Tài liệu Tuyển tập tích phân có lời giải chi tiết

TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC (ĐÁP ÁN CHI TIẾT) BIÊN SOẠN: LƯU HUY THƯỞNG Toàn bộ tài liệu của thầy ở trang: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HỌ VÀ TÊN: ………………………………………………………………… LỚP :…………………………………………………………………. TRƯỜNG :………………………………………………………………… HÀ NỘI, 4/2014 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 TUYỂN TẬP LƯỢNG GIÁC Toàn bộ tài liệu luyện thi đại học môn toán của thầy Lưu Huy Thưởng: http://www.Luuhuythuong.blogspot.com HT 1.Giải các phương trình: 1) 2 cos2 x + 3 cos x = 0 2) sin2 x + sin 2x + 2 cos2 x = 2 3) 3 sin2 x + sin 2x + cos2 x = 3 4) 2 sin2 x − sin x − 1 = 0 5) cos 2x + 3 sin x − 2 = 0 6) 2 cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 Bài giải 1) 2 cos2 x + 3 cos x = 0   cos x = 0  x = π + kπ   2 ,k ∈
⇔  3 ⇔  5 π cos x = −  x = ± + k 2 π  2   6 2) sin2 x + sin 2x + 2 cos2 x = 2  sin x = 0 ⇔ ⇔ sin x (2 cos x − sin x ) = 0 ⇔   tan x = 2  x = kπ  x = arctan 2 + k π  3) 3 sin2 x + sin 2x + cos2 x = 3 ⇔ 2 sin x cos x − 2 cos2 x = 0 ⇔ 2 cos x (sin x − cos x ) = 0    cos x = 0 ⇔ ⇔  tan x = 1    x = π + k 2π  2  π   x = + kπ  4   x = π + k 2π  2  sin x = 1   π  2  4) 2 sin x − sin x − 1 = 0 ⇔ ⇔ x = − + k 2 π , k ∈
sin x = − 1 6    2  x = 7 π + k 2π  6  5) cos 2x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ 1 − 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ 2 sin2 x − 3 sin x + 1 = 0   x = π + k 2π  2  sin x = 1   π  ⇔ 1 ⇔  x = + k 2π , k ∈
 6  sin x = 2  5 x = π + k 2 π  6  BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 1 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 6) 2 cos 2x − 3 cos x + 1 = 0 ⇔ 4 cos2 x − 3 cos x − 1 = 0   x = k 2π  cos x = 1   ⇔ ⇔ ,k ∈
cos x = − 1 x = ± arccos(− 1 ) + k 2π   4 4  HT 2.Giải các phương trình sau: 1) 2) sin 5x + cos 5x = − 2 3 sin 3x − cos 3x = 2 3) 3 sin x + cos x = 2 4) 3 sin x − cos x = 2 Bài giải 1) 3 sin 3x − cos 3x = 2 ⇔ 3 1 π sin 3x − cos 3x = 1 ⇔ sin (3x − ) = 1 2 2 6 ⇔ 3x − π π 2π k 2π = + k 2π ⇔ x = + 6 2 9 3 2) sin 5x + cos 5x = − 2 ⇔ 1 sin 5x + 2 1 cos 5x = −1 2 3) 3 sin x + cos x = 2 ⇔ ⇔ sin x cos π ⇔ sin (5x + ) = - 1 4 ⇔ 5x + π π 3π k 2π = − + k 2π ⇔ x = − + 4 2 20 5 3 1 2 sin x + cos x = 2 2 2 π π 2 π π + cos x sin = ⇔ sin(x + ) = sin 6 6 2 6 4    x + π = π + k 2π  x = π + k 2π   6 4 12 ⇔  ⇔ ,k ∈
π 3π 7π   x + = + k 2 π x = + k 2 π     6 4 12 4) 3 sin x − cos x = 2 ⇔ ⇔ sin x cos 3 1 2 sin x − cos x = 2 2 2 π π 2 π π − cos x sin = ⇔ sin(x − ) = sin 6 6 2 6 4    x − π = π + k2  x = 5π + k 2π   6 4 12 ⇔ ⇔ ,k ∈
π 3π 11π   x − = + k 2 π x = + k 2 π     6 4 12 HT 3.Giải phương trình: 1) 3 sin 3x − 3 cos 9x = 1 + 4 sin3 3x 2) tan x − sin 2x − cos 2x + 2(2 cos x − BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN 1 )=0 cos x Page 2 GV. Lưu Huy Thưởng 3) 8 sin x = 0968.393.899 3 1 + cos x sin x 4) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8 5) sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x − 4 cos x 6) 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4 7) sin 2x − cos 2x = 3 sin x + cos x − 2 π 8) (sin 2x + 3 cos 2x )2 − 5 = cos(2x − ) 6 9) 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0 10) 1 + cot 2x = 11) 4(sin4 x + cos4 x ) + 3 sin 4x = 2 12) 1 + sin 3 2x + cos3 2x = 13) tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x ) 14) sin3 x + cos3 x = sin x − cos x π 1 15) cos4 x + sin 4 (x + ) = 4 4 16) 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 1 − cos 2x sin2 2x 1 sin 4x 2 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) 3 sin 3x − 3 cos 9x = 1 + 4 sin3 3x ⇔ (3 sin 3x − 4 sin3 3x ) − 3 cos 9x = 1   x = π + k 2π π π  18 9 ⇔ sin 9x − 3 cos 9x = 1 ⇔ sin(9x − ) = sin ⇔  7π 2π 3 6  +k x =  54 9 2) tan x − sin 2x − cos 2x + 2(2 cos x − Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ (1) ⇔ 1 ) = 0 (1) cos x π + kπ 2 sin x 2 − sin 2x − cos 2x + 4 cos x − =0 cos x cos x ⇔ sin x − 2 sin x cos2 x − cos 2x cos x + 2(2 cos2 x − 1) = 0 ⇔ sin x (1 − 2 cos2 x ) − cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0 ⇔ − sin x cos 2x − cos 2x cos x + 2 cos 2x = 0  cos 2x = 0 π π ⇔x = +k ⇔ cos 2x (sin x + cos x − 2) = 0 ⇔  sin x + cos x = 2( vn ) 4 2  3) 8 sin x = 3 1 + (*) cos x sin x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 3 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π 2 (*) ⇔ 8 sin2 x cos x = 3 sin x + cos x ⇔ 4(1 − cos 2x ) cos x = 3 sin x + cos x ⇔ −4 cos 2x cos x = 3 sin x − 3 cos x ⇔ −2(cos 3x + cos x ) = 3 sin x − 3 cos x   x = π + kπ 1 3 π  6 ⇔ cos 3x = cos x − sin x ⇔ cos 3x = cos(x + ) ⇔  π π 2 2 3  x = − + k  12 2 C2 (*) ⇔ 8 sin2 x cos x = 3 sin x + cos x ⇔ 8(1 − cos2 x ) cos x = 3 sin x + cos x ⇔ 8 cos x − 8 cos3 x = 3 sin x − 3 cos x ⇔ 6 cos x − 8 cos3 x = 3 sin x − cos x ⇔ 4 cos3 x − 3 cos x = 1 3 π cos x − sin x ⇔ cos 3x = cos(x + ) 2 2 3   x = π + kπ  6 ⇔ π π  x = − + k  12 2 4) 9 sin x + 6 cos x − 3 sin 2x + cos 2x = 8 ⇔ 6 sin x cos x − 6 cos x + 2 sin2 x − 9 sin x + 7 = 0 ⇔ 6 cos x (sin x − 1) + (sin x − 1)(2 sin x − 7) = 0 ⇔ (sin x − 1)(6 cos x + 2 sin x − 7) = 0  sin x = 1 π ⇔  ⇔ x = + k 2π 2 6 cos x + 2 sin x = 7 5) sin 2x + 2 cos 2x = 1 + sin x − 4 cos x ⇔ 2 sin x cos x + 2(2 cos2 x − 1) − 1 − sin x + 4 cos x = 0 ⇔ sin x (2 cos x − 1) + 4 cos2 x + 4 cos x − 3 = 0 ⇔ sin x (2 cos x − 1) + (2 cos x − 1)(2 cos x + 3) = 0 ⇔ (2 cos x − 1)(2 sin x + 2 cos x + 3) = 0  1  π cos x =  ⇔ x = ± + k 2π ⇔ 2  3 2 sin x + 2 cos x = −3,(vn ) 6) 2 sin 2x − cos 2x = 7 sin x + 2 cos x − 4 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 4 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ 4 sin x cos x − (1 − 2 sin2 x ) − 7 sin x − 2 cos x + 4 = 0 ⇔ 2 cos x (2 sin x − 1) + (2 sin2 x − 7 sin x + 3) = 0 ⇔ 2 cos x (2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x − 3) = 0 ⇔ (2 sin x − 1)(2 cos x + sin x − 3) = 0   x = π + k 2π  2 sin x − 1 = 0  6 ⇔  ⇔ 5π  2 cos x + sin x = 3,(vn ) + k 2π x =  6 7) sin 2x − cos 2x = 3 sin x + cos x − 2 ⇔ 2 sin x cos x − (1 − 2 sin2 x ) − 3 sin x − cos x + 2 = 0 ⇔ (2 sin x cos x − cos x ) + (2 sin2 x − 3 sin x + 1) = 0 ⇔ cos x (2 sin x − 1) + (2 sin x − 1)(sin x − 1) = 0  2 sin x = 1 ⇔ (2 sin x − 1)(cos x + sin x − 1) = 0 ⇔   cos x + sin x = 1   x = π + k 2π  6 +2 