Tài liệu Tuyển chọn các bài toán về hàm số

CỔNG LUYỆN THI TRỰC TUYẾN SỐ 1 VIỆT NAM §ÆNG VIÖT HïNG TUYỂN CHỌN CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ (P1) (KHÓA LUYỆN THI 2015 – 2016) Sách hay, chỉ TẶNG chứ không BÁN! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHỦ ĐỀ 1. TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ DẠNG 1. TIẾP TUYẾN TẠI MỘT ĐIỂM THUỘC ĐỒ THỊ 2x , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của x−2 giao điểm của ( C ) với đường thẳng y = 3 x − 3 . Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( C ) tại các Lời giải: Phương trình giao điểm 2 đồ thị là 2x = 3 x − 3 ⇔ 2 x = ( x − 2 )( 3 x − 3) ⇔ 3 x 2 − 11x + 6 = 0 x−2  2 2   x = 3 ⇒ M  3 ; −1  ⇔  .  x = 3 ⇒ M ( 3;3)  2 9 2x 4  y ' 3  = − 4 Vớ i y = ⇒ y' = − ⇒   2 x−2 ( x − 2 )  y ' ( 3) = −4  9 2 9x 1 2  Phương trình tiếp tuyến tại điểm M  ; −1 là y = −  x −  − 1 = − + . 4 3 4 2 3  Phương trình tiếp tuyến tại điểm M ( 3;3) là y = −4 ( x − 3) + 3 = −4 x + 15. Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 . ( Lời giải: ) Gọi M m; 2m − 2m + 5 . 3 2 y = 2 x 3 − 2 x 2 + 5 ⇒ y ' = 6 x 2 − 4 x ⇒ phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc k = 6m 2 − 4m . x Phương trình tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2 y − 6 = 0 hay y = − + 3 nên 2 2 6m − 4m = 2  m = 1 ⇒ M (1;5 )  2 ⇔ 6 m − 4m − 2 = 0 ⇔  1  −1 127  m=− ⇒M ;   3  3 27  Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến với ( C ) tại M đi qua điểm A ( 0;1) . ( Lời giải: ) Gọi M m; m − 4m . 4 2 Phương trình tiếp tuyến qua M có dạng : y = y 'm ( x − m ) + m 4 − 4 m 2 = 4 m 3 − 8 m ( x − m ) + m 4 − 4 m 2 . ( ) m2 = 1 Tiếp tuyến qua A ( 0;1) nên 1 = 4m3 − 8m ( 0 − m ) + m4 − 4m 2 ⇔ 3m 4 − 4m 2 + 1 = 0 ⇔  2 1 m =  3  m = ±1 ⇒ M ( ±1; −3)  ⇔ 1 11  là các điểm cần tìm.  1 m = ± ⇒ M ± ; −   9  3 3   ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 6x + 5 ( C ) . Tìm M thuộc ( C ) sao cho tiếp tuyến qua M cắt Ox và x +1 Oy lần lượt tại A và B sao cho OA = 4OB. Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = Ta có y = 6x + 5 1 ⇒ y'= . 2 x +1 ( x + 1) Lời giải:  6m + 5  Gọi M  m;  là điểm thuộc đồ thị cần tìm. m +1   1 6m + 5  6m + 5  Phương trình tiếp tuyến tại M  m; x − m) + .  có dạng y = 2 ( m +1 m +1   ( m + 1) y = 0  6m + 5 Phương trình giao điểm với Ox:  1 =0 x − m) +  ( m + 1) 2 ( m +1  y = 0 ⇔ ⇒ A ( −6m 2 − 10m − 5; 0 ) 2  x = −6m − 10m − 5 x = 0  6m 2 + 10m + 5   2 0 − m Phương trình giao điểm với Oy:  ( ) 6m + 5 6m + 10m + 5 ⇒ B  0; . 2  m + 1) 2 (  y = m +1 2 + m +1 =   ( m + 1) ( )  6m 2 + 10m + 5 = 0 ( vo nghiem ) 2 6m + 10m + 5  Theo bài OA = 4OB ⇔ 6m 2 + 10m + 5 = 4. ⇔ 4 2 1= ( m + 1)  ( m + 1) 2    11   m = 1 ⇒ M 1; 2    ⇔ m 2 + 2m − 3 = 0 ⇔    13   m = −3 ⇒ M  −3;  2   Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 ( m + 1) x 2 + 4 x − m + 1 ( Cm ) . Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( Cm ) tại giao điểm của ( Cm ) với trục tung. Viết phương trình ∆ biết khoảng cách từ A ( 2; −1) đến ∆ bằng 34 . Lời giải: x = 0 ⇒ y = 1 − m suy ra B ( 0;1 − m ) là giao điểm của ( Cm ) với trục tung. Ta có: y ' = 3x 2 − 6 x ( m + 1) + 4 ⇒ y ' ( 0 ) = 4 suy ra phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) đi qua B là: ∆ : y − (1 − m ) = 4 ( x − 0 ) ⇔ 4 x − y + 1 − m = 0 ⇒ d ( A; ∆ ) = 4. ( −2 ) − ( −1) + 1 − m 42 + ( −1) 2  m = −6 + 17 2 = 34 ⇒ m + 6 = 17 2 ⇔   m = −6 − 17 2 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 4 x − y + 7 − 17 2 = 0 hoặc 4 x − y + 7 + 17 2 = 0 . 3x + 1 Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại x −1 điểm x0 biết x0 là nghiệm của phương trình y ′′ + y − 15 = 0 . Lời giải: Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Ta có y = 3 + Facebook: Lyhung95 4 4 8 ⇒ y' = − ⇒ y '' = 2 3 x −1 ( x − 1) ( x − 1) Ta có y ''+ y − 15 = 0 ⇔ 8 ( x − 1) 3 + 3+ 4 4 2 − 15 = 0 ⇔ + −6 = 0 ⇔ x = 2 3 x −1 ( x − 1) x − 1 Ta có y ( 2 ) = 7 , y ' ( 2 ) = −4 suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y − 7 = −4 ( x − 2 ) ⇔ y = −4 x + 15 Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 ( Cm ) . Gọi A là điểm có hoành độ dương mà ( Cm ) luôn đi qua với mọi m . Viết phương trình tiếp của hàm số tại A khi m = 1. Lời giải: Ta có: y = x 4 − 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 ⇔ y − x 4 = 2 ( 2m + 1) x 2 − m − 1 ⇔ y − x 4 + 2 x 2 = ( m + 1) ( 4 x 2 − 1) 1   x0 = 2  y0 − x04 + 2 x02 = 0 7 1 Gọi A ( x0 , y0 ) ta có:  2 ⇔ (Do x0 > 0 ) ⇒ A  ; −   2 16  y = − 7 4 x0 − 1 = 0 0  16 11 1 Khi m = 1 ta có y = x 4 − 6 x 2 − 2 ⇒ y ' = 4 x3 − 12 x ⇒ y '   = − 2 2 7 11  1 11 37 Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y + = − x−  ⇔ y = − x+ 16 2 2 2 16 x−2 Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại. x +1 a) Giao điểm của ( C ) với trục hoành. b) Giao điểm của ( C ) với trục tung. Lời giải: Ta có: y ' = 3 ( x + 1) 2 a) Phương trình trục hoành là: y = 0 . Do đó y0 = 0 ⇒ x0 = 2 . Khi đó: y ' ( x0 ) = Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 3 ( x0 + 1) 2 = 1 3 1 1 ( x − 2) + 0 = ( x − 2) . 