Tài liệu ứng dụng lí thuyết ổn định vào giải một số bài toán kinh tế

  • Số trang: 67 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 233 |
  • Lượt tải: 0
tranphuong

Tham gia: 04/08/2015

Mô tả:

0 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II ĐÀO THỊ TUYÊN 1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin chân thành bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới T.S Nguyễn Văn Hùng, người thầy đã chỉ ra hướng nghiên cứu, chỉ bảo tận tình, chu đáo, động viên và giúp đỡ tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy giáo, cô giáo Phòng Sau Đại học, Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, bạn bè và người thân... đã tạo điều kiện, động viên, khuyến khích, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 6 năm 2012 Tác giả Đào Thị Tuyên 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn này là kết quả của quá trình học tập, nghiên cứu của bản thân dưới sự chỉ bảo, dìu dắt của các thầy giáo, cô giáo, đặc biệt là sự hướng dẫn nhiệt tình và chu đáo của T.S Nguyễn Văn Hùng. Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn. Luận văn với đề tài “Ứng dụng lí thuyết ổn định vào giải một số bài toán kinh tế” không có sự trùng lặp. Người cam đoan Đào Thị Tuyên 3 MỤC LỤC Trang Lời cảm ơn........................................................................................... 1 Lời cam đoan........................................................................................ 2 Mục lục................................................................................................. 3 MỞ ĐẦU............................................................................................. 4 Chương 1: GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN. 1.1. Tóm tắt về lí thuyết ổn định.......................................................... 6 1.2. Sơ lược về các hệ thống kinh tế.................................................... 12 1.3. Một số mô hình kinh tế cổ điển..................................................... 13 Chương 2: VAI TRÒ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ. 2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp 1..................................... 19 2.2. Hệ phương trình sai phân tuyến tính cấp 1................................... 21 Chương 3: ỨNG DỤNG LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN KINH TẾ. 3.1. Giới thiệu và xây dựng mô hình kinh tế........................................ 25 3.2. Mô hình có hệ số khuếch tán lao động bằng không...................... 32 3.2.1. Vấn đề tồn tại điểm cân bằng dương.......................................... 32 3.2.2. Tính hút về điểm biên của nghiệm............................................. 33 3.3. Mô hình có hệ số khuếch tán lao động dương............................... 41 3.3.1. Sự tồn tại và ổn định điểm cân bằng dương............................... 41 3.3.2. Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương............................. 43 3.4. Bài toán áp dụng.......................................................................... 51 KẾT LUẬN......................................................................................... 