Tài liệu Trường tachyon trong lí thuyết dây

LỜI CẢM ƠN Trước tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn và và lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH. ĐÀO VỌNG ĐỨC – người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng và là người trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo ở phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong khoa Vật lí trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các giáo sư, tiến sĩ đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn các bạn học viên ở lớp cao học K15 – chuyên ngànhVLLT & VLT đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành, nhưng luận văn của tôi khó tránh khỏi những thiếu sót. Mặt khác, đề tài: “Trường Tachyon trong lí thuyết Dây” là một đề tài mới, đối tượng và phạm vi nghiên cứu của đề tài cũng thuộc lĩnh vực mới của vật lí lí thuyết nên kết quả luận văn đạt được có thể chưa triệt để. Tôi rất mong nhận được ý kiến chỉ bảo, ý kiến đóng góp của các thầy, cô giáo, các bạn học viên và những người quan tâm đến đề tài này. Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa LỜI CAM ĐOAN Tôi tên là Nguyễn Trọng Nghĩa, học viên cao học khóa 2011 – 2013 chuyên ngành VLLT & VLT – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn của tôi với đề tài: “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Nếu có điều gì không trung thực trong luận văn của tôi, tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học. Hà Nội, ngày 18 tháng 6 năm 2013 Tác giả Nguyễn Trọng Nghĩa MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN ..................................................................................................... LỜI CAM ĐOAN ............................................................................................... MỤC LỤC ........................................................................................................... MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 7 NỘI DUNG ....................................................................................................... 9 Chương 1. DÂY BOSON.................................................................................. 9 1.1. Phương trình chuyển động của dây....................................................... 9 1.2. Toạ độ dây và các dao động tử quỹ đạo.............................................. 12 1.3. Đại số dây Virasoro............................................................................. 14 1.3.1. Lượng tử hóa dây boson, tensor xung – năng lượng trên lá thế. . 14 1.3.2. Đại số dây Virasoro. .................................................................... 17 1.4. Phổ khối lượng các trạng thái kích thích dây...................................... 21 Chương 2. SIÊU DÂY .................................................................................... 24 2.1. Siêu đối xứng dây................................................................................ 24 2.2. Siêu dao động tử quỹ đạo .................................................................... 26 2.2.1. Siêu dây mở.................................................................................. 26 2.2.2. Siêu dây đóng .............................................................................. 27 2.3. Siêu đại số dây .................................................................................... 