Tài liệu Tuyển tập câu hỏi trắc nghiệm nguyên hàm – tích phân dùng casio, nguyễn bình nguyên

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 nT hi Da iH oc 01 Nhóm Casio - Latex biên tập iL ie uO TUYỂN TẬP CÂU HỎI ro up s/ Ta TRẮC NGHIỆM NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂN DÙNG CASIO ww w. fa ce b oo k. co m /g Biên tập: Nguyễn Bình Nguyên Tháng 02 - 2018 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Mục lục 2 1.1 Phương pháp bấm máy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.1 Cơ sở lí thuyết giải nguyên hàm hữu tỷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II . . 6 3 Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm . . . . . . . . . . . . . . . 12 4 Nguyên hàm dạng cho f (x) và F (a). Tính F (b) - Thầy Học Toán . . . . . . . . . 20 5 Tích phân dạng đặc biệt- Thầy Huỳnh Văn Quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6 Tích phân hàm hữu tỉ- Thầy Triệu Minh Hà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7 Tích phân của hàm lượng giác- Thầy Nguyễn Hữu Nhanh Tiến . . . . . . . . . . . 41 8 Đổi biến chứa ex - Thầy Nguyễn Vân Trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 9 Tích Phân Casio liên quan đến ln x - Thầy Nguyễn Tài Tuệ . . . . . . . . . . . . . 52 10 Tích phân từng phần - Thầy Trần Hiếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 oc iH Da hi nT uO ie iL Ta s/ up ro ww w. fa ce b oo k. co m 2 01 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . /g 1 1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng 1 2 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Lê Anh Dũng 1.1 PHƯƠNG PHÁP BẤM MÁY Phương pháp tìm nguyên hàm Như chúng ta đã biết, nếu: Z f (x)dx = F (x) + C thì khi đó ta có ngay: F 0 (x) = f (x) hay có thể nói f (x) − F 0 (x) = 0, ∀x. iH oc 01 Từ đây ta có một cách để tính nguyên hàm bằng máy tính casio như sau: d Ta nhập vào máy như sau: f (X) − (F (X)) |x=X , ở đây F (X) chính là các đáp án của đề. dx d để bấm được (F (X)) |x=X ta bấm tổ hợp phím sau: qy dx Sau khi nhập xong bấm = để lưu biểu thức vừa nhập. Tiếp tục bấm r để tính toán với một Da số giá trị khác nhau. Nếu kết quả đều bằng 0 hoặc sấp xỉ bằng 0 thì chọn đáp án đó. hi Lưu ý: có thể dùng chế độ fix - 9 để dò đáp án bằng cách bấm: qw69. Cú pháp trên máy casio: Trong đó: x0 và C là những hằng số cho trước. Ta x0 ie f (X)dx iL F (X) − C − ZX uO nT Xác định nguyên hàm của hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x0 ) = C up s/ Chú ý: Cần chuyển đơn vị từ DEG sang RAD bằng cách bấm: qw4 ro 1.2 CÁC VÍ DỤ oo k. co m /g √ Câu 1. Tìm nguyên hàm của hàm số f (x) = x 1 + x2 . ä ä3 1 Ä 2√ 1 Ä 2√ A. x 1 + x2 + C. B. x 1 + x2 + C. 2 3 ä3 ä 1 Ä 2√ 1 Ä√ 2 C. 1 + x + C. D. x 1 + x2 + C. 3 3 Lời giải. Chọn đáp án C R ww w. fa ce b Phân tích: Theo định nghĩa nguyên hàm ta có: f (x) dx = F (x) + C, suy ra F 0 (x) = f (x). Thao tác bấm máy như sau:  d Nhập vào màn hình F (X) − f (x), với F (X) là các kết quả. x=X dx Tiếp tục bấm r cho X bằng giá trị tùy ý thuộc tập xác định. Nếu kết quả nào bằng 0 thì chọn. Giả sử ta thử đáp án A. Bấm máy: Kết quả: qy1a2$(Q)ds1+Q )d$)$Q)$pQ)s1+ Q)dr5= Làm tương tự với các đáp án còn lại. Z x2 − 1 Câu 2. Nguyên hàm dx bằng x(x2 + 1)      1  1    A. ln x − 2  + C. B. ln x −  + C. x x C.   ln x + 1  + C. x  D. