TỔNG HỢP BÀI TẬP TÍCH PHÂN THEO DẠNG
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
I .TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
1. Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1. f(x) = x2 – 3x +
1
x
4
2. f(x) = 2 x 2 3
ĐS.
3. f(x) =
ĐS.
4. f(x) =
5. f(x) =
6. f(x) =
7. f(x) =
8. f(x) =
x
x 1
x2
( x 2 1) 2
x2
x 3 3x 2
ln x C
3
2
3
F(x) = 2 x 3 C
3
x
F(x) = lnx + 1 + C
x
ĐS. F(x) =
x3
1
2x C
3
x
ĐS. F(x) =
x 3 x 4 x
4
3
3
2
ĐS. F(x) = 2 x 3x 4 x C
3
1
2
x 3 x
( x 1) 2
x
x 1
3
5
4
4
5
ĐS. F(x) =
2 x 33 x 2 C
ĐS. F(x) =
x 4 x ln x C
5
2
ĐS. F(x) = x 3 x 3 C
x
x
2
ĐS. F(x) = x – sinx + C
10. f(x) = tan2x
ĐS. F(x) = tanx – x + C
11. f(x) = cos2x
ĐS. F(x) =
12. f(x) = (tanx – cotx)2
ĐS. F(x) = tanx-cotx–4x + C
1
13. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
cos 2 x
14. f(x) =
2
sin x. cos 2 x
ĐS. F(x) = tanx - cotx + C
15. f(x) = sin3x
ĐS. F(x) =
16. f(x) = 2sin3xcos2x
ĐS. F(x) =
17. f(x) = ex(ex – 1)
ĐS. F(x) =
x
18. f(x) = ex(2 + e 2 )
ĐS. F(x) = 2ex + tanx + C
19. f(x) = 2ax + 3x
ĐS. F(x) =
20. f(x) = e3x+1
ĐS. F(x) =
2. Tìm hàm số f(x) biết rằng
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5
ĐS. f(x) = x2 + x + 3
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3
ĐS. f(x) =
9. f(x) =
2 sin 2
cos x
và f(4) = 0
3. f’(x) = 4
x x
4. f’(x) = x -
1
2 và f(1) = 2
x2
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
1
1
x sin 2 x C
2
4
ĐS. F(x) = - cotx – tanx + C
ĐS.
ĐS.
1
cos 3 x C
3
1
cos 5 x cos x C
5
1 2x
e ex C
2
2a x
3x
C
ln a ln 3
1 3 x 1
e
C
3
x3
1
3
8 x x x 2 40
f(x) =
3
2
3
x2 1
3
f(x) =
2x
2
x
2
2x
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
5. f’(x) = 4x – 3x2 + 2 và f(-1) = 3
ĐS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
3
b
, f ' (1) 0, f (1) 4, f ( 1) 2
x2
6. f’(x) = ax +
ĐS. f(x) =
x2 1 5
2 x 2
II.MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM
1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f [u ( x )].u ' ( x) dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u ' ( x)dx
I = f [u ( x)].u ' ( x)dx f (t )dt
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. (5 x
dx
(3 2 x ) 5
2.
1) dx
3.
4.
5 2 x dx
dx
2x 1
5. (2 x 2
9.
1) 7 xdx
3x 2
5 2x
3
dx
6. ( x 3 5) 4 x 2 dx
10.
7.
dx
x (1
x)
11. ln
2
3
x
x
sin x
dx
cos 5 x
15. cot gxdx
17. dx
dx
cos x
19. tgxdx
sin x
e x dx
21.
25. x
tgx
22. e 2 dx
x
2
1 x 2 .dx
26. dx 2
27.
1 x
29. cos 3 x sin 2 xdx 30. x
12. x.e x
x 2 .dx
dx
x
x
x
dx
24.
dx
4 x2
dx
x x 1
28.
2
dx
e 1
31.
x 1.dx
1
tgxdx
cos 2 x
x 2 dx
1 x
2
16.
20. e
23. 1
cos x
e 3
2
dx
13. sin 4 x cos xdx 14.
18.
x
dx
x 5
8.
x 2 1.xdx
32. x
3
2
x 2 1.dx
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u ( x).v' ( x)dx u ( x).v( x) v( x).u ' ( x)dx
Hay
udv uv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
BÀI TẬP
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1. x. sin xdx
2. x cos xdx
3. ( x 2 5) sin xdx
( x
2
4.
2 x 3) cos xdx
5. x sin 2 xdx
9. x ln xdx
x
dx
cos 2 x
6. x cos 2 xdx
10. ln 2
xdx
13.