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................. 65 4 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong lĩnh vực toán học ứng dụng thường gặp rất nhiều bài toán liên quan tới lí thuyết ổn định. Vì vậy việc nghiên cứu lí thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong lí thuyết toán học và toán học ứng dụng. Chúng ta biết rằng hệ thống kinh tế là một hệ thống phức tạp, chịu tác động của nhiều yếu tố. Thông thường để giải quyết một số các vấn đề kinh tế ta phải mô hình hóa bằng mô hình toán học. Các mô hình này thường được mô tả bởi các phương trình sai phân hoặc vi phân. Trong mô hình này điều được quan tâm là tính ổn định của mô hình và để khảo sát tính ổn định của mô hình ta sử dụng lí thuyết ổn định. Luận văn được nghiên cứu theo hướng này, đầu tiên đi xây dựng mô hình kinh tế sau đó khảo sát tính ổn định của mô hình này. Đây là mô hình có nhiều điểm mang tính thời sự, chưa được tìm hiểu nhiều. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu lí thuyết ổn định và ứng dụng của lí thuyết ổn định trong giải một số bài toán kinh tế. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Các cách giải phương trình vi phân, hệ phương trình vi phân. Dựa vào lí thuyết ổn định để xét tính ổn định của mô hình kinh tế. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. Nghiên cứu về lí thuyết ổn định, các phương pháp nghiên cứu tính ổn định và ứng dụng vào một số mô hình kinh tế. 5. Phương pháp nghiên cứu. Phương pháp xét sự ổn định của hệ phương trình vi phân và hệ phương trình sai phân. 5 6. Giả thuyết khoa học (hoặc: dự kiến đóng góp mới, nếu đề tài không thuộc chuyên ngành giáo dục học). 6 CHƯƠNG 1 GIỚI THIỆU VỀ LÍ THUYẾT ỔN ĐỊNH VÀ MỘT SỐ MÔ HÌNH KINH TẾ CỔ ĐIỂN 1.1. Tóm tắt về lí thuyết ổn định 1.1.1. Khái niệm Xét hệ phương trình vi phân thường . x  f (t , x ) (1.1) trong đó t  0, x  X (X nói chung là không gian Banach, đôi khi lấy X = Rn), f : R   D  X D  X  f đủ tốt để thoả mãn điều kiện về tồn tại và duy nhất nghiệm trên R   D. Định nghĩa 1.1. Giả sử x  x  (t ) là một nghiệm của hệ (1.1). Nói nghiệm này ổn định nếu: t 0  0 ,   0 ,    ( , t 0 ) sao cho mọi nghiệm x(t) của hệ (1.1) thoả mãn: x(t 0 )  x  (t 0 )   thì x(t )  x  (t )   , t  t 0 . Nếu x  x  (t ) ổn định và có tính hút, nghĩa là tồn tại  1  0 , sao cho: x(t 0 )  x  (t 0 )   1  x(t 0 )  x  (t 0 )  0 khi t   thì nghiệm nói trên (và bản thân hệ) được gọi là ổn định tiệm cận. Nếu  ,  1 có thể chọn không phụ thuộc vào t 0 thì các nghĩa ổn định trên được gọi là ổn định đều. Để bài toán được đơn giản, người ta thường cho thêm giả thiết f (t ,0)  0 t  0 . Khi đó nghiệm x  x  (t ) thường lấy là nghiệm tầm thường x  x  (t )  0 . 7 Nếu tồn tại N  0 ,   0 sao cho: x(t )  Ne  (t t0 ) t  t 0 thì nói hệ là ổn định mũ. 1.1.2. Các phương pháp nghiên cứu tính ổn định Khi số chiều của không gian không quá lớn hoặc dạng của hệ đơn giản, có thể tìm được công thức nghiệm tổng quát thì có thể khảo sát trực tiếp (được trình bày trong chương 3 của luận văn). Ngoài ra có thể khảo sát tính ổn định bằng phương pháp thứ nhất, phương pháp thứ hai của Liapunov hoặc các bất đẳng thức vi phân, tích phân (bất đẳng thức Gronwall-Belman và các bất đẳng thức mở rộng). a. Phương