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01   ln x2 1 −  + C. x  Các ví dụ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 3 Lời giải. Chọn đáp án C Thử đáp án A. Nhập vào màn hình  d 1  X2 − 1 ln x − 2   − x=X dx x X(X 2 + 1) Ç å  bấm r nhập vào 2 bấm = được kết quả: −0.549, suy ra loại đáp án A. Tương tự thử lại cho các đáp án khác. A. F (x) = ex + ln(ex + 1) + C. e2x ? ex + 1 x B. F (x) = e + 1 − ln(ex + 1) + C. C. F (x) = ex − ln |x| + C. D. F (x) = ex + ln |x| + C. oc 01 Câu 3. Hàm số nào sau đây là nguyên hàm của hàm số y = A. F (2) = ln 9. B. F (2) = 2 ln 7 − ln 9. C. F (2) = ln 7 − ln 9. Ta iL ie uO nT hi Da iH Lời giải. Chọn đáp án B å Z x Z Ç Z e d(ex + 1) 1 e2x dx = = 1− x d(ex + 1) = ex + 1 − ln(ex + 1) + C. Ta có x x e +1 e +1 e +1 Cách bấm máy: Ta thử với đáp án B. ä d Ä X e2X Nhập vào e + 1 − ln(eX + 1)  − X bấm r2= được kết quả 0. x=X dx e +1 4x + 2 Câu 4. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 2 và F (−2) = ln 81. Tính x +x+1 F (2). D. F (2) = 2 (ln 7 + ln 3). s/ Lời giải. Chọn đáp án D up Đặt t = x2 + x + 1, khi đó ta được F (x) = 2 ln |x2 + x + 1| + C. /g −2 4x + 2 dx = F (2)−F (−2), suy ra F (2) = 2 x +x+1 co m Cách bấm máy: Ta có Z2 ro Ta có F (−2) = ln 81 =⇒ C = 2 ln 3. Do đó F (2) = 2 (ln 7 + ln 3). Z2 −2 4x + 2 dx+F (−2). +x+1 x2 ww w. fa ce b oo k. Sử dụng MTCT và so sánh với các phương án ta được F (2) = 2 (ln 7 + ln 3). x Câu 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = √ . 4 1 + x Z Z √ √ ä ä 1 Ä 1 Ä A. f (x) dx = ln x2 − 1 + x4 + C. B. f (x) dx = ln x2 + 1 + x4 + C. 2 2 Z Z √ ä 1 √ 1 Ä C. f (x) dx = ln 1 + x4 + C. D. f (x) dx = ln x − 1 + x4 + C. 4 4 Lời giải. Chọn đáp án B Ta Z có: Z Z  √ √ ä x dx d(x2 ) dt 1  1 Ä  √ √ √ t + 1 + t2  + C = ln x2 + 1 + x4 + C. = = = ln 2 2 1 + x4 2 1 + x4 2 1 + t2 Dùng máy tính: Thử đáp án A, bấm: Ç å √ d 1 x 2 4 ln(x − 1 + x )  −√ . x=X dx 2 1 + x4 Bấm r3= được kết quả Math ERROR, suy ra đáp án A sai. Sửa biểu thức để thử đáp án B và thử với r3= được kết quả −1, 606 · 10−12 ≈ 0, suy ra chọn B đúng. x 1 Câu 6. Biết F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = và f (1) = ln 2. Tính F (2). 2 1+x 2 1 1 5 5 A. F (2) = ln 5. B. F (2) = ln . C. F (2) = ln 5. D. F (2) = ln . 2 2 4 4 Lời giải. Chọn đáp án A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Đối chiếu với các kết quả ta được F (2) = 1 ln 5. 2 1 1 , biết F (1) = − ln 6 + 4. + 5) 10 x2 1 ln B. F (x) = − 4. 10 5 + x2 x2 1 D. F (x) = − ln − 4. 10 5 + x2 oc 1 x2 ln + 4. 10 5 + x2 x2 1 + 4. C. F (x) = − ln 10 5 + x2 Lời giải. Chọn đáp án A x2 + 5 − x2 1 x 1 = = − . Ta có: f (x) = 2 2 2 x(x + 5) 5x(x + 5) 5x 5(x + 5) Z Z R d(x2 + 5) 1 x2 dx − = ln + C. Do đó: f (x) dx = 5x 10(x2 + 5) 10 x2 + 5 1 1 1 1 F (1) = − ln 6 + 4 ⇔ − ln 6 + 4 = ln + C ⇔ C = 4. 10 10 10 6 1 x2 Vậy F (x) = ln + 4. 