TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN SƯ PHẠM VẬT LÝ
ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Luận văn Tốt nghiệp
Ngành: SƯ PHẠM VẬT LÝ
Giáo viên hướng dẫn
Sinh viên thực hiện
Ths - GVC: Lê Văn Nhạn
Đào Thị Thanh Thuỷ
Mã số SV: 1070265
Lớp: SP Vật lý 02 – K33
Cần Thơ – tháng 05/2011
LỜI CẢM ƠN
Sau gần một năm miệt mài nghiên cứu dưới sự hướng dẫn, quan tâm và giúp đỡ tận
tình của các Thầy Cô, cuối cùng em cũng đã khép lại bốn năm học tập của mình khi hoàn
thành đề tài “ Ứng Dụng Phép Biến Đổi Laplace Giải Phương Trình Vi Phân”.
Để hoàn thành tốt đề tài và có được những kết quả nhất định, em đã thật sự cố gắng rất
nhiều kể từ khi bắt đầu thực hiện cho đến khi kết thúc đề tài. Bên cạnh sự nổ lực của bản
thân mình, em đã nhận được rất nhiều sự động viên, giúp đỡ và cổ vũ nhiệt tình của gia
đình, Thầy Cô và bạn bè. Nhân đây, em xin gởi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất
đến:
* Gia đình và người thân đã khuyến khích, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt thời gian em thực hiện đề tài.
* Đặc biệt, Thầy Lê Văn Nhạn đã luôn theo sát hướng dẫn, động viên tinh thần và
truyền đạt cho em những kinh nghiệm quý báu của mình.
* Bên cạnh đó, em xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Thầy Lê Phương Quân - Khoa
Khoa Học - đã giúp em rất nhiều trong việc tìm hiểu các vấn đề vướng mắc liên quan
đến chuyên ngành Toán học và cung cấp cho em nguồn tài liệu vô cùng quý giá
* Cảm ơn bạn bè, đặc biệt là những người bạn cùng làm luận văn với em trong học kỳ
này, đã cùng trao đổi kiến thức và giúp đỡ nhau trong suốt thời gian thực hiện đề tài.
Trong quá trình thực hiện, tuy đã cố gắng hết sức để hoàn thành tốt đề tài. Nhưng do
kiến thức và thời gian có hạn nên đề tài không thể tránh khỏi những sai sót. Em rất mong
nhận được sự đóng góp của quý Thầy Cô cùng các bạn để đề tài được hoàn chỉnh hơn.
Một lần nữa em mong gia đình, Thầy Lê Văn Nhạn, Thầy Lê Phương Quân, các bạn
sinh viên nhận nơi đây lòng biết ơn sâu sắc.
Cần Thơ, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện
PHẦN I: MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Như đã biết Vật lý và Toán học có mối quan hệ mật thiết với nhau. Vì thế, nếu chúng
ta tìm hiểu kỹ các vấn đề về Toán học thì sẽ giúp ích rất nhiều cho Vật lý. Một trong
những phần quan trọng của Toán học giúp ích rất nhiều cho Vật lý đó là “Phép Biến Đổi
Laplace”.
Biến đổi Laplace là một biến đổi tích phân và cùng với biến đổi Fourier là hai phép
biến đổi rất hữu ích và thường được sử dụng trong các bài tập Vật lý. Qua phép biến đổi
Laplace, các phép toán giải tích phức tạp như: đạo hàm, tích phân được đơn giản hóa
thành các phép tính đại số. Vì vậy, nó là “phương pháp giải” có mặt trong các phương
trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, những phương trình
xuất hiện trong các bài toán Vật lý như: phương trình mạch điện, dao động điều hòa, các
hệ cơ học,…
Như vậy, phép biến đổi Laplace rất cần thiết cho Toán học cũng như Vật lý học, mà
ứng dụng lớn nhất của nó là giải phương trình vi phân. Chính vì hiểu được tầm quan
trọng của phép biến đổi này nên em quyết định đi sâu tìm hiểu đề tài “Ứng dụng của phép
biến đổi Laplace giải phương trình vi phân”.