3 3 b) Phương trình trục tung là: x = 0 . Do đó x0 = 0 ⇒ y0 = −2 . Khi đó: y ' ( x0 ) = Do đó phương trình tiếp tuyến là: y = 3 ( x − 0 ) − 2 hay y = 3 x − 2 . 3 ( x0 + 1) 2 =3 Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = x 4 − 4 x 2 + 1 ( C ) . Viết phương trình tuyến tuyến của ( C ) tại điểm x0 thoã mãn điều kiện y '' ( x0 ) = 4 . Lời giải: Ta có: y ' = 4 x − 8 x suy ra y '' = 12 x − 8 . 3 2 Do đó: y '' ( x0 ) = 12 x02 − 8 = 4 ⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1 . Xét 2 trường hợp: +) Với x0 = 1 ⇒ y0 = −2; y ' ( x0 ) = 4 x03 − 8 x0 = −4 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −4 ( x − 1) − 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Hay y = −4 x + 2 . +) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −2; y ' ( x0 ) = 4 x03 − 8 x0 = 4 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 4 ( x + 1) − 2 Hay y = 4 x + 2 . Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = −4 x + 2 và y = 4 x + 2 . Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + x 2 − x + 2 ( C ) . a) Tìm toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox. b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại các giao điểm đó. Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: x3 + x 2 − x + 2 = 0 ⇔ ( x + 2 ) ( x 2 − x + 1) = 0 ⇔ x = −2 . Vậy toạ độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là A ( −2;0 ) . b) Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f ' ( x0 )( x − x0 ) + y0 . Trong đó ta có: x0 = −2; y0 = 0 . f ' ( x ) = 3x 2 + 2 x − 1 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( −2 ) = 7 . Vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 7 ( x − 2 ) . 1 4 x − ( m + 1) x 2 + m − 2 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến 2 tại điểm có hoành độ x = −2 đi qua gốc tọa độ O . Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = của ( Cm ) +) TXĐ: D = ℝ . Ta có y′ = 2 x − 2 ( m + 1) x . Lời giải: 3 +) Tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm M ( −2; −3m + 2 ) có hệ số góc là k = y′ ( −2 ) = 4m − 20 . Khi đó, phương trình tiếp tuyến d tại M là y = ( 4m − 20 )( x + 2 ) − 3m + 2 . +) Vì d đi qua gốc tọa độ O nên 0 = 2 ( 4m − 20 ) − 3m + 2 ⇔ 5m − 38 = 0 ⇔ m = Vậ y m = 38 . 5 38 là giá trị cần tìm. 5 2x − 1 ( C ) . Gọi I là giao điểm 2 tiệm cận của hàm số. Viết x+2 5 phương trình tiếp tuyến của ( C ) qua M ∈ ( C ) biết IM = IO và M có hoành độ dương. 2 Lời giải: Ta có tiệm cận đứng của ( C ) là x = −2 , tiệm cận ngang của ( C ) là y = 2 Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = Suy ra I ( −2; 2 ) ⇒ IO 2 = 8 . 5 5  2m − 1  Gọi M  m; IO ⇒ IM 2 = IO 2 = 10  . Ta có IM = 2 4  m+2  2 2 2  2m − 1   −5  ⇒ ( m + 2) +  − 2  = 10 ⇒ ( m + 2 ) +   = 10 ⇔ ( m + 2 ) = 5 ⇒ m = −2 + 5  m+2  m+2 (do xM > 0 ) 5 5 ⇒ y' = ⇒ y ' −2 + 5 = 1 Ta có y = 2 − 2 x+2 ( x + 2) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 2 ( ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG y− ( ) 2 −2 + 5 − 1 5 ( ) ( Facebook: Lyhung95 ) = x − −2 + 5 ⇔ y − 2 − 5 = x + 2 − 5 ⇔ y = x + 4 − 2 5 DẠNG 2. TIẾP TUYẾN CÓ HỆ SỐ GÓC 2x −1 Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến d của 3x + 2 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng x − 28 y + 4 = 0 . Lời giải: 2 ( 3 x + 2 ) − 3 ( 2 x − 1) 7  −2  +) TXĐ: D = ℝ \   . Ta có: y′ = = . 2 2 3 ( 3x + 2 ) ( 3x + 2 ) (C )  2x −1  −2 là tiếp điểm của tiếp tuyến d với đồ thị ( C ) . Do d song +) Gọi M  x0 ; 0  , với x0 ≠ 3  3x0 + 2  1 5 1 song với đường thẳng x − 28 y + 10 = 0 hay y = x+ nên y′ ( x0 ) = . Ta có phương trình: 28 14 28  x0 = 4 ( tm ) 3 x0 + 2 = 14 7 1 2  = ⇔ ( 3 x0 + 2 ) = 196 ⇔  ⇔ . 2  x = −16 ( tm ) ( 3x0 + 2 ) 28 3 x0 + 2 = −14  0 3 1 1 1 5  1 x+ +) Với x0 = 4 ⇒ M  4;  . Phương trình tiếp tuyến d là: y = ( x − 4 ) + hay y == 28 2 28 14  2 (loại). 1 43 −16 1  16  5  −16 5  +) Với x0 = hay y = x+ (tm). ⇒M ;  . Phương trình d là: y =  x +  + 28 42 3 28  3 6  3 6 1 43 Vậy y = x+ là đường thẳng d cần tìm. 28 42 Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 5 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M vuông góc với đường thẳng x + 12 y − 7 = 0 . Lời giải: +) TXĐ: D = ℝ . Ta có: y′ = 6 x − 6 x . 2 ( ) +) Gọi M x0 ; 2 x03 − 3 x02 + 5 là điểm cần tìm. Tiếp tuyến d của ( C ) tại M có hệ số góc là k = 6 x02 − 6 x0 . −1 7 x+ nên k = 12 . 