Tài liệu Tuyển chọn 120 đề thi học sinh giỏi đặc sắc lớp 10-11- 12 môn toán của các tỉnh có lời giải chi tiết

Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018 TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT Bài 1 (4 điểm). 1. Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m2  m  1 , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều. 2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24  m3  . Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất. Bài 2(4 điểm). 1. Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , AB  c thỏa mãn 2a  c .cos B B  2a  c .sin , với 2 2 2a  c . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. 2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau. Bài 3 (3 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau   y  1 log 4  x  1 y  1   16   x  1 y  1 .  2 2 4 x  7 xy  3 x  y  99   Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB  2 AD . Điểm N thuộc cạnh AB sao cho AN  1 AB , M là trung điểm của DC . Gọi I là giao điểm của MN và BD . Viết 4 phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN . Biết điểm A  2;1 , đường thẳng BD có phương trình 11x  2 y  5  0 , điểm B có hoành độ là số nguyên. Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB  a, BC  2a. Mặt bên BCCB là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng  BCC B  và  ABBA  bằng  , với tan   5 2 , hãy tính theo a : 4 a) Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC  và BC. Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 10 P  16 xy  2 10 yz  2 10 xz 45  x  y  z Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 GIẢI CHI TIẾT ĐỀ CHỌN HSG TỈNH NĂM 2018 TỈNH QUẢNG NINH TIME: 180 PHÚT [email protected] Bài 1 (4 điểm). 1. Cho hàm số y  x 4  2  m  1 x 2  m2  m  1 , với m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số đã cho có ba điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều. 2. Một hộ gia đình cần xây dựng một bể chứa nước, dạng hình hộp chữ nhật có thể tích 24  m3  . Tỉ số giữa chiều cao của bể và chiều rộng bằng 4. Biết rằng bể chỉ có các mặt bên và mặt đáy (không có mặt trên). Chiều dài của đáy bể bằng bao nhiêu để xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất. Lời giải Tác giả: Lê Đình Năng, FB: Lê Năng 1. Hàm số y xác định với mọi x  và y '  4 x3  4  m  1 x  4 x  x 2  m  1 . x  0 Ta có y '  0   2  x    m  1 Hàm số có 3 điểm cực trị    m  1  0  m  1 (*). Với điều kiện (*) thì đồ thị hàm số đã cho có 3 điểm cực trị là A  0; m2  m  1 , B     m  1; m  2 , C  m  1; m  2 .  AB   m  14   m  1  AC   Tam giác ABC cân tại đỉnh A với m  1 . Ta có    BC  2 m  1 Do đó để tam giác ABC đều thì AB  BC   m  1  3  m  1  0  m  1  3 3 . 4 Vậy với m  1  3 3 thì đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là 3 đỉnh của một tam giác đều. 2. Gọi chiều cao, chiều rộng, chiều dài của bể lần lượt là h , x , y  m (Điều kiện: h, x, y  0 ) h h  4 x  4  Theo đề bài ta có  x  6 y 2  xyh  24  x  Tổng diện tích xung quanh và diện tích một mặt đáy của bể là S  xy  2 xh  2 yh  8 x 2  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! 