Tài liệu Tuyển tập hình học giải tích trong mặt phẳng

Mục lục Tóm tắt Lý thuyết 1 Bài toán có lời giải 15 1 Điểm - Đường thẳng 15 2 Đường tròn - Đường elip 68 Bài tập ôn luyện có đáp số 94 1 Bài tập Điểm - Đường thẳng 94 2 Bài tập Đường tròn - Đường elip 107 Lờinóiđầu HìnhhọcgiảitíchhayhìnhhọctọađộlàmộtcáchnhìnkhácvềHìnhhọc.Hìnhhọcgiảitích trong mặt phẳng được đưa vào chương trình toán của lớp 10 nhưng vẫn có trong đề thi tuyển sinhĐạihọc,Caođẳng.ĐểgópphầntrongviệcôntậpchohọcsinhtrướckhidựthiDiễnđàn BoxMathxinđónggóptuyểntậpnày. Khi thực hiện biên soạn trên diễn đàn, tôi đã nhận được sự quan tâm của nhiều thành viên và quản trị viên. Những người đã góp sức vào quá trình biên soạn, góp ý sửa chữa vềcácchitiếttrongtuyểntập.Sựđónggópcủacácbạn,vànhữngthầycôtâmhuyếtchứngtỏ cuốntàiliệunàylàcầnthiếtchohọcsinh. Bâygiờđây,khibạnđangđọcnótrênmáytínhhayđãđượcinratrêngiấy.Chúngtôihyvọng nó sẽ góp phần ôn tập kiến thức của bản thân đồng thời tăng thêm động lực khi học tập hình họcgiảitíchtrongkhônggian. Mặc dù đã biên soạn rất kỹ tuy nhiên tài liệu có thể vẫn còn sai sót, mong các bạn khi đọc hãy nhặt ra dùm và gởi email về . Đồng thời qua đây cũng xin phép các Tác giả đã có bài tập trong tuyển tập này mà chúng tôi chưa nhớ ra để ghi rõ nguồn gốc vào, cùnglờixinlỗichânthành. Thaymặtnhómbiênsoạn,tôixinchânthànhcảmơn! Cácthànhviênbiênsoạn 1. HuỳnhChíhào-THPTChuyênNguyễnQuangDiêu-ĐồngTháp 2. LêĐìnhMẫn-THPTNguyễnChíThanh-QuảngBình 3. LêTrungTín-THPTHồngNgự2-ĐồngTháp 4. ĐỗKiêmTùng-THPTNgọcTảo-HàNội 5. TônThấtQuốcTấn-Huế 6. NguyễnTàiTuệ-THPTLươngThếVinh-VụBảnNamĐịnh 7. NguyễnXuânCường-THPTAnhSơn1-NghệAn 8. LêĐứcBin-THPTĐồngXoài-BìnhPhước 9. ChâuNgọcHùng-THPTNinhHải-NinhThuận 10. PhạmTuấnKhải-THPTTrầnVănNăng-ĐồngTháp. Tĩm tắt lý thuyết HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ ĐIỂM - TỌA ĐỘ VÉCTƠ A. KIẾN THỨC CƠ BẢN y I. Hệ trục toạ độ ĐỀ-CÁC trong mặt phẳng : • • • x Ox : trục hoành y'Oy : trục tung O : gốc toạ độ rr i, j : véctơ đơn vị • x' r j ' r (i = r r r j = 1 vaø i ⊥ j x' ) r i x O y' Quy ước : Mặt phẳng mà trên đó có chọn hệ trục toạ độ Đề-Các vuông góc Oxy được gọi là mặt phẳng Oxy và ký hiệu là : mp(Oxy) II. Toạ độ của một điểm và của một véctơ: uuuur 1. Định nghĩa 1: Cho M ∈ mp(Oxy ) . Khi đó véctơ OM được biểu diển một cách duy nhất theo rr uuuur r r y i, j bởi hệ thức có dạng : OM = xi + y j voi x,y ∈ ¡ . Q M r Cặp số (x;y) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của điểm M. j r Ký hiệu: M(x;y) ( x: hoành độ của điểm M; y: tung độ của điểm M ) i x O P d /n • M ( x; y ) y' ⇔ uuuur r r OM = xi + y j y Ý nghĩa hình học: Q M y x' O x x x = OP P và y=OQ y' r r 2. Định nghĩa 2: Cho a ∈ mp (Oxy Khi đó véctơ a được biểu diển một cách duy nhất theo r r r rr i, j bởi hệ thức có dạng : a = a1 i + a2 j voi a1 ,a 2 ∈ ¡ . r Cặp số (a1;a2) trong hệ thức trên được gọi là toạ độ của véctơ a . r v e2 Ký hiệu: a = ( a1; a2 ) r a =(a1 ;a 2 ) x' r r r a = a1 i + a2 j d /n ⇔ v e1 O y • Ý nghĩa hình học: K A A2 x' B H x O A1 y' a1 = A1 B1 B1 1 và a 2 =A 2 B2 x P y' B2 r a y Tĩm tắt lý thuyết III. Các công thức và định lý về toạ độ điểm và toạ độ véctơ :  Định lý 1: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì B( x B ; y B ) uuur AB = ( xB − x A ; y B − y A )  Định lý 2: A( x A ; y A ) r r Nếu a = (a1 ; a2 ) và b = (b1 ; b2 ) thì v a r r a = b * a=b ⇔  1 1  a2 = b2 r r * a + b = (a1 + b1; a2 + b2 ) r r * a − b = (a1 − b1 ; a2 − b2 ) r * k .a = ( ka1; ka2 ) (k ∈ ¡ ) v b IV. Sự cùng phương của hai véctơ: Nhắc lại • Hai véctơ cùng phương là hai véctơ nằm trên cùng một đường thẳng hoặc nằm trên hai đường thẳng song song . • Định lý về sự cùng phương của hai véctơ: r r r r  Định lý 3 : Cho hai véctơ a và b voi b ≠ 0 r r a cùng phuong b v a v b v a v b r r ⇔ ∃!k ∈ ¡ sao cho a = k .b r r Nếu a ≠ 0 thì số k trong trường hợp này được xác định như sau: r r k > 0 khi a cùng hướng b v r r r a b k < 0 khi a ngược hướng b r a k = r v 2v 5v v b a =− b , b=- a 5 2 B A uuur uuur A, B, C thang hàng ⇔ AB cùng phuong AC  Định lý 4 :  (Điều kiện 3 điểm thẳng hàng ) r r Định lý 5: Cho hai véctơ a = ( a1; a2 ) vaø b = (b1; b2 ) ta có : r a cùng phuong b v a = (a1 ; a2 ) v b = (b1 ; b2 ) ⇔ a1.b2 − a2 .b1 = 0 VD : v a = (1;2) v b = (2;4) 2 C (Điều kiện cùng phương của 2 véctơ Tĩm tắt lý thuyết V. Tích vô hướng của hai véctơ: Nhắc lại: v v B b b v a O ϕ v a A y rr r r r r a.b = a . b .cos( a, b) r2 r 2 a =a r r rr a ⊥ b ⇔ a.b = 0 v b x' r r Định lý 6: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có :  rr a.b = a1b1 + a2b2 v a O x y' (Công thức tính tích vô hướng theo tọa độ) r Định lý 7: Cho hai véctơ a = (a1 ; a2 ) ta có :  r a = a12 + a2 2 (Công thức tính độ dài véctơ ) A( x A ; y A )  B( xB ; yB ) Định lý 8: Nếu A( x A ; y A ) và B(x B ; y B ) thì AB = ( xB − x A )2 + ( y B − y A )2 r r Định lý 9: Cho hai véctơ a = (a1) b2và b b( ; ) r r a⊥b (Công thức tính khoảng cách 2 điểm) ta có : ⇔ a1b1 + a2b2 = 0 (Điều kiện vuông góc của 2 véctơ) r r Định lý 10: Cho hai véctơ a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) ta có rr r r a.b a1b1 + a2b2 cos(a , b) = r r = a.b a12 + a2 2 . b12 + b2 2 (Công thức tính góc của 2 véctơ) . VI. Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: uuur uuur Định nghĩa: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ số k ( k ≠ 1 ) nếu như : MA = k . MB •  A • M • B uuur uuur Định lý 11 Nếu A( x A ; y A ) , B(x B ; y B ) và MA = k . MB ( k ≠ 1 ) thì x A − k . xB y A − k . y B  ;  1− k   1− k ( xM ; yM ) =  3 Đặc biệt : M là trung điểm của AB ⇔ x A + xB y A + y B  ;  2   2 ( xM ; yM ) =  VII. Một số điều kiện xác định điểm trong tam giác : A x A + x B + xC  x = G uuur uuur uuur r  G 3 1. G là trong tâm tam giác ABC ⇔ GA + GB + GC = 0 ⇔   yG = y A + y B + yC B  3 A uuur uuur uuur uuur  AH ⊥ BC  AH .BC = 0 H 2. H là truc tâm tam giác ABC ⇔  uuur uuur ⇔  uuur uuur A BH ⊥ AC BH AC = . 0   B uuur uuur  AA' ⊥ BC 3. A ' là chân duong cao ke tu A ⇔  uuur uuur C ' B A'  BA cùng phuong BC A  IA=IB 4. I là tâm duong tròn ngoai tiêp tam giác ABC ⇔   IA=IC I uuur AB uuur B 5. D là chân duong phân giác trong cua góc A cua ∆ABC ⇔ DB = − .DC AC A uuur AB uuur 6. E là chân duong phân giác ngoài cua góc A cua ∆ABC ⇔ EB = .EC A AC uur AB uuur 7. J là tâm duong tròn nôi tiêp ∆ABC ⇔ JA = − . JD BD D J B C C C C VIII. Kiến thức cơ bản thường sử dụng khác: D B Công thức tính diện tích tam giác theo toạ độ ba đỉnh : uuur uuur  Định lý 12: Cho tam giác ABC . Đặt AB = (a1; a2 ) và AC = (b1; b2 ) ta có : B 1 S ∆ABC = . a1b2 − a2b1 2 C B Cơng thức tính góc hai đường thẳng dựa vào hệ số góc : Định lý 13: Cho hai đường thẳng ∆1 với hệ số góc k1 và ∆ 2 với hệ số góc k2 . Khi đó nếu ∆ ; ∆ ) = α thì (· 1 2 tan α = k1 − k2 1 + k1k2 4 C Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Các định nghĩa về VTCP và VTPT (PVT) của đường thẳng: r r dn  a ≠ 0 r  a là VTCP của đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r a có giá song song hay trùng voi (∆ ) r r dn  n ≠ 0 r  n là VTPT của đường thẳng ( ∆ ) ⇔  r  n có giá vuông góc voi (∆ ) v a v a v n (∆) * Chú ý: r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTCP a = ( a1; a2 ) thì có VTPT là n = ( −a2 ; a1 ) r r • Nếu đường thẳng ( ∆ ) có VTPT n = ( A; B ) thì có VTCP là a = ( − B; A) (∆ ) v a v n (∆) II. Phương trình đường thẳng : 1. Phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng : r a. Định lý : Trong mặt phẳng (Oxy). Đường thẳng ( ∆ ) qua M0(x0;y0) và nhận a = ( a1; a2 ) làm VTCP sẽ có : y M ( x; y )  x = x0 + t.a1 v Phương trình tham số là : ( ∆ ) :  (t ∈ ¡) a  y = y0 + t.a2 x O M 0 ( x0 ; y0 ) x − x0 y − y0 Phương trình chính tắc là : ( ∆ ) : = ( a1, a2 ≠ 0) a1 a2  5 Tĩm tắt lý thuyết 2. Phương trình tổng quát của đường thẳng : r a. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có VTPT n = ( A; B ) là: v y n M ( x; y ) x O M 0 ( x0 ; y0 ) ( ∆ ) : A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0 ( A2 + B 2 ≠ 0 ) b. Phương trình tổng quát của đường thẳng : Định lý :Trong mặt phẳng (Oxy). Phương trình đường thẳng ( ∆ ) có dạng : v y n = ( A; B ) Ax + By + C = 0 M 0 ( x0 ; y0 ) với A2 + B 2 ≠ 0 x O v a = ( − B ; A) v a = ( B ; − A) Chú ý: Từ phương trình ( ∆ ): Ax + By + C = 0 ta luôn suy được : r 1. VTPT của ( ∆ ) là n = ( A; B ) r r 2. VTCP của ( ∆ ) là a = ( − B; A) hay a = ( B; − A) 3. M 0 ( x0 ; y0 ) ∈ ( ∆ ) ⇔ Ax0 + By0 + C = 0 Mệnh đề (3) được hiểu là : Điều kiện cần và đủ để một điểm nằm trên đường thẳng là tọa độ điểm đó nghiệm đúng phương trình của đường thẳng . 3. Các dạng khác của phương trình đường thẳng : a. Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(xA;yA) và B(xB;yB) : ( AB ) : x − xA y − yA = xB − x A y B − y A ( AB ) : x = x A y M ( x; y ) O y B( x B ; y B ) yA xA x A( x A ; y A ) ( AB ) : y = y A yB A( x A ; y A ) xB A( x A ; y A ) y B( x B ; y B ) yA yB x x B( x B ; y B ) b. Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Định lý: Trong mp(Oxy) phương trình đường thẳng ( ∆ ) cắt trục hồng tại điểm A(a;0) và trục tung tại x y điểm B(0;b) với a, b ≠ 0 có dạng: + =1 a b 6 Tĩm tắt lý thuyết c. Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M0(x0;y0) và có hệ số góc k: y Định nghĩa: Trong mp(Oxy) cho đường thẳng ∆ . Gọi α = (Ox, ∆ ) thì k = tan α được gọi là hệ số góc của đường thẳng ∆ α O x Định lý 1: Phương trình đường thẳng ∆ qua M 0 ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k là : y (1) x x0 O y - y 0 = k(x - x 0 ) M ( x; y ) y0 Chú ý 1: Phương trình (1) không có chứa phương trình của đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox nên khi sử dụng ta cần để ý xét thêm đường thẳng đi qua M0 và vuông góc Ox là x = x0 Chú ý 2: Nếu đường thẳng ∆ có phương trình y = ax + b thì hệ số góc của đường thẳng là k = a Định lý 2: Gọi k1, k2 lần lượt là hệ số góc của hai đường t ẳng ∆1 , ∆ 2 ta có : • ∆1 / / ∆ 2 ⇔ ( ∆1 ≠ ∆ 2 ) k1 = k 2 • ∆1 ⊥ ∆ 2 ⇔ k1.k2 = −1 d. Phương trình đt đi qua một điểm và song song hoặc vuông góc với một đt cho trước: i. Phương trình đường thẳng (∆1 ) //(∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Ax+By+m1 =0 ii. Phương trình đường thẳng (∆1 ) ⊥ (∆ ): Ax+By+C=0 có dạng: Bx-Ay+m 2 =0 Chú ý: m1 ; m2 được xác định bởi một điểm có tọa độ đã biết nằm trên ∆1 ; ∆ 2 y ∆ 1 : Ax + By + m1 = 0 y ∆ 1 : Bx − Ay + m 2 = 0 ∆ : Ax + By + C 1 = 0 O M1 x x0 M y ∆2 ∆1 y y ∆1 ∆1 x x O O ∆2 ∆2 ∆ 1 // ∆ 2 x ∆ : Ax + By + C 1 = 0 III. Vị trí tương đối của hai đường thẳng : O x0 O 1 ∆ 1 caét ∆ 2 Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 7 ∆1 ≡ ∆ 2 x Tĩm tắt lý thuyết Vị trí tương đối của ( ∆1 ) và (∆ 2 ) phụ thuộc vào số nghiệm của hệ phương trình :  A1 x + B1 y + C1 = 0   A2 x + B2 y + C2 = 0  A1 x + B1 y = −C1 (1)   A2 x + B2 y = −C2 hay