12 12  x0 = −1 Ta có phương trình 6 x02 − 6 x0 = 12 ⇔ x02 − x0 − 2 = 0 ⇔  .  x0 = 2 +) Với x0 = −1 ⇒ M 1 ( −1; 0 ) . Vì d vuông góc với đường thẳng x + 12 y − 7 = 0 hay y = +) Với x0 = 2 ⇒ M 2 ( 2;9 ) . Vậy M 1 ( −1; 0 ) và M 2 ( 2;9 ) là các điểm cần tìm. 2 3 x − 4 x 2 − x + 1 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của 3 ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng 7 x + y − 1 = 0 . Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 ) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Ta có y ' = 2 x 2 − 8 x − 1 Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng 7 x + y − 1 = 0 ⇒ y ' ( x0 ) = −7 11   y1 − y0 = −7 ( x − 1) y1 = −7 x − x =1  3 ⇒ 2 x − 8 x − 1 = −7 ⇒ ( x − 1)( x − 3) = 0 ⇒  ⇒ ⇒  x = 3  y2 − y0 = −7 ( x − 3)  y = −7 x + 1( loai )  2 2 Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y = −7 x − 11 3 3x − 2 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết x +1 tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5 x + y − 12 = 0 . Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 ) Ta có y ' = 5 ( x + 1) 2 Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 5 x + y − 12 = 0 ⇒ y ' ( x0 ) = ⇒ 5 ( x + 1) 2 1 5 1 1 6   y1 − y0 = ( x − 4 ) y1 = x +   x = 4 1 2 5 5 5 = ⇒ ( x + 1) = 25 ⇒  ⇒ ⇒ 5  x = −6  y − y = 1 ( x + 6 )  y = 1 x + 26 2 0 2 5 5 5   Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) là y = 1 6 1 26 x+ ;y = x+ 5 5 5 5 x − 2m 2 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến của ( Cm ) tại giao x+m điểm của đồ thị hàm số với trục tung song song với đường thẳng 5 x − y + 17 = 0 . Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 ) Ta có y = ( x + m ) − ( m + 2m 2 ) x+m ⇒ y'= m + 2m 2 ( x + m) 2 Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là nghiệm của phương trình: x = 0   x − 2m2 ⇒ x0 = 0 ⇒ M ( x0 ; y0 ) = M ( 0; y0 ) y = x+m  Phương trình tiếp tuyến của ( Cm ) song song với đường thẳng 5 x − y + 17 = 0 . m = 0 2m 2 + m 2 ⇒ y ( x0 ) = 5 ⇒ = 5 ⇒ 3m − m = 0 ⇒  1 m = m2 3  Khi m = 0 ⇒ y0 không có giá trị. ⇒ Loại ' Khi m = 1 2 2 ⇒ y − y0 = y ' ( x0 )( x − x0 ) ⇒ y + = 5 ( x − 0 ) ⇒ y = 5 x − 3 3 3 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Vậy m = Facebook: Lyhung95 1 3 1 4 x + ( m − 1) x 2 − 4m + 3 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m m đề tiếp tuyến 8 tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2 x + y + 3 = 0 , ở đó A là điểm cố định có Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = của ( Cm ) hoành độ âm của hàm số đã cho. Lời giải: Gọi A ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 ) 1 x3 Ta có y = x 4 + ( m − 1) x 2 − 4m + 3 ⇒ y ' ( x ) = + 2 ( m − 1) x 8 2 A là điểm cố định có hoành độ âm của hàm số đã cho nên y0 =  x4  1 4 x0 + ( m − 1) x0 2 − 4m + 3 ⇒ m x02 − 4 +  0 − x02 − y0 + 3  = 0 8  8  ( )  x02 = 4  x = −2  ⇒  x04 ⇒ 0 ⇒ A ( −2;1)  2  8 − x0 − y0 + 3  = 0  y0 = 1   Đề tiếp tuyến của ( Cm ) tại tại điểm A vuông góc với đường thẳng 2 x + y + 3 = 0 x3 1 1 1 ⇒ 0 + 2 ( m − 1) x0 = ⇒ m = − 2 2 2 8 1 9 7 Thử lại, ta có y = x 4 − x 2 + , 8 8 2 ⇒ y ' ( x0 ) =  −23  1 1  1  PT tiếp tuyến: y − 1 =  + 2  − − 1 . − 2  ( x + 2 ) ⇒ y − 1 = ( x + 2 ) ⇒ y = x + 2 2 2  8   2  1 Vậy m = − là giá trị cần tìm. 8 Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng đi qua 2 điểm A ( 0;3) , B (1; −6 ) . Lời giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến là y ' ( x0 ) Ta có y = x3 − 3 x 2 + 2 ⇒ y ' = 3 x 2 − 6 x Tiếp tuyến đi qua 2 điểm A ( 0;3) , B (1; −6 ) thì hệ số góc của tiếp tuyến là ⇒ y ' ( x0 ) = y B − y A −6 − 3 = = −9 xB − x A 1− 0  y1 = −9 x − 11  x = −1  y 1 − y0 = −9 ( x + 1) ⇒ 3 x02 − 6 x0 = −9 ⇒ ( x + 1)( x − 3) = 0 ⇒  ⇒ ⇒ x = 3  y2 − y0 = −9 ( x − 3 )  y2 = −9 x + 29 ⇒ y = −9 x − 11; y = −9 x + 29 Vậy phương trình tiếp tuyến của ( C ) y = −9 x − 11; y = −9 x + 29 Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = −x −1 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến x −1 có hệ số góc bằng 2 . Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Lời giải: Ta có: f ' ( x ) = ⇔ 2 ( x0 − 1) 2 2 ( x − 1) 2 . Vì tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 nên ta có: f ' ( x0 ) = 2  x0 = 0 2 = 2 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔   x0 = 2 +) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x − 0 ) + 1 hay y = 2 x + 1 . +) Với x0 = 2 ⇒ y0 = −3 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x − 2 ) − 3 hay y = 2 x − 7 . Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 2 x + 1 và y = 2 x − 7 . Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x 2 − 4 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y = 9 x + 5 Lời giải: Do tiếp tuyến song song với đường thẳng d nên hệ số góc của tiếp tuyến là k = 9 .  