Tổng hợp các bài toán về giới hạn, dãy số, và các vấn đề liên quan trong kì thi HSG cấp tỉnh, thành phố
TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ, GIỚI HẠN
TRONG ĐỀ THI HSG CÁC TỈNH, THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2011 – 2012 VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
(Lê Phúc Lữ - tổng hợp và giới thiệu)
A – ĐỀ BÀI.
Bài 1. (Quảng Bình, vòng 1)
Cho dãy số un xác định như sau u1 1,
un1
1 un2011 , n 1, 2, 3,...
un
u 2011 u 2011
u 2011
Tính lim 1 2 ... n .
u2
u3
un1
Bài 2. (Vĩnh Long, vòng 1)
u1 3
Cho dãy số un xác định bởi
un1 1 un2 un 4 , n 1, 2, 3,...
5
a) Chứng minh rằng un là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.
n
1
, n 1, 2,3,... . Tính lim vn .
n
k 1 u k 3
b) Đặt vn
Bài 3. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát của dãy un thỏa mãn:
u1 u2 1
un 1.un
un 2 2u u
n 1
n
Bài 4. (Bình Định, vòng 1)
u 2 3
1
Cho dãy số un được xác định bởi
un1 3 2 un2 2 6 5 un 3 3 3 2
1
n
1
, n 1, 2, 3,... Tìm lim vn .
k 1 u k 2
Đặt vn
Bài 5. (Bình Dương, vòng 2)
1
a
, n 2 và a 0, x1 0 .
Cho dãy số xn được xác định như sau xn xn1
2
xn1
Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn của dãy.
Bài 6. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
x a
Cho hai số thực a và b. Xét dãy số xn xác định bởi công thức 0
xn1 1 b. xn ; n
Tìm điều kiện của a, b để xn có giới hạn. Tính giới hạn đó.
Bài 7. (Hà Nam, vòng 2)
3 xn
1
Cho dãy số thực (xn) thỏa mãn: x1 , xn1
với mọi n nguyên dương.
6
2 xn 1
a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Bài 8. (Hà Nội, vòng 1)
1. Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 1 và un1 un n với mọi n 1 . Tìm lim
n
un
.
un1
2. Cho dãy số vn xác định bởi: v1 2015 và vn1 vn2 2 với mọi n 1, 2, 3,...
vn21
2011 .
n v 2 .v 2 ...v 2
1 2
n
Chứng minh rằng lim
Bài 9. (Long An, vòng 2)
u1 1
Cho dãy số xác định bởi
3u 4
un1 n
, n 1, 2, 3,...
un 1
Đặt xn u2 n1 , yn u2 n .
2
a) Chứng minh dãy xn , yn có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Bài 10. (Phú Thọ, vòng 1)
Cho dãy số u1 4, un1
1
un 4 4 1 2un , n 1, 2, 3,...
9
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
Bài 11. (Nam Định, vòng 1)
Xét dãy số un thỏa mãn u1 1, un1 un (un 1) 2, n 1 .
n
Chứng minh rằng An uk2 1 1 là số chính phương với mọi n.
k 1
Bài 12. (Cần Thơ, vòng 2)
Cho dãy số xn được xác định bởi:
Chứng minh rằng dãy số xn
x1 a
2011
2
2
2
xn1 3 ln xn 2011 2011
có giới hạn.
Bài 13. (Quảng Ninh, vòng 2)
Cho dãy xn xác định bởi x0 a với a 1; 2 và xn1
2
xn
, n 0,1, 2,... .
Chứng minh dãy có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 14. (Vĩnh Phúc, vòng 1)
Giả sử a là số thực dương thỏa 0 a 1 . Lập dãy (an ) như sau
a1 a, an 1 a an , n 1 .
Chứng minh rằng dãy có giới hạn hữu han khi n tiến tới vô cực.
Bài 15. (Nam Định, vòng 2)
Với mỗi số thực x kí hiệu x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x và x x x . Cho
un (45 2012 ) n . Chứng minh dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó.
3
Bài 16. (Đà Nẵng, vòng 2)
xn3 3 xn
Cho dãy số thực xn thỏa mãn điều kiện xn1
với mọi n * .
2
3 xn 1
a) Tìm công thức tính xn theo x1 và n.
b) Chứng minh rằng dãy số xn có giới hạn hữu hạn.