10 5 + x2 Cách dùng máy tính: Ta iL Thử đáp án A. Nhập vào máy như sau: Ç å ZX x2 1 1 1 ln + 4 − − ln 6 + 4 − dx. 2 10 5 + x 10 X(X 2 + 5) ie uO A. F (x) = 01 x(x2 iH Câu 7. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = Da 1 X 1 + ln 2 bấm =. 2 1+X 2 hi Bấm máy Z2 4 nT Các ví dụ 1 s/ Bấm r3= thấy kết quả bằng 0. ww w. fa ce b oo k. co m /g ro up √ x4 − 1 1 Câu 8. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 6 , biết F ( 3) = 4 − √ ln 7. x +1 2 3 √ √ x2 − 3x + 1 1 x2 − 3x + 1 1 + 4. B. − √ ln 2 √ − 4. A. √ ln 2 √ 2 3 x +√ 3x + 1 2 3 x +√ 3x + 1 1 x2 − 3x + 1 1 x2 − 3x + 1 C. √ ln 2 √ + 4. D. − √ ln 2 √ − 4. 3 x + 3x + 1 3 x + 3x + 1 Lời giải. Chọn đáp án A (x2 − 1)(x2 + 1) x2 − 1 f (x) = 2 = . (x + 1)(x4 − x2 + 1) x4 − x2 + 1 Do đó: Ä ä √ Z Z Z d x + x1 1 − x12 x + x1 − 3 x2 − 1 1 √ +C dx = dx = Ä dx = √ ln ä2 x4 − x2 + 1 x2 + x12 − 1 2 3 x + x1 + 3 x + x1 − 3 √ 1 x2 − 3x + 1 = √ ln 2 √ + C. 2 3 x + 3x + 1 √ √ 1 1 x2 − 3x + 1 F ( 3) = 4 − √ ⇔ C = 4. Do đó: F (x) = √ ln 2 √ + 4. 2 3 2 3 x + 3x + 1 Cách dùng máy casio: Nhập √ Ç å ZX 4 1 X 2 − 3X + 1 1 X −1 √ ln √ √ ln 7 − + 4 − 4 − dx 6 2 3 X 2 + 3X + 1 2 3 √ X +1 3 bấm r3=, được kết quả 0, suy ra đáp án A đúng. Câu 9. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = 1 x(2x50 + 7) , biết F (1) = − www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 1 ln 9 − 6. 350 Các ví dụ www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 5 oc 01 1 x50 1 x50 A. F (x) = ln − 6. B. F (x) = ln + 6. 350 2x50 + 7 350 2x50 + 7 50 50 1 x 1 x C. F (x) = ln 50 − 6. D. F (x) = − ln 50 − 6. 50 2x + 7 50 2x + 7 Lời giải. Chọn đáp án A (2x50 + 7) − 2x50 1 2x49 Ta có f (x) = = − . Suy ra: 50 + 7) 50 + 7) 7x(2x 7x 7(2x å Ç å Z Z Ç 1 1 1 1 1 2x49 x50 50 f (x) dx = − dx = ln |x| − ln(2x + 7) + C = ln + C. 7 x 2x50 + 7 7 50 350 2x50 + 7 1 1 x50 Với F (1) = − ln 9 − 6 ⇒ C = −6, nên F (x) = ln 50 − 6. 350 350 2x + 7 Bấm máy tính: Thử với đáp án A. Ç å ZX 1 1 X(2x50 ww w. fa ce b oo k. co m /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi bấm r2=, kết quả bằng 0. + 7) dx Da 1 X 50 1 ln −6− − ln 9 − 6 − 50 350 2X + 7 350 iH Nhập www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức 2 6 Nguyên hàm các hàm hữu tỉ-Thầy Dương Bùi Đức 2.1 CƠ SỞ LÍ THUYẾT GIẢI NGUYÊN HÀM HỮU TỶ I= Z P (x) dx Q(x) a) Nếu bậc P (x) ≥ bậc Q(x) thì ta chia đa thức: TS Dư = Thương + . MS MS oc là nghiệm đơn 1) Tìm nghiệm Q(x) = 0: giả sử  x0 là nghiệm bội k  + bx + c là bậc hai vô nghiệm Da     ax2 iH    x1 , x2 , ..., xn     01 b) Nếu bậc P (x) < bậc Q(x): P (x) theo các tình huống sau: Q(x) B1 B2 Bn • Với nghiệm đơn thì viết ở dạng + + ... + . x − x1 x − x2 x − xn A1 A2 Ak • Với nghiệm bội x0 (bội k) ta viết ở dạng + + ... + . 