Tài liệu Tuyển tập 100 bài toán hệ phương trình hay

Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com TUYỂN TẬP 100 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LTĐH NĂM HỌC 2014-2015  NHÓM GIÁO VIÊN THỰC HIỆN 1) PHẠM VĂN QUÝ 2) NGUYỄN VIẾT THANH 3) DOÃN TIẾN DŨNG ĐƠN VỊ CÔNG TÁC: TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG, TX ĐỒNG XOÀI, TỈNH BÌNH PHƯỚC  2 x 12  y  y(12  x )  12 (1) (x, y  R) Bài 1 Giải hệ phương trình:  3 x  8x  1  2 y  2 (2)   2  y  12  2  y  12   Điều kiện :   12  x 2  0  2 3  x  2 3     Giải Cách 1: Đặt a  12  y , a  0  y  12  a 2 PT (1)  xa  (12  a 2 )(12  x 2 )  12  122  12x 2  12a 2  x 2a 2  12  xa  xa  12   2 12  12x 2  12a 2  x 2a 2  122  2.12.xa  x 2a 2  xa  12   2 12x  2.12xa  12a 2  0  xa  12   (x  a )2  0  Ta có (x – a)2 = 0  x = 12  y (*) Thế (*) vào (2) được : (12  y ) 12  y  8 12  y  1  2 y  2  (4  y ) 12  y  2 y  2  1  (3  y ) 12  y  12  y  3  2  2 y  2  0  (3  y ) 12  y  3 y 12  y  3  2(3  y ) 1 y 2 0  y  3   1 2   0(vo nghiem)  12  y      12 y 3 1 y 2  (ĐH khối A – 2014) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x  3 Vậy  y  3  Cách 2: Ta có x 12  y  (12  x 2 )y  x Dấu “=” xảy ra  12  y 2 x 2   12  x 2 12  y  y   12 12  y   x y  (12  y )(12  x 2 ) (3) y Khi đó (1) tương đương với (3) x  0 x  0 x  0     2 2 2 2   y  12  x 2 (4)       144 12 12 12 144 12 x y x y x y y x    (3)   Thế (4) vào (2) ta có (2)  x 3  8x  1  2 10  x 2  x 3  8x  1  2 10  x 2  0    x 3  8x  3  2 1  10  x 2  0      x  3 x 2  3x  1  2.  x  3 x 2  3x  1  2. 1  (10  x 2 ) 1  10  x 2 9  x2 2 0 0 1  10  x  2(x  3)   x  3 x 2  3x  1  0  1  10  x 2   x  3   2 2(x  3)  0 (vo nghiem vì x x  3x  1  2 1  10  x  x 3y 3 x  3 Vậy  y  3  Cách 3:     Đặt a  x ; 12  x 2 ;b    a  b  12 2 2  12  y ; y  (1)  a  b  2a.b    a  b  x  12  y (2)  x 3  8x  3  2 10  x 2  2   0) Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com    x  3 x 2  3x  1  2 3  x 3  x  10  x 2  1 x y 3 x 2   3x  1  10  x 2  1  2 3  x   0   Đặt f x   x 2  3x  1 10  x 2  1  2 3  x  f ' x   0 x  0  phương trình vô nghiệm. Vậy nghiệm của hpt trên: (3;3) (1  y ) x  y  x  2  (x  y  1) y  Bài 2 Giải hệ phương trình:  2 (ĐH khối B – 2014) 2y  3x  6y  1  2 x  2y  4x  5y  3  Giải  y  0    Điều kiện: x  2y  4x  5y  3   Phương trình thứ nhất viết lại thành (1  y ) x  y  (1  y )  (x  y  1)  (x  y  1) y y  1 (1  y )(x y 1) y 1   (x  y  1)   x y 1 y 1 x  y  1 TH1 : y  1 thay xuống (2) ta có 9  3x  2 x  2  4x  8  x  3(TM ) TH2 : x  y  1 thay xuống (2) ta có 2y 2  3y  2  2 1  y  1  y  2y 2  3y  2  1  y  0  2(y 2  y  1)  (y  1  y )  0   1   (y 2  y  1) 2    0  y  1  y  y 5 1 x  2 Vậy hệ đã cho có nghiệm : (x ; y )  (3;1),( 5 1 (TM ) 2 5 1 5 1 ; ). 