Mô tả:
ĐẶT VẤN ĐỀ
I/ MỞ ĐẦU
Trong mấy năm gần đây trong đề thi Đại học hay xuất hiện câu giải hệ
phương trình không mẫu mực. Theo nhận định chung, các câu này thường là câu
khó đối với thí sinh. Việc giải câu này bằng các phương pháp truyền thống tôi
xin không được bàn luận ở đây. Trong quá trình luyện thi cho học sinh phần hệ
phương trình, ngoài các cách truyền thống, để tăng thêm công cụ và tạo niềm
hứng thú cho học sinh tôi đã đưa thêm công cụ Số phức vào việc giải hệ phương trình.
Thực tế trong qua trình giảng dạy phần này có một số khó khăn như, trong
đề thi Đại học câu Số phức thường không khó, vì lý do đó các học sinh không
giành nhiều thời gian, tâm sức vào phần Số phức nhưng vẫn đạt dược điểm tối
đa cho câu Số phức ; sách tham khảo cũng ít đề cập đến vấn đề này, nếu có
thường không được tác giả đi sâu, lý giải cụ thể nên học sinh cũng không thấy rõ
vai trò của Số phức và việc vận dụng cũng khó; chưa có đề thi Đại học nào mà
việc giải hệ phương trình đã xử dụng công cụ Số phức. Chính vì những khó
khăn đó tôi phải bắt đầu từ những hệ phương trình giải bằng cách truyền thống
sau đó giải cách hai bằng công cụ Số phức, cho học sinh so sánh và gây sự tò
mò cho việc xử dụng Số phức. Bước tiếp theo sẽ vận dụng Số phức vào những
ví dụ khó hơn và thấy rõ vai trò của nó thông qua các ví dụ này.
Trong quá trình vận dụng tôi thường tập trung vào việc Nhận dạng lớp hệ
phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số
thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất ...
II/ THỰC TRẠNG:
1/ Thực trạng và hậu quả:
- Học sinh không nắm vững công cụ Số phức .
- Không nhận ra được những loại hệ phương trình nào thì sử dụng được Số phức.
- Nếu đọc được bài giải nào về ứng dụng Số phức vào việc giải hệ phương
trình thì không hiểu rõ bản chất, mà thường là giải câu nào biết câu đó.
2/ Tên đề tài:
Đứng trước thực trạng và hậu quả trên tôi chọn đề tài:
"Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình không mẫu mực"
TRANG 1
GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I/ Lý thuyết:
1/ Kiến thức bổ trợ:
1.1/ Giải phương trình bậc hai:
- Dạng: az 2 + bz + c = 0
- Cách giải:
2
æb ö
- ac
Tính D = b - 4ac , hoặc tính D ' = çç ÷
÷
çè 2 ÷
ø
2
+/ Nếu D = d³ 0 Þ z =
- b± d
2a
+/ Nếu D = d< 0 Þ z =
- b± i - d
2a
+/ Nếu D = a + ib , tìm w sao cho w 2 = D Þ z =
- b± w
2a
1.2/ Giải phương trình bậc cao:
- Dạng: z3 = a + bi
+/ Ta có
z3 = r [cos(j + k2p ) + isin( j + k2p ) ]
Þ z=
3
é j + k2p
j + k2p ù
ú
r êcos
+ isin
êë
ú
3
3
û
+/ Cho k = {0;1;2} ta được 3 nghiệm
- Dạng: z 4 = a + bi (giải tương tự)
- Dạng: az3 + bz 2 + cz + d = 0 (giải như trên R)
2/ Một số biểu thức thường dùng cần nhớ: Nếu z = x + yi thì ta có các kết
quả sau
z = x - yi
z 2 = (x 2 - y 2 ) + 2xyi
z3 = (x 3 - 3xy 2 ) + (3x 2 y - y 3 )i
z 4 = (x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ) + 4(x 3y - xy 3 )i
1
x - yi
= 2
z x + y2
TRANG 2
iz = xi - y
i
xi + y
= 2
z x + y2
3/ Nhận dạng: Những hệ phương có những dấu hiệu sau thì có thể dùng số phức
+/ Có nhiều biểu thức như dạng trên (tất nhiên không có i).
+/ Đưa về phương trình bậc 3 mà máy tính cầm tay không cho nghiệm.
