TÀI LIỆU ÔN THI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA
TUYỂN TẬP CÁC BÀI TOÁN
HÌNH HỌC PHẲNG OXY HAY VÀ KHÓ
CỦA TÁC GIẢ ĐOÀN TRÍ DŨNG
A
I
H
E
B
D
C
M
F
Biên soạn: Đoàn Trí Dũng
Điện thoại: 0902.920.389
HÀ NỘI – THÁNG 4/2016
1 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Bài 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
AD : 3x y 14 0 . Gọi E 0; 6 là điểm đối xứng với C qua AB. Gọi M là trung điểm của CD, BD cắt ME tại
2 4
điểm I ; . Tìm tọa độ các đỉnh A , B, C , D .
3 3
Tam giác CDE có hai trung tuyến BD cắt ME tại I do đó I là trọng tâm
3
3 2 14
của tam giác CDE. Vậy EM EI ; 1;7 M 1;1 .
2
2 3 3
Phương trình đường
CD : x 3y 2 0 .
thẳng
CD
qua
M
vuông
góc
E
3x + y - 14 = 0
AD:
A
AD : 3x y 14 0
Tọa độ D là nghiệm của hệ:
D 4; 2 .
CD : x 3y 2 0
M là trung điểm của CD do đó C 2;0 .
B
I
D
C
M
B là trung điểm của EC do đó B 1; 3 .
Vì ABCD là hình chữ nhật do đó: AB DC 6; 2 A 5; 1 .
Bài 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng
BD : 2x 3y 4 0 . Điểm G thuộc cạnh BD sao cho BD 4BG . Gọi M là điểm đối xứng với A qua G. Hạ
MH BC , MK CD . Biết H 10;6 , K 13; 4 và đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật ABCD.
Ta chứng minh G, H , K thẳng hàng. Gọi E, F là tâm
của các hình chữ nhật ABCD, MHCK .
Ta có: G là trung điểm của BE. Do đó MBAE là hình
bình hành. Vậy ME AB 2HE do đó H là trung
điểm EM. Do đó GH và FH là đường trung bình của
các tam giác MAE, MCE . Do đó: GH // AC, HF //
AC. Do đó G, H , K thẳng hàng. Ta có: Phương trình
A
B
G
M
E
H
F
D
C
BD : 2x 3y 4 0
17
đường thẳng HK : 2x 3y 38 0 . Tọa độ G là nghiệm của hệ:
G ;7 .
2
HK : 2x 3y 38 0
BD : 2x 3y 4 0
B 7;6
2
Do GH GP GB nên tọa độ B là nghiệm của hệ:
.
2
17
13
B 10;8
G; GH : x y 7
2
4
Vì đỉnh B có tọa độ là các số tự nhiên chẵn do đó B 10;8 . Mặt khác: BD 4 BG D 4; 4 .
Ta viết được phương trình đường thẳng DK : y 4 do đó ta có đường thẳng BC : x 10 .
BC : x 10
Vậy ta tìm được C là nghiệm của hệ:
C 10; 4 . Vì: BA CD A 16; 8 .
DK : y 4
2 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
K
Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC , trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N
sao cho BM CN . Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và MN. Đường thẳng DE cắt các đường thẳng AB,
1
1
AC tại P và Q. Phương trình đường thẳng BC : x 10 y 25 0 và P 0; , Q 0; . Tìm tọa độ các đỉnh B,
2
2
C biết A nằm trên đường thẳng 2 x y 2 0 .
Gọi J là trung điểm MC. Vì JE, JD là đường trung bình các tam giác
1
1
CMN , CMB do đó: JE // CN, JD // BM và JE CN , JD BM .
2
2
Mặt khác vì BM CN do đó DJE cân tại J.
P
A
Q
Ta có: JED CQD AQP, JDE APQ . Do đó: APQ ∽ JDE .
Vậy APQ cân tại A. Ta viết được phương trình đường trung trực
M
của PQ là d : y 0 . Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương
2 x y 2 0
trình:
A 1;0 . Từ đây ta viết được các phương
d : y 0
trình đường thẳng: AP : x 2y 1 0 , AQ : x 2 y 1 0 .
E
N
J
B
D
C
AP : x 2 y 1 0
Tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
B 5; 3 .
BC : x 10 y 25 0
AQ : x 2 y 1 0
Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình:
C 5; 2 .
BC : x 10 y 25 0
Bài 4: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 2 AB và đỉnh C 15; 9 . Tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng BC tại điểm I 5;1 . Tìm tọa độ các đỉnh
A, B biết A có hoành độ âm và phương trình đường thẳng AI : x 2 y 7 0 .
Vì IA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
do đó theo tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng
A
góc nội tiếp chắn cung, ta có: IAB BCA IAB ∽ ICA .
2
IB IA AB 1
IB IB IA AB 1
Do đó:
.
IA IC AC 2
IC IA IC AC 4
3
5 5
Do đó ta có: IC 4IB B 0; IB
.
2
2
I
B
C
Vậy: IA 2IB 5 5 . Tọa độ của A là nghiệm của hệ
I ; IA : x 5 2 y 12 125
A 5;6 .
phương trình:
AI : x 2 y 7 0, xA 0
Bài 5: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A 0;7 , tâm đường tròn nội tiếp là
điểm I 0;1 . Gọi E là trung điểm BC, H là trực tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C biết AH 7 HE và
B có hoành độ âm.
3 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Theo định lý Thales cho đường phân giác ta có:
AI AB
.
IE BE
A
Mặt khác, vì là các cạnh tương ứng vuông góc nên HAD HBE , và
HAF HCE . Lại có ABC cân tại A, do đó: HAF HBE .
2
Vậy: HBE ∽ BAE
Do đó:
AE BE AE
AE BE AE
8.
BE EH BE
BE EH EH
AE
AB
1
2 2 tan ABC
tan2 ABC 1 3 .
BE
BE cos ABC
F
Vậy: AI 3IE E 0; 1 . Do đó ta viết được phương trình đường
thẳng BC qua E vuông góc với AE là: BC : y 1 .