2 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  y(x 2  2x  2)  x (y 2  6)  Bài 3 Giải hệ phương trình:  (y  1)(x 2  2x  7)  (x  1)(y 2  1)   Giải ĐK: x , y  R b(a 2  1)  (a  1)(b 2  6) a  x  1  (a  1)(b 2  6)  b(a 2  1) (*)  Đặt  , ta có hệ trở thành:    2 2 2 2 b  y  (b  1)(a  6)  a(b  1)   (b  1)(a  6)  a(b  1)(**)  Trừ vế theo vế hai phương trình rồi thu gọn ta có: a  b (a  b)(a  b  2ab  7)  0   a  b  2ab  7  0  Trường hợp 1: a  b thay vào phương trình (*) ta có: a  2 (a  1)(a 2  6)  a(a 2  1)  a 2  5a  6  0   a  3 x  1    hệ có 2 nghiệm (x; y) là:  x 2   Trường hợp 2: a  b  2ab  7  0 2 2   5 5 1 Trừ vế theo vế hai phương trình (*) và (**) rồi rút gọn ta có: a    b    2  2  2   a  b  2ab  7  0    2 2 Vậy ta có hệ phương trình:     a  5   b  5   1     2  2  2  a  2 a  3 a  2 a  3 Đây là hệ đối xứng loại I, giải hệ ta có các nghiệm:  ;  ;  ;  b  2 b  3 b  3 b  2     Từ đó ta có các nghiệm (x; y) là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2). Kết luận: Hệ phương trình có 4 nghiệm là: (1;2),(2; 3),(1; 3),(2;2).  x 3  12x  y 3  6y 2  16  0   Bài 4 Giải hệ phương trình:  2 4x  2 4  x 2  5 4y  y 2  6  0   Giải ĐK: x  2;2 , y  0; 4 Ta có PT (1)  (x  2)3  6(x  2)  y 3  6y 2 Xét hàm số f (t )  t 3  6t, t  0; 4 ta có f '(t )  3t 2  12t  3t(t  4)  0, t  0; 4  f (t ) nghịch biến trên  0; 4 . Mà phương trình (1) có dạng: f ( x  2)  f ( y )  y  x  2 thay vào phương trình (2) ta có: 4x 2  6  3 4  x 2  x  0 từ đó ta có y = 2. Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm (0; 2). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x  2 y  1  3  Bài 5 Giải hệ phương trình:  3 . x  4x 2 y  1  9x  8y  52  4xy  Giải §K: y  1 . x  3  2 y  1  HPT   3 x  4x 2 y  1  4xy  4x  13x  8y  52  0   x  3  2 y  1   x (x  2 y  1)2  13x  8y  52  0      x  3  2 y  1   x  2y  13  0      x  3  2 y  1    y 1  5 y    x  3  2 y  1   y  5  2 y  11y  24  0     x  3 2 y 1  x  7    y  5   y  3  y  3   y  8   x  7 . Kết luận: Hệ phương trình có nghiệm:  y  3   y  2x  y  x  1  0  Bài 6 Giải hệ phương trình:  xy   1  xy  x 2  y 2  0  ĐK: x  0; y  0; xy  1 1  y  2x  2 , ta được: y  x  xy  0   y x 1x2  0  x  1  y  1 KL: hệ pt có tập nghiệm: S  1;1   y  2 x  1  0  y  x  y  x thay vào Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com       2 x 3  y 3 3 x 2  y2    5 x  y   8 xy  xy xy Bài 7 