Bài 17. (Hưng Yên, vòng 1)
x1 a 0
2
Cho dãy số xác định bởi công thức
xn1 xn xn , n 1
n2
1
1
.
2
xn n
a n(n 1)
Bài 18. (Quảng Bình, vòng 2)
Chứng minh rằng
Cho hai dãy số dương un , vn xác định bởi công thức
u v 2
1
1
2
un
vn
, vn1
, n 1, 2, 3,...
un1 2
4vn 1 1
1 4un21
2
2
a. Tính u2011
v2011
.
b. Tính lim un , lim vn .
Bài 19. (Vĩnh Phúc, vòng 2)
n
Cho dãy các số dương (an ) thỏa mãn: ak 2ak 1 ak 2 0, a j 1, k 1.
j 1
Chứng minh rằng 0 ak ak 1
2
, k 1 .
k2
Bài 20. (Vĩnh Long, vòng 2)
Xét phương trình x n x 2 x 1, n , n 2
a. Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n 2 thì phương trình trên có đúng một nghiệm dương
duy nhất. Gọi nghiệm đó là xn .
b. Chứng minh rằng lim xn 1 .
n
4
Bài 21. (Bến Tre, vòng 1)
Cho phương trình x 2 n 3x 2 0 trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1.
1. Chứng minh rằng ứng với mỗi n, phương trình có đúng một nghiệm xn 0;1 .
2. Gọi xn với n 2, 3, 4,... là dãy số có được theo cách xác định như trên. Chứng minh rằng
dãy số này đơn điệu và bị chặn.
Bài 22. (TP HCM, vòng 2)
Cho dãy un được xác định bởi công thức
4
u1 5
un4
un1
n *
4
2
un 8un 8
Tìm công thức tổng quát của dãy un .
Bài 23. (Tiền Giang, vòng 2)
Cho dãy số un xác định bởi u0 0, un1
2 2un2 4un 4
un
, n 1, 2, 3,...
Chứng minh rằng dãy un có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 24. (Chọn đội tuyển Phổ thông năng khiếu TP. HCM)
Cho dãy un thỏa mãn điều kiện u1
1
2
và un1 un2 un với mọi n nguyên dương.
6
3
5un21 2un2un1 5unun1
.
n
3un2 unun 1 (4 un2 )
Tính giới hạn sau lim
Bài 25. (Hà Tĩnh, vòng 2) Dãy số xn với n 1, 2, 3,... bị chặn trên và thỏa mãn điều kiện:
xn 2
1
3
xn 1 xn với mọi n 1, 2, 3,...
4
4
Chứng minh rằng dãy số trên có giới hạn.
5
Bài 26. (Ninh Bình, vòng 2)
n
1
Chứng minh dãy un xác định bởi công thức un ln n có giới hạn hữu hạn.
k 1 k
Bài 27. (Hà Nội, vòng 2)
Cho dãy số nguyên dương U n thoả mãn U1 1, U 2 2, U 4 5 và với mọi n 1 thì
U n1U n1 U n2 a với a 2 1 .
1) Xác định số hạng tổng quát của dãy số trên.
2) Tìm các số tự nhiên n không vượt quá 2012 sao cho U n chia hết cho 10.
Bài 28. (KHTN, vòng 3)
2
1
3
Cho dãy số dương an thỏa mãn a1 1, a2 , an2 an21 an , n 1, 2, 3,...
3
4
4
Chứng minh rằng an hội tụ và tìm giới hạn của nó.
Bài 29. (Chọn đội tuyển ĐHSP Hà Nội)
Cho dãy số an , n 1 thỏa mãn: a1 1, an
2n 3
an1 , n 2 và dãy bn thỏa mãn
2n
n
bn ai , n 1 . Chứng minh dãy bn có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.
i 1
Bài 30. (Đại học KHTN Hà Nội, vòng 1)
a1 6, a2 14
Cho dãy số an xác định như sau
n
an 2 6an 1 an 24.(1) , n 1, 2,3,...
n
Tính giới hạn lim
n
1
a
k 1
.
k
6
B – LỜI GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT
Bài 1. (Quảng Bình, vòng 1)
Cho dãy số un xác định như sau u1 1,
un1
1 un2011 , n 1, 2, 3,...
un
u 2011 u 2011
u 2011
Tính lim 1 2 ... n .
u2
u3
un1
Lời giải.
