Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
TÍCH PHÂN ỨNG DỤNG
CHUYÊN ĐỀ:
ỨNG DỤNG CỦA TÍNH PHÂN TRONG HÌNH HỌC
Chủ đề 3:
Ứng dụng 1:
TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f x liên tục trên đoạn
b
a; b , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức:
S f x dx
a
(1)
Minh họa các dạng thường gặp:
f x 0, x a; b .
f x 0, x a; b .
f x không mang 1 dấu trên
a; b .
y
f(x)
y
y
x
O
a
(H)
(H)
b
c
a
x
(H)
f(x)
b
a
b
O
x
O
f(x)
b
S f x dx
b
S f x dx
a
a
c
b
a
c
S f x dx f x dx
Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm của biến y , tức là x g y , diện tích S
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y liên tục trên
y
b
g(y)
đoạn a; b , trục tung và hai đường thẳng y a, y b được tính
b
theo công thức:
S g y dy
(H)
(2)
a
a
x
O
Bài toán 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị của hàm số f x , g x liên tục
b
trên a; b và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức:
S f x g x dx
(3)
a
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Minh họa các dạng thường gặp:
f x g x , x a; c ;
f x g x , x a; b .
f x g x , x a; b .
f x g x , x c ; b ; a c b .
y
y
f(x)
(H)
(H)
g(x)
x
x
a
O
a
(H)
f(x)
g(x)
O
f(x)
y
g(x)
x
b
b
a
O
c
b
b
S g x f x dx
b
S f x g x dx
c
b
a
c
S f x g x dx g x f x dx
a
a
Lưu ý:
Bằng cách xem x là hàm của biến y , diện tích S của hình phẳng
y
giới hạn bởi các đồ thị hàm số x f y , x g y liên tục trên
b
đoạn a; b và hai đường thẳng y a, y b được tính theo công
g(y)
f(y)
(H)
b
thức:
S f y g y dy
(4)
a
a
O
Bài toán 3:
x
Hình phẳng giới hạn bởi nhiều hơn hai đường cong
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị được chia thành nhiều phần diện tích, mà mỗi
phần ta có thể tích theo công thức (1), (2), (3) và (4).
Minh họa các dạng thường gặp:
f x h x , x a; c ;
f y g y , y a; c ;
g x h x , x c ; b ; a c b .
f y h y , y c ; b ; a c b .
g(x)
y
y
b
f(x)
g(y)
(H 1 )
f(y)
c
(H 1 )
(H 2 )
h(x)
h(y)
(H 2 )
O
O
a
c
c
b
a
c
b
S f x h x dx g x h x dx
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
x
a
x
c
b
a
c
S f y g y dy f y h y dy
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
II. PHƯƠNG PHÁP
Phương pháp: Sử dụng tính chất cơ bản của tích phân (thêm cận trung gian) để tính tích phân
chưa dấu giá trị tuyệt đối (GTTĐ).
+) Tính chất: Hàm số y f x liên tục trên K (khoảng, đoạn, nửa khoảng) và a , b , c là ba số bất
kì thuộc K . Khi đó, ta có:
b
c
a
a
b
f x dx f x dx f x dx
c
b
Chú ý: Khi áp dụng công thức (3):
S f x g x dx
, ngoài việc khử dấu GTTĐ như
a
phương pháp đã trình bày ở trên, ta có thể khử dấu GTTĐ theo phương pháp sau:
Bước 1: Giải phương trình f x g x 0 trên a; b , giả sử có các nghiệm
c , d a; b ; a c d b . Khi đó, f x g x không đổi dấu trên các đoạn a; c ; c; d ; d; b .
Tức là:
b
c
d
b
a
a
c
d
Bước 2: S f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx
c
d
b
a
c
d
f x g x dx f x g x dx f x g x dx .
Phương pháp 2: Phác thảo dạng đồ thị và đưa ra kết quả.
III. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Câu 1: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới
y
hạn bởi đồ thị hàm số y f x , trục hoành
f(x)
và hai đường thẳng x a , x b như hình vẽ
(H)
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
x
b
a
A. S f x dx.
B. S f x dx.
O
b
a
a
b
a
b
C. S f x dx.
D. S f x dx.
b
a
Lời giải:
b
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S f x dx.
a
Chọn đáp án D.
Câu 2: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ
thị hàm số y f x , trục hoành và hai đường thẳng
y
f(x)
x a , x b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây
đúng?
b
A. S f x dx.
B. S
f x dx .
b
c
b
O
a
x
(H)
a
a
c
b
c
b
a
c
a
c
C. S f x dx f x dx. D. S f x dx f x dx.
Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân và chia đoạn a; b
c
b
a
c
thành hai đoạn thành phần
a; c ; c ; b , ta có kết quả: S f x dx f x dx.
Chọn đáp án C.