pháp thứ nhất Liapunov Tư tưởng chính của phương pháp là nghiên cứu tính ổn định của các hệ đơn giản trước sau đó phát triển kết quả cho các hệ phức tạp hơn, theo thứ tự: - Hệ tuyến tính thuần nhất dừng. - Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng. - Hệ tuyến tính. - Hệ tựa tuyến tính. - Hệ phi tuyến. Hệ tuyến tính thuần nhất dừng Hệ tuyến tính thuần nhất dừng là hệ có dạng . x  Ax (1.2) t  0, x  X . Phổ của hệ (1.2) là tập  ( A)    C : ( A  I ) không khả nghịch}. 8 Nếu A là ma trận hằng cỡ n  n thì  ( A)    C : det( A  I )  0 }. Định lí 1.1. Nếu mọi phần tử của phổ  (A) đều có phần thực âm thì hệ (1.2) là ổn định tiệm cận (hay trạng thái cân bằng tầm thường x  0 là ổn định tiệm cận). - Nếu mọi phần tử của phổ  (A) đều có phần thực không dương và các phần tử có phần thực bằng 0 là nghiệm đơn thì hệ (1.2) là ổn định. - Nếu  (A) có phần tử với phần thực dương thì hệ không ổn định. Tiêu chuẩn Hurwitz. Với A là mà trận hằng cỡ n  n, việc tìm phổ  (A) là khó, trong nhiều trường hợp người ta sử dụng dấu hiệu sau (định lí 1.2) để xét tính ổn định của hệ (1.2). Định lí 1.2. Giả sử phương trình đặc trưng det( A  I )  0 của hệ (1.2) là: f ( )  a 0  a1   a 2 2  ...  a n 1 n 1  a n n có dạng chuẩn, nghĩa là a0  0 và a n  0 . Khi đó mọi phần tử của phổ  (A) (hay mọi nghiệm của phương trình đặc trưng) có phần thực âm nếu ma trận sau xác định dương (các định thức con chính đều dương).  a1   a3  A =  a5   a  2 n 1 a0 0 0 0 ... a2 a1 a0 0 ... a4 a3 a2 a1 ...     a 2n2 a 2 n 3 a 2n4 a 2 n 5 ... ... 0  0 0 ,    a n  trong đó as = 0 khi s  0 hoặc s  n . Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng Hệ tuyến tính thuần nhất không dừng là hệ có dạng . x  A(t ) x . (1.3) 9 Với hệ này, ta không còn khái niệm phương trình đặc trưng. Do đó, ta xây dựng phổ theo cách khác (định nghĩa 1.2). Định nghĩa 1.2. Giả sử x  x (t ) là một nghiệm của hệ (1.3), ta gọi giới hạn 1 t  x   lim ln x(t ) t  là số mũ Liapunov của nghiệm này. Tập hợp các số mũ Liapunov khác   của tất cả các nghiệm của hệ (1.3) được gọi là phổ Liapunov của hệ này. Định lí 1.3. Nếu A(t) là một ma trận hàm liên tục và bị chặn trên R+ A(t )  C t  0 ( 0 < C <  ) thì mọi nghiệm không tầm thường của hệ (1.3) đều có số mũ đặc trưng hữu hạn. Trong trường hợp này, hệ (1.3) có đúng n số mũ đặc trưng (không nhất thiết khác nhau). Định lí 1.4. Hệ (1.3) là ổn định tiệm cận nếu số mũ đặc trưng cực đại âm  max  max (i )  0 (  i là phần tử phổ của A(t)). Hệ tuyến tính Hệ tuyến tính là hệ có dạng . x  A(t ) x  f (t ) . (1.4) Nếu f (t ) là một hàm liên tục, giới nội trên R+ thì tính ổn định của hệ (1.4) được suy trực tiếp từ tính ổn định của hệ (1.3). Hệ tựa tuyến tính Hệ tựa tuyến tính là hệ có dạng . x  A(t ) x  f (t , x) . (1.5) 10 Giả sử A(t ) là ma trận ổn định tiệm cận và tồn tại lân cận đủ nhỏ của điểm gốc O X sao cho với mọi x thuộc lân cận có f (t , x)   (t ) x , trong đó  (t ) là một hàm dương nào đó trên R+ và  (t )  0 khi t   thì hệ (1.5) ổn định. Có thể thay điều kiện  (t )  0 khi t   bởi điều kiện.    (t )dt  c   . 