Từ công thức xác định dãy, ta có
u 2011
u 2011
1
1
1
1
n n
, n 1, 2, 3,...
un un1 un1
un1 un un1
n
n
u12011 u22011
un2011
uk2011
1
1 1
1
Do đó
.
...
u2
u3
un 1
uk uk 1 u1 un 1
k 1 uk 1
k 1
Dễ thấy rằng un 0, n nên ta cũng có: un1 un un2012 un hay dãy đã cho tăng thực sự.
Giả sử dãy không có chặn trên thì nó sẽ có giới hạn, đặt đó là , rõ ràng 1 .
Chuyển công thức tổng quát của dãy về giới hạn, ta có 2012 0 , mâu thuẫn.
Suy ra dãy đã cho không bị chặn trên hay lim un .
u 2011 u 2011
1 1
u 2011
Từ đó, ta được lim 1 2 ... n lim 1 .
u2
u3
un1
1 un
Nhận xét.
Bài toán này thuộc dạng quen thuộc với ý tưởng rút gọn tổng dưới dạng sai phân để đưa giới hạn
cần tính về giới hạn của dãy ban đầu. Đề bài ở đây rất thuận lợi vì công thức sai phân đã được
thể hiện khá rõ, chỉ cần lập luận cẩn thận, đầy đủ ở các bước là có thể giải quyết trọn vẹn bài này.
Bài 2. (Vĩnh Long, vòng 1)
u1 3
Cho dãy số un xác định bởi
un1 1 un2 un 4 , n 1, 2, 3,...
5
7
a) Chứng minh rằng un là dãy tăng nhưng không bị chặn trên.
n
1
, n 1, 2,3,... . Tính lim vn .
n
k 1 u k 3
b) Đặt vn
Lời giải.
a) Dễ thấy với mọi n 0 thì các số hạng của dãy đều dương.
1 2
1
1
2
un un 4 un un2 4un 4 un 2 0 nên dãy đã cho không
5
5
5
giảm. Hơn nữa, từ u1 3 2 nên un 2, n . Từ đó un1 un 0 un1 un , n hay dãy đã
Ta có un1 un
cho đơn điệu tăng.
Giả sử dãy bị chặn trên thì nó phải có giới hạn, đặt là 3 . Chuyển công thức của dãy qua giới
1
hạn, ta được 2 4 2 , mâu thuẫn.
5
Từ đó suy ra dãy này không bị chặn trên. Ta có đpcm.
b) Giả sử ta có công thức
1
uk 1 uk
1
1
1
a
a
uk b uk 1 b uk 3
uk 3
uk b uk 1 b
Quy đồng và biến đổi, ta được (3a b)un 1 (a 1)un1un aun2 (3a b)un b 2 .
Để tương ứng với công thức quan hệ xây dựng dãy, ta chọn a 1 thì được quan hệ đơn giản hơn
là (3 b)un1 un2 (3 b)un b 2 , chọn tiếp b 2 thì được công thức đã cho.
Như thế, ta có
n
u
k 1
1
1
1
, k . Suy ra
uk 3 uk 2 uk 1 2
n
1
1
1
1
1
1
.
1
uk 2 uk 1 2 u1 2 un 1 2
un 1 2
k 1
k 3
1
1
1 . Vậy giới hạn cần tìm là 1.
lim 1
un1 2
k 1 uk 3
n
Do lim un nên lim
Nhận xét. Trong bài toán này, ta đã dùng phương pháp hệ số bất định để thử tìm một quan hệ có
dạng sai phân giữa các biểu thức liên quan nhằm rút tổng cần tính để tìm giới hạn.
Bài 3. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Bến Tre) Tìm số hạng tổng quát của dãy un thỏa mãn:
u1 u2 1
un 1.un
u
n
2
2un1 un
8
Lời giải.
Bài này có thể đổi điều kiện của các số hạng đầu để không rơi vào trường hợp đặc biệt. Ta xét
bài toán tổng quát hơn là:
Tìm số hạng tổng quát của dãy số un thỏa mãn:
u1 a, u2 b, 2a b 0
un 1un
un 2 2u u , n 1, 2,3,...
n 1
n
Từ công thức xác định dãy, ta có
2u u
1
2
1
1
n1 n
. Đặt yn , n 1, 2, 3,...
un1
un 1un
un un1
un
Ta có yn1 2 yn yn 1 , n . Xét phương trình đặc trưng t 2 2 t t 2 t 2 0 t 1 t 2 .
