Tài liệu Trắc nghiệm đại số và giải tích 11 trong các đề thi thử thpt quốc gia môn toán

ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 TRONG CÁC ĐỀ THI THỬ THQG VÀ ĐỀ KIỂM TRA Mục lục Chương Chương Chương Chương Chương 1: 2: 3: 4: 5: Hàm số lượng giác và phương trình lượng Tổ hợp - Xác suất . . . . . . . . . . . . . Dãy số - cấp số cộng, cấp số nhân . . . . Giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 70 239 287 337 https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Chương 1: Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác NỘI DUNG CÂU HỎI Câu 1. trình 2 cos n Phương o x − 1 = 0 có tập nghiệm là n π o π A. ± + k2π, k ∈ Z . B. ± + k2π, k ∈ Z . 6 o n π o nπ 3 π π + k2π, k ∈ Z; + 12π, l ∈ Z . D. − + k2π, k ∈ Z; − + 12π, l ∈ Z . C. 3 6 3 6 Lời giải.  π x = + k2π 1 π 3 2 cos x − 1 = 0 ⇔ cos x = = cos ⇔  (k ∈ Z) . π 2 3 x = − + k2π 3 Chọn đáp án A  Câu 2. Tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; 3π) của phương trình sin 2x−2 cos 2x+2 sin x = 2 cos x+4 là A. 3π. B. π. C. 2π. D. π . 2 Lời giải.
2 sin x cos x − 2 cos x − 2 1 − 2 sin2 x + 2 sin x − 4 = 0 ⇔2 cos x(sin x − 1) + 4 sin2 x + 2 sin x − 6 = 0 ⇔2 cos x(sin x − 1) + (sin x − 1)(4 sin x + 6) = 0 ⇔(sin x − 1)(2 cos x + 4 sin x + 6) = 0 " sin x = 1 ⇔ 2 cos x + 4 sin x = −6. Phương trình 2 cos x + 4 sin x = −6 vô nghiệm vì a2 + b2 = 20 < 36 = c2 . π sin x = 1 ⇔ x = + k2π (k ∈ Z). 2  0 < π + k2π < 3π nπ π o 2 ⇔ k ∈ (0; 1) ⇔ x ∈ ; + 2π . Lại có x ∈ (0; 3π) ⇒ k ∈ Z 2 2 π π Tổng các nghiệm là + + 2π = 3π. 2 2 Chọn đáp án A 21 Câu 3. Tập giá trị của hàm số y = 2 sin2 x + 8 sin x + là ï ò ï ò ï4 ò 3 61 11 61 11 61 A. − ; . B. ; . C. − ; . 4 4 4 4 4 4 Lời giải. 11 11 Ta có y = 2(sin2 x + 4 sin x + 4) − = 2(sin x + 2)2 − . 4 4 Do đó  ï ò 3 61 D. ; . 4 4 −1 ≤ sin x ≤ 1 ⇔ 1 ≤ sin x + 2 ≤ 3 ⇔ 1 ≤ (sin x + 2)2 ≤ 9 ⇔ 2 ≤ 2(sin x + 2)2 ≤ 18 11 61 3 ⇔ − ≤ 2(sin x + 2)2 − ≤ . 4 4 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 3 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 ò 3 61 . Vậy tập giá trị của hàm số là − ; 4 4 Chọn đáp án A ï  Câu 4. Tổng các giá trị nguyên m để phương trình (2m + 1) sin x − (m + 2) cos x = 2m + 3 vô nghiệm là A. 9. B. 11. C. 12. D. 10. Lời giải. Phương trình đã cho vô nghiệm khi (2m + 1)2 + (m + 2)2 < (2m + 3)2 ⇔ m2 − 4m − 4 < 0 √ √ ⇔ 2 − 2 2 < m < 2 + 2 2. Do m nguyên nên m ∈ {0; 1; 2; 3; 4}, suy ra tổng các giá trị nguyên của m là 10.  Chọn đáp án D Câu 5. Cho hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [0; π], các điểm C, D thuộc trục Ox 2π sao cho tứ giác ABCD là hình chữ nhật và CD = . Độ dài đoạn thẳng BC bằng 3 √ √ 2 1 A. . B. . C. 1. D. 2. 2 2 Lời giải. 2π π π 1 Cách Vì CD = ⇒ OD = ⇒ xD = xA = ⇒ yA = . 3 6 6 2 1 1 Ta có AD = ⇒ BC = . 2 2 2π . Cách Gọi D (x1 ; 0) , C (x2 ; 0) ⇒ x2 − x1 = 3 Tọa độ A(x1 ; sin x1 ), B(x2 ; sin x2 ). 5π AB = CD ⇒ sin x1 = sin x2 ⇒ x1 + x2 = π ⇒ x2 = . 