Tài liệu Tổng hợp các công thức tính nhanh thường gặp giải trắc nghiệm toán

TOÅNG HÔÏP CAÙC COÂNG THÖÙC TÍNH NHANH TRAÉC NGHIEÄM Giáo viên sưu tầm & biên soạn: Lê Viết Nhơn Vấn đề 1: TÍNH NHANH CỰC TRỊ HÀM SỐ 1. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y  ax 3  bx 2  cx  d  a  0  Ta có y  3ax 2  2bx  c  Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị  b 2  3ac  0 . Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị : Sử dụng công thức yCT  y  2. y. y . 18a Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương. Cho hàm số: y  ax 4  bx 2  c  a  0  có đồ thị là  C  có 3 cực trị là A, B, C   C  có ba điểm cực trị  ABC vuông cân  b3  8a  0  ABC đều  b3  24a  0  3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0  32.S02 a 3  b5  0 y  0 có 3 nghiệm phân biệt  ab  0 . Vấn đề 2: CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH NGẮN NHẤT GIỮA HAI ĐIỂM TRÊN HAI NHÁNH CỦA HÀM NHẤT BIẾN. Cho hàm số y  ax  b khoảng cách giữa hai điểm AB bất kì nằm trên 2 nhánh của đồ thị được xác cx  d ad  bc ; tổng khoảng cách ngắn nhất từ một điểm trên đồ thị c2 định bởi công thức: ABmin  2 2. đến hai tiệm cận: d min  2 ad  bc . c2 Vấn đề 3: TÍNH NHANH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN. Cho hình chóp O.ABC là tam diện vuông tại O khi đó khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) được xác định bởi công thức: 1 d 2  O ;( ABC ) 1 1 1   2 2 OA OB OC 2 Các bài toán khoảng cách khác nếu xuất hiện tam diện vuông ta có thể áp dụng công thức trên tính khoảng cách rồi sử dụng thêm công thức tính tỉ số khoảng cách để tính khoảng cách cần tìm. Vấn đề 4: TÍNH NHANH BÁN KÍNH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN. c b  2 4.1. Công thức 1. Khối chóp đều đáy là tam giác tứ giác: R  CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM 2017 2h Trang 1 Trong đó: R, c b , h lần lượt là bán kính khối cầu, cạnh bên của khối chóp, chiều cao của khối chóp. h 2 4.2. Công thức 2. Khối chóp có cạnh bên vuông góc với đáy: R     rd   2  2 Trong đó: R, h, rd lần lượt là bán kính mặt cầu, chiều cao hình chóp, bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Nếu đáy là tam giác đều ABC cạnh a trọng tâm G thì rd  AG  Nếu đáy là tam giác ABC vuông tại A thì rd  a. 3 . 3 BC . 2 Nếu đáy là hình vuông hoặc hình chữ nhật ABCD thì rd  AC . 2 GT 2 4.3. Công thức 3. Khối chóp có mặt bên vuông góc mặt đáy: R  rb   rd   4 2 2 Trong đó: R, rb ; rd lần lượt là bán kính khối cầu, rb là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên; rd là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy; GT là giao tuyến của mặt bên vơi mặt đáy. Vấn đề 5: TÍNH NHANH CÁC YẾU TỐ TRONG TAM GIÁC ĐỀU. Trung tuyến: AM  a. 3 (trung tuyến bằng cạnh nhân can ba 2 chia 2). a. 3 (bán kính 3 đường tròn ngoại tiếp bằng AG bằng cạnh nhân căn 3 chia 3). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R  AG  a. 3 (bán kính 6 đường tròn nội tiếp bằng GM bằng cạnh nhân can 3 chia 6). Bán kính đường tròn nội tiếp: r  GM  Diện tích: S  a2. 3 (diện tích tam giác bằng cạnh bình nhân 4 căn 3 chia 4). Vấn đề 6: TÍNH NHANH CÁC YẾU TỐ TRONG TỨ DIỆN ĐỀU. Thể tích: V  a3. 2 12 Diện tích xung quanh: S  3. a2. 3 (diện tích xung quanh bằng tổng 4 diện tích 3 mặt bên), a2. 3 a2. 3 (diện tích toàn  a 2 . 3 S  3. 4 4 phân bằng tổng diện tích 3 mặt bên + cộng mặt đáy). Diện tích toàn phần: S  4. CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM 2017 Trang 2 Đường cao: h  DG  a. 6 (đường cao bằng cạnh nhan căn 3 chia 6). 3 Tâm đường tròn ngoại tiếp: R  DI  Tâm đường tròn nội tiếp: r  IG  a. 6 . 4 a. 6 . 12 Vấn đề 7: TÍNH NHANH CÁC YẾU TỐ TRONG KHỐI LẬP PHƯƠNG. Thể tích: V  a 3 Đường chéo hình lập phương: AC1  a 3 (đường chéo bằng cạnh nhân căn 3). Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R  Bán kính đường tròn nội tiếp: r  AC1 a 3  . 2 2 AB a  . 2 2 Diện tích xung quanh S xq  4.S  4 a 2 , diện tích toàn phần Stq  6.S  6a 2 . 1 Thể tích khối tứ diện có 1 cạnh là cạnh của khối lập phương: V  .a 3 . 6 1 Thể tích khối tứ diện không có cạnh nào là cạnh của khối lập phương: V  .a 3 . 6 Vấn đề 8: CÁC HÌNH THƯỜNG GẶP. (vẽ vào nháp rồi áp dụng khi gặp một trong các hình sau) 1. Hình chóp tam giác. Cạnh bên vuông góc đáy 2. Hình chóp tứ giác. Cạnh bên vuông góc mặt đáy Mặt bên vuông góc với đáy SG vuông góc mặt đáy Mặt bên vuông góc mặt đáy CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM 2017 SO vuông góc mặt đáy Trang 3 3. Khối lăng trụ A1M vuông góc mặt đáy Lăng trụ tam giác đều Khối lăng trụ tứ giác 4. Khối nón – khối trụ – khối cầu. A M B a h r Khối nón S xq  l r ; Stp  l r  r 2 D N C Khối trụ S xq  2l r ; Stp  2l r  2r 2 Khối cầu S  4 r 2 4 1 V  hr 2 V  .hr 3 V  .hr 2 3 3 Vấn đề 9: HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM M(a; b; c) LÊN CÁC TRỤC TỌA ĐỘ VÀ LÊN CÁC MẶT PHẲNG TỌA ĐỘ. 1) Hình chiếu của điểm M (a; b; c ) lên các trục Ox , Oy , Oz lần lượt là điểm M 1 (a;0;0) , M 2 (0; b;0) , M 3 (0;0; c ). 2) Hình chiếu của điểm M (a; b; c ) lên các mặt phẳng Oxy  , Oyz  , Oxz  lần lượt là điểm M 4 (a; b;0), M 5 (0; b; c ), M 6 (a;0; c ). 3) Khoảng cách từ điểm M (a; b; c ) đến các mặt phẳng Oxy  , Oyz  , Oxz  lần lượt là d  z M  c , d  x M  a , d  yM  b . (còn nữa…) CÔNG THỨC TÍNH NHANH TRẮC NGHIỆM 2017 Trang 4