54 x Trang 2 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 Ta đi tìm x để S đạt giá trị nhỏ nhất. Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức AM-GM : Ta có S  8 x 2  27 27 27 27 3   3 3 8x2 . .  54 . Dấu ‘=’ xảy ra khi x  . x x x x 2 Vậy giá trị nhỏ nhất của S bằng 54 khi x  Cách 2 : Xét hàm số S  8 x 2  Có S '  16 x  3 8 y . 2 3 54 , x 0. x 3 54 ; S'0 x . 2 2 x Ta có bảng biến thiên : Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x  Vậy khi chiều dài của bể bẳng 3 8 y . 2 3 8 m thì ta xây bể tốn ít nguyên vật liệu nhất. 3 [email protected] Bài 2(4 điểm). 1. Cho tam giác ABC có cạnh BC  a , AB  c thỏa mãn 2a  c .cos B B  2a  c .sin , với 2 2 2a  c . Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác cân. Lời giải: Tác giả: Trần Hải;Fb: Trần Minh Hải Bình phương hai vế ta có phương trình:  2a  c  .cos2 B B   2a  c  .sin 2 2 2  2a  c    2a  c  . 1  cos B    2a  c  . 1  cos B   2a.cos B  c  4R.sin A.cos B  2R.sin C  2.sin A.cos B  sin C  sin  A  B   sin  A  B   sin C  sin(1800  C )  sin( A  B)  sin C  sin( A  B)  0  A  B do 0  A, B   . Vậy tam giác ABC cân tại C . 2. Có hai chuồng nhốt thỏ, chuồng thứ nhất nhốt 19 con thỏ lông màu đen và 1 con thỏ lông màu trắng. Chuồng thứ hai nhốt 13 con thỏ lông màu đen và 2 con thỏ lông màu trắng. Bắt Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 ngẫu nhiên mỗi chuồng đúng 1 con thỏ. Tính xác suất để bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau. Lời giải: Chuồng thứ nhất bắt ra 1 con thỏ có 20 cách. Chuồng thứ hai bắt ra 1 con thỏ có 15 cách. Số cách bắt ra mỗi chuồng 1 con thỏ là: n    15.20  300 Gọi A là biến cố: "bắt được hai con thỏ cùng màu" + TH1: Hai con thỏ cùng màu đen có 13. 19 = 247 (cách) + TH2: Hai con thỏ cùng màu trắng có 1. 2 = 2 (cách) n( A)  247  2  249 (cách)  P( A)  n( A) 249  n    300 Do đó xác suất bắt được hai con thỏ có màu lông khác nhau là: 1  249 17 .  300 100 [email protected] Bài 3 (3 điểm). Cho x, y là các số thực dương. Giải hệ phương trình sau   y  1 log 4  x  1 y  1   16   x  1 y  1 .  2 2  4 x  7 xy  3x  y  99 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Chúc; Fb:Chuc Nguyen Ta có  y  1 log 4  x  1 y  1  16   x  1 y  1  log 4  x  1  log 4  y  1   log 4  x  1   x  1  2  16   x  1 (vì x, y dương) y 1 16  log 4  y  1 y 1  log 4  x  1   x  1  2  log 4 16 16   2 1 . y 1 y 1 Xét hàm số f  t   t  log 4 t  2 liên tục trên  0;   . Ta có f '  t   1 1  0 t  0 . t  ln 4 Suy ra hàm số y  f  t  liên tục và đồng biến trên  0;   .  16  Phương trình 1 có dạng f  x  1  f    y 1   x 1  16   x  1 y  1  16  xy  x  y  15 y 1 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018  2 x  y  x  y  1  15  2  . Ta có 4 x 2  7 xy  3x  y 2  99   2 x  y   3x  y  1  99  3 . 2 Từ  2  ,  3 ta có hệ phương trình 2    2 x  y   x  y  1  15  2 x  y   3  2 x  y   54   2 2 x  y  3 x y  1  99         2 x  y   x  y  1  15 2 x  y  9   2 x  y  9 (vì x, y dương nên 2 x  y  0 )     2 x  y  6   x  y  1  6  2 x  y  x y  1  15      x  1   y  7  x 8  2 x   6 (thỏa mãn điều kiện x, y  0 ).    