29 2.3.1. Lượng tử hóa Siêu dây ................................................................. 29 2.3.2. Siêu đại số Neveu – Schwarz và Ramond ................................... 31 2.4. Phổ khối lượng các trạng thái kích thích Siêu dây ............................. 36 Chương 3. CƠ CHẾ KHỬ TACHYON .......................................................... 40 3.1. Khử tachyon trong Siêu dây................................................................ 40 3.2. Đối xứng nội tại dây và đại số dây với đối xứng nội tại dây. ............. 41 3.3. Khử tachyon trong dây boson ............................................................. 44 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 49 7 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Lí thuyết Dây được đánh giá là một phương hướng nhiều triển vọng để xây dựng các mô hình thống nhất các tương tác cơ bản – mạnh, yếu, điện từ và hấp dẫn.Lí thuyết Dây gắn kết được những cách tiếp cận tưởng chừng như khác nhau trước đây trong Lí thuyết tương tác các hạt cơ bản, dẫn đến những ý tưởng rất mới mẻ, có tính cách mạng trong Vật lí lí thuyết và cả trong vũ trụ học. Tuy nhiên, để xây dựng Lí thuyết Dây hoàn chỉnh còn phải giải quyết nhiều khó khăn, một trong những vấn đề nổi bật đó là sự tồn tại của các trường tachyon ứng với các hạt có m2< 0 và do đó có vận tốc chuyển động lớn hơn c. Để giải quyết khó khăn này, tôi chọn đề tài: “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” là đề tài luận văn của mình. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài luận văn “Trường tachyon trong lí thuyết Dây” nhằm mục đích tìm hiểu và nghiên cứu về các hạt tachyon trong Lí thuyết Dây, đặc biệt quan tâm đến các cơ chế khác nhau nhằm loại trừ tachyon. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu và nghiên cứu về các hạt tachyon và cơ chế loại trừ tachyon trong lí thuyết Dây. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Có những giả thuyết đã được đề xuất nhằm loại trừ tachyon trong Lí thuyết Dây, trong đó đáng chú ý là sử dụng toán tử chiếu GSO (Gliozzi – Scherk – Olive). Tuy nhiên, hạn chế của toán tử chiếu GSO là chỉ có thể áp 8 dụng cho Siêu dây NS (Neveu – Schwarz) nên luận văn của tôi tập trung nhiều đến cơ chế khử tachyon trong Dây boson. 5. Những đóng góp mới của đề tài Triển khai các tính toán chi tiết của một số phép biến đổi trong lí thuyết Dây. Đưa ra và thực hiện những phương pháp nhằm loại trừ tachyon trong lí thuyết Dây, đặc biệt là dây boson 6. Phương pháp nghiên cứu Luận văn sử dụng các phương pháp: - Lí thuyết trường lượng tử và hạt cơ bản. - Lí thuyết nhóm. - Đại số Virasoro và siêu đại số. - Lí thuyết Gauge cho phiếm hàm trường dây. 9 NỘI DUNG Chương 1. DÂY BOSON 1.1. Phương trình chuyển động của dây Lí thuyết trường lượng tử tương ứng với quan niệm hạt là đối tượng không “kích thước – điểm”theo nghĩa toán học. Để giúp tìm hiểu sâu hơn về khái niệm hạt dây, ta nhắc sơ qua về hạt điểm. Khi chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt điểm vạch nên một đường gọi là đường thế (xem hình 1.1). đường thế 2 xμ (τ) 1 Hình 1.1 Vị trí của dây có thể được mô tả bởi hàm vector x ( ) phụ thuộc vào thông số nào đó dọc theo quỹ đạo, có thể hiểu là thời gian riêng của hạt, chỉ số Lorentz khái quát trong không – thời gian D chiều, là 0,1,2,...,D 1. Chuyển động của hạt điểm trong không – thời gian Minkowski với metric: diag(1, 1,..., 1) được mô tả bởi tác dụng: S d e 1( ) x . x (1.1) Trong đó e( ) là một hàm nào đó, đóng vai trò như một metric dọc theo quỹ đạo, d . d 10 Tác dụng (1.1) là bất biến đối với phép biến đổi tổng quát: ' f( ) e( ) d ' e( ) d e'( ') Thật vậy, ta có: S d 'e 1' ( ') ' x . 