TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Vấn đề 13
NGUYÊN HÀM
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx C .
k dx kx C .
x dx ln x C .
x
x n 1
C.
n 1
1 (ax b)n 1
C.
a n 1
ax b dx a ln ax b C .
(ax b)
sin x dx cos x C .
sin(ax b)dx a cos(ax b) C .
cosx dx sin x C .
cos(ax b)dx a sin(ax b) C .
sin
dx
1
cot(ax b) C .
a
sin (ax b )
dx
1
tan(ax b) C .
cos (ax b) a
e dx e
x
a dx
x n dx
1
1
2
dx
1
2
x
1
C.
x
dx cot x C .
1
dx tan x C .
cos2 x
x
x
(ax b)n dx
1
1
1
2
1
1
dx
C.
a ax b
1
1
2
2
1
dx eax b C .
a
1 a x
C.
a x dx
ln a
C.
ax
C.
ln a
e
ax b
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
Câu 1.
Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
khai triễn.
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
PP
khai triển theo công thức mũ.
Tích các hàm mũ
1 1
1 1
2
2
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin a cos2a, cos a cos2a.
2 2
2 2
PP
chuyển về lũy thừa.
Chứa tích các căn thức của x
Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x 6 x là
A. sin x 3 x 2 C .
Câu 2.
D. sin x C .
B. 2x2 C .
C. 2 x 2 6 x C .
D. x 2 C .
B. x 2 4 x C .
C. x 2 C .
D. 2x 2 C .
Họ nguyên hàm của hàm số f x e x x là
A. e x x 2 C .
Câu 5.
C. sin x 6 x 2 C .
Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x 2 x 4 là
A. 2 x 2 4 x C .
Câu 4.
B. sin x 3 x 2 C .
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2 x 6 là
A. x2 6 x C .
Câu 3.
1
a
1
B. e x x 2 C .
2
C.
1 x 1 2
e x C . D. e x 1 C .
x 1
2
4
2
Nguyên hàm của hàm số f x x x là
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
A. 4 x 3 2 x C
Câu 6.
B.
B.
1 4 1 3
x x C .
4
3
C. 3 x 2 2 x C .
D. x 3 x 2 C .
sin 3 x
C
3
sin 3 x
D. cos 3 xdx
C
3
B. cos 3 xdx
C. cos 3 xdx sin 3 x C
Họ nguyên hàm của hàm số f x
A. ln x cos x C .
Câu 9.
D. x 5 x 3 C .
Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3 x
A. cos 3 xdx 3 sin 3 x C
Câu 8.
C. x 4 x 2 C
Nguyên hàm của hàm số f x x3 x 2 là
A. x 4 x 3 C .
Câu 7.
1 5 1 3
x x C
5
3
B.
1
sin x là
x
1
cos x C .
x2
C. ln x cos x C .
D. ln x cos x C .
Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên . Tìm I 2 f x 1dx.
A. I 2 xF x x C . B. I 2 xF x 1 C . C. I 2 F x 1 C . D. I 2 F x x C .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x e x 1 là
A. e x x C .
B. e x x C .
C. e x x C .
D. e x x C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1.
2
A.
f x dx 3 2 x 1
C.
f x dx 3
1
2 x 1 C.
2 x 1 C.
1
B.
f x dx 3 2 x 1
D.
f x dx 2
1
2 x 1 C.
2 x 1 C.
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x sin x e x 5 x ?
A. F x cos x e x
5 2
x 1 .
2
B. F x cos x e x 5 x 3 .
5
ex
5
C. F x cos x e x x 2 .
D. F x cos x
x2 .
2
x 1 2
1
Câu 13. Cho f x dx ln x C ( với C là hằng số tùy ý ), trên miền 0; , chọn khẳng định đúng
x
về hàm số f x .
C. f x x
x 1
.
x2
1
D. f x 2 ln x .
x
B. f x
A. f x x ln x .
1
ln x .
x
1
trên khoảng 0; là
x
1
B. 1 ln x C.
C. x 2 2 C.
x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x x
A. 1
1
C.
x2
D.
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e 2 x
A. e 2 x dx 2e 2 x C .
B. e2 x dx e2 x C .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
x2
ln x C.
2
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
e 2 x 1
C. e 2 x dx
C .
2x 1
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x
A.
x
C.
2
B.
1 2x
e C.
2
D. e2 x dx
1
là
x x
2
C .
x
C.
2
C .
x
D.
x
C .
2
Câu 17. Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn f (0) 1 , f '( x) 2 x sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x) x 2 cos x.
B. f ( x) x 2 cos x 2.
C. f ( x) x 2 cos x.
D. f ( x) x 2 cos x 1.
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x
A. F x
C. F x
1
4 2 x 1
2 x 1
3
dx .
2
C .
B. F x
3
C .
D. F x
1
4 2 x 1
1
1
6 2 x 1
2
C
3
C .
1
6 2 x 1
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f x cos3 x là
sin 3 x
sin 3 x
C . C. x
C .
3
3
ex
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x 2
.
cos 2 x
A.
cos 4 x
C.
4
B. sin x
D. sin x
sin 3 x
C .
3
2
tan x C .
B. F x 2 e x tan x C .
x
e
2
C. F x x tan x C .
D. F x 2 e x tan x C .
e
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F x của hàm số f x x 1 e x 2 x 3
A. F x
2
A. F x
ex
2
2 x 3
C
2
C. F x 2e
x2 2 x 3
ex
2
2 x 3
C
,C R .
x 1
2
D. F x e x 2 x 3 C , C R .
B. F x
,C R .