x  3   y  9  2x    y  3 Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm S  1;7  ;  3;3. [email protected] Bài 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng Oxy , cho hình chữ nhật ABCD , AB  2 AD . Điểm N thuộc cạnh AB sao cho AN  1 AB , M là trung điểm của DC . Gọi I là giao điểm của MN 4 và BD . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác BIN . Biết điểm A  2;1 , đường thẳng BD có phương trình 11x  2 y  5  0 , điểm B có hoành độ là số nguyên. Lời giải Tác giả: Cao Hữu Trường; Fb: Cao Hữu Trường Gọi P là trung điểm của AB , J là giao điểm của PM và BD . Ta có P , M là trung điểm của AB và DC nên AP  PM  MD  AD  APMD là hình vuông. Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018  DM  DM Xét hai tam giác vuông MNP và DJM có   MN  DI  MNP  DJM  MNP  DJM  MN  BD . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên BD , ta có AH  d  A, BD   5 . Ta có 1 1 1    AB  5 . 2 2 AH AB AD 2  11t  5  Gọi B  BD  B  t ;  . Vì điểm B có toạ độ nguyên nên t  . 2   2 t  1  11t  3  2  Mà AB  5   t  2      5  125t  50t  75  0   3 t  2   5 2  B  1; 3 vì t là số nguyên. Ta có AN  1 5  AB  N  ;0  . 4 4  15 1 3 Gọi K là trung điểm của BN , khi đó K  ;   , KB  . 8 8 2 2 2 1  3 225  Phương trình đường trong ngoại tiếp tam giác BIN là:  x     y    . 8  2 64  [email protected] Bài 5 (4 điểm). Cho lăng trụ ABC. ABC có đáy là tam giác vuông tại A, AB  a, BC  2a. Mặt bên BCCB là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đáy. Góc giữa hai mặt phẳng  BCC B  và  ABBA  bằng  , với tan   5 2 , hãy tính theo a : 4 a) Thể tích khối lăng trụ ABC. ABC. b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC  và BC. Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Hưng; Fb: Nguyen Hung * Nhận xét: Đề nên cho BBC là góc nhọn, nếu không phải xét thêm trường hợp BBC  900 và BBC  900 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 a) Dựng AH  BC  H  BC  , suy ra AH   BCCB  . Trong tam giác vuông ABC : AC  BC 2  AB 2  a 3, AH  AB. AC a 3  . BC 2  BB  HI Dựng HI  BB  I  BB thì   BB   AHI  hay AIH   .  BB  AH  Ta có: BH  AB 2 a AH a 3 5 2 a 6 IH 2 6 .  , IH   :   sin IBH   BC 2 tan  2 4 5 BH 5 1 1 6 2 3 Vậy VABC . ABC  3VA.BBC  3 AH . BB.BC.sin IBH  a. 3 2 5 b) Dựng BD  BC  D  BC  , ta có BD   ABC  . Ta có d  AC , BC   d  AC ,  BAC    d  C ,  BAC    d  B,  BAC    BC .d  D,  BAC   . DC Dựng DJ  AC  J  AC  , DK  BJ  K  BJ  , khi đó d  D,  BAC    DK . 2a  BD  BB.cos IBH   2 6 1  5  cos IBH    Trong tma giác vuông IBH : sin IBH  5 5  4 6a BD  BB.sin IBH   5 DJ CD   Trong tam giác ABC : AB CB 2a 5  4  DJ  4 a . 2a 5 5 2a  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7 Mã đề X Sả n phẩ m củ a Group FB: STRONG TEAM TOÁN VD VDC Suy ra DK  DB.DJ DB '2  DJ 2 Vậy d  AC ; BC   Đề chọ n HSG tỉ nh Quả ng Ninh năm 2018 4 6a 4 . a 4 42a 5 5 .  35 96 2 16 2 a  a 25 25  BC 42 .DK  a. DC 7 [email protected] Bài 6 (2 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 10 P  16 xy  2 10 yz  2 10 xz 45  x  y  z Lời giải Tác giả: Phan Quang Sơn Ta có 16 xy  2 10 yz  2 10 xz  16 xy  2 (2 y)(5z)  2 (2 x)(5z)  8x  8 y  2 y  5z  2 x  5z  10( x  y  z) . Vậy ta có P  Xét f  t   1 10 1 10     f  t  , với t  x  y  z  0. 