Câu 3: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ
thị hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng x a , x b
y
f(x)
như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. S
b
b
g x dx f x dx .
a
a
b
b
a
a
C. S g x dx f x dx.
b
(H)
b
B. S f x dx g x dx.
a
a
b
b
a
a
g(x)
x
D. S f x dx g x dx.
a
O
b
Lời giải: (Chọn B)
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x , Ox và hai đường thẳng
b
x a; x b S1 f x dx.
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y g x , Ox và hai đường thẳng
b
x a; x b S2 g x dx.
a
b
b
a
a
Vậy S S1 S2 f x dx g x dx.
Câu 4: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x , y g x và
hai đường thẳng x a , x b như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
c
b
a
c
A. S g x f x dx f x g x dx.
f(x)
y
g(x)
b
B. S f x g x dx .
a
c
(H)
b
C. S f x g x dx g x f x dx.
a
D. S
c
c
a
x
b
f x dx g x dx .
O
c
a
c
b
Lời giải:
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x , y g x và hai đường thẳng
c
x a; x c S1 f x g x dx.
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi y f x , y g x và hai đường thẳng
b
x c; x b S2 g x f x dx.
c
c
b
a
c
Vậy S S1 S2 f x g x dx g x f x dx.
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
Chọn đáp án C.
Câu 5: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y f x x 4 2 x 2 và
trục hoành như hình vẽ bên. Khẳng định nào sau đây sai?
2
y
B. S 2 f x dx.
f x dx.
A. S
2
2
f(x)
0
2
C. S 2 f x dx.
D. S
0
2
0
f x dx
2
- 2
f x dx.
2
O
x
0
Lời giải:
Hình phẳng đối xứng qua Oy nên S
2
f x dx 2
2
0
2
2
f x dx 2 f x dx.
0
Chọn đáp án B.
Câu 6: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y
x g y , trục tung và hai đường thẳng y a, y b như hình vẽ bên.
b
Khẳng định nào sau đây đúng?
g(y)
(H)
b
a
b
a
b
a
A. S g y dx. B. S g y dy. C. S g y dy. D. S
b
g y dx .
a
a
x
O
Lời giải:
b
Dựa vào nội dung ý nghĩa của tích phân ta có kết quả: S g y dy.
a
Chọn đáp án C.
Câu 7: Kí hiệu S là diện tích hình phẳng giới
hạn bởi các đồ thị hàm số x f y , x g y
y
b
và hai đường thẳng y a, y b như hình vẽ
bên. Khẳng định nào sau đây đúng?
c
b
a
c
A. S g y f y dx f y g y dx.
g(y)
f(y)
c
a
x
O
b
B. S f y g y dy .
a
c
b
a
c
C. S g y f y dy f y g y dy.
b
D. S f y g y dy .
a
Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Gọi S1 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x f y , x g y và hai đường thẳng
c
y a; y c S1 g y f y dy.
a
Gọi S2 là diện tích hình phẳng được giới hạn bởi x f y , x g y và hai đường thẳng
b
y c; y b S2 f y g y dy.
c
c
b
a
c
Vậy S S1 S2 g y f y dy f y g y dy.
Chọn đáp án C.
x
x
Câu 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e ; y e ; x 1.
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
A.
B.
C.
D.
e
e
e
e
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: e x e x x 0.
1
S e e
x
x
dx
0
1
e
x
e x dx e x e x
0
1
0
e e 1 2
e 2 2e 1
.
e
Chọn đáp án B.
Câu 9: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4x 1 , y m, (m 3) , x 0, x 3 là:
B. 3m 6 .
A. 3m 6 .
C. 3m 6 .
D. 3m 6 .
Lời giải:
Ta có: x2 4x 1 x 2 3 3, x
2
3
x3
Do đó S x 4 x 1 m dx 2x2 x mx 6 3m .
3
0
0
Chọn đáp án D.
3
2
Câu 10: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x 1 , y m, (m 2) ,
x 0, x 1 . Tìm m sao cho S 48 :
B. m 6 .
A. m 4 .
C. m 8 .
D. m 10 .
Lời giải:
Ta có: x2 2x 1 x 1 2 2, x
2
3
x3
Do đó S m x 2x 1 dx mx x2 x 3m 24 .
3
0
0
S 48 3m 24 48 m 8
Chọn đáp án C.
3
2
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
x m , 0 m 3 bằng:
A.
m 3 3m 2
.
3
2
B.
m 3 3m 2
.
3
2
C.
m3 m2
2m .
3
2
D.
m3 m2
2m .
3
2
Lời giải:
Ta có: x 2 3x 0, x 0; m . Vì 0 m 3
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
m
m
Do đó S x 3x dx
2
0
0
m
x 3 3x 2
3m2 m3
.
x 3x dx
2 0
2
3
3
2
Chọn đáp án B.