II. Mục đích của đề tài
Giới thiệu phép biến đổi Laplace
Ứng dụng của phép biến đổi Laplace trong giải phương trình vi phân
III. Giới hạn của đề tài
Như đã nói ở trên, phép biến đổi Laplace có rất nhiều ứng dụng quan trọng nhưng
trong đề tài này em chỉ chuyên sâu nghiên cứu:
* Phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược (về định nghĩa, tính chất, các
ví dụ)
* Ứng dụng của nó để giải phương trình vi phân, các bài toán trong Vật lý
IV. Phương pháp nghiên cứu
Tìm tòi và nghiên cứu kỹ các tài liệu liên quan
Sử dụng các phương pháp giải toán đưa vào các bài tập Vật lý
Nhờ vào sự hướng dẫn của Giáo viên
V. Các bước thực hiện đề tài
Nhận đề tài
Tìm tài liệu, nghiên cứu nội dung các vấn đề có liên quan
Viết đề cương và nhờ Giáo viên hướng dẫn nhận xét
Thực hiện đề tài
Nộp bản thảo cho Giáo viên hướng dẫn, tiếp thu ý kiến và chỉnh sửa
Hoàn chỉnh đề tài
Chuẩn bị nội dung báo cáo
PHẦN II: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE
1.1 Định nghĩa
Phép biến đổi Laplace là một quy luật liên kết với hàm f(t) một hàm F(s) xác định bởi:
F ( s ) L f ( t )
f ( t ) e st dt (1.1)
0
Trong đó:
F(s): biến đổi Laplace của f(t)
f(t): biến đổi Laplace ngược của F(s)
Chúng ta có thể viết: L f (t ) F ( s )
- Biến đổi Laplace tồn tại nếu tích phân (1.1) hội tụ khi s ở trong một khoảng nào đó, gọi
là khoảng hội tụ
- Điều kiện đủ để biến đổi Laplace F(s) của f(t) tồn tại là:
a. f(t): hàm liên tục từng mảnh (hay từng khúc)
b. f(t): có bậc mũ, nghĩa là tồn tại Me t sao cho với mọi t khá lớn: f ( t ) Me
t
- Định lý 1.1
Nếu f(t) liên tục từng mảnh trên mọi khoảng hữu hạn 0 t N và có hoành độ hội tụ
0 khi t > N thì biến đổi Laplace F(s) của nó tồn tại với mọi s 0 .
1.2 Biến đổi Laplace của các hàm thông dụng
1.2.1 Hàm bậc thang đơn vị u(t)
a. Định nghĩa: hàm bậc thang đơn vị u(t) là hàm được định nghĩa bởi:
0
u (t)
1
nếu t 0
nếu t 0
b. Tìm biến đổi Laplace của hàm bậc thang đơn vị:
Ta có: L u (t ) e st dt
0
1.2.2 Hàm mũ e at
1
( s 0)
s
Biến đổi Laplace của hàm mũ là:
L e
at
e
1
(nếu s a )
sa
at st
e dt e ( a s )t dt
0
0
1.2.3 Hàm lượng giác cosat, sinat
Biến đổi Laplace của hàm lượng giác
a. Lcos at cos at e st dt
0
u e st du se st dt
Đặt
sin at
dv cos at dt v
a
s
L cos at
a
I1
1 s
st
cos at e dt
a a 0
s s2
s
2 I1 I1 2
(nếu s 0 )
2
a
a
s a2
b. L sin at sin at e st dt
0
Tương tự như trên ta tìm được: I 2
a
(nếu s 0 )
s a2
2
1.2.4 Hàm lũy thừa t n (với n N )
Ta có: L t n t n e st dt
0
u t n du nt n1dt
Đặt
e st
st
dv e dt v
s
e st
L t t
s
n
n
Hay L t n
e st n 1
n
nt dt L t n 1 ( s 0)
s
0 s
0
n n 1
n n 1 n 2
n!