C, C R .
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2 x cos 2 x là
A.
1
1
x sin 4x C .
4 16
B.
109
Câu 23. Cho F x 2 x 1
1
1
x sin 4x .
8 32
C.
1
1
1
1
x sin 4 x C . D. x sin 4x C .
8
8
8 32
dx , mệnh đề nào dưới đây đúng?
108
A. F x
2 x 1
108
110
2 x 1
C.
B. F x
C.
D. F x
108
C. F x
2 x 1
216
110
Câu 24. Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x )
A. f ( x)
C.
110
sin x
C .
(2 sin x) 2
2 x 1
220
C.
cos x
.
(2 sin x) 2
B. f ( x)
1
C .
(2 cos x)
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
C. f ( x)
1
C .
2 sin x
D. f ( x)
Câu 25. Họ nguyên hàm của hàm số y 2 x 1
A.
2 x 1
2018
2018
C.
B.
2 x 1
2019
là
2020
C .
4040
sin x
C .
2 sin x
C.
2 x 1
2020
2020
C .
D.
2 x 1
A. y 2 x ln sin x 2 cos x .
3sin x cos x
sin x 2 cos x
B. y x ln sin x 2 cos x .
C. y x ln sin x 2 cos x .
D. y ln sin x 2cos x .
2018
4036
C .
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1
1
dx ln ax b C .
ax b
a
1
(ax b)
ln a ln b ln(ab). ln a ln b ln
2
1
1
dx
C.
a ax b
a
b
ln a n n ln a. ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I
P (x )
Q(x ) dx .
PP
Chia đa thức.
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
PP
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử dụng
phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
PP
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2 a 2 .
x2
trên khoảng 1; là
x 1
3
3
C.
C.
B. x 3ln x 1 C. C. x
D. x
2
2
x 1
x 1
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)
A. x 3ln x 1 C.
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
dx
A.
5x 2 5 ln 5x 2 C
C.
5x 2 ln 5x 2 C
dx
1
.
5x 2
dx
1
B.
5x 2 5 ln 5x 2 C
D.
5x 2 2 ln 5x 2 C
dx
1
1
1
trên khoảng ; là:
3x 1
3
1
1
A. ln(3x 1) C
B. ln(1 3x) C
C. ln(1 3x) C
D. ln(3x 1) C
3
3
2x 1
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
trên khoảng 2; là
2
x 2
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)
1
C .
x2
3
C .
C. 2ln x 2
x2
A. 2ln x 2
1
C .
x2
3
C .
D. 2ln x 2
x2
B. 2ln x 2
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
3x 1
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)
trên khoảng (1; ) là
( x 1) 2
2
1
c.
c.
A. 3ln( x 1)
B. 3ln( x 1)
x 1
x 1
1
2
c.
c.
C. 3ln( x 1)
D. 3ln( x 1)
x 1
x 1
3x 2
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
trên khoảng 2; là
2
x 2
A. 3ln x 2
4
C .
x2
2
C. 3ln x 2
C
x2
B. 3ln x 2
2
C
x2
4
D. 3ln x 2
C
x2
2x 1
1; là
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
2 trên khoảng
x 1
2
C.
x 1
2
C. 2 ln x 1
C .
x 1
B. 2 ln x 1
3
C.
x 1
3
D. 2 ln x 1
C .
x 1
A. 2 ln x 1
1
1
trên ; .
1 2x
2
1
B. ln 2 x 1 C .
C. ln 2 x 1 C .
2
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A.
1
ln 1 2 x C .
2
Câu 35. Cho biết
1
D. ln 2 x 1 C .
2
2 x 13
( x 1)( x 2) dx a ln x 1 b ln x 2 C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2b 8 .
B. a b 8 .
1
Câu 36. Tích phân I
0
thức a b c ?
A. 3 .
x 1
C. 2a b 8 .
D. a b 8 .
2
x2 1
dx a ln b c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .
3
a
x 1
a
là phân số tối giản .
dx ln
C , với b là số thực dương và
x 4x 3
b x3
b
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2b 8 .
B. a b 8 .
C. 2a b 8 .
D. a b 8 .
Câu 37. Cho biết
Câu 38. Cho biết
2
4x 1
b
3
dx ax ln 2 x 3 C , với mọi x ; . Mệnh đề nào sau đây
2x 3
2
2
đúng?
A. 2a b 1 .
Câu 39. Biết
B. 2 a b 3 .
F x ax 2 bx c 2 x 3
C. 2a b 9 .
a, b, c
là
một
D. 2 a b 7 .
nguyên
hàm
của
hàm
số
20 x 2 30 x 11
3
trên khoảng ; . Tính T a b c .
2x 3
2
A. T 8 .
B. T 5 .
C. T 6 .
D. T 7 .
C. TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN
du f ( x)dx
u f ( x)
1) Công thức nguyên hàm từng phần
dv g ( x)dx v g ( x)dx G ( x) (C 0)
f x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Khi đó ta có u.dv u.v v.du hay
f ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x) G ( x) f ( x)dx
du f ( x)dx
u f ( x)
2) Công thức tích phân từng phần
dv g ( x)dx v g ( x)dx G ( x) (C 0)
b
b
b
Khi đó ta có u.dv u.v v.du hay
a
a
a
b
a
b
b
f ( x) g ( x)dx f ( x)G ( x) G ( x) f ( x)dx
a
a
3) Công thức đạo hàm của hàm số sơ cấp và hàm hợp.
x x 1 . u n nu n 1u . uv u v uv .
sin u u cos u . cos u u sin u . e x e x
1
eu eu u ln x
x
Hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f x nếu F x f x .
u x .v x dx u x .v x v x .u x dx . x dx
x 1
C , với 1 .
