Tài liệu ứng dụng số phức giải hệ phương trình không mẫu mực

  • Số trang: 10 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 424 |
  • Lượt tải: 3
nguyen-thanhbinh

Tham gia: 27/07/2015

Mô tả:

ĐẶT VẤN ĐỀ I/ MỞ ĐẦU Trong mấy năm gần đây trong đề thi Đại học hay xuất hiện câu giải hệ phương trình không mẫu mực. Theo nhận định chung, các câu này thường là câu khó đối với thí sinh. Việc giải câu này bằng các phương pháp truyền thống tôi xin không được bàn luận ở đây. Trong quá trình luyện thi cho học sinh phần hệ phương trình, ngoài các cách truyền thống, để tăng thêm công cụ và tạo niềm hứng thú cho học sinh tôi đã đưa thêm công cụ Số phức vào việc giải hệ phương trình. Thực tế trong qua trình giảng dạy phần này có một số khó khăn như, trong đề thi Đại học câu Số phức thường không khó, vì lý do đó các học sinh không giành nhiều thời gian, tâm sức vào phần Số phức nhưng vẫn đạt dược điểm tối đa cho câu Số phức ; sách tham khảo cũng ít đề cập đến vấn đề này, nếu có thường không được tác giả đi sâu, lý giải cụ thể nên học sinh cũng không thấy rõ vai trò của Số phức và việc vận dụng cũng khó; chưa có đề thi Đại học nào mà việc giải hệ phương trình đã xử dụng công cụ Số phức. Chính vì những khó khăn đó tôi phải bắt đầu từ những hệ phương trình giải bằng cách truyền thống sau đó giải cách hai bằng công cụ Số phức, cho học sinh so sánh và gây sự tò mò cho việc xử dụng Số phức. Bước tiếp theo sẽ vận dụng Số phức vào những ví dụ khó hơn và thấy rõ vai trò của nó thông qua các ví dụ này. Trong quá trình vận dụng tôi thường tập trung vào việc Nhận dạng lớp hệ phương trình sử dụng được số phức; cách chuyển từ bài toán đơn thuần số thực sang số phức; đúc rút kinh nghiệm, tìm ra bản chất ... II/ THỰC TRẠNG: 1/ Thực trạng và hậu quả: - Học sinh không nắm vững công cụ Số phức . - Không nhận ra được những loại hệ phương trình nào thì sử dụng được Số phức. - Nếu đọc được bài giải nào về ứng dụng Số phức vào việc giải hệ phương trình thì không hiểu rõ bản chất, mà thường là giải câu nào biết câu đó. 2/ Tên đề tài: Đứng trước thực trạng và hậu quả trên tôi chọn đề tài: "Ứng dụng số phức trong giải hệ phương trình không mẫu mực" TRANG 1 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I/ Lý thuyết: 1/ Kiến thức bổ trợ: 1.1/ Giải phương trình bậc hai: - Dạng: az 2 + bz + c = 0 - Cách giải: 2 æb ö - ac Tính D = b - 4ac , hoặc tính D ' = çç ÷ ÷ çè 2 ÷ ø 2 +/ Nếu D = d³ 0 Þ z = - b± d 2a +/ Nếu D = d< 0 Þ z = - b± i - d 2a +/ Nếu D = a + ib , tìm w sao cho w 2 = D Þ z = - b± w 2a 1.2/ Giải phương trình bậc cao: - Dạng: z3 = a + bi +/ Ta có z3 = r [cos(j + k2p ) + isin( j + k2p ) ] Þ z= 3 é j + k2p j + k2p ù ú r êcos + isin êë ú 3 3 û +/ Cho k = {0;1;2} ta được 3 nghiệm - Dạng: z 4 = a + bi (giải tương tự) - Dạng: az3 + bz 2 + cz + d = 0 (giải như trên R) 2/ Một số biểu thức thường dùng cần nhớ: Nếu z = x + yi thì ta