L t n 2
L u (t ) n 1 ( s 0)
s s
s s
s
s
1.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace
1.3.1 Tuyến tính
Định lý 1.2
- Nếu F1 ( s ) và F2 ( s ) lần lượt là biến đổi Laplace của f1 (t ) và f 2 (t ); còn a1 , a2 là hằng số
bất kỳ thì: L a1 f1 ( t ) a 2 f 2 (t ) a1 F1 ( s ) a 2 F2 ( s )
Chứng minh
Theo định nghĩa ta có:
L a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) e st dt
0
a1 f1 (t )e st dt a2 f 2 (t )e st dt
0
0
st
a1 f1 (t )e dt a2 f 2 (t )e st dt
0
0
a1 F1 ( s ) a2 F2 ( s)
Ví dụ 1.1
Tìm L 3t 2 2 sin 3t 8e 2t
Giải
Theo định lý 1.2 thì:
L 3t 2 2 sin 3t 8 e 2 t 3 L t 2 2 L sin 3t 8 L e 2 t
2!
3
1
2 2
8
3
s
s 9
s2
6
6
8
3 2
s
s 9 s2
3
1.3.2 Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
a. Định lý 1.3 (Định lý dời thứ nhất)
- Nếu L f (t ) F ( s ) thì L e at f (t ) F ( s a); (hay L eat f (t ) F (s a))
Chứng minh
Ta có: L e at f (t ) e at f (t )e st dt e ( a s ) t f (t )dt F (a s )
0
b. Một số công thức khác
L e at cos bt
L e at sin bt
L e at t n
sa
(s a )
(s a)2 b2
b
( s a )
( s a)2 b2
n!
( s a)
( s a ) n 1
0
Ví dụ 1.2
Tìm biến đổi Laplace của một số hàm sau:
3!
6
( s 6)
31
( s 6)
( s 6) 4
4
4
L e3t sin 4t
( s 3)
2
2
( s 3) 4
(s 3) 2 16
s2
s2
L e2t cos 3t
( s 2)
2
2
( s 2) 3
( s 2)2 9
L t 3e 6t
1.3.3 Tính chất dời thứ hai (dời theo t)
Định lý 1.4 (Định lý dời thứ hai)
Nếu L f (t ) F ( s ) thì:
0
L f (t a )u (t a) e as F ( s ) trong đó u (t a )
1
Chứng minh
Hàm bậc thang đơn vị
Theo định nghĩa ta có:
L f (t a )u (t a ) e st f (t a)u (t a)dt
0
e st f (t a )dt
a
Đặt x t a dx dt
L f (t a ) f ( x )e
s ( a x )
dx e sa f ( x )e sx dx
0
e
0
sa
L f ( x ) e
sa
F ( s)
(đpcm )
Ví dụ 1.3
3
3
cos (t - 2 ), t 2
Tìm F ( s) nếu f (t )
3
0
, t
2
Giải
Ta có: L cost
s
nên theo định lý 1.4 ta có:
s 1
2
3
F ( s )= L f(t) e
khi t a
khi t a
3
s
2
s
s
se 2
s2 1
s2 1
1.3.4 Tính chất đổi thang đo (hay tính chất đồng dạng)
Định lý 1.5
1
s
Nếu L f (t ) F ( s ) thì L f ( t F ( ), 0
Chứng minh
Đặt x t dt
1
dx
1
L f ( t ) f ( t )e dt
0
st
f ( x) e
s
x
0
dx
1
s
F ( ) (đpcm)
Ví dụ 1.4
sin t
1
sinat
arctg , hãy tìm L
s
t
t
Biết L
Giải
Ta có theo định lý 1.5 thì:
1 1
a 1 sin at
a
sin at 1
sin at
L
arctg s arctg L
L
arctg( )
a
s a t
s
at a
t
a
1.3.5 Biến đổi Laplace của đạo hàm
Định lý 1.6
Nếu L f (t ) F ( s ) thì L f ' (t ) sF ( s ) f (0)
Chứng minh
L f ' (t ) f ' (t )e st dt
0