Câu 12: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x 1 , y x 1 , x 0,
x m , m 0 bằng
A. 3 .
5
. Khi đó giá trị m bằng:
6
B. 2 .
D. 4 .
C. 1 .
Lời giải:
Ta có: x 2 x 0, x m; 0 .
0
0
Do đó S x x dx
2
m
m
0
x3 x2
m2 m3
.
x x dx
2
3
3 2 m
2
5
m2 m3 5
m 1
6
2
3
6
Chọn đáp án C.
S
Câu 13: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( E) : x2 16 y2 16 có diện bằng.
A.
C. 3
B. 2
D. 4
Lời giải:
4
S 4
0
y
16 x 2 dx
16 x 2 dx
4
0
4
Đặt x 4 sin t , t ; dx 4 cos tdt .
2 2
Đổi cận: x 0 t 0; x 4 t
2
S
0
4
16 x 2
y
1
4
x
4
1
2
1
2
16 16 sin t .4 cos tdt 16 cos tdt 8 1 cos 2 t dt 8 t sin 2t 4 .
2
0
0
0
2
2
2
2
Chọn đáp án C.
Câu 14: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục Ox và đường thẳng x 2 có diện
tích là
A. S 1 .
B. S 16 .
Lời giải:
Phương trình x3 0 x 0 .
0
Diện tích hình phẳng: S
2
C. S 4 .
0
x dx x 3dx
3
2
D. S 4 .
x4 0
4.
4 2
Chọn đáp án C.
Câu 15: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 1
x
1
, trục Ox và hai đường thẳng
x2
1
, x 2 có diện tích là
2
A. S 5 .
B. S
5
.
2
C. S 2 .
D. S 1 .
Lời giải:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
2 x2 1
1 2
2 2
1
x 1
x 1
d
x
d
x
dx
Diện tích hình phẳng: S 1 2 dx
2
2
x
x
x
x2
1
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1 2
1 2 dx 1 2 dx x 1 x 1 .
x
x 1
x
x
1
1
2
2
Chọn đáp án D.
1
Câu 16: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 2x và đường thẳng 2x y 0 có diện tích
là
D. S 16 .
A. S 8 .
B. S 4 .
C. S 2 .
Lời giải:
Giải phương trình: x3 2x 2x x 0 x 2 x 2.
2
Diện tích hình phẳng: S
x
3
2
4 x dx
0
x
3
2
2
4 x dx 4 x x3 dx 4 4 8 .
0
Chọn đáp án A.
Câu 17: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y
x khi x 1
10
x x 2 và y
, có diện tích
3
x 2 khi x 1
là
A. S 13 .
B. S
15
.
2
C. S
13
.
2
D. S 7 .
Lời giải:
Tìm hoành độ các giao điểm:
10
10
x x 2 x x 0;
x x 2 x 2 x 3.
3
3
Dựa vào đồ thị (hình bên) diện tích hình phẳng cần tìm
1
3
10
10
2
là S x x x dx x x 2 x 2 dx
3
3
0
1
13
(đ.v.d.t)
2
Chọn đáp án C.
3x 1
, Ox , Oy là
x 1
4
4
C. S 4 ln 1 .
D. S 4 ln 2 .
3
3
Câu 18: Diện tích hình phẳng giới hạn bới các đường y
4
4
A. S 4 ln 1 .
B. S 4 ln .
3
3
Lời giải:
3x 1
1
0 x . Vậy S
Xét phương trình:
x 1
3
0
1
3
3 x 1
4
dx 4 ln 1 (đ.v.d.t).
x 1
3
Chọn đáp án C.
a
Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 4 x 3 , y x 3 là S ;
b
a; b ; a 0 ; ba là phân số tối giản. Khẳng định nào sau đây là đúng?
b2
25
A. b a 103 0.
B. ba 654 0.
C.
D. b a3 107 0.
a 109
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
Lời giải:
x 3 0
Xét phương trình: x 4 x 3 x 3 x 2 4 x 3 x 3 x 0 x 5.
x2 4x 3 x 3
2
5
Vậy S x 2 4 x 3 x 3 dx
0
x
5
2
4 x 3 x 3 dx
0
109
a 109; b 6 b a 3 107 0.
6
Chọn đáp án D.
x2
x2
Câu 20: Hình phẳng (H) giới hạn bởi các đồ thị y 4 , y
(hình vẽ bên). Khẳng định nào sau
4
4 2
đây đúng?
y
x
x
x
x
dx.
B.
S
2
4
4
d
x
.
0 4 2
4 2
4
4
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
x
x
x
x
dx.
C. S
4 dx. D. S 4
4
4 4 2
2 2 4 2
2
2
A. S 2
2 2
2
0
2
2
(P)
2
2
2
(E)
x
-4
O
-2 2
2 2
Lời giải:
Ta có:
4
2 2
x2
x2
x2
x2
dx.