sin x = 1 ⇔  5π  + k 2π x =  6  x = k 2π  π 2 + cos x + sin x = 1 ⇔ cos(x − ) = ⇔ x = π + k 2 π 4 2 2  π 8) (sin 2x + 3 cos 2x )2 − 5 = cos(2x − ) 6 1 3 π Ta có: sin 2x + 3 cos 2x = 2( sin 2x + cos 2x ) = 2 cos(2x − ) 2 2 6 Đặt: t = sin 2x + 3 cos 2x, −2 ≤ t ≤ 2 t = −2  t 2 Phương trình trở thành: t − 5 = ⇔ 2t − t − 10 = 0 ⇔  t = 5 2  2 2 +t = 5 : loại 2 π 7π +t = −2 : 2 cos(2x − ) = −2 ⇔ x = + kπ 6 12 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 5 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 9) 2 cos3 x + cos 2x + sin x = 0 ⇔ 2 cos3 x + 2 cos2 x − 1 + sin x = 0 ⇔ 2 cos2 x (cos x + 1) − (1 − sin x ) = 0 ⇔ 2(1 − sin2 x )(cos x + 1) − (1 − sin x ) = 0 ⇔ 2(1 − sin x )(1 + sin x )(cos x + 1) − (1 − sin x ) = 0 ⇔ (1 − sin x )[2(1 + sin x )(cos x + 1) − 1] = 0 ⇔ (1 − sin x )[1 + 2 sin x cos x + 2(sin x + cos x )] = 0  sin x = 1 ⇔  1 + 2 sin x cos x + 2(sin x + cos x ) = 0 + sin x = 1 ⇔ x = π + k 2π 2 +1 + 2 sin x cos x + 2(sin x + cos x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x )2 + 2(sin x + cos x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x )(sin x + cos x + 2) = 0 ⇔ sin x + cos x = 0 ⇔ tan x = −1 ⇔ x = − 10) 1 + cot 2x = 1 − cos 2x π + kπ 4 (*) 2 Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k sin 2x (*) ⇔ 1 + cot 2x = 1 − cos 2x 2 ⇔ 1 + cot 2x = 1 − cos 2x π 2 1 cos 2x 1 ⇔ 1+ = 1 + cos 2x sin 2x 1 + cos 2x ⇔ sin 2x (1 + cos 2x ) + cos 2x (1 + cos 2x ) = sin 2x ⇔ sin 2x cos 2x + cos 2x (1 + cos 2x ) = 0 ⇔ cos 2x (sin 2x + cos 2x + 1) = 0  cos 2x = 0 ⇔  sin 2x + cos 2x = −1 + cos 2x = 0 ⇔ x = π π +k 4 2  x = − π + k π π π  4 + sin 2x + cos 2x = −1 ⇔ sin(2x + ) = sin(− ) ⇔  π 4 4   x = + kπ  2 Vậy,phương trình có nghiệm: x = π π +k 4 2 11) 4(sin4 x + cos4 x ) + 3 sin 4x = 2 ⇔ 4[(sin2 x + cos2 x )2 − 2 sin2 x cos2 x ] + 3 sin 4x = 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 6 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 ⇔ 4(1 − sin2 2x ) + 3 sin 4x = 2 ⇔ cos 4x + 3 sin 4x = −2 2   x = π +k π  4 2 ⇔ π π  x = − + k  12 2 12) 1 + sin 3 2x + cos3 2x = 1 sin 4x 2 ⇔ 2 − sin 4x + 2(sin 2x + cos 2x )(1 − sin 2x cos 2x ) = 0 ⇔ (2 − sin 4x ) + (sin 2x + cos 2x )(2 − sin 4x ) = 0 ⇔ (2 − sin 4x )(sin 2x + cos 2x + 1) = 0 ⇔ sin 2x + cos 2x = −1  x = − π + k π π 2  4 ⇔ sin(2x + ) = − ⇔ π 4 2   x = + kπ  2 13) tan x − 3 cot x = 4(sin x + 3 cos x ) (*) (*) ⇔ Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k π 2 sin x cos x −3 = 4(sin x + 3 cos x ) cos x sin x ⇔ sin2 x − 3 cos2 x − 4 sin x cos x (sin x + 3 cos x ) = 0 ⇔ (sin x − 3 cos x )(sin x + 3 cos x ) − 4 sin x cos x (sin x + 3 cos x ) = 0 ⇔ (sin x + 3 cos x )(sin x − 3 cos x − 4 sin x cos x ) = 0  sin x + 3 cos x = 0  ⇔  sin x − 3 cos x − 4 sin x cos x = 0  + sin x + 3 cos x = 0 ⇔ tan x = − 3 ⇔ x = − π + kπ 3 + sin x − 3 cos x − 4 sin x cos x = 0 ⇔ 2 sin 2x = sin x − 3 cos x  x = − π + k 2 π 1 3 π  3 ⇔ sin 2x = sin x − cos x ⇔ sin 2x = sin(x − ) ⇔  4π 2π 2 2 3  +k x =  9 3 Vậy,phương trình có nghiệm là: x = − π 4π 2π + k π; x = +k 3 9 3 14) sin3 x + cos3 x = sin x − cos x ⇔ sin x (sin2 x − 1) + cos3 x + cos x = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 7 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ − sin x cos2 x + cos3 x + cos x = 0 ⇔ cos x (− sin x cos x + cos2 x + 1) = 0  cos x = 0 ⇔  2 − sin x cos x + cos x = −1  + cos x = 0 ⇔ x = π + kπ 2 1 1 + cos 2x + − sin x cos x + cos2 x = −1 ⇔ − sin 2x + = −1 ⇔ sin 2x − cos 2x = 3,(vn ) 2 2 Vậy,phương trình có nghiệm là: x = π + k π, k ∈