1
1
dx ln x C e x dx e x C sin xdx cos x C
x
cos xdx sin x C
Câu 40. Cho hàm số f x liên tục trên . Biết cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x e x , họ tất cả
các nguyên hàm của hàm số f x e x là:
A. sin 2 x cos 2 x C .
B. 2 sin 2 x cos 2 x C .
C. 2 sin 2 x cos 2 x C .
D. 2 sin 2 x cos 2 x C .
Câu 41. Họ nguyên hàm của hàm số f x 4 x 1 ln x là
A. 2 x 2 ln x 3x 2 .
B. 2 x 2 ln x x 2 .
C. 2 x 2 ln x 3x 2 C . D. 2 x 2 ln x x 2 C .
f x
1
Câu 42. Cho F x 2 là một nguyên hàm của hàm số
. Tìm nguyên hàm của hàm số f x ln x .
2x
x
ln x 1
1
ln x
A. f x ln xdx 2 2 C
B. f x ln xdx 2 2 C
x
x
2x
x
ln x
1
ln x 1
C. f x ln xdx 2 2 C
D. f x ln xdx 2 2 C
x
2x
x
x
4
x
Câu 43. Họ nguyên hàm của hàm số f x x xe là
1 5
1
x x 1 e x C . B. x 5 xe x C .
5
5
Câu 44. Tìm họ nguyên hàm của hàm số f ( x) xe2 x ?
1
1
A. F ( x ) e 2 x x C .
2
2
A.
C.
1 5
x x 1 e x C . D. 4 x3 x 1 e x C .
5
1
B. F ( x) e 2 x x 2 C .
2
1
C. F ( x) 2e2 x x 2 C.
D. F ( x ) 2e 2 x x C .
2
Câu 45. Biết x cos 2 xdx ax sin 2 x b cos 2 x C với a , b là các số hữu tỉ. Tính tích ab ?
1
1
1
A. ab .
B. ab .
C. ab .
8
4
8
Câu 46. Họ nguyên hàm của hàm số f x x 1 sin x là
A.
x2
x sin x cos x C .
2
B.
D. ab
x2
x cos x sin x C .
2
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
1
.
4
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
x2
x cos x sin x C .
C.
2
x2
x sin x cos x C .
D.
2
Câu 47. Tìm nguyên hàm J ( x 1)e3 x dx .
1
1
A. J ( x 1)e3 x e3 x C .
3
3
1
1
C. J ( x 1)e3 x e3 x C .
3
9
1
1
B. J ( x 1)e3 x e3 x C .
3
9
1
D. J ( x 1)e3 x e3 x C .
3
Câu 48. Kết quả tính 2 x ln x 1dx bằng:
A. x 2 1 ln x 1
C. x 2 ln x 1
x2
x c.
2
x2
x c.
2
x2
D. x 2 1 ln x 1 x c.
2
B. x 2 1 ln x 1
x2
x c.
2
Câu 49. Họ nguyên hàm của hàm số f x x e x sin x là
A. x 1 e x x cos x sin x C .
B. x 1 e x x cos x sin x C .
C. x 1 e x x cos x sin x C .
D. x 1 e x x cos x sin x C .
Câu 50. Tìm một nguyên hàm F x của hàm số f x
ln 2x
?
x2
1
1
B. F x ln 2 x 1 .
ln 2 x 1 .
x
x
1
1
C. F x 1 ln 2 x .
D. F x ln 2 x 1 .
x
x
Câu 51. Họ nguyên hàm của hàm số f x 2 x 3 ln x là
A. F x
x2
3x C .
2
x2
C. x 2 3 x ln x 3x C .
2
A. x 2 3 x ln x
Câu 52. Tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
A. x cot x ln sinx C .
C. x cot x ln s inx C .
x2
3x C .
2
x2
D. x 2 3 x ln x 3 x C .
2
B. x 2 3x ln x
x
trên khoảng 0; là
sin 2 x
B. x cot x ln s inx C .
D. x cot x ln s inx C .
D. NGUYÊN HÀM CÓ ĐIỀU KIỆN
Câu 53. Cho hàm số f x thỏa mãn f ' x 3 5 sin x và f 0 10 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f x 3 x 5 cos x 5
B. f x 3 x 5 cos x 2
C. f x 3 x 5 cos x 15
D. f x 3 x 5 cos x 2
Câu 54. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e x 2 x thỏa mãn F 0
3
. Tìm F x .
2
1
5
3
1
B. F x e x x 2
C. F x e x x 2
D. F x e x x 2
2
2
2
2
1
Câu 55. Biết F x là một nguyên hàm của f x
và F 2 1 . Tính F 3 .
x 1
1
7
A. F 3 ln 2 1
B. F 3 ln 2 1
C. F 3
D. F 3
2
4
A. F x 2e x x 2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 56. Tìm nguyên hàm F x của hàm số f x sin x cos x thoả mãn F 2
2
A. F x cos x sin x 3
B. F x cos x sin x 3
C. F x cos x sin x 1
D. F x cos x sin x 1
Câu 57. Cho F x x 1 e x là một nguyên hàm của hàm số f x e 2 x . Tìm nguyên hàm của hàm số
f x e 2x .
f x e
C. f x e
A.
Câu 58.
2x
dx x 2 e x C
2x
dx 2 x e x C
f x e
D. f x e
B.
