Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Khoa học tự nhiên Toán học Tong hop phuong trinh dao ham rieng...

Tài liệu Tong hop phuong trinh dao ham rieng

.PDF
78
285
136

Mô tả:

Tài liệu nói về một số cách giải nghiệm cho các phương trình đạo hàm riêng trong vật lý như phương trình truyền nhiệt, phương trình sóng,... Một số bài tập về khai triển Bessel, khai triển Fourier,...
1 Phần 1.1 ( 1-8; 11-14) Bài tập 1. (bài 1 trang 5) Giả sử u1 ; u2 là nghiệm của phương trình @u @u + =0 @t @x (1) . Chứng minh rằng c1 u1 + c2 u2 cũng là nghiệm của (1) (với c1 ; c2 là hằng số). Gợi ý: Chứng minh (1) là tuyến tính. Giải. G/s u1 ; u2 là nghiệm của (1), ta có: @u1 @u1 @u2 @u2 @t + @x = 0 và @t + @x = 0 Vì lấy đạo hàm là 1 phép tính tuyến tính,ta có: @u1 @u2 @u1 @u2 @ @ @t (c1 u1 + c2 u2 ) + @x (c1 u1 + c2 u2 ) = c1 @t + c2 @t + c1 @x + c2 @x @u1 @u2 1 = c1 ( @u @t + @x ) + c2 ( @t + = c1 :0 + c2 :0 = 0 Vậy c1 u1 + c2 u2 là nghiệm của (1) @u2 @x ) 2 Bài tập 2. (bài 2 trang 5)Tìm nghiệm của (1) có dạng xe x trên trục x: Giải. Nghiệm tổng quát của (1) là: u(x; t) = f (x t) 2 Trên trục x (t = 0); ta có: u(x; 0) = xe x = f (x 0) = f (x) 2 Vậy u(x; t) = f (x t) = (x t)e (x t) Bài tập 3. (bài 3 trang 5)Tìm nghiệm của (1) có dạng t trên trục t: Giải. Nghiệm tổng quát của (1) là: u(x; t) = f (x t) Trên trục t (x = 0); ta có: u(0; t) = t = f (0 t) = f ( t): Vậy f (t) = t và u(x; t) = f (x t) = (x t) = t x Bài tập 4. (bài 4 trang 5)Dựa vào ví dụ 3 và cách chứng minh (1) với a=1, b=1, c=1, d=-1 Giải. Lấy =ax+bt, = cx + dt:Từ ví dụ 3 ta có: @u @u @ @u @ @u @u @x = @ @x + @ @x = a @ + c @ = @@u @@t + @@u @@t = b @@u + d @@u Thì (1) trở thành: (a + b) @@u + (c + d) @@u = 0 với a=1, b=1, c=1, d=-1. Khi đó: 2 @@u = 0 ) @u @t Do đó, u là hàm của . Vậy u = f ( ) = f (x @u @ =0 t) Bài tập 5. (bài 5 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3. Giải. Lấy =ax+bt, = cx + dt:Từ ví dụ 3 ta có: @u @ @u @ @u @u @u @x = @ @x + @ @x = a @ + c @ @u @t @u @t @u @x = 0 sử = @@u @@t + @@u @@t = b @@u + d @@u @u từ @u a) @@u + (d c) @@u = 0 @t @x = 0; suy ra (b chọn a = 0; b = c = d = 1: Khi đó, @@u = 0 Suy ra, u(x; t) = f ( ) = f (x + t) (Với f là hàm khả vi tùy ý) @u Bài tập 6. (bài 6 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình 2 @u @t + 3 @x = 0 sử dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3. Giải. Tương tự bài 5,với =ax+bt, = cx + dt thì 1 @u @x @u @t = @u @ @ @x + @u @ @ @x = a @@u + c @@u = @@u @@t + @@u @@t = b @@u + d @@u @u @u @u từ 2 @u @t + 3 @x = 0; suy ra (2b + 3a) @ + (2d + 3c) @ = 0 chọn a = 0; b = 1; c = 2; d = 3: Khi đó, @@u = 0 Suy ra, u(x; t) = f ( ) = f (2x 3t) (Với f là hàm khả vi tùy ý) Bài tập 7. (bài 7 