Tài liệu Tuyển tập các dạng tích phân cơ bản theo chương trình mới

  • Số trang: 7 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 71 |
  • Lượt tải: 0
vndoc

Đã đăng 7399 tài liệu

Mô tả:

I. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ: 1/ NÕu hµm sè u = u ( x) ®¬n ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n th× I= ∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du a u = u ( x) ®¬n NÕu hµm sè I= u (b ) ∫ f ( x)dx = ∫ g (u)du a u(a) Bài tập π 2 3 2 1. ∫ sin xcos xdx 3. π 3 π 2 sin x ∫ 1 + 3cosx dx 0 π 4 4. ∫ cot gxdx π 2 2 3 2. ∫ sin xcos xdx π 3 π 4 3. tgxdx ∫ 0 5. π 6 1 π 6 ∫ 1 7. 0 3 2 8. ∫ x x + 1dx 0 ∫x 1 − x 2 dx 1 x2 0 1 9. ∫ ∫x 1 − x dx 3 2 0 1 12. 1 2 dx 0 14. ∫ 0 π 2 1 ∫x 1 dx x3 + 1 1 1 dx 13. ∫ 2 x + 2x + 2 −1 11. x2 + 1 1 dx sin x 16. ∫ e cosxdx π 4 2 dx 1 ∫ 1+ x 1 x3 + 1 0 1 10. 1 + 4sin xcosxdx 0 2 6. ∫ x x + 1dx 15. 1 ∫ (1 + 3x ) 2 2 dx 0 π 2 cosx 17. ∫ e sin xdx π 4 sao cho u(a) b th× [ a; b] . ®iÖu vµ cã ®¹o hµm liªn tôc trªn ®o¹n f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du sao cho u (b ) b f ( x)dx = g (u ( x))u ' ( x)dx = g (u )du [ a; b] . 1 x 18. ∫ e 2 +2 π 2 3 2 19. ∫ sin xcos xdx xdx π 3 π 2 0 π 2 sin x 20. ∫ e cosxdx cosx 21. ∫ e sin xdx π 4 1 x 22. ∫ e 2 +2 π 4 π 2 3 2 23. ∫ sin xcos xdx xdx π 3 0 π 2 24. ∫ sin xcos xdx 2 3 25. π 3 π 4 27. ∫ cot gxdx 26. tgxdx ∫ π 6 0 π 6 1 ∫ 29. 1 + 4sin xcosxdx 1 2 30. ∫ x 1 − x dx x ∫ 31. x 2 + 1dx 0 dx 33. 35. dx x3 + 1 e sin(ln x) dx 36. ∫ x 1 1 e ∫ 38. e 1 37. ∫ e dx 39. ∫ cos e 2 1 dx (1 + ln x) ∫ ( sin 0 1 + 3ln x ln x dx x 1 + ln x dx x ln x e ∫ e 41. ∫ 1 1 + 3ln x ln x dx x 43 1 + ln 2 x ∫e x ln x dx 1 45. ∫ x 2 x 3 + 5dx 0 π 2 46. ∫ e2 dx e2 44. 1 − x 2 dx 2 2ln x +1 x 1 1 + ln x dx x ∫ 1 e2 sin(ln x) dx 40. ∫ x 1 4. e e e e 3 1 2ln x +1 x ∫x 0 1 ∫x 34. 3 1 x +1 2 ∫x 2 3 0 x 2 + 1dx 1 0 1 ∫x 0 0 32. sin x ∫ 1 + 3cosx dx 0 π 4 28. π 2 4 4 x + 1) cos xdx 47. ∫ 0 4 − x 2 dx a 2 + x 2 , a 2 − x 2 vµ 2/NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng x2 − a2 (trong trong ®ã a lµ h»ng sè d¬ng) mµ kh«ng cã c¸ch biÕn ®æi nµo kh¸c th× nªn ®æi sang c¸c hµm sè lîng gi¸c ®Ó lµm mÊt c¨n