Mặt khác AE 8 BE
1
2 2
D
I
H
B
C
E
AE 2 2 . Vậy B và C là hai nghiệm của
E; EB : x2 y 12 8
B 2 2; 1 , C 2 2; 1 .
hệ phương trình:
BC : y 1, xB 0
Bài 6: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho ABC có D 10; 5 là trung điểm AB. Trên tia CD lấy
22 1
I ; sao cho ID 2IC . Gọi M 7; 2 là giao điểm của AI và BC. Tìm tọa độ các đỉnh của ABC .
3
3
Trên đoạn thẳng BC lấy điểm G sao cho IG // AB. Theo định lý Thales
A
IG CG CI 1
1
IG 1
cho CBD ta có:
do đó CG GB và
.
BD CB CD 3
2
AB 6
Mặt khác cũng theo định lý Thales cho MAB ta có:
MG MI IG 1
1
MG GB và MA 6 MI A 9; 8 .
MB MA AB 6
5
D
Vì D 10; 5 là trung điểm AB do đó ta có B 11; 2 .
I
1
1
Mặt khác, CG GB và MG GB do đó:
2
5
2
2
4
MG CG CB BM BC C 6; 3
B
G M
C
5
15
5
Bài 7: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD. Gọi M 3; 1 là điểm nằm trên
đoạn AC sao cho AC 4 AM , gọi N 1; 2 là điểm trên đoạn AB sao cho AB 3BN , gọi P 2;0 là điểm trên
đoạn BD sao cho BD 4DP . Tìm tọa độ các đỉnh của hình bình hành ABCD.
Gọi I là giao điểm của PM và AB, J là giao điểm của MN và
AD, T là điểm nằm trên cạnh AC sao cho AC = 3TC.
7 3
MI 1 MP 1
,
PM 2 MI I ;
Ta có:
BC 4 AD 2
2 2
J
I
A
M
Đường thẳng qua I và N là AB : 7 x 5y 17 0 .
2
1
AC AC
NT NM MT AT AM 3
5
4
Vì:
1
JA
MJ AM
AM
3
AC
4
E
P
D
N
T
C
4 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
B
Do đó:
5
18
3
24
IN MT NT 5
IN IA A 5; . Vậy: AB AN B 4; .
3
5
2
5
IA MA JA 3
34
8
Mặt khác: AC 4 AM C 3; . Vì ABCD là hình bình hành nên: BA CD D 6; .
5
5
7
Bài 8: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có AC 3AB . Lấy D ; 3 trên cạnh AB.
2
Gọi E là điểm nằm trên cạnh AC sao cho CE BD . DE cắt BC tại K 17; 3 (E nằm giữa D và K). Biết rằng
C 14; 2 . Viết phương trình cạnh AC.
Lấy F trên cạnh BC sao cho FE // AB. Theo định lý Thales
KE FE
cho KBD , ta có:
. Mặt khác, theo định lý Thales
KD DB
FE CE
FE AB
cho ABC ta có:
.
AB AC CE AC
KE FE AB 1
1
Vì CE BD do đó:
KE KD .
KD CE AC 3
3
A
D
E
B
F
C
K
25
Từ đây ta tìm được tọa độ điểm E ; 5 và viết được phương trình đường thẳng AC : 2x y 30 0 .
2
Bài 9: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có AC 2 AB . Phương trình đường
chéo BD : x 4 0 . Gọi E là điểm thuộc đoạn AC thỏa mãn AC 4 AE , gọi M là trung điểm cạnh BC. Tìm tọa
5
độ các đỉnh A , B, C , D biết E ;7 , SBEDC 36 , điểm điểm M nằm trên đường thẳng 2 x y 18 0 đồng thời
2
điểm B có tung độ nhỏ hơn 2.
AB AE 1
A
Ta chứng minh: EM BD . Thật vậy, vì
do đó ta có
AC AB
2
ABE ∽ ACB . Vậy: BC 2BE , mà BC 2BM do đó EBM cân tại
1
1
1
B. Mặt khác, IE IA AB, IM AB (đường trung bình ABC ).
2
2
2
Vậy IB là đường trung trực của EM. Do vậy EM BD . Phương
trình đường thẳng EM qua E và vuông góc BD là EM : y 7 .
2 x y 18 0
11
M ;7 .
Vậy tọa độ của M là nghiệm của hệ:
2
EM : y 7
E
D
B
I
M
C
Như vậy ta có ME 3 . Mặt khác, SBEDC 2SBEC 4SBEM d B; EM ME 18 d B; EM 6 .
Gọi tọa độ tham số điểm B 4; b , ta có: d B; EM
b7
1
6 b 13 b 1 . Vì B có tung độ bé hơn 2 do đó ta
chọn B 4;1 . Vì M là trung điểm của BC cho nên ta tìm được C 7;13 .
Do: AC 4 AE A 1; 5 . Lại có ABCD là hình bình hành, do vậy: BA CD D 4;17 .
5 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
11 17
Bài 10: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AD. Gọi E ;
5 5
là chân đường phân giác trong hạ từ đỉnh A của ACD . Biết rằng tọa độ đỉnh B 4;1 và điểm A có hoành độ
nhỏ hơn 2 nằm trên đường thẳng : x y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
Vì ABD ∽ CAD do đó: BAD ACD . Mặt khác: BAE BAD DAE và
A
AEB EAC ECA do đó BAE BEA hay BA BE .
B; BE : x 4 2 y 12 9
Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ:
: x y 2 0, xA
Do đó ta tìm được tọa độ điểm: A 1;1 . Từ đó tìm được C 4;1 .
B
D
C
E
Bài 11: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I đường kính AE.
Gọi F là trung điểm của BC. Đường thẳng qua F và vuông góc với AC có phương trình d : x 2 y 7 0 . Biết
5 3
rằng tọa độ các điểm B 4;1 , I ; và đỉnh E có hoành độ là một hợp số. Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
2 2
Ta có: AC CE, AC FH FG // CE. Do đó FG là đường trung bình
A
của BCE cho nên G là trung điểm của BE. Vì vậy theo tính chất giữa
tâm và trung điểm dây cung ta có IG.GB 0 .
9
3
Gọi G 7 2a; a , ta có: IG 2a; a , GB 2a 3;1 a .
2
2
9
3
3
Do đó: 2a 2a 3 a 1 a 0 a a 2 .