; x 2 2; 2 2 S 4
4 4 2
4
4
2
2 2
Chọn đáp án D.
Câu 21: (Đề thử nghiệm 2017) Ông An có một mảnh vườn hình
elip có độ dài trục lớn bằng 16m và độ dài trục bé bằng 10m .
Ông muốn trồng hoa trên một dải đất rộng 8m và nhận trục bé của
elip làm trục đối xứng (như hình vẽ). Biết kinh phí để trồng hoa
là 100.000 đồng/ 1m2 . Hỏi ông An cần bao nhiêu tiền để trồng
8m
hoa trên dải đất đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn).
A. 7.862.000 đồng.
B. 7.653.000 đồng. C. 7.128.000 đồng. D. 7.826.000 đồng.
Lời giải: (Chọn B)
x2 y 2
Giả sử elip có phương trình 2 2 1 . Từ giả thiết ta có 2a 16 a 8 và 2b 10 b 5
a
b
5
y
64 y 2 E1
2
2
y
x
8
1
Vậy phương trình của elip là
64 25
y 5 64 y 2 E
1
8
Khi đó diện tích dải vườn được giới hạn bởi các đường E1 ; E2 ; x 4; x 4 và diện tích của
4
4
5
5
64 x2 dx 64 x2 dx.
8
20
4
dải vườn là S 2
3
Tính tích phân này bằng phép đổi biến x 8 sin t , ta được S 80
.
6 4
3
Khi đó số tiền là T 80
.100000 7652891,82 7.653.000 .
6 4
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
4
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
IV. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỰ LUYỆN (Đăng ký: ngochuyenlb.gr8.com để nhận Đáp án)
Câu 1: Cho hai hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b có đồ thị lần lượt là C1 , C 2
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị C1 , C 2 và hai đường thẳng
x a , x b a b bằng
b
b
a
a
b
b
a
a
b
B. S f x dx g x dx .
A. S f x g x dx .
C. S g x dx f x dx .
D. S
a
b
1
f x g x dx .
2 a
Câu 2: Cho hai hàm số y f x , y g x liên tục trên đoạn a; b , c a; b . Gọi S là diện tích
của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y f x , y g x và hai đường thẳng x a , x b
Công thức nào sau đây sai?
b
A. S g x f x dx .
B. S
b
f x g x dx .
a
a
b
c
b
a
c
D. S f x g( x) dx f x g( x) dx .
C. S f ( x) g( x) dx .
a
Câu 3: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị 3 bàm số hàm số y f x , y g x , y h x
phần gạch chéo hình bên dưới được tính bởi công thức là:
b
c
A. S g x f x dx h x f x dx .
a
b
b
c
y g x
y
a
O
y f x
B. S f x h x dx f x g x dx .
a
b
b
c
C. S g x h( x) dx g x f ( x) dx .
a
b
b
c
a
b
D. S f x g( x) dx f x h( x) dx .
b
c
x
y h x
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y ln x, y 0, x e
1
1
1
(đ.v.d.t).
B. (đ.v.d.t).
C. (đ.v.d.t).
D. 1 (đ.v.d.t).
2
3
4
Câu 5: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x 2 , y m, m 1 , x 0, x 3 là
A.
A. 3m 6 (đ.v.d.t).
B. 3m 6 (đ.v.d.t).
C. 3m 6 (đ.v.d.t).
D. 3m 6 (đ.v.d.t).
2
Câu 6: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x 3
có diện tích là
A. S 1 (đ.v.d.t).
B. S 16 (đ.v.d.t).
C. S 9 (đ.v.d.t).
D. S 4 (đ.v.d.t).
Câu 7: Cho Parabol P : y x 2 và tiếp tuyến của P tại điểm
A 1;1 có phương trình y 2x 1. Diện tích của phần bôi đậm
như hình vẽ là
1
5
8
A. (đ.v.d.t). B. (đ.v.d.t). C. 2 (đ.v.d.t). D. (đ.v.d.t).
3
3
3
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
Câu 8: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a; b . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b bằng
b
A.
b
f x dx.
B.
a
a
b
b
C. f 2 x dx.
f x dx .
D.
f x dx.
a
a
Câu 9: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x 2
3
có diện tích là
A. S 1 (đ.v.d.t).
B. S 16 (đ.v.d.t).
C. S 4 (đ.v.d.t).
D. S 4 (đ.v.d.t).
Câu 10: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x và trục Ox . Khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox có thể tích là
512
16
4
(đ.v.t.t).
B. V
(đ.v.t.t).
C. V
(đ.v.t.t). D. V (đ.v.t.t).
15
15
3
5
3
Câu 11: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 6x và
A. V
y x2 (hình bên) bằng
0
x
A. S
3
2
C. S
3
6x x dx. B. S
2
x
3
6x x2 dx.