0 Hệ phi tuyến Hệ phi tuyến là hệ có dạng . x  f (t , x) f (t ,0)  0 t  0 . (1.6) Giả sử hàm f (t , x ) đủ tốt về khả vi theo x. Phân tích Taylor f (t , x) tại x  0 ta có: f (t , x)  f (t ,0) x  g (t , x ) x , x trong đó g (t , x)  0( x ) . Đặt A(t )  f (t ,0) ta đưa hệ (1.6) về dạng x . x  A(t ) x  g (t , x ) . Vậy nếu mọi số mũ Liapunov của ma trận âm) thì hệ (1.6) là ổn định tiệm cận. b. Phương pháp thứ hai Liapunov Xét hệ f (t ,0) x đều âm (hay số mũ cực đại 11 . x  f (t , x) f (t ,0)  0 t  0 (1.7) trong đó x  X (hoặc x  Rn) và f đủ tốt. Ta kí hiệu K là lớp các hàm số a (.) : R   R  , trong đó a (.) là hàm liên tục đơn điệu tăng trên R  và a (0)  0 . Định nghĩa 1.3. Một hàm V (t , x) khả vi liên tục theo t và theo x trên một lân cận R   D  R  nhận giá trị trong R  . V : R   D  R  , V  C t(,1x,1) ( R   D) được gọi là một hàm Liapunov của hệ (1.7) nếu: i) V (t ,0)  0 t  0 . ii) Tồn tại hàm a  K sao cho a ( x )  V (t , x ) (t , x)  R   D . iii) d f V (t , x)  V V  f (t , x)  0, (t , x)  R   D . t t Trường hợp V (t , x) là hàm Liapunov và tồn tại b, c  K sao cho V (t , x)  b( x ) (t , x)  R   D, d f V (t , x)  c( x ) x  R  , x  D \ 0 thì V (t , x) được gọi là hàm Liapunov chặt của hệ (1.7). Định lí 1.5. Nếu hệ (1.7) là hàm Liapunov thì nó ổn định, có hàm Liapunov chặt thì nó ổn định tiệm cận đều. Lưu ý. Định lí trên đây chỉ cho điều kiện đủ về ổn định. Việc tìm hàm V (t , x) chưa có phương pháp tổng quát và hàm V (t , x ) không duy nhất cho mỗi 12 hệ. Người ta còn dùng hàm bổ trợ (hàm Liapunov) để khảo sát các định tính khác như tính giới nội, giới nội đều, dao động tuần hoàn của nghiệm. 1.2. Sơ lược về các hệ thống kinh tế Trong thực tiễn, các hoạt động kinh tế hết sức đa dạng, phức tạp và chịu tác động của nhiều yếu tố mang tính ngẫu nhiên. Chúng ta có thể sử dụng nhiều phương pháp, nhiều công cụ khác nhau để tiếp cận, phân tích và giải quyết chúng ở cả tầm vi mô và vĩ mô. Phương pháp mô hình là một trong những phương pháp hiệu quả kết hợp được nhiều cách tiếp cận hiện đại, đồng thời cũng kế thừa được nhiều mặt mạnh của các phương pháp truyền thống trong nghiên cứu kinh tế - xã hội. Trong phần này chỉ giới thiệu chung về một số thuật ngữ, khái niệm thường sử dụng trong các mô hình toán kinh tế. Đặc điểm của các biến số kinh tế Các biến kinh tế nói chung thô ráp, không đơn giản và tròn trĩnh như những gì thường được dùng trong lí thuyết. Các mối quan hệ qua lại giữa chúng và quan hệ với các lĩnh vực khác của xã hội như chính trị, văn hoá, quốc phòng, đối ngoại,… lại càng phức tạp. Điều đó làm cho việc mô tả các mô hình trở nên khó khăn, thường là không sát lắm so với thực tiễn. Để có thể mô tả được chúng bằng ngôn ngữ của Toán học ta cần lý tưởng hoá chúng bằng các quy ước nhất định. Khi mô tả đối tượng và phân tích định lượng các hiện tượng và vấn đề kinh tế liên quan tới đối tượng, chúng ta cần xem xét và lựa chọn một số yếu tố cơ bản đặc trưng cho đối tượng và lượng hoá chúng. Các yếu tố này gọi là các đại lượng, các biến số (kinh tế) của mô hình. Chúng có thể thay đổi giá trị trong phạm vi nhất định. Nhờ được lượng hoá nên ta có thể quan sát, đo lường và thực hiện tính toán giữa các biến số này. Tuỳ thuộc vào bản chất 13 của các biến, mục đích nghiên cứu, phân tích cũng như khả năng về ngôn ngữ dữ liệu liên quan mà các biến số kinh tế được phân loại như sau: - Biến nội