6 ã Å Å ã 5π 1 1 5π ;0 ,B ; ⇒ BC = . Ta có C 6 6 2 2 Chọn đáp án B  Câu 6. Trong bốn hàm số y = cos 2x, y = sin x, y = tan 2x, y = cot 4x có mấy hàm số tuần hoàn với chu kì π? A. 3. B. 2. C. 0. D. 1. Lời giải. 2π . |a| π Hàm số y = tan(ax + b), y = cot(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T = . |a| Do đó trong các hàm số đã cho, chỉ có hàm số y = cos 2x tuần hoàn chu kỳ π. Hàm số y = sin(ax + b), y = cos(ax + b) tuần hoàn với chu kỳ T =  Chọn đáp án D π π 1 Câu 7. Phương trình sin x.cos + cosx. sin = có nghiệm là: 5 5 2   π −π x= + k2π x= + k2π   30 30 A.  k ∈ Z. B.  k ∈ Z. −19π 19π x= + k2π x= + k2π 30 30 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 4 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11   π −π x = + k2π + k2π x=   6 30 k ∈ Z. D. k ∈ Z. C.   5π −19π x= + k2π x= + k2π 6 30 Lời giải.  π π 1 π 1 sin x.cos + cosx. sin = ⇔ sin x + = 5 5 2 5 2  π π −π x + = + k2π x= + k2π   5 6 30 ⇔ ⇔ k ∈ Z. 5π π 19π + k2π x+ = x= + k2π 5 6 30 Chọn đáp án A π Câu 8. Phương trình cos x = cos có tất cả các nghiệm là: 3 π 2π + k2π (k ∈ Z). B. x = ± + kπ (k ∈ Z). A. x = 3 3 π π C. x = ± + k2π (k ∈ Z). D. x = + k2π (k ∈ Z). 3 3 Lời giải. π π Phương trình cos x = cos ⇔ x = ± + k2π(k ∈ Z). 3 3 Chọn đáp án C   Câu 9. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = 3 − 2 cos2 3x. A. min y = 1, max y = 3. B. min y = 1, max y = 5. C. min y = 2, max y = 3. D. min y = −1, max y = 3. Lời giải. Phương pháp: Tập giá trị của hàm số y = cos x là [−1; 1]. Cách giải: Ta có −1 ≤ cos 3x ≤ 1 ⇔ 0 ≤ cos2 3x ≤ 1 ⇔ −2 ≤ −2 cos2 3x ≤ 0 ⇔ 1 ≤ 3 − 2 cos2 3x ≤ 3 ⇔ 1 ≤ y ≤ 3. Vậy min y = 1, max y = 3. Chọn đáp án A  π thỏa mãn cos 2x + cos 2y + 2 sin(x + y) = 2. Tìm GTNN của Câu 10. Cho x, y ∈ 0; 2 sin4 x cos4 y P = + . y x A. min P = 3 . π B. min P = 2 . π C. min P = 5 . π D. min P =  2 . 3π Lời giải. Phương pháp: Áp dụng bất đẳng thức: a2 b 2 (a + b)2 a b + ≥ , (x, y, a, b > 0), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi = . x y x+y x y Cách giải:
2 sin2 x + cos2 y sin4 x cos4 y 1 P = + ≥ ≥ y x x+y x+y Ta có: (1) cos 2x + cos 2y + 2 sin(x + y) = 2 ⇔ 2 cos(x + y) · cos(x − y) + 2 sin(x + y) = 2 ⇔ cos(x + y) · cos(x − y) = 1 − sin(x + y). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 5 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11  π Mà 1 − sin(x + y) ≥ 0, ∀x, y; cos(x − y) > 0, ∀x, y ∈ 0; ⇒ cos(x + y) ≥ 0. 2 1 2 π ≥ ⇒0 0 với mọi x ∈ 0; 4 4 π  8 thì f (0) ≤ m ≤ f ⇔1≤m≤ . 4 3 Vì m nguyên nên m = 1 và m = 2. h πi Khi đó phương trình m cos 2x − 4 sin 2x + 3m − 4 = 0 có đúng một nghiệm trên 0; . 4 Chọn đáp án A √ Câu 23. Phương trình sin2 x + 3 sin x cos x = 1 có bao nhiêu nghiệm thuộc [0; 2π]? A. 5. B. 3. C. 2.  D. 4. Lời giải. Ta có phương trình đã cho √ ⇔ − cos2 x + 3 sin x cos x = 0 " cos x = 0 ⇔ √ − cos x + 3 sin x = 0  π x = + kπ 2 ⇔ π x = − + lπ. 6 Vì x ∈ [0; 2π] nên ta có 0≤ π 2 0≤ π 6  π k=0⇒x= 1 3  2 + kπ ≤ 2π ⇔ − ≤ k ≤ ⇔  3π 2 2 k=1⇒x= . 2  π l=0⇒x= 1 11  6 + lπ ≤ 2π ⇔ − ≤ m ≤ ⇔ 7π . 6 6 l=1⇒x= . 6 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 9 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Vậy phương trình có bốn nghiệm thuộc [0; 2π].  