x0 = −1 Ta có: f ' ( x ) = 3x 2 − 6 x . Xét phương trình: f ' ( x0 ) = 3x02 − 6 x0 = 9 ⇔ 3 x02 − 6 x0 − 9 = 0 ⇔   x0 = 3 +) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −8 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x + 1) − 8 hay y = 9 x + 1 ( t / m ) . +) Với x0 = 3 ⇒ y0 = −4 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x − 3) − 4 hay y = 9 x − 31 ( t / m ) . Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 x + 1 và y = 9 x − 31 . Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 + 3 x 2 − 4 ( C ) . a) Viết phương trình tiếp tuyến d của ( C ) tại điểm có hoành độ x0 = −3 . b) Với đường thẳng d ở câu a hãy viết phương trình tiếp tuyến ∆ của ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d. Lời giải: 2 Ta có : f ' ( x ) = 3x + 6 x a) Ta có: x0 = −3 ⇒ y0 = −4 , f ' ( x0 ) = f ' ( −3) = 9 Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x + 3) − 4 hay y = 9 x + 23 ( d ) .  x0 = 1 b) Do ∆ / / d ⇒ k∆ = kd = 9 . Xét phương trình f ' ( x0 ) = 3 x02 + 6 x0 = 9 ⇔   x0 = −3 +) Với x0 = −3 ⇒ y0 = −4 ( loại vì khi đó ∆ trùng với d ). +) Với x0 = 1 ⇒ y0 = 0 . Phương trình tiếp tuyến là: y = 9 ( x − 1) . Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 4 x 2 + 1 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : x + 16 y − 4 = 0 . Lời giải: −1 1 −1 Viết lại đường thẳng d ta có: d : y = x + suy ra hệ số góc của d là kd = . 16 4 16 Vì tiếp tuyến của ( C ) vuông góc với đường thẳng d nên ta có hệ số góc của tiếp tuyến là k = 16 . Xét phương trình f ' ( x0 ) = −4 ⇔ 4 x03 − 8 x0 = 16 ⇔ x03 − 2 x0 − 4 = 0 ⇔ x0 = 2 ⇒ y0 = 1 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = 16 ( x − 2 ) + 1 hay y = 16 x − 31 . DẠNG 3. TIẾP TUYẾN ĐI QUA MỘT ĐIỂM 2x +1 Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) . x −1 a) Tại điểm có hoành độ x = 2 . Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 b) Biết tiếp tuyến đi qua điểm A ( 4; −1) . Ta có: f ' ( x ) = Lời giải: −3 ( x − 1) 2 . a) Ta có : x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ⇒ f ' ( x0 ) = f ' ( 2 ) = −3 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11  2x +1  b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M  x0 ; 0  ∈ ( C ) là: x0 − 1   2x +1 −3 y= x − x0 ) + 0 . 2 ( x0 − 1 ( x0 − 1) Vì tiếp tuyến đi qua A ( 4; −1) nên ta có: −1 = +) Với ( x0 − 1) 2 ( 4 − x0 ) + 2 x0 + 1 x0 − 1 ( 2 x0 + 1)( x0 − 1) ⇔ − x − 1 2 = 2 x 2 + 2 x − 11 ⇔ 3x 2 = 12 ⇔  x0 = 2 ( 0 ) 0 0 0  2 ( x0 − 1) ( x0 − 1)  x0 = −2 x0 = 2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 ⇔ −1 = 3 ( x0 − 4 ) −3 2 + 1 −1 1 ( x + 2 ) + 1 hay y = x + 3 3 3 3 Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x − 2 x + 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) . +) Với x0 = −2 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = − a) Tại điểm có hoành độ x = 0 . b) Biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ O. Lời giải: Ta có: y ' = 3 x − 2 2 a) Ta có: x0 = 0 ⇒ y0 = 2 và y ' ( x0 ) = y ' ( 0 ) = −2 . Do vậy phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 0 ) + 2 hay y = −2 x + 2 . b) Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; x03 − 2 x0 + 2 ) ∈ ( C ) là: y = ( 3 x02 − 2 ) ( x − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2 . Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 = ( 3 x02 − 2 ) ( 0 − x0 ) + x03 − 2 x0 + 2 ⇔ −2 x03 + 2 = 0 ⇔ x0 = 1 Với x0 = 1 ta có phương trình tiếp tuyến là: y = x . Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x 4 − 3x 2 ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua a) Gốc toạ độ O ( 0; 0 ) . b) Qua điểm A ( −36;0 ) Gọi M ( x0 ; x − 3 x 4 0 2 0 ) là toạ độ tiếp điểm. Lời giải: Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là: y = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x04 − 3 x02 a) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: 0 = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02  x0 = 0 ⇔ −3 x04 + 3x02 = 0 ⇔ x02 ( x02 − 1) = 0 ⇔   x0 = ±1 +) Với x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 . Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 +) Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −2 ( x − 1) − 2 hay y = −2 x . +) Với x0 = −1 phương trình tiếp tuyến là: y = 2 ( x + 1) − 2 hay y = 2 x . b) Vì tiếp tuyến đi qua O ( 0; 0 ) nên ta có: −36 = ( 4 x03 − 6 x0 ) ( 0 − x0 ) + x04 − 3 x02 t = 4 ⇔ −3 x04 + 3 x02 = −36 ⇔ x04 − x02 − 12 = 0. Đặt t = x02 ( t ≥ 0 ) ta có: t 2 − t − 12 = 0 ⇔  t = −3 ( loai ) Khi đó x02 = 4 ⇔ x0 = ±2 . • Với x0 = 2 phương trình tiếp tuyến là: y = 20 ( x − 2 ) + 4 hay y = 20 x − 36 • Với x0 = −2 phương trình tiếp tuyến là: y = −20 ( x + 2 ) + 4 hay y = −20 x − 36 Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số: y = x3 − 3x ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (1; −3) . Lời giải: Ta có y ' = 3 x − 3 2 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm M ( x0 ; x03 − 3 x0 ) là: y = ( 3 x02 − 3) ( x − x0 ) + x03 − 3 x0 Vì tiếp tuyến đi qua điểm A (1; −3) nên ta có: −3 = ( 3 x02 − 3) (1 − x0 ) + x03 − 3 x0  x0 = 0 ⇔ −2 x + 3 x = 0 ⇔   x0 = 3  2 • Với x0 = 0 phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x 3 0 2 0 3 15 x 27 15  3 9 phương trình tiếp tuyến là: y =  x −  − hay y = − . 