Công thức tổng quát của dãy có dạng: yn r (2)n s, n 1, 2,3,...
1
a b
2r s a
r 6ab
So sánh với hai số hạng đầu của dãy, ta có:
4r s 1
s a 2b
b
3ab
Từ đây thay vào suy ra công thức tổng quát của dãy ban đầu là
xn
1
a b
a 2b
(2)n
6ab
3ab
6ab
, n
(a b)(2) n 2(a 2b)
Trong bài toán ban đầu, nếu thay a b 1 , ta có công thức tổng quát của dãy là xn 1, n .
Nhận xét.
Trong bài toán trên, ta không nhắc đến điều kiện của a, b để dãy xác định với mọi n.
Điều kiện đó chính là 2 xn 1 xn 0, n hay
12ab
6ab
0, n
n 1
(a b)(2) 2(a 2b) (a b)(2) n 2(a 2b)
n
Ngoài điều kiện ab 0 suy ra từ đó, ta còn cần có (a b) 2 2(a 2b) 0, n và
9
2(a b)(2) n 4( a 2b) ( a b)( 2) n 1 2( a 2b) 4a( 2) n 2 a 4b 0
Đây chính là hai điều kiện của các số hạng đầu để dãy đã cho luôn xác định.
Ngoài ra, còn một bài toán có giả thiết tương tự như trên nhưng yêu cầu khác:
Cho dãy số xn thỏa mãn xn2
xn xn1
, n * . Tìm điều kiện của x1 , x2 để dãy số trên có
2 xn xn1
vô hạn số nguyên.
Lời giải.
Đặt x1 a, x2 b, ab 0 . Trước hết, dãy đã cho phải có tất cả các số hạng khác 0.
Ta có
1
xn2
2
xn 1
1
1
, n * yn 2 2 yn1 yn , n * với yn , n 1 .
xn
xn
Phương trình đặc trưng của dãy này có nghiệm kép t 1 nên công thức tổng quát của nó có dạng
1
1
yn rn s với r , s được xác định theo y1 , y2 .
a
b
r s 1
1 1
2 1
a
Ta có:
r ,s
1
b a
a b
2r s
b
a b
2b a
ab
Do đó yn
n
xn
.
ab
ab
(a b)n (2a a )
Ta thấy a, b nhận những giá trị không đổi và muốn dãy đã cho có vô số số nguyên thì cần phải
(a b)n (2b a ) ab với vô số n. Dễ thấy cần có hệ số trước n phải bằng 0 và a b .
Khi đó xn a nguyên khác 0. Thử lại thấy thỏa.
Vậy điều kiện để dãy có vô số số nguyên là a b \{0} .
Bài 4. (Bình Định, vòng 1)
u 2 3
1
Cho dãy số un được xác định bởi
un1 3 2 un2 2 6 5 un 3 3 3 2
n
1
, n 1, 2, 3,... Tìm lim vn .
k 1 u k 2
Đặt vn
10
Lời giải.
Từ công thức xác định dãy, ta thấy rằng
un1
2 u 2 3 3 2 u
2 u 2 3 u 6
2 u 2 u 3
3 2 un2 2 6 5 un 3 3 3 2
3
3
un1 3
3
un1
3
un1
3
2
n
2
n
n
3
3 2
n
n
n
1
1
1
un1 3
3 2 un 2 un 3
1
1
1
1
1
1
un1 3 un 3 un 2
un 2 un 3 un1 3
n
1
1
1
1
1
.
k 1 u k 2
k 1
un 3 un1 3 u1 3 un 1 3
n
Do đó, vn
Từ đẳng thức un1 3
3 2 un 2 un 3 và u1 3 2 3 , bằng quy nạp,
ta chứng minh được un 3 , n .
Từ đẳng thức
1
1
1
0 (*) , ta cũng có được un un1 , n hay dãy đã
un 2 un 3 un 1 3
cho tăng thực sự.
Giả sử dãy đã cho bị chặn trên thì nó có giới hạn, đặt là 3 2 .
Chuyển đẳng thức (*) qua giới hạn, ta được
1
1
1
0 , vô lí.
2 3 3
Từ đó suy ra dãy này không bị chặn trên hay lim un .