'x d ' d 'e ( ) d d x . x. d ' 1 d 'e 1 ( ) d d ' d e 1( ) 2 x . x x . x S Tính bất biến này có thể sử dụng để đặt e( ) =1. Lúc này ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và viết (1.1) lại thành: S d x . x (1.2) Phương trình Euler – Lagrange áp dụng đối với x : L x L 0 ( x ) dẫn tới phương trình: d2 x d 2 0 có nghiệm tương ứng với đường thẳng trong không – thời gian Minkowski. Khi xem hạt là đối tượng có kích thước một chiều – dây, thì cách tiếp cận cũng tương tự.Khi chuyển động trong không – thời gian từ vị trí 1 đến vị trí 2, hạt dây sẽ quét nên một mặt gọi là lá thế (xem hình 1.2). 11 lá thế 1 2 Xμ (τ,σ) Hình 1.2 Vị trí dây trong không – thời gian được xác định bởi hàm X ( , ) phụ thuộc vào hai thông số , và có thể hiểu như thời gian riêng của dây, , có thể hiểu như độ dài xác định từng điểm trên dây, với các giá trị được chọn trong khoảng 0 . Kết hợp lại thành vector hai chiều trên lá thế, ta viết: ( , ), 0 , 1 Đưa vào các metric tensor trên lá thế h và h với các tính chất: h h ,h h ,h h và biến đổi theo quy luật: h ( ) h' ( ') h ( ) h' ( ') ' ' . ' ' . .h ( ) .h ( ) (1.3) dưới tác dụng của phép biến đổi tổng quát: ' f ( ) (1.4) Chuyển động của hạt dây trong không – thời gian được mô tả bởi tác dụng: S 1 d2 2 hh X . X (1.5) trong đó: h det h h 00 h11 h 201, X X 12 Tác dụng (1.5) không những chỉ bất biến đối với phép biến đổi tổng quát mà còn bất biến đối với phép biến đổi Weyl định xứ metric: h ( ) ( ).h ( ) hh 2 (1.6) Vì lúc này: 1 ( )( h). ( )h hh Như vậy, ở đây có ba đối xứng định xứ: Đối xứng (1.4) với hai thông số và đối xứng Weyl (1.6). Do đó ta có thể chọn 3 thành phần độc lập của metric tensor h theo metric Minkowski h hai chiều: diag(1, 1) Ta nói rằng đã dùng conformal gauge, và lúc này tác dụng (1.5) sẽ thành: S 1 d2 2 X . X 1 d d ( X . X 2 X . X ) (1.7) Áp dụng phương trình Euler – Lagrange: L X L ( X ) 0 vào tác dụng (1.7) ta được phương trình chuyển động: X 2 2 X 0 (1.8) 1.2. Tọa độ dây và các dao động tử quỹ đạo Phương trình chuyển động của dây (1.8) là phương trình sóng một chiều với nghiệm tổng quát có thể viết dưới dạng: X XR XL (1.9) Trong đó X R mô tả các mode “chuyển động phải”, X L mô tả các mode “chuyển động trái” của dây. 13 Cần phân biệt dây mở và dây đóng (xem hình 1.3). dây đóng dây mở Hình 1.3 Với dây mở ta đặt điều kiện biên: X' 0 tại 0, (1.10) Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiên biên (1.10) có dạng khai triển như sau: XR ( XL ( ) ) X ( ) x 1 x 2 1 p ( 2 ) 1 x 2 1 p ( 2 ) p i n 1, 1 2,... n i 2n i 2n ne in ein( ) n 1, 1 2,... n ein( ) n 1, 1 2,... n .cosn (1.11) Ở đây có thể xem x và p như toạ độ và xung lượng của khối tâm của hạt dây, n như là các dao động tử quỹ đạo. Ta đòi hỏi X phải là thực nên x và p cũng là thực, và: n (1.12) n Với dây đóng, ta đặt điều kiện tuần hoàn: X ( , ) X ( , ) (1.13) Biểu thức tổng quát của nghiệm (1.9) thoả mãn điều kiện biên (1.13) có dạng khai triển như sau: 14 XR ( XL ( ) ) X ( ) x 1 x 2 1 p ( 2 ) 1 x 2 1 p ( 2 ) i 2n p 1, i 2n i 2n 1 2in e n 2,... 