2
2
2
Với G 7 2a; a E 10 4a; 2a 1 . Do đó ta chọn E 4; 2 .
I
B
H
C
F
G
E
Vì I là trung điểm của AE do đó ta tìm được A 1;1 và viết được phương trình đường thẳng AC qua A vuông
2
2
5
3
5
I ; IB : x y
góc GH là: AC : 2x y 1 0 . Do đó ta có C là nghiệm của hệ:
2
2 2 C 2; 3 .
AC : 2 x y 1 0, C A
BÀI 12: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I. Phương trình
tiếp tuyến của đường tròn tại A là: x 2 y 7 0 . Đường phân giác góc ngoài của góc A cắt BC tại E 9; 3 . Tìm
21 3
tọa độ các đỉnh của tam giác biết điểm B ; và điểm A có tung độ dương.
5 5
Đường thẳng BC đi qua điểm B và E nên có phương
A
trình là: x 2 y 3 0 . Gọi F là giao điểm của tiếp
E
I
F
C
D
B
tuyến tại A với đường thẳng BC
Tọa độ điểm F là nghiệm của hệ phương trình:
x 2 y 3 0
x 5
F 5;1
x 2 y 7 0 y 1
Kẻ AD là phân giác trong góc A của tam giác ABC.
FAD FAC CAD; FDA ABC BAD
6 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
1
Và FAC ABC sdAC; CAD BAD do đó: FAD FDA FDA cân tại F nên FA FD . Lại có AD và AF
2
là 2 phân giác trong và ngoài góc A nên AE AD Do đó F là trung điểm của DE.
Tìm A: Là giao điểm của đường tròn đường kính ED và tiếp tuyến tại A.
Do đó ta viết phương trình đường tròn đường kính ED:
FE 42 22 20 nên Đường tròn tâm F là: x 5 y 1 20
2
2
x 7 2 y
x 2 y 7 0
x 7 2 y
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
y 3
2
2
2
x 5 y 1 20 y 1 4 y 1
Do điểm A có tung độ dương nên A 1; 3
x 3 2 y
x 2 y 3 0
x 3 2 y
Điểm D là nghiệm của hệ:
y 1 D 1; 1
2
2
2
x 5 y 1 20 5 y 1 20 y 3
1 3
Đường thẳng AD: x 1 0 . Gọi M là điểm đối xứng với B qua đường AD M ;
5 5
2 x y 1 0
5 7
C ;
Phương trình đường AM là: 2 x y 1 0 . Tọa độ C là nghiệm của hệ:
3 3
x 2 y 3 0
Bài 13: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường tròn I và K giao nhau tại hai điểm phân
biệt trong đó có điểm A. Gọi : x y 0 là một đường thẳng đi qua A và cắt hai đường tròn lần lượt tại các
điểm C và D. Gọi F là trung điểm của IK, gọi H 5; 1 là điểm đối xứng với A qua F. Biết rằng tọa độ các điểm
C 1; 1 , K 5;1 . Viết phương trình đường tròn I .
Gọi M , N , E lần lượt là hình chiếu của I , F , K lên đường
thẳng CD. Ta dễ dàng chứng minh được M , N , E là
trung điểm của AC , ME, AD . Như vậy MFE cân tại F
do đó HCD cân tại H. Do đó tọa độ của D là nghiệm
H ; HC : x 5 2 y 12 36
D 5; 5 .
của hệ:
: x y 0, C D
Do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
K ; KD : x 5 2 y 12 16
A 1;1
: x y 0, A D
C
M
A N
E
D
I
F
K
H
Do đó: F 3;0 I 1; 1 I : x 1 y 1 4 .
2
2
Bài 14: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại B với đường cao BM. Gọi D là
điểm đối xứng với A qua M. Gọi I là hình chiếu vuông góc của D trên cạnh BC. Biết rằng tọa độ các điểm
B 2;1 , I 4; 5 và điểm M nằm trên đường thẳng x y 8 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A và C.
7 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Tứ giác BMDI nội tiếp do đó: BIM BDM mà tam giác ABD cân
B
tại B do đó BAD BDM MBI BDM . Vậy: MBI MIB cho
nên MI MB . Mặt khác trung trực của IB là: x 2 y 9 0 do đó
x 2 y 9 0
M 7;1 .
tọa độ của M là nghiệm của hệ:
x y 8 0
Phương trình đường thẳng AC : x 7 . Phương trình đường
I
A
M
D
C
3
thẳng IB : 2x y 3 0 do đó C 7;11 , A 7; .
2
Bài 15: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng các cạnh
lần lượt là: AB : 2x y 3 0, AC : x 2y 1 0 . Trên đường thẳng AC lấy một điểm E. Gọi CF là tiếp tuyến
với đường tròn tâm E bán kính EA trong đó F là tiếp điểm thỏa mãn đường thẳng AF cắt đoạn thẳng BC tại
5
điểm D ; 3 . Biết rằng ED BC , tìm tọa độ điểm F.
2
Các tứ giác AEDB và EFDC nội tiếp do đó: FCE EDA EBA .
Do đó kết hợp với EA FE ta có: ABE FCE EB EC .
Tam giác EBC cân tại E có đường cao ED do đó D là trung điểm
của BC. Gọi B b; 3 2b , C 2c 1; c . Vì D là trung điểm của BC
A
E
b 2c 1 5
B 0; 3 , C 5; 3 . Tọa độ của A là
do đó ta có hệ:
3 2b c 6
AB : 2 x y 3 0
A 1;1 .
nghiệm của hệ phương trình:
AC : x 2 y 1 0
F
B
D
C
ED : 2 x 5 0
5 7
E ; .
Phương trình đường thẳng ED : 2x 5 0 , do đó tọa độ của E là nghiệm hệ:
2 4
AC : x 2 y 1 0
2
2
5
7 45
E; EA : x y
14 17
Đường thẳng AD : 4x 3y 1 0 . Do đó:
2
4 16 F ; .
5 5
AD : 4 x 3 y 1 0, F A
Bài 16: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn đường kính
AI. Đường tròn tâm I bán kính IB cắt đường thẳng qua B song song với AC tại J. Đường thẳng JA cắt I tại
3 1
điểm E. Đường thẳng BE kéo dài cắt đường thẳng AC tại điểm K ; . Biết rằng phương trình các đường
2 2
thẳng AB : x 3y 4 0, BC : x y 4 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của ABC .