+/ Mẫu có biểu thức x 2 + y 2 hoặc đưa được về dạng này.
II/ Một số ví dụ và bài tập tương tự:
ìï xy - 2x - 5y + 2 = 0
Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïí 2
ïïî x - y 2 - 10x + 4y + 21 = 0
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
x 2 - y 2 + 2xy;x ± y , nên có thể dùng số phức.
- Đặt z = x + yi Þ z 2 = x 2 - y 2 + 2xyi;iz = xi - y
- Hệ phương biến đổi về
ìï 2xyi - 4xi - 10yi + 4i = 0
ïí
ïïî x 2 - y 2 - 10x + 4y + 21 = 0
Þ (x 2 - y 2 + 2xi) - 10(x + yi) - 4(xi - y) + 21 + 4i = 0
- Thay vào ta được: z 2 - 2(5 + 2i)z + 21 + 4i = 0
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z = (5 ± 2 2) + i(2 ± 2 2)
ìï x = 5 ± 2 2
- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm ïí
ïï y = 2 ± 2 2
î
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích
phương trình (2) thành nhân tử (thêm bớt hoặc xem phương trình (2) là phương
trình bậc hai)
ìï 2xy + 2x - y = 1
ï
Bài tập 1: Giải hệ phương trình ïí 2
ïï x - y 2 - x - 2y = 11
ïî
6
Hướng dẫn: Đưa về phương trình z 2 + (2i - 1)z - i -
11
=0
6
TRANG 3
æ1 5 ö æ1 3 ö
÷
ç
ĐS: çç ;- ÷
÷
÷
÷;èçç 2 ;- 4 ø
÷
èç 2 4 ø
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích
phương trình (1) thành nhân tử.
ìï x 3 - 3xy 2 = - 1
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïí 3
ïï y - 3x 2 y = - 3
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Chúng ta dễ dàng đưa về phương trình đẳng cấp bậc 3 nhưng
khi dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm thì máy tính không cho kết quả.
- Đặt z = x + yi Þ z3 = (x3 - 3xy 2 ) + (3x 2 y - y 3 )i
- Hệ phương biến đổi về
ìï x3 - 3xy 2 = - 1
ï
í 3
ïï y i - 3x 2 yi = - i 3
î
- Trừ hai phương trinh ta được phương trình: z3 = - 1 + i 3
- Giải phường trình trên bằng lượng giác
æ 1
ö
é æ2p
ù
ö
æ2p
ö
3 ÷
÷
÷
ç
ç
ê
ú
i÷
=
2
cos
+
k2
p
+
i.sin
+
k2
p
Ta có z3 = 2ççç- +
÷
÷
÷
÷ú
êë çèç 3
÷
ø
èçç 3
ø
çè 2
2 ÷
ø
û
é æ2p k2p ö
ù
æ2p k2p ö
÷
÷
çç +
ú
Þ z = 2 êcos çç +
+
i.sin
÷
÷
÷
÷ú
êë èç 9
èç 9
3 ø
3 ø
û
2p
2p ö
ïìï æ
÷
ïï 2çççècos + i.sin ÷
ø
9
9÷
ïï
ïï æ 8p
8p ö
= í 2ççcos + i.sin ÷
÷
÷
ïï çè
9
9ø
ïï
ö
ïï æ
ççcos 14p + i.sin 14p ÷
2
÷
ïï çè
ø
9
9 ÷
ïî
- Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm
ìï æ
öæ
öïü
2p
2p ö æ
ïý
çç2cos 8p ;2sin 8p ÷
çç2cos 14p ;2sin 14p ÷
(x;y) = ïí çç2cos ;2sin ÷
;
;
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ç
ïîï è
9
9 øè
9
9 øè
9
9 øïþ
ï
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương
trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nguyễn Văn Mậu)
TRANG 4
Bài tập 2: Giải hệ phương trình
ïìï x 3 - 3xy 2 - x + 1 = x 2 - 2xy - y 2
2.1/ í 3
ïï y - 3x 2 y + y - 1 = y 2 - 2xy - x 2
î