2 x − x0 (x − x0 ) (x − x0 )k Ax + B . • Với tam thức bậc hai ax2 + bx + c ta phân tích ở dạng 2 ax + bx + c 3) Tìm các hệ số Ai , Bi bằng phương pháp đồng nhất thức. up s/ Ta iL ie uO nT hi 2) Phân tích 2x2 − x + 3 . x+2 B. 2x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C. x2 D. − 5x + 13 ln |x + 2| + C. 2 co m Trường hợp nghiệm đơn /g ro 2.2 THỰC HIỆN PHÉP CHIA ĐA THỨC- SỬ DỤNG MÁY TÍNH VINACAL 570 ES PLUS II Câu 1 (2D3B1). Tìm nguyên hàm của biểu thức f (x) = oo k. A. x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C. ww w. fa ce b C. x2 − 13x + 5 ln |x + 2| + C. Lời giải. Chọn đáp án A • Ta thực hiện phép chia đa thức q612[dp[+3q) [+2)r10 • Kết quả: – Thương là 195 = 200 − 5 = 2x − 5. – Dư là 13. • Nguyên hàm Z 2x2 − x + 3 dx = x+2 Câu 2 (2D3B1). Tính nguyên hàm A. x − 4 ln |x + 1| + C. C. x + 4 ln |x + 1| + C. Z Ç Z å 13 2x − 5 + dx = x2 − 5x + 13 ln |x + 2| + C. x+2 x−3 dx. x+1 B. x − ln |x + 1| + C. D. −x + 4 ln |x + 1| + C. Lời giải. Chọn đáp án A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 7 Ta thấy tử số và mẫu số có bậc bằng nhau, tuy nhiên tử số nhỏ hơn mẫu số nên khi thực hiện phép chia như trên ta sẽ có kết quả (sai) như sau • Ta thực hiện phép chia đa thức q61[p3 q) [+1)r100 • Kết quả: – Thương là 0 = 0x. – Dư là 97. 01 Muốn thực hiện được phép chia trong trường hợp tử số nhỏ hơn mẫu số, ta phải thêm một giá trị iH oc vào tử số sao cho tử số lớn hơn mẫu số (giả sử ta thêm 10) Da • Ta thực hiện phép chia đa thức q6110+[p3q)[+1)r100 nT hi • Kết quả: uO – Thương là 1. ie – Dư là 6: do ta thêm 10 vào tử số nên dư sẽ phải bớt đi 10, tức là phần dư đúng trong å Z Ç 4 dx = x − 4 ln |x + 1| + C. 1− x+1 Ta x−3 dx = x+1 s/ • Nguyên hàm Z iL phép chia là 6 − 10 = −4. up Chú ý: Trong trường hợp tử số nhỏ hơn mẫu số (cùng bậc), ta thường phải cộng thêm một số ro vào tử số để thực hiện phép chia cho chính xác, số cần cộng thêm vào tử là hiệu giữa mẫu số và Z /g tử số. 2x − 1 dx. +x−2 1 5 B. ln |x + 2| + ln |x − 1| + C. 3 3 1 5 D. − ln |x + 2| + ln |x + 2| + C. 3 3 x2 ww w. fa ce b oo k. co m Câu 3 (2D3B1). Tính nguyên hàm 1 5 A. ln |x − 1| + ln |x + 2| + C. 3 3 1 5 C. ln |x − 1| − ln |x + 2| + C. 3 3 Lời giải. Chọn đáp án A Ta thấy mẫu số có hai nghiệm đơn 1 và −2 nên ta có thể phân tích 2x − 1 A B = + . +x−2 x−1 x+2 x2 • Tìm A: – Ta nhập a2[p1R[+2r1 1 1 – Kết quả ⇒ A = 3 3 • Tìm B: – Ta nhập a2[p1R[p1rp2 5 5 – Kết quả ⇒ B = 3 3 Như vậy Z 2x − 1 dx = 2 x +x−2 Z Ç å 1 5 1 5 + dx = ln |x − 1| + ln |x + 2| + C. 3(x − 1) 3(x + 2) 3 3 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 8 B1 B2 Bn + + ... + , x − x1 x − x2 x − xn muốn tìm các hệ số Bi ta làm như sau: nhập biểu thức cần tính nguyên hàm (bỏ biểu thức x − xi ) Chú ý: Khi tách phân thức trong trường hợp nghiệm đơn ở dạng oc iH Da x2 + x − 4 A B C = + + . (x − 1)(x + 2)(x − 3) x−1 x+2 x−3 hi a) Thực hiện phép tách 01 và sử dụng chức năng r, thay giá trị xi vào ta sẽ tìm được Bi . Z x2 + x − 4 dx. Câu 4 (2D3K1). Tính nguyên hàm (x − 1)(x + 2)(x − 3) 1 2 4 A. ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C. 3 15 5 1 2 4 B. − ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C. 3 15 5 4 2 1 ln |x + 2| + ln |x − 3| + C. C. ln |x − 1| + 3 15 5 1 2 4 D. ln |x − 1| + ln |x + 2| − ln |x − 3| + C. 3 15 5 Lời giải. Chọn đáp án A nT • Tìm A: Ta iL ie uO – Ta nhập a[d+[p4R([+2)([p3)r1 1 1 – Kết quả ⇒ A = 3 3 • Tìm B: ro up s/ – Ta nhập a[d+[p4R([p1)([p3)rp2 2 2 ⇒B= – Kết quả 15 15 • Tìm C: co m /g – Ta nhập a[d+[p4R([p1)([+2)r3 4 4 – Kết quả ⇒ C = 5 5 x2 + x − 4 1 2 4 b) Vậy dx = + + dx (x − 1)(x + 2)(x − 3) 3(x − 1) 15(x + 2) 5(x − 3) 1 2 4 = ln |x − 1| + ln |x + 2| + ln |x − 3| + C 3 15 5 Câu 5 (2D3B1). Tính nguyên hàm A. − Z Ç oo k. ww w. fa ce b Z x2 − x + ln |x| + C. 2 x2 + x + ln |x| + C. 2 Lời giải. Chọn đáp án A C. Z å x3 − 2x + 1 dx. x − x2 x2 B. − x + ln |x| + C. 2 x2 D. − − 2x + ln |x| + C. 2 Nhận thấy hệ số của x2 (ở mẫu) là −1 nên ta phải đảo dấu của phân thức để hệ số của x2 trở x3 − 2x + 1 thành 1, tức là − . x2 − x a) Phép chia đa thức q61[Dp2[+1q)[dp[)r1000 • Thương là 1000. • Dư là 998001 ⇒ ta phải điều chỉnh phép chia để dư nhỏ hơn 1000 (số chia). www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 9 b) Điều chỉnh phép chia đa thức q612[+[Dp2[+1q)[dp[)r1000 • Thương là 1001 ⇒ thương là x + 1. • Dư là 1001 ⇒ dư là x+1−2x = −x+1 ⇒ c) Thực hiện phép tách Z x3 − 2x + 1 dx = x − x2 x−1 dx. −x − 1 + 2 x −x å Z Ç x−1 A B = + . 2 x −x x−1 x 01 • Tìm A: oc – Ta nhập a[p1R[r1 iH – Kết quả 0 ⇒ A = 0 Da • Tìm B: hi – Ta nhập a[p1R[p1r0 1 x2 −x − 1 + dx = − − x + ln |x| + C. x 2 Z Ç å uO x3 − 2x + 1 dx = x − x2 ie d) Vậy Z nT – Kết quả 1 ⇒ B = 1 iL Chú ý: Trường hợp hệ số bậc cao nhất ở mẫu là số âm thì ta phải đổi dấu biểu thức dưới mẫu co m /g ro up s/ Ta để đảm bảo phép chia đa thức được chính xác. Z 3 x + 2x2 + x + 1 Câu 6 (2D3K1). Tính nguyên hàm dx. 3x2 + 4x + 1 23 x2 2x 1 23 x2 2x 1 + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C. B. + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C. A. 6 9 2 54 3 9 2 54 x2 2x 1 23 x2 2x 23 C. − − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C. D. + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C. 6 9 2 54 6 9 54 Lời giải. Chọn đáp án A oo k. Vì mẫu số bậc hai (ta phải chia hai lần) và hệ số của x2 là 3 nên ta sẽ nhân thêm 9 vào tử số để thực hiện phép chia cho đơn giản. ww w. fa ce b a) Phép chia q619([D+2[d+[+1)q)3[d+4[+1 r1000 • Thương là 3001. • Dư là 3002008 ⇒ mẫu số là một bậc hai (bằng với bậc của số chia) nên ta phải điều chỉnh phép chia để dư thành một bậc nhất. Nhận thấy mẫu số là 3004001 nên phần dư đang thiếu 2000 = 2x ⇒ ta thêm 2x vào tử số. b) Điều chỉnh phép chia đa thức q619(2[+[D+2[d+[+1)q) 3[d+4[+1)r1000 • Thương là 3002 ⇒ thương là 3x + 2. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 10 • Dư là 16007 ⇒ dư là 16x + 7 − 18x = −2x + 7. Vì ta nhân 9 vào tử số nên thương và dư trong phép chia lần lượt là c) Thực hiện phép tách x 2 2 7 + và − x + . 3 9 9 9 −2x + 7 A B = + . 2 3x + 4x + 1 x + 1 3x + 1 • Tìm A: Da iH – Ta nhập ap2[+7R[+1rpa1R3 23 23 – Kết quả ⇒B= 2 2 oc 01 – Ta nhập ap2[+7R3[+1rp1 9 9 – Kết quả − ⇒ A = − 2 2 • Tìm B: x 2 x3 + 2x2 + x + 1 1 23 dx = + − + dx d) Vậy 3x2 + 4x + 1 3 9 2(x + 1) 18(3x + 1) x2 2x 1 23 = + − ln |x + 1| + ln |3x + 1| + C 6 9 2 54 Z Ç hi å ie uO nT Z iL Chú ý: Trường hợp hệ số k của bậc cao nhất của mẫu số khác 1 thì ta thường phải điều chỉnh Ta bằng cách: nhân tử số với k m (trong đó m là bậc của mẫu số) để thực hiện phép chia chính xác s/ hơn. up Trường hợp nghiệm bội ro f (x) M N = Q(x) + + thì việc tìm M giống trường hợp nghiệm (ax + b)2 (ax + b)2 ax + b đơn, còn tìm N có thể có một số cách sau: A (cần xem cơ sở lí thuyết). a oo k. a) N = co m /g Chú ý: Nếu tách ww w. fa ce b f (x) − M b) Thực hiện phép trừ N = − Q(x) .