Giải hệ phương trình:    5x  y  5x  1  2  y    2   1 ĐK: x  ; 0  y  2 5 Đặt u  x  y, u  0; v  xy , v  0 khi đó 2  u   u  u   0  u  2  u  2v      1 2 3 2 0 2 2 1 u u v uv v                    v  v v v   3 2  x  y  2 xy  2  3 x y 5x  1  2  x  3x   2  0  x  y thay vào 2 , ta được: 5x  5 5x  1  2    5 1  3x  3  x  1   3  0   5x  1  2 2 x 1 2 x 1 1x x  1  y  1    5 1 1 3 0 ì VN v    x 2  5 5 x  1  2 2  x  1  KL: tập nghiệm của hệ pt là: S  1;1 2  3 2    x  y   x  x  1 1 x   2x  11    2 3y  1  2   y  y x y y Bài 8 Giải hệ phương trình:   x 3  x 2  1 4   1  0 2  y y  ĐK: y  0 2  3 2      y  x  1 x  1 x  y  1x  y   1  0 x  y   x  y   x  y   1  0     Hệ   3     x  1 y  2 x  x 2  1  4y  y 2  0 x 3  x 2  1  4y  y 2  0       KL: S  1;2   4x 2  3xy  7y 2  4 x 2  5xy  6y 2   3x 2  2xy  y 2 Bài 9 Giải hệ phương trình:  2 2 3x  10xy  34y  47   2  2 3x  2xy  y  0 ĐK:  2 4x  3xy  7y 2  0   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Chuyển vế nhân liên hợp ở phương trình 1 , ta được:  x  y n    1  4  0   x 2  5xy  6y 2   4x 2  3xy  7y 2  3x 2  2xy  y 2  x  6y    n  x  1  y  1 Với x  y thay vào 2 , ta được: x 2  1   x  1  y  1  y  47  x  6  82 Với x  6y thay vào 2 , ta được: 82y 2  47    y   47  x  6  82  47 82 47 82    47 47   47 47     KL: S  1;1, 1; 1,  ; 6 ;6  ;    82   82 82   82    x 2  3xy  3 x  y   0 Bài 10 Giải hệ phương trình:  4 x  9y x 2  y  5x 2  0    x 2  3y  3x  3xy Hệ   2 2  x  3y  3x 2y  5x 2  0   x  0  y  0   1 2 2 Thay 1 vào 2 , ta được: x 9y  15y  4  0  y   x  1 3  y  4  x 2  x  4  0  3     1   KL: S  0; 0; 1;    3           2 2  x  2  4 y  1  4xy  13  Bài 11 Giải hệ phương trình:  x 2  xy  2y 2 2   x y   2 x y x  y2   x  y  0  ĐK: x  y  0  x  2y  0    VN Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x 2  4xy  4y 2  4x  8y  5  0  Hệ   x  y  x  2y  x  y  x  y  2 x  2y  1 2 Ta có PT 1  x  2y   4 x  2y   5  0   l  x  2y  5 Với x  2y  1 thay vào 2 , ta được: 3y  1 y  1  1  3y  9y 3  6y 2  13y  0  y  0  x  1 thỏa mãn KL: S  1; 0  2  x  5 x 2  2y  x 2  3  2y Bài 12 Giải hệ phương trình:  x 2  3y  6  ĐK: x  2y     x 2  2y  1 Ta có 2  x 2  6  3y thay vào 1 ta được: 1  5y  6  5y  5y  9  y  1  x   3 thỏa mãn KL: S   3;1;  3;1   x2 y y  1 2    2  1 1 x y    Bài 13 Giải hệ phương trình:   x 2  4y x 2  1  6  5 x 2  1 1        x 2   1 y  1    x  1  x  1  ĐK: y  1   x 2  1  y  1  0   2 a  x  1, a  0 Đặt:  , ta được: b  y  1,b  0    2 b a  b   2  3 a  4ab 2  5a 2b  6   Nhân chéo hai phương trình giải hệ đẳng cấp ta đươc tập nghiệm: S   20y 3  3y 2  3xy  x  y  0 Bài 14 Giải hệ phương trình:  2 2  x  y  3y  1       10;2 ;  10;2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com 3   20y  y 3y  1  x 3y  1  0 Hệ   2 .  