Chú ý: Nghiệm duy nhất (x;y) của hệ (1) chính là tọa độ giao điểm M của ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) Định lý 1: i. ⇔ (∆1 ) / /( ∆ 2 ) Hê (1) vô nghiêm ii. Hê (1) có nghiêm duy nhât ⇔ (∆1 ) cát (∆ 2 ) ⇔ (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) iii. Hê (1) có nghiêm tùy ý Định lý 2: Nếu A2 ; B2 ; C2 khác 0 thì ⇔ A1 B1 ≠ A 2 B2 ii. (∆1 ) // (∆ 2 ) ⇔ A1 B1 C1 = ≠ A 2 B2 C2 iii. (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) ⇔ i. (∆1 ) cát ( ∆ 2 ) A1 B1 C1 = = A 2 B2 C2 IV. Góc giữa hai đường thẳng 1.Định nghĩa: Hai đường thẳng a, b cắt nhau tạo thàn 4 góc. S ố đo nhỏ nhất trong các số đo của bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b (hay góc hợp bởi hai đường thẳng a và b). Góc giữa hai đường thẳng a và b đước kí hiệu là ( a , b ) Khi a và b song song hoặc trùng nhau, ta nói rằng góc của chúng bằng 00 2. Cơng thức tính góc giữa hai đường thẳng theo VTCP và VTPT r r a) Nếu hai đường thẳng có VTCP lần lượt là u và v thì rr u.v r r cos ( a, b ) = cos u, v = r r u.v r uur b) Nếu hai đường thẳng có VTPT lần lượt là n và n ' thì r uur n.n ' r uur cos ( a, b ) = cos n, n ' = r uur n . n' ( ) ( ) Định lý : Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 Gọi ϕ ( 0 ≤ ϕ ≤ 90 ) là góc giữa ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) ta có : 0 0 cos ϕ = A1 A2 + B1 B2 A12 + B12 . A22 + B22 y ϕ ∆1 O Hệ quả: ( ∆1 ) ⊥ ( ∆ 2 ) ⇔ A1 A2 + B1B2 = 0 8 ∆2 x Tĩm tắt lý thuyết V. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng : Định lý 1: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 và điểm M 0 ( x0 ; y0 ) Khoảng cách từ M0 đến đường thẳng ( ∆ ) được tính bởi công thức: M0 y d ( M 0 ; ∆) = Ax0 + By0 + C A2 + B 2 Định lý 2: Trong mp(Oxy) cho hai đường thẳng : ( ∆1 ) : A1 x + B1 y + C1 = 0 ( ∆ 2 ) : A2 x + B2 y + C2 = 0 Phương trình phân giác của góc tạo bởi ( ∆1 ) vaø (∆ 2 ) là : A1 x + B1 y + C1 A12 + B12 =± H x O (∆ ) ∆1 y A2 x + B2 y + C2 x O A22 + B22 ∆2 Định lý 3: Cho đường thẳng ( ∆1 ) : Ax + By + C = 0 và hai điểm M(xM;yM), N(xN;yN) không nằm N trên ( ∆ ). Khi đó: M • Hai điểm M , N nằm cùng phía đối với ( ∆ ) khi và chỉ khi ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) > 0 • Hai điểm M , N nằm khác phía đối với ( ∆ ) khi và chỉ khi M ∆ ( Ax M + By M + C )( Ax N + By N + C ) < 0 N 9 Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG TRÒN TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Phương trình đường tròn: 1. Phương trình chính tắc: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình của đường tròn (C) tâm I(a;b), bán kính R là : y b I ( a; b ) R a O (C ) : ( x − a ) 2 + ( y − b ) 2 = R 2 (1) M ( x; y ) x Phương trình (1) được gọi là phương trình chính tắc của đường tròn Đặc biệt: Khi I ≡ O thì (C ) : x 2 + y 2 = R 2 2. Phương trình tổng quát: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 với a 2 + b 2 − c > 0 là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(a;b), bán kính R = a 2 + b2 − c II. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: Định lý : Trong mp(Oxy). Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) là : M 0 ( x0 ; y 0 ) (C) (∆ ) ( ∆ ) : x0 x + y0 y − a ( x + x0 ) − b( y + y0 ) + c = 0 I(a;b) VI. Các vấn đề có liên quan: 1. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn: (C ) (C ) I I R M R Định lý: H M ≡H ( ∆ ) I (C ) = ∅ ⇔ d(I;∆ ) > R ( ∆ ) tiêp xúc (C) ⇔ d(I;∆ ) = R ( ∆ ) cát (C) ⇔ d(I;∆ ) < R 10 (C ) I RH M Tĩm tắt lý thuyết Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0 và đường thẳng ( ∆ ) : Ax + By + C = 0 . Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và ( ∆ ) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0   Ax + By + C = 0 2. Vị trí tương đối của hai đường tròn : C1 I1 C2 R1 R2 I2 C1 C1 I 1 R1 R2 I2 C2 C2 I1 R1 R2 I2 (C1 ) và (C 2 ) không cát nhau ⇔ I1I 2 > R 1 + R2 (C1 ) và (C 2 ) cát nhau ⇔ R 1 − R2 < I1I 2 < R 1 + R2 (C1 ) và (C 2 ) tiêp xúc ngoài nhau ⇔ I1I 2 = R 1 + R2 (C1 ) và (C 2 ) tiêp xúc trong nhau Lưu ý: Cho đường tròn (C ) : x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = ⇔ I1I 2 = R 1 − R2 và đường tròn ( C ' ) : x 2 + y 2 − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 0 . Tọa độ giao điềm (nếu có) của (C) và (C’) là nghiệm của hệ phương trình:  x 2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0  2 2  x + y − 2a ' x − 2b ' y + c ' = 0 11 C1 I1 I 2 C2 Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG ELÍP TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I.Định nghĩa: Elíp (E) là tập hợp các điểm M có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định F1; F2 bằng hằng số * Hai điểm cố định F1; F2 được gọi là các tiêu điểm * F1F2 = 2c ( c > 0 ) được gọi là tiêu cự (E) M F1 2c ( E ) = {M / MF1 + MF2 = 2a} F2 ( a>0 : hằng số và a>c ) II. Phương trình chính tắc của Elíp và các yếu tố: 1. Phương trình chính tắc: (E) : x2 y2 + = 1 với b2 = a 2 − c 2 ( a > b) (1) a 2 b2 y (E ) Q B2 r1 A a1 c F1 P M r2 O F2 c a A2 x R S B1 2. Các yếu tố của Elíp: * Elíp xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) - Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục lớn nằm trên Ox; độ dài trục lớn 2a ( = A1A2 ) - Trục nhỏ nằm trên Oy; độ dài trục lớn 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh trên trục lớn : A1(-a;0); A2(a;0) - Đỉnh trên trục nhỏ :B1(0;-b); B2(0;b) - Bán