(ax + b) và gán số tùy ý (sao cho mẫu số khác (ax + b)2 0). ñ Câu 7 (2D3B1). Tính nguyên hàm 1 1 + ln |2x + 1| + C. 4(2x + 1) 4 1 1 C. + ln |2x + 1| + C. 4(2x + 1) 4 Lời giải. Chọn đáp án A A. − a) Thực hiện phép tách ô Z x+1 dx. (2x + 1)2 1 1 + ln |2x + 1| + C. 4(2x + 1) 2 1 1 D. + ln |2x + 1| + C. 2(2x + 1) 4 B. − x+1 A B = + . (2x + 1)2 (2x + 1)2 2x + 1 • Tìm A: – Ta nhập [+1rpa1R2 1 1 – Kết quả ⇒ A = 2 2 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Thực hiện phép chia đa thức- Sử dụng máy tính Vinacal 570 es plus II 11 • Tìm B: – Ta nhập a[+1pa1R2R(2[+1)dr1000 1 1 1 – Kết quả ⇒B= .2001 = 4002 4002 2 b) Vậy Z x+1 dx = (2x + 1)2 Z Ç å 1 1 1 1 dx = − + ln |2x + 1| + C. + 2 2(2x + 1) 2(2x + 1) 4(2x + 1) 4 x3 + 3x2 dx. Câu 8 (2D3K1). Tính nguyên hàm x3 − 4x2 + 5x − 2 4 A. x + 20 ln |x − 2| + − 13 ln |x − 1| + C. x−1 4 B. x + 20 ln |x − 2| + + 13 ln |x − 1| + C. x−1 4 C. x + 20 ln |x − 2| − − 13 ln |x − 1| + C. x−1 4 D. x + 10 ln |x − 2| + − 13 ln |x − 1| + C. x−1 Lời giải. Chọn đáp án A oc iH Da hi nT uO ie iL Ta thấy mẫu số có nghiệm 2 (đơn) và 1 (kép), do vậy A B C x3 + 3x2 =1+ + + . 3 2 2 x − 4x + 5x − 2 x − 2 (x − 1) x−1 01 Z s/ Ta a) Tìm A: up • Ta nhập a[D+3[dR([-1)dr2 co m /g b) Tìm B: ro • Kết quả 20 ⇒ A = 20 • Ta nhập a[D+3[dR[-2r1 ww w. fa ce b c) Tìm C: oo k. • Kết quả −4 ⇒ B = −4 • Ta nhập a[D+3[dR([-2)([-1)d-1a20R[-2E+a4R([-1)dr1000 13 ⇒ C = −13 • Kết quả − 999 d) Vậy Z x3 + 3x2 dx = x3 − 4x2 + 5x − 2 Z Ç å 20 4 13 1+ − − dx = x + 20 ln |x − 2| + 2 x − 2 (x − 1) x−1 4 − 13 ln |x − 1| + C. x−1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 3 12 Nguyên hàm dạng tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm √ Câu 1. Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x x2 + 1 biết F (0) = 3. » 1» 8 A. F (x) = (1 + x2 )3 + . B. F (x) = 3 (1 + x2 )3 . 3 » 3 » 1 10 8 3 2 C. F (x) = − D. F (x) = 3 (1 + x2 )3 + . (1 + x ) + . 3 3 3 Lời giải. Chọn đáp án A Phương pháp chung: 01 • Bước 1: Nhập F (x) vào máy tính Calc 0 = giá trị X thuộc miền xác định của hàm số (không Da iH Calc oc   d (F (x)) • Bước 2: Nhập −f (x) dx x=X trùng với các giá trị đặc biệt). uO nT hi Cụ thể như sau: iL ie nhấn Calc 2 =. Kết quả bằng 3 thỏa. ww w. fa ce b co m oo k. Màn hình kết quả như sau: /g ro up s/ Ta Nhập tiếp: Chọn đáp án: F (x) = 1» 8 (1 + x2 )3 + . 3 3 1 10 Câu 2 (2D3B2-10). Tìm nguyên hàm F (x) của hàm số f (x) = x (1 + x2 ) biết F (0) = . 22 1 1 1 2 11 2 11 A. F (x) = (1 + x ) . B. F (x) = (1 + x ) − . 22 11 22 21 1 21 2 11 2 11 C. F (x) = (1 + x ) − . D. F (x) = (1 + x ) − . 22 22 22 Lời giải. Chọn đáp án A  Ç å d 1 10 2 11  Calc 2 = kết quả bằng 0. Nhập vào (1 + x )  − X (1 + X 2 ) dx 22 x=X 1 11 Vậy F (x) = (1 + x2 ) . 