có các kết quả sau z = x - yi z 2 = (x 2 - y 2 ) + 2xyi z3 = (x 3 - 3xy 2 ) + (3x 2 y - y 3 )i z 4 = (x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ) + 4(x 3y - xy 3 )i 1 x - yi = 2 z x + y2 TRANG 2 iz = xi - y i xi + y = 2 z x + y2 3/ Nhận dạng: Những hệ phương có những dấu hiệu sau thì có thể dùng số phức +/ Có nhiều biểu thức như dạng trên (tất nhiên không có i). +/ Đưa về phương trình bậc 3 mà máy tính cầm tay không cho nghiệm. +/ Mẫu có biểu thức x 2 + y 2 hoặc đưa được về dạng này. II/ Một số ví dụ và bài tập tương tự: ìï xy - 2x - 5y + 2 = 0 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình ïí 2 ïïî x - y 2 - 10x + 4y + 21 = 0 Hướng dẫn: - Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức x 2 - y 2 + 2xy;x ± y , nên có thể dùng số phức. - Đặt z = x + yi Þ z 2 = x 2 - y 2 + 2xyi;iz = xi - y - Hệ phương biến đổi về ìï 2xyi - 4xi - 10yi + 4i = 0 ïí ïïî x 2 - y 2 - 10x + 4y + 21 = 0 Þ (x 2 - y 2 + 2xi) - 10(x + yi) - 4(xi - y) + 21 + 4i = 0 - Thay vào ta được: z 2 - 2(5 + 2i)z + 21 + 4i = 0 - Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z = (5 ± 2 2) + i(2 ± 2 2) ìï x = 5 ± 2 2 - Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm ïí ïï y = 2 ± 2 2 î - Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích phương trình (2) thành nhân tử (thêm bớt hoặc xem phương trình (2) là phương trình bậc hai) ìï 2xy + 2x - y = 1 ï Bài tập 1: Giải hệ phương trình ïí 2 ïï x - y 2 - x - 2y = 11 ïî 6 Hướng dẫn: Đưa về phương trình z 2 + (2i - 1)z - i - 11 =0 6 TRANG 3 æ1 5 ö æ1 3 ö ÷ ç ĐS: çç ;- ÷ ÷ ÷ ÷;èçç 2 ;- 4 ø ÷ èç 2 4 ø - Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp phân tích phương trình (1) thành nhân tử. ìï x 3 - 3xy 2 = - 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình ïí 3 ïï y - 3x 2 y = - 3 î Hướng dẫn: - Nhận dạng: Chúng ta dễ dàng đưa về phương trình đẳng cấp bậc 3 nhưng khi dùng máy tính cầm tay để tìm nghiệm thì máy tính không cho kết quả. - Đặt z = x + yi Þ z3 = (x3 - 3xy 2 ) + (3x 2 y - y 3 )i - Hệ phương biến đổi về ìï x3 - 3xy 2 = - 1 ï í 3 ïï y i - 3x 2 yi = - i 3 î - Trừ hai phương trinh ta được phương trình: z3 = - 1 + i 3 - Giải phường trình trên bằng lượng giác æ 1 ö é æ2p ù ö æ2p ö 3 ÷ ÷ ÷ ç ç ê ú i÷ = 2 cos + k2 p + i.sin + k2 p Ta có z3 = 2ççç- + ÷ ÷ ÷ ÷ú êë çèç 3 ÷ ø èçç 3 ø çè 2 2 ÷ ø û é æ2p k2p ö ù æ2p k2p ö ÷ ÷ çç + ú Þ z = 2 êcos çç + + i.sin ÷ ÷ ÷ ÷ú êë èç 9 èç 9 3 ø 3 ø û 2p 2p ö ïìï æ ÷ ïï 2çççècos + i.sin ÷ ø 9 9÷ ïï ïï æ 8p 8p ö = í 2ççcos + i.sin ÷ ÷ ÷ ïï çè 9 9ø ïï ö ïï æ ççcos 14p + i.sin 14p ÷ 2 ÷ ïï çè ø 9 9 ÷ ïî - Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm ìï æ öæ öïü 2p 2p ö æ ïý çç2cos 8p ;2sin 8p ÷ çç2cos 14p ;2sin 14p ÷ (x;y) = ïí çç2cos ;2sin ÷ ; ; ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ç ç ç ïîï è 9 9 øè 9 9 øè 9 9 øïþ ï - Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nguyễn Văn Mậu) TRANG 