Tài liệu ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số

SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Mục lục A. ĐẶT VẤN ĐỀ…………………………………………………………….....2 I. Lí do chọn đề tài ……………………………………………………… 2 II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm…………………………………2 III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………2 IV. Phương pháp nghiên cứu……………………………………………..2 B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ………………………………………………..……3 I. Cơ sở lý luận………………………………………………………….. 3 II. Thực trạng và giải pháp……………………………………………….4 1. Phương trình chứa tham số……………………………………..4 2. Bất phương trình chứa tham số………………………………..13 III. Hiệu quả của đề tài………………………………………………….19 C. KẾT LUẬN…………………………………………………………………19 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 1 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. Lí do chọn đề tài Đối với học sinh học toán ở trường trung học phổ thông, nhất là các học sinh chuẩn bị thi đại học thường gặp bài toán không mấy dễ dàng liên quan đến nghiệm của phương trình, bất phương trình chứa tham số. Khi giảm tải chương trình thì các dạng toán phải sử dụng định lí đảo của tam thức bậc hai không thể vận dụng được nên học sinh phải vận dụng chủ yếu định lý Viét và một số cách giải khác như hàm số hoặc “điều kiện cần - đủ” để giải quyết các bài toán chứa tham số dẫn đến cách giải phức tạp do đó học sinh rất khó rèn luyện tốt phần này. Với việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thì phần lớn các bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số sẽ được giải quyết một cách rất tự nhiên, ngắn gọn và dễ hiểu. Đó là lí do để tôi chọn đề tài : “ Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số”. II. Mục đích của sáng kiến kinh nghiệm Các vấn đề được trình bày trong đề tài này có thể hỗ trợ cho các em học sinh trung học phổ thông có cái nhìn toàn diện hơn về cách tiếp cận bằng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số để giải bài toán phương trình, bất phương trình có tham số. III. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Đề tài này nghiên cứu trên các dạng toán về phương trình, bất phương trình chứa tham số. Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc chương trình đại số và giải tích của trung học phổ thông đặc biệt phương trình, bất phương trình vô tỉ, phương trình lượng giác, phương trình, bất phương trình mũ và logarit chứa tham số. Tuy nhiên không phải mọi bài toán chứa tham số mà phạm vi của nó là các bài toán có thể cô lập được tham số về một vế trong phương trình hoặc bất phương trình. IV. Phương pháp nghiên cứu Trình bày cho học sinh những kiến thức cơ bản về lý thuyết về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Thông qua những ví dụ cụ thể với cách giải đơn giản, tự nhiên nhằm làm cho học sinh thấy được những thế mạnh của việc sử dụng phương pháp trên. Các ví dụ minh họa trong đề tài này được lọc từ các tài liệu tham khảo và các đề thi đại học các năm gần đây và sắp xếp từ dễ đến GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 2 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số khó. Trong các tiết học trên lớp tôi ra cho học sinh giải các vi dụ này dưới nhiều phương pháp để từ đó đánh giá được tính ưu việt của phương phấp trên. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. Cơ sở lý luận. Trong đề tài này sử dụng kết quả sau đây: Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên miền D, và tồn tại M  max f ( x ) , m  min f ( x ) . Khi đó ta có xD xD f(x)  α 1. Hệ phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi m  α  M . x  D  f(x)  α 2. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi M  α . x  D 3. Bất phương trình f ( x )   đúng với mọi x  D khi và chỉ khi m   . f(x)  α 4. Hệ bất phương trình  có nghiệm khi và chỉ khi m  α . x  D 5. Bất phương trình f ( x )   đúng với mọi x  D khi và chỉ khi M   . Chứng minh 1. Giả sử hệ phương trình đã cho có nghiệm, tức tồn tại x 0  D sao cho f ( x 0 )   . Theo định nghĩa ta có min f (x)  f (x 0 )  max f (x) , hay xD xD min f (x)    max f (x) . xD xD Đảo lại, giả sử min f (x)    max f (x) . Vì f(x) là hàm số liên tục nên nó xD xD nhận giá trị từ min f (x) đến max f ( x) . Do đó khi f(x) nhận giá trị  , tức là tồn xD xD tại x 0  D sao cho f( x 0 ) =  . Điều đó có nghĩa là phương trình đã cho có nghiệm trên D  đpcm. 2. Giả sử hệ đã cho có nghiệm, tức là tồn tại x 0  D sao cho f ( x 0 )   . Rõ ràng là max f (x)  f (x 0 )   . xD Đảo lại, giả sử max f ( x )   xD (1) Ta giả thiết phản chứng rằng hệ đã cho vô nghiệm, tức là f ( x )   , x  D từ đó suy ra max f ( x )   xD (2) GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 3 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Từ (1) và (2) ta thấy vô lí, do đó giả thiết phản chứng không xảy ra, tức là hệ đã cho có nghiệm  đpcm. 3. Giả sử m   . Ta lấy x 0 tùy ý thuộc D  f ( x 0 )  min f ( x )  m   . xD Vậy f ( x )   đúng với  x  D . Đảo lại, giả sử f(x)   x  D , khi đó do m  min f ( x ) nên theo định xD nghĩa tồn tại x 0  D mà m = f ( x 0 ) . Từ f ( x 0 )    m   . Như vậy ta có đpcm. (4 và 5 ta chứng minh tương tự như 2, 3). II. Thực trạng và giải pháp. 1. Phương trình chứa tham số. Ví dụ 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm  6  x  2 (4  x)(2x  2)  m  4 4  x  2x  2  Hướng dẫn giải 4  x  0 Điều kiện   1  x  4. 2 x  2  0  Đặt t  4  x  2 x  2 . Ta tìm miềm xác định của t, xét hàm số f ( x )  4  x  2x  2 với 1  x  4 . Ta có f ' ( x )  2 4  x  2x  2 . 2 4  x . 2x  2 1  x  4 f ' ( x )  0  2 4  x  2x  2    x 3 16  4x  2x  1 Từ đó ta có bảng biến thiên x 1 3 4 f’(x) f(x) + 0 3 - 3 6 min f ( x )  3 và max f ( x )  3 từ đó suy ra khi 1  x  4 , thì 1 x 4 1x4 3t 3 Từ t  4  x  2 x  2  t 2  x  2  2 (4  x)(2x  2) . GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 4 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số g( t )  t 2  4t  4  m (1) vì thế bài toán trở thành: Tìm m để hệ sau  có nghiệm 3  t  3 ( 2 )  Ta có g’(t) = 2t  4 , và ta có bẳng biến thiên sau t 3 g’(t) g(t) - 2 0 1 + 74 3 1 0 Từ đó min g( t )  g(2)  0 và max g( t )  1 . 3 t 3 3 t 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm  min g( t )  m  max g ( t )  0  m  1 . 3  t 3 3  t 3 Ví dụ 2. Cho phương trình 4 2x  2x  24 6  x  2 6  x  m . Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Hướng dẫn giải Đặt f(x)  2x  2 6  x ; g ( x )  4 2 x  24 6  x . Lúc này phương trình đã cho có dạng h ( x )  f ( x )  g( x )  m (1) Phương trình (1) xác định trong miền 0  x  6 . Ta có f ' ( x )  6  x  2x . 2 x (6  x ) Nên ta có bảng biến thiên sau: x 0 2 f’(x) + 0 6 - f(x) tương tự ta có g' ( x )  4 (6  x ) 3  4 ( 2 x ) 3 2 4 ( 2 x ) 3 (6  x ) 3 , bảng biến thiên GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 5 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số x 0 g’(x) 2 + 0 6 - g(x) Vì thế ta có bảng biến thiên đối với hàm số h(x), 0  x  6 như sau x 0 2 6 h’(x) + 0 - h(x) Ta có min h(x)  min h(0); h(6)  h(6)  4 12  2 3 và 0x6 max h ( x )  h (2)  6  3 2 . 