1
1
1
2 .
lim
u1 3 un1 3
2
k 1 uk 2
n
Do đó, lim vn lim
Vậy giới hạn cần tìm là
2
.
2
11
Nhận xét.
Tương tự bài đầu tiên, ở bài toán này, ta cũng cần tìm được công thức liên hệ ở dạng thuận lợi
cho việc rút gọn tổng. Tuy biến đổi ở trên khá rắc rối nhưng mục tiêu vẫn là tìm một biểu thức có
dạng như sau
1
1
1
a
un b un1 b
un 2
Ta có thể biến đổi rồi đồng nhất hệ số, để tránh các căn thức rắc rối, ta có thể tổng quát nó thành
2 x, 3 y rồi xử lí cho đơn giản hơn.
Một đặc điểm khá thú vị của bài toán này chính là việc chứng minh các số hạng của dãy dương
và dãy đơn điệu tăng không suy ra trực tiếp được từ công thức ban đầu mà phải thông qua các
biến đổi trong quá trình tính toán. Trên thực tế, các dãy số dạng này nói chung luôn có giới hạn
tại vô cực (vì nếu nó có giới hạn là thì chuyển qua giới hạn trong công thức sai phân, thường
thì ta sẽ thu được mâu thuẫn) nên các quá trình lập luận ở trên có thể nói là thống nhất cho các
dạng tương tự của nó. Một bài tương tự trong kì thi VMO 2009:
1) VMO 2009:
1
x1 ,
2
Cho dãy số ( xn ) xác định như sau
.
xn21 4 xn1 xn1
xn
, n 2
2
n
1
Chứng minh rằng dãy số yn trong đó yn 2 , n có giới hạn hữu hạn khi n .
i 1 xi
2) VMO 2011:
Cho dãy số xn xác định bởi x1 1, xn
2n n1
xi , n 2 .
(n 1) 2 i1
Đặt yn xn 1 xn , n 1, 2,3,... .
Chứng minh dãy yn có giới hạn hữu hạn khi n .
Bài 5. (Bình Dương, vòng 2)
1
a
, n 2 và a 0, x1 0 .
Cho dãy số xn được xác định như sau xn xn1
2
xn1
Chứng minh rằng dãy đã cho có giới hạn và tìm giới hạn của dãy.
Lời giải.
12
1
a
Giả sử dãy đã cho có giới hạn, đặt đó là 0 thì ta có a .
2
Ta xét biến đổi sau
2 xn a xn1 a
a
xn1
xn1 a
a
xn1 a 1
xn1
xn1
Từ đó suy ra xn a
a xn1 a
a xn1 a
xn1
2
xn1 a
x a
1
xn1 a xn a n1
xn1 a xn1 a .
2 xn1
2 xn1
2
(do xn1 a xn1 )
Lặp lại quá trình này n 1 lần, ta được xn a
1
2n1
x1 a .
Cho n tiến tới vô cực, theo nguyên lí kẹp, ta có lim xn a 0 lim xn a .
Vậy giới hạn của dãy đã cho là
a và không phụ thuộc vào giá trị của x1 .
Nhận xét.
Bài này có thể giải bằng cách sử dụng hàm số f (t ) liên hệ giữa các số hạng xn , xn1 hoặc dùng
định lí Lagrange. Tuy nhiên, cách đó cần xem xét một số trường hợp nữa và đòi hỏi lập luận
thêm một số trường hợp nữa. Cách giải như trên là đơn giản và nhẹ nhàng hơn cả. Cách tìm ra
giá trị a cũng rất tự nhiên từ việc giải phương trình sau khi chuyển qua giới hạn.
Bài 6. (Chọn đội tuyển THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)
x a
Cho hai số thực a và b. Xét dãy số xn xác định bởi công thức 0
xn1 1 b. xn ; n
Tìm điều kiện của a, b để xn có giới hạn. Tính giới hạn đó.
Lời giải.
Xét trường hợp b 1 , ta thấy rằng khi đó xn1 1 xn nên xn n a , dãy trong trường hợp
này không có giới hạn.
13
Xét trường hợp b 1 , khi đó xn1 xn 1 nên dãy cũng không có giới hạn.
Xét trường hợp b 1 , ta có xn1 1 bxn xn1
Suy ra xn
1
b
1
bxn
b xn
.