2x x
e C
2
2x
dx 4 2 x e x C
2x
dx
F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1 e 2 x thỏa F 0 0 . Tính F 1
A. F 1 2e 2 .
B. F 1
e2
.
2
C. F 1 e 2 .
D. F 1
3e 2
.
2
Câu 59. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f ( x) e - x sin x thỏa mãn F 0 0 . Tìm F x .
A. F ( x)= e- x cos x 2 .
C. F ( x) e- x cos x - 2 .
B. F ( x) e- x cos x .
D. F ( x) e- x - cos x 2 .
Câu 60. Cho F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x)
A. ln 8 1.
Câu 61. Biết
dx
B. 4 ln 2 1 .
x
1 cos x a tan b C
A. – 5.
2
. Biết F 1 0 . Tính F 2 kết quả là.
x2
C. 2 ln 3 2 .
D. 2 ln 4 .
với a , b là các số nguyên dương. Tính S a 2b ?
B. – 2.
C. 0.
D. – 3.
a
1 ln x
ln x b là một nguyên hàm của hàm số f x 2 , trong đó a, b . Giá trị
x
x
S b 2a bằng
A. 6 .
B. 0 .
C. 4 .
D. 2 .
f
x
. Tìm nguyên hàm của hàm số
1
Câu 63. Cho F x 3 là một nguyên hàm của hàm số
x
3x
Câu 62. Cho F x
f x ln x
ln x
1
ln x
1
5 C
B. f x ln xdx 3 3 C
3
x
5x
x
3x
ln x
1
ln x
1
C. f x ln xdx 3 3 C
D. f x ln xdx 3 5 C
x
3x
x
5x
2x
Câu 64. Cho hàm số f x có đạo hàm và liên tục trên và f x 2e 1 x , f 0 2 . Hàm f x
là
A. y 2e x 2 x .
B. y 2e x 2 .
C. y e2 x x 2 .
D. y e2 x x 1 .
x
Câu 65. Cho f x
trên ; và F x là một nguyên hàm của x. f ' x thỏa mãn
2
cos x
2 2
F 0 0 . Tính F ?
3
2
3
4 2 3
4 2 3
2 3
ln 2 .
ln 2 . C.
ln 2 . D.
ln 2 .
A.
B.
36
3
9
3
9
3
36
3
A.
f x ln xdx
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
1
Câu 66. Cho a là số thực khác 0 , F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x ln ax thỏa mãn
x
1
F 0 và F 2018 e2018 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
a
1
1
;1 .
A. a 2018; .
B. a
C. a 0;
D. a 1; 2018 .
.
2018
2018
1
Câu 67. Biết x 3 e2 x dx e2 x 2 x n C , m, n . Giá trị của m 2 n 2 bằng
m
A. 10 .
B. 65 .
C. 5 .
D. 41 .
2x 1
Câu 68. Cho F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f x 4
trên khoảng 0; thỏa mãn
x 2 x3 x 2
1
F 1 . Giá trị của biểu thức S F 1 F 2 F 3 F 2019 bằng
2
2019
2019.2021
1
2019
A.
.
B.
.
C. 2018
.
D.
.
2020
2020
2020
2020
Câu 69. Cho f x và g x là hai hàm số liên tục và có một nguyên hàm lần lượt là F x x 2019 ,
G x x 2 2020 . Tìm một nguyên hàm H x của hàm số h x f x .g x , biết H 1 3 .
A. H x x3 3 .
B. H x x 2 5 .
C. H x x3 1 .
D. H x x 2 2 .
Câu 70. Giả sử F x ax 2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x x 2e x . Tính tích P abc .
A. P 4 .
B. P 1 .
D. P 3 .
1
Câu 71. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x , thỏa mãn F 0
. Tính giá trị biểu
ln 2
thức T F 0 F 1 F 2 ... F 2019 .
A. T
22020 1
.
ln 2
B. T 1009.
C. P 5 .
22019 1
. C. T 22019.2020 .
2
Câu 72. Cho hàm số f x xác định trên R \ 1;1 thỏa mãn f ' x
D. T
2 2019 1
.
ln 2
1
. Biết f 3 f 3 4 và
x 1
2
1
1
f f 2 . Giá trị của biểu thức f 5 f 0 f 2 bằng
3
3
1
1
1
1
A. 5 ln 2 .
B. 6 ln 2 .
C. 5 ln 2 .
D. 6 ln 2 .
2
2
2
2
E. NGUYÊN HÀM HÀM ẨN
2
1
Câu 73. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
và f x 4 x 3 f x với mọi x . Giá trị của
25
f 1 bằng
A.
41
400
B.
1
10
C.
391
400
D.
1
40
Câu 74. Cho hàm số f x thỏa mãn f x f x e x , x và f 0 2 . Tất cả các nguyên hàm
của f x e2 x là
A. x 2 e x e x C .
Câu 75. Cho hàm số
f x
2
B. x 2 e2 x e x C . C. x 1 e x C .
y f x
D. x 1 e x C .
đồng biến và có đạo hàm liên tục trên
thỏa mãn
f x .e x , x và f 0 2 . Khi đó f 2 thuộc khoảng nào sau đây?
A. 12;13 .
B. 9;10 .
C. 11;12 .
D. 13;14 .
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 76. Cho hàm số y f x thỏa mãn f x 0, x 0 và có đạo hàm f x liên tục trên khoảng
0;
thỏa mãn
f x 2 x 1 f 2 x , x 0 và
f 1 f 2 ... f 2020 bằng
2020
2015
A.
.
B.
.
2021
2019
C.
Câu 77. Cho hàm số y f x thỏa mãn f 2
1
f 1 . Giá trị của biểu thức
2
2019
.