0x6 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  2( 4 6  6 )  m  3 2  6 . Chú ý: 1. Nếu bài toán hỏi tìm m để phương trình có nghiệm thì đáp số của bài toán sẽ là 4 12  2 3 )  m  3 2  6 2. Trong bài này cần lưu ý khi m  max h ( x ) khi đó phương trình đã cho chỉ có 0x6 một nghiệm duy nhất. Vì thế khi làm bài học sinh cần phải kết hợp với cả bảng biến thiên để suy ra kết quả. Ví dụ 3. Tìm m để phương trình 3 x  1  m x  1  44 x 2  1 có nghiệm. Hướng dẫn giải Điều kiện: x  1 Đặt t = 4 x 1 x 1 pt(1)  3 do x 1 x 1  m  24 x 1 x 1 x 1 2 1  0 nên  0  t  1 x 1 x 1 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 6 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số f ( t )  3t 2  2 t  m Bài toán đã cho trở thành: Tìm m để hệ  có nghiệm. 0  t  1 Ta có f ' ( t )  6t  2 nên có bảng biến thiên sau: t f’(t) f(t) 0 + 1 3 0 1 - 1 3 1 1 max f ( t )  f ( )  ; còn lim f ( t )  1 (chú ý rằng ở đây không tồn tại 0 t 1 3 3 t 1 min f (t ) ) 0t 1 1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi  1  m  . 3 Chú ý: 1. Ở đây vì xét khi 0  t  1, nên không tồn tại min f (t ) nhưng tồn tại 0t 1 lim f ( t )  1 Do đó điều kiện theo lý thuyết  1  m  t 1 1 phải thay bằng 3 1 (tức là đã thay điều kiện m  min f ( t ) thành m  lim f ( t ) ). 0 t 1 3 t 1 2. Ta có thể giải bài toán trên bằng định lý Viét 1 m  f ( t )  3t 2  2 t  m  0 (1) Tìm m để hệ  (2) 0  t  1 có nghiệm Trước tiên ta tìm điều kiện m để hệ trên vô nghiệm 1 3 TH2) PT (1) có nghiệm nhưng không thỏa mãn (2)  t 1  0  1  t 2 TH1) Phương trình (1) vô nghiệm  ' 0  1  3m  0  m  1  m    '  0 3    t 1  0  t 2  t 1 .t 2  0  t  1  t ( t  1).( t  1)  0 1 2 2  1  1  m   3   m  1 m  0 m 2   1 0 3 3 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 7 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 1  m  1 Do đó hệ vô nghiệm khi  3 . Vậy phương trình có nghiệm   1  m  .  3 m  1 Ví dụ 4. Tìm m để phương trình x 2  mx  2  2x  1 có hai nghiệm thực phân biệt. Hướng dẫn giải 3x 2  4x  1  mx (1) 2 x  1  0  Phương trình đã cho   2 .  1 2 x   ( 2 ) x  mx  2  (2 x  1)  2 Do x = 0 không là nghiệm của (1) với mọi m, nên hệ trên 3x 2  4 x  1   m (3) f ( x )  3x 2  1 x  .Ta có f’(x) = và bảng biến thiên 2 x 1 x   (4)  2 1 0  x 2 f’(x) + f(x)   9  2 9 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt  m  . 2 Nhận xét: Bài này có thể hướng dẫn học giải bằng cách sử dụng lý Viét. 3x 2  (4  m) x  1  0 (1)  Tìm m để hệ  có hai nghiệm phân biệt. 1 x   ( 2 )  2 Yêu cầu trên tương đương với phương trình (1) có hai nghiệm x 1 , x 2 sao cho   0 1 1   1 1 1 x 1 x 2  ( x 1  x 2 )   0 x 2  x 1   ( x 1  )( x 2  )  0   2 4 2 2 2  x 1  x 2  1 x 1  x 2  1 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 8 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số m  4 1 1 9   3  6  4  0 9 m  Áp dụng định lý Viét ta có   2 m 2  m  4  1 m  1  3 Như vậy cách giải thứ nhất vẫn gọn hơn cách hai. Ví dụ 5. Cho phương trình log 32 x  log 32 x  1  2m  1  0 .Tìm m để phương  trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1; 3 3 . Hướng dẫn giải Đặt t  log 32 x  1 . Khi 1  x  3 3  1  t  2 . f ( t )  t 2  t  2  2m (1) Bài toán trở thành: Tìm m để hệ phương trình  (2) 1  t  2 có nghiệm Ta có f ' ( t )  2t  1 và có bảng biến thiên sau: t f’(t)  1 2 1 2 + f(t) max f (t )  f (2)  4 ; min f ( t )  f (1)  0 . 