Tài liệu Tổng hợp một số bài tập hệ phương trình xém hay

  • Số trang: 12 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 73 |
  • Lượt tải: 0
bachkhoatailieu

Tham gia: 31/07/2016

Mô tả:

Tæng Hîp HÖ Ph-¬ng Tr×nh §· Up Trªn Page Part one (Có lời giải chi tiết) Page: Câu Lạc Bộ Yêu Vật Lý Admin soạn thảo:  Văn Hữu Quốc  Hinta Vũ Ngọc Anh Nguồn bài: Sưu Tầm 3 2 4   x y  3 x y  8 y  4  0 1 C©u 1:  2 2  2 xy  y  y  2  0 1  2  2   x 3 y  3x 2 y  8 y 4  4 xy  2 y  2 y 2  0  y  0   x 3  3 x 2  4 x  2  8 y 3  2 y   x  1   x  1   2 y   2 y *  3 3 XÐt h¯m f  t   t 3  t, f '  t   3t 2  1  0t  f  t  ®ång biÕn *  f  x  1  f  2 y   x  1  2 y y  1  x  1  2   2 y  2 y  1  y  y  2  0  3y  y  2  0   2 7 y x 3 3   7 2 VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;1 ,   ;    3 3 2 2 1  2 x  y  1  4  2 x  y 2  6 x  3 y 1  C©u 2:  § K: 2 x  y  0  x  1 2 x 2  x  4  8 x 2  4 xy  4 2 1  4  2 x  y  2  1  6 x  3y  2 x  y  1  0   1 1   4 x  2 y  1  4 x  2 y  1    0  y   2 x  2 6 x  3y  2 x  y  1    2    x  1   2 x 2  x  4  2 x  4   x  1 2 x 2  x  4   4  2 x  2 2 1 1  x y  2 2  2 x  3 x  23 x  12  0   2 x  1 x  3 x  x  4  0    x  3  KTM  VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1 / 2; 1 / 2  4  3  2 y   3 3  xy  2  x  3y  y  3  2 x  5y  2 1     C©u 3:  §K:  x  3 y  0 3 3 3  y  17 y y  3  x  6 x 3 x  y  50  2  3x  y  0      1  2 x  5y  2  xy  2  x  3y  y  3  x  4 y  3   x  y  xy  1  0   x  1 y  1  0   y  1  x  1:  y   17 y   y  1  x  1: y3  17 y 3  3 x   6x  y3  3  x 3  6 x 3 x  y  50,  2   x  y  1 y3 3 x  y  50  v« nghiÖm 3 VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;1 Câu 4:    x 2  y3  y 2  2 3 x 4  3 x 2  2 y y  1 x  3 x 1  DK : y  1  3  x 4  x 3  x 2  1  x  y  1  1 2   1   x  3 x  y y 1  2  0  x  3 x  y y 1  x  3 x   y  1 y  1  y  1  3 x  y  1  0 2  x4    x  0  y  1 1 x 3  x 2  1  x 3  1  x 2  x  1  x  0  x3  x2  1  1  x  1  y  2  Câu 5:  4 7 x  1 2  y2  y2  1  x  6  y2  1 1       §K  1 2  y 2  3x  y 2  2 y 3x  1  9 x  2  2  x   3      C¸ch 1:  2   y 2  3x   2      2 y 2  3x  1  y 2  2 y 3x  1  3x  1  0 2  y 2  3x  1  y  3x  1  2  y  3x  1  0  y  0 0  2 2  y  3x  1  0  y  3x  1 C¸ch 2: §Æt z  3 x  1  2    y2  z 2  1 2   y 2  2 yz  3z 2  1  y 2  z 2  2    2 y 2  z 2  1  y 2  2 yz  3z 2  1 2 2 2 2   y  z   y  z   y 2  z 2  2 yz  0   y  z   y  z   1   y  0  y  z  y  3x  1   2  y  3x  1 1  4 7  x  1  2  3 x  1  3 x  x  6  x  0   4 7 x 2  11x  6  3 x  x  6 7 x 2  11x  6  3 x 4 7 x 2  11x  6  3 x     x  6  1    Câu 6:   x 6   2 x 2  11x  6 4 7 x 2  11x  6  3 x 