2 4 4 4 2 8 15 x 27 Vây có 2 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3 x hoặc y = − . 4 4 Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + 2 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của • Với x0 = (C ) biết tiếp tuyến đi qua M (1; 0 ) . Lời giải: Ta có: y ' = 3 x − 6 x 2 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( x0 ; x03 − 3 x02 + 2 ) là: y = ( 3 x02 − 6 x0 ) ( x − x0 ) + x03 − 6 x02 + 2 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M (1; 0 ) nên ta có: 0 = ( 3 x02 − 6 x0 ) (1 − x0 ) + x03 − 3 x02 + 2 ⇔ 9 x02 − 3 x03 − 6 x0 + x03 − 3 x02 + 2 = 0 ⇔ −2 x03 + 6 x02 − 6 x0 + 2 = 0 ⇔ x0 = 1 Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 1) hay y = −3 x + 3 Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = −3 x + 3 Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = tiếp tuyến đi qua M ( 2; −5) . Ta có: y = 2 ( x − 2) + 5 x−2 2x +1 , có đồ thị ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của x−2 (C ) biết Lời giải: = 2+ 5 5 ⇒ y'= − 2 x−2 ( x − 2) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  5  5 5 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A  x0 ; 2 + x − x0 ) + 2 +  là: y = − 2 ( x0 − 2  x0 − 2 ( x0 − 2 )  Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( 2; −5) nên ta có: −5 = ⇔ 5 ( x0 − 2 ) 2 ( x0 − 2 ) + 2 + 5 x0 − 2 10 4 = −7 ⇔ x0 = x0 − 2 7 Với x0 = 4 49 x 1 49  4 3 phương trình tiếp tuyến là: y = −  x −  − hay y = − − . 7 20 10 20  7 2 Vây có phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = − 49 x 1 − 20 10 Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 6 x 2 + 9 x − 1 , có đồ thị ( C ) . Tìm M ∈ ( C ) sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại M đi qua điểm M ( 0;3) . Lời giải: Ta có: y ' = 3 x − 12 x + 9 2 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( x0 ; x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1) là: y = ( 3 x02 − 12 x0 + 9 ) ( x − x0 ) + x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( 0;3) nên ta có: 3 = ( 3 x02 − 12 x0 + 9 ) ( 0 − x0 ) + x03 − 6 x02 + 9 x0 − 1  x0 = 1  ⇔ −3x03 + 12 x02 − 9 x0 + x03 − 6 x02 + 9 x0 = 4 ⇔ −2 x03 + 6 x02 − 4 = 0 ⇔  x0 = 1 + 3   x0 = 1 − 3 • Với x0 = 1 phương trình tiếp tuyến là: y = 0 ( x − 1) + 3 hay y = 3 ( )( ) ( )( ) • Với x0 = 1 + 3 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 − 6 3 x − 1 − 3 − 6 + 3 3 hay ( ) y = 9−6 3 x+3 • Với x0 = 1 − 3 phương trình tiếp tuyến là: y = 9 + 6 3 x − 1 + 3 − 6 − 3 3 hay ( ) y = 9+6 3 x+3 ( ) ( ) Vây có 3 phương trình tiếp tuyến thoã mãn là: y = 3 ; y = 9 − 6 3 x + 3 và y = 9 − 6 3 x + 3 Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 2mx 2 + ( m + 2 ) x + 1 , có đồ thị ( Cm ) . Tìm m đề tiếp tuyến của ( Cm ) tại điểm có hoành độ x = −1 đi qua điểm M ( −2;3 ) . Lời giải: Ta có: y ' = 3 x − 4mx + m + 2 2 Phương trình tiếp tuyến của ( C ) tại điểm A ( −1; −1 − 2m − ( m + 2 ) + 1) hay A ( −1; −3m − 2 ) là: y = ( 3 x02 − 4mx0 + m + 2 ) ( x − x0 ) − 3m − 2 ⇔ y = ( −3 + 4m + m + 2 )( x + 1) − 3m − 2 ⇔ y = ( 5m − 1) x + 2m − 3 Vì tiếp tuyến đi qua điểm M ( −2;3) nên ta có: 3 = −2. ( 5m − 1) + 2m − 3 ⇔ m = − 1 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 1 7 phương trình tiếp tuyến là: y = − x − 4 2 2 1 Vây m = − 2 3− x Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số y = , (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp tuyến 2x +1 a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x + y − 3 = 0 Với m = − b) Song song với đường thẳng AB biết A ( 0;1) , B (1; −6 ) Ta có: f ' ( x ) = Lời giải: −7 ( 2 x + 1) 2 a) Viết lại đường thằng d: y = −2 x + 3 . −1  3− x x ≠ Xét phương trình hoành độ giao điểm ta có: −2 x + 3 = ⇔ 2 2x + 1 ( 2 x + 1)( −2 x + 3) = 3 − x  1  x = 0 x ≠ − ⇔ ⇔ 2 5 x = 2  −4 x + 5 x = 0  4  +) Với x0 = 0 ⇒ y0 = 3 ⇒ f ' ( 0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x − 0 ) + 3 hay y = −7 x + 3 . −4  5 1 4 5 1 5 +) Với x0 = ⇒ y0 = ⇒ f '   = − . Phương trình tiếp tuyến là: y = x− + 4 2 7 7  4 2 4 −4 x 17 Hay y = + . 