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3. Giải. với =ax+bt, = cx + dt thì @u @u @ @u @ @u @u @x = @ @x + @ @x = a @ + c @ @u @t 2 @u @x = 2 sử = @@u @@t + @@u @@t = b @@u + d @@u 2 @u 2a) @@u + (d 2c) @@u = 2 từ @u @t @x = 2; suy ra (b chọn a = 1; b = 2; c = 1; d = 0: Khi đó, 2 @@u = 2 , @@u = 1 Giải phương trình vi phân này theo ; ta có u = + f ( ) Suy ra, u(x; t) = + f ( ) = x + f (x + 2t) (Với f là hàm khả vi tùy ý) @u @t @u Bài tập 8. (bài 8 trang 5)Lấy đạo hàm nghiệm tổng quát của phương trình a @u @t + b @x = u; a 6= b sử dụng các thay đổi giá trị của biến số như ở ví dụ 3 Giải. Lấy = c1 x + d1 t; = c2 x + d2 t: Khi đó, @u @u @u @x = c1 @ + c2 @ @u @u @u @t = d1 @ + d2 @ Thay vào phương trình đề cho ta được (ad1 + bc1 ) @@u + (ad2 + bc2 ) @@u = u Chọn c1 = a; d1 = b; c2 = 0; d2 = a1 (a 6= 0): Khi đó @@u = u Suy ra u = f ( )e Do đó u(x; t) = f (ax - b) 2 Giải các phương trình sau bằng phương pháp đường cong đặc trưng và thử lại bằng cách thế nghiệm vào phương trình: Bài tập 9. (Bài 11 trang 6) @u @x + x2 @u @y = 0 dy Giải. Đường cong đặc trưng thu được bằng cách giải quyết: dx = x2 ) y = 31 x3 + C ) 1 3 y 3x = C Đặt (x; y) = y 31 x3 : Đường cong đặc trưng là đường cong của : Nghiệm của nó có dạng: u (x; y) = f ( (x; y)) = f y 31 x3 ;trong đó f là hàm khả vi một biến. @u Bài tập 10. (Bài 12 trang 6) x @u @x + y @y = 0 Giải. Chúng ta theo dõi phương pháp đường cong đặc trưng. Hãy tìm các đường cong đặc trưng. Cho x 6= 0; y @u @u @x + x @y = 0 dy dx = y x ) y = Cx Ở đây chúng ta sử dụng định lý 1, phụ lục A.1 để giải phương trình vi phân cuối. Vì vậy đường cong đặc trưng là xy = C và nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là: u (x; y) = f xy : Để xác nhận nghiệm, chúng ta sử dụng công thức hàm hợp và thu được: ux = xy2 f 0 xy và uy = x1 f 0 xy : Như vậy xux + yuy = 0 . 2 Bài tập 11. (Bài 13 trang 6) @u @x + sin x @u @y = 0 dy Giải. Để tìm đường cong đặc trưng, chúng ta giải quyết dx = sin x:Vì vậy y = -cosx+C hay y+cosx=C. Như vậy nghiệm của phương trình đạo hàm riêng là: u (x; y) = f (y + cos x) : Để xác nhận nghiệm, chúng ta sử dụng công thức hàm hợp và thu được: ux = sin xf 0 (y + cos x) và uy = f 0 (y + cos x) : Như vậy ux + sin xuy = 0 . Giải. Bài tập 12. 2 @u @u @x + x @y = 0 x2 @u = 0: Đường cong đặc trưng thu được bằng Giải. Đưa phương trình về dạng: @u @x + xe @y 2 2 2 dy cách giải quyết: dx = xe x ) y = 12 e x + C ) y + 12 e x = C 2 Đặt (x; y) = y + 12 e x : Đường cong đặc trưng là đường cong của : Nghiệm của nó có 2 dạng: u (x; y) = f ( (x; y)) = f y + 21 e x ;trong đó f là hàm khả vi một biến. Bài tập 13. (Bài 14 trang 6) ex 3 Bài tập phần 2.1(7,8,15,19,26) Bài tập 14. (2.1 Bài 7) Tổng