kính qua tiêu điểm: c   r1 = MF1 = a + a x = a + ex Với M(x;y) ∈ (E) thì   r2 = MF2 = a − c x = a − ex  a c - Tâm sai : e= (0 < e < 1) a a - Đường chuẩn : x = ± e 12 Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG HYPEBOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Định nghĩa: M ( H ) = {M / MF1 − MF2 = 2a} ( a > 0 : hằng số và a < c ) (1) 2c F1 F2 II. Phương trình chính tắc của Hypebol và các yếu tố: 1. Phương trình chính tắc: (H ) : y=− b x a x2 y2 − 2 = 1 với b2 = c 2 − a 2 2 a b y y= B2 −a F1 −c A 1 (1) b x a M a O A2 F2 c x B1 2. Các yếu tố của Hypebol: * Hypebol xác định bởi phương trình (1) có các đặc điểm: - Tâm đối xứng O, trục đối xứng Ox; Oy - Tiêu điểm F1(-c;0); F2(c;0) Tiêu cự F1F2 = 2c - Trục thực nằm trên Ox; độ dài trục thực 2a ( = A1A2 ) - Trục ảo nằm trên Oy; độ dài trục ảo 2b ( = B1B2 ) - Đỉnh: A1(-a;0); A2(a;0) b - Phương trình tiệm cận : y = ± x a - Bán kính qua tiêu điểm: Với M(x;y) ∈ (H) thì : r = MF = a + ex 1  r1 = MF1 = −( a + ex ) 1 Với x > 0 ⇒  Với x < 0 ⇒   r2 = MF2 = −a + ex  r2 = MF2 = −( −a + ex ) - Tâm sai : e= c a - Đường chuẩn : x = ± ( e > 1) a e 13 Tĩm tắt lý thuyết ĐƯỜNG PARABOL TRONG MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN I. Định nghĩa : ( P ) = {M / MF = d ( M , ∆} * F là điểm cố định gọi là tiêu điểm * ( ∆ ) là đường thẳng cố định gọi là đường chuẩn * HF = p > 0 gọi là tham số tiêu 2 p H II. Phương trình chính tắc của parabol: 1) Dạng 1: Ptct: y M K = 2px 2) Dạng 2: Ptct: y y 2 ∆ F = -2px y M -p/2 F(-p/2;0) x O p/2 x F(p/2;0) M ( ): x=-p/2 3) Dạng 3: Ptct: x 2 = 2py (∆) : x = p / 2 4) Dạng 4: Ptct : x 2 = -2py y y p/2 ( ) : y = p/2 O F(0;p/2) M x F(0;-p/2) x M O -p/2 :y = -p/2 14 BÀITOÁNCÓLỜIGIẢI 1 Điểm-Đườngthẳng Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy , cho hình thoi ABCD có tâm I (3;3 ) và AC = 2BD . Điểm M 2; 43 ¡ ¢ thuộcđườngthẳng AB ,điểm N 3; 13 thuộcđườngthẳng CD .Viếtphươngtrìnhđườngchéo BD 3 biếtđỉnh B cóhoànhđộnhỏhơn3. Giải: ¡ ¢ C N D I B N0 M A ¶ 5 Tọađộđiểm N đốixứngvớiđiểm N qua I là N 3; 3 0 Đườngthẳng AB điqua M,N cóphươngtrình: x − 3y + 2 = 0 |3 − 9 + 2| 4 = p Do AC = 2BD nên IA = 2IB . Suyra: IH = d (I,AB ) = p 10 10 p 1 1 5 2 + = ⇔ x = 2 ⇔ x = 2 Đặt IB = x > 0,tacóphươngtrình x 2 4x 2 8 p ¡ ¢ Đặt B x,y .Do IB = 2 và B ∈ AB nêntọađộ B lànghiệm củahệ: 14  ( ( 2 ( ¡ ¢2  5y − 18y + 16 = 0  x = 5 < 3 x =4>3 (x − 3)2 + y − 3 = 2 ⇔ ⇔ hoặc 8   x − 3y + 2 = 0 x = 3y − 2 y =2 y = 5 µ ¶ 14 8 B ; Do B cóhoànhđộnhỏhơn3nêntachọn 5 5 Vậy,phươngtrìnhđườngchéo BD là: 7x − y − 18 = 0. 