7 14   b) Ta có: AB = (1; −7 ) ⇒ n AB = ( 7;1) . Phương trình đường thẳng AB là: 7 x + y − 1 = 0 hay y = −7 x + 1 Do tiếp tuyến song song với đường thẳng AB nên ta có: ktt = −7 Xét phương trình f ' ( x0 ) = −7 ⇔ −7 ( 2 x0 + 1) 2  2 x0 + 1 = 1  x0 = 0 2 = −7 ⇔ ( 2 x0 + 1) = 1 ⇔  ⇔  2 x0 + 1 = −1  x0 = −1 +) Với x0 = 0; y0 = 3; f ' ( x0 ) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 x + 3 +) Với x0 = −1 ⇒ y0 = −4 ; f ' ( −1) = −7 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −7 ( x + 1) − 4 hay y = −7 x − 11 . Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2x +1 , (C ) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị biết tiếp x −1 tuyến a) Tại giao điểm của đồ thị và đường thẳng d : 2 x − y + 1 = 0 b) Tiếp tuyến có hệ số góc k = −3 c) Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d ' : x − 12 y + 3 = 0 Lời giải: −3 Ta có f ' ( x ) = . 2 ( x − 1) Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG a) Viết lại y = 2 x + 1. d: Xét phương trình Facebook: Lyhung95 hoành độ giao điểm: 1  x=− 2 x + 1 = 0 2x +1  = 2x +1 ⇔  ⇔ 2.  x −1  x −1 = 1 x = 2 1 1 4  1 +) Với x0 = − ⇒ y0 = 0 ; x0 = − ⇒ y0 = 0; f '  −  = − . Phương trình tiếp tuyến là 2 2 3  2 4 1 y = − x+ . 3 2 +) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 ; f ' ( 2 ) = −3 . Phương trình tiếp tuyến là y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 .  x0 = 0 2 = −3 ⇔ ( x0 − 1) = 1 ⇔  . ( x0 − 1)  x0 = 2 +) Với x0 = 0 ⇒ y0 = −1 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 x − 1 . −3 b) Ta có: k = f ' ( x0 ) = 2 +) Với x0 = 2 ⇒ y0 = 5 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −3 ( x − 2 ) + 5 hay y = −3 x + 11 . 1 3 1 x+ có kd ' = . 12 12 12 Do tiếp tuyến vuông góc với d ' nên ta có: ktt = −12 c) Viết lại phương trình d ' : y = Xét phương trình −3 ( x0 − 1) 2 1  x0 =  1 2 2 = −12 ⇔ ( x0 − 1) = ⇔  4 x = 3  0 2 1 1  ⇒ y0 = −4 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  − 4 hay y = −12 x + 2 . 2 2  3 3  +) Với x0 = ⇒ y0 = 8 . Phương trình tiếp tuyến là: y = −12  x −  + 8 hay y = −12 x + 26 . 2 2  +) Với x0 = Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 CHỦ ĐỀ 2. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ DẠNG 1. TƯƠNG GIAO HÀM BẬC BA Câu 1: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 , có đồ thị là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt. Lời giải : Phương trình hoành đọ giao điểm x = 3 x3 − ( m + 3) x 2 + ( 3m + 1) x − 3 = 0 ⇔ ( x − 3) ( x 2 − mx + 1) = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − mx + 1 = 0 Để ( C ) giao Ox tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 3 m > 2, m < −2 ∆ > 0 m2 − 4 > 0  ⇔ ⇔ ⇔ 10  g ( 3) ≠ 0 10 − 3m ≠ 0 m ≠ 3  10   10  Vậy m ∈ ( −∞; −2 ) ∪  2;  ∪  ; +∞   3  3  Câu 2: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = x − 4 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ dương. Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm 2 x 3 − 5 x 2 − 2 ( 2m − 1) x + 6m − 1 = x − 4 ⇔ 2 x 3 − 5 x 2 − ( 4m − 1) x + 6m + 3 = 0 3  x=  2 ⇔ ( 2 x − 3 ) x − x − 2m − 1 = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − x − 2m − 1 = 0 3 Ta có x = > 0 nên để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt, trong đó có đúng hai điểm có hoành độ 2 3 dương thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm trái dấu khác 2 1  P < 0 m>− −2m − 1 < 0     2 ⇔  3 ⇔ 1 ⇔ g   ≠ 0 − 4 − 2m ≠ 0 m ≠ − 1  2  8  1 1  1  Vậy m ∈  − ; −  ∪  − ; +∞   2 8  8  ( 2 ) Câu 3: [ĐVH]. Cho hàm số y = 2 x3 − 6 x − 7 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 2m − 5 . Tìm m để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt. Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm : 2 x 3 − 6 x − 7 = 2m − 5 ⇔ g ( x ) = 2 x3 − 6 x − 2m − 2 = 0  x = 1 ⇒ y = −2 m − 6 Ta có g ' ( x ) = 6 x 2 − 6; g ' ( x ) = 0 ⇔   x = −1 ⇒ y = 2 − 2 m Để ( C ) giao d tại 2 điểm phân biệt thì hàm số y = g ( x ) phải có cực trị và yCD . yCT = 0 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95  m = −3 ⇔ ( −2m − 6 )( 2 − 2m ) = 0 ⇔  m = 1 Vậy m = 1 hoặc m = −3 Câu 4: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 3m + 1) x 2 + 3mx + 6m − 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = 4 x − 5 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x12 + x22 + x32 = 18 . Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm x3 − ( 3m + 1) x 2 + 3mx + 6m − 1 = 4 x − 5 ⇔ x 3 − ( 3m + 1) x 2 + ( 3m − 4 ) x + 6m + 4 = 0 x = 2 ⇔ ( x − 2 )  x 2 − ( 3m − 1) x − 3m − 2  = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − ( 3m − 1) x − 3m − 2 = 0 Đề ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 2 9m 2 + 6m + 9 > 0, ∀m ∆ > 0 4  ⇔ ⇔ ⇔m≠ 4 9  g ( 2 ) ≠ 0 m ≠ 9   x1 + x2 = 3m − 1 Giả sử x3 = 2 thì x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒   x1 x2 = −3m − 2 Ta có : x12 + x22 + x32 = 18 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + x32 = 18 ⇔ ( 3m − 1) + 2 ( 3m + 2 ) + 4 = 18 ⇔ m = ±1 2 2 Vậy m = ±1 là giá trị cần tìm. Câu 5: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + (1 − 3m ) x 2 − 4mx − m + 2 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = −2 x . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1. Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm x3 + (1 − 3m ) x 2 − 4mx − m + 2 = −2 x ⇔ x 3 + (1 − 3m ) x 2 + ( 2 − 4m ) x − m + 2 = 0  x = −1 ⇔ ( x + 1) x 2 − 3mx − m + 2 = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − 3mx − m + 2 = 0 Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác −1 ( )  −2 + 2 19 −2 − 2 19 m > , m < 2  ∆ > 0 9m + 4m − 8 > 0  9 9 ⇔ ⇔ ⇔ ( *) g − 1 ≠ 0 ( ) 2 m + 3 ≠ 0 3   m ≠ −  2  x1 + x2 = 3m Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒   x1 x2 = − m + 2  x1 + x2 < 2  x1 + x2 < 2  x1 < 1 3m < 2 2 ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m< 3 − m + 2 − 3m + 1 > 0  x2 < 1 ( x1 − 1)( x1 − 1) > 0  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0 3  3 2  Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  −∞; −  ∪  − ;  2  2 3  Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Câu 6: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 3m ) x − m 2 ( C ) và đường thẳng d : y = − x + m . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 thỏa mãn x13 + x23 + x33 = 10 . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m 2 + 3m ) x − m 2 = − x + m ⇔ x3 − ( 2m + 1) x 2 + ( m2 + 3m + 1) x − m 2 − m = 0 x = 1 ⇔ ( x − 1)  x 2 − ( 2m + 1) x + m 2 + m  = 0 ⇔  2 2  g ( x ) = x − ( 2m + 1) x + m + m = 0 Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2 ∆ > 0 1 > 0 ( 2m + 1) − 4 ( m + m ) > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ m ≠ {1; 0} m ≠ 0, m ≠ 1  g (1) ≠ 0 m 2 − m ≠ 0 2 2m + 1 + 1  = m +1 x = 2 Ta có: g ( x ) = 0 ⇒   x = 2m + 1 − 1 = m  2 Giả sử x1 = 1, x2 = m, x3 = m + 1 ta có Khi đó 1 + m3 + ( m + 1) = 10 ⇔ 2m3 + 3m2 + 3m − 8 = 0 ⇔ ( m − 1) ( 2m 2 + 5m + 8 ) = 0 ⇔ m = 1 3 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Câu 7: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( m + 1) x 2 + 2mx + 1 , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = − x + 1 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 1 . Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm x3 − ( x + 1) x 2 + 2mx + 1 = − x + 1 ⇔ x3 − ( m + 1) x 2 + ( 2m + 1) x = 0 x = 0 ⇔ x  x 2 − ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 ⇔  2  g ( x ) = x − ( m + 1) x + 2m + 1 = 0 Để ( C ) giao d tại 3 điễm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0  m > 3 + 2 3, m < 3 − 2 3 m 2 − 6m − 3 > 0 ( m + 1)2 − 4 ( 2m + 1) > 0 ∆ > 0   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ( *) 1 1 ≠ − m ≠ − m  g ( 0 ) ≠ 0 2m + 1 ≠ 0    2  2  x1 + x2 = m + 1 Gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của phương trình g ( x ) = 0 ⇒   x1 x2 = 2m + 1  x1 < 1 m + 1 < 2  x1 + x2 < 2  x1 + x2 < 2 ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −1 < m < 1 ( x1 − 1)( x2 − 1) > 0  x1 x2 − ( x1 + x2 ) + 1 > 0 2m + 1 − m − 1 + 1 > 0  x2 < 1 1  1   Kết hợp với điều kiện (*) , vậy m ∈  −1; −  ∪  − ;3 − 2 3  2  2   Câu 8: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) ( C ) . a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 b) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn x12 + x22 + x32 = 10 . Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0 x = 1 ⇔ (1) 2 g x = x + mx + 1 = 0 ( )  Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 1 điểm duy nhất ⇔ (1) có nghiệm duy nhất là x = 1 . TH1: PT : g ( x ) = 0 vô nghiệm ⇔ ∆ g ( x ) = m 2 − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 . ∆ g ( x ) = 0 m2 − 4 = 0 TH2: PT : g ( x ) = 0 có nghiệm kép x = 1 ⇔  ⇔ ⇔ m = −2 . m + 2 = 0  g (1) = 0 Kết luận: Vậy −2 ≤ m < 2 là giá trị cần tìm. b) ) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 1) ( x 2 + mx + 1) = 0  x3 = 1 ⇔ (1) 2  g ( x ) = x + mx + 1 = 0 Đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ g ( x ) = 0 có 2 nghiệm 2 m2 > 4 ∆ = m − 4 > 0 phân biệt và 2 nghiệm đó khác 1 ⇔  . ⇔ m + 2 ≠ 0  g (1) ≠ 0  x1 + x2 = −m Khi đó cho x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 . Theo định lý Viet ta có:  .  x1 x2 = 1 Theo đề bài ta có: x12 + x22 + x32 = 10 ⇔ ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 = 9 ⇔ m 2 − 2 = 9 ⇔ m 2 = 11 ⇔ m = ± 11 ( tm ) 2 Vậy m = ± 11 là giá trị cần tìm. Câu 9: [ĐVH]. Cho hàm số: y = ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) ( C ) . a) Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt. b) Tìm m đề đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn : A = x12 + x22 + x32 + x1 x2 x3 = 8 Lời giải: a) Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là: ( x − 2 ) ( 2 x 2 + 2mx − m − 1) = 0 .  