Hướng dẫn: Đưa về phương trình z3 - (1 + i)z 2 - z = 1 + i
Đáp số: (x;y) = {(1;0);(- 1;0);(1;1)}
ìï x3 - 3xy 2 = - 2 2
2.2/ ïí 2
ïï 3x y - y 3 = 2
î
ìï x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 = 4
Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ïí 3
ïï x y - y 3x = - 3
î
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ;x3y - xy 3
- Đặt z = x + yi Þ z 4 = (x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ) + 4(x 3y - xy 3 )i
- Từ hệ phương trình nhân thêm 4i vào phương trình (2) ta được
ïìï x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 = 4
í 3
ïï 4x yi - 4y 3xi = - 4i 3
î
- Cộng vế với vế ta được
æ1 i 3 ÷
ö
÷
Þ z 4 = 4 - 4i 3 = 8ççç =
÷
çè 2
2 ÷
ø
é æ- p
ù
ö
æ- p
ö
÷
ç
ú
8 êcos çç
+ k2p ÷
+
isin
+
k2
p
÷
÷
÷
÷ú
êë çè 3
ø
èçç 3
ø
û
- Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm
ïìï
ïx=
ïí
ïï
ïï y =
ïî
- p ïì
ïx=
12 È ïï
í
- p ïï
4
8 sin
ïy=
12 ïïî
4
8cos
5p ìï
ïx=
12 È ïï
í
5p ïï
4
8 sin
ïy=
12 ïïî
4
8cos
11p ïì
ïx=
12 È ïï
í
11p ïï
4
8 sin
ïy=
12 ïïî
4
8cos
17p
12
17p
4
8 sin
12
4
8cos
ìï x(x 4 - 10x 2 y 2 + 5y 4 ) = 3
Bài tập 3: Giải hệ phương trình ïí
ïï y(y 4 - 10x 2 y 2 + 5x 4 ) = - 1
î
Hướng dẫn: Khai triển (x + yi)5
TRANG 5
ìï
ïï x +
ï
Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïí
ïï
ïï y ïî
3x - y
=3
x2 + y 2
x + 3y
=0
x2 + y2
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
1
, nên có
x2 + y 2
thể dùng số phức.
1
x - yi i
xi + y
- Đặt z = x + yi Þ z = x - yi; = 2
;
=
z x + y2 z x2 + y 2
- Nhân phương trình (2) với i, ta được
ìï
ïï x +
ïï
í
ïï
ïï yi ïî
3x - y
=3
x2 + y2
xi + 3yi
=0
x2 + y2
- Cộng vế với vế đưa về (x + yi) +
3(x - yi) xi + y
- 2
=3
x2 + y 2
x + y2
3- i
=3
z
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z = 2 + i;z = 1- i
- Thay vào ta được: z +
- Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = {(2;1);(1;- 1)}
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương
trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nguyễn Văn Mậu)
Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau
ìï
ïï x +
ï
4.1/ ïí
ïï
ïï y ïî
16x - 11y
=7
x2 + y2
11x + 16y
=- 1
x2 + y2
16 - 11i
= 7- 1
z
Đáp số: (x;y) = {(2;- 3);(5;2)}
Hướng dẫn: Đưa về z +
TRANG 6
ìï
78y
ïï x + 2
= 20
ïï
x + y2
4.2/ í
ïï
78x
= 15
ïï y + 2
2
x
+
y
ïî
Đáp số: (x;y) = {(2;3);(18;12)}
ìï
ïï x + 9x + 10y = 3 2
ïï
x2 + y2
4.3/ í
ïï
10x - 9y
ïï y +
=0
x2 + y2
ïïî
{
Đáp số: (x;y) = ( 2; 5);(2 2; -
}
5)
ìï
æ
ö
ïï 3x çç1 + 1 ÷
÷
÷= 2
çè x + y ø
ïï
Ví dụ 5: Giải hệ phương trình í
ïï
æ
1 ö
÷
ïï 7y çç1 ÷
÷= 4 2
èç x + y ø
ïïî
Hướng dẫn:
- Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức
đưa về chứa
1
, nên có thể
x+ y
1
để dùng số phức.