Chọn đáp án D Câu 24. Phương trình 2 sin x −  π x = + k2π 4 A.  , k ∈ Z. π x = − + k2π 4  π x = + kπ  4 C.  , k ∈ Z. 3π x= + kπ 4 Lời giải. √ 2 = 0 có công thức nghiệm là  π x = + k2π  4 , k ∈ Z. B.  3π x= + k2π 4  3π x= + k2π  4 D.  , k ∈ Z. 3π x=− + k2π 4  π √ x = + k2π √ 2  4 Ta có: 2 sin x − 2 = 0 ⇔ sin x = ⇔ , k ∈ Z. 3π 2 x= + k2π 4 Chọn đáp án B Câu 25. Trong các phương trình sau, phương trình nào vô nghiệm?  π  2π = . A. tan x = 99. B. cos 2x − 2 3 3 C. cot 2018x = 2017. D. sin 2x = − . 4 Lời giải.   2π π  2π π ≤ 1 và > 1 nên phương trình cos 2x − = vô nghiệm. Vì cos 2x − 2 3 2 3 Chọn đáp án B √ Câu 26. Số nghiệm của phương trình 2 sin x − 3 = 0 trên đoạn [0; 2π] là A. 3. B. 1. C. 4.   D. 2. Lời giải. Ta có  π x = + k2π √ 3  3 2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = (k ∈ Z). ⇔ 2π 2 x= + k2π 3 √ Vì x ∈ [0; 2π] nên phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm x = π 2π và x = . 3 3 Chọn đáp án D  Câu 27. Cho hàm số f (x) = cos 2x − cos x + 1. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên R là 1 1 1 1 A. min f (x) = − . B. min f (x) = − . C. min f (x) = . D. min f (x) = . 8 4 8 4 Lời giải. Å ã Å ã 1 1 1 1 2 1 1 2 Ta có f (x) = 2 cos x − cos x = 2 cos x − cos x + − = 2 cos x − − ≥− . 2 16 8 4 8 8 1 1 Mặt khác, cos x = luôn có nghiệm thực x nên min f (x) = − . 4 8 Chọn đáp án A  Câu 28. Phương trình sin x − 3 cos x = 0 có nghiệm dạng x = arccotm + kπ, k ∈ Z thì giá trị m là bao nhiêu? 1 A. m = −3. B. m = . C. m = 3. D. m = 5. 3 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 10 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Với sin x = 0 thay vào phương trình suy ra cos x = 0, loại vì sin2 x + cos2 x = 1 ∀x ∈ R. 1 1 Do đó sin x − 3 cos x = 0 ⇔ 1 − 3 cot x = 0 ⇔ cot x = ⇔ x = arccot + kπ, k ∈ Z. 3 3 1 Vậy m = . 3 Chọn đáp án B  cot x là Câu 29. Tập xác định của hàm số y = cos x − 1 ß ™ ß ™ kπ k A. R \ ,k ∈ Z . B. R \ + kπ, k ∈ Z . 2 2 C. R \ {kπ, k ∈ Z}. D. R \ {k2π, k ∈ Z}. Lời giải. ( ( sin x 6= 0 x 6= kπ Hàm số xác định khi và chỉ khi ⇔ (k, l ∈ Z) ⇔ x 6= kπ, k ∈ Z. cos x 6= 1 x 6= l2π cot x là R \ {kπ, k ∈ Z}. Vậy, tập xác định của hàm số y = cos x − 1 Chọn đáp án C  Å ã π  5π Câu 30. Tổng các nghiệm của phương trình sin − 6x + 15 sin + 2x = 16 trên đoạn 4 4 [−2019; 2019] bằng 1285π 1283π 1284π 1282π . B. . C. . D. . A. 8 8 8 8 Lời giải. Ta có Å ã π  5π sin − 6x + 15 sin + 2x = 16 4 4 Å ã  3π π ⇔ sin 2π − − 6x + 15 sin 2x + = 16 4 4 Å ã  3π π ⇔ − sin 6x + + 15 sin 2x + = 16 4 4      π π π 3 + 12 sin 2x + − 16 = 0 ⇔ sin 2x + =1 ⇔ 4 sin 2x + 4 4 4 π π π ⇔ 2x + = + k2π ⇔ x = + kπ, (k ∈ Z). 4 2 8 π π π Ta có −2019 ≤ + kπ ≤ 2019 ⇔ −2019 − ≤ kπ ≤ 2019 − , (⇔ −642, 8 ≤ k ≤ 642, 5). 8 8 8 Vì k ∈ Z nên k = {−642; −642; . . . ; 641; 642}. Xét tổng các nghiệm là π  π  π π  π  T = − 642π + . . . + −π + + + π + ... + + 642π 8 8 8 8 8 π π  π 1285π T = 642 + + = . 