2
x2 x3 6x dx. D. S
2
3
0
x 3 6 x x 2 dx
2
3
x
6 x x 2 dx .
3
0
Câu 12: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a; b , f x 0, x a; b . Gọi
S là diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số f x , trục hoành
và hai đường thẳng x a , x b a b . Khẳng định nào sau đây sai?
b
A. S f x dx.
b
B.
f x dx .
a
a
b
b
C. S f x dx.
D.
a
f x dx.
a
Câu 13: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y x x 3 và y 2 x 1 là
2
1
1
5
3
(đ.v.d.t).
B. S (đ.v.d.t).
C. S (đ.v.d.t).
D. S (đ.v.d.t).
7
6
8
6
Câu 14: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y sin x, y 0, x 0 và x là
A. S
A. S 4 (đ.v.d.t).
B. S 2 (đ.v.d.t).
C. S 4 (đ.v.d.t).
D. S (đ.v.d.t).
Câu 15: Cho hàm số f x liên tục trên đoạn a; b . Diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ
thị hàm số f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b a b bằng
b
A.
b
f x dx.
B.
f x dx .
a
a
b
C. f
a
2
x dx.
b
D.
f x dx.
a
1
Câu 16: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y ln x , x , x e và trục hoành
e
(hình bên) được tính theo công thức
e
A. ln xdx.
1
e
1
e
1
B. ln xdx ln xdx.
1
e
1
e
1
e
1
C. ln xdx ln xdx.
e
D.
ln xdx .
1
e
Câu 17: Diện tích của hình phẳng phần gạch chéo trong hình dưới được tính bởi công thức:
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
c
A.
a
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
c
B.
Lê Bá Bảo
c
d
d
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
a
c
d
c
d
b
a
c
d
C. f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx.
b
D.
f ( x)dx.
a
Câu 18: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y e x , y e x , x 1 .
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
e 2 2e 1
.
.
.
.
B.
C.
D.
e
e
e
e
Câu 19: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x2 2x 1 , y x 1 , x 0, x k , k 0
A.
5
. Khi đó giá trị k bằng:
6
A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 4 .
2
2
Câu 20: Hình phẳng giới hạn bởi đường elip ( E) : x 4 y 4 có diện bằng.
bằng
A. .
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 21: Diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 2, trục hoành và hai đường
thẳng x 0 và x 1 là
2
A.
x
2
2 dx .
0
B.
0
x
2
2 dx .
1
C.
x
2
2 dx .
D. 2.
0
1
Câu 22: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y 2x x2 , y x khi quay quanh trục Ox tạo
thành khối tròn xoay có thể tích là
1
1
B. 2x x
A. x dx .
2
2
2
1
dx .
2
1
dx .
D. 2 x x
0
0
0
0
C. x x
2
2
1
dx x dx.
2
2
0
Câu 23: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số y x 2 và y 3x là:
2
7
.
2
Câu 24: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi y ln x, y 0, x e là
A. 2 .
B. 3 .
C.
D.
1
.
6
A. 2
B. 1 .
C. 5 .
D. 4 .
Câu 25: Giả sử hình phẳng tạo bởi các đường cong y f ( x), y g( x), x a, x b có diện tích là
S1 . Còn hình phẳng tạo bởi các đường cong y 2 f ( x), y 2 g( x), x a, x b có diện tích là S2 .
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. S2 4S1 .
B. S2 S1 .
C. 2S2 S1 .
Câu 26: Cho đồ thị hàm số y f x . Diện tích hình phẳng
D. S2 2S1 .
(phần tô đậm trong hình bên) là
4
A.
1
f x dx .
B.
0
C.
3
3
3
0
3
4
0
f x dx f x dx . D.
4
f x dx f x dx .
1
4
f x dx f x dx .
0
Câu 27: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong y x3 và y x5 bằng
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
1
.
D. 2.
6
Câu 28: Diện tích hình phẳng nằm trong góc phần tư thứ nhất, giới hạn bởi đường thẳng y 4 x
B. 4 .
A. 0.
C.
và đồ thị hàm số y x3 là:
A. 4.
B. 5.
C. 3.
D. 3,5.
Câu 29: Cho đường cong C : y x . Gọi d là tiếp tuyến của C tại điểm M 4, 2 . Khi đó diện
tích của hình phẳng giới hạn bởi C ; d và Ox là
22
16
8
2
.
B. .
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 30: Viết công thức tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số
y f ( x), y g( x) và các đường thẳng x a, x b là:
A.
b
b
A. S f ( x) g( x) dx.
B. S f ( x) g( x) dx.
a
a
b
b
C. S f ( x) g( x) dx.
D. S f ( x) g( x) dx.
a
2
a
Câu 31: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 và đường thẳng y 2 x là:
4
5
3
23
.