2020
D.
2016
.
2021
4
và f x x3 f 2 x x . Giá trị của f 1
19
bằng
2
1
3
A. .
B. .
C. 1.
D. .
3
2
4
\
1;0
Câu 78. Cho hàm số y f x liên tục trên
thỏa mãn điều kiện: f 1 2 ln 2 và
x. x 1 . f x f x x 2 x . Biết f 2 a b.ln 3 ( a , b ). Giá trị 2 a 2 b2 là
27
3
9
.
B. 9 .
C. .
D. .
4
4
2
Câu 79. Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng (0; ) , biết f x 2 x 1 f 2 x 0 ,
A.
1
. Tính giá trị của P f 1 f 2 ... f 2019 .
6
2019
2018
2021
B. P
.
C. P
.
D. P
.
2020
2019
2020
liên tục trên \ 1;0 thỏa mãn điều kiện: f 1 2ln 2 và
f x 0 , f x 0 x 0 , f 2
2020
.
2019
Câu 80. Cho hàm số
A. P
f x
x. x 1 . f x f x x 2 x 1 . Biết f 2 a b.ln 3 a, b . Giá trị của 2 a 2 b2 là:
27
3
.
B. 9 .
C. .
4
4
2
Câu 81. Cho f (4 x ) dx x 3 x c . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.
A.
C.
x2
2x C .
4
x2
f ( x 2) dx 4 x C .
4
f ( x 2) dx
Câu 82. Cho hàm số f x thỏa mãn f 2
D.
B.
f ( x 2) dx x
D.
f ( x 2) dx
2
9
.
2
7x C .
x2
4x C .
2
2
2
và f x 2 x f x với mọi x . Giá trị của f 1
9
bằng
19
2
.
D. .
36
15
x
Câu 83. Cho hàm số f x liên tục và có đạo hàm trên 0; , thỏa mãn f x tan x. f x
.
cos3 x
2
Biết rằng 3 f f a 3 b ln 3 trong đó a, b . Giá trị của biểu thức P a b
3
6
bằng
14
2
7
4
A.
.
B. .
C. .
D. .
9
9
9
9
f 1 2 ln 2 1 ,
Câu 84. Cho hàm số y f x liên tục trên \ 1; 0 thỏa mãn
A.
35
.
36
B.
2
.
3
C.
x x 1 f x x 2 f x x x 1 , x \ 1;0 . Biết f 2 a b ln 3 , với a , b là hai
số hữu tỉ. Tính T a 2 b .
3
21
A. T
.
B. T .
16
16
C. T
3
.
2
D. T 0 .
Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Câu 85. Cho
hàm
số
y f x
xf x 2 f x .ln x x
nào dưới đây?
25
A. 12; .
2
3
có
đạo
hàm
liên
f x , x 1; ; biết f
27
B. 13; .
2
tục
trên
1;
e 3e . Giá trị
3
23
C. ;12 .
2
và
thỏa
mãn
f 2 thuộc khoảng
29
D. 14; .
2
------------------- HẾT -------------------
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
NGUYÊN HÀM
Vấn đề 13
A. NGUYÊN HÀM CƠ BẢN
Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với C là hằng số tùy ý)
0dx C .
x
k dx kx C .
x n 1
C.
n 1
1 (ax b)n 1
C.
a n 1
x dx ln x C .
ax b dx a ln ax b C .
1
C.
x
(ax b)
sin x dx cos x C .
sin(ax b)dx a cos(ax b) C .
cosx dx sin x C .
cos(ax b)dx a sin(ax b) C .
sin
dx
1
cot(ax b ) C .
a
sin (ax b )
dx
1
tan(ax b ) C .
cos (ax b) a
e dx e
x
a dx
x n dx
1
1
2
dx
1
2
x
dx cot x C .
1
dx tan x C .
cos2 x
x
x
(ax b)n dx
1
1
1
2
1
1
C.
dx
a ax b
1
1
2
2
1
dx eax b C .
a
1 a x
C.
a x dx
ln a
C.
ax
C.
ln a
e
ax b
♦ Nhận xét. Khi thay x bằng (ax b) thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm
1
a
Một số nguyên tắc tính cơ bản
PP
Tích của đa thức hoặc lũy thừa
khai triễn.
PP
Tích các hàm mũ
khai triển theo công thức mũ.
1 1
1 1
Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: sin2 a cos2a, cos2 a cos2a.
2 2
2 2
PP
Chứa tích các căn thức của x
chuyển về lũy thừa.
Câu 1.
Họ nguyên hàm của hàm số f x cos x 6 x là
A. sin x 3 x 2 C .
B. sin x 3 x 2 C . C. sin x 6 x 2 C .
Lời giải
D. sin x C .
Chọn A
Ta có f x dx cos x 6 x dx sin x 3 x 2 C .
Câu 2.
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x 2 x 6 là
A. x2 6 x C .
B. 2x2 C .
C. 2 x 2 6 x C .
Lời giải
D. x 2 C .
Chọn A
2 x 6 dx x
2
6x C
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang 1
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
Câu 3.
Họ tất cả nguyên hàm của hàm số f x 2 x 4 là
A. 2 x 2 4 x C .
B. x 2 4 x C .
C. x 2 C .
Lời giải
D. 2x 2 C .
Chọn B
Ta có f x dx 2 x 4 dx x 2 4 x C .
Câu 4.
Họ nguyên hàm của hàm số f x e x x là
A. e x x 2 C .
B. e x
1 2
x C .
2
C.