của những hàm tuần hoàn.CMR nếu f1 ; f2 ; :::; fn là những hàm tuần hoàn chu kìP T thì a1 f1 + a2 f2 + ::: + an fn cũng là hàm tuần hoàn chu kỳ T. Tổng quát CMR nếu chuỗi 1 n=1 an fn (x) hội tụ với mọi x trong khoảng (0,T] thì giới hạn của nó là hàm tuần hoàn chu kì T Giải. Giả sử rằng f1 ; f2 ; :::; fn là những hàm tuần hoàn chu kì T. Điều này có nghĩa là fi (x + T ) = fi (x) với mọi x và i=1,2...,n Cho Sn (x) =a1 f1 (x) + a2 f2 (x) + ::: + an fn (x) thì: Sn (x + T ) =a1 f1 (x + T ) + a2 f2 (x + T ) + ::: + an fn (x + T ) = a1 f1 (x) + a2 f2 (x) + ::: + an fn (x) =Sn (x) Điều này có nghĩa P là Sn là hàm tuần hoàn chu kì T Tổng quát S(x) = 1 j=1 aj fj (x) là chuỗi hội tụ với mọi x . Trong đó fj là hàm tuần hoàn chu kì T thì P P1 S(x + T ) = 1 j=1 aj fj (x + T ) = j=1 aj fj (x) =S(x) Vì vậy S(x) là hàm tuần hoàn chu kì T Bài tập 15. (2.1 bài 8) Tổng của hàm tuần hoàn chưa chắc là hàm tuần hoàn Cho f(x) = cosx +cos x a) Chứng minh rằng pt f(x)= 2 có một nghiệm duy nhất b) Kết luận từ câu a) là f không tuần hoàn. Điều này có mâu thuẫn với bài 7 không? Hàm f được gọi là hàm tuần hoàn. Những hàm này đáng quan tâm vì có những ứng dụng có ích Giải. a) Bởi vì jcos xj 1 và jcos xj 1; nên phương trình cosx +cos x =2 có nghiệm nếu và chỉ nếu cosx = 1 và cos x = 1 cosx = 1 suy ra x = k2 ; k 2 Z; cos x = 1 suy ra x = m2 ; m 2 Z Vì vậy, cosx +cos x = 2 suy ra 2m=2k =) m = k = 0 ( bởi vì là số vô tỷ) Vì vậy, nghiệm duy nhất là x = 0 b) Vì f(x) = cosx+cos x = 2 chỉ tại x=0, nó không tuần hoàn. 3 Bài tập 16. (2.1 Bài 15) Nguyên hàm của hàm tuần hoàn Giả sử fRtuần hoàn chu kì 2 và cho a là một số thực cố định. Định nghĩa x F (x) = a f (t)dt; với mọi x R2 Chứng minh rằng: F tuần hoàn chu kì 2 nếu và chỉ nếu 0 f (t)dt = 0 Rx Giải. Cho F(x)= a f (t)dt Nếu F tuần hoàn chu kì 2 ; thì F(x)=F(x+2 ) R x+2 Rx R x+2 R x+2 Nhưng F (x + 2 ) = a f (t)dt = a f (t)dt + x f (t)dt = F (x) + x f (t)dt R x+2 Vì F (x) = F (x + 2 ) , ta kết luận rằng x f (t)dt = 0 R x+2 R2 Áp dụng định lý 1 ta được x f (t)dt = 0 f (t)dt = 0 Những bước trên là 2 chiều. Đó là R2 R x+2 f (t)dt = 0 ) f (t)dt = 0 0 Rx x Rx R x+2 R x+2 ) a f (t)dt = a f (t)dt + x f (t)dt = a f (t)dt ) F (x) = F (x + 2 ) Vậy F là tuần hoàn chu kì 2 : h i Bài tập 17. (2.1 Bài 19) f (x) = x p xp ; với p=1,2, :Chứng minh rằng f tuần hoàn chu kì p. Với x 2 (0; p) thì f nhận nhận giá h itrị bằng bao nhiêu? Giải. Ta chứng minh f (x) = x p xp là tuần hoàn chu kì p h i h i h i x x f (x + p) = x + p p x+p = x + p p + 1 = x + p p( p p p + 1) = x Ta chứng minh f (x) = x = x với mọi x 2 (0; 1): Thật vậy ta có [t] = 0 nếu Vì vậy, nếu 0 x < p, ta có 0 Và do đó f(x)=x x p < 1, nên p h i h i x p x p = f (x) =0 Bài tập 18. (2.1 