u + v2
2
- Điều kiện: x, y ³ 0;x + y ¹ 0
ìï u =
- Đặt ïí
ïï v =
î
x³ 0
y³ 0
ìï æ
ö 2
1 ÷
ïï u çç1 +
=
÷
2
2
ïï çè u + v ÷
ø
3
- Thay vào hệ phương trình ta được í
ïï æ
1 ö
4 2
÷
ïï v çç1 - 2
=
÷
2
÷
7
ïî çè u + v ø
ìï
u
2
ïï u + 2
=
ïï
u + v2
3
- Hệ phương biến đổi về í
ïï
vi
4i 2
=
ïï vi - 2
2
u +v
7
ïî
TRANG 7
- Đặt z = u + vi Þ
1
u - vi
= 2
z u + v2
- Đưa về phương trình z +
1
2
4 2
=
+i
z
3
7
- Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được u, v. Thay u,v tìm x,y
æ1
ö
2 2 2
÷
ç
÷
;
± 2÷
- Kết luận: (x;y) = çç ±
÷
çè 3
21 7
ø
- Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương
đương.
Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau
æ
ö
ïìï
3 ÷
=3
÷
ïï 10x ççç1 +
è 5x + y ÷
ø
ï
5.1/ í
ïï
æ
ö
3 ÷
ïï y çç1 =- 1
÷
çè 5x + y ÷
ø
ïïî
æ1 ö
Đáp số: çç ;1÷
÷
çè10 ø÷
ìï
æ
ö
7 ÷
ïï x çç2 +
÷= 3 2
çè
ïï
2x + 5y ÷
ø
5.2/ í
ïï
æ
ö
7 ÷
ïï 5y çç2 ÷= 3
çè
2x + 5y ÷
ø
ïïî
æ 3ö
Đáp số: çç2; ÷
÷
çè 5 ÷
ø
ìï
æ
ö
ïï x çç2 - 15 ÷
÷
÷= 2 + 3
çè
ïï
x + 2y ø
5.3/ í
ïï
æ
ö
15 ÷
ïï y çç2 +
= 3( 3 - 1)
÷
x + 2y ÷
èç
ø
ïïî
(
Đáp số: (x;y) = 7 + 4 3;4 - 2 3
)
TRANG 8
C. KẾT LUẬN
I/ Kết quả thực nghiệm:
Việc thực hiện dạy thực nghiệm năm học 2012-2013 tại lớp 12A1, tôi so
sánh với lớp 12A1 năm học 2011-2012. Tôi thu được kết quả như sau
Yếu
Khá, Giỏi
Trung bình
TT
Năm học
Lớp
Sĩ số
Số
lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
Số lượng
Tỉ lệ %
1
20112012
12A1
50
5
10%
38
76%
7
14%
2012-2013 12A1
50
1
2%
37
74%
12
25%
2
II/ Kiến nghị:
- Đối với nhà trường: Việc viết sáng kiến kinh nghiệm phải là yêu cầu bắt
buộc đối với mọi giáo viên, để giáo viên làm quen với công việc nghiên cứu
khoa học. Để tránh hình thức các sáng kiến kinh nghiệm phải được báo cáo
trước tổ chuyên môn. Các sáng kiến kinh nghiệm có giải cấp trường nhà trường
khen thưởng kịp thời. Những sáng kiến kinh nghiệm mang tính đối phó phải
được nhắc nhở để rút kinh nghiệm cho năm sau.
- Đối với Sở: Để tạo điều kiện cho giáo viên trong tỉnh được học hỏi kinh
nghiệm lẫn nhau thông qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm, các sáng kiến kinh
nghiệm có giải tỉnh nên được biên soạn thành tài liệu và bắt buộc các nhà trường
phải mua để giáo viên được tham khảo.
III/ Lời tác giả:
Việc vận dụng Số phức vào giải hệ phương trình chưa được áp dụng vào
việc giải hệ phương trình trong thi Đại học trong những năm trước đây, nhưng
việc trang bị thêm công cụ Số phức đã giúp cho học sinh hứng thú. Đặc biệt
những hệ phương trình mà việc dùng Số phức để giải mang tính đặc hiệu thì
càng làm cho học sinh thêm yêu thích. Việc tạo hứng thú cho học sinh là mục
đích mà ngành GD&ĐT cũng như toàn xã hội ta đang hướng tới. Tuy nhiên do
nhiều lý do, nên bài viết này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi mong nhận được sự
thông cảm và đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp và các em học sinh.
TRANG 9
XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG
Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết,
không sao chép nội dung của người khác
Người viết:
Nguyễn Duy Trình
TRANG 10
- Xem thêm -