8 8 8 8  Chọn đáp án B Câu 31. Tập nghiệm của phương trình 2 cos 2x + 1 = 0 là ß ™ nπ o π 2π 2π A. S = + k2π, − + k2π, k ∈ Z . + k2π, − + k2π, k ∈ Z . B. S = 3 3 3 3 nπ o n o π π π C. S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . D. S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . 3 3 6 6 Lời giải. 1 2π π Có 2 cos 2x + 1 = 0 ⇔ cos2x = − ⇔ 2x = ± + k2π ⇔ x = ± + kπ. 2 3o nπ 3 π Vậy tập nghiệm của phương trình là S = + kπ, − + kπ, k ∈ Z . 3 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 11 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11  Chọn đáp án C √ Câu 32. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số y = A. 2. Lời giải. C. −2. B. 0. 3 sin x . Tính M · m. cos x + 1 D. −1. √ 3 sin x (1) có tập xác định R (vì cos x + 2 > 0 , ∀x ∈ R). cos x + 2 √ √ Khi đó, (1) tương đương với y cos x + 2y = 3 sin x ⇔ y cos x − 3 sin x = −2y (∗). Xét hàm số y = Phương trình (∗) có nghiệm x khi y 2 + 3 ≥ 4y 2 ⇔ y 2 ≤ 1 ⇔ −1 ≤ y ≤ 1. Do đó: M = 1, m = −1. Vậy M · m = −1.  Chọn đáp án D Câu 33. Với k và n là hai số nguyên dương tùy ý thỏa mãn k ≤ n. Mệnh đề nào sau đây đúng? n! n! A. Pn = !. B. Pn = (n − k)!. C. Pn = . D. Pn = n!. (n − k) k! Lời giải. Số hoán vị của tập gồm n phần tử là Pn = n!.  Chọn đáp án D Câu 34. Tập xác định D của hàm số y = A. D = R. C. D = R \ {0}. 2017 là sin x B. D = R \ {kπ, k ∈ Z}. π D. D = R \ { + kπ, k ∈ Z}. 2 Lời giải. Điều kiện Chọn đáp án B  π Câu 35. Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 3x − 4 bằng π π π π B. . C. − . D. − . A. . 9 6 6 9 Lời giải.   π π 7π k2π 3x − = + k2π   + x = π   4 3 36 3 (k, l ∈ Z). Ta có sin 3x − ⇔ ⇔ π 2π 11π l2π 4 3x − = + l2π x= + 4 3 36 3 Trường hợp 1: x < 0, x lớn nhất.  17π k = −1; x = −  36 ⇒ x = − 13π (nhận). Chọn  13π 36 l = −1; x = − 36 Trường  hợp 2: x > 0, x nhỏ nhất. 7π k = 0; x =  36 ⇒ x = 7π (nhận). Chọn  11π 36 l = 0; x = 36 13π 7π π Vậy tổng cần tìm là: − + =− . 36 36 6   Chọn đáp án C Câu 36. Cho phương trình cos x + cos x x + 1 = 0. Nếu đặt t = cos , ta được phương trình nào sau 2 2 đây? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 12 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ A. 2t2 + t − 1 = 0. B. −2t2 + t + 1 = 0. Đại số & giải tích 11 C. −2t2 + t = 0. D. 2t2 + t = 0. Lời giải. x x x x x x + 1 = 0 ⇔ 2 cos − 1 + cos + 1 = 0 ⇔ 2 cos + cos = 0. Đặt t = cos , ta 2 2 2 2 2 2 được phương trình 2t2 + t = 0. Ta có cos x + cos  Chọn đáp án D Câu 37. Tìm tất cả cácÅgiá trị thực ã của tham số m để phương trình cos 2x−(2m+1) cos x+m+1 = 0 π 3π ; ? có nghiệm trên khoảng 2 2 1 A. −1 ≤ m < 0. B. −1 < m < 0. C. −1 ≤ m ≤ 0. D. −1 ≤ m < . 2 Lời giải. Å ã π 3π Do x ∈ ; ⇒ cos x ∈ [−1; 0). 2 2 Ta có cos 2x − (2m + 1) cos x + m + 1 = 0 ⇔ 2 cos2 x − (2m + 1) cos x + m = 0  1 cos x = loại ⇔ (2 cos x − 1)(cos x − m) = 0 ⇔  . cos x = m Vậy phương trình đã cho có nghiệm −1 ≤ m < 0. Chọn đáp án A  π π Câu 38. Điều kiện để biểu thức P = tan(α + ) + cot(α − ) xác định là 3 6 π −π A. α 6= + kπ, k ∈ R. B. α 6= + 2kπ, k ∈ R. 6 3 π 2π C. α 6= + 2kπ, k ∈ R. D. α 6= + kπ, k ∈ R. 6 3 Lời giải.  