22 ln3 x Câu 3 (2D3B2-10). Cho f (x) = . Tìm nguyên hàm F (x), biết F (e2 ) = 3. x www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm ln4 x ln4 x − 1. B. F (x) = + 1. A. F (x) = 4 4 Lời giải. Chọn đáp án A ln4 x C. F (x) = . 4 13 D. F (x) = ln4 x − 13. oc iH Da Nhập sau: Ç vào máy å tính biểu thức d ln(X)4  ln(X)3 Calc 2 = ta được kế quả bằng 0.  −  dx 4 X x=X ln4 x Vậy F (x) = − 1. 4 Å ã π 5 Câu 4. Cho f (x) = sin2 x · cos x. Tìm nguyên hàm F (x), biết F =− . 2 3 sin3 x sin3 x A. F (x) = + 2. B. F (x) = − 2. 3 3 14 8 D. F (x) = 3 sin3 x − . C. F (x) = sin3 x − . 3 3 Lời giải. Chọn đáp án B 01 Bước 1: nhập từng đáp án Calc e2 vào ta loại được phương án B, C. nT hi Chuyển máy tính sang chế độ Radian ( Shift Mode 4). ta loại được phươngÇán A. å d sin(X)3   − sin(X)2 × cos(X) Calc 3 = ta được kết quả như Nhập vào máy tính  dx 3 x=X sau: up s/ Ta iL ie uO Calc xấp xỉ với số 0. 3 ro sin x − 2. 3 /g Vậy F (x) = ww w. fa ce b oo k. co m x3 Câu 5. Cho hàm số y = f (x) có f 0 (x) = 4 . Biết f (1) = ln 2. Tính f (2). x +1 1 3 1 1 A. f (2) = ln 17 − ln 2. B. f (2) = ln 17 + ln 2. 4 4 4 4 1 1 1 3 C. f (2) = ln 17 − ln 2. D. f (2) = ln 17 + ln 2. 4 4 4 4 Lời giải. Chọn đáp án D Ta biết Z2 0 f (x)dx = f (2) − f (1) ⇒ f (2) = 1 Z2 f 0 (x)dx + f (1). 1 Nhập vào máy tính: nhấn phím = Shift RCL z (lưu kết quả vào biến A.) Lấy A trừ từng phương án để chọn đáp án đúng. (khi giá trị xấp xỉ số 0.) Chẳng hạn: www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm Như vậy ta chọn đáp án đúng là f (2) = 14 3 1 ln 17 + ln 2. 4 4 π . 2 01 Câu 6. Cho F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = 3−5 sin x và F (0) = 10. Tính F 3π 3π 3π 3π A. + 5. B. − 5. C. + 10. D. . 2 2 2 2 Lời giải. Chọn đáp án A Å ã nT hi Da iH oc Nhấn Shift Mode 4 (chế độ Radian) và nhập: uO nhấn = Shift RCL z s/ Ta iL ie Nhập tiếp vào màn hình: 3π π = + 5. 2 2 ro up Chọn phương án đúng là F Å ã /g Câu 7. Một nguyên hàm của hàm số f (x) = (x + 1)ex là F (x) và F (0) = 1. Tính F (ln 5). B. 5 ln 5 − 1. Nhập vào máy tính D. 5 ln 5 + 1. oo k. Lời giải. Chọn đáp án D C. 5(ln 5 + 1). co m A. ln 5 + 5. ln(5) Z (X + 1)eX dx + 1. ww w. fa ce b 1 So sánh với các đáp số ta chọn được phương án: 5 ln 5 + 1. 2x + 1 và F (1) = 1. Tìm giá trị của F (2). Câu 8. Cho F (x) là một nguyên hàm của f (x) = 2 (x + x)2 2 4 5 1 A. . B. . C. . D. − . 3 3 36 6 Lời giải. Chọn đáp án B Nhập vào máy tính: . Ta chọn phương phương án Câu 9. Tìm hàm số f (x) biết f 0 (x) = 4 . 3 2x + 3 và f (0) = 1. x+1 www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 15 A. f (x) = x + ln |x + 1| + 1. B. f (x) = 2x + ln |2x + 1| − 1. C. f (x) = 2x + ln |x + 1| + 1. D. f (x) = x2 + ln |x + 1|. Lời giải. Chọn đáp án C Nhập vào máy tính: 01 . Kết quả bằng 0. 0. 1 1 1 1 B. F (x) = ln2 x + x2 ln x − x2 + . 2 2 4 2 ä 1Ä 2 2 2 D. F (x) = ln x + x ln x − x + 1 . 2 uO nT hi Da 1 1 1 1 A. F (x) = ln2 x + x2 ln x − x2 + . 2 2 4 4 1 2 1 2 1 2 1 C. F (x) = ln x + x ln x + x − . 2 2 4 4 Lời giải. Chọn đáp án A (1 + x2 ) ln x . Tìm F (x), biết F (1) = x iH Câu 10. Gọi F (x) là một nguyên hàm của hàm số f (x) = oc Ta chọn phương phương án f (x) = 2x + ln |x + 1| + 1. ro up s/ Ta iL ie Tương tự Calc ta loại được phương án B. 1 1 d (F (X)) |x=X − f (x) Calc X = 3 ta chọn được phương án F (x) = ln2 x + x2 ln x − Nhập dx 2 2 1 2 1 x + . 