1 b
1 b
1 b
1
1
a ab 1
1
n a ab 1
b n x0
xn b n
, n .
b
1 b
1 b
1 b
1 b
1 b
Dễ thấy rằng nếu b 1 thì lim b n 0 và giới hạn của dãy này là lim xn
1
.
1 b
a ab 1
0 a ab 1 thì dãy đã cho không đổi, còn nếu ngược lại thì
1 b
dãy này tiến tới vô cực, tức là nó không có giới hạn hữu hạn.
Nếu b 1 thì nếu
Vậy dãy đã cho hội tụ khi và chỉ khi b 1 hoặc b 1, a
1
.
1 b
Nhận xét.
Dãy số xác định như trên thay vì biến đổi từng bước như trên, ta hoàn toàn có thể dùng công
thức tổng quát cho dãy truy hồi tuyến tính cấp 1 để xử lí. Các điều kiện về giới hạn của dãy cũng
dễ dàng suy ra được từ các kết quả đó.
Bài 7. (Hà Nam, vòng 2)
3 xn
1
Cho dãy số thực (xn) thỏa mãn: x1 , xn1
với mọi n nguyên dương.
6
2 xn 1
a. Chứng minh dãy số trên có giới hạn và tính giới hạn đó.
b. Tìm số hạng tổng quát của dãy số trên.
Lời giải.
a. Dễ dàng thấy rằng xn 0, n .
Xét hàm số f (t )
3t
3
, t 0 f (t )
0 nên đây là hàm đồng biến.
2t 1
(2t 1)2
x1 1
Dãy số đã cho có thể viết dưới dạng
6
xn1 f ( xn ), n 1, 2, 3,...
14
3
Do x2 x1 nên x3 f ( x2 ) f ( x1 ) x2 nên bằng quy nạp, ta chứng minh được dãy này
8
3 xn
3
3
3
3
tăng, đồng thời xn1
0 nên xn1 , n .
2
2 2 xn 1 2 2 xn 1
Dãy này tăng và bị chặn trên nên có giới hạn, đặt là thì
Tuy nhiên, do
3
2 2 2 0 1 .
2 1
1
nên 1 và đây chính là giới hạn cần tìm.
6
b. Do mọi số hạng của dãy đều dương nên ta có thể biến đổi như sau:
1
xn1
Với y1
2 xn 1 2
1
1
, n 3 yn1 2 yn , n trong đó yn , n .
3xn
3 3 xn
xn
1
1
1
6 , ta tiếp tục biến đổi 3 yn1 1 yn 1 yn 1 1 yn 1 n y1 1 .
3
3
x1
3n1
5
Suy ra yn1 n 1 hay xn
, n 1, 2, 3,... Đây chính là công thức tổng quát cần tìm.
3
5 3n1
Nhận xét.
Về mặt tìm giới hạn thì dãy số ra trong trường hợp khá chuẩn mực nên có thể tìm được dễ dàng,
ta cũng có thể nhẩm trước rồi trừ vào công thức xác định để đưa về dãy kẹp. Ở bài toán xác định
au b
công thức tổng quát, thực ra đây là trường hợp đặc biệt của dãy phân tuyến tính un1 n
.
cun d
un1 aun bvn
Dãy số dạng này được xử lí bằng cách đưa về hệ hai dãy tuyến tính là
.
vn1 cun dvn
Tuy nhiên, bài toán ở đây đưa ra ở dạng tương đối đặc biệt nên có thể dùng các biến đổi thông
thường để giải quyết.
Bài 8. (Hà Nội, vòng 1)
1. Cho dãy số un xác định bởi: u1 = 1 và un1 un n với mọi n 1 . Tìm lim
n
un
.
un1
2. Cho dãy số vn xác định bởi: v1 2015 và vn1 vn2 2 với mọi n 1, 2, 3,...
vn21
2011 .
n v 2 .v 2 ...v 2
1 2
n
Chứng minh rằng lim
15
Lời giải.
n(n 1) n2 n 2
1. Từ công thức xác định dãy, ta có ui1 ui i un1 u1
.
2
2
i 1
i 1
i 1
n
n
n
(n 1)2 (n 1) 2 n2 n 2
.
2
2
u
n2 n 2
Do đó, lim n lim 2
1.
n u
n n n 2
n1
Suy ra un
Vậy giới hạn cần tìm là 1.