.
B. .
C. .
D.
2
3
3
15
Câu 32: Diện tích miền D được giới hạn bởi hai đường: y 2x2 và y 2 x 4 là
A.
1
13
3
.
.
B. 9.
C.
D. .
9
13
3
2
Câu 33: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x , trục hoành và hai đường
A.
thẳng x 1, x 3 là
28
28
1
1
dvdt .
dvdt .
A.
B.
C. dvdt .
D. dvdt .
9
3
3
5
2
Câu 34: Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đường y x x 3 và đường thẳng y 2 x 1 là
1
7
1
dvdt .
B. dvdt .
C. dvdt .
D. 5 dvdt .
6
6
6
Câu 35: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C : y x 2 và d : x y 2 bằng
A.
7
9
11
13
.
.
.
B. .
C.
D.
2
2
2
2
Câu 36: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi C1 : y x 2 và C2 : y x bằng
A.
2
4
5
1
.
B. .
C. .
D. .
3
3
3
3
3
Câu 37: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 3x 2 và đồ thị hàm số
A.
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 38: Xét hai phát biểu:
(1) cho y1 f1 x và y2 f2 x là hai hàm số liên tục trên đoạn a; b . Giả sử:
và , với a b , là các nghiệm của phương trình f1 x f2 x 0 . Khi đó diện tích của
hình phẳng giới hạn bởi 2 đường thẳng và đồ thị được cho bởi công thức:
b
a
S f1 x f2 x dx f1 x f 2 x dx f1 x f 2 x dx
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
(2) Cũng với giả thiết như (1), nhưng:
S
b
f x f x dx f x f x dx f x f x dx
1
2
1
2
1
2
a
Chọn đáp án đúng.
A. (1) đúng nhưng (2) sai.
B. (2) đúng nhưng (1) sai.
C. Cả (1) và (2) đều đúng.
D. Cả (1) và (2) đều sai.
Câu 39: Tính diện tích hình phẳng S giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x 2 và đồ thị hàm số
y x 2 .
A. S 8
B. S 4
C. S 16
D. S 2
Câu 40: Viết công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 1 , trục hoành,
trục tung và đường thẳng x 2 .
2
A. S x 2 1 dx .
B. S
0
x
2
0
2
1 dx .
2
C. S x 2 1 dx .
1
1
D. S x 2 1 dx .
1
Câu 41: Diện tích giới hạn bởi đồ thị hai hàm số: y x2 1, y x 3 bằng:
A. 3.
B. 4.
C.
9
.
2
D. 5.
Câu 42: Gọi là diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y
cos x sin x
3 sin 2 x
; x 0; x
2
và
trục Ox. Tìm giá trị của cos .
3
2
1
.
B.
.
C. 0.
D.
.
2
2
2
Câu 43: Dựa vào ý nghĩa hình học của tích phân, hãy tìm khẳng định sai trong các khẳng định
sau:
A.
1
1
0
0
A. ln 1 x dx
x 1
dx
e 1
4
4
0
0
B. sin 2 xdx sin 2 xdx .
2
2
3
1 x
dx .
C. e x dx
D. e x dx e x dx .
1 x
0
0
0
0
Câu 44: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của
hàm số liên tục y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b
1
1
1
1
như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào sai?
b
A. S f x dx.
a
b
C. S f x dx.
a
b
B. S f x dx.
a
D. S
b
f x dx .
a
Câu 45: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x 2
có diện tích là S . Khẳng định nào sau đây đúng?
1
A. tan 1.
B. sin .
C. tan 1.
D. tan 3.
S
S
S
S 2
Câu 46: Kí hiệu S là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số liên tục y f x ,
trục hoành và hai đường thẳng x a , x b như trong hình vẽ bên. Khẳng định nào đúng?
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
b
b
b
C. S f x dx.
B. S f x dx.
A. S f x dx.
f x dx .
a
a
a
a
b
D. S
Câu 47: Diện tích S của hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị của hàm số y f x , y g x liên
tục và hai đường thẳng x a , x b được tính theo công thức
b
A. S f x g x dx .
B. S
b
a
a
b
b
b
a
a
a
f x g x dx .C. S f x g x dx . D. S f x dx g x dx .
Câu 48: Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y
1
, trục hoành và hai đường
x2
thẳng x 1, x 2 bằng
1
1
A. .
B. 4 .
C. .
D. 2 .
6
2
Câu 49: Diện tích hình phẳng H giới hạn bởi các đường y x2 ; y x 2 bằng
9
9
15
15
.
B.
.