1t 2 1t 2 Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là 0  2m  4  0  m  2 . Ví dụ 6. Tìm m để phương trình có nghiệm 91 1 x 2  (m  2)31 1 x 2  2m  1  0 Hướng dẫn giải GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 9 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Đặt 31 1 x 2  t  3  t  9 . Ta có phương trình t 2  2t  1  m(t  2) . (1) t 2  2t  1  m . Vì thế bài Do 3  t  9  t  2  0 . Nên phương trình (1)  t2 t 2  2t  1   m (2) f ( t )  toán trở thành: Tìm m để hệ  có nghiệm t2 3  t  9 (3) t 2  4t  3 Ta có f ' ( t )  và có bảng biến thiên sau đây: ( t  2) 2 t f’(t) 3 9 + f(t) 64 ; min f (t )  f (3)  4 3 t 9 3t 9 7 64 Vậy các giá trị m cần tìm là: 4  m  . 7 max f ( t )  f (9)  Ví dụ 7. Cho phương trình 2(sin 4 x  cos4 x)  cos4x  2 sin 2x  m  0 . (1)   Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;  .  2 Hướng dẫn giải 1 Phương trình (1)  2(1  sin 2 2x )  1  2 sin 2 2x  2 sin 2x  m  0 2  3sin 2 2x  2 sin 2x  3  m (2)   Đặt t = sin2x. khi x 0;   0  t  1 .  2 f ( t )  3t 2  2 t  3  m (3) Bài toán trở thành: Tìm m để hệ  ( 4) 0  t  1 Ta có f ' ( t )  6t  2 và có bảng biến thiên sau: GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 10 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số t f’(t) 1 3 0 0 - 1 + f(t) 0 1 10 min f ( t )  f ( )   ; max f (t )  maxf (0); f (1)  2 0 t 1 3 3 0t 1 10 Vậy giá trị m cần tìm là   m  2 . 3  x 1  y  2  m Ví dụ 8. Tìm m để hệ sau có nghiệm  x  y  3m Hướng dẫn giải Đặt u  x  1 ; v  y  2  u  0; v  0 . Bài toán trở thành tìm m để hệ sau u  v  m  có nghiệm: u 2  v 2  3m  3 . Nếu m  0 hệ vô nghiệm. u  0; v  0  f (u )  2u 2  2mu  (m 2  3m  3)  0 Hệ đã cho   0  u  m Do đó ta cần tìm m để cho min f (u)  0  max f (u ) 0um 0um f ' (u )  4u  2m . Ta có bảng biến thiên sau u f’(u) 0 - m 2 0 m + f(u) GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 11 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số m m 2  6m  6 max f (u )  maxf (0); f (m)  m 2  3m  3 ; min f (u )  f ( )  0u m 0u m 2 2 2 m  6m  6  0  m2  3m  3 Nên min f (u)  0  max f (u )  2 0um 0um 3  21   m  3  15 2 3  21  m  3  15 . Vây các giá trị cần tìm của m là: 2 Bài tập 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm m( 1  x 2  1  x 2  2)  2 1  x 4  1  x 2  1  x 2 (ĐS: 2  1  m  1)   2. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trên đoạn  ;  2  2  2  2 sin 2x  m(1  cos x) 2 ( ĐS: 0  m  2 ) 3. Tìm m để phương trình sau có nghiệm 2 sin x  3cos x  m3sin x (ĐS: 1  m  4 ) 4. Tìm m để phương trình sau có nghiệm trong khoảng 32;    2 2 2 log 22 x  2 log 2 x  3  m(log 2 x  3) (ĐS: 1  m  3 )  1  x  y 1 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm  (ĐS: 0  m  ) 4  x x  y y  1  m GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 12 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 2. Bất phương trình chứa tham số Ví dụ 1. Cho bất phương trình (x  4)(6  x)  x 2  2x  m . Tìm m để bất phương trình đúng với x   4; 6 Hướng dẫn giải Cách 1.(Sử dụng phương pháp điều kiện cần và đủ) Điều kiện cần: Giả sử bất phương trình đã cho đúng x   4; 6 thì điều đó m  24  0  cũng đúng khi x  4; x  1; x  6 , tức là m  24  0  m  6 m  1  5  Điều kiện đủ: Giả sử m  6 Ta có x 2  2x  m  (x  1) 2  m  1  5, x   4; 6. Theo bất đẳng thức Côsi với x   4; 6 thì ( x  4)(6  x )  ( x  4)(6  x )  5. 