thøc, cô thÓ lµ:  π π a 2 − x 2 , ®Æt x = a sin t , t ∈  − ;   2 2 • Víi x = a cos t , t ∈ [ 0; π ] . hoÆc  π π a 2 + x 2 , ®Æt x = atgt , t ∈  − ; ÷  2 2 • Víi hoÆc x = acotgt , t ∈ ( 0;π ) . x 2 − a 2 , ®Æt x = • Víi x= hoÆc a  π π , t ∈  − ;  \ { 0} sin t  2 2 a π  ; t ∈ [ 0;π ] \   . cos t 2 Bài tập: H·y tÝnh c¸c tÝch sau: 4 a) ∫ 1 4 − x 2 dx 0 e) 2 2 ∫ b) dx 2 1 + x 0 ∫ 2 3 x2 dx f) ∫ 9 c) dx 5 x x +4 1 − x2 II. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: 0 2 ∫ 2 9 − x 2 dx d) 0 1 g) ∫ 0 3 5 2 h) ∫ x 1 + x dx 1 − x 2 dx 0 b 0 b Công thức tích phân từng phần : ∫ u( x)v'(x)dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx a Tích phân các hàm số dễ phát hiê ̣n u và dv β @ Da ̣ng 1 ∫ α sin ax    f ( x) cosax dx e ax  ∫ b dx 4 + x2 a u = f ( x) du = f '( x)dx   sin ax  sin ax       ⇒    dv = cos ax  dx v = ∫ cosax  dx   e ax  e ax    Đă ̣t β ∫ f ( x) ln(ax)dx @ Da ̣ng 2: α dx  u = ln(ax)  du = x ⇒ Đă ̣t   dv = f ( x)dx v = f ( x)dx  ∫ β ax sin bx  @ Da ̣ng 3: ∫ e .  dx cos bx  α Đặt: du = ae ax dx u = e  ⇒  1 dv = cos bxdx v = sin bx  b ax Bài tập 1 1) ∫ x.e 3x dx 2) 0 π 2 6 ∫ x ln xdx 6) ∫ (1 − x ∫(x 2 +1).e .dx 10) ln x dx x5 1 ∫ ∫ x ln 2 xdx 1 ∫ 4 x. ln x.dx 7) 11) 18) x + sin xdx ∫0 cos2 x 19) ∫ x sin x cos xdx 2 0 α (trong ®ã XÐt ax 2 + bx + c ≠ 0 ∆ = b 2 − 4ac . ( a ≠ 0) . víi mäi 2 + 2 x). sin x.dx xdx 20) x(2 cos2 x − 1)dx ∫ a)TÝnh tÝch ph©n d¹ng tæng qu¸t sau: ∫ π 4 0 dx ax 2 + bx + c ∫(x 0 1. TÝch ph©n hµm sè ph©n thøc I= 2 0 ∫ sin 16) III.TÝch ph©n mét sè hµm sè thêng gÆp β 12) π2 0 π ).dx π 2 ∫ x . cos x.dx x 15) ∫ e sin xdx 2 0 0 0 π 3 ∫ x. ln(3 + x 8) 2 1 14) x cos2 xdx ∫ ∫ x. sin 2 xdx 0 π ∫ x. cos x.dx 2 1 1 π 2 2 e ). ln x.dx 0 1 13) 2 π x 4) ∫ (2 − x) sin 3xdx 3 1 2 π 0 e 1 9) 3) ∫ ( x −1) cos xdx 0 e 5) π x ∈[ α; β ] ) 17) β +)NÕu I= ∆ = 0 th× dx ∫ a x − b    α 2 ÷ 2a  tÝnh ®îc. β +)NÕu 1 dx I= a α ( x − x1 ) ( x − x2 ) ∫ ∆ > 0 th× (trong ®ã ⇒I= x1 = −b + ∆ −b − ∆ ) ; x2 = 2a 2a 1 x − x1 β ln . a ( x1 − x2 ) x − x2 α β +) NÕu §Æt x+ ∆ < 0 th× dx I= = 2 ax + bx + c α ∫ β ∫ α dx 2 2  b   −∆   a  x + ÷ +   2 ÷ 2 a 4 a       b −∆ 1 −∆ = tgt ⇒ dx = 1 + tg 2t ) dt , ta tÝnh ®îc I. 2 2 ( 2a 4a 2 a β I= b) TÝnh tÝch ph©n: ∫ α (trong ®ã , f ( x) = mx + n dx, ax 2 + bx + c mx + n ax 2 + bx + c ( a ≠ 0) . liªn tôc trªn ®o¹n [α;β ] ) +) B»ng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt hÖ sè, ta t×m A vµ B sao cho: mx + n A( 2ax + b) B = 2 + 2 ax + bx + c ax + bx + c ax + bx + c 2 β +)Ta cã I= β ∫ α β . TÝch ph©n ∫ α β TÝch ph©n β mx + n A(2ax + b) B dx = ∫ dx + ∫ dx 2 2 2 ax + bx + c α ax + bx + c α ax + bx + c ∫ α A(2ax + b) dx = ax 2 + bx + c dx ax 2 + bx + c Aln ax 2 +bx +c tÝnh ®îc. β ε b c) TÝnh tÝch ph©n I= ∫ a P ( x) dx víi P(x) vµ Q(x) lµ ®a thøc cña x. Q( x) • NÕu bËc cña P(x) lín h¬n hoÆc b»ng bËc cña Q(x) th× dïng phÐp chia ®a thøc. • NÕu bËc cña P(x) nhá h¬n bËc cña Q(x) th× cã thÓ xÐt c¸c trêng hîp: + Khi Q(x) chØ cã nghiÖm ®¬n α1 , α 2 ,..., α n th× ®Æt An P( x) A1 A2 = + + ... + . Q ( x ) x − α1 x − α 2 x − αn + Khi Q( x) = ( x − α ) ( x 2 + px + q ) , ∆ = p 2 − 4q < 0 th× ®Æt P ( x) A Bx + C = + 2 . Q( x) x − α x + px + q + Khi Q( x) = ( x − α ) ( x − β ) 2 víi α ≠ β th× ®Æt P ( x) A B C = + + 2 Q( x) x − α x − β ( x − β ) . Bài tập 1 a/ ∫ 0 1 4 x + 11 dx 2 x + 5x + 6 b/ ∫ 0 dx e/ ∫ 2 −1 x + 2x + 5 dx x2 + x + 1 c/ 2 x −1 dx f/ ∫ 2 3 x − 3x + 2 1 ∫ 0 5 1 3x 2 + 3 x + 3 dx k/ ∫ 3 2 x − 3x + 2 IV.TÝch ph©n hµm v« tØ .D¹ng 1: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n v« tØ c¬ b¶n 1 ∫ 0 dx . x +1 + x .D¹ng 2: BiÕn ®æi vÒ tÝch ph©n hµm lîng gi¸c D¹ng 3: BiÕn ®æi lµm mÊt c¨n Gåm: §æi biÕn sè t lµ toµn bé c¨n thøc x3 dx x2 − 1 0 d/ ∫ −2 b g/ 1 ∫a ( x + a)( x + b) dx h/ 3 dx i/ ∫ 2 0 x + 4x + 3 VÝ dô : TÝnh tÝch ph©n: I = 1 2 l/ 1 x 3 + x +1 ∫0 x + 1 dx 1 3 x +2 ∫2 x −1 dx 2x + 2 dx x + 2x − 3 2 m/ x 2 + 2x + 3 ∫0 x + 3 dx ViÕt biÓu thøc trong c¨n díi d¹ng b×nh ph¬ng ®óng VÝ dô :TÝnh 1 I = ∫ x 3 1 − x 2 dx 0 Bài tập: 5 a/ ∫ 2 5 2 x 1 1 + x −1 b/ ∫ dx 1 dx 0 1 + 1 + 3x c/ ∫ d/ ∫ x 4 − x dx e/ 3 2 ∫ x −1dx −3 2 ∫ −2 2 1 2 2 2 x2 ∫ 1 − x2 0 dx f/ x x2 + 4 V. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: 1. 2 dx 2 3 ∫ dx x+2 + x−2 x 2 − 1 dx 2 2. ∫ 0 x 2 − 4 x + 3 dx 2 3. ∫ x 2 − x dx 4. 0 4 ∫ −1 3 x 2 − 3x + 2dx 5. ∫ x − 2 dx 6. 1
- Xem thêm -