8 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
A
Ta thấy AB và AC là các tiếp tuyến kẻ từ A tới I do đó
ABE BJE EAK; KCE EBK AEK ∽ BAK đồng thời
CEK ∽ BCK nên KA2 KE.KB KC 2 .
Do đó K là trung điểm của AC.
Ta có tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
AB : x 3y 4 0
B 4;0
BC : x y 4 0
Ta có: A 4 3a;a ,C c; c 4 . K là trung điểm của AC nên ta
E
K
B
C
có hệ phương trình:
4 3a c 3 a 1
a c 4 1 c 2
I
Do đó ta có: A 1;1 , C 2; 2 .
J
Bài 17: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi P 5; 4 là một điểm nằm trên cung
nhỏ AC của đường tròn tâm B bán kính AB. Đoạn thẳng BP cắt đường tròn đường kính AB tại điểm
17 14
K ; . Biết rằng hình chiếu F của P trên đường thẳng AB nằm trên đường thẳng : x y 11 0 và có
5 5
hoành độ nhỏ hơn 6. Tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD.
Kéo dài AK cắt đường tròn B; AB tại điểm E. Ta dễ dàng chứng minh
được K là trung điểm của AE vì BK AK . Khi đó APE cân tại P do đó:
1
PAK PEA ABP . Mặt khác theo tính chất góc giữa tiếp tuyến và dây
2
1
cung ta có FAP ABP do đó AP là phân giác trong của FAK cho nên
2
ta có FAP KAP PF PK . Do đó ta tìm được F 5;6 .
A
F
D
P
K
Do đó ta có: AD : y 6, AK : 4x 3y 22 0 A 1;6 .
Vậy: AB : x 1, KP : 3x 4 y 1 0 B 1;1 .
FA FA 4
4
Ta có:
AF AD D 6;6 .
AD AB 5
5
Vì ABCD là hình vuông nên: AB DC C 6;1 .
C
B
E
Bài 18: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và phương trình đường
thẳng AB : 4x y 3 0 .. Trung điểm BC là M 4;1 . Đường thẳng qua H và vuông góc với MH cắt đường
16 13
thẳng AB và AC tại E và F ; . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng E có hoành độ nhỏ hơn 1.
3 3
9 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Gọi D là điểm đối xứng với A qua tâm ngoại tiếp tam giác ABC,
ta có M là trung điểm HD. Ta có BHCD là hình bình hành. Nên
HBD HCD . Các tứ giác BHDE và DHFC nội tiếp do đó
HBD HED, HCD HFD hay HED HFD .
Vậy DEF là tam giác cân tại D. Có DH vuông góc EF nên H là
trung điểm FE và ME = MF.
Đường tròn tâm M bán kính MF cắt đường thẳng AB tại
E.
H là trung điểm FE nên tìm được H.
Viết đường thẳng HC qua H vuông góc AB.
F
H
Gọi B b AB, C c CH . Giải phương trình M là trung
A
điểm BC tìm được B và C.
Đường thẳng BE và đường thẳng CF cắt nhau tại A.
B
C
M
E
D
Bài 19: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tâm đường tròn ngoại tiếp I 6;6 và tâm
đường tròn nội tiếp là J 4; 5 . BJ và CJ cắt đường tròn I tại M và N. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
biết đường thẳng MN có phương trình là 8 x 6 y 59 0 và đỉnh B có hoành độ nhỏ hơn hoành độ điểm C.
A
M
K
N
J
I
B
C
Do NJA NAJ NJA cân tại N. lại có NM là phân giác ANC nên A
và J đối xứng với nhau qua đường thẳng MN
Do đó dễ dàng xác định điểm A qua phép đối xứng trục MN như sau:
6 xA 4 8 y A 5 0
88 116
A ;
xA 4
yA 5
25 25
6
59 0
8
2
2
Đường thẳng AJ: 3x 4 y 8 0
Gọi D là giao điểm của AJ với đường tròn(I)
Phương trình đường tròn (I) là: x 6 y 6 8
2
D
2
Toa độ D là nghiệm của hệ:
4y 8
3 x 4 y 8 0
x
D 8;8
3
2
2
x 6 y 6 8 25y 2 316 y 928 0
Phương trình đường tròn tâm J bán kinh JD là: x 4 y 5 25
2
2
Do DJ= DB =DC nên B và C là giao điểm của đường trong tâm J bán kính JD với đường tròn (I)
x 6 2 y 6 2 8
y 24 2 x
44 32
2
B 8;8 ; C ;
Do đó tọa độ của B và C là nghiệm của hệ:
2
2
5 5
x 4 y 5 25 5x 84 x 352 0
Bài 20: Trong mặt phẳng với trục tọa độ Oxy cho hình bình hành ABCD có A 1; 3 và AB BD . Gọi N là
11 3
điểm đối xứng của C qua D và H ; là hình chiếu vuông góc của N trên BC. Tìm tọa độ các đỉnh B, C,
5 5
10 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
D biết D thuộc đường thẳng 2 x y 3 0 .
A
Ta thấy tứ giác ABDN là hình chữ nhật do đó 5 điểm
A;B;H;D:N cùng thuộc 1 đường tròn đường kính AD
Do đó AH DH
Phương trình đường thẳng DH đi qua H và vuông góc
với Ah nên có phương trình: 4 x 3 y 7 0
B
4 x 3 y 7 0
D 1; 1
D là nghiệm của hệ:
2 x y 3 0
Đường tròn đường kính AD có phương trình:
H
x2 y 1 5
2
C
D
N
Đường thẳng BC đi qua H và song song với AD nên có
phương trình: 2 x y 5 0
x2 y 12 5 y 5 2 x
2
B 1; 3
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:
5x 16 x 11 0
2 x y 5 0
Bài 21: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn có
tâm I 2;0 . Một đường tròn có tâm K tiếp xúc với AB tại B và đi qua C cắt đường thẳng AC tại điểm D. Biết
rằng đường thẳng BD : 5x y 20 0 và điểm A nằm trên đường thẳng : x 3 y 10 0 . Tìm tọa độ các
đỉnh A và B biết rằng đỉnh B có hoành độ là một số nguyên tố.