1, 1 2,... n 1, 1 %n e2in( 2,... n n n 2in e e2in( ) ) %n e2in (1.14) Chú ý rằng, trong trường hợp dây đóng, ta phân biệt dao động tử quỹ đạo n ứng với “chuyển động phải” và %n ứng với “chuyển động trái”. & Để tiện sử dụng về sau, ta viết các biểu thức khai triển của X và X' X X . Trong trường hợp dây mở, từ (1.11) ta có: & X n ein cosn n X' i n ein sin n (1.15) n trong đó, ta ký hiệu 0 p Trong trường hợp dây đóng, từ (1.14) ta có: & X e2in n e 2in %n e2in n e2in X' n e 2in %n e2in (1.16) n Trong đó, ta ký hiệu 0 %0 1 p 2 1.3. Đại số dây Virasoro 1.3.1. Lượng tử hoá dây boson, tensor năng – xung lượng trên lá thế Tiến hành lượng tử hoá dây, ta thừa nhận các hệ thức giao hoán đồng như sau: 15 X ( , ), ( , ') i X ( , ),X ( , ') 0 ( , ), ( , ') ( ') 0 (1.17) trong đó X ( , ) được xem là toạ độ chính tắc, ( , ) là xung lượng chính tắc được định nghĩa bởi: L & X ( ') là hàm - Dirac tuần hoàn thoả mãn tính chất: d f( ) ( f( '),0 ' 0, ' (0, ) ') 0 Ta có thể sử dụng các biểu thức khai triển khác nhau của ( (1.18) ') như sau: ( ') 1 2 1 ein( n ') 1 2 cos n( ') n cos n .cos n ' 1 n sin n .sin n ' (1.19) n Với Lagrangian ở (1.7) ta có: 1 & X (1.20) và các hệ thức (1.17) sẽ thành: & ( , ')] i [X ( , ),X v v ( ') & ( , ),X & ( , ')] 0 [X v (1.21) Từ các hệ thức giao hoán chính tắc trên đây ta có thể tìm được các hệ thức giao hoán giữa các dao động tử quỹ đạo n như sau: 16 - Với dây mở: m , v n m. v m , v n %m , %nv m , %nv (1.22) m n,0 - Với dây đóng: m. v m n,0 0 (1.23) Ngoài ra, các hệ thức giao hoán với x , p là: p ,x v x , i. v n v , x ,x v x , %mv p , p ,p v v m 0 p , %mv 0 (1.24) Xét tensor trên lá thế: T 1 2 X . X X . X (1.25) Tensor này có thể thu được từ Lagrangian (1.7) với định nghĩa: L . X ( X ) T (1.26) L Chú ý đến các tính chất sau đây của T : T =T , Từ tensor T 0, T T (1.27) 0 ta lập vector trên lá thế: P 1 d T (1.28) 0 0 Dùng hệ thức giao hoán chính tắc (1.17) dễ dàng chứng tỏ rằng: [p ,X ] i X Do có các hệ thức (1.27) - (1.29) cho nên tensor T (1.29) định nghĩa ở (1.25) được xem là tensor năng - xung lượng trên lá thế và vector P định nghĩa ở (1.28) là vector năng - xung lượng trên lá thế. 17 1.3.2. Đại số dây Virasoro Từ tensor năng - xung lượng T Ln 1 e in ta lập các toán tử: d (T00 cos n (1.30) iT01 cos n ), n Z 0 Đặc biệt: 1 Ln d T00 P0 0 Hãy biểu diễn Ln qua các dao động tử quỹ đạo. Từ (1.25) ta có: T00 1 && (X X 2 T10 1 & X' X 2 X' X' ) thay vào đây các biểu thức khai triển (1.15) và (1.16), ta tính được: 1 2k Ln L n k (1.31) ,n k với dây mở, và : Ln L%n Ln 1 2k L%n % k %,n (1.32) k với dây đóng. Từ định nghĩa (1.30), cũng như từ các biểu thức (1.31), (1.32), ta nhận thấy rằng: Ln Bây giờ hãy xem n L n , L%n L% n , %n với n > 0 như các toán tử huỷ, các toán tử sinh, và định nghĩa lại L n ,L%n n , % n như 18 Viết (1.31), (1.32) dưới dạng tích normal, trong đó toán sử sinh đứng trước toán tử huỷ (tính từ trái), tức là: Ln 1 2k : L%n 1 2k : % k %,n k : k ,n k : (1.33) Ta hãy tính giao hoán tử [Ln, Lm] Trước hết nhận xét rằng vì giao hoán tử giữa hai dao động tử quỹ đạo chỉ là một số, cho nên với bất kỳ toán tử F nào ta đều có: : m v n :,F v n m ,F Và do đó có thể viết: [Ln, Lm] = 1 4k [ k ,n k , v 1 v,m 1 ] (1.34) Áp dụng đồng nhất thức dạng: [AB,CD] = [A,C]BD+C[A,D]B + A[B,C]D + AC[B,D] (1.35) vào vế phải của (1.34) và sử dụng hệ thức (1.22) ta tính được: [Ln, Lm] = (n m) 1 2k k ,n m k (1.36) Lại chú ý rằng ta cần phân biệt tích normal và tích bình thường chỉ với L0 mà thôi, vì khi n 0 ta có: k ,n k Như vậy, trong trường