1 x 1 2
e x C . D. e x 1 C .
x 1
2
Lời giải
Chọn
Ta có
Câu 5.
B.
e
x
x dx e x
1 2
x C .
2
4
2
Nguyên hàm của hàm số f x x x là
A. 4 x 3 2 x C
B.
1 5 1 3
x x C
5
3
C. x 4 x 2 C
D. x 5 x 3 C .
Lời giải
Chọn B
f x dx x
Câu 6.
4
1
5
Nguyên hàm của hàm số f x x3 x 2 là
A. x 4 x 3 C .
Chọn
Câu 7.
1
3
x 2 dx x 5 x 3 C .
B.
1 4 1 3
C. 3 x 2 2 x C .
x x C .
4
3
Lời giải
D. x 3 x 2 C .
1 4 1 3
x x C
4
3
Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 3 x
sin 3 x
C
3
sin 3 x
D. cos 3 xdx
C
3
Lời giải
B. cos 3 xdx
A. cos 3 xdx 3 sin 3 x C
C. cos 3 xdx sin 3 x C
Chọn B
Ta có: cos 3 xdx
Câu 8.
sin 3 x
C
3
Họ nguyên hàm của hàm số f x
A. ln x cos x C .
B.
1
sin x là
x
1
C. ln x cos x C .
cos x C .
x2
Lời giải
D. ln x cos x C .
Chọn D
Ta có
Câu 9.
1
1
f x dx x sin x dx x dx sin xdx ln x cos x C .
Cho biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên . Tìm I 2 f x 1dx.
A. I 2 xF x x C . B. I 2 xF x 1 C . C. I 2 F x 1 C . D. I 2 F x x C .
Trang 2 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Lời giải
Chọn D
Ta có I 2 f x 1dx 2 f x dx 1dx 2 F x x C .
Câu 10. Nguyên hàm của hàm số f x e x 1 là
A. e x x C .
B. e x x C .
C. e x x C .
Lời giải
D. e x x C .
Chọn B
Ta có: f x dx e x 1 dx e x x C .
Câu 11. Tìm nguyên hàm của hàm số f x 2 x 1.
2
A.
f x dx 3 2 x 1
C.
f x dx 3
1
2 x 1 C.
2 x 1 C.
1
B.
f x dx 3 2 x 1
D.
f x dx 2
1
2 x 1 C.
2 x 1 C.
Lời giải
Chọn B
1
1
2 d 2 x 1
2
x
1
2
1
2 x 1 2 x 1 C
3
f x dx 2 x 1dx
Câu 12. Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của hàm số f x sin x e x 5 x ?
A. F x cos x e x
C. F x cos x e x
5 2
x 1 .
2
B. F x cos x e x 5 x 3 .
5 2
x .
2
D. F x cos x
ex
5
x2 .
x 1 2
Lời giải
Chọn A
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản, ta có:
5 2
x
x
f x dx sin x e 5 x dx cos x e 2 x C .
5
Vậy F x cos x e x x 2 1 là một nguyên hàm của hàm số f x sin x e x 5 x .
2
Câu 13. Cho
1
f x dx x ln x C
( với C là hằng số tùy ý ), trên miền 0; , chọn khẳng định
đúng về hàm số f x .
C. f x x
x 1
.
x2
1
D. f x 2 ln x .
x
Lời giải
B. f x
A. f x x ln x .
1
ln x .
x
Chọn B
1 1 x 1
1
Ta có: f x ln x C 2 2
x
x
x
x
Câu 14. Nguyên hàm của hàm số f x x
1
trên khoảng 0; là
x
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 3
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
1
C.
x2
Lời giải
Chọn D
Ta có
C. x 2
B. 1 ln x C.
A. 1
1
C.
x2
D.
x2
ln x C.
2
1
x2
f x dx x dx ln x C.
x
2
Câu 15. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e 2 x
A. e 2 x dx 2e 2 x C .
B. e2 x dx e2 x C .
e 2 x 1
C .
2x 1
C. e 2 x dx
D. e 2 x dx
1 2x
e C.
2
Lời giải
Chọn D
e
2x
dx
1 2x
1
e d 2 x e 2 x C.
2
2
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f x
x
C.
2
A.
B.
1
x x
là
2
C .
x
C.
2
C .
x
D.
x
C .
2
Lời giải
Chọn C
x
1
x
dx
1
x
3
2
3
2
dx x dx
x
1
2
1
2
C
2
C.
x
Câu 17. Cho hàm số y f ( x) thỏa mãn f (0) 1 , f '( x) 2 x sin x . Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. f ( x) x 2 cos x.
B. f ( x) x 2 cos x 2.
C. f ( x) x 2 cos x.
D. f ( x) x 2 cos x 1.
Lời giải
Chọn B
Ta có: f ( x ) f '( x) dx 2 x sin x dx x 2 cos x C .
f (0) 1 C 1 C 2 f ( x) x 2 cos x 2 .
1
dx .
Câu 18. Tìm họ nguyên hàm F x
3
2 x 1
A. F x
C. F x
1
4 2 x 1
2
C .
B. F x
3
C .
D. F x
1
4 2 x 1
1
6 2 x 1
2
C
3
C .
1
6 2 x 1
Lời giải
Chọn A
Ta có: F x
1
2 x 1
3
dx
1
1
1
3
d 2 x 1 2 x 1 d 2 x 1 .
3
2 2 x 1
2
1
1
2
. 2 x 1 C
C
2
4
4 2 x 1
Trang 4 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
Vậy F x
1
4 2 x 1
2
C .