Ta có: IAB 900 DCB , mặt khác AB là tiếp tuyến của K do đó ABD DCB
A
do đó IAB ABD 900 do đó IA BD . Do đó IA : x 5y 2 0 A 7;1 .
D
Vậy tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
I ; IA : x 2 2 y 2 26
B 3; 5
BD : 5x y 20 0
E
I
B
C
K
Bài 22: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn
: x 2 y 1 25 có tâm I. Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của A và B lên BC và AI. Biết phương
trình đường thẳng DE : 2x y 1 0 và đường thẳng AC đi qua điểm P 9; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh B và C
2
2
biết rằng các điểm A và D có hoành độ âm.
Kẻ đường cao BK của tam giác ABC. Ta có tứ giác AEDB là tứ
A
giác nội tiếp nên BAD BED . Mặt khác tứ giác ABEK nội tiếp
K
nên EAK KBE 90 ABC BAD BED KBE DE // BK.
Vậy DE AC . Do đó: AC : x 2 y 5 0 .
0
Tọa độ của A và C là nghiệm của hệ phương trình:
: x 2 2 y 12 25 A 1; 3
AC : x 2 y 5 0, xA 0 C 7;1
Phương trình đường tròn đường kính AC là:
: x 3 y 1
2
2
E
P
I
B
D
20
11 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
C
: x 3 2 y 12 20
D 1;1 .
Tọa độ D:
DE : 2 x y 1 0, xD 0
CD : x 1 0, B C
B 1; 5 .
Phương trình đường thẳng CD : x 1 0 do đó tọa độ B:
2
2
: x 2 y 1 25
Bài 23: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và E lần lượt là các tiếp điểm của
đường tròn nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AB và AC. Biết rằng
DE : x 7 y 35 0
và
11
và trung điểm của cạnh BC là M 11; . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biết rằng trung
2
bình cộng các giá trị hoành độ và tung độ của B lớn hơn 10.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC và gọi H là giao điểm
A
AB : 4x 3y 65 0
của BI và DE. Tứ giác ADIE nội tiếp nên: EAI EDI .
EHI 1800 HDB DBH 1800 900 EDI
A B C
B
900
2 2
2
E H
D
Do đó: EHI ECI cho nên tứ giác EHCI nội tiếp. Vậy: IHC 90 .
0
Vậy: MH MB MC IHM IBM IBA MH // AB.
Do đó ta có: MH : 8x 6 y 55 0 .
I
MH : 8x 6 y 55 0
7 9
Tọa độ của H là nghiệm của hệ:
H ;
2 2
DE : x 7 y 35 0
Do đó tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình:
B
C
M
2
2
11 625
M; MH : x 11 y
2
4 B 23;9 . Vì M là trung điểm của BC nên ta tìm được C 1; 2 .
AB : 4x 3y 65 0, x y 20
B
B
Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, các đường cao AK và
CD. Biết rằng : x 2 y 2 5 là đường tròn ngoại tiếp tam giác DHK, trung điểm của AC là điểm P 7; 5
2
và đường thẳng BC đi qua điểm Q 1; 4 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng điểm D có hoành độ
lớn hơn tung độ.
Ta có I và P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam
giác BHK, AKC do đó các tam giác IBK và APK cân tại I và
A
P. Do đó: IKB IBK , AKP PAK . Mặt khác: KAP IBK
(góc có cạnh tương ứng vuông góc). Do đó: IKB AKP .
Mà IKB IKH 900 AKP IKH 900 IK PK .
Theo định lý Pithagore: PK IP 2 IK 2 3 5 .
Do đó tọa độ của D và K là nghiệm của hệ phương trình:
: x 2 2 y 2 5, x y
D 4; 1
D
D
2
2
P; PK : x 7 y 5 45 K 1; 2
P
D
H
I
B
K
Q
C
12 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
: x 2 2 y 2 5
B 1; 2
Do đo ta có: KQ : x 1 0 . Tọa độ của B là nghiệm hệ:
KQ : x 1 0, B K
KQ : x 1 0, C K
C 1;8 . P là trung điểm AC nên A 13; 2 .
Tọa độ của C là nghiệm của hệ:
2
2
P; PK : x 7 y 5 45
Bài 25: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có E;F là chân đường vuông góc hạ từ B
và C lên đường phân giác trong góc A, điểm K là giao điểm của các đường FB và CE. Tìm tọa độ đỉnh A có
1
hoành độ nguyên nằm trên đường thẳng: 2 x y 3 0 và E 2; 1 ; K 1; .
2
Ta sẽ chứng minh AK BE như sau:
BE AD
KB KE BE
CF BE
(1)
Do
KF KC CF
CF AD
Lại có ABE đồng dạng với ACF (g.g)
BE AE
(2)
CF AF
KB AE
Từ (1);(2)
AK BE
KF AF
Mà BE AD AK AD .
A
K
E
C
B
D
F
Do A nằm trên đường thẳng 2 x y 3 0 nên A a; 2a 3 Do AK AE AK.AE 0
5
5
Có: AK 1 a; 2a ; AE 2 a; 2a 2 AK.AE 0 1 a 2 a 2a 2a 2 0
2
2
a 1
a 2 a 2 4 a 2 9 a 5 0 5a 2 8 a 3 0
. Do A có hoành độ nguyên nên A 1; 1
a 3
5
Bài 26: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn I có AC AB .
3
Gọi D 2; là chân đường phân giác trong góc A. E 1;0 là điểm thuộc đoạn AC sao cho AB AE . Tìm
2
tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết I có phương trình: x2 y 2 x 2 y 30 0 và A có hoành độ dương.
Gọi H là giao điểm của AI với đường DE.