10  x  y  z  45  x  y  z 10t t  45 1 10 1 10 với t>0. Ta có f  (t )   2  ;  10t t  45 10t (45  t ) 2 f (t )  0   t  45  2 t  5 t 0  100t   45  t  5 . t   11 2 Ta có bảng biến thiên Suy ra P  f  t   9 t  0 . 50 25  5 x y   9 x  y  z  12 Do đó giá trị nhỏ nhất của P là đạt được khi  2  50  x  y  z  5  z  5 6  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 8 Mã đề X TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 KÌ THI CHỌN HSG LỚP 10 HÀ NAM NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN LỚP 10 TIME: 180 PHÚT Câu 1. (5.0 điểm) . 1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thẳng  d  : x  y  m  0 ( m là tham số thực) và hai điểm A  1;  1 , B  2; 2  . Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành. 2. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2  x 2  y 2   1  xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2 . Tính M  m . Câu 2. (5.0 điểm) 1. Giải phương trình  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13 . 3 3 2   x  y  3x  6 x  3 y  4  0 2. Giải hệ phương trình  . 2  ( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 y Câu 3. (2.0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho 1 3 AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M  ;   là trung điểm HC . Xác định 2 2 tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 . Câu 4. (6.0 điểm) 1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN . 2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại a 3  b 3  c 3 2r   4 . Chứng mình tam giác ABC là tam giác đều. abc R 3. Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d . tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn Tính giá trị biểu thức T   ab  cd  ad  bc  S . Câu 5. (2.0 điểm) Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 a 2  b2  c 2    . 2a  1 2b  1 2c  1 a 2  b2  c 2  6 -----------------Hết----------------Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC Câu 1.1. Trong mặt phẳng Oxy cho parabol  P  : y  x 2  mx  3m  2 , đường thằng  d  : x  y  m  0 ( m là tham số thực) và hai điểm A  1;  1 , B  2; 2  . Tìm m để đường thẳng  d  cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt M , N sao cho A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành. Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Khoa ; Fb: Khoa Nguyen Xét phương trình hoành độ giao điểm của  P  và  d  : x2  mx  3m  2  x  m  x2   m  1 x  2m  2 1 .  Đường thẳng  d  cắt parabol  P  tại hai điểm phân biệt  1 có hai nghiệm phân biệt m  1 2 .     m  1  4  2m  2   0  m2  10m  9  0   m  9 Khi đó,  d  cắt  P  tại hai điểm M  x1 ; x1  m  , N  x2 ; x2  m  với x1 , x2 là nghiệm của 1 (giả sử x1  x2 ).  Bốn điểm A , B , M , N là bốn đỉnh của hình bình hành xảy ra các trường hợp sau: Trường hợp 1: Bốn điểm lập thành hình bình hành ABNM .  AB  MN  3  x2  x1 . 2m   x1   2  x1  x2  1  m  4m   Kết hợp với định lý Vi-et ta có hệ:  x1 .x2  2m  2   x2  2 x  x  3   2 1  x1 .x2  2m  2   Suy ra  m  0 2m 4m .  2m  2  m2  10m  0   . 