Câu 19. Họ nguyên hàm của hàm số f x cos3 x là
cos 4 x
A.
C.
4
sin 3 x
sin 3 x
B. sin x
C . C. x
C .
3
3
Lời giải
sin 3 x
D. sin x
C .
3
Chọn B
3
Ta có:
sin x
cos x dx 1 sin x cos x dx 1 sin x d sin x sin x 3 C .
3
2
2
Vậy họ nguyên hàm của hàm số f x cos 3 x là sin x
sin 3 x
C .
3
ex
Câu 20. Tìm nguyên hàm của hàm số f x e x 2
.
cos 2 x
2
A. F x x tan x C .
B. F x 2 e x tan x C .
e
2
C. F x x tan x C .
D. F x 2 e x tan x C .
e
Lời giải
Chọn A
1
2
ex
dx x tan x C
dx 2e x
Ta có e x 2
2
2
cos x
e
cos x
Câu 21. Xác định họ nguyên hàm F x của hàm số f x x 1 e x
A. F x
ex
2
C. F x 2e
2 x 3
C
2
x2 2 x 3
,C R .
C, C R .
2
2 x 3
ex
2
2 x 3
C
,C R .
x 1
2
D. F x e x 2 x 3 C , C R .
B. F x
Lời giải
Chọn A
Xét I x 1 e x
2
2 x 3
dx
1 x2 2 x 3
ex
2
e
d
x
2
x
3
2
2
2 x 3
C
2
.
Câu 22. Họ nguyên hàm của hàm số f x sin 2 x cos 2 x là
A.
1
1
x sin 4x C .
4 16
B.
1
1
x sin 4x .
8 32
C.
1
1
1
1
x sin 4 x C . D. x sin 4x C .
8
8
8 32
Lời giải
Chọn D
1
1 1 cos 4 x 1 1
Ta có f x sin 2 x cos 2 x sin 2 2 x .
cos 4 x .
4
4
2
8 8
1
1
1 1
Do đó f x dx cos 4 x dx x sin 4 x C .
8
32
8 8
109
Câu 23. Cho F x 2 x 1
dx , mệnh đề nào dưới đây đúng?
108
A. F x
2 x 1
108
110
C.
B. F x
2 x 1
110
C.
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 5
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
108
C. F x
2 x 1
110
D. F x
C.
216
2 x 1
220
C.
Lời giải
Chọn D
110
109
F x 2 x 1
1 2 x 1
1
109
dx 2 x 1 d 2x +1 .
2
110
2
Câu 24. Tìm các hàm số f ( x) biết f ' ( x)
110
C
2 x 1
C.
220
cos x
.
(2 sin x) 2
sin x
C .
(2 sin x) 2
1
C .
C. f ( x)
2 sin x
1
C .
(2 cos x)
sin x
C .
D. f ( x)
2 sin x
Lời giải
A. f ( x)
B. f ( x)
Chọn C
Ta có f ( x) f ' ( x)dx
Câu 25.
cos x
d(2 sin x )
1
dx
C .
2
2
2 sin x
(2 sin x)
(2 sin x)
Họ nguyên hàm của hàm số y 2 x 1
A.
2 x 1
2018
2018
C .
B.
2 x 1
2019
là
2020
4040
C .
C.
2 x 1
2020
C .
2020
D.
2 x 1
2018
4036
Lời giải
ChọnB
2020
Ta có:
2 x 1
2019
1
1 2 x 1
2019
dx 2 x 1 d 2 x 1 .
2
2
2020
2 x 1
C
4040
A. y 2 x ln sin x 2 cos x .
3sin x cos x
sin x 2 cos x
B. y x ln sin x 2 cos x .
C. y x ln sin x 2 cos x .
D. y ln sin x 2cos x .
Câu 26. Hàm nào sau đây là nguyên hàm của hàm số f x
Lời giải
Chọn B
Ta có f x
sin x 2 cos x cos x 2sin x 1 cos x 2sin x .
sin x 2 cos x
sin x 2 cos x
cos x 2sin x
f x dx 1
dx x ln sin x 2cos x C .
sin x 2cos x
B. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ
1. Công thức thường áp dụng
1
1
1
1
1
dx
C.
dx ln ax b C .
2
a
ax
b
ax b
a
(ax b )
a
ln a ln b ln(ab). ln a ln b ln
b
n
ln a n ln a. ln1 0.
2. Phương pháp tính nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỷ I
2020
P(x )
dx .
Q(x )
PP
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
Chia đa thức.
Trang 6 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
C .
C .
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
PP
phân tích mẫu Q(x ) thành tích số, rồi sử
Nếu bậc của tử số P(x ) bậc của mẫu số Q(x )
dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01.
PP
Nếu mẫu không phân tích được thành tích số
thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng
cách đặt X a tan t, nếu mẫu đưa được về dạng X 2 a 2 .
x2
trên khoảng 1; là
x 1
3
3
C.
C.
B. x 3ln x 1 C. C. x
D. x
2
2
x 1
x 1
Câu 27. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)
A. x 3ln x 1 C.
Lời giải
Chọn A
Trên khoảng 1; thì x 1 0 nên
x2
3
f ( x)dx x 1dx 1 x 1 dx x 3ln x 1 C x 3ln x 1 C.
Câu 28. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
1
.
5x 2
dx
A.
5x 2 5 ln 5x 2 C
C.
5x 2 ln 5x 2 C
dx
dx
1
B.
5x 2 5 ln 5x 2 C
D.