x  y 2  3y  1    Thế 2 vào 1 , ta được phương trình thuần nhất bậc 3   3 1   3 1  KL: S  ; ;  ;    2 2   5 5     2 2 x  3y  x  3y  0 Bài 15 Giải hệ phương trình:  2 2  2y  1  2x  y  3x  1  0 ĐK: y  1 2   3y  x  3y  x  y  0 l Ta có PT 1  x 2  3y 2  3y  x   2     6y  6xy  0     x y    Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  1   2 4 3 2 2y  1  y  3y  1  y  6y  11y  8y  2  0  y  2  2 l   y  2  2  x  2  2    KL: S  1;1; 2  2;2  2      2 3 x 4  y 4  2x 2y 2 x y2     2 2 2 Bài 16 Giải hệ phương trình:  y 2 x 2 x y     xy 2  3y 2  4x  8     ĐK: x .y  0 Ta có PT 1  x 2  y 2  2    x 4  x 2y 2  y 4     0  x 2  y 2  x  y    x  y 2  2 2 2 2   x y x  y     Với x  y thay vào 2 , ta được: x  1  y  1  Với x  y thay vào 2 , ta được: y  1  x  1 KL: S  1;1; 1; 1 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   10x 2  5y 2  2xy  38x  6y  41  0   Bài 17 Giải hệ phương trình:  3  x  xy  6y  y 3  x 2  1  2      x 3  xy  6y  0  ĐK:  3  y  x2 1  0    Ta có PT 1  10x 2  2x y  19  5y 2  6y  41  0 . Tính Δ 'x  49 y  1  0  y  1 thay vào 1 được x  2 thỏa hệ phương trình 2 KL: S  2;1   x 3  y 3  x 2y  xy 2  2xy  x  y  0   Bài 18 Giải hệ phương trình:   x  y  x 3  2x 2  y  2    ĐK: x  y  y  x 1 Ta có PT 1  x  y  1 x 2  y 2  x  y   0   2 2 x  y  x  y  0  x  0  y  1 y  x  1 thay vào 2 , ta được: x 3  2x 2  x  0   x  1  y  0  x 2  y2  x  y  0  x  y  0 vì x  y  0 thay vào hệ không thỏa KL: S 1; 0; 0; 1    y 2  8x 2  3  1  3 3 y 2  1 3 y 2  1 Bài 19 Giải hệ phương trình:  2  2 2 2 2 3 2 3 4  3 y  1  2 y  1  12x  y  1  4x  1 1 x  2 2  2 a  3 y  1 Đặt:  , ta có: b  1  4x 2 , b  0   ĐK: b 2 b  3   2   a 3  3a 2  2a  3b 2  b  0  a  b 2  b thay vào 1 , ta được:  3 2 2  a  3a  a  2b  0      3 b 2  b  2 b 2  b  3b 2  b  0  b  0  a  0 .   2 x   1  1  4x  0   Khi đó ta có:  2  3 y  1  0 y  12   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  1   1   1  1   KL: S   ;1;  ; 1;  ;1;  ; 1   2   2    2   2      3x 6  24y 3  2y  x 2 9x 2  18y  11  0  Bài 20 Giải hệ phương trình:  1  3 2 2y  1  x  3 x  6y  1  ĐK: y  0 Ta có PT 1  x 2  2y 3x 4  6x 2y  9x 2  12y 2  18y  1  0 Với x 2  2y thay vào 2 , ta được:    1 2   0 1  2x  1  x  4x  1  x  1   x  1 3 3 2 2  3 3 (4x  1)  4x  1 2x  1  (2x  1)   3 3 1 2 x 1y   1    KL: S  1;    2      2 x  y  2  x  y  xy    xy x y xy Bài 21 Giải hệ phương trình:   1 1  x y  4   y