2 2  m  10  x  1  M  1;  1  A  Với m  0 , 1 trở thành: x 2  x  2  0   (loại). x  2  N  2; 2   B  x  6  M  6; 4   Với m  10 , 1 trở thành: x 2  9 x  18  0   thỏa mãn ABNM tạo  x  3  N  3;7  thành hình bình hành. Trường hợp 2: Bốn điểm lập thành hình bình hành ANBM . Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 1 1 Khi đó, I  ;  là trung điểm của AB cũng là trung điểm của MN nên 2 2  x1  x2 1  2  2  m  0 (loại)   x1  x2  2m  1  2 2 Vậy m  10 . Câu 1.2. Cho các số thực x, y thỏa mãn: 2  x 2  y 2   1  xy . Gọi M là giá trị lớn nhất và m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2 . Tính M  m . Lời giải Tác giả: Lâm Thanh Bình; Fb: Lâm Thanh Bình 2 P  7  x 4  y 4   4 x 2 y 2  7  x 2  y 2   2 x 2 y 2   4 x 2 y 2 .    7x  y 2 P  2 2 7 2 2  1  xy  2 2 2 2  10 x y  7    10 x y   x y  2 xy  1  10 x y . 2 4   2 2 2 33 2 2 7 7 x y  xy  . 4 2 4 Đặt t  xy , ta có 1  xy  2  x 2  y 2   4 xy  xy  1 1 t  . 3 3 1 1 2 2 2  x  y   2 xy   1  xy  2  x  y   1  5 xy  0  xy    t   .   5 5 P M 33 2 7 7 t  t 4 2 4  1 1 với t    ;   5 3 7 20 70 7 xảy ra khi t  hay xy  . Khi đó x 2  y 2  . 33 33 33 33 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 3 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC    x     7   y   xy  33   Ta có     x 2  y 2  20   33  x       y    m Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 34 2  33 11 2 34 2  33 11 2 . 34 2  33 11 2 34 2  33 11 2 18 1 1 2 xảy ra khi t   hay xy   . Khi đó x 2  y 2  . 25 5 5 5  5  x  5    5 1    y    xy   5 5  Ta có  .   5  x2  y 2  2  x    5 5     y  5   5 Vậy M  m  2344 . 825 Câu 2.1. Giải phương trình  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13 . . Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thu Nghĩa; Fb: Thu Nghia Ta có  x  1 6 x 2  6 x  25  23x  13   x  1  6 x 2  6 x  25   2 x  3  2 x 2  18 x  16  0 1   TH1: 3  x   2 6 x2  6 x  25   2 x  3  0   (PTVN)  2  6 x  6 x  25  2 x  3 TH2: 6 x2  6 x  25   2 x  3  0 1   x  1  2x 2  18 x  16  6 x  6 x  25   2 x  3 2  2 x 2  18 x  16  0 Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 4 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019   x 1   2 x 2  18 x  16    1  0  6 x 2  6 x  25   2 x  3   2 x 2  18 x  16  0 1  x 1  1  0 2  6 x  6 x  25   2 x  3   2 x 1 Giải 1 ta được  . x  8 Giải  2   6 x2  6 x  25  3x  4 4  x  3   x  5  2 7 . 3x 2  30 x  9  0    Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S  1; 8;  5  2 7 . Câu 2.2. Giải hệ phương trình 3 3 2   x  y  3x  6 x  3 y  4  0  2  ( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x  5 x  12 y Lời giải Tác giả:Hoàng Ngọc Huệ ; Fb: Hoàng Ngọc Huệ. Điều kiện: y  1 . Ta có x3  y3  3x2  6 x  3 y  4  0  ( x  1)3  3( x  1)  y3  3 y (1). Xét hàm số f (t )  t 3  3t , f (t )  3t 2  3  0, t  . Do đó hàm số f (t ) đồng biến trên . Mà phương trình (1) có dạng f ( x  1)  f ( y) nên x  1  y . Do y  1 nên x  2 . Thế x  1  y vào phương trình ( x  1) y  1  ( x  6) y  6  x2  5x  12 y ta có ( x  1) x  2  ( x  6) x  7  x2  7 x  12  ( x  1)( x  2  2)  ( x  6)( x  7  3)  x 2  2 x  8  x  2 (TM ) ( x  1)( x  2) ( x  6)( x  2)    ( x  2)( x  4)   x  1 . x6    x  4 (*) x2 2 x7 3  x  2  2 x7 3 Giải phương trình (*): x 1 x6 2( x  2) 2 2( x  6)   x4  ( x  2)    ( x  6)  0 x22 x7 3 x2 2 x2 2 x7 3   x2    x  7 1  2  ( x  2)   ( x  6)      0 (**) x  2  2 x  2  2 x  7  3     Dễ thấy vế trái của phương trình (**) luôn âm với mọi x  2 . Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y)  (2;3) . Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 5 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 Bổ sung: Để đánh giá (*) vô nghiệm cũng có thể xét riêng Trường hợp 1: x  1  VT  x 1 x  6 7   x  x4 2 2 2 Trường hợp 2: x 1 x6  x22 x7 3 x6   2x  x 1  x6   2   0.  3  x7 3  x22  3 1  x  2  VP  VT   x  4   Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC cân tại A(1;3) . Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho 1 3 AB  3 AD và H là hình chiếu vuông góc của B trên CD . Điểm M  ;   là trung điểm HC 2 2 . Xác định tọa độ đỉnh C , biết đỉnh B nằm trên đường thẳng có phương trình x  y  7  0 . Lời giải Tác giả: Dương Nguyễn, Hạnh Bích; Fb: Dương Nguyễn, Hạnh Bích Gọi F là trung điểm của BC . Gọi E là giao điểm của CD với đường thẳng qua A và song song với BC  AEBF là hình chữ nhật  AEBF nội tiếp đường tròn (T ) có đường kính là AB và EF . Ta có MF là đường trung bình của tam giác BHC  MF song song với BH  EMF  900  E, M , F nằm trên đường tròn đường kính EF  A, E, B, F , M nằm trên đường tròn (T )  AMB  900  AM  BM . Vì B   d  : x  y  7  0  B(b; 7  b) . Vì AM  BM  AM .BM  0  b  4  B(4; 3) . Do D nằm trên cạnh AB và AB  3 AD  AB  3 AD  D(2;1) .  Phương trình đường thẳng CD là: x  y  1  0  C(c; 1  c) . c  7 C (7;6) 2 2  Do AB  AC   c  1   4  c   45   . c  2 C (2; 3) Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 6 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 Câu 4.1. Cho tam giác ABC đều có cạnh bằng 15 . Lấy các điểm M , N , P lần lượt trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM  5, CM  10, AP  4 . Chứng minh rằng AM  PN . Lời giải Tác giả: Nguyễn Tuấn ; Fb: Nguyễn Tuấn 0 Đặt AB  b, AC  c. Khi đó BC  c  b và b.c  b . c .cos60  225 . 2 1 1 1 2 Ta có AM  AB  BM  AB  BC  b  (c  b)  c  b. 3 3 3 3 1 4 PN  AN  AP  c  b. 3 15 1 2 1 4 1 2 8 2 2 1 8 1 Khi đó AM .PN   c  b  .  c  b   c  b  b.c      .225  0. 3   3 15  9 45 15 3  9 45 15  Suy ra AM  PN. Câu 4.2. Cho tam giác ABC có BC  a, CA  b, AB  c và R, r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC thoả mãn a 3  b 3  c 3 2r   4 . Chứng mình tam giác ABC là tam abc R giác đều. Lời giải Tác giả: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu; Fb: Huỳnh Nguyễn Luân Lưu Ta có: S   Do đó: abc abc r abc r  pr  S 2  . p.  p  p  a  p  b  p  c   . p. 4R 4 R 4 R 2r  a  b  c  a  b  c  b  c  a   . R abc a 3  b 3  c 3 2r  4 abc R  a3  b3  c3   a  b  c  a  b  c  b  c  a   4abc 2  a3  b3  c3  a 2   b  c    b  c  a   4abc   Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 7 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 2  a3  b3  c3  a3  a 2  b  c    b2  c 2   b  c   a b  c    4abc    a2b  ab2  b2c  bc 2  c 2a  a 2c  6abc (*) Áp dụng bất đẳng thức Cachy, ta có: a2b  ab2  b2c  bc2  c2a  a 2c  6abc  Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c . Ta