5x 2 2 ln 5x 2 C
dx
1
Lời giải
Chọn B
Áp dụng công thức
dx
1
dx
1
ax b a ln ax b C a 0 ta được 5x 2 5 ln 5x 2 C .
1
1
trên khoảng ; là:
3x 1
3
1
B. ln(1 3x) C
C. ln(1 3x) C
3
Lời giải
Câu 29. Họ nguyên hàm của hàm số f ( x)
A.
1
ln(3x 1) C
3
D. ln(3x 1) C
Chọn C
Ta có:
1
1 d (3x 1) 1
1
1
ln 3x 1 C ln(1 3 x) C (do x ; )
3x 1
3
3
3
3x 1dx 3
Câu 30. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
1
C .
x2
3
C .
C. 2ln x 2
x2
A. 2ln x 2
2x 1
x 2
2
trên khoảng 2; là
1
C .
x2
3
C .
D. 2ln x 2
x2
Lời giải
B. 2ln x 2
Chọn A
Đặt x 2 t x t 1 dx dt với t 0
2t 1
1
2 1
Ta có f x dx 2 dt = 2 dt 2 ln t C
t
t
t t
1
C.
Hay f x dx 2ln x 2
x2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 7
NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489
3x 1
trên khoảng (1; ) là
( x 1) 2
1
c.
B. 3ln( x 1)
x 1
2
c.
D. 3ln( x 1)
x 1
Lời giải
Câu 31. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f ( x)
2
c.
x 1
1
c.
C. 3ln( x 1)
x 1
A. 3ln( x 1)
Chọn A
3 x 3 2 3( x 1) 2
3
2
2
2
( x 1)
( x 1)
x 1 ( x 1)2
3
2
d( x 1)
d( x 1)
Vậy f ( x)dx (
)dx 3
2
2
x 1 ( x 1)
x 1
( x 1) 2
2
C vì x 1 .
3ln x 1 2 ( x 1) 2 d( x 1) 3ln( x 1)
x 1
Ta có f ( x)
Câu 32. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
4
C .
x2
2
C. 3ln x 2
C
x2
3x 2
x 2
2
trên khoảng 2; là
2
C
x2
4
D. 3ln x 2
C
x2
Lời giải
A. 3ln x 2
B. 3ln x 2
Chọn D
Ta có f x
3x 2
x 2
2
3 x 2 4
x 2
3
3x 2
4
x 2 dx x 2 x 2
2
2
2
3
4
. Do đó
x 2 x 2 2
4
C.
dx 3ln x 2
x
2
Câu 33. Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x
2
C.
x 1
2
C. 2 ln x 1
C .
x 1
2x 1
x 1
2
trên khoảng 1; là
3
C.
x 1
3
D. 2 ln x 1
C .
x 1
Lời giải
A. 2 ln x 1
B. 2 ln x 1
Chọn B
Ta có
f x dx
2x 1
2 x 1 3
x 1
x 1
dx
2
2
2
3
3
dx
dx 2 ln x 1
C.
2
x 1
x 1 x 1
1
1
trên ; .
2
1 2x
1
B. ln 2 x 1 C .
C. ln 2 x 1 C .
2
Lời giải
Câu 34. Tìm nguyên hàm của hàm số f x
A.
1
ln 1 2 x C .
2
1
D. ln 2 x 1 C .
2
Chọn D
Trang 8 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/
TÀI LIỆU TỔNG ÔN TẬP TNTHPT 2020
1
1
1
1
dx ln 1 2 x C ln 2 x 1 C .
Với mọi x ; ta có:
1 2x
2
2
2
Câu 35. Cho biết
2 x 13
( x 1)( x 2) dx a ln x 1 b ln x 2 C . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2b 8 .
B. a b 8 .
C. 2a b 8 .
Lời giải
D. a b 8 .
Chọn D
Ta có
2 x 13
3
1
1
5
( x 1)( x 2) dx x 1 x 2 dx 5 x 1 dx 3 x 1 dx 5ln x 1 3ln x 2 C .
a 5
a b 8.
Vậy
b 3
1
Câu 36. Tích phân I
x 1
0
2
x2 1
dx a ln b c , trong đó a , b , c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu
thức a b c ?
A. 3 .
B. 0 .
C. 1.
D. 2 .
Lời giải
Chọn D
1
x 1
2
1
2x
dx 1 2 dx x ln x 2 1
2
x 1
x 1
0
0
Khi đó a 1 , b 2 , c 1 .
Vậy a b c 2 .
Ta có : I
1
1 ln 2 .
0
a
3
a
x 1
là phân số tối giản .
dx ln
C , với b là số thực dương và
b
x 4x 3
b x3
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2b 8 .
B. a b 8 .
C. 2a b 8 .
D. a b 8 .
Lời giải
Chọn C
3
3
3 1
1
Ta có: 2
dx
dx
dx
x 4x 3
2 x 1 x 3
x 1 x 3
Câu 37. Cho biết
2
3
3 x 1
ln x 1 ln x 3 ln
C .
2
2 x3
Vậy a 3, b 2 2a b 8 .
Câu 38. Cho biết
4x 1
b
3
dx ax ln 2 x 3 C , với mọi x ; . Mệnh đề nào sau đây
2x 3
2
2
đúng?
A. 2a b 1 .
B. 2 a b 3 .
C. 2a b 9 .
Lời giải
D. 2 a b 7 .
Chọn A
Ta có:
4x 1
5
5
2 x 3 dx 2 2 x 3 dx 2 x 2 ln 2 x 3 C
3
Vì x ; nên 2 x 3 2 x 3 .
2
Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 9
- Xem thêm -
.PDF 
38 
95 
139 