4 Bài tập 2: Giải hệ phương trình ïìï x 3 - 3xy 2 - x + 1 = x 2 - 2xy - y 2 2.1/ í 3 ïï y - 3x 2 y + y - 1 = y 2 - 2xy - x 2 î Hướng dẫn: Đưa về phương trình z3 - (1 + i)z 2 - z = 1 + i Đáp số: (x;y) = {(1;0);(- 1;0);(1;1)} ìï x3 - 3xy 2 = - 2 2 2.2/ ïí 2 ïï 3x y - y 3 = 2 î ìï x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 = 4 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình ïí 3 ïï x y - y 3x = - 3 î Hướng dẫn: - Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ;x3y - xy 3 - Đặt z = x + yi Þ z 4 = (x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 ) + 4(x 3y - xy 3 )i - Từ hệ phương trình nhân thêm 4i vào phương trình (2) ta được ïìï x 4 - 6x 2 y 2 + y 4 = 4 í 3 ïï 4x yi - 4y 3xi = - 4i 3 î - Cộng vế với vế ta được æ1 i 3 ÷ ö ÷ Þ z 4 = 4 - 4i 3 = 8ççç = ÷ çè 2 2 ÷ ø é æ- p ù ö æ- p ö ÷ ç ú 8 êcos çç + k2p ÷ + isin + k2 p ÷ ÷ ÷ ÷ú êë çè 3 ø èçç 3 ø û - Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm ïìï ïx= ïí ïï ïï y = ïî - p ïì ïx= 12 È ïï í - p ïï 4 8 sin ïy= 12 ïïî 4 8cos 5p ìï ïx= 12 È ïï í 5p ïï 4 8 sin ïy= 12 ïïî 4 8cos 11p ïì ïx= 12 È ïï í 11p ïï 4 8 sin ïy= 12 ïïî 4 8cos 17p 12 17p 4 8 sin 12 4 8cos ìï x(x 4 - 10x 2 y 2 + 5y 4 ) = 3 Bài tập 3: Giải hệ phương trình ïí ïï y(y 4 - 10x 2 y 2 + 5x 4 ) = - 1 î Hướng dẫn: Khai triển (x + yi)5 TRANG 5 ìï ïï x + ï Ví dụ 4: Giải hệ phương trình ïí ïï ïï y ïî 3x - y =3 x2 + y 2 x + 3y =0 x2 + y2 Hướng dẫn: - Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức 1 , nên có x2 + y 2 thể dùng số phức. 1 x - yi i xi + y - Đặt z = x + yi Þ z = x - yi; = 2 ; = z x + y2 z x2 + y 2 - Nhân phương trình (2) với i, ta được ìï ïï x + ïï í ïï ïï yi ïî 3x - y =3 x2 + y2 xi + 3yi =0 x2 + y2 - Cộng vế với vế đưa về (x + yi) + 3(x - yi) xi + y - 2 =3 x2 + y 2 x + y2 3- i =3 z - Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được z = 2 + i;z = 1- i - Thay vào ta được: z + - Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm (x;y) = {(2;1);(1;- 1)} - Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp giải phương trình bậc 3 tổng quát (xem Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Nguyễn Văn Mậu) Bài tập 4: Giải các hệ phương trình sau ìï ïï x + ï 4.1/ ïí ïï ïï y ïî 16x - 11y =7 x2 + y2 11x + 16y =- 1 x2 + y2 16 - 11i = 7- 1 z Đáp số: (x;y) = {(2;- 3);(5;2)} Hướng dẫn: Đưa về z + TRANG 6 ìï 78y ïï x + 2 = 20 ïï x + y2 4.2/ í ïï 78x = 15 ïï y + 2 2 x + y ïî Đáp số: (x;y) = {(2;3);(18;12)} ìï ïï x + 9x + 10y = 3 2 ïï x2 + y2 4.3/ í ïï 10x - 9y ïï y + =0 x2 + y2 ïïî { Đáp số: (x;y) = ( 2; 5);(2 2; - } 5) ìï æ ö ïï 3x çç1 + 1 ÷ ÷ ÷= 2 çè x + y ø ïï Ví dụ 5: Giải hệ phương trình í ïï æ 1 ö ÷ ïï 7y çç1 ÷ ÷= 4 2 èç x + y ø ïïî Hướng dẫn: - Nhận dạng: Trong hệ phương trình chứa các biểu thức đưa về chứa 1 , nên có thể x+ y 1 để dùng số phức. u + v2 2 - Điều kiện: x, y ³ 0;x + y ¹ 0 ìï u = - Đặt ïí ïï v = î x³ 0 y³ 0 ìï æ ö 2 