2 (x  4)(6  x)  x 2  2x  m đúng với x   4; 6 Từ đó suy ra khi m  6 thì Vậy m  6 . Cách 2.(Sử dụng định lý Viét) Đặt t = ( x  4)(6  x )   x 2  2x  24 Xét g(x) =  x 2  2x  24 với  4  x  6  g' ( t )  2x  2 . Ta có bảng biến thiên sau: x -4 g’(x) 1 + g(x) 0 6 - 25 max g(x)  g(1)  25 , min g( x)  min g(4); g(6)  0  0  t  5 4x6 4x6 Bài toán đã cho có dạng: Tìm m để bất phương trình f (t )  t 2  t  24  m  0 đúng với mọi 0  t  5 . TH1) Nếu   0  f ( t )  0, t   1 ( không thỏa mãn với mọi 0  t  5 ) 2 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 13 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số TH2) Nếu   0  f(t) = 0 có hai nghiệm phân biệt t 1 , t 2 . Lúc này yêu t 1  0  t 2 cầu bài toán tương đương với t 1  0  5  t 2   t 1  5  t 2 t 1 t 2  0  24  m  0  m6 6  m  0 ( t 1  5)( t 2  5)  0   Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  6 . Cách 3.(Phương pháp đồ thị). Đặt y  (x  4)(6  x) , thì y  0 và ta có y  0 y  0  .  2  2 2 2  x  2 x  24  y ( x  1)  y  25 Vì thế đồ thị của y  (x  4)(6  x) là nửa đường tròn (nằm phía trên trục Ox) tâm I(1; 0), bán kính R = 5. Còn y  x 2  2x  m có đồ thị là Parabol có trục đối xứng x = 1 và (P)luôn nằm trên nửa đường tròn. Do đó bài toán có dạng: Tìm m để Parabol y  x 2  2x  m luôn nằm trên nửa đường tròn y  (x  4)(6  x) . Xét (P) tiếp xúc với (C) tại M(1; 5)  m  1  5  m  6 Vậy bất phương trình có nghiêm khi m  6 . y 5 1 -4 6 x GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 14 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Cách 4. Viết lại bất phương trình dưới dạng f (x)   x 2  2x  24  x 2  2x  m Ta có: f ' ( x )  (1  x )(1  2  x 2  2x  24 )  x 2  2x  24 Từ đó có bảng biến thiên sau: x -4 1 f’(x) + 0  0  x 1 6 - f(x) max f ( x )  f (1)  6 . 4x6 Vậy bất phương trình có nghiệm x   4; 6  max f ( x)  m  m  6 4x6 Nhận xét: qua các cách giải của bài toán trên ta nhận thấy cách 4 gọn và dễ làm nhất! Ví dụ 2. Tìm m để bất phương trình  4 (4  x)(2  x)  x 2  2x  m  18 đúng với mọi x   2; 4 . Hướng dẫn giải Bất phương trình đã cho  (x 2  2x  8)  4  x 2  2x  8  10  m (1) Đặt t   x 2  2x  8 . Ta có t 2  x 2  2x  8  (x  1) 2  9  9  0  t  3 . Bài toán trở thành: Tìm m để bất phương trình f (t )  t 2  4t  10  m đúng với mọi t  0; 3. Điều đó xảy ra khi và chỉ khi max f (t )  m 0t 3 Ta có f ' ( t )  2t  4  0  t  2 Bảng biến thiên sau: t 0 f’(t) 2 - 0 3 + f(t) max f (t )  maxf (0); f (3)  10 . 0t 3 Vậy các giá trị cần tìm của tham số m là: m  10 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 15 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Nhận xét: khác với bài 1, bài này thì cách giải này là hợp lí nhât! Ví dụ 3.Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x  R m 2x 2  9  x  m Hướng dẫn giải 2x 2  9  1  0 , x  R nên bất phương trình đã cho x  m  f ( x )  m  min f (x) 2 R 2x  9  1 Vì  x  6 2  0  2 x  9  9  x  6 2 x 2  9 (2 x 2  9)  1) 2  Bảng biến thiên x -6 6   f’(x) 0 + 0 1 3  f(x) 2 4 3 1  4 2 Ta có f’(x)  9  2x 2  9 3 min f (x)   . R 4 3 4 Ví dụ 4. Tìm các giá trị của m để bất phương trình sau có nghiệm Vậy để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x  R thì m   mx  x  3  m  1 Hướng dẫn giải Điều kiện: x  3 1 x  3  f (x) x 1 Bất phương trình đã cho có nghiệm x  3 khi và chỉ khi m  max f ( x ) Khi đó bất phương trình  m   x 3;   Xét hàm số f ( x )   1 x  3 5x 2 x 3 trên 3;    . Ta có f ' ( x )  x 1 2( x  1) 2 x  3 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 16 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số f ' (x)  0  x  7  2 3 Bảng biến thiên: x f’(x) 3 + f(x) + 72 3 0 1 3 4 - 1 2 Suy ra max f ( x )   x 3;    0 1 3 . 