α + π 6= π + kπ π 3 2 ⇔ α 6= + kπ(k ∈ R). Biểu thức xác định khi π α − 6 6= kπ 6 Chọn đáp án A  Câu 39. Trong các hàm số sau đây, hàm số nào là hàm số tuần hoàn? x−1 A. y = sin x. B. y = . C. y = x2 . x+2 Lời giải. D. y = x3 + 2. Trong các đáp án đã cho chỉ có hàm số y = sin x là hàm số tuần hoàn (chu kỳ T = 2π).  Chọn đáp án A Câu 40. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 3 sin x + m cos x = 5 vô nghiệm? A. m > 4. B. |m| ≥ 4. C. m < −4. D. −4 < m < 4. Lời giải. Phương trình 3 sin x + m cos x = 5 vô nghiệm khi và chỉ khi: 32 + m2 < 52 ⇔ m2 < 42 ⇔ −4 < m < 4.  Chọn đáp án D Câu 41. Số nghiệm của phương trình cos2 x + cos x − 2 = 0 trong đoạn [0; 2π] là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. Lời giải. " Ta có cos2 x + cos x − 2 = 0 ⇔ cos x = 1 cos x = −2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em vô nghiệm
⇔ x = k2π. 13 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 x ∈ [0; 2π] ⇒ x = 0; x = 2π.  Chọn đáp án A Câu 42. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 4 sin4 x + cos2 x + 3 bằng 31 A. . B. 5. C. 4. 8 Lời giải. D. 24 . 5 TXĐ: D = R. Biến đổi y = 2 sin4 x − sin2 x + 4. Đặt t = sin2 x, 0 ≤ t ≤ 1. Xét hàm số f (t) = 2t4 − t2 + 4 liên tục trên đoạn [0; 1].f 0 (t) = 8t3 − 2t = 2t (4t2 − 1) 1 Trên khoảng (0; 1) phương trình f 0 (t) = 0 ⇔ t = 2 Å ã 1 31 Ta có: f (0) = 4, f = , f (1) = 5. 2 8 31 1 31 1 π kπ Vậy min f (t) = tại t = ⇒ min y = khi sin2 x = ⇔ cos 2x = 0 ⇔ x = + . R t∈[0;1] 8 2 8 2 4 2  Chọn đáp án A Câu 43. Điều kiện xác định của hàm số y = tan 2x là π π kπ π B. x 6= + kπ. C. x 6= + . A. x 6= + kπ. 4 2 8 2 Lời giải. sin 2x Hàm số y = tan 2x = xác định khi và chỉ khi: cos 2x π π kπ cos 2x 6= 0 ⇔ 2x 6= + kπ ⇔ x 6= + , k ∈ Z. 2 4 2 Chọn đáp án D Câu 44. Tìm nghiệm của phương trình sin 2x = 1 π π 3π A. x = + k2π. B. x = + kπ. C. x = + k2π. 2 4 4 Lời giải. D. x 6= π kπ + . 4 2  D. x = kπ . 2 Phương pháp Sử dụng công thức giải phương trình lượng giác đặc biệt: sin f (x) = 1 ⇔ f (x) = π + k2π 2 Cách giải: sin 2x = 1 ⇔ 2x = π π + k2π ⇔ x = + kπ. 2 4  Chọn đáp án D x π  x Câu 45. Tập nghiệm của phương trình sin2 − tan2 x − cos2 = 0 là. 2 4  2    x = π + kπ x = π + k2π x = π + k2π x = π + kπ    A.  . B. . C. . D. . π π π π x = − + kπ x = − + kπ x = − + k2π x = − + k2π 4 4 4 4 Lời giải. Điều kiện cos x 6= 0 (∗). Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 14 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Khi đó Đại số & giải tích 11 x π  x sin2 − tan2 x − cos2 = 0 2 4 2 h  i 2 π sin x 1 1 = (1 + cos x) ⇔ 1 − cos x − 2 2 2 cos x 2 2 ⇔ (1 − sin x) sin x = (1 + cos x) cos2 x ⇔ (1 − sin x) (1 − cos x) (1 + cos x) = (1 + cos x) (1 − sin x) (1 + sin x) ⇔ (1 − sin x) (1 + cos x) (sin x + cos x) = 0  sin x = 1  π π ⇔  cos x = −1 ⇔ x = 2 + k2π, x = π + k2π, x = − 4 + k2π (k ∈ Z) . tan x = −1  Chọn đáp án B Câu 46. Số điểm biểu diễn tập nghiệm của phương trình sin3 x − 3 sin2 x + 2 sin x = 0 trên đường tròn lượng giác là A. 2. B. 1. C. 3. D. 5. Lời giải.  " sin x = 0  x = kπ (k ∈ Z). sin3 x − 3 sin2 x + 2 sin x = 0 ⇔  sin x = 1 ⇔ x = k2π sin x = 2 Vậy có ba điểm biểu diễn.  Chọn đáp án C Câu 47. Số nghiệm của phương trình A. 4. B. 2. sin 3x = 0 trên đoạn [0; π] là 1 − cos x C. 3. D. Vô số. Lời giải. 1 ĐKXĐ: cos x 6= 1. kπ Phương trình tương đương sin 3x = 0 ⇔ 3x = kπ ⇔ x = với (k ∈ Z). 3 kπ 3 Ta có 0 ≤ x ≤ π ⇔ 0 ≤ ≤ π ⇔ 0 ≤ k ≤ 3. Suy ra k = 0, k = 1, k = 2, k = 3. Do đó x = 0, 3 π 2π x= ,x= , x = π. 3 3 2π π So sánh điều kiện ta có x = , x = , x = π. 3 3 Chọn đáp án C    π Câu 48. Nghiệm của phương trình sin x + = 0 là 3 π π A. x = − + kπ, k ∈ Z. B. x = − + k2π, k ∈ Z. 3 3 π C. x = + k2π, k ∈ Z. D. x = kπ, k ∈ Z. 6 Lời giải. 2 Ta có  π π π sin x + = 0 ⇔ x + = kπ, k ∈ Z ⇔ x = − + kπ, k ∈ Z. 3 3 3 π Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = − + kπ, k ∈ Z. 3 Chọn đáp án A  Câu 49. Trong các khẳng định sau khẳng định nào sai? Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 15 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 A. Hàm số y = cos x đồng biến trên tập xác định. B. Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π. C. Hàm số y = cos x có đồ thị là đường hình sin. D. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Lời giải. Theo tính chất của hàm số y = cos x, ta có Tập xác định của hàm số y = cos x là D = R. Hàm số y = cos x là hàm số tuần hoàn chu kì 2π. Hàm số y = cos x đồng biến trên (−π +k2π; k2π) và nghịch biến trên (k2π; π +k2π) (với k ∈ Z). Hàm số y = cos x là hàm số chẵn. Hàm số y = cos x có đồ thị là đường cong hình sin.  Chọn đáp án A Câu 50. Tập  ™ ß nghiệm của phương trình™sin 2x + cos x = 0 làß π π π k2π  π k2π  k∈Z . B. S = − + k2π, + k∈Z . A. S = − + kπ, − + 2 6 3  2 2 3   ß ™ n π  o π π kπ  π  C. S = k ∈ Z + k2π, + . D. S = − + kπ, + k2π ∈ Z . k 2 6 3  2 4 Lời giải. Ta có  π x = + lπ 2  cos x = 0  π  sin 2x + cos x = 0 ⇔ cos x(2 sin x + 1) = 0 ⇔  1 ⇔ x = − 6 + l2π (l ∈ Z).  sin x = − 7π 2 x= + l2π 6  Biểu diễn  đường ß các nghiệm này trên ™ tròn lượng giác ta được tập nghiệm của phương trình đã cho π π k2π  là S = − + k2π, + k∈Z . 2 2 3   Chọn đáp án B √ Câu 51. Tìm S của phương trình sin x + 3 cos n πtập nghiệm o nxπ = 1.  o π   A. S = − + k2π, + k2π k ∈ Z . B. S = + k2π k ∈ Z . 6 2 6  o n  o n π π π   C. S = − + kπ, + kπ k ∈ Z . D. S = k2π, + k2π k ∈ Z . 6 2 3 Lời giải. Ta có  π x = − + k2π 1 3 1 1 6 sin x + 3 cos x = 1 ⇔ sin x + cos x = ⇔ sin x + = ⇔ (k ∈ Z). π 2 2 2 3 2 x = + k2π 2 n π  o π  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = − + k2π, + k2π k ∈ Z . 6 2 Chọn đáp án A  √ √  π Câu 52. Trong các hàm số sau, hàm nào là hàm số chẵn? π A. y = 1 − sin2 x. B. y = cos(x + ). C. y = x |sin x|. 3 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em D. y = sin x + cos x. 16 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Lời giải. Nhận xét: Ta nhận thấy tập xác định của bốn hàm số đã cho đều là R nên ∀x ∈ R ⇒ −x ∈ R. Xét y = 1 − sin2 x có y (−x) = 1 − sin2 (−x) = 1 − sin2 x = y(x). Vậy hàm số y = 1 − sin2 x là hàm số chẵn. (   y (−x) 6= y(x) π π Xét y = cos x + có y (−x) = cos −x + ⇒ 3 3 y (−x) 6= −y(x).  