st
du se st dt
'
dv f (t ) v f (t )
u e
Đặt
L f ' (t ) e st f (t ) 0 f (t )( s )e st dt f (0) s f (t ) e st dt sF ( s ) f (0)
0
0
Hệ quả 1
L f '' (t ) s 2 F ( s ) sf (0) f ' (0)
Hệ quả 2
L f ( n ) (t ) s n F ( s) s n 1 f (0) s n 2 f ' (0) ... f ( n 1) (0)
Ví dụ 1.5
Dùng định lý 1.6 để chứng minh rằng:
(a) L e2t
1
s2
(b) L cos3t
s
s 9
2
Giải
(a ) Đặt f (t ) e
2 t
Ta có: f ' (t ) 2e2t ; f (0) 1
Theo định lý 1.6 thì:
L 2e2t sL e2t 1 2 L e 2t sL e 2t 1
L e2t (2 s ) 1 L e 2t
1
s2
(b) Đặt f (t ) cos3t L f(t) F ( s)
Ta có: f ' (t ) 3sin 3t f ' (0) 0; f '' (t ) 3.3cos3t 9cos3t; f (0) 1
Theo hệ quả 1 thì: L 9 cos 3t s 2 L cos3t s
9 L cos3t s 2 L cos3t s L cos3t ( s 2 9) s
L cos3t
s
s 9
2
1.3.6 Biến đổi Laplace của tích phân
Định lý 1.7
t
F ( s)
Nếu L f (t ) F ( s ) thì L f (u )du
s
0
Chứng minh
t
Đặt (t)= f(u)du ' (t ) f (t ); (0) 0
0
L ' (t ) s ( s ) L f (t ) F ( s) (s )
F ( s)
s
t
t
F ( s)
L f (u )du
Mà ( s) L (t ) L f (u ) du
s
0
0
Công thức tổng quát:
t t t
F (s )
L ... f (t ) dt n n
s
0 0
0
n
Ví dụ 1.6
t
sin u
du
u
0
Tích phân sin được định nghĩa bởi: si(t )
sin t
Tìm biến đổi Laplace của hàm này biết: L
arctgs
t 2
Giải
sin t
Ta có: L
arctgs
t 2
t sin u 1
du arctgs
u
s
2
0
Theo định lý 1.7 thì: L si (t ) L
1.3.7 Nhân cho t n
Định lý 1.8
Nếu L f (t ) F ( s) thì L t n f (t ) (1)n
dn
F ( s ) (1) n F ( n ) ( s )
n
ds
Chứng minh
Theo định nghĩa thì: L f (t ) F ( s ) f (t )e st dt
0
d
st
F ( s) f (t )e dt f (t )( t )e st dt L tf (t )
ds 0
0
'
hay L tf (t )
d
F (s) F ' (s)
ds
Giả sử định lý đúng với n k L t k f (t ) ( 1) k F ( k ) ( s )
Chứng minh rằng định lý đúng với n k 1 :
'
'
d
F ( k 1) ( s) F ( k ) ( s ) L (1) k t k f (t ) L ( 1) k t k f (t )
ds
d
d
(1)k t k f (t )e st dt (1)k t k f (t )e st dt
ds 0
ds
0
L (1)k t k f (t )t L (1) k 1 t k 1 f (t )
L t k 1 f (t ) ( 1) k 1 F ( k 1) ( s )
Định lý cũng đúng với: n k 1
Ví dụ 1.7
Tìm:
(a ) L t 2 sin at
(b) L t cos at
Giải
Áp dụng định lý 1.8 với n 2 : ( a ) L t 2 sin at ( 1) 2
với n 1 : (b) L tcosat
d2 a
ds s 2 a 2
2as
2
2 2
(s a )
d s
s2 a2
ds s 2 a2 (s 2 a 2 )2
Cách khác
Theo định nghĩa thì: L sin at e st sin atdt
0
a
s a2
2
Đạo hàm theo thông số a thì:
d
d st
s2 a2
st
st
e
sin
atdt
(
e
sin
at
)
dt
(
t
cos(
at
)
e
)
dt
L
tc
osat
2 22
0 da
0
da 0
(s a )
1.3.8 Chia cho t
Định lý 1.9
f (t )
f (t )
Nếu L f (t ) F ( s ) thì: L
tồn tại.