1
2. Vì v1 2015 2 nên ta có thể đặt v1 a , a 1 . Ta có
a
2
1
1
v2 v 2 a 2 a 2 2
a
a
n
1
Bằng quy nạp, ta chứng minh được rằng vn1 a 2 2n , n . Ta xét tích
a
2
1
n
n
1
i1
vi a 2 2i1
a
i 1
i 1
1
1
1
1 n 2i1
1
1 2n
1
a
a
a 2i1 a a 2n
a
a i 1
a
a
a
2
.
2
1 n
1
a a 2 2n
2
2
2
2
v
a
a , suy ra lim vn 1 a 1 a 1 4 2011 .
Do đó, 2 n21 2
2
v1 .v2 ...vn
v12 .v22 ...vn2
a
a
1
2n
a 2n
a
Vậy ta có đpcm.
Nhận xét.
Câu 2 của bài toán trên đã từng xuất hiện từ trước khá nhiều, chẳng hạn trong đề Olympic Sinh
viên 2005 (số 2011 ở trên được thay bằng 2005) hoặc trên tạp chí THTT. Trên thực tế, giá trị
2011 có thể thay bằng một đại lượng a bất kì thỏa mãn a 2 bởi vì dãy số có dạng như trên là
một trong các dạng đặc biệt của các dãy phi tuyến tính có thể tìm được công thức tổng quát được.
Tuy việc tìm giới hạn cũng có thể giải theo nhiều cách khác nhưng cách dùng công thức thế này
cho ta nhiều biến đổi đẹp và cơ bản.
Bài 9. (Long An, vòng 2)
u1 1
Cho dãy số xác định bởi
3u 4
un1 n
, n 1, 2, 3,...
un 1
Đặt xn u2 n1 , yn u2 n , n .
16
a) Chứng minh dãy xn , yn có giới hạn hữu hạn.
b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó
Lời giải.
a) Dễ thấy rằng un 0, n . Xét hàm số f ( x)
Ta có f ( x )
3x 4
,x0.
x 1
1
0, x 0 nên đây là hàm nghịch biến. Do đó, suy ra g ( x ) f f ( x)
( x 1) 2
là hàm đồng biến trên 0; .
Các dãy số đã cho có thể viết lại là
7
u1 1, un1 f un , n 1 , x1 1, xn1 g ( xn ), n 1 và y1 , yn1 g yn , n 1
2
7
29
123
Ta có u2 , u3
u1 , u4
u2 nên dựa vào tính đồng biến của hàm g ( x) , ta có thể
2
9
38
chứng minh được rằng xn đồng biến và yn nghịch biến.
Ta thấy rằng un1 4
3un 4
un
4
0 nên dãy này bị chặn trên bởi 4 hay dãy xn
un 1
un 1
cũng bị chặn trên bởi 4. Suy ra dãy xn có giới hạn hữu hạn.
Tương tự, dãy yn giảm và bị chặn dưới bởi 0 nên cũng có giới hạn.
Ta có đpcm.
x2 n 1 f x2 n
b) Giả sử lim xn a, lim yn b thì do
nên chuyển về giới hạn, ta có hệ
x2 n 2 f x2 n 1
a 3b 4
a f (b)
3b 4 3a 4
a b
b 1
phương trình sau
a b
.
b f (a )
3a 4
b 1
a 1
(a 1)(b 1)
b
a 1
Dễ thấy ngoài hệ thức a b được suy ra từ hệ trên, không còn quan hệ nào nữa bởi vì
(a 1)(b 1) 1 là vô nghiệm do a, b 0 .
17
Với a b , ta có a
3a 4
a 2 a 3a 4 a 2 2a 4 0 a 1 5 do a 0 .
a 1
Do đó, hai dãy con xn , yn của dãy un cùng hội tụ về một điểm nên dãy đã cho cũng hội tụ
và giới hạn cần tìm là lim un 1 5 .
Nhận xét.
Bài toán thực ra có thể yêu cầu trực tiếp giới hạn của dãy nhưng dùng thêm hai dãy con như trên
là một gợi ý để việc lập luận có thể dễ dàng hơn cho các bạn mới tiếp xúc với dạng toán tìm giới
hạn thế này.
Bài 10. (Phú Thọ, vòng 1)
Cho dãy số u1 4, un1
1
un 4 4 1 2un , n 1, 2, 3,...
9
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số trên.
Lời giải.