2x 1 4  7 x 2  11x  6  3 x  7 x 2  11x  6  3 x   x 6     x  6  y  19 7 x 2  11x  6  3 x     y x y4   1  2   2 x  1  x y y x 2 xy §K:   y  1   y  x  1  32  x  2 y  1 2 y  2  2      1 t2 1   1  2 t  1 1  t  1  t2   2 t  1  t2  1  t   2  t 6  t 5  t 4  2t 3  t  0  t  t  1 t 3  t 2 2 2    y  y 2  1  32 y 2  2 y  1    y  1  y  1  64 y 2  2 y  1  1    1  t   t  1  t 2 1  t 2 2 1  t   2t  1  0  t  1 v× t  0   y  2 2 2y  2  y 1 2  2 x  x  y2  y  1 y  1  y  1  64  y2  2 y  1  y  1  y  1  3 y  1  64 y 2  128 y  60  y 1   1  8 y  10 8 y  6  y  1  8 y  10   8 y  6  y  1  0  y 1  3 y 1 y  1  3 y  1   5 25  y   v× y  1  x  4 16 Câu 7: 2  2 6 x5 y x  1  3   (3 y  x)  0 & ( x  3 y )  0  x2  2   DK  4 x  3x 2 y  9 xy 2  2 2 0 3 y  x  4 x  3x y  9 xy  x  3y   x  3y  8 y  10 y 1 8 6y  1 6  4 2 2 5 6 5   x  x  2 x  4  x  2   6 x y  x  8  6 x y (*)  x Xet x  0     (**)   3 3 3 2 2 2 y 4 27 y  x  4 x      27  3 y  x   x  3 y   4 x  3x y  9 xy   1  2  x  x 2 3y Đặt a  2 và b  . Nên hệ đã cho trở thành: x x 3  2 3y 2 1  a  2b ab 2   xy   3 x x 3  1  b  2a x   2  x2  2  Thay vào (*) ta có: x  4 x  8  0   x  2  x  2 x  4   0   2  x   1  5  x  1  5 6 Câu 8: 4   2 x2  1 1  x y  1  y 1   4   x  x  2    y  1  2 xy  y  2  2  4 (1) Điều kiện (2) Ta xét phương trình (1) có VT , nên VP . Mặt khác:  Xét thay vào hệ đã cho ta có được  Xét . Chia 2 vế phương trình (1) cho x ta được: 2 2   y  1  y  1  0 , Suy ra . Vậy phương trình có nghiệm 1 1 1 1   y  1  y  1  2  2  2  ( y  1)  2  y  1 2 x x x x Xét hàm số f  t   2  t  t . Với f ' t   1 1 1   0 . Hàm số liên tục và nghịch biến. Nên ta có  y  1 (*). (y>1) x 2 2t 2 t x  x  2    y  1  2 xy  y  2    y  1  2 x  y  1  x 2  0 4 Phương trình (2): 4 2 2 2 2   y  1  x   0  x   y  1 (**)   2   y  1  Từ (*) và (**) ta có  y 1    1  y 1 5  1 0  y 1   y  2  x 1  y  1  Vậy phương trình có nghiệm Câu 9: 2  2 2  20 (1) 2 3x  6 y   x  y   3x  3 y  1  10 (2)  x y Điều kiện Ý tưởng: Quan sát thấy (1) có phần tử bậc 2, (2) có phần tử bậc 1 và có bề ngoài giống nhau. Ta nghĩ đến cộng trừ hợp lý để tạo thành bình phương. Làm ra nháp thấy nhân pt(2) với số 2 thất bại. Ta nhân pt(2) với hẳn số 4 và tìm được lời giải đẹp. 2 2  2  2 2 2  20  20 2 2 3x  6 y  3x  6 y  x  y  x  y      3x  3 y  1  10 12 x  12 y  4  40   x y x y Đến đây ta trừ 2 vế hai phương trình cho nhau, thu được 2 4 3x 2  12 x  12  6 y 2  12 y  6   20 2  x  y x  y 2  1   3  x  2   6  y  1  2   1  0  x y   x  2   y 1 (t / m)  1  1  x  y Vậy nghiệm hệ phương trình đã cho là (x;y)=(2;1) Câu 10: 2 2 3 2   x  y  2   xy  x  