x  ĐK: x  0; y  0 Ta có PT 1     y  x  xy  2  0  x  y  xy  x  y  x 2y 2  2 xy thay vào 2 ta được:  xy  1 xy xy  xy  xy  4  0  xy  1   3 5 x      x y 3 2   Khi đó ta có:    xy 1  3 5     y  2        3  5 3  5  ; KL: thay vào hệ ta có tập nghiệm: S      2 2       x 1 4 4   x 1  0 x  2 y  1  y  1  y  1 Bài 22 Giải hệ phương trình:   y  1x  1 x  1  2 y  1  y  1  2  2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com ĐK: x  1; y  1 a  x  1, a  0 b  2 2  . Ta có 1  b  2  a 2b 2  2ab  ab 2  0   Đặt:  a  0 b  y  1, b  0    x  1  0 x  1  thỏa hệ phương trình     y  5  y  1  2  KL: S  1; 5    x  3 y  1  4 2   x y Bài 23 Giải hệ phương trình:  y  1 1 1    2  3 3x  4y  8 y 1  y  1  ĐK: 2x  y  0  3x  4y  8      2  Ta có 1  x  4y 1    0  x  4y thay vào 2 , ta được:  3 y  2x  y  1 1 1 1     a 2  a 2    a  1 2a 2  a  1  0  a  1 3 2 2 2 2 y 1 y 1  1 1 6 y 1    1    a  6  y  1  1y 2x 8 KL: S  8;2  x  1 1  2y  y  2  0    Bài 24 Giải hệ phương trình sau:  (x , y  ). y y  x  1  x  4  0    Giải Điều kiện: x  1. Đặt t  x  1, t  0. Khi đó x  t 2  1 và hệ trở thành     t(1  2y )  y  2  0  t  y  2ty  2  0  (t  y )  2ty  2  0   2  y(y  t )  t 2  3  0 y  ty  t 2  3  0 (t  y )2  3ty  3  0       t  y  0 y  t   Suy ra 2(t  y )2  3(t  y )  0    3 t  y   y  t  3 .  2 2   Với y  t, ta có 2t 2  2  0  t  1. Suy ra x  2, y  1. Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  3 3 3 3  13 .  Với y  t  , ta có   2t t    2  0  4t 2  6t  1  0  t  2 Suy ra x  2 2   4 19  3 13 3  13 ,y . 8 4 Vậy nghiệm (x; y) của hệ là  (x  2) x 2  4x  7  y y 2  3  x  y  2  0  Bài 25 Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  1  x  y  1  Giải Điều kiện: x 2  y  1  0 Phương trình (1)  (x  2) (x  2)2  3  x  2  y (y )2  3  y 2 2 Xét hàm số f (t )  t t  3  t Có f '(t )  t  3  t2  1  0 t t2  3  Hàm số f(t) đồng biến trên R  Phương trình (1)  x  2  y Thay vào (2) ta có    3 3  x  x    x  x  1  2x  3     2 2  2  2 2 2  1 4 12 9 1 4          12x  9 x x x x x x x       x   3 :    3 2 x       x 1  x  1  y  1 (tmdk)    2  2  3x  13x  10  0 x   10  3 2 Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (-1;-1).  53  5x 10  x  5y  48 9  y  0     Bài 26 Giải hệ phương trình sau:  2  2x  y  6  x  2x  y  11  2x  66  Giải  x  10 10  x  0  9  y  0 y  9 ĐK:    2x  y  6  0 2x  y  6  0   2x  y  11  0 2x  y  11  0 Từ PT(1) ta có 5 10  x   3 10  x  5 9  y   3 9  y , 3      x , y    1 2 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com x Xét hàm số f t   5t 2  3 t trên khoảng t  0;  có f / t   15t 2  3  