A
Ta có ABD ADE(c.g.c) nên ABC AED
Mà tam giác IAC cân tại I nên:
HAE ACI
E
I
1800 AIC
900 ABC
2
AHE 1800 AED HAE 1800 900 900
H
B
D
M
C
Do đó AI vuông góc với đường thẳng DE. Đây là tính chất hình
học quan trọng cần phải tìm ra trong bài toán này. Đến đây
công việc trở nên đơn giản hơn như sau:
F
13 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
1
5 5
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm I ;1 ; R
. Phương trình đường thẳng (DE): x 2 y 1 0
2
2
Đường thẳng AI đi qua I và vuông góc với đường DE: (AI): 2 x y 2 0
A là giao điểm của AI với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC do đó tọa độ của A là nghiệm của hệ phương
y 2x 2
2 x y 2 0
trình: 2
2
x1 2
2
x y x 2 y 30 0 5x 5x 30 0
x2 3
Do điểm A có hoành độ dương nên A 2;6 Đường thẳng (AD): x 2 0
Do AD là phân giác của góc BAC mà AB AE do đó E đối xứng với B qua đường thẳng AD
yB 0
Do đó EB.AD 0 và trung điểm của EB thuộc đường AD do đó : 1 xB
B 5;0
20
2
Phương trình đường thẳng (AE): 2 x y 2 0 . Gọi F là giao điểm của AD với đường tròn (I) nên tọa độ điểm
x 2
x 2 0
y 6 Do A 2;6 nên F 2; 4
F là nghiệm của hệ: 2
2
x y x 2 y 30 0
y 4
Phương trình đường (BC) đi qua F và vuông góc với IF do đó (BC): x 2 y 10 0
x 2 y 10 0
14 22
C ;
C là giao điểm của BC và AE nên tọa độ của C là nghiệm của hệ:
3
3
2 x y 2 0
Bài 27: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh C 4; 3 và M là một điểm
nằm trên cạnh AB M A, M B . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, C lên DM và I là giao điểm
của CE và BF. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, D biết I 2; 3 và đỉnh B nằm trên đường thẳng x 2 y 10 0 .
M
A
B
E
I
G
J
F
D
Ta có: ADE DCF ( cùng phụ với góc FDC) do đó
AED DFC AE DF
MAE EAC 450
Ta có: BDF MDA 450 EAC BDF lại có BD AC
MAE MDA
EAC FDB FBD ECA tứ giác BIGC nội tiếp
Mà BGC 900 BIC 900 IB IC
Ta có phương trình đường thẳng (IB): x y 5 0
C
x y 5 0
20 5
B ;
Do đó B là nghiệm của hệ:
3
x 2 y 10 0
3
14 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
4 7
25
Gọi J là trung điểm của BC J ; . Phương trình đường thẳng (JG) có phương trình: 8x y
0
3
3 3
2
2
4
7
260
Đường tròn đường kính BC có phương trình: x y
. G là giao điểm của đường thẳng JG
3
3
9
với đường tròn đường kính BC nên tọa độ của G là nghiệm của hệ:
2
2
4
7
260
x y
3
3
9 G 2; 23 ; G 2 ; 3
1
3 23
25
8 x y 3 0
2
Do G và I nằm cùng phía so với đường thẳng BC nên G ; 3
3
16 16 23
Do G là trung điểm của AC và BD nên A ;9 ; D ;
3 3 3
Bài 28: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của cạnh CD. I là
một điểm trên cạnh AB sao cho AB = 4IB. Gọi H là hình chiếu của C trên BM, K là trung điểm của HM. Đường
39 3 23 5
thẳng CK kéo dài cắt AD tại J. Biết K ; , J ; , phương trình đường thẳng DI: 7 x y 20 0 . Tìm
9
10 10 9
tọa độ các đỉnh của hình vuông biết rằng D có tọa độ nguyên.
I
A
B
Gọi E là trung điểm của HC. Ta có KE // MC, IB // MC và KE = IB =
1
2
MC nên KEBI là hình bình hành do đó IK // BE. Vì EK // MC, MC BC
nên KE BC. Ta lại có CE BK nên E là trực tâm tam giác BCK.
Vậy BE CK. Vậy IK JK.
5 5
11x 7 y 45
I ;
Tọa độ I là nghiệm của hệ
7 x y 20
2 2
J
K
E
C
D
a
AD
cos ̂ =
DI
H
AD
AD2 AI 2
Đặt nAD a; b
4
.
5
31
7a b
4 nAD .nDI
a b
17
5 n n
a2 b2 50
a b
AD
DI
31
266
b AD : 31x 17 y
0 . Vì tọa độ D nguyên nên đường thẳng này không thỏa mãn.
17
3
x y 2
D 3; 1
Với a b nAD 1;1 AD : x y 2 0 . Tọa độ D là nghiệm của hệ:
7 x y 20
x y 2
3
AB : x y 0 . Tọa độ A là: x y 0 A 1;1 . AI 4 AB B 3; 3 ; AD BC C 5;1
15 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Bài 29: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D 2; 2 và
22 14
CD 2AB . Gọi H là hình chiếu vuông góc của D trên đường chéo AC. Điểm M ; là trung điểm HC.
5 5
Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C biết đỉnh B nằm trên đường thẳng x 2 y 4 0 .
Gọi G là trung điểm của DH. Ta có Tứ giác ABME là
B
A
hình bình hành AE DM MD BM MD.BM 0
a4
Do B x 2 y 4 0 B a;
. Do đó:
2
x-2y+4=0
H
I
M
G
C
D
12 22 5a 4 8 5a
0 a 4 B 4; 4
5 5 5 10
IB AB 1
ID 2IB . Đương thẳng
ID CD 2
BD: y x . Do I nằm trên đường thẳng BD nên I b; b .
Có: AB CD
10 10
Do ID 2 BI I ; . Đường thẳng AC đi qua 2 điểm I và M có pt: x 2 y 10 0 . Đường thẳng DH đi
3 3
qua D và vuông góc với AC có phương trình: 2 x y 2 0 . Điểm H là giao điểm của AC và DH do đó tọa độ
H là nghiệm của hệ:
2 x y 2 0
14 18
H ; . Do M là trung điểm CH nên C 6; 2 . Do
5 5
x 2 y 10 0
DC 2 AB A 2; 4 .
Bài 30: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H 1; 2 là hình chiếu vuông góc
9
của A lên BD. Điểm M ; 3 là trung điểm của cạnh BC. Phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của
2
tam giác ADH là 4 x y 4 0 . Xác định tọa độ đỉnh D.
A
D
K
F
H
B
M
C
Gọi K là trung điểm của AH.