x = 2 ⇔ (1) 2  g ( x ) = 2 x + 2mx − m − 1 = 0 Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 2 điểm phân biệt ⇔ (1) có 2 nghiệm phân biệt. 2 ∆  ' = m + 2 ( m + 1) = 0 TH1: g ( x ) = 0 có 1 nghiệm duy nhất và nghiệm đó khác 2 ⇔  ( vn ) . g 2 ≠ 0 ( )  2 ∆  ' = m + 2 ( m + 1) > 0 TH2: g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt và 1 trong 2 nghiệm bằng 2 ⇔   g ( 2 ) = 8 + 4m − m − 1 = 0 −7 ⇔m= là giá trị cần tìm. 3 b) Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 2 ∆  ' = m + 2 ( m + 1) > 0 ⇔ (*) . Khi đó gọi x3 = 2 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0 .  g ( 2 ) = 7 + 3m ≠ 0  x1 + x2 = − m  Theo Viet ta có :  −m − 1  x1 x2 = 2 Theo bài ra ta có: A = x12 + x22 + 4 + 2 x1 x2 = ( x1 + x2 ) + 4 = 8 ⇔ m 2 + 4 = 8 ⇔ m = ±2 ( tm ) . 2 Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm. Câu 10: [ĐVH]. Cho hàm số : y = x3 − mx + m − 1 ( C ) . Tìm m để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoã mãn: A = 1 1 1 + + = 2. x1 x2 x3 Lời giải : Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là : x3 − mx + m − 1 = 0  x3 = 1 ⇔ x3 − 1 − m ( x − 1) = 0 ⇔ ( x − 1) ( x 2 + x + 1 − m ) = 0 ⇔  (1) 2 g x = x + x + 1 − m = 0 ( )  Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt ∆ = 1 − 4 (1 − m ) = 4m − 3 > 0 ⇔ ( *) .  g (1) = 3 − m ≠ 0 Khi đó Khi đó gọi x3 = 1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0  x1 + x2 = −1 1 1 x +x −1 . Do vậy A = + + 1 = 1 2 + 1 = + 1 = 2 ⇔ m = 2 ( tm ) Theo Viet ta có:  x1 x2 x1 x2 1− m  x1 x2 = 1 − m Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Câu 11: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 + mx + m + 1 ( C ) . Tìm m để đồ thì ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 ; x2 ; x3 thoả mãn A = x1 x2 x3 ( x12 + x22 + x32 ) = 4. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của ( C ) và trục Ox là x3 + mx + m + 1 = 0  x3 = −1 ⇔ x 3 + 1 + m ( x + 1) = 0 ⇔ ( x + 1) ( x 2 − x + 1 + m ) = 0 ⇔  2  g ( x) = x − x +1+ m = 0 Để đồ thị ( C ) cắt trục Ox tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm phân biệt (1) ∆ = 1 − 4 (1 + m ) = −4m − 3 > 0 ⇔ ( *) .  g ( −1) = 3 + m ≠ 0 Khi đó Khi đó gọi x3 = −1 và x1 ; x2 là nghiệm của PT g ( x ) = 0  x1 + x2 = 1 Theo Vi-et ta có:  . Do vậy  x1 x2 = 1 + m 2 A = − (1 + m ) ( x1 + x2 ) − 2 x1 x2 + 1 = − (1 + m )  2 − 2 (1 + m )     m = 1 ( loai ) A = 2m (1 + m ) = 4 ⇔ m2 + m − 2 = 0 ⇔   m = −2 Vậy m = −2 là giá trị cần tìm. Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016! Khóa học LUYỆN THI THPTQG 2016 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: Lyhung95 Câu 12: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − 3 x 2 + x , có đồ thị là ( C ) và đường thẳng d : y = − mx + m − 1 . Tìm m để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt A (1; −1) , B, C sao cho xB2 + 4 xC = 4 Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x3 − 3 x 2 + x = − mx + m + 1 ⇔ x 3 − 3 x 2 + ( m + 1) x − m + 1 = 0 x = 1 ⇔ ( x − 1) ( x 2 − 2 x + m − 1) = 0 ⇔  2  g ( x) = x − 2x + m −1 = 0 Để ( C ) giao d tại 3 điểm phân biệt thì phương trình g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 1 − m + 1 > 0 m > 2 ∆ ' > 0 ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m>2 m − 2 ≠ 0 m ≠ 0  g (1) ≠ 0 Gọi xB , xC là hoành độ điểm B, C thì xB , xC là 2 nghiệm của phương trình  xB + xC = 2 g ( x) = 0 ⇒   xB xC = m − 1 Ta có: xB2 + 4 xC = 4 ⇔ xB2 + 4 ( 2 − xB ) = 4 ⇔ xB2 − 4 xB + 4 = 0 ⇔ ( xB − 2 ) = 0 ⇔ xB = 2 ⇒ xC = 0 2 ⇒ xB .xC = 0 ⇒ m − 1 = 0 ⇔ m = 1 Vậy m = 1 là giá trị cần tìm. Câu 13: [ĐVH]. Cho hàm số y = x3 − ( 2m + 2 ) x 2 + ( 3m + 2 ) x − m − 1 , có đồ thì là ( C ) . Tìm m để ( C ) giao trục hoành tại 3 điễm phân biệt A, B, C (trong đó điểm A có hoành độ ko đổi) sao cho hoành độ điểm hai điễm B, C là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm x3 − ( 2m + 2 ) x 2 + ( 3m + 2 ) x − m − 1 = 0 ⇔ ( x − 1)  x 2 − ( 2m + 1) x + m + 1 = 0 5 x = 1 ⇔ 2  g ( x ) = x − ( 2m + 1) x + m + 1 = 0 Để ( C ) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt thì PT g ( x ) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1 2 ∆ > 0 4m 2 − 3 > 0 ( 2m + 1) − 4 ( m + 1) > 0 ⇔ ⇔ ⇔  g (1) ≠ 0 1 − m ≠ 0 m ≠ 1 Gọi xB , xC là hoành độ điểm B, C thì xB , xC là 2 nghiệm của phương trình  xB + xC = 2m + 1 g ( x) = 0 ⇒   xB xC = m + 1 Từ giả thiết ta có x + x = 5 ⇔ ( xB + xC ) 2 B 2 C Vậy m = 1, m = − 2 m = 1 − 2 xB xC = 5 ⇔ ( 2m + 1) − 2 ( m + 1) = 5 ⇔ 4m + 2m − 6 = 0 ⇔  m = − 3  2 2 2 3 2 Chương trình Luyện thi PRO–S và PRO–E: Giải pháp tối ưu nhất cho kì thi THPT Quốc Gia 2016!