0, t  0 hàm số đồng biến .Từ (3) ta có f    10  x  f  9  y  10  x  9  y  y  x  1, 4 Thay (4) vào (2) ta được x  7  10  x  x 2  2x  66  0 (5) ĐK: x  7;10 Giải (5) ta được     x  7  4  1  10  x  x 2  2x  63  0  x  9[ 1 x 7 4  1 x 9 x 7 4  x 9 1  10  x  x  9x  7   0  x  7  ]  0  x  9, y  8 1  10  x Vậy Hệ phương trình có nghiệm duy nhất x ; y   9; 8  1y x   x y 1  Bài 27 Giải hệ phương trình sau: 1  1  x 1  y   1  x  4  y  2 2  Giải ĐK: 0  x ; y  1 PT(1)  x x  1 1x 1y 1  1  (1  y )  1  y (*) 1 xét h/s f (t )  t 1  1t  t ; có f (t )  2 t ' (1  1  t )  1 2 1t (1  1  t )2 . t 1 0 ,t  (1; ) vì (*)  f (x )  f (1  y)  x  1  y , thế vào pt(2) ta được : 1  x  5  x  2 2  6  2x  2 5  6x  x 2  8  5  6x  x 2  x  1  5  6x  x 2  (x  1)2  x  1 1 y  2 2 (tmđk)  x  1 2 vậy hệ pt có nghiệm là   1 y  2   27x 3y 3  7y 3  8 Bài 28 Giải hệ phương trình sau:  2 9x y  y 2  6x    Giải Nhận xét y  0, nhân hai vế phương trình thứ hai với 7y, trừ đi phương trình thứ nhất, được (3xy )3  7(3xy )2  14(3xy )  8  0 Từ đó tìm được hoặc 3 xy  1 hoặc 3 xy  2 hoặc 3 xy  4 Với 3 xy  1, thay vào phương trình thứ nhất, được y=1 do đó 1 3 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Với 3 xy  2, thay vào phương trình thứ nhất, được y=0 (loại) Với 3 xy  4, thay vào phương trình thứ nhất, được y=-2 do đó x   2 3  x 3  y 3  4x  2y Bài 29 Giải hệ phương trình sau:  2 x  3y 2  4    Giải 3 3 Phương trình (1)  2(x  y )  4(2 x  y) Từ phương trình (2) thay 4  x 2  3y 2 vào phương trình trên và rút gọn ta được: y  0  x 2y  6xy 2  5y 3  0  x  y  x  5y  x 3  4x TH1 : y  0 thay vào hệ ta được  2  x  2  nghiệm (x; y)  (2; 0)  x 4    2x 3  2x TH2 : x  y  y  x thay vào hệ ta được :  2  x  1 4x  4  Hệ có nghiệm (x; y)  (1; 1); (1;1) TH3 : x  5y thay vào hệ ta có nghiệm (x; y)  ( 5 7 ; 1 7 ); ( 5 7 ; 1 7 ) Vậy hệ đã cho có 6 nghiệm.  y  2 . x  2  x . y  0   Bài 30 Giải hệ phương trình sau:   x  1. y  1  y  3. 1  x 2  y  3x      (x; y  R). Giải x  1; y  0 x 2  y  3x  0  ĐK:  PT (1)  x  2.y  x . y  2 x  2  0 có y  x 2  8 x  2  x  4 2 với y  x 1  2x  4 2 x 2   y  2x  4  2 x 2   2  y    0  loai  4 x 2   y  x  2  y  x  2 , thế vào (1) ta được   2 x  2  1  x  1 1  x 2  2x  2  x  1.( x  2  1)  x  1.  x  1  1 (*)      Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com Xét hàm số f (t )  t   t 2  1  1  t t 2  1  t , có f ' (t )  t 2  1  t2 2 t 1  1  0  f (t ) đồng biến. x  1  Vì PT (*)  f ( x  1)  f (x  1)  x  1  x  1   2  x  3 x  1  x  1  Với x = 3  y  5 (thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (3; 5).  