hợp n + m [Ln, Lm] = (n m)Lm ,n k k 0 phương trình (1.36) cho ta: (1.37) n Trong trường hợp n + m = 0 , ở vế phải (1.37) sẽ xuất hiện thêm một số hạng gọi là dị thường, ký hiệu bởi A(n). Một cách tổng quát, ta có thể viết: [Ln, Lm] = (n m)Lm n + A(n). n+m,0 (1.38) 19 Số hạng dị thường A(n) có thể tính theo cách như sau: Giả sử 0 là trạng thái nền - chân không thoả mãn điều kiện: n %0 0 0 0 ,n>0 (1.39) Lúc này, từ định nghĩa của Ln ta có: Ln 0 = 0, n > 0 (1.40) Mặt khác, từ (1.38) ta có: [Ln, L-n] =2nL0 + A(n) (1.41) Để xác định ta xem n > 0. Lấy trung bình hai vế của (1.41) theo trạng thái 0 , chú ý tới (1.40), ta có: 0 LnL để tính 0 L n L n 0 2n 0 L 0 0 (1.42) A(n) 0 ta tiến hành như sau: Với n > 0 ta có: n L n 1 2k 0 1 2 : k , n k :0 n 1 , n 0 k , n k n 0 0 k 1 1 p 2 2 c n 1 n k 0 , n k k 1 c = 1 với dây mở, và c = 2 với dây đóng. Từ đây ta có: 0 LnL n 1 0 p vp c2 0 v n n 0 1n1 0 4 k,l 1 v,n 1 v 1 k , n k ) np 2 Các số hạng ở vế phải (1.43) tính như sau: 0 pvp v n n 0 pvp 0 [ v n n ]0 pvp ( n n 1 0 k,l 1 v v,n 1 1 k , n k 0 v 0 (1.43) 20 n 1 0 v 1 v,n 1 , k , n k 0 k,l 1 n 1 2 k 0 n k , n k 0 k 1 n 1 2 k 0 n k , 0 , n k k 1 n 1 2D 1 Dn(n 2 1) 3 k(n k) k 1 Trong quá trình tính ta đã sử dụng tính chất (1.39), đồng nhất thức (1.35) và: n k k 1 1 n(n 1) , 2 n 1 n(n 1)(2n 1) 6 k2 k 1 Như vậy, ta tính được: 0 LnL n n 2 p c2 0 D n(n 2 1) 12 (1.44) Tiếp theo, ta có: 0 L0 0 1 2k 0: k k 1 0 2 :0 8 0 0 0 1 2 p 2c2 (1.45) Thay (1.44) và (1.45) vào (1.41), ta có: A(n) D n(n 2 1) 12 (1.46) Vậy: [L n ,L m ] (n m)L n m D n(n 2 1) 12 n m,0 (1.47) m D n(n 2 1) 12 n m,0 (1.48) Với L%n cũng hoàn toàn như vậy: [L%n ,L%m ] (n m)L%n 21 Đại số tạo nên bởi các hệ thức giao hoán dạng (1.47), (1.48) được gọi là đại số Virasoro dị thường. 1.4. Phổ khối lượng các trạng thái kích thích dây Xét không gian Fock các trạng thái kích thích tạo nên do tác dụng các toán tử sinh n và %n , n > 0, lên trạng thái nền chân không 0 . Chuẩn của các trạng thái này không phải tất cả đều > 0.Chẳng hạn, các trạng thái 0 n 0 có chuẩn < 0. 0 0 n 0 n 0 0[ 0 n 0 n ]0 n, và do đó không thể xem là các trạng thái vật lí. Không gian các trạng thái vật lí chỉ là một không gian con của toàn không gian Fock nói trên, thoả mãn một số điều kiện nhất định. Trước hết, trạng thái vật lí phải có chuẩn > 0.Một trạng thái vật lí cũng phải thoả mãn các phương trình suy ra từ phương trình chuyển động. Như sẽ trình bày ở các phần sau, các phương trình này có dạng: (L o ao ) Ln 0 (1.49) 0, n 0 đối với dây mở, và : (Lo a o ) Ln 0 0 (L%o a o ) L%n 0 0 n 0 (1.50) đối với dây đóng. trong đó a0 là một thông số, được gọi là thông số Regge Các phương trình (1.49) và (1.50) cho phép xác định được phổ khối lượng của các trạng thái kích thích. 22 Trước hết xét trường hợp dây mở. Ta có: 1 2k L0 : k k 1 2 p 2 : k (1.51) k k 1 và phương trình (1.50) cho: p2 2 a0 k (1.52) k k 1 phương trình (1.52) cho thấy rằng toán tử: M2 2 a0 k (1.53) k k 1 có ý nghĩa là toán tử bình phương khối lượng của dây. dùng hệ thức giao hoán (1.22) dễ dàng thấy rằng trạng thái kích thích: (n1n2 ...n p ) ~ 1 2 n1 n2 ... p np 0 (1.54) p là trạng thái riêng của toán tử M2 cùng với giá trị riêng 2 n i , cụ a0 i 1 thể là: M 2 p (n1n2 ...n p ) 2 a0 ni (n1 ...n p ) (1.55) i 1 Trong trường hợp dây đóng ta có: 1 2 p 8 L0 k 1 2 p 8 L%0 k k 1 % k %k (1.56) k 1 và phương trình (1.50) cho: p2 8 a0 k k 1 k % k %k 8 a0 k 1 (1.57)