F (u ) du với điều kiện tlim
0
t
t s
Chứng minh
Ta có: F (s )
0
f (t )e dt F (u )du f (t )e ut dt du
s
s 0
st
f (t ) st
f (t )
f (t )e ut du dt
e dt L
t
t
0 s
0
Ví dụ 1.8
t
1 e u
du
u
0
Tìm biến đổi Laplace của: f (t )
Giải
Theo định lý 1.7 thì:
1 e t
L
1 eu
t
L
du
s
0 u
t
Và theo định lý 1.9 thì:
(đpcm)
1 e t
1
1
1
L
du ln 1
s
t s u u 1
t 1 e u
Vậy L
u
0
1 1
du ln 1
s s
1.3.9 Biến đổi Laplace của hàm tuần hoàn
Định lý 1.10
Nếu f (t ) là một hàm tuần hoàn với chu kỳ T 0 thì:
T
L f (t )
1
e st f (t ) dt
1 e sT 0
Chứng minh
T
2T
L f (t ) f (t )e st dt e st f (t )dt
0
0
2T
st
e f (t )dt ...
nT
e st f (t )dt
n 1 ( n 1)T
T
T
T
Ta có: e st f (t ) dt e s ( u T ) f (u T )d (u T ) e s (u T ) f (u )du
T
0
T
0
T
L f (t ) e st f (t ) dt e s ( u T ) f (u ) du ...
0
0
T
e
T
st
f (t )dt e
sT
0
e
su
f (u )du ...
0
T
(1 e sT e 2 sT ...) e st f (t )dt
0
T
1
e st f (t )dt
sT
1 e 0
(Do f (t ) tuần hoàn nên f (u T ) f (u) và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:
S
U1
1 q
q 1 )
Ví dụ 1.9
a. Tìm biến đổi Laplace của hàm:
f (t ) cost (0 t< )
f (t ) f (t )
Giải
1
Ta có: F(s)=L f(t)
e -ts costdt
s
1 e 0
u=e-st du se st dt
Đặt I e costdt và
dv cost v sin t
0
-ts
I= s e st sin tdt
0
Tiếp tục dùng phương pháp tích phân từng phần
I= se
-s
Vậy F(s)=
s (1 e s )
ss I I
(1 s 2 )
2
s (1 e s )
(1 e s )(1 s 2 )
b. Cho hàm gốc tuần hoàn
sin t , 0 t
f (t ) 0, t 2
f (t 2 ) f (t )
Tìm biến đổi Laplace của hàm này?