4 4 x + (x + 1) ln x . Biết f (1) = −1, tính Câu 11. Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f 0 (x) = x (1 + ln x) f (e). B. e − 2 − ln 2. 1 X + (X + 1) ln(X) dx + (−1) = X(1 + ln(X)) oo k. Nhập D. 4ee − ln 2. co m Lời giải. Chọn đáp án A Ze C. e + ln 2. /g A. e − 1 − ln 2. ww w. fa ce b So với phương án e − 1 − ln 2 có giá trị bằng nhau. Z 1 dx = a ln |x − 2| + b ln |x − 1| + C, với a, b, C ∈ R. Tính S = a + b. Câu 12. Biết I = 2 x − 3x + 2 2 3 A. 0. B. 3. C. . D. −2. 2 Lời giải. Chọn đáp án A 1 a b Biểu thức 2 = + . Tìm a, b. x − 3x + 2 x−2 x−1 Nhập vào máy tính: Calc nghiệm Calc 2 = được kết quả là 1 ⇒ a = 1. Calc 1 = được kết quả là −1 ⇒ b = −1. mẫu ta tìm được a, b. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 16 Suy ra a + b = 0. 2x + 3 dx = a ln |x − 1| + b ln |x + 2| + C. Tính S = a + b. +x−2 4 4 C. −2. D. − . A. 2. B. . 3 3 Lời giải. Chọn đáp án A 2x + 3 2x + 3 a b Ta có 2 = = + x +x−2 (x − 1)(x + 2) x−1 x+2 Nhập vào máy tính: Z Câu 13. Biết I = x2 iL ie uO nT tương tự nhập Da 5 =⇒a= ; 3 hi Calc 1 iH oc 01 (bỏ mẫu nào thì Calc nghiệm của mẫu đó) Ta Calc p2 s/ Vậy S = a + b = 2. 1 =⇒b= . 3 2x3 + 5x2 + 2x + 1 dx = ax3 + bx2 + c ln |x + 2| + D. (với a, b, c là phân số x+2 5 tối giản; D là hằng số) và F (−1) = . Tính S = 3a + 2b + c − 2D. 6 13 13 A. 2. B. . C. −2. D. − . 6 6 Lời giải. Chọn đáp án A 2x3 + 5x2 + 2x + 1 a Ta có = P (x) + . Tìm a bằng cách nhấn x+2 x+2 up Z ww w. fa ce b oo k. co m /g ro Câu 14. Biết I = Calc p2 = ⇒ a = 1. Tìm P (x) bằng cách nhấn Calc 1 0 0 0 = Màn hình xuất hiện www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 17 01 Suy ra P (x) = 2x2 + x. 1 2 1 2 Do đó I = x3 + x2 + ln |x + 2| + D hay a = , b = , c = 1. 3 2 3 2 5 Do F (−1) = ⇒ D = 1. 6 Vậy S = 2. x−1 2 b Câu 15. Biết I = dx = ax + + c ln |x + 2| + D. (với a, b, c là phân số tối giản; x+2 x+2 D là hằng số) và F (−3) = 2. Tính S = a + 2b − c + D. oc å C. −15. D. 4. s/ Ta iL ie uO Lời giải. Chọn đáp án C Ç å x−1 2 A B Ta có = + C. Tìm A bằng cách nhấn + 2 x+2 (x + 2) x+2 hi B. −6. nT A. −8. Da iH Z Ç up Calc p2 p0 . 000000001 ww w. fa ce b oo k. co m /g ro = ta được màn hình kết quả ⇒A=9. Tìm B bằng cách nhập Calc p2 p0 . 000000001 = Suy ra B = −6 Tìm C bằng cách nhập www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm Calc 1000 18 = Ta được C = 1. −9 − 6 ln |x + 2| + x + D. ⇒ a = 1, b = −9, c = −6. x+2 Mà F (−3) = 2 ⇒ D = −4. Suy ra F (x) = ww w. fa ce b oo k. co m /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi Da iH oc 01 Vậy S = −15. www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 Nguyên hàm dạng www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01 tìm hệ số C - Thầy Phan Minh Tâm 19 ĐÁP ÁN 3 A 5 D 7 D 9 C 11 A 13 A 2 A 4 B 6 A 8 B 10 A 12 A 14 A 15 C ww w. fa ce b oo k. co m /g ro up s/ Ta iL ie uO nT hi Da iH oc 01 1 A www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01