C. .
D. .
2
2
2
2
x
Câu 50: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y e , trục Oy , trục Ox và đường thẳng x 1
A.
có diện tích là
A. S 1 . B. S e 1 .
C. S e .
D. S e 1 .
Câu 51: Hình phẳng B giới hạn bởi đồ thị hàm số được cho bởi hình bên dưới. Diện tích hình
phẳng B bằng
A. S
1
2x
2
B. S
1
2
2
3
4
4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
1
3
3
4
C. S 2 x 4 x 6 dx 2 x 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
2
D. S
1
2
2
1
3
2
3
4
2 x2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx 2 x 2 4 x 6 dx.
1
3
Câu 52: Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 3x 2 , trục Oy , trục Ox và đường thẳng
x 1 có diện tích là
7
A. S .
4
B. S
1
.
4
C. S
5
.
4
D. S
7
.
4
Câu 53: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (hình bên) bằng
9
3
9
9
A. S 1.
B. S ln 3 . C. S ln 3 4. D. S ln 3 2.
2
2
2
2
Câu 54: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x sin x và y x 0 x 2 bằng
A. 4.
B. 4.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
C. 0.
D. 1.
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Câu 55: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x2 4x 3 và y x 3 có kết quả
a
(là phân số tối giản). Khi đó a 2b bằng
b
A. 67.
B. 121.
C. 136.
D. 217.
Câu 56: (Đề thử nghiệm 2017) Cho hình thang cong H giới hạn bởi các
dạng
y
đường y e x , y 0 , x 0 , x ln 4 . Đường thẳng x k (0 k ln 4) chia
H
thành hai phần có diện tích là S1 và S2 như hình vẽ bên. Tìm k để
S1 2S2 .
2
8
ln 4 .
B. k ln 2 .
C. k ln .
D. k ln 3 .
3
3
Câu 57: (Chuyên Quốc Học_Huế Lần 1) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy xét
A. k
hai hình H 1 , H 2 được xác định:
S2
S1
x
O
k
ln 4
H1 M( x; y )|log 1 x 2 y 2 1 log( x y) , H 2 N ( x; y )|log 2 x 2 y 2 2 log( x y) .
Gọi S1 , S2 lần lượt là diện tích của các hình H 1 , H 2 . Tính tỉ số
S2
.
S1
A. 99.
B. 101.
C. 102.
D. 100.
Câu 58: (Đề minh họa 2017) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x3 x và
đồ thị hàm số y x x2 .
37
81
9
.
B. .
C.
.
D. 13 .
12
12
4
Câu 59: (Tạp chí THTT Đề 04/2017) Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường
ln x
x 1, x e , y 0, y
bằng:
2 x
A.
A. 3 e .
B. 2 e .
C. 2 e .
D. e 3 .
Câu 60: (Tạp chí THTT Đề 03/2017) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y 2x2 x4
và trục hoành là:
A.
8 2
.
15
B.
16 2
.
15
C. 4 2.
D. 2 2.
(Đáp án sẽ được gửi vào 22h ngày 28/02/2017, các em vui lòng đăng ký tại http://ngochuyenlb.gr8.com/ để nhận)
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
Ứng dụng 2:
TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ
I. LÝ THUYẾT
Bài toán 1: Tính thể tích của vật thể
Cho một vật thể trong không gian với hệ tọa độ Oxyz
Gọi B là phần của vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b . Gọi S x
là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng
vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ
x a x b (hình bên). Giả sử S S x là một hàm
liên tục trên a; b .
b
Khi đó, thể tích V của B là
V S x dx
(5)
a
* Sử dụng công thức (5), ta tìm được công thức một số vật thể quen thuộc trong hình học như:
1) Thể tích khối chóp cụt: Cho khối chóp cụt có chiều cao h , diện tích đáy nhỏ và đáy lớn theo thứ
h
tự là S0 , S1 . Thể tích V là: V S0 S0S1 S1
.
3
2) Nhận xét: Khối chóp được coi là khối chóp cụt có S0 0. Vì vậy, thể tích khối chóp có chiều cao
hS
.
3
3) Thể tích khối lăng trụ: Khối lăng trụ có chiều cao h và diện tích đáy S có thể tích là: V hS
.
Bài toán 2: Tính thể tích khối tròn xoay
Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay.
Dạng 1: (Hình phẳng quay quanh Ox) Cho hình phẳng được
y
f(x)
giới hạn bởi đồ thị hàm số y f x liên tục trên a; b , trục
h và diện tích đáy S là:
V
Ox và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox ta được
b
khối tròn xoay có thể tích là:
Vx f
2
x dx
(6)
x
O
a
b
a
Dạng 2: (Hình phẳng quay quanh Oy) Cho hình phẳng được
giới hạn bởi đồ thị hàm số x g y liên tục trên a; b , trục
y
b
Oy và hai đường thẳng y a, y b quanh trục Oy ta được
g(y)
b
khối tròn xoay có thể tích là:
Vy g 2 y dy
(7)
a
a
x
O
Dạng 3: Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục.
Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích thành phần V1 , V2 ,... mà mỗi
phần được tính bằng các công thức (6), (7).
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Minh họa các dạng thường gặp:
g x f x , x a; b .
f x g x , x a; b .
y
y
f(x)
g(x)
g(x)
O
f(x)
x
a
O
b
x
a
b
b
x g x dx
V g 2 x f 2 x dx
f y g y , y a; b .
g y f y , y a; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
b
b
f(y)
f(y)
g(y)
g(y)
a
a
x
x
O
O
b
y g y dy
V g 2 y f 2 y dy
f x g x , x a; c ;
f x h x , x a; c ;
g x f x , x c ; b .
g x h x , x c ; b .
b
V f
2
2
a
a
y
y
f(x)
g(x)
f(x)
g(x)
h(x)
x
O a
c
x
b
O
a
c
b
c
b
c
b
a
c
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx V f 2 x h 2 x dx g 2 x h 2 x dx
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
Lê Bá Bảo
Giáo viên chuyên luyện thi THPT quốc gia TP Huế
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA:
Câu 1: Thể tích khối tròn xoay do phần hình phẳng S trong hình vẽ dưới quanh trục Ox được tính
bằng công thức:
b
A. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
B. V f1 ( x) f2 ( x) dx
2
a
b
C. V f12 ( x) f22 ( x)dx
a
b
D. V f1 ( x) f2 ( x)dx
a
Lời giải
b
Ta có: f1 x f2 x 0; x a; b V f12 ( x) f22 ( x) dx.
a
Chọn đáp án C.
Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay
hình phẳng (H) quanh trục Ox là
b
A. V f
2
b
B. V g 2 x f 2 x dx.
x g x dx.
2
f(x)
y
a
a
(H)
g(x)
c
b
C. V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
a
x
O
c
c
D. V g x f
2
a
c
b
b
2
a
x dx f x g x dx.
2
2
c
Lời giải
Ta có: f x g x 0; x a; c ; g x f x 0; x c ; b
c
b
a
c
V f 2 x g 2 x dx g 2 x f 2 x dx.
Chọn đáp án C.
Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn (H) như hình vẽ bên. Thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay
hình phẳng (H) quanh trục Oy là
b
A. V g 2 y f 2 y dx.
a
b
B. V f 2 y g 2 y dy.
y
b
f(y)
a
g(y)
a
C. V g y f
2
2
y dy.
b
b
D. V f
2
y g y dy.
a
x
2
O
a
Lời giải
a
Ta có: g y f y 0; y a; b V g 2 y f 2 y dy.
b
Chọn đáp án C.
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO...0935.785.115...
CLB Giáo viên trẻ TP Huế
Chuyên đề tích phân ứng dụng
Lê Bá Bảo
Câu 4: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y x 2 x và trục Ox . Khối tròn xoay
tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox có thể tích là
A. V
4
.
3
B. V
16
.
15
512
.
15
C. V
D. V
5
.
Lời giải
Phương trình x 2 x 0 x 0 hoặc x 2 .
2
2
Thể tích khối tròn xoay: V x 2 x dx x 2 x 2 4x 4 dx
2
2
0
0
2
x5
4 x 3 2 16
.
x 4 4 x 3 4 x 2 dx x 4
3 0 15
5
0
Chọn đáp án B.
Câu 5: Cho hình phẳng H giới hạn bởi đồ thị hàm số y
1
, trục Ox và hai đường thẳng
x
x 1, x 2 . Khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng H quanh trục Ox có thể tích là
A. V
7
.
3
C. V
B. V ln 2 .
2
D. V .ln 2 .
.
Lời giải
2
Thể tích khối tròn xoay: V
1
Chọn đáp án C.
1
2
dx
.
2
x1
2
2
x
Câu 6: Cho hàm số y 4 x4 có đồ thị C , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
hạn bởi C và trục Ox , quanh trục Oy có thể tích là
A. V
C. V
32
.
3
16
.
3
16 2 4 2
V
D.
3
B. V
1024 2
.
45
3
2
.
Lời giải:
Do tính đối xứng nên thể tích cần tìm bằng thể tích khối tròn xoay tạo
thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đường cong x 4 4 y ,
trục Oy và hai đường thẳng y 0, y 4 quanh trục Oy .
4
4
0
0
1
V 4 y dy 4 y 2 dy
3
4 16
2
4 y2
.
0
3
3
Chọn đáp án B.
Câu 7: Cho hàm số y x 2 có đồ thị C , khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới
2
hạn bởi C , trục Ox , trục Oy và đường thẳng x 3 có thể tích là
33
.
5
32
C. V
.
5
A. V
34
.
5
33
D. V
.
5
B. V
Biên tập: Ngọc Huyền LB (facebook.com/huyenvu2405)
The best or nothing
- Xem thêm -
.PDF 
31 
415 
110 