bài 26) R a+T a) Giả sử rằng f liên tục từng khúc và cho F(a)= a f (x)dx: Chứng minh rằng F liên tục với mọi a và khả vi tại a nếu f liên tục tại a b) Chứng minh rằng F’(a)=0 với mọi a trong đó f liên tục. Kết luận rằng F là hằng từng khúc. c) Chứng minh rằng F là hàm hằng. Ra R a+T f (x)dx Giải. a) Ta có F(a)= 0 0 f (x)dx F là tổng của 2 hàm liên tục và trơn từng khúc , số hạng đầu tiên là tịnh tiến của Ra 0 f (x)dx theo T Vì thế nó liên tục và trơn từng khúc Do đó F liên tục và trơn từng khúc . Bởi vì mỗi số hạng khả vi tại những điểm liên tục của f, ta kết luận rằng F cũng khả vi tại những điểm liên tục của f b) Theo bài 25, ta có : tại những điểm mà f liên tục F’(a) = f(a+T)-f(a)=0 Bởi vì f tuần hoàn với chu kì T. Do đó F hằng từng khúc c) Một hàm là hằng từng khúc liên tục là hàm hằng( chỉ cần lấy giới hạn trái và phải tại những điểm không liên tục). Vì thế F là hàm hằng 4 Bài tập 2.2 Bài tập 19. 2.2.5 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng có độ dài 2 . Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó 4 f (x) = jxj nu x Giải. Áp dụng công thức Euler đề tính các hệ số trong khai triển Fourier. ta có f (x) = jxj là hàm số chẵn trên ( ; ) ta suy ra f (x): sin nx là hàm số lẻ. Vì vậy ta được Z 1 jxj sin nx:dx = 0 bn = ta tính 1 2 a0 = = Z ta được an = = 1 2 f (x):dx = x: cos nxdx = Z Z 1 2 Z jxj :dx Z 0 Z 1 1 ( x):dx + x:dx 2 2 0 Z 1 1 2 x:dx = :x = 2 0 2 2 0 = lại có Z cos(nx) x: sin(nx) + n2 n f (x): cos(nx)dx = 1 Z jxj : cos(nx)dx x: cos(nx)dx 0 = = 2 cos(nx) x: sin(nx) + n2 n 0 n 2 ( 1) 1 2 = [( 1)n n2 n2 n2 0 4 2 n2 1] nếu n chẵn nếu n lẻ khi đó ta được khai triển chuổi Fourier là 2 1 4X k=0 1 cos(2k + 1)x (2k + 1)2 Bài tập 20. 2.2.6 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng có độ dài 2 . Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó 8 < 1 nu 0 < x < 2 -1 nu - 2 < x < 0 f (x) = : 0 nu 2 < jxj < Giải. Áp dụng công thức Euler đề tính các hệ số trong khai triển Fourier. ta có f (x) là hàm số lẻ trên ( ; ). Vì vậy ta được 5 Z 1 a0 = 2 f (x):dx = 0 tương tự ta được an = 0 với mọi giá trị của n ta tính bn ;có Z 1 bn = f (x): sin(nx):dx = = 1 2 Z Z 0 ( 1): sin(nx):dx + 2 sin(nx):dx cos(nx) 2 n 0 h 2 n i = 1 cos n 2 sin(nx):dx = 0 = Z 0 2 2 1 2 ( 1)n n2 1 n2 2 : khi đó ta được khai triển chuổi Fourier là 1 2X1 n=1 cos n2 sin nx n Bài tập 21. 2.2.7 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng có độ dài 2 . Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó f (x) = jsin xj nu x Giải. f là hàm số chẵn, vì vậy b0 = 0 với mọi n. Ta có Z Z 1 1 a0 = f (x):dx = sin x:dx = 2 1 : cos x = 2 0 áp dụng công thức 1 sin a: cos b = với mọi n 1 [sin(a 2 b) + sin(a + b)] 1, ta có an = = = = = 1 2 1 1 ( Z f (x): cos(nx):dx = : Z sin x: cos(nx):dx 0 Z : 2 1 [sin(1 n)x + sin(1 + n)x] :dx 0 2 1 1 cos(1 n)x cos(1 + n)x nu n 6= 1 n 1+n 0 1 1 1 1 ( 1)1 n ( 1)1+n + + 1 n 1+n 1 n 1+n 0 4 (1 n2 ) nếu n lẻ nếu n chẵn 6 nếu n = 1, ta có a1 = 2 Z sin x: cos x:dx = 1 0 Z sin 2x:dx = 0 0 khi đó ta được khai triển chuổi Fourier là jsin xj = 1 4X 2 k=1 1 (2k)2 1 cos 2kx Bài tập 22. 2.2.8 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng có độ dài 2 . Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó f (x) = jcos xj nu x Giải. ta có sin(x + 2 ) = cos x áp dụng bài tập 2.2.7 ta được jcos xj = = = sin(x + ) 2 1 (2k)2 2 1 X 4 2 4 k=1 1 X k=1 1 cos 2k(x + 2 ) ( 1)k cos 2kx (2k)2 1 Bài tập 23. 2.2.9 Phương trình của một hàm có chu kỳ 2 thì được cho trong một khoảng có độ dài 2 . Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số đó f (x) = x2 Giải. Áp dụng công thức Euler đề tính các hệ số trong khai triển Fourier. ta có f (x) = x2 là hàm số chẵn trên ( ; ).Vì vậy ta được Z 1 x2 sin nx:dx = 0 bn = tính a0 a0 = = Z 1 2 Z 1 1 f (x):dx = 2 Z x2 :dx x2 :dx 0 = 1 3 :x 3 2 = 0 3 tính tích phân từng phần, ta được Z 2x: cos(nx) ( 2 + n2 x2 ): sin(nx) x2 : cos(nx)dx = + + C với n 6= 0 n2 n3 7 tính an an = = 1 2 Z Z f (x): cos(nx)dx = 1 Z x2 : cos(nx)dx x2 : cos(nx)dx 0 = = = 2 2x: cos(nx) ( 2 + n2 x2 ): sin(nx) + n2 n3 2 2 : cos(n ) ( 2 + + n2 2 2 :( 1)n 4( 1)n = n2 n2 n2 2 ): sin(n 0 ) n3 2:0: cos 0 n2 ( 2 + n2 02 ): sin 0 n3 khi đó ta được khai triển chuổi Fourier là 1 X ( 1)n cos nx +4 3 n2 2 n=1 Bài tập 24. 2.2.10 Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số sau trong đoạn [ f (x) = 1 ; ] sin x + 3 cos 2x Ta có khai triển fourier của hàm số f (x) chính là hàm số f (x) với các hệ số tương ứng là a0 = 1 an = 3 nếu n = 2 0 nếu n 6= 2 bn = 1 nếu n = 1 0 nếu n 6= 1 Bài tập 25. 2.2.11. Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số sau trong đoạn [ a) f (x) = sin2 x b) f (x) = cos2 x Giải. Ta có 1 1 cos 2x 2 2 1 1 + cos 2x 2 2 sin2 x = cos2 x = vậy khai triển Fourier của hai hàm số trên là chính nó. Bài tập 26. 2.2.13 Hãy viết khai triển chuỗi Fourier của hàm số sau f (x) = x nu 0) 0 p = f (x):V ậy f là hàm chẵn. 0 b)f liên tục với mọi x.bn =0 8n.Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0 = 0:Lấy tích phân từng phần, ta được: u v0 z }| {z }| { Rp Rp p n 2c an = p2 0 x p2 cos np xdx = p4c2 0 x cos xdx: p 2 p 2 3 =0 z }| { 6 7 Rp p n p 4c 6 p = p2 4 x sin x jx=0 np 0 sin np xdx7 5 n 2 p 11 = = 4c p2 cos np p2 n2 2 x jpx=0 = 0 nu n chn 8c nu n l n2 2 4c n2 2 (1 cos n ) Chuỗi Fourier cần tìm là: f(x)= 8c2 h i (2k+1) p x 1 cos P k=0 (2k+1)2 c nu jxj < d 0 nu d < jxj < p Bài tập 35. 