π không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ. Nên hàm số y = cos x + 3 Xét y = x |sin x| có y (−x) = (−x) |sin (−x)| = −x |− sin x| = −x |sin x| = −y(x). Nê hàm số y = x |sin x| là hàm số lẻ. Xét y = sin x + cos x có y (−x) = sin (−x) + cos (−x) = − sin x + cos x ⇒ ( y (−x) 6= y(x) y (−x) 6= −y(x). Nên hàm số y = sin x + cos x không là hàm số chẵn, cũng không là hàm số lẻ.  Chọn đáp án A Câu 53. Có bao nhiêu nghiệm của phương trình sin2 x−sin x = 0 thỏa mãn điều kiện 0 < x < π? A. 3. Lời giải. B. 1. C. 2. D. Không có x. Ta có ⇔ sin2 x − sin x = 0 " sin x = 0 sin x = 1  ⇔  Do 0 < x < π ⇒ x = x = kπ π x = + k2π. 2 π . 2  Chọn đáp án B Câu 54. Trong khoảng (−π; π), phương trình sin6 x + 3 sin2 x cos x + cos6 x = 1 có A. 4 nghiệm. B. 1 nghiệm. C. 3 nghiệm. D. 2 nghiệm. Lời giải. Ta có sin6 x + cos6 x = sin2 x + cos2 x Do đó phương trình tương đương với
3
− 3 sin2 x cos2 x sin2 x + cos2 x = 1 − 3 sin2 x cos2 x. 3 sin2 x cos x − 3 sin2 x cos2 x = 0 ⇔ sin2 x cos x (1 − cos x) = 0 " cos x = 0 ⇔ cos x = ±1. Vẽ tròn đơn vị ra, ta thấy phương trình có 3 nghiệm trên (−π; π), nên tập nghiệm là S = n đường π πo − ; 0; . 2 2  Chọn đáp án C Câu 55. Tổng các nghiệm trong đoạn [0; 2π] của phương trình sin3 x − cos3 x = 1 bằng 5π 7π 3π A. . B. . C. 2π. D. . 2 2 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 17 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Lời giải. Ta có sin3 x − cos3 x = 1 ⇔ (sin + sin x cos x) = 1.  x)(1  x − πcos √ √ √ Đặt t = sin x − cos x = 2 sin x − , − 2 ≤ t ≤ 2. 4 1 2 Có t = 1 − 2 sin x cos x ⇒ sin x cos x = (1 − t2 ). 2 ï ò 1 2 3 (1) trở thành t 1 + (1 − t ) = 1 ⇔ t − 3t + 2 = 0 ⇔ (t − 1) (t3 + t − 2) = 0. 2 "   √ t=1 π 1 π = 1 ⇔ sin x − =√ ⇔ ⇔ 2 sin x − 4 4 2 t = −2 (loại)   π π π x − = + k2π x = + k2π  4 4 2  ⇔ ⇔ (k, l ∈ Z) . 3π π x = π + l2π + l2π x− = 4 4 π Có x ∈ [0; 2π] nên ta có các nghiệm x = π; x = . 2 3π . Vậy tổng các nghiệm x ∈ [0; 2π] của phương trình đã cho là 2 (1)  Chọn đáp án D Câu 56. Hàm số y = A. x 6= π + k2π. 2 2 sin x + 1 xác định khi 1 − cos x B. x 6= kπ. C. x 6= k2π. D. x 6= π + kπ. 2 Lời giải. Hàm số xác định khi 1 − cos x 6= 0 ⇔ cos x 6= 1 ⇔ x 6= k2π với k ∈ Z.  Chọn đáp án C Câu 57. Phương trình cos x − m = 0 vô nghiệm khi m là A. −1 ≤ m ≤ 1. B. m > 1. C. m < −1. D. " m < −1 . m>1 Lời giải. Phương trình cos x − m = 0 ⇔ cos x = m. Vì −1 ≤ cos x ≤ 1, ∀x nên phương trình trên vô nghiệm ⇔ " m>1 m < −1 .  Chọn đáp án D   π π 3 Câu 58. Tìm nghiệm của phương trình sin4 x + cos4 x + cos x − · sin 3x − − = 0. 4 4 2 π π A. x = + kπ, k ∈ Z. B. x = + k2π, k ∈ Z. 3 3 π π D. x = + kπ, k ∈ Z. C. x = + k2π, k ∈ Z. 4 4 Lời giải. Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 18 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Phương trình đã cho tương đương với Å ã  3 1 2 1  π 1 − sin 2x + sin 4x − + sin 2x − = 0 2 2 2 2 Å ã 1 1 3 ⇔ 1 − sin2 2x + (sin 2x − cos 4x) − = 0 2 2 2 Å ã Å ã 1 2 1 1 3 2 ⇔ 1 − sin 2x + sin 2x − + sin 2x − = 0 2 2 2 2 1 1 2 sin 2x + sin 2x − 1 = 0 ⇔ 2 "2 sin 2x = 1 ⇔ sin 2x = −2(vô nghiệm) π π ⇔ 2x = + k2π ⇔ x = + kπ, k ∈ Z. 2 4  Chọn đáp án D Câu 59. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số chẵn? A. y = tan x. B. y = sin x. C. y = cos x. D. y = cot x. Lời giải. Các hàm số y = sin x, y = tan x, y = cot x là các hàm số lẻ. Hàm số y = cos x là hàm số chẵn.  ã Å  π 3π Tính tổng các nghiệm thuộc khoảng (0; π) Câu 60. Cho phương trình sin 2x − = sin x + 4 4 của phương trình trên. 7π 3π π A. . B. π. C. . D. . 2 2 2 Lời giải.   π 3π Å ã   x = π + k2π 2x − = x + + k2π 3π π 4 4  = sin x + ⇔ ⇔ sin 2x − 2π (k ∈ Z). π π 3π 4 4 x= +k 2x − = π − x − + k2π 6 3 4 4 – Xét x = π + k2π(k ∈ Z). 1 Do 0 < x < π ⇔ 0 < π + k2π < π ⇔ − < k < 0 vì k ∈ Z nên không có giá trị của k. 2 π 2π – Xét x = + k (k ∈ Z). 6 3 π 2π 1 5 < π ⇔ − < k < . Vì k ∈ Z nên k = 0, k = 1. Suya ra Do 0 < x < π ⇔ 0 < + k 6 3 4 4 π 5π x = và x = . 6 6 π 5π Vậy tổng các nghiệm của phương trình đã cho trong khoảng (0; π) là + = π. 6 6 Chọn đáp án C  Chọn đáp án B √ Câu 61. trình 8 cos 2x · sin 2x · cos 4x = − 2  Giảiπ phương π x= +k x= 32 4 (k ∈ Z).  A.  B. 3π π x= +k x= 32 4   π π x= +k x= 32 4 (k ∈ Z).  C.  D. 5π π x= +k x= 32 4 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em π π +k 8 8 (k ∈ Z). 3π π +k 8 8 π π +k 16 8 (k ∈ Z). 3π π +k 16 8 19 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/ https://www.facebook.com/groups/451253702435642/ Đại số & giải tích 11 Lời giải. √ √ √ 8 cos 2x · sin 2x · cos 4x = − 2 ⇔ 4 sin 4x · cos 4x = − 2 ⇔ 2 sin 8x = − 2  π √ + k2π 8x = − − 2 4  ⇔ sin 8x = ⇔ 5π 2 8x = + k2π 4  π π x=− +k 32 4 ⇔  π (k ∈ Z). 5π +k x= 32 4  Chọn đáp án B Câu 62. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số y = cos x là hàm số lẻ. B. Hàm số y = tan 2x − sin x là hàm số lẻ. C. Hàm số y = sin x là hàm số chẵn. D. Hàm số y = tan x · sin x là hàm số lẻ. Lời giải. Xét hàm số y = tan 2x n − sin x. o π π +k , k ∈Z . Tập xác định D = R \ 4 2 Giả sử với x bất kỳ thuộc D suy ra −x ∈ D. Mà f (−x) = tan (−2x) − sin (−x) = − tan 2x + sin x = −f (x). Do đó hàm số y = tan 2x − sin x là hàm số lẻ.  Chọn đáp án B Câu 63. Số giá trị nguyên m để phương trình √ 4m − 4 · sin x · cos x + √ m − 2 · cos 2x = √ 3m − 9 có nghiệm là A. 7. B. 6. C. 5. D. 4. Lời giải.     m≥1 4m − 4 ≥ 0     Điều kiện m − 2 ≥ 0 ⇔ m ≥ 2 ⇔ m ≥ 3 (∗).       m≥3 3m − 9 ≥ 0 Với điều kiện (∗) ta có √ √ √ 4m − 4 · sin x · cos x + m − 2 · cos 2x = 3m − 9 √ √ √ m − 1 · sin 2x + m − 2 · cos 2x = 3m − 9 (1) ⇔ Để phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi Ä√ ä2 Ä√ ä2 Ä√ ä2 m−1 + m−2 ≥ 3m − 9 ⇔ m − 1 + m − 2 ≥ 3m − 9 ⇔ m ≤ 6.  Chọn đáp án D Câu 64. Số nghiệm x ∈ (0; 12π) thỏa mãn phương trình cos 2x + cos2 x − sin2 x = 2 là A. 10. B. 1. C. 12. D. 11. Lời giải. Ta có cos 2x + cos2 x − sin2 x = 2 Sưu tầm & biên soạn Th.s Nguyễn Chín Em 20 https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/