sinh (biến phụ thuộc) là đối tượng được xác định trực tiếp hoặc gián tiếp bởi sự lựa chọn của các tác nhân. Tổng quát hơn, biến nội sinh là các biến toán học được xác định bằng cách giải mô hình. - Biến ngoại sinh (biến độc lập) là các biến nằm ngoài sự điều khiển của các tác nhân trong mô hình. Tổng quát hơn, biến ngoại sinh là các biến toán học được xác định bên ngoài phạm vi của mô hình kinh tế. Biến ngoại sinh còn được gọi là các tham biến. Tuỳ vào từng mô hình cụ thể ta có thể xác định được biến nào là biến nội sinh và biến nào là biến ngoại sinh. 1.3. Một số mô hình kinh tế cổ điển có dạng vi phân, sai phân 1.3.1. Mô hình Harod-Domar Khi nghiên cứu sự tăng trưởng của một nền kinh tế, một trong những vấn đề được quan tâm là xác định mối quan hệ giữa sự tăng trưởng và nhu cầu về vốn nếu biết được mối quan hệ này, ta có thể tính được nhu cầu đầu tư của nền kinh tế nhằm đảm bảo yêu cầu tăng trưởng đã dự kiến. Mô hình này coi đầu ra của bất kỳ một đơn vị kinh tế nào đó, dù là một công ty, một ngành công nghiệp hay toàn bộ nền kinh tế phụ thuộc vào tổng số vốn đầu tư cho nó. Nếu gọi Yt là đầu ra (thu nhập quốc dân) trong giai đoạn t còn St là mức tích luỹ (tiết kiệm) thì S t  sYt , trong đó s là một hằng số và được gọi là tỷ lệ tích luỹ trong GDP. Đầu tư It tỉ lệ với sự thay đổi của thu nhập quốc dân ở mỗi thời kỳ, nên ta có 14 I t  c(Yt  Yt 1 ) , trong đó c là một hằng số và được gọi là tỉ số gia tăng vốn - đầu ra. Do tiết kiệm là nguồn gốc của đầu tư nên đầu tư luôn bằng tiết kiệm, tức là St  I t . Ta có mô hình tăng trưởng Harod - Domar S t  sYt . I t  c(Yt  Yt 1 ) . St  I t . Từ ba phương trình trên ta có c  (Yt  Yt 1 )  sYt . (1.8) Phương trình (1.8) là phương trình sai phân tuyến tính cấp một thuần nhất hệ số hằng. Giải phương trình này ta tìm được Yt  ( c t ) Y0 . cs Tính ổn định theo thời gian phụ thuộc vào đầu ra nên c  1. c . Do c là tỉ số gia tăng vốn cs Chính vì thế Yt tăng nhanh nhưng không bị dao động. Thu nhập sẽ phát triển không giới hạn và cũng có nghĩa là nó không bị chặn. Từ (1.8) ta thấy thu nhập ở mỗi giai đoạn bằng c lần thu nhập của giai cs đoạn trước Yt  c Yt 1 . cs Tỉ lệ tăng trưởng giữa các giai đoạn được xác định là: 15 g Yt  Yt 1 Yt 1 Vậy tỉ lệ tăng trưởng là: g  c Yt 1  Yt 1 (c  s ) s .   Yt 1 cs s . cs 1.3.2. Mô hình tăng trưởng kinh tế Solow Mô hình được đặt tên nhà kinh tế học Robert Solow. Ông đã nghiên cứu mô hình dựa trên các dữ liệu thu thập ở Mỹ vào những năm 1950 đến năm 1970. Robert Solow đã được nhận giải thưởng Nobel về kinh tế năm 1986 do những đóng góp to lớn của ông về lí thuyết tăng trưởng. Các giả thiết của mô hình Solow: - Thời gian là liên tục. - Nền kinh tế đơn giản cùng với công nghệ không thay đổi. - Không có sự tham gia của Chính phủ hoặc thương mại quốc tế - Mọi nhân tố sản xuất đều có việc làm. - Lực lượng lao động gia tăng theo tỉ lệ không đổi n L' . L - Giá trị ban đầu của vốn và lao động là K0, L0. - Hàm sản xuất dạng tân cổ điển (Hàm Cobb-Douglas) Y (t )  F K (t ), L(t )  K (t )  L(t ) 1 . Để đơn giản ta ký hiệu Y  K  L1 , trong đó K là vốn, L là lao động. Y là hàm thuần nhất cấp một vì F (K , L )  F ( K , L )    K  L1 . - Mô hình thoả mãn điều kiện ban đầu 16 F (0,0)  F ( K ,0)  F (0, L )  0 . - Sản xuất cận biên là dương  F  1 1  K  K L  0,   F  (1   )K  L  0.  