2.3.6) f(x)= tại 0 < d < p. c nu jxj < d = f (x):Do đó, f là hàm chẵn. 0 nu d < jxj < p b) f gián đoạn tại d + 2kp:Tại những điểm đó, chuỗi Fourier hội tụ về 2c , bn =0,8n.Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0 = cd p :Ta được: Rd n an = 2c p 0 cos p xdx = n2c sin np x dx=0 = n2c sin np d n d 1 p n 2c P Chuỗi Fourier là: f(x)= cd + sin p n cos p x : Giải. a) f(-x)= Bài tập 36. 2.3.7) f(x) = Giải. a) f( x) = ( 2 p 2 p k=0 ( x x+ p 2 p 2 p x 2 p 2 x + p 2 p 2 nu 0 < x < p nu p < x < 0 nu 0 < x < p = nu p < x < 0 f (x):Do đó, f là hàm lẻ. b) Hàm số trong bài tập này tương tự như một hàm trong ví dụ 3. Bắt đầu với chuỗi Fourier trong ví dụ 3,nhân nó với 1c , sau đó đổi 2p $p ( đây không phải là đổi biến số, chúng ta chỉ 1 sin 2n x P p thay đổi kí hiệu cho chu kì từ 2p thành p) và được chuỗi Fourier f(x) = 2 : n n=1 Hàm số trên bị gián đoạn tại x= p + 2kp:Tại những điểm đó, chuỗi Fourier hội tụ về 0. 8 c d) nu 0 x d < d (x 0 nu d jxj p Bài tập 37. 2.3.8) f(x)= tại 0 d p : c (x + d) nu d x 0 d 8 < c d d) nu 0 x d nu d jxj p = f (x):f là hàm chẵn. : c d x 0 d (x + d) nu b)f liên tục với mọi x.bn =0,8n.Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục cd x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0 = 2p :Lấy tích phân từng phần, ta được: Giải. a) f(-x)= an = 2 p Rd 0 2 z 6 2c 6 p =- dp 4 (x n 2 (x 0 c d (x d) cos np xdx = =0 }| n d) sin x p 2c p =- dp cos np x n2 2 d x=0 = { 2cp dn2 2 cd Chuỗi Fourier là: f(x)= 2p + Rd p n d x=0 7 sin np xdx7 5 cos np d 1 2cp d 2 0 v0 z }| { R z }| { n 2c d (x d) cos xdx: dp 0 p 3 u 1 P n=1 1 cos np d n2 12 cos n p x : Bài tập 38. 2.3.9) f(x)=e cjxj (c 6= 0) với jxj p: Giải. a)f(-x)=e cj xj =e cjxj = f (x):f là hàm chẵn. b) bn = 0; 8n; Rp 1 e cp a0 = p1 0 e cx dx = cp e cx jp0 = 1 cp và với công R p thức tích phân từ bài tập 15 , phần 2.2, cho n > 1; an = p2 0 e cx cos np x dx h i = p2 n2 2 1+p2 c2 n pe cx sin np x p2 ce cx cos np x jp0 = n2 2pc 2 +p2 c2 [1 ( 1)n e cp ] 1 Chuỗi Fourier cần tìm là: pc (1 8 < 1 p c cp ) e + 2cp 1 P n=1 (x 1 c2 p2 +(n )2 (1 e cp ( 1)n ) cos n p x : p) nu c < x < p 1 nu jxj < c Bài tập 39. 2.3.10)f(x)= tại 0 < c < p. : 1 (x + p) nu p < x < c p c 8 1 p) nu c < x < p < p c (x 1 nu jxj < c = f (x):V y; f (x)là hàm chẵn. Giải. a)f(-x)= : 1 (x + p) nu p < x < c p c b)Hàm số liên tục với mọi x, bn = 0; 8n:Hơn nữa, do tính toán vùng giữa đồ thị của f và trên trục x, từ x=0 đến x =p, chúng ta thấy rằng a0 = p1 c + p 2 c = p+c 2p :T ính tích phân từng phần, ta được: Rc Rp 1 an = p2 0 cos np xdx + p2 c p) cos np xdx p c (x v0 u { z }| {z }| R n p 2 p n 2 c = p n sin p x j0 p(p c) c (x p)cos xdx p h i p p Rp p n n c 2 n 2 sin (x p) sin x xdx = n sin p c p n p c p(p c) n h