1  2  x  x  1  y  0  3 2 3 2   x  x  3x  y  y  3 (1) (2) Nhận thấy pt(2) không thể đưa về dạng hàm số. Ta đi khai thác pt(1) x3  y  2   xy  x  1  2  x 2  x  1  y  0  x3 y  2 x 3  x 2 y  xy  2 x 2  2 x  2  y  0   x3 y  xy    2 x 3  2 x    x 2 y  y    2 x 2  2   0  xy  x 2  1  2 x  x 2  1  y  x 2  1  2  x 2  1  0   x 2  1  xy  2 x  y  2   0  xy  2 x  y  2  0(3) Đến đây ta khai thác pt(2): x3  y 3   x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0  ( x  y )  x 2  xy  y 2    x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0   x  y  1  x 2  xy  y 2   3x  xy  3  0(4) Ta lấy thu được:  x  y  1  x  xy  y 2   3x  xy  3   xy  2 x  y  2   0   x  y  1  x 2  xy  y 2   x  y  1  0   x  y  1  x 2  xy  y 2  1  0 2  x  y  1  0(5) x  y  1  x  1& y  0  Vậy từ (3) và (5) ta thu được hệ:   xy  2 x  y  2  0  x  3& y  4 Vậy nghiệm của phương trình là Câu 11: 2 x3  3 y 3  3 x 2  7 y 2  5 y   x 2  y  2 y  1   x 2  1  y  1   Áp dụng bunhia cho pt(2) ta có: x 2  y  2 y 1  x  x 2  y  2 y 1  2 Điều kiện:  1  2  y  2 y  1 x 2  1  y  1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi: x  2 y 2 y 1 (*) . Suy ra 1  y2 2 Biến đổi phương trình (1): 2 x3  3 y 3  3x 2  7 y 2  5 y   2 x3  3x 2  1   3 y 3  7 y 2  5 y  1  0   x  1  2 x  1   y  1  3 y  1  0 2 2 1  y2 2 Cho nên vế trái của phương trình trên luôn . Vậy để dấu bằng xảy ra thì Ta có các điều kiện của nghiệm:  x 1 và   y  1  0  x  y  1 2 2 Thay vào (*) thấy thỏa mãn. Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là Câu 12: 4  2 2 y  9 y  x  2(1) Điều kiện  4 x  1  xy y 2  4  0(2)   x  1  x  0 hoặc y = 0 không là nghiệm của phương trình suy ra pt(2) tương đương Ta thấy x 4 x  1  1 y 2  ( y 2  4) 1     x 1   2 2 x 1 y y  4 x 1 x 1 y y 4 y y2  4  y2  4 y 1 1 Xét hàm f (t )  t  . Ta có f '(t )  1  2  0 . Vậy f (t ) là hàm đồng biến. t t Từ đó ta có x 1  y y2  4  x 1  y2 4   y2  4 2 y 4 x 4  y  1  x   (t / m)  5 Thay vào (1) ta thu được: 3 y 2  9 y  6  0    y  2  x   1 (t / m)  2 Câu 13:  4 xy  x  y  1 x  y  5   x  y  x2  y  2  1 Điều kiện xác định: x  y  0 . .  Ta có 1  x  y  5  0    2  x2   x  y   x  x  0 4 xy  0  xy  0   . x y y  0  x y 0 x x y  x   x  y 1  0  x  x  y 2  x  y  5  x  5 vì x  x  y  1  0 . x  x  y   thế vào (1) ta có: 2  y  x  x 1  4x  x2  x  x2  1 5  x  4  x2  5   x  2  x  2  y  2  2  x  3  x2  5  4 x  5  Vậy (x;y)=(2;2) Câu 14: x  3  Điều kiện:  y  3 14 x  2 y  48  0  3 2 3 2   x  3x  2  y  3 y    14 x  2 y  48  5  x  x  3 Từ pt(2) ta có: 14 x  2 y  48  x  3  x  3  2  14 x  2 y  48    x  3 1  x  3 1  0  x  4 Kết