Ta có KF là đường trung bình của tam giác HAD
1
1
1
KF AD lại có BM BC AD nên tứ giác
2
2
2
KFMB là hình bình hành. Do BM AB nên KF AB suy
ra K là trực tâm tam giác ABF BK AF MF AF
15
Do đó đường thẳng MF có phương trình: x 4 y 0
2
15
1
x 4 y 0
F ;2
Điểm F là nghiệm của hệ:
2
2
4 x y 4 0
Do F là trung điểm của DH nên D 0; 2
Bài 31: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình vuông ABCD. Gọi M 1; 3 là trung điểm cạnh BC,
3 1
N ; là điểm trên cạnh AC sao cho AC = 4AN. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông biết D nằm trên
2 2
đường thẳng x y 3 0 .
16 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
A
B
G
N
M
I
K
x-y-3=0
D
C
Gọi K là trung điểm của ID
Chưng minh tương tự bài tập trên ta được tứ giác NKCM
là hình bình hành nên MN // CK.
Mà CK DN. Do đó DN MN.
1 5
DN.MN 0 D ;
2 2
Kéo
dài
MN
cắt
AD
tại
G,
ta
có:
GA NA NG 1
1
1
1
GA CM DA, NG NM
CM NC NM 3
3
6
3
7 1
1
Do NG MN G ;
3
3 3
169 53
5
Do AG GD A
;
6
36 36
Do AN
241 29
143 14
1
AC C
; và AB DC B
;
4
12 12
9 9
Bài 32: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Biết rằng điểm C nằm trên đường
thẳng 2 x y 5 0 và A 4;8 . Gọi M là điểm đối xứng của B qua C, N 5; 4 là hình chiếu vuông góc của
B trên DM. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.
A
Ta có 5 điểm A;B;C;N:D cùng thuộc đường tròn
đường kính AC nên AN CN
Phương trình đường (CN): 3x 4 y 31 0
B
2x+y+5=0
D
C
Do đó điểm C là nghiệm của hệ:
3x 4 y 31 0
C 1; 7
2x y 5 0
Do tứ giác ACMD là hình bình hành AC DM do
đó đường thẳng DM có phương trình: 3x y 11 0
Đường
N
tròn
2
M
đường
kính
AC:
2
3
1 125
x y
2
2
2
Điểm D là giao điểm của DM và đường tròn đường
kính AC nên D là nghiệm của hệ:
2
2
3
1 125
x y
2
2
2 D 1;8
3x y 11 0
Do AB DC B 4; 7
Bài 33: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I . M 5; 4 là một
điểm thuộc đường tròn I . Qua M kẻ các đường vuông góc MD, ME, MF tới AB, BC, CA. Biết tọa độ các điểm
D 1;6 , E 1,2 và điểm F thuộc đường thẳng 2 x y 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C.
17 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Tứ giác BEMD, CFEM nội tiếp nên: DBM DEM , MCF 1800 FEM .
A
Tứ giác ABMC nội tiếp do đó: DBM MCF .
Vậy: DEM 1800 FEM , do đó: D, E, F thẳng hàng.
DE : x 1
Ta có: DE : x 1 do đó F:
F 1; 2 .
2 x y 0
Phương trình đường thẳng AB : 2x y 4 0 , AC : 2x 3y 4 0 ,
BC : 2x y 4 0 . Do đó ta tìm được tọa độ các điểm:
A 2;0 , B 0; 4 , C 4; 4
F
E
B
C
D
M
Bài toán ngược: Chứng minh rằng nếu FD cắt BC tại E thì ME BC .
Chứng minh: Tứ giác ADMF nội tiếp do đó MAB MFD . Vì cùng chắn cung BM do đó MAB MCE .
Vậy MFD MCE . Do vậy tứ giác MEFC nội tiếp. Do vậy: MEC MFC 900 hay ME BC .
Bài 34: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn I . Điểm M thuộc
2 11
cung BC không chứa A và không trùng với B và C. Gọi H 1; 4 và K ; lần lượt là hình chiếu của M trên
5 5
AB và AC. Phương trình đường thẳng BC : x y 1 0 và khoảng cách từ M đến BC bằng 2 2 . Tìm tọa độ
đỉnh A biết rằng M có hoành độ dương.
Gọi E là hình chiếu của M trên BC nên ME 2 2 . Do tứ giác HMEB
A
nội tiếp nên HEM HBM .
Tứ giác ABMC nội tiếp nên HBM MCA HEM MCA 1 .
Mà tứ giác EMCK nội tiếp nên MEK MCK 1800 2 . Từ 1 và 2
K
MEK HEM 1800 do đó 3 điểm H, E và K thẳng hàng.
Ta có: Phương trình đường thẳng HK : 3x y 1 0 . Tọa độ điểm E
HK : 3x y 1 0
là nghiệm của hệ phương trình:
E 0;1 .
BC : x y 1 0
Đường thẳng ME đi qua E và vuông góc với BC nên phương trình
đường thẳng ME : x y 1 0 .
E
B
C
H
M
a 2
M 2; 3 .
Do M thuộc đường thẳng ME nên M a; a 1 , a 0 . Do ME 2 2 nên a2 a2 8 1
a2 2
Đường thẳng AB đ i qua H và vuông góc HM nên: AB : x y 3 0 . Đường thẳng AC đi qua K và vuông góc
AB : x y 3 0
KM nên AC : 2x y 3 0 . Tọa độ Điểm A là nghiệm của hệ:
A 0; 3 .
AC : 2x y 3 0
Bài 35: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D và E là các hình chiếu vuông góc của B
và C trên AC và AB. Gọi N và P là hình chiếu của E trên BC và AC. Gọi M là giao điểm của NP và BD. Biết
8 11
19 19
rằng tọa độ các điểm E ; , M ; và C 4;1 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
5 5
10 10
18 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Tứ giác EPCN nội tiếp do đó ENP ECP . Tứ giác EBCD nội tiếp do đó
A
ECP EBM . Vậy ENP EBM nên tứ giác EBNM nội tiếp.
P
D
Do đó EMB ENB 900 hay ME BD .
Đường thẳng BD qua M vuông góc EM là: BD : x y 0 .
E
Đường thẳng AC qua C vuông góc BD là: AC : x y 5 0 .
Đường thẳng AB qua E vuông góc CE là: AB : 2x y 1 0 .
