Tài liệu Tứ diện bd hsg

MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TỨ DIỆN TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN I. TỨ DIỆN. Tính chất 1: Mặt phẳng (P) cắt ba cạnh SA,SB,SC của tứ diện S.ABC tại A’,B’,C’ khi đó : Chứng minh : Để chứng minh tính chất trên ta chứng minh tính chất sau đây trong hình phẳng Cho tam giác SAB đường thẳng d cắt hai cạnh SA,SB tại A’ và B’ khi đó S C' A' H' Thật vậy H A B' C Từ C và C’ của tứ diện S.ABC ta kẻ đường cao CH và C’H’ xuống mặt phẳng (SAB) B Bài toán 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mp(BCD), I là trung điểm của AH, mặt phẳng (P) qua I cắt các cạnh AB; AC; AD tại A’; B’; C’. Chứng minh rằng Giải: Do tứ diện đều nên H là trọng tâm của tam giác đều BCD A ạ B D' I B' C' H ư C D Bài toán 2: Cho tứ diện ABCD chứng minh rằng trong đó MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD Giải: D ng hình bình hành ABCE Dễ thấy A E C B Bài toán 3: Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối diện bằng nhau và lần lượt bằng . Chứng minh rằng D Giải: D ng tứ diện AQPR sao cho B,C,D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR,RP,PQ. Ta có mà D là trung điểm của PQ nên AQAR chứng minh tư ng t ta cũng có AQAR ; ARAP. Mặt khác xét các tam giác vuông APQ; AQR; ARP ta có Giải hệ trên ta được Vì tứ diện APQR có ba cạnh đôi một vuông góc nên Bài toán 4: Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng r. Gọi lần lượt là khoảng cách từ các điểm A,B,C,D đến các mặt đối diện Chứng minh rằng Bài toán 5: Cho tứ diện ABCD có AB=a. Gọi  là góc hợp bởi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) . CMR Với là diện tích hai tam giác ABC và ABD. Bài toán 6 : Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy bằng ; góc hợp bởi hai mặt bên kề nhau là . Chứng minh rằng Bài toán 7: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh bên bằng a; góc hợp bởi mặt bên và mặt đáy bằng ; góc hợp bởi hai mặt phẳng chứa hai mặt bên kề nhau bằng 2. Chứng minh rằng . (HSG vòng 1 An Giang 2011-2012) II. TỨ DIỆN VUÔNG. Cho tứ diện S.ABC có SA,SB,SC đôi một vuông góc (được gọi là tứ diện vuông). Gọi :  H là hình chiếu của S lên mp(ABC).  SA=a, SB=b, SC=c, SH=h  là góc hợp bởi SH và SA,SB,SC (khi đó lần lượt cũng là góc giữa mặt phẳng (ABC) và (SBC) , (SCA), (SAB).  Khi đó ta có Chứng minh: TC1: Gọi vuông tại S có SH là đường cao nên ta được: Tam giác BSC vuông tại S có SK là đường cao nên ta được TC2: TC3:Gọi J là tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện khi đó TC4 :Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện và M là trung điểm của BC khi đó I nằm trên trục đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông OBC vậy I nằm trên đường thẳng Mx vuông góc với mp(OBC) qua M. A Mặt khác I nằm trên mp trung tr c của đoạn OA nên I nằm trên Mx và cách mp(OBC) một khoảng a/2. Xét tam giác OIM vuông tại M ta được bán kính mặt cầu ngoại tiếp là N I B S M TC5 : Ta có C TC6: theo tính chất 1 ta được TC7 : áp dụng công thức lượng giác từ TC6 ta được Một số kết quả về bất đẳng thức ế Chứng minh: ụ ụ Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpky Theo TC2 ta được ụ ụ Áp dụng TC1 và Bất đẳng thức Cosi cho ba số ta được . ượ ượ ề ả ứ ế Lại theo bài vừa chứng minh ta được Sử dụng tính chất ậ Theo tính chất 4 ta có Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta được ; Áp dụng BĐT Cosi cho ba số ta được Áp dụng TC1 ta được Vậy Áp dụng bất đẳng thức Bu nhiacốpky cho ba số ta được: Nhưng vì nên ta được Đặt ta được ư ượ ậ Đặt ta được ấ ằ Một số kết quả khác Tài liệu trên có tham khảo Tài liệu Tập huấn phát triển chuyên môn trường chuyên môn toán của Bộ Giáo Dục & Đào Tạo và của Thầy Lê Lễ THPT chuyên Lê Quý Đôn Ninh Thuận năm 2011.