hợp với điều kiện: 14 x  2 y  48  0  2 y  14 x  48  y  4 Do đó ta có pt(1) trở thành:  x  1  3  x  1   y  3 y  3  3 y  3 3  x  1  a Đặt:   y  3  b  a  3 ta có: a3  3a  b3  3b b  7  Xét hàm f  t   t 3  3t  t  2  . Có f '  t   3t 2  3  0 Nên f(t) là hàm đồng biến. Vậy a  b  x  1  y  3  y  x 2  2x  2 Thay vào pt (2) ta có: 2 x 2  18 x  44    x  3 1 x 3  2  x  3  t với t  1  x  t 2  3 , ta được Đặt 2  t 4  3t 2  4   t 2  t  2  t 4  2t 3  3t 2  4t  4  0  t  2  do t  1 Vật phương trình đã cho có nghiệm  x; y    7;33 Câu 15:   4 x 2  x 2  1  1  x 2  y 3  3 y  2    2  x 2  y 2   1  x 2  2 y  Từ phương trình (2) ta có: x 2  y 2   1  x 2  2 y   x 2  y 2    x 2  y 2     y 2  2 y  1 2 2   x 2  y 2  x 2  y 2  1    y  1  0 2  x 2  1 1  x  1  0  x  y 1  2  (*)  y  1 1  y  1 +) Xét +) Xét x 0 ta có: Ta khai thác phương trình (1) 2 (1)  4 x 2  4  2   x2  1  1  x2  y3  3 y  2  x2  1  1  x2  y3  3 y  2   x 2  1  4 x 2  1  3  y 3  3 y  2    x2  1  1  x 2  1  3   y  2  y  1 2 x3  2  Với điều kiện (*) ta có: 2   x 1 1  0  1  x  1    VT  0 2 x  1  3  0   Từ đây suy ra y  2  0    1  y  1  VP  0 2   y  1  0  x 2  1  1  0  x  0  nên  (Loại) y 1  y  1  0 Vậy phương trình đã cho có nghiệm (x,y) là (0,1) Câu 16: 4 2 2   x   y  1 x  y  0  3  x  3y y 1  x Điều kiện y  1 Phương trình (1) khá đẹp mắt, ta đi khai thác nó: (1)  x 4   y  1 x 2  y 2  0   x 2  y   x 2  y  1 2  x 2  y  x y  1  2  x  y   x y  1 Đặt t  y  1 . Kết hợp với phương trình (2) ta có: TH1:  x 4   y  1 x 2  y 2  0  3  x  3 y y  1  x (1)  x 4   y  1 x 2  y 2  0   x 2  y   x 2  y  1 2  x 2  y  x y  1  2  x  y   x y  1 Dat t  y  1 (t  0)  x 2  y  x y  1  x 2  t 2  xt  1  3  3 3  x  3t  3t  x  x  3 y y  1  x   x 2  t 2  xt   3t  x   x 3  3t 3  2 xt  x  t   0 Đến đây dễ rồi, các bạn tự giải nhé! Vậy nghiệm phương trình Câu 17:  x 2  2 y 2  2 x  4 y  3(1)  2 2 2 3x  2 x  5  2 x x  1  2( y  1) y  2 y  2  x2  2 y 2  4 y  3  2 x  6   2 2 2 2 2  x  2 x x  1  x  1  x   2 x  6   2( y  1) ( y  1)  1(*)      (*)  x 2  2 x x 2  1  x 2  1  x 2  x 2  2 y 2  4 y  3  2( y  1) ( y  1) 2  1   x  x2  1   2  y  1  ( y  1) 2  1  x   x  x 2  1  y  1  ( y  1) 2  1(**) 2 x2  x2  1  x2  1  x  0  t Xét hàm f  t   t  t  1  f '(t )  1  t2 1  t   0(cmt ) t2 1 t2 1  f  t  là hàm đb.  (**)  f  x   f ( y  1)  x  y  1 2 y  2/3 x  5/3  (1)  3 y 2  4 y  4  0    y  2  x  1 Câu 18: 2 x3 y  x 2  x 4  x 2  2 x3 y 4 y 2  1(*) (1  x  1) ______ NXet : x  0(t / m)  2 2 2 4 1  2 x y  1  3 x  2 1  2 x y  1  x (**) Xet : x  0. __ Taco(*)  2 x 3 y (1  4 y 2  1)  x 4  x 2  x 2  2 y (1  (2 y ) 2  1)   2y  1 1 1 1 2  x x x 1  2 xy  1  (**)  4 1  x  1  3 x  2 1  x  1  x 2 (***) x Dat : 1  x  a; 1  x  b  a 2  b 2  2 & a 2  b 2  2 x(a; b  0) & (a; b  1) 8a  2  3a 2  3b 2  4b  2ab 8a  a 2  b 2  3a 2  3b 2  4b  2ab  (***)   2  2 2 2 a  b  2  a  b  2 2a 2  a (b  4)  b 2  2b  0 (2a  b)(a  b  2)  0 3  2  x (t / m)  2 2 2 5 a  b  2 a  b  2  Câu 19:  x  1 x  1  2 y  y  x  1   2 2 2 2  y x  3x  4  4 xy  3x  4  x  17  0 x  1 1   x  1 x  1  y  0   y  x 1  1 x  1 § K:  2  xy  3x  4  0 2  x  1:  2   4 y 2  7  16  0  y 2  7  4  y 2  9  y  3 y  x  1 :  2    x  1 x 2  3 x  4  4 x 2  4 x  4  x 2  17  0   x  1 x 2  3x  4   x 2  4 x  9      x  1 x 2  3 x  4   x 2  x  9 2  2 x  5 5  2 19 2  2 19  x  thö l¹i   y   x  5  2 19 3 3  3  5  2 19 2  2 19   VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y   1;3 , 1; 3 ,  ;   3 3   Câu 20:    3 x 3  5 x 2  67 x  85  0   x  5 3 x 2  10 x  17  0  x  y  x  y  2   x  3y   2 1 x  y  2 §K:   x  y  2  0  x  y  x  y  2   x  y  1 x  y  2  2  1   x  y    x  y2 2  x  y2  0   xy   x  y  2   1  0  x  y  2  xy2 2     2   4   2 y  3 2 y  16  2 y  2 y  3 2  8 y3  24 y 2  18 y  16  0     4 y  2  2 y2  7 y  8  0  y  1 5 x 2 2 Câu 21: 1 1     2 2 x  6 x y  6 y   x y    2  x 2  18 y  18  2  1 1 18 x2  1 1 18 y2 2 7 § K:x, y  6 2 xy xy  18 2  1 18 xy    1 1 1 1  2    2  18 18 18  1  18 1  18  1 2 1 2 1 2 2   x y   x y xy  18 18 1  .    x y 2   2  x  y 1  x 2  6 x  7  x  y  7 Câu 22:  x 3  3 x 2  6 x  4  y 3  3y 1   3 3 2  x  3y  7   1  1  x 2    1   x  1  3  x  1  y3  3y XÐt g  t   t 3  3t, g '  t   3t 2  3  0t  h¯m ®ång biÕn 1  g  x  1  g  y   x  1  y 3  2   x 3  3x  4   1  XÐt f  t   3x  4 x  4 3  1  x2   1 x  1 2 3 3 00 x  4 3     x 4 2  3x 4 x 2  4 x  x 2  1  3x  2 x  1  x 2  1  1  0, 0  x    3 x 1  4  H¯m f  t  ®ång biÕn trªn 0;  nªn ph­¬ng tr×nh f  t   0 cã nghiÖm duy nhÊt x  0  y  1  3 f '  t   12 x 3  12 x 2  3 1  x 2 2 VËy nghiÖm cña hÖ l¯  x; y    0;1 Câu 23:     x 2  1 y 2  1  2 xy  0    x y 2  1  y x 2  1  1  xy (1)  (2)  x y2  1  y x 2  1    x (1) (2) 2     1 y 2  1  xy  1  x  x 2  1 y  y2  1  1  x  x 2  1  y2  1  y  x  y Thay v¯o (2) ta ®­îc:  x  1  y  1  x x2 1  x x2 1  1 x2    x  1  y  1 VËy nghiÖm (x;y) l¯: (1,-1) v¯ (-1;1) Câu 24: Câu 25: Giải hệ của: Admin( Nguyễn Minh Thành) (√ (√ ) (√ { Điều kiện: √ ) ) Phương trình (1) tương đương: (√ ) Theo bất đẳng th c uniacowski ta có: (√ √ ) (√ √ ) √ √ hi đó (2) tương đương: Cộng vế theo vế (3) và (4) ta được: √ Vậy {( √ )} Chắc chắn còn nhiều thiếu xót, mong các bạn thông cảm!
- Xem thêm -