2 π 1 1 1 π 1 15) cos4 x + sin 4 (x + ) = ⇔ (1 + cos 2x )2 + [1 − cos(2x + )]2 = 4 4 4 4 2 4 ⇔ (1 + cos 2x )2 + (1 + sin 2x )2 = 1 ⇔ sin 2x + cos 2x = −1   x = π + k 2π π 3π  2 ⇔ cos(2x − ) = cos ⇔ π 4 4  x = − + k π  4 16) 4 sin3 x cos 3x + 4 cos3 x sin 3x + 3 3 cos 4x = 3 ⇔ 4 sin3 x (4 cos3 x − 3 cos x ) + 4 cos3 x (3 sin x − 4 sin 3 x ) + 3 3 cos 4x = 3 ⇔ −12 sin3 x cos x + 12 cos3 x sin x + 3 3 cos 4x = 3 ⇔ 4 sin x cos x (cos2 x − sin2 x ) + 3 cos 4x = 1 ⇔ 2 sin 2x cos 2x + 3 cos 4x = 1 ⇔ sin 4x + 3 cos 4x = 1 1 3 1 π π ⇔ sin 4x + cos 4x = ⇔ sin(4x + ) = sin 2 2 2 3 6  x = − π + k π  24 2 ,k ∈
⇔ π π   x = +k  8 2 HT 4.Giải phương trình: π π 3 1) cos4 x + sin4 x + cos(x − ) sin(3x − ) − = 0 4 4 2 3) 2 sin 3x − 5) cos x cos 1 1 = 2 cos 3x + sin x cos x x 3x x 3x 1 cos − sin x sin sin = 2 2 2 2 2 2) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) tan2 x 4) cos x (2 sin x + 3 2) − 2 cos2 x − 1 =1 1 + sin 2x 6) 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 8 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 π π 7) cos(2x + ) + cos(2x − ) + 4 sin x = 2 + 2(1 − sin x ) 8) 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x 4 4 9) 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x =0 cos x 11) sin 8 x + cos8 x = 10) cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 17 cos2 2x 16 12) sin π 14) tan 3 (x − ) = tan x − 1 4 13) sin 2x (cot x + tan 2x ) = 4 cos2 x 15) 5x x = 5 cos3 x sin 2 2 sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x π π tan( − x ) tan( + x ) 4 4 1 16) 48 − 4 cos x 17) sin8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x ) + − 2 sin2 x (1 + cot2x cot x ) = 0 5 cos 2x 4 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải π π 3 1) cos4 x + sin4 x + cos(x − ) sin(3x − ) − = 0 4 4 2 1 π 3 ⇔ (sin2 x + cos2 x )2 − 2 sin2 x cos2 x + [sin(4x − ) + sin 2x ] − = 0 2 2 2 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + (− cos 4x + sin 2x ) − = 0 2 2 2 1 1 1 1 ⇔ − sin2 2x − (1 − 2 sin2 2x ) + sin 2x − = 0 2 2 2 2 ⇔ sin2 2x + sin 2x − 2 = 0 ⇔ sin 2x = 1 ⇔ x = 2) 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) tan2 x Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ (1) π + kπ 2 (1) ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) ⇔ 5 sin x − 2 = π + kπ 4 sin2 x cos2 x ⇔ 5 sin x − 2 = 3(1 − sin x ) sin2 x 1 − sin2 x 1 3 sin2 x ⇔ 2 sin2 x + 3 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = 2 1 + sin x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 9 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   x = π + k 2π  6 ⇔ 5π  + k 2π x =  6 3) 2 sin 3x − 1 1 = 2 cos 3x + sin x cos x (*) Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k (*) ⇔ 2(sin 3x − cos 3x ) = π 2 1 1 + sin x cos x 1 1 + sin x cos x ⇔ 2[3(sin x + cos x ) − 4(sin3 x + cos3 x ] = ⇔ 2(sin x + cos x )[3 − 4(sin2 x − sin x cos x + cos2 x )] = ⇔ 2(sin x + cos x )(−1 + 4 sin x cos x ) − ⇔ (sin x + cos x )(−2 + 8 sin x cos x − ⇔ (sin x + cos x )(4 sin 2x − sin x + cos x sin x cos x sin x + cos x =0 sin x cos x 1 )=0 sin x cos x 2 − 2) = 0 sin 2x ⇔ (sin x + cos x )(4 sin2 2x − 2 sin 2x − 2) = 0   x = ± π + kπ   tan x = −1 4    sin x + cos x = 0 π    ⇔  sin 2x = 1 ⇔ ⇔ x = − + k π 2 12   4 sin 2x − 2 sin 2x − 2 = 0   sin 2x = −1 / 2  7   x = π + kπ  12  4) cos x (2 sin x + 3 2) − 2 cos2 x − 1 =1 1 + sin 2x Điều kiện: sin 2x ≠ −1 ⇔ x ≠ − (*) π + kπ 4 (*) ⇔ 2 sin x cos x + 3 2 cos x − 2 cos2 x − 1 = 1 + sin 2x ⇔ 2 cos2 x − 3 2 cos x + 2 = 0 ⇔ cos x = Đối chiếu điều kiện phương trình có nghiệm: x = 2 π ⇔ x = ± + kπ 2 4 π + k π, k ∈
4 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 10 GV. Lưu Huy Thưởng 5) cos x cos ⇔ 0968.393.899 x 3x x 3x 1 cos − sin x sin sin = 2 2 2 2 2 1 1 1 cos x (cos 2x + cos x ) + sin x (cos 2x − cos x ) = 2 2 2 ⇔ cos x cos 2x + cos2 x + sin x cos 2x − sin x cos x = 1 ⇔ cos 2x (sin x + cos x ) + 1 − sin2 x − sin x cos x − 1 = 0 ⇔ cos 2x (sin x + cos x ) − sin x (sin x + cos x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x )(cos 2x − sin x ) = 0 ⇔ (sin x + cos x )(−2 sin2 x − sin x + 1) = 0  sin x + cos x = 0 ⇔  2 2 sin x + sin x − 1 = 0   π  x = − + kπ   tan x = −1 4   π   ⇔  sin x = −1 ⇔  x = − + k 2π 2    sin x = 1 / 2 π x = + k 2 π ∨ x = 5 π + k 2 π  6 6  6) 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x ⇔ 4 cos3 x + 6 2 sin x cos x − 8 cos x = 0 ⇔ 2 cos x (2 cos2 x + 3 2 sin x − 4) = 0 ⇔ 2 cos x (2 sin2 x − 3 2 sin x + 2) = 0   x = π + kπ   cos x = 0 2   π  ⇔  2 ⇔  x = 4 + k 2π   sin x =  2  x = 3π + k 2π  4  π π 7) cos(2x + ) + cos(2x − ) + 4 sin x = 2 + 2(1 − sin x ) 4 4 ⇔ 2 cos 2x cos π + 4 sin x − 2 − 2 + 2 sin x = 0 4 ⇔ 2(1 − 2 sin2 x ) + 4 sin x − 2 − 2 + 2 sin x = 0 ⇔ 2 2 sin2 x − (4 + 2) sin x + 2 = 0   x = π + k 2π 1  6 ⇔ ⇔ sin x = 5π  2 + k 2π x =  6 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 11 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 8) 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = (2 + 3 2) cos x sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ Điều kiện: (1) ⇔ 3 (1) cos2 x 4 + 2 2 = (2 + 3 2) sin x cos x sin2 x  t = 2 Đặt: t = phương trình trở thành: 3t − (2 + 3 2)t + 2 2 = 0 ⇔  2 sin2 x t = 3  cos x +t = 2 2 cos x 2 : = ⇔ 3 cos x = 2(1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + 3 cos x − 2 = 0 2 3 sin x 3 ⇔ cos x = +t = 2 : cos x 2 1 π ⇔ x = ± + k 2π 2 3 = 2 ⇔ cos x = 2(1 − cos2 x ) ⇔ 2 cos2 x + cos x − 2 = 0 sin x ⇔ cos x = Vậy,phương trình có nghiệm: x = ± 9) 2 π ⇔ x = ± + k 2π 2 4 π π + k 2π, x = ± + k 2π 3 4 4 sin2 2x + 6 sin2 x − 9 − 3 cos 2x =0 cos x Điều kiện: cos x ≠ 0 ⇔ x ≠ (*) π + kπ 2 (*) ⇔ 4(1 − cos2 2x ) + 3(1 − cos 2x ) − 9 − 3 cos x = 0 ⇔ 4 cos2 2x + 6 cos x + 2 = 0   cos 2x = −1  x = π + kπ   2 ⇔ ⇔  cos 2x = − 1 π   x = ± + k π 2  3 Vậy,phương trình có nghiệm: x = ± π + kπ 3 10) cos x + cos 3x + 2 cos 5x = 0 ⇔ (cos 5x + cos x ) + (cos 5x + cos 3x ) = 0 ⇔ 2 cos 3x cos 2x + 2 cos 4x cos x = 0 ⇔ (4 cos3 x − 3 cos x ) cos 2x + (2 cos2 2x − 1) cos x = 0 ⇔ cos x [(4 cos2 x − 3) cos 2x + 2 cos2 2x − 1] = 0 ⇔ cos x {[2(1 + cos 2x ) − 3]cos 2x + 2 cos2 2x − 1} = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 12 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ cos x (4 cos2 2x − cos 2x − 1) = 0  π   x = + kπ  cos x = 0   2    1 − 17 1 − 17  ⇔  x = ± arccos + k 2π ⇔  cos x =  8 8    1 + 17   cos x = 1 + 17 + k 2π x = ± arccos   8 8  11) sin 8 x + cos8 x = 17 cos2 2x (*) 16 sin 8 x + cos8 x = (sin 4 x + cos4 x )2 − 2 sin 4 x cos4 x 1 = [(sin2 x + cos2 x )2 − 2 sin2 x cos2 x )]2 − sin4 2x 8 1 1 1 = (1 − sin2 2x )2 − sin 4 2x = 1 − sin2 2x + sin4 2x 2 8 8 (*) ⇔ 16(1 − sin2 2x + ⇔ sin2 2x = 12) sin 1 π π ⇔ 1 − 2 sin2 2x = 0 ⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = + k 2 8 4 5x x = 5 cos3 x sin 2 2 Ta thấy: cos 1 sin 4 2x ) = 17(1 − sin2 2x ) ⇔ 2 sin4 2x + sin2 2x − 1 = 0 8 (*) x = 0 ⇔ x = π + k 2π ⇔ cos x = −1 2 Thay vào phương trình (*) ta được: sin( 5π π + 5k π) = − sin( + k π) không thỏa mãn với mọi k 2 2 Do đó cos x không là nghiệm của phương trình nên: 2 (*) ⇔ sin 5x x x x 1 5 cos = 5 cos3 x sin cos ⇔ (sin 3x + sin 2x ) = cos3 x sin x 2 2 2 2 2 2 ⇔ 3 sin x − 4 sin3 x + 2 sin x cos x − 5 cos3 x sin x = 0 ⇔ sin x (3 − 4 sin2 x + 2 cos x − 5 cos3 x ) = 0 ⇔ sin x (5 cos3 x − 4 cos2 x − 2 cos x + 1) = 0 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 13 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   sin x = 0 x = kπ     cos x = 1 x = k 2π     ⇔  cos x = −1 + 21 ⇔ x = ± arccos −1 + 21 + k 2π     10 10   − 1 − 21 − 1 − 21  cos x = x = ± arccos + k 2π   10 10   Vậy,phương trình có nghiệm: x = k 2π , x = ± arccos −1 + 21 + k 2π 10 x = ± arccos 13) sin 2x (cot x + tan 2x ) = 4 cos2 x −1 − 21 + k 2π 10 (1)   x ≠ k π  sin x ≠ 0  Điều kiện:  ⇔ cos 2x ≠ 0 x ≠ π + k π  4 2  Ta có: cot x + tan 2x = cos x sin 2x cos 2x cos x + sin 2x sin x cos x + = = sin x cos 2x sin x cos 2x sin x cos 2x (1) ⇔ 2 sin x cos x ⇔ cos x = 4 cos2 x sin x cos 2x cos2 x = 2 cos2 x ⇔ cos2 x (1 − 2 cos 2x ) = 0 cos 2x   x = π + kπ  cos x = 0   2 ⇔ ⇔ cos 2 x = 1 / 2 π   x = ± + k π  6 Vậy,phương trình có nghiệm: x = π π + kπ , x = ± + kπ 2 6 Vậy,phương trình có nghiệm: x = k π 14) tan3 (x − ) = tan x − 1 4 5 1 − 21 5π 5π , x = ± arccos +k 2 4 4 2 (1)   cos x ≠ 0  x ≠ π + k π  2 Điều kiện:  ⇔  cos(x − π ) ≠ 0  3π + kπ  x ≠ 4 4  (1) ⇔ (tan x − 1)3 3 = tan x − 1 ⇔ (tan x − 1)3 = (tan x − 1)(1 + tan x )3 (1 + tan x ) BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 14 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 ⇔ (tan x − 1)[(1 + tan x )3 − (tan x − 1)2 ] = 0 ⇔ (tan x − 1)(tan 3 x + 2 tan2 x + 5 tan x ) = 0 ⇔ tan x (tan x − 1)(tan2 x + 2 tan x + 5) = 0  x = kπ  tan x = 0   ⇔ ⇔ x = π + k π tan x = 1  4  C2: Đặt: t = x − 15) π 4 sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x π π tan( − x ) tan( + x ) 4 4 (1)    sin( π − x ) cos( π − x ) ≠ 0 sin( π − 2x ) ≠ 0   4 4 4 Điều kiện:  ⇔ ⇔ cos 2x ≠ 0   π π π sin( + 2x ) ≠ 0 sin( + x ) cos( + x ) ≠ 0 4 4 4   π π 1 − tan x 1 + tan x tan( − x ) tan( + x ) = . =1 4 4 1 + tan x 1 − tan x (1) ⇔ sin 4 2x + cos4 2x = cos4 4x ⇔ 1 − 2 sin2 2x cos2 2x = cos4 4x 1 1 ⇔ 1 − sin2 4x = cos4 4x ⇔ 1 − (1 − cos2 4x ) = cos4 4x 2 2 ⇔ 2 cos4 4x − cos2 4x − 1 = 0 ⇔ cos2 4x = 1 ⇔ 1 − cos2 4x = 0 ⇔ sin 4x = 0 ⇔ x = k Vậy,phương trình có nghiệm: x = k 16) 48 − 1 cos4 x − 2 sin2 x π 2 (1 + cot2x cot x ) = 0 Điều kiện: sin 2x ≠ 0 ⇔ x ≠ k Ta có: 1 + cot 2x cot x = 1 + cos 2x cos x cos 2x sin x + sin 2x sin x = sin 2x sin x sin 2x cos x cos x 2 2 sin x cos x 1 4 − cos x (*) π 2 = (*) ⇔ 48 − π 4 1 4 sin x = 1 2 sin2 x = 0 ⇔ 48 = 1 4 cos x + 1 sin4 x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 15 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 1 ⇔ 48 sin4 x cos4 x = sin4 x + cos4 x ⇔ 3 sin 4 2x = 1 − sin2 2x 2 ⇔ 6 sin4 2x + sin2 2x − 2 = 0 ⇔ sin2 2x = ⇔ cos 4x = 0 ⇔ x = 1 ⇔ 1 − 2 sin2 2x = 0 2 π π +k 8 4 Vậy,phương trình có nghiệm: x = π π +k 8 4 17) sin 8 x + cos8 x = 2(sin10 x + cos10 x ) + 5 cos 2x 4 ⇔ sin 8 x (1 − 2 sin2 x ) − cos8 x (2 cos2 x − 1) = ⇔ sin 8 x cos 2x − cos8 x cos 2x = 5 cos 2x 4 5 cos 2x 4 ⇔ 4 cos 2x (cos8 x − sin 8 x ) + 5 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos 2x (cos4 x − sin4 x )(cos4 x + sin 4 x ) + 5 cos 2x = 0 ⇔ 4 cos 2x (cos2 x − sin2 x )(cos2 x + sin2 x )(cos4 x + sin 4 x ) + 5 cos 2x = 0 1 ⇔ 4 cos 2x (cos2 x − sin2 x )(1 − sin2 2x ) + 5 cos 2x = 0 2 1 ⇔ 4 cos2 2x (1 − sin2 2x ) + 5 cos 2x = 0 2 ⇔ 4 cos 2x (4 cos 2x − 2 cos 2x sin2 2x + 5) = 0 ⇔ 4 cos 2x [4 cos 2x − 2 cos 2x (1 − cos2 2x ) + 5] = 0 ⇔ 4 cos 2x (2 cos3 2x + 2 cos 2x + 5) = 0 ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = π π +k 4 2 HT 5.Giải các phương trình sau: 1) sin4 x + cos4 x 1 = ( tan x + cot x ) sin 2x 2 3) sin(2x + 2) 1 + sin π x  x x sin x − cos sin2 x = 2 cos2  −   4 2  2 2 17π x π ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20 sin2 ( + ) 2 2 12 4) sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x  5π  5) 2 2 c os  − x  sin x = 1   12 6) sin 2x 1 + = 2c osx sin x + cos x 2. tan x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 16 GV. Lưu Huy Thưởng 7) cos2x + sin x sin 4x − sin2 4x = 0968.393.899 1 4 8) 2 cos 4x − ( 3 − 2) cos 2x = sin 2x + 3 ( ) 10) sin x cos 2x + cos2 x tan2 x − 1 + 2 sin 3 x = 0 9) 1 + sin x − cos x − sin 2x + cos 2x = 0 http://www.Luuhuythuong.blogspot.com Bài giải 1) sin4 x + cos4 x 1 = ( tan x + cot x ) (1) sin 2x 2 Điều kiện: sin 2x ≠ 0 1 1 1 − sin2 2x 1 − sin2 2x   1 sin x cos x 1 2 2  ⇔ (1) ⇔ =  + =   sin 2x 2  cos x sin x  sin 2x sin 2x 1 ⇔ 1 − sin2 2x = 1 2 ⇔ sin 2x = 0 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. 2) 1 + sin π x  x x sin x − cos sin2 x = 2 cos2  −   4 2  2 2 x x (1) π    (1) ⇔ 1 + sin 2 sin x − cos 2 sin2 x = 1 + cos  2 − x  = 1 + sin x  x   x  x x x x ⇔ sin x sin − cos sin x − 1 = 0 ⇔ sin x sin − cos .2 sin cos − 1 = 0    2 2 2 2 2 2   x   x x x x x ⇔ sin x sin − 1 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0 ⇔ sin x = 0, sin = 1, 2 sin2 + 2 sin + 1 = 0   2 2 2 2 2 2   ⇔ x = k π, 3) sin(2x + x = k π x π = + k 2π ⇔  ⇔ x = kπ 2 2 x = π + k 4π 17π x π ) + 16 = 2 