i p p p2 2 n c 2 n n = n sin p (c p) sin c + x j cos c 2 2 n p p n h p(p c) i n p2 n c 2 cos p =- p(p c) n2 2 ( 1) h i n n c = 2 n22p ( 1) cos p (c p) 1 ( 1)n cos n c P 2p p cos np x Chuỗi Fourier: f(x)= p+c + 2 2p (c p) n2 n=1 Bài tập 40. (Bài 10 trang 46) f(x)= với 0 < c < p. Giải. ta có a0 = (1=p) (c + (p Rc Rp an = p2 cos np xdx + p2 c 0 Bài tập 41. Giải. = 2 n sin n c p 2 n c n sin p h 2 = p(p 2c) np2 2 ( = = 2 p pn p n 2 p(p c) 1) : 1 p c 1 p (x 1 (x + p) c p) nu c < x < p; nu jxj < c; nu p1 bn = 2 0 cos x sin nxdx i h cos(1+n)x n)x = 2 cos(1 2(1+n) 0 h 2(1n n) i n+1 1 ( 1) ( 1) 1 1 1 = + 1 n 1+n 1 n 1+n n 1) = 2n 1+( n2 1 Với n=1, dễ dàng chứng minh rằng b1 = 0: Do đó chuỗi Fourier sin là 1 1 P 2 P 1+( 1)n k n n2 1 sin nx = 4 sin(2kx) (2k)2 1 n=2 k=1 Bài tập 53. (7 trang 52) Tìm khai triển chuỗi sin và cos của hàm f (x) = cos x nếu 0 x 2 Giải. Khai triển chẵn là hàm jcos xj :Dễ dàng thấy bằng cách vẽ đồ thị. Chuỗi cos là (bài tập 8, phần 2.2): 1 4 P ( 1)n jcos xj = 2 cos(2nx) (2n)2 1 n=1 Chuỗi sin: R bn = 4 02 cos x sin 2nxdx R = 2 02 [sin(1 + 2n)x sin(1 = 2 1 1+2n + 1 1+2n 2n)x)] dx ( 1+2n) cos( 2 1+2n ) (1+2n) cos( 2 1+2n = 8 4n2n 1 Do đó khai triển lẻ có chuỗi sin 16 ) f0 (x) = 1 P 8 n=1 n 4n2 1 sin 2nx Tìm Khai Triển chuỗi sin, cos của hàm sau. Bài tập 54. (bài 8 trang 52) f (x) = x sin x nếu 0 < x < : Giải. f (x) = x sin x là hàm chẵn nên áp kết quả bài 11 , bài tập 2.3 với f1 (x) = x sin x trên ( ; ) 1 P 2( 1)n+1 f1 (x) = 1 cos2 x + 2 cos nx: n2 1 n=2 hàm lẻ f2 (x) = jxj sin x trên ( ; ) ; n 6= 1 R R bn = 2 x sin x sin nxdx = 1 x[ cos(n + 1)x + cos(n = 1 R 0 1)x]dx 0 x[cos(n + 1)x + cos(n 1)x]dx 0 Giải. Bài tập 55. Giải. = + n x 1 sin (n = 1 1 1) x + cos (n n+1 1 [ (n+1) 2 0 2 0 1 P 4 sin x n=1 1) x+ (n 11)2 cos (n sin(n+1)x+cos (n 1) x] ( 1)n 1 (n 1)2 ( 1) + + R R và b1 = 2 x sin2 xdx = 1 x (1 Vậy f2 (x) = x n+1 1 [ (n+1) 2 cos(n+1)x 0 1 (n+1)2 1 (n 1)2 = 1 [1 + ( 1)n ] (n2 4n1)2 ; cos 2x) dx = 2 : [1 + ( 1)n ] (n2 n 1)2 sin nx: Bài tập 56. (bài 9 trang 53) Tìm khai triển chuỗi sin của hàm số sau : x (1 R1 Giải. bn = 2 x (1 x) x) sin(n x)dx 0 BàiZtập 57. a 6= 0; + sin(ax) x sin (ax) dx = x cos(ax) +C a a2 Z x2 cos(ax) và x2 sin (ax) dx = 2 cos(ax) + 2x sin(ax) +C a a3 a2 Z 2 x cos(ax) x (x 1) sin (ax) dx = 2 cos(ax) + x cos(ax) + a a a3 a = n ;ta có R1 x (1 x) sin(n x)dx = 2 cos(n x) (n )3 0 n = 2(((n 1))3 suy ra bn = 8 (n )3 1) ( 1)n n + ( 1)n n = x cos(n x) n 2(( 1)n 1) (n )3 = + sin(ax) a2 x2 cos(n x) n 4 (n )3 + 2x sin(ax) a2 sin(n x) (n )2 +C 2x sin(n x) 1 0 (n )2 nu n l 0 nu n chn nu n l 0 nu n chn V ậy khai triển sin là : 8 3 1 P sin(2k+1) k=0 (2k+1)3 x : Bài tập 58. (bài 10 trang 53) Tìm khai triển chuỗi sin của hàm số sau : 1 17 x2 1) x Giải. 1 x2 = 1 với g1 (x) = 1; sử dụng bài 1, bn = n2 (1 ( x + x (1 x) = g1 (x) + g2 (x) + g3 (x) g2 (x) = x; g3 (x) = x (1 x) bài 9 ta có : n+1 n n 1)n ) 2( n1) + 4(((n 1))3 1) = n2 4 (( (n1) )3 1) : 1 n P 1 Vậy khai triển sin là : 2 2 (( (n1) )3 1) sin n x: n n=1 Bài tập 59. Bài 11. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: sin x trên khoảng (0; 1). Giải. Hàm đã cho chính là chuỗi sin của nó. Bài tập 60. Bài 12. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: sin 2 x trên khoảng (0; 1). Giải. KhaiR triển chuỗi sin 1 bn = 2 0 sin 2 x sin (n x) dx = sin(n n 2 )x sin(n + 2 )x n +2 1 2 0 sin(n sin(n + 2 ) 2) = n n +2 2 h cos(n ) cos(n ) n 1 = n = ( 1) n +2 n +2 2 ( 1)n+1 8n 2n = ( 1)n+1 2 = 2 4n2 1 (n ) ( ) + 1 n 2 i 2 Như vậy, chuỗi sin là: 8 1 P n=1 ( 1)n+1 :n 4n2 1 sin n x: Bài tập 61. Bài 13. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: sin x:cos x trên khoảng (0; 1). Giải. Ta có: sin x:cos x = 21 sin2 x Hàm này thỏa mãn khai triển chuỗi sin chu kì 2 như yêu cầu. Bài tập 62. Bài 14. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: (1 + cos x) :sin x trên khoảng (0; 1). Giải. Ta có: (1 + cos x) :sin x = sin x + 12 sin2 x Hàm này thỏa mãn khai triển chuỗi sin chu kì 2 như yêu cầu. Bài tập 63. Bài 15. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: ex trên khoảng (0; 1). 1 R1 2ex Giải. Ta có: bn = 2 0 ex sin (n x) dx = 1+(n n cos n x) 2 (sin n x ) = = Vì thế, chuỗi sin là: 1 P n=1 2n 1+(n )2 2e 1+(n )2 2n 1+(n )2 n+1 n ( 1) + 0 2e 1+(n )2 1 + e ( 1)n+1 : 1 + e ( 1)n+1 sin n x: Bài tập 64. Bài 16. Tìm khai triển chuỗi sin của hàm: 1 ex trên khoảng (0; 1). Giải. Cộng chuỗi sin của 1 và chuỗi sin của ex với 0 < x < 1 và nhận được chuỗi sin: i 1 h P n n+1 2 2n (1 ( 1) ) 1 + e ( 1) sin n x: 2 n 1+(n ) n=1 18 7 Phần 2.5 (bài 7,8) Bài tập 65. (2.5 Bài 7) x 2 a) Dùng đẳng thức Parseval khai triển chuỗi Fourier ta được 1 X 1 X ( = 1)n+1 n sin nx; - < x < ; n=1 1 n2 = 2 6 n=1 Giải. Bài tập 66. b) Từ câu a ta được 1 X 1 (2k)2 k=1 = 1 X c)Kết hợp a) và b)ta được đẳng thức 2 24 1 (2k+1)2 = 2 8 k=0 Giải. a) Dùng đẳng thức Parseval với p= : Z 1 X 1 2 dx = a2 + 1 f (x) (a2n + b2n ) 0 2 2 n=1 Áp dụng cho khai triển chuỗi Fourier đã cho, ta được: Z 1 1 1 X X X 2 2 1 x2 1 1 1 1 1 dx = ) = ) = 6 2 4 2 12 2 n2 n2 n2 n=1 b) Ta có 1 X 1 (2k)2 n=1 1 4 = Nhưng 1 X k=1 1 k2 = 1 2 4 6 n=1 = 2 24 k=1 k=1 Giải. c)Ta có 1 X 2 6 = 1 X 1 n2 = n=1 1 (2k)2 = 1 4 1 X 1 X 1 (2k)2 + k=1 1 k2 = 1 X 1 (2k+1)2 k=0 1 2 4: 6 = 2 24 cho nên 2 6 = 2 24 + k=1 1 X 1 (2k+1)2 ) k=0 Bài tập 67. (2.5 bài 8) Dùng khai triển chuỗi Fourier x2 = 2 3 +4 1 X ( 1 X 1 (2k+1)2 = 2 8 k=0 1)n n2 cos nx; - n=1 - Xem thêm -