M
B
C
N
AB : 2x y 1 0
Tọa độ của A là nghiệm của hệ:
A 2; 3 . Tương tự ta tìm được tọa độ đỉnh B 1;1 .
AC : x y 5 0
Bài toán tư duy: Tại sao ta chứng minh được: ME BD ?
Trả lời: Vì 4 điểm E, D, C , B cùng thuộc một đường tròn, do đó khi N và
P là hình chiếu của E trên BC và AC, đồng thời M là giao điểm của NP và
BD thì theo Bài toán ngược Bài 33, ta chứng minh được ME BD .
Mở rộng: Nếu ta dự đoán M , N , O thẳng hàng, ta kẻ các đường thẳng
a , b, c lần lượt qua M , N , O vuông góc với LM , LN , LO . Khi đó các
đường thẳng a , b, c đôi một cắt nhau tại P,Q, R , ta chứng minh tứ giác
LQPR là tứ giác nội tiếp. Khi đó M , N , O sẽ thẳng hàng.
c
a
P
O
b
Q
N
R
M
L
Bài 36: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa cạnh BC là
x 2 y 4 0 . Gọi D, E lần lượt là hình chiếu vuông góc của B lên AC, AI với I là tâm đường tròn ngoại tiếp
tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết D 2; 2 , E 1; 4 và đỉnh B có hoành độ âm.
Gọi M là trung điểm của BC. Do tứ giác ADEB và BEIM nội tiếp nên:
1
DEB 1800 BAD 1 và BEM BIM BM 2 .
2
1
Mặt khác theo tính chất góc ở tâm: BIM BIC BAD 3 .
2
A
D
E
I
Từ 1 , 2 và 3 ta có: DEB BEM 1800 . Vậy: Ba điểm D, E và
M thẳng hàng. Ta có phương trình đường thẳng: DE : 2x y 2 0
do đó ta tìm được tọa độ điểm M 0; 2 . Vậy ta viết được đường
B
M
C
tròn: M; MD : x2 y 2 20 .
2
M ; MD : x2 y 2 2 20
B 4; 4 ; C 4;0 . Ta có
tọa độ các điểm B và C là nghiệm của hệ phương trình:
BC : x 2 y 4 0, xB 0
phương trình đường thẳng AD đi qua hai điểm C và D là: AD : x y 4 0 , phương trình đường thẳng AE
qua E vuông góc BE: AE : x 1 0 . Từ đó ta tìm được tọa độ điểm A 1; 5 .
Bài 37: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC có tọa độ đỉnh C 3;1 và đường cao AH.
7 9
Gọi I và K là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. Đường thẳng IK cắt đường thẳng AB tại điểm E ; .
5 5
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh B nằm trên đường thẳng x y 2 0 và đường thẳng
chứa cạnh AC đi qua M 4; 1 .
19 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
Vì AE là trung trực của IH do đó AIE AHE và AI AH .
A
K
Vì AC là trung trực của HK do đó AH AK , AKC AHC 90 .
0
E
Vậy: AI AK do đó AIK cân tại A. Do vậy: AIE AKE .
Như vậy: AKE AHE như vậy tứ giác AEHK nội tiếp đường tròn
đường kính AC. Khi đó 5 điểm: A, E, H , K , C cùng thuộc đường
I
M
tròn đường kính AC. Do vậy: AEC AHC 900 . Vậy CE AB .
Khi đó ta viết được phương trình đường thẳng EB qua E vuông
B
góc CE là: EB : 2x y 1 0 . Từ đó tìm được điểm B 1;1 .
C
H
Phương trình đường thẳng AC qua C và M là: AC : 2x y 7 0 . Từ đó tìm được tọa độ điểm A 2; 3 .
Bài toán ngược: Nếu I, K là các điểm đối xứng với H qua AB,
AC, đồng thời F và E lần lượt là các hình chiếu của B và C trên
AC và AB. Khi đó ta có 4 điểm I , E, F , K cùng nằm trên một
đường thẳng.
Chứng minh: Vì AEC AHC AKC 90 nên 5 điểm:
A, E, H , K , C cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
K
A
F
E
0
I
Do đó: AEK AHK . Mặt khác vì Vì AE là trung trực của IH
do đó AEI AEH 1800 AKH 1800 AHK .
B
C
H
Như vậy: AEK AEI 180 . Khi đó 3 điểm I , E, K thẳng hàng.
Tương tự ta có 3 điểm I , F , K thẳng hàng. Do đó
0
Bài 38: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho tam giác ABC nhọn. Gọi D 2; 4 là một điểm thuộc cung
nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC sao cho D cách đều hai đường thẳng AB và AC. Gọi K 2; 9
là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, các điểm E và F là hình chiếu của D lên hai đường thẳng AB và AC. Biết
rằng EF cắt BC tại M 1; 2 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh B có hoành độ dương.
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC nên theo thích chất của
A
phân giác ngoài và phân giác trong ta có các góc IBK ICK 900 .
Như vậy tứ giác IBKC nội tiếp đường tròn đường kính IK.
Mặt khác DBI DBM IBM , BID IBA IAB đồng thời tứ giác ABDC
nội tiếp nên IAB IAC DBM , IBM IBA cho nên IBD BID , ta có tam
giác IBD cân tại D. Tương tự ta cũng có tam giác ICD cân tại D. Vậy
DI DB DC nên D là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác IBKC hay nói
cách khác D là trung điểm IK. Như vậy ta có tọa độ điểm I 2;1 .
Mặt khác theo Bài toán ngược của Bài 33, ta có MD BC do đó ta viết
được phương trình đường thẳng BC : x 2y 5 0 .
I
B
E
F
M
C
D
Ta có phương trình đường tròn: D; DI : x 2 y 4 25 . Tọa độ
2
2
D; DI : x 2 2 y 4 2 25 B 5;0
của B và C là nghiệm của hệ:
BC : x 2 y 5 0, xB 0
C 3; 4
2
K
2
1
125
Đường tròn ngoại tiếp DBC là: J : x y 1
.
2
4
20 BÀI TẬP HÌNH HỌC PHẲNG OXY – ĐOÀN TRÍ DŨNG – 0902.920.389
- Xem thêm -
.PDF 
22 
871 
72 