L - Sản xuất cận biên giảm, tức là 2F   2 1  2  (  1)K L  0, K  2   F  ( )(1   )K  L 1  0.  L2 Xây dựng mô hình Đặt y Y L y trong đó R là giá trị đầu ra trên một lao động. Khi đó Y K  L1 K L K    ( )  ( ) 1   ( )   R  , L L L L L K L (1.9) là vốn trên một lao động. Tại mọi thời điểm, đầu tư I  sY biểu thị tốc độ gia tăng vốn, nên ta có phương trình tích luỹ vốn. K '  sY  K trong đó tỉ lệ tiết kiệm s là hằng số, tỉ lệ trượt giá  là hằng số. Chia hai vế phương trình trên cho K ta có K' Y  s  K K  Y y K'  s L   s . K K R L Ta có R K K ' L  KL' R ' K ' L  KL' L K ' L' K '  R'    .     n. 2 L R K K L K L L2 17  y K ' R' R'  n  n  s  . K R R R  R '  sy  (   n) R . (1.10) Từ phương trình (1.9) và (1.10) ta được phương trình vi phân của mô hình Solow. R'  sR   (   n) R . Đây là phương trình Bernoulli, ta có thể giải phương trình để tìm R theo  , s , n,  . Phân tích mô hình Từ phương trình vi phân của mô hình Solow ta thấy trạng thái ổn định là khi có nguồn vốn R * thoả mãn phương trình 1  s  1 s ( R )  (n   ) R  0  R    . n *  * *  s 1 Khi đó đầu ra ổn định trên một lao động là y   ( ) . n * Như vậy sự ổn định đầu ra trên một lao động phụ thuộc vào tỉ lệ tiết kiệm, tỉ lệ gia tăng dân số và tỉ lệ trượt giá.  2 1 * Ta có y   (  ) 1  s 1  0 , s n 1 2 1 y * y * s 1   s  ( )  0.  n n 1   (n   ) 2 Trường hợp đặc biệt: Mô hình sản xuất Cobb-Douglas Hàm sản xuất Cobb-Douglas chỉ sử dụng hai yếu tố đầu vào là vốn và lao động có dạng: Y  K  L , 18 trong đó Y là sản lượng,  là năng suất toàn bộ nhân tố, K là lượng vốn, L là lượng lao động và  ,  lần lượt là hệ số co dãn theo sản lượng của vốn và lao động. Hệ số  ,  là cố định và phụ thuộc vào công nghệ: - Nếu     1 thì hàm sản xuất có lợi tức không đổi theo qui mô. - Nếu     1 thì hàm sản xuất có lợi tức giảm theo qui mô. - Nếu     1 thì hàm sản xuất có lợi tức tăng theo qui mô. Khi đó các yếu tố cơ bản trong mô hình được xác định như sau: Tỉ lệ tiết kiệm s  S . (S là tiết kiệm). Y Sản lượng trên một đơn vị lao động y Y , L hoặc y  hao). Vốn trên một đơn vị lao động k  K . L Lượng tiêu dùng trên mỗi lao động là T  (1  s ) y . Mức vốn thực là Tiền công thực là R P W P  1Y 2K . 1  YL . 2 Tổng thu nhập thực theo K và L lần lượt là G1  W P K ; G2  W P L. s  (với  : là tỉ lệ khấu 19 CHƯƠNG 2 VAI TRÒ CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ SAI PHÂN TRONG PHÂN TÍCH KINH TẾ 2.1. Hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một Chúng ta nghiên cứu cách giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một qua ví dụ đơn giản sau đây Ví dụ. Xét hệ phương trình vi phân  x' (t )  2 y ' (t )  2 x(t )  5 y (t )  77   y ' (t )  x(t )  4 y (t )  61. (2.1) Kí hiệu  x' (t )   x (t )  1 2 2 5 77  u ,v ,J  ,M  , g   .      y ' (t )  y (t ) 0 1  1 4  61  Lúc đó hệ (2.1) được viết dưới dạng (2.2) Ju  Mv  g , hoặc J 1 Ju  J 1 Mv  J 1 g  Iu  Kv  d , trong đó I là ma trận đơn vị K  J 1 M và d  J 1 g . Chúng ta đi tìm nghiệm riêng của hệ (2.2) dưới dạng véc tơ có các toạ độ không đổi  x(t )   x  0 v  u  ,   y (t )  y  0 nên (2.2) trở thành: 1 x  2 5 77  1 v M g     y  1 4 61 
- Xem thêm -