1
0
2
3
4
5
Giải
Ta có: F(s)=L f(t)
1
e-tssintdt
2 s
1 e
0
u e ts
du se ts dt
dv sin t v cost
Đặt I e-tssintdt và
0
Theo phương pháp tích phân từng phần ta có:
I (1 e s ) s e ts costdt I (1 e s ) s 2 I
0
I
1 e s
1 e s
1
F
(
s
)
2
2 s
2
2
1 s
(1 e )(1 s ) (1 s )(1 e s )
1.3.10 Định lý về giá trị đầu
Định lý 1.11
Nếu L f (t ) F ( s ) thì: lim f (t ) f (0) lim sF ( s) (với điều kiện các giới hạn trên tồn tại)
t 0
s
Chứng minh
Giả sử f (t ) liên tục tại t 0 và f ' (t ) thoả các điều kiện của định lý 1.11. Nếu thế, ta dễ
dàng chứng minh được rằng: lim f ' (t ) 0
s
L f ' (t ) sF ( s ) f (0) lim L f ' (t ) 0 lim sF ( s ) f (0)
s
s
Vì f (t ) liên tục tại t 0 nên f (0 ) f (0 ) lim f (0)
lim f (t)=f (0) lim sF ( s )
s
s0
Ví dụ 1.10
Tìm F ( s) dựa vào định lý trên: f (t ) 9e5t
Ta có: L 9e -5t
9
9
9
lim 9e -5t 9 lim s
s
t 0
s5
s 5 1 5
s
1.3.11 Định lý về giá trị cuối
Định lý 1.12
Nếu L f (t ) F ( s ) thì: lim f (t ) f () lim sF ( s ) (với điều kiện các giới hạn trên tồn
t
s 0
tại)
Chứng minh
Giả sử f (t ) liên tục tại t 0 và ta có: L f ' (t ) sF ( s ) f (0)
lim L f ' (t ) lim e st f ' (t )dt lim e st f ' (t )dt f ' (t )dt lim f (t ) lim f (t )
s 0
s 0
0 s 0
0
0
t
t 0
lim sF ( s ) lim f (t )
s 0
t
Ví dụ 1.11
Hãy minh hoạ định lý trên bằng hàm: f (t ) 8e 3t
Ta có: L 8e3t
8
8
lim(8e3t ) 0 f () lim s
s 0
s 3 t
s3
1.3.12 Tích phân suy rộng
Định lý 1.13
Nếu L f (t ) F ( s ) thì f (t ) dt F (0) với điều kiện tích phân suy rộng trên hội tụ
0
Chứng minh
L f (t ) f (t )e st dt F ( s )
0
lim f (t )e st dt F (0) f (t )dt F (0)
s0
0
0
(Chú ý: Có thể cho s một giá trị nào đó thay vì giá trị 0 )
Ví dụ 1.12
Tính t 2 e st cos2tdt
0
Giải
Ta có: L cos2t
s
s 22
2
Theo định lý 1.8 thì:
L t 2cos2t
d2 s
ds 2 s 2 22
Cho s 5 VT
4 s2
4 s2
st 2
e
t
c
os2tdt=
2
2
0
( s 2 4)2
( s 4)
21
29
1.4 Các cặp biến đổi Laplace thông dụng
TT
1
2
f (t )
F (s)
u (t )
1
s
e at
1
( s a)
sa
cosat
s
(s 0)
s a2
4
sinat
a
( s 0)
s2 a2
5
tn
(n 0,1, 2,...)
n!
( s 0)
s n1
3
6
e at cosbt
2
sa
( s a)
( s a) 2 b2
7
e at sinbt
e at t n
8
b
( s a)
( s a)2 b 2
(n 0,1, 2,...)
n!
(s a)
( s a ) n 1
tc osat
s2 a2
( s 0)
( s2 a 2 )2
9
10
tsinat
2as
(s 0)
( s a 2 )2
2
coshat
s
(s a )
s a2
sinhat
a
(s a )
s a2
13
tu(t ) r (t )
1
R(s ) (s 0)
s2
14
t
u (t ) p(t )
2
11
12
2
2
2
1
P ( s) ( s 0)
s3
1
15
tn
u (t ) ( n ) (t )
n!
s n 1
16
(t )
1
( s 0)
17
' (t )
s
( s 0)
18
( n ) (t )
sn
( s 0)
( s 0)
1.5 Bảng các tính chất của phép biến đổi Laplace
TT
f (t )
F (s)
1
a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )
a1 F1 ( s ) a2 F2 ( s )
2
e at f (t )
F (s a)
3
f (t a ) u (t a )
eas F ( s)
4
f (at )
1 s
F( )
a a
f n (t )
5
s n F ( s) s n1 f (0 ) ... f ( n1) (0 )
t
F (s)
s
f (u )du
6
0
7
t n f (t )
8
f (t )
t
(1)n F ( n ) ( s )
F (u )du
s
T
9
f (t ) f (t T )
1
e st f (t ) dt
sT
1 e 0
10
t 0
lim f (t )
lim sF ( s )
11
lim f (t )
lim sF ( s )
t
s
s 0
CHƯƠNG II: PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE NGƯỢC
2.1 Định nghĩa
- Nếu biến đổi Laplace của f (t ) là F ( s ) tức là L f (t ) F (s ) thì f (t ) gọi là biến đổi
Laplace ngược của F ( s) và ta viết f (t ) L1 F ( s ) trong đó L1 gọi là toán tử biến đổi
Laplace ngược.