1 ÷ ïï u çç1 + = ÷ 2 2 ïï çè u + v ÷ ø 3 - Thay vào hệ phương trình ta được í ïï æ 1 ö 4 2 ÷ ïï v çç1 - 2 = ÷ 2 ÷ 7 ïî çè u + v ø ìï u 2 ïï u + 2 = ïï u + v2 3 - Hệ phương biến đổi về í ïï vi 4i 2 = ïï vi - 2 2 u +v 7 ïî TRANG 7 - Đặt z = u + vi Þ 1 u - vi = 2 z u + v2 - Đưa về phương trình z + 1 2 4 2 = +i z 3 7 - Giải phương trình bậc hai ẩn z ta được u, v. Thay u,v tìm x,y æ1 ö 2 2 2 ÷ ç ÷ ; ± 2÷ - Kết luận: (x;y) = çç ± ÷ çè 3 21 7 ø - Lưu ý: Hệ phương trình trên có thể giải bằng phương pháp biến đổi tương đương. Bài tập 5: Giải các hệ phương trình sau æ ö ïìï 3 ÷ =3 ÷ ïï 10x ççç1 + è 5x + y ÷ ø ï 5.1/ í ïï æ ö 3 ÷ ïï y çç1 =- 1 ÷ çè 5x + y ÷ ø ïïî æ1 ö Đáp số: çç ;1÷ ÷ çè10 ø÷ ìï æ ö 7 ÷ ïï x çç2 + ÷= 3 2 çè ïï 2x + 5y ÷ ø 5.2/ í ïï æ ö 7 ÷ ïï 5y çç2 ÷= 3 çè 2x + 5y ÷ ø ïïî æ 3ö Đáp số: çç2; ÷ ÷ çè 5 ÷ ø ìï æ ö ïï x çç2 - 15 ÷ ÷ ÷= 2 + 3 çè ïï x + 2y ø 5.3/ í ïï æ ö 15 ÷ ïï y çç2 + = 3( 3 - 1) ÷ x + 2y ÷ èç ø ïïî ( Đáp số: (x;y) = 7 + 4 3;4 - 2 3 ) TRANG 8 C. KẾT LUẬN I/ Kết quả thực nghiệm: Việc thực hiện dạy thực nghiệm năm học 2012-2013 tại lớp 12A1, tôi so sánh với lớp 12A1 năm học 2011-2012. Tôi thu được kết quả như sau Yếu Khá, Giỏi Trung bình TT Năm học Lớp Sĩ số Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % Số lượng Tỉ lệ % 1 20112012 12A1 50 5 10% 38 76% 7 14% 2012-2013 12A1 50 1 2% 37 74% 12 25% 2 II/ Kiến nghị: - Đối với nhà trường: Việc viết sáng kiến kinh nghiệm phải là yêu cầu bắt buộc đối với mọi giáo viên, để giáo viên làm quen với công việc nghiên cứu khoa học. Để tránh hình thức các sáng kiến kinh nghiệm phải được báo cáo trước tổ chuyên môn. Các sáng kiến kinh nghiệm có giải cấp trường nhà trường khen thưởng kịp thời. Những sáng kiến kinh nghiệm mang tính đối phó phải được nhắc nhở để rút kinh nghiệm cho năm sau. - Đối với Sở: Để tạo điều kiện cho giáo viên trong tỉnh được học hỏi kinh nghiệm lẫn nhau thông qua việc viết sáng kiến kinh nghiệm, các sáng kiến kinh nghiệm có giải tỉnh nên được biên soạn thành tài liệu và bắt buộc các nhà trường phải mua để giáo viên được tham khảo. III/ Lời tác giả: Việc vận dụng Số phức vào giải hệ phương trình chưa được áp dụng vào việc giải hệ phương trình trong thi Đại học trong những năm trước đây, nhưng việc trang bị thêm công cụ Số phức đã giúp cho học sinh hứng thú. Đặc biệt những hệ phương trình mà việc dùng Số phức để giải mang tính đặc hiệu thì càng làm cho học sinh thêm yêu thích. Việc tạo hứng thú cho học sinh là mục đích mà ngành GD&ĐT cũng như toàn xã hội ta đang hướng tới. Tuy nhiên do nhiều lý do, nên bài viết này không tránh khỏi thiếu sót. Tôi mong nhận được sự thông cảm và đóng góp ý kiến từ các đồng nghiệp và các em học sinh. TRANG 9 XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2013 Tôi xin cam đoan đây là SKKN do tôi viết, không sao chép nội dung của người khác Người viết: Nguyễn Duy Trình TRANG 10
- Xem thêm -