4 1 3 . 4 2 x 2  7 x  3  0 Ví dụ 5. Tìm m để hệ sau đây  2 có nghiệm. x  mx  m  0 Vậy bất phương trình có nghiệm khi m  (đây là bất phương trình chứa tham số và kèm theo điều kiện của x) Hướng dẫn giải (1) x 2  m( x  1)  Viết lại hệ dưới dạng  1 (2)  2  x  3 Do x = 1 không phải là nghiệm của (1) với mọi m  x2 f ( x )  m  x  1   1  x  3 2 nên hệ (1)(2)    f (x)  x  m  x 1   1   x  1  2 (3) (4) . (5) (6) min f ( x )  m 1 x 3  Hệ (1)(2)có nghiệm  max f ( x )  m . 1  x 1   2 x  0 x 2  2x Ta có f ' ( x )   0  x  2 ( x  1) 2  GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 17 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số Bảng biến thiên sau 1 x 2 f’(x) f(x)  1 - 2 - 1 2 0 3 +  9 2 - 1 1 max f ( x )  f ( )   ; min f ( x )  f (2)  4 1x3 2 2 1  x 1 2 m  4 Vậy các giá trị cần tìm của m là  1 m    2 Bài tập: 1. Cho bất phương trình m( x 2  2x  2  1)  x(2  x)  0 . Tìm m để bất   phương trình có nghiệm x  0; 1  3 . 2. Tìm m để bất phương trình m.9 x  m  13x  2  m  1  0 đúng với  x  R 3. Tìm m để bất phương trình sau đúng với mọi x  0; 2 log 2 x 2  2x  m  4 log 4 ( x 2  2x  m)  5 3x 2  2 x  1  0 4. Tìm m để hệ  3 có nghiệm. x  3 mx  1  0  x 2  3x  0 5. Tìm m để hệ sau có nghiệm  3 2 x  2x x  2  m  20 m  0 GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 18 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số III. Hiệu quả của đề tài. Sau khi các bài toán này được thực hành trên lớp và kiểm tra, đa số học sinh tiếp thu và vận dụng tốt. Bảng thống kê số phần trăm học sinh hiều bài và vận dụng được. Lớp Dùng điều kiện cần và đủ Dùng định lý Viét Dùng GTLN,GTNN 12A1 và sử dụng đồ thị 50 HS 17% học sinh hiểu bài 8% học sinh vận dụng được 55% học sinh hiểu và vận dụng được 75% học sinh hiểu và vận dụng được C. KẾT LUẬN Qua các ví dụ vừa nêu trên ta thấy được ưu điểm của việc ứng dụng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số vào giải các bài toán chứa tham số là cho ta một cách giải ngắn gọn và dễ hiểu. Mặc dù với tinh thần nghiêm túc, đầy trách nhiệm khi viết đề tài, đồng thời kết hợp với cả giảng dạy trên lớp để kiểm nghiệm thực tế, tuy nhiên trong quá trình viết sẽ khó tránh khỏi các khiếm khuyết rất mong được sự đóng góp của đồng nghiệp để đề tài này có ý nghĩa thiết thực và bổ ích hơn trong nhà trường. Giúp các em học sinh tìm cho mình một phương pháp ưu việt nhất khi giải các bài toán liên quan đến phương trình và bất phương trình có tham số. Xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 29 tháng 5 năm 2012 Người thực hiện Hoàng Văn Quang GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 19 SKKN:Ứng dụng của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong bài toán giải phương trình và bất phương trình có tham số 1. 2. 3. 4. 5. 6. TÀI LIỆU THAM KHẢO Các đề thi tuyển sinh vào đại học từ năm 2000 đến 2011. Báo Toán học và tuổi trẻ. Các bài toán về giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Tác giả: Nguyến Thái Hòe - XB năm 2006 Hàm số - Tác giả: Phan Huy Khải - XB năm 2001 SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 11 - NC. SGK, sách Bài tập và giải tích lớp 12 - NC. GV: Hoàng Văn Quang - Trường THPT Đào Duy Từ 20