Ví dụ 2.1
Vì L cosat
s
s
( s 0) L1 2
cosat
2
2
s a
s a
2
Định lý 2.1 (Định lý Lerch)
Nếu f (t ) liên tục từng mảnh trên mọi khoảng hữu hạn 0 t N và có bậc mũ khi t N
thì biến đổi Laplace ngược f (t ) L1 F ( s ) tồn tại và duy nhất.
2.2 Biến đổi Laplace ngược của một số hàm thông dụng
(Bảng 1.1 Chương I)
2.3 Các tính chất của phép biến đổi Laplace ngược
Được suy ra từ các tính chất tương ứng của biến đổi Laplace trong chương I
2.3.1 Tuyến tính
Định lý 2.2
L1 a1 F1 ( s ) a2 F2 ( s ) a1 f1 (t ) a2 f 2 (t )
Ví dụ 2.2
1
3!
s
L1 2 2
4 cos3t-e -5t t 3
s 3 s 5 s
Vậy L1 là một toán tử tuyến tính
2.3.2 Tính chất dời thứ nhất (dời theo s)
Định lý 2.3 (định lý dời thứ nhất)
L1 F ( s a ) e at f (t ) e at L1 F ( s )
Nếu thay s bởi s a thì: L-1 F (s ) e at L1 F ( s a )
Ví dụ 2.3 và các bước giải
2s
Tìm L1 2
s 4s 9
Giải
B1: Viết biểu thức hàm F ( s ) :
F (s)
2s
( s 2)2 5
B2: Thay s bởi s a vào biểu thức của F ( s) :
F ( s 2)
2( s 2)
( a 2)
s2 5
B3: Tìm L1 F ( s a ) :
2
( s 2)
Ta có: L1 F ( s 2) L1 2 2
sin 5t
2 cos 5t
5
s 5
B4: Suy ra L1 F (s ) bằng cách nhân kết quả với e at :
4
L1 F ( s) e 2t 2cos 5t
sin 5t
5
2.3.3 Tính chất dời thứ hai (dời theo t)
Định lý 2.4 (Định lý dời thứ hai)
L1 e as F (s ) f (t a )u (t a )
Ví dụ 2.4 và các bước giải
s
se 2
1
Tìm L 2
s 2s 7
Giải
B1: Bỏ qua thừa số e as (với a
F (s)
), ta có:
2
s
( s 1) 2 6
B2: Tìm L1 của hàm này:
t
s
1
L1
sin 6t (theo định lý 2.3)
e cos 6t
2
6
( s 1) 6
B3: Dời hàm theo t về phía phải 1 đoạn bằng a và cắt bỏ phía trái (nếu a 0 )
s
se 2
t 2
1
L 2
e
s 2s 7
1
sin 6(t ) u (t )
cos 6(t 2 )
2
2
6
t 2
e
0
1
sin 6(t ) khi t
cos 6(t 2 )
2
2
6
khi t
2
2.3.4 Tính chất đổi thang đo
Định lý 2.5
L1 F ( s )
bởi
1
t
f ( ) ( 0) (định lý này được suy ra từ định lý 1.5 bằng cách thay
1
)
Ví dụ 2.5
2( s 1)
2
2 s 4s 7
Tìm L1
Giải
2( s 1)
2( s 1)
1
L1 2
L
2
2
2s 4s 7
2( s 1) 3
- Xem thêm -
.PDF 
57 
401 
84 