Từ giả thiết, ta có
9un 1 un 4 4 1 2un 18un1 2un 8 8 1 2un
18un1 9 (2un 1) 16 8 1 2un
9 2un 1 1
2un 1 4
2
3 2un1 1 2un 1 4, n 1, 2, 3,...
Đặt
vn2 1
2un 1 vn , n un
thì ta có dãy mới tương ứng là
2
v1 3
.
3vn 1 vn 4, n 1, 2, 3,...
1
Từ công thức xác định dãy này, ta có 3vn 1 6 vn 2 vn1 2 vn 2 , n 1, 2,3,...
3
2
1 1
Suy ra vn n1 2 , do đó: un n1 2 1, n 1, 2,3,...
3
2 3
1
Đây là công thức tổng quát cần tìm.
18
Bài 11. (Nam Định, vòng 1)
Xét dãy số un thỏa mãn u1 1, un1 un (un 1) 2, n 1 .
n
Chứng minh rằng An uk2 1 1 là số chính phương với mọi n.
k 1
Lời giải.
n
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng An uk2 1 1 un 1 1 , n .
2
k 1
Thật vậy,
- Với n 1 , ta tính được u2 1 nên ta có A1 u12 1 1 u2 1 2 1 , đúng.
2
2
m
- Giả sử khẳng định đúng với n m 1 , tức là Am uk2 1 1 um1 1 .
2
k 1
m 1
m
Ta có Am1 uk2 1 1 uk2 1 um2 1 1 1 Am 1um2 1 1 1 .
k 1
k 1
2
2
Do đó Am1 Am 1um2 1 1 1 um1 1 1 um2 1 1 1 um2 1 um 1 um2 2 .
Suy ra khẳng định cũng đúng với n m 1 nên theo nguyên lí quy nạp thì nó đúng với mọi n .
n
Vậy An uk2 1 1 là số chính phương với mọi n. Ta có đpcm.
k 1
Nhận xét.
Dãy số đã cho không thể tìm được công thức tổng quát nên ta cần phải thông qua các số hạng cụ
thể để có thể dự đoán và chứng min h được quy nạp như thế.
Thật vậy, ta có thể tính được các số hạng của dãy là :
u1 1, u2 2, u3 4, u4 14, u5 184, u6 33674,...
Tương ứng, ta cũng có A1 12 , A2 32 , A3 132 , A4 1832 .
Từ đây dễ dàng dự đoán được điều cần chứng minh ở đây, nhiều bài toán về dãy số nguyên khác
cũng được dự đoán và giải theo cách này.
19
Bài 12. (Cần Thơ, vòng 2)
Cho dãy số xn được xác định bởi
Chứng minh rằng dãy số xn
x1 a
2011
2
2
2
xn1 3 ln xn 2011 2011
có giới hạn.
Lời giải.
Xét hàm số tương ứng f ( x)
2011
ln x 2 20112 20112 , x .
3
x1 a
Dãy số đã cho chính là
xn1 f xn , n 1, 2,3,...
Ta có f ( x)
2011
2x
1 2 2011x 1
2
.
2
2
3 x 2011 3 x 20112 3
Xét hàm số g ( x ) f ( x ) x g ( x ) f ( x) 1 0 nên phương trình g ( x) 0 có không quá
2011
ln 20112 20112 0 và g (20112 ) 0 nên phương
3
trình g ( x) 0 có ít nhất một nghiệm do đây là hàm liên tục.
một nghiệm. Ta lại có g (0) f (0)
Từ đây suy ra phương trình g ( x) 0 có đúng một nghiệm thực.
Gọi a là nghiệm của phương trình g ( x ) 0 f (a ) a .
Áp dụng dụng định lý Lagrange cho x, y thuộc , do hàm f ( x) liên tục trên nên tồn tại
1
z ( x, y ) sao cho: f ( x ) f ( y ) f ( z )( x y ) , mà f ( z ) , z nên suy ra
3
1
f ( x ) f ( y ) x y với mọi x, y thuộc .
3
n
1
1
Ta có xn1 a f ( xn ) f (a ) xn a ... x1 a .
3
3
1 n
Dễ thấy rằng lim x1 a 0 nên theo nguyên lí kẹp, ta có lim xn a 0 .
n
n
3
Vậy dãy đã có giới hạn hữu hạn. Ta có đpcm.
20
- Xem thêm -