x 2  y 2  1  2x  2y Bài 31 Giải hệ phương trình sau:   2x  y  y  1  2y    Giải Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: x  2 x 2  2xy  1  1  2x  4y  x x  2y   2 x  2y   x  2x  2y   0   x  2y  0 Trường hợp x=2 thay vào (2) ta có y = 1 Trường hợp x+2y = 0 thay vào (2) ta được phương trình vô nghiệm. Vậy hệ có nghiệm x = 2; y = 1.   xy y  1  y 2  1  4y   Bài 32 Giải hệ phương trình sau:  2 1 xy x  2   y2  5 2  y   Giải Điều kiện y  0     1 1   x y  1  y   4 y x  1   x  4     y y (I )     2   y 2 x 2  2x  1  1  5  y 2 x  1  1  5 2 y y2       1 y Đặt u  y x  1  ; v  x  1 ta có hệ  v  5  u u  5 u  3 u  v  5     2    2 u  2v  5 u  2u  15  0 v  10 v  2        y x  1  1  5 y x  1  1  3 hay   y y   x  1  10 x  1  2 x  1  y  1 10y 2  5y  1  0 2y 2  3y  1  0        x  1  y  1 x  9 x  1   2  Vậy hệ có các nghiệm (1;1) và (1; 1/2 ). Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   3 2y   1  2 2  Bài 33 Giải hệ phương trình sau:  x  y  1 x  4x  x 2  y2   22   y   Giải 2 2 Điều kiện: x  0, y  0. và x + y - 1  0.   3 2  2     1  2v  13v  21  0  u v u  21  4v   21 4 u v        2    7 u   x  14   x  3  3 53 hoặc  Với    7    1 y  1 v 2      y4 2    53   x Đặt u = x + y - 1 và v = Hệ phương trình (I) trở thành y 2 2 u  7 u  9   hoặc   v  3 v  7   2   2   x  14  53 hoặc   2   y  4  53     v  3  y  u  9 x + Với      2 2    2 2   .  và 14 Vậy hệ có nghiệm (3;1), (-3;-1), 14 ; 4 ;4    53 53  53 53     x  1  y  1  x 3 (I) . Bài 34 Giải hệ phương trình :  x  14  y    x  1 x  1  0 Điều kiện:    y  0 y  0    2   x  1  x  1  1  x 3 Ta có (I)    x  1 4  y   Từ phương trình : x  1  x  1  1  x 3  x  1  x 3  x 2  2x  2 (1) 2 1;   3 2 Xét hàm số g(x )  x  x  2x  2 . Miền xác định: D  1;  Ta thấy hàm số f (x )  x  1 là hàm đồng biến trên Đạo hàm g / (x )  3x 2  2x  2  0 x  D . Suy ra hàm số nghich biến trên D. Từ (1) ta thấy x  1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm 1; 0 .   3  x 2  2 x  3  y Bài 35 Giải hệ phương trình :  (II). Điều kiện:  3  y 2  2 y  3  x    x  0  y  0   Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com  2  3  x  2 x  3  y Ta có (II)   3  x  3  y 2  2 y  Cộng vế theo vế ta có: 3  x 2  3 x  3  3  y2  3 y  3 (2) Xét hàm số f (t )  3  t 2  3 t  3 . Miền xác định: D  1;  Đạo hàm: f / (t )  t 3  t2 Từ (*) ta có f (x )  f (y )  x  y  3 2 t  1  0 x  D . Suy ra hàm số đồng biến trên D. Lúc đó: 3  x 2  x  3 (3) + VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D. + VP (3) là hàm hằng trên D. Ta thấy x  