0 0 µ Bài2. Trongmặtphẳng Oxy ,chođiểm A (−1;2 ) vàđườngthẳng (d ) :x −2y +3 = 0.Tìmtrênđường thẳng (d) haiđiểm B,C saochotamgiác ABC vuôngtại C và AC = 3BC . Giải: C làhìnhchiếuvuônggóccủa A trên (d) . Từyêucầucủabàitoántasuyra Phươngtrìnhđườngthẳng (∆) qua A vàvuônggócvới (d) là: 2x + y + m = 0 A (−1;2 ) ∈ (∆) ⇔ −2 + 2 + m = 0 ⇔ m = 0 Suyra: (∆) :2 x + y = 0. 3   µ ¶ x = − 3 6 5 ⇔ ⇒C − ; Tọađộ C lànghiệmcủahệphươngtrình: 6 5 5  x − 2y = −3  y = 5 Đặt B (2t − 3;t ) ∈ (d) ,theogiảthiếttacó: AC = 3BC ⇔ AC 2 = 9BC 2 ( 2x + y = 0 15 16 t=  15 . ⇔ 45t 2 − 108t + 64 = 0 ⇔   4 t= 3  4 16 ⇔ + =9 25 25 ·µ 12 2t − 5 ¶2 µ 6 + t− 5 ¶2 ¸ µ ¶ 16 13 16 ⇒B − ; Với t = 15 µ 15 ¶15 4 1 4 Với t = ⇒ B − ; 3 3 3 µ ¶ µ ¶ 13 16 1 4 B − ; hoặc B − ; . 15 15 3 3 Vậy,cóhaiđiểmthỏađềbàilà: A B1 C B2 Bài 3. Cho điểm A (−1;3 ) và đường thẳng ∆ có phương trình x − 2y + 2 = 0. Dựng hình vuông ABCD sao cho hai đỉnh B,C nằm trên ∆ và các tọa độ đỉnh C đều dương. Tìm tọa độ các đỉnh B,C,D . Giải: D A C B Đườngthẳng (d) điqua A vàvuônggócvới ∆ cóphươngtrình: 2x + y + m = 0 A (−1;3 ) ∈ ∆ ⇔ −2 + 3 + m = 0 ⇔ m = −1 Suyra: (d ) :2 x + y − 1 = 0 ( Tọađộ B lànghiệmcủahệphươngtrình: p p ¡ x − 2y = −2 2x + y = 1 ( ⇔ x =0 y =1 ⇒ B (0;1 ) ¢ Suyra: BC = AB = 1 + 4 = 5 Đặt C x 0 ;y 0 với x 0 ,y 0 > 0,tacó: ( Giảihệnàytađược: C ∈∆ x 0 − 2y 0 + 2 = 0 ⇔ ¡ ¢2 x 02 + y 0 − 1 = 5 p ⇔ BC = 5 ( ( x0 = 2 x 0 = −2 y0 = 2 DoABCDlàhìnhvuôngnên: Vậy B (0;1 ) ,C (2;2 ) ,D (1;4 ) 16 ( hoặc y0 = 0 −−→ −→ CD = BA ⇔ ( ( x 0 = 2y 0 − 2 ¡ ¢2 x 02 + y 0 − 1 = 5 (loại).Suyra: C (2;2 ) x D − 2 = −1 − 0 yD − 2 = 3 − 1 ( ⇔ xD = 1 yD = 4 ⇒ D (1;4 ) Bài 4. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , hãy viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh của tamgiác ABC biết A (1;6 ) vàhaiđườngtrungtuyếnnằmtrênhaiđườngthẳngcóphươngtrình là x − 2y + 1 = 0,3 x − y − 2 = 0. Giải: A B C Dotọađộđiểm A khôngnghiệmđúngcácphươngtrìnhđãchonêntacóthểgiảsửrằng: Phươngtrìnhtrungtuyến BM là: x − 2y + 1 = 0 Phương trình trungtuyến CN là: 3x − y − 2 = 0 µ ¶ Đặt B (2b − 1;b ),doNlàtrungđiểmABnên: b +6 2 N b; µ ¶ b +6 b +6 N b; ∈ CN ⇔ 3b − − 2 = 0 ⇔ b = 2 Suyra: B (3;2 ) 2 2 µ ¶ c + 1 3c + 4 ; Đặt C (c;3c − 2),do M làtrungđiểm AC nên: M 2 2 µ ¶ c + 1 3c + 4 c +1 3c + 4 M ; ∈ BM ⇔ − 2. + 1 = 0 ⇔ c = −1 Suyra: C (−1; −5) 2 2 2 2 Vậyphươngtrìnhbacạnhlà: AB :11 x − 2y + 1 = 0, BC :7 x − 4y − 13 = 0, AC :2 x + y − 8 = 0 Bài 5. Trong mặt phẳngµ Ox¶y , cho tam giác 1 thẳng BC điquađiểm I 2; .Tìmtọađộđỉnh 2  ABC vuông tại A . Biết A (−1;4 ) ,B (1; −4) và đường C. Giải: C A I B Phươngtrìnhđườngthẳng BC :9 x − 2y − 17 = 0 Do C ∈ BC nêntacóthểđặt −→ tacó AB = (2; −8) Vậy C (3;5 ) µ ¶ 9c − 17 C c; , 2 µ ¶ 9c − 25 −→ AC = c + 1; .Theogiảthiếttamgiác ABC vuôngtại A nên: 2 9c − 25 −→ −→ AB. AC = 0 ⇔ c + 1 − 4. =0⇔c =3 2 17