3.s inx cos x + 20 sin2 ( + ) 2 2 12 Biến đổi phương trình đó cho tương đương với π π π c os2x − 3 sin 2x + 10c os(x + ) + 6 = 0 ⇔ c os(2x + ) + 5c os(x + ) + 3 = 0 6 3 6 π π π 1 π ⇔ 2c os2 (x + ) + 5c os(x + ) + 2 = 0 .Giải được c os(x + ) = − và c os(x + ) = −2 (loại) 6 6 6 2 6 π 1 π 5π *Giải c os(x + ) = − được nghiệm x = + k 2π và x = − + k 2π 6 2 2 6 4) sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 17 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899 sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x sin x + sin2 x + sin3 x + sin4 x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x sin x − cosx = 0 ⇔ (sin x − cosx ). 2 + 2(sin x + cosx ) + sin x .cosx  = 0 ⇔  2 + 2(sin x + cosx ) + sin x .cosx = 0 + Với sin x − cosx = 0 ⇔ x = π + k π (k ∈ Z ) 4 + Với 2 + 2(sin x + cosx ) + sin x .cosx = 0 , đặt t = sin x + cosx (t ∈ − 2; 2  )   x = π + m 2π t = −1  được pt : t 2 + 4t = 3 = 0 ⇔  t = -1 ⇒  (m ∈ Z ) x = − π + m 2π t = −3(loai) 2  Vậy : x = π π + k π, x = π + m 2π, x = − + m 2π(m ∈ Z , k ∈ Z ) 4 2  5π  5) 2 2 c os  − x  sin x = 1   12    5π  5π  5π  2 2c os  − x  sin x = 1 ⇔ 2 sin 2x −  + sin  = 1   12 12  12      5π  5π 1 π 5π  π 5π ⇔ sin 2x −  + sin = = sin ⇔ sin 2x −  = sin − sin =   12  12 4 12 4 12    2  π  π π = 2 cos sin −  = sin −  3  12   12    π 5π  ⇔ sin 2x −  = sin −  ⇔ 12    12  6)   2x − 5π = − π + k 2π x = π + k π   12 12 6 ⇔  (k ∈
) 5π 13π 3π   2 x − = + k 2 π x = + k π     12 12 4 sin 2x 1 + = 2c osx sin x + cos x 2. tan x Điều kiện: sin x ≠ 0, cos x ≠ 0, sin x + cos x ≠ 0. Pt đã cho trở thành cos x 2 sin x ⇔ cos x 2 sin x − + 2 sin x cos x − 2 cos x = 0 sin x + cos x   2 cos2 x π = 0 ⇔ cos x sin(x + ) − sin 2x  = 0  sin x + cos x 4  +) cos x = 0 ⇔ x = π + k π, k ∈ Z. 2 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 18 GV. Lưu Huy Thưởng 0968.393.899   2x = x + π + m 2π x = π + m 2 π π   4 4 +) sin 2x = sin(x + ) ⇔  ⇔ π π n 2π 4   2x = π − x − + n 2π x = +   4 4 3 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là : x = 7) cos2x + sin x sin 4x − sin2 4x = m, n ∈ Z ⇔ x = π t 2π + , t ∈ Z. 4 3 π π t 2π + kπ ; x = + , k, t ∈ Z. 2 4 3 1 4 pt đã cho tương đương với pt: 1 1 1 1 (1 + cos 2x ) + (cos 3x − cos 5x ) − (1 − cos 8x ) = 2 2 2 4 1 1 1 ⇔ cos 3x cos 5x + cos 3x − cos 5x +  = 0 2 2  2    cos 5x + 1 = 0  x = ± 2π + k 2π    1  1    2 15 5 ⇔  ⇔ cos 5x +  cos 3x −  = 0 ⇔  1 π 2π 2  2     cos 3x − = 0 x = ± + k   2 9 3 8) 2 cos 4x − ( 3 − 2) cos 2x = sin 2x + 3 ⇔ 2(cos 4x + cos 2x ) = (cos 2x + 1) + sin 2x cos x = 0 ⇔ 4 cos 3x .cos x =2 3cos2x + 2 sin x cos x ⇔  2 cos 3x = 3 cos x + sin x + cos x = 0 ⇔ x = π + kπ 2  π + 2 cos 3x = 3 cos x + sin x ⇔ cos 3x = cos x −  ⇔ 6      3x = x − π + k 2π x = − π + k π   6 12 ⇔  π kπ π   +  3x = − x + k 2π x =   6 24 2 9) 1 + sin x − cos x − sin 2x + cos 2x = 0 ⇔ (1 − sin 2x ) + (sin x − cos x ) + (cos2 x − sin2 x ) = 0 ⇔ (sin x − cos x ) (sin x − cos x ) + 1 − (sin x + cos x ) = 0 ⇔ ( (sin x − cos x )(1 − 2 cos x ) = 0   tan x = 1 x = π + k .π   4 ⇔  ⇔  (k, l ∈
) ( k,l ∈ Z). cos x = 1 π   x = ± + l . π  2  3 BỂ HỌC VÔ BỜ - CHUYÊN CẦN SẼ ĐẾN BẾN Page 19