có: (*)  a  b  c  ABC là tam giác đều (Đpcm) Câu 4.3 Cho tứ giác lồi ABCD có AC  BD và nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R  1 . Đặt diện tích tứ giác ABCD bằng S và AB  a, BC  b, CD  c, DA  d . Tính giá trị biểu thức T   ab  cd  ad  bc  S . Lời giải Tác giả: Khổng Vũ Chiến ; Fb: Vũ Chiến D c d O C A a b B Ta có : S ABC  S .4 R a.b. AC  ab  ABC 4R AC Tương tự ta cũng có : cd  T S ADC .4 R S .4 R S .4 R , ad  ABD , bc  BCD AC BD BD  ab  cd  ad  bc  S  S ABC .4 R S ADC .4 R  S ABD .4 R S BCD .4 R       AC AC  BD BD    S S S S S S S S S  4  ABC . ABD  ABC . BCD  ADC . ABD  ADC . BCD  AC BD AC BD AC BD AC BD    S  4  S ABC .S ABD  S ABC .S BCD  S ADC .S ABD  S ADC .S BCD  S . AC.BD Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 8 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC  4  S ABC .S  S ADC .S  S . AC.BD  Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 4S  S ABC  S ADC  4S .S  2 S . AC.BD S .2S 4  S ABC  S ABD  S BCD   S ADC  S ABD  S BCD     . S . AC.BD Vậy T  2 . Câu 5. Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn a  b  c  3 . Chứng minh rằng a2 b2 c2 a 2  b2  c 2 .    2a  1 2b  1 2c  1 a 2  b2  c 2  6 Lời giải Cách 1: Tác giả: Trương Văn Tâm; Fb: Văn Tâm Trương Bất đẳng thức đã cho tương đương với a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2  6  a2 b2 c2   0 2a  1 2b  1 2c  1 VT Trong đó  a2 a2 a2 1 1 1 a 11 a 2 2a   3   .a. 3 a   .a. 3 a.1.1   .a.   . 2a  1 a  a 1 3 3 3 3 9 9 3 a.a.1 b2 c2 b2 2b c 2 2c Tương tự ta có  và      . 2b  1 2c  1 9 9 9 9 Suy ra VT  a 2  b2  c 2 a 2  b2  c 2  6  1 2 2 a  b2  c 2   .  9 3 2  2 a  b  c  2 2 3 a  b  c  Đặt t  a 2  b2  c 2  6 . Ta có   t  3; 15  . 3 a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  9    Lúc đó, với mọi t  3; 15  ta có VT  t2  6 1 2 2 t 2  6 t 2 9t 2  54  t 3  3  t  t  t  6   18  t  6       0. t 9 3 t 9 9t 9t Dấu bằng xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1. Cách 2: Tác giả: Thành Đức Trung; Fb: Thành Đức Trung Ta có a a2 1 a 1 a2 a2 a 1 a2   .  . 2    . 2 . 2 2a  1 2 2 a  1 2 2 a  a 2a  1 2 2 2 a  a b2 b 1 b2 c2 c 1 c2   .   . Tương tự có và . 2b  1 2 2 2b2  b 2c  1 2 2 2c 2  c Suy ra a2 b2 c2 3 1  a2 b2 c2       2  2  2 . 2a  1 2b  1 2c  1 2 2  2a  a 2b  b 2c  c  Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 9 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 Sở Hà Nam năm 2018-2019 Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng phân thức ta có a  b  c a2 b2 c2 9     2 2 2 2a  a 2b  b 2c  c 2  a 2  b2  c 2   3 2  a 2  b2  c 2   3 2  a2 b2 c2 3 1 9 3 9 .     .   2 2 2 2 2 2a  1 2b  1 2c  1 2 2 2  a  b  c   3 2 4  a  b  c 2   6 Ta cần chứng minh 3 9 a 2  b2  c 2 .   2 4  a 2  b2  c 2   6 a 2  b2  c 2  6 1 2  2 a  b  c  2 2 3 a  b  c  Đặt t  a 2  b2  c 2  6 . Ta có  . 3 a 2  b 2  c 2  a  b  c 2  2 ab  bc  ca  9      3 9 t2  6 t2  6 9 3   Suy ra t  3; 15  . Ta có 1   2     . 2 2 4t  18 t t 2  2t  9  2 2 2 t 4  81 t4 9 81 Mặt khác, ta có 0  2t 2  9  .9t 2  9  . 9    4. 2 9 9 2 9 2  2t  9  2t 6 81 3 Ta cần chứng minh t   4  . t 2t 2  81 t t t t t 81 t 81 t 5 7 t  4       4   5. 