1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện) Suy ra phương trình có nghiệm x  1 là nghiệm duy nhất. Vậy hệ có nghiệm 1;1  3 2y  2.x 1  x  3 1  x  y (1) Bài 36 Giải hệ phương trình :   2 y  1  2x  2xy 1  x (2) ĐK : 1  x  1 Từ (1) ta có : 2.y 3  2(x  1) 1  x  2 1  x  3 1  x  y (thêm vào vế trái 2 1  x )  2y 3  y  2( 1  x )3  1  x Xét hàm số f(t) = 2.t 3 +t có f’(t ) = 6t2 + 1 >0 suy ra hàm số đồng biến Suy ra y = 1  x thế vào (2), ta có 1  x  1  2x 2  2x 1  x 2 (3) Vì 1  x  1 nên đặt x = cos(t) với t  [0;  ] sau đó thế vào phương trình (3) là ra kết quả.  2 x  y 2  1 5 Bài 37 Giải hệ phương trình:   2 57  y(3x  1) 4x  3x  25  (1) (2) Giải ĐK: x , y  R Nhân 2 vế phương trình (1) với 25 và nhân 2 vế phương trình (2) với 50 ta có: 2 2  25x  25y  5 Hệ phương trình   200x 2  150x  114  50y(3x  1)   Cộng vế theo vế hai phương trình của hệ ta có: 225x 2  25y 2  25  150xy  150x  50y  144 15x  5y  5  12 15x  5y  7 2  15x  5y  5  144     15x  5y  5  12 15x  5y  17 Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com   15x  5y  7    Với 15x  5y  7 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:  2 1  x  y2    5    x  11  5y  7  15x 25     y  2  5y  7  15x 5y  7  15x  11  25      x  25   2  25x 2  25y 2  5 25x 2  7  15x   5  x  2  2    5  x  5   1  y   5   15x  5y  17  Với 15x  5y  17 kết hợp với (1) ta có hệ phương trình:  2 1  x  y2    5    5y  17  15x 5y  17  15x 5y  7  15x     2    hệ vô nghiệm.   2 25x  25y 2  5 25x 2  17  15x   5 x         2  x  11 x  5;  25 . Kết luận: Hệ phương trình có hai nghiệm là:    1  2 y  y  5  25    x  y  3x  2y  1 (1) Bài 38 Giải hệ phương trình:   x  y  x  y  0 (2)  Giải x  y  0 Điều kiện :  3x  2y  0 Hệ Phương trình tương đương  x  y  1  3x  2y x  y  2 x  y  1  3x  2y       x  y  y  x  x  y  y  x  2 x  y  2x  y 2 y  x   2x  y      x  y  y  x  x  y  y  x  Tìm tài liệu Toán ? Chuyện nhỏ - www.toanmath.com y  4x  1     x  y  y  x   y  4x  1     5x  1  3x  1   y  4x  1  y  4x  1      1 1   x   x    3  2 3 2 9x  11x  2  0 5x  1  9x  6x  1             y  4x  1     1  x   3   x  1        x  2   9   x  1   y  3  x  1 Kết luận : Hệ phương trình có nghiệm  y  3   2 2x 2  y 2  y 2  2x 2  3 (1) Bài 39 Giải hệ phương trình:   x 3  2y 3  y  2x (2)   Giải ĐK: 2x 2  y 2  0 Đặt : t  2x 2  y 2 ( t  0) t  1  2t  3  0   t  3  t  1  2x 2  y 2  1 1  t 2  2x 2  y 2  1  2x 2  y 2  1 Khi đó hệ phương trình tương đương  3 x  2y 3  y  2x    2 2  2  2 2x  y  1 2x  y  1  3  3 x  2y 3  y  2x  2x 2  y 2 5x  2x 2y  2xy 2  y 3  0 ( 3 )     Th 1: y  0  