển: Đặt pij = P { X n +1 = j X n = i} = P { X n +1 = j X 0 = i0 ,… , X n−1 = in −1 , X n = i} pij là xác suất có ñiều kiện ñể quá trình tại thời ñiểm n (hiện tại) ở trạng thái i chuyển sang trạng thái j tại thời ñiểm n + 1 (tương lai), pij không phụ thuộc vào n (do tính thuần nhất). Đặt P = ( pij ) thì ma trận P = ( pij ) ñược gọi là ma trận xác suất chuyển sau một bước. Đặt các biến cố A = ( X n+1 = j ) , B = ( X n = i ) , C = ( X 0 = i0 ,… , X n−1 = in −1 ) 19 thì tính Markov có nghĩa là: P ( A B ) = P ( A BC ) . Từ ñó suy ra P ( AC B ) = P ( ABC ) P ( BC ) .P ( A BC ) P ( B ) .P ( C B ) .P ( A B ) = = P(B) P(B) P(B) = P (C B ) P ( A B ). Tức là quá khứ và tương lai là ñộc lập với nhau khi cho trước hiện tại. Chú ý rằng: từ công thức xác suất ñầy ñủ suy ra ma trận P = ( pij ) có tính chất 0 ≤ pij ≤ 1, ∀i, j ∈ E, ∑ε p ij = 1. j∈ Ma trận có tính chất như thế gọi là ma trận ngẫu nhiên. • Phương trình Chapman – Kolmogorov Xác suất chuyển sau n bước ñược ñịnh nghĩa theo công thức pij(n) = P { X n + m = j X m = i} = P { X n = j X 0 = i}. Đây là xác suất ñể quá trình tại thời ñiểm ban ñầu ở trạng thái i , sau n bước chuyển sang trạng thái j . Rõ ràng pij(1) = pij . Ta quy ước 1 khi i = j pij(0) =  . 0 khi i ≠ j Đặt P ( n ) = ( pij(n) ) , ñó là ma trận xác suất chuyển sau n bước. Từ công thức xác suất ñầy ñủ và tính Markov ta có, với mọi n = 0,1, 2,… pij(n+1) = ∑ pik pkj( n ) , (1.15) k∈ε pij(n+1) = ∑ pik( n ) pkj . k∈ε 20 (1.16)