5      3 6 6 6 6 2t 3 2592 3 2 2 . Thật vậy, vì t  3 nên  2t  6  2   t 6 81 7 3 Suy ra t   4   2  . t 2t 2 2 Dấu ''  '' xảy ra khi t  3 , suy ra a  b  c  1 . Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 10 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019 ĐỀ THI HSG LỚP 10 THPT THUẬN THÀNH 2 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN TIME: 150 PHÚT ĐỀ BÀI Câu 1. (3.0 điểm) . Cho hàm số y  x 2  4 x  4  m ; Pm  . a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 . b) Tìm m để Pm  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1;4 Cho x1 và x 2 là hai nghiệm của phương trình x 2  3x  a  0 ; x3 và x 4 là hai Câu 2. (3.0 điểm) nghiệm của phương trình x 2  12 x  b  0 . Biết rằng x 2 x3 x 4   . Tìm a và b. x1 x2 x3 Câu 3. (6.0 điểm) a) Giải phương trình: x 2  x  2 x  1  0  x 3  3x 2  4 x  2  y 3  y b) Giải hệ phương trình:  4 x  6 x  1  7  4 x  1 y Câu 4. (3.0 điểm) a) Cho tam giác OAB. Đặt OA  a, OB  b . Gọi C, D, E là các điểm sao cho AC  2. AB, OD  1 1 OB, OE  OA . Hãy biểu thị các vectơ OC, CD, DE theo các vectơ a, b . Từ đó 2 3 chứng minh C, D, E thẳng hàng. b) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, có trọng tâm G. Gọi E,H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC; D là điểm đối xứng với H qua A. Chứng minh EC  ED Câu 5. (3.0 điểm) Trên mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A 1;1; B2;4 . a) Tìm điểm C trên trục Ox sao cho tam giác ABC vuông tại B. b) Tìm điểm D sao cho tam giác ABD vuông cân tại A. Câu 6. (2.0 điểm) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn x  y  2019 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x 2019  x  y 2019  y -----------------Hết----------------- Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 1 TỔ 16 - STRONG TEAM TOÁN VD VDC Đề thi HSG lớ p 10 THPT Thuậ n Thành 2 – Bắ c Ninh năm 2018-2019 PHẦN ĐÁP ÁN CHI TIẾT Câu 1. Thực hiện lời giải và sưu tầm bởi tập thể tổ 16 Strong team Toán VD-VDC Cho hàm số y  x  4 x  4  m;  Pm  . 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m  1 . b) Tìm m để  Pm  cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ cùng thuộc đoạn  1; 4 . Lời giải Tác giả:Nguyễn Thị Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Linh a) Với m  1 hàm số trở thành y  x 2  4 x  3; TXĐ: D   P1  . . Đồ thị  P1  là một parabol có đỉnh I  2; 1 và hệ số a  1  0 nên bề lõm của parabol hướng lên trên. BBT Đồ thị  P1  cắt trục hoành tại điểm A 1;0  , B  3;0  , cắt trục tung tại điểm C  0;3 và nhận đường thẳng x  2 làm trục đối xứng. Đồ thị b) Phương trình hoành độ giao điểm của  Pm  và trục hoành: x2  4 x  4  m  0  x2  4 x  3  m  1 1 . Dựa vào đồ thị ta thấy, 1 có 2 nghiệm cùng thuộc đoạn  1; 4 khi và chỉ khi 1  m  1  3 hay Câu 2. 0m4 . Cho x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình x2  3x  a  0 ; x3 và x4 là hai nghiệm của phương trình x2  12 x  b  0 . Biết rằng x2 x3 x4   . Tìm a và b. x1 x2 x3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Phu ; Fb:Nguyễn Văn Phu Hãy tham gia STRONG TEAM TOÁN VD-VDC- Group dành riêng cho GV-SV toán! Trang 2