14. xtg 2 xdx
17. e x . cos xdx
18. x 3 e x
21. x lg xdx
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
2
dx
7. x.e x dx
ln xdx
11.
15. sin
x
x dx
19. x ln(1 x 2 )dx
ln(1 x)
dx
x2
22. 2 x ln(1 x)dx 23.
8. ln xdx
12. e
x
dx
16. ln( x 2
1) dx
20. 2 x xdx
24. x 2 cos 2 xdx
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
B.TÍCH PHÂN
I. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
e
(x
2. �
5. �
(2sin x 3cosx x )dx
(e x x )dx
6. �
0
2
1
3
1 1
x 2 ) dx
x x2
( x 3 x 1)dx
1. �
1
1
2
( x 3 x x )dx
7. �
0
8. �
( x 1)( x x 1)dx
0
1
1
2
1
9. �
(3sin x 2cosx )dx
x
4. �x 1dx
1
1
3
2
2
x 2 dx
3. �
(e x x 2 1)dx
11. �
10. �
( x x x x )dx
2
3
0
1
2
12. �
( x 1)( x x 1)dx
1
3
e2
3
13. �
( x 1).dx
3
7x 2 x 5
dx
�
x
1
14.
1
2
2
( x 1).dx
17. �2
x x ln x
1
2
x
e .dx
21. �
e x e x
0
22. �
4x 2 8x
1
2
25. (2 x 2 x 1)dx
26. (2 x 3 x
0
1
dx
16. �
x2 x2
2
1
e x e x
20. �x
dx
x
e
e
0
19. tgx .dx
�
cos2 x
0
dx
1
5
x.dx
�
x2 2
-1
4
cos3 x.dx
18. �3
sin x
6
1
2
15.
ln 3
�e
23.
x
0
.dx
e x
24.
2
dx
�
1 sin x
0
4
2
2
)dx
3
27. x( x 3)dx
28. ( x 2 4)dx
3
2
1
2
2
1
1
3 dx
2
x
1 x
29.
x 2 2x
dx
x3
30.
1
e
dx
x
1
31.
16
32. x .dx
1
e
e2
8
33. 2 x 5 7 x dx
x
1
34. 4 x
1
dx
3 x
1
3
2
II. PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
2
1. �
sin xcos xdx
3
2
3
4
5. �
cot gxdx
6
1
2
2. �
sin xcos xdx
2
3
3
6.
0
sin x
dx
�
1 3cosx
0
6
1
�1 4sin xcosxdx
0
x 3 x 2 1dx
9. �
3.
2
1
x2
dx
10. �
x3 1
0
1
1
13. � 2 dx
1 x
0
2
17. �
esin x cosxdx
4
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
1
1
14. �2
dx
x 2x 2
1
2
18. �
e cosx sin xdx
4
x x 1dx
7. �
2
0
1
x 3 1 x 2 dx
11. �
0
1
1
dx
15. �
2
x
1
0
1
2
e x 2 xdx
19. �
0
4
4. tgxdx
�
0
1
x 1 x 2 dx
8. �
0
2
1
12. �
dx
3
x
x
1
1
1
1
dx
16. �
2 2
(1
3
x
)
0
2
20. �
sin 3 xcos 2 xdx
3
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
21. �
esin x cosxdx
4
2
25. �
sin xcos xdx
29.
2
3
3
6
2
22. �
e cosx sin xdx
4
26.
2
1
x x 1dx
30. �
2
0
0
1
x2
dx
33. �
x3 1
0
e
sin(ln x)
37. �
dx
x
1
e2
1
41. � 2
dx
cos (1 ln x)
e
1
1
dx
45. �
x 1 x
0
e
sin(ln x)
49. �
dx
x
1
1
x 3 1 x 2 dx
34. �
0
�
e
1 3ln x ln x
50. �
dx
x
1
�
x
dx
61.
3
(2x
1)
0
1
2x 5
dx
65. 2
x 4x 4
0
4
69. 1 sin 2xdx
0
x
2
cos x
dx
0 5 2 sin x
0
77.
2
6
0
1
x 2 x 3 5dx
1
x 1 x dx
31. �
x 3 x 2 1dx
32. �
2
0
0
2
e
1 ln x
36. �
dx
x
1
1
35. �
dx
3
x
x
1
1
e2
e
1 ln 2 x
40. �
dx
x ln x
e
1
1
x x 1dx
44. �
0
3
e
x 1
47. �
dx
x
1
e
51. �
1
1 ln 2 x
52. �
dx
x ln x
e
dx
x
x
1
e2
2
55.
48. �1 ln x dx
2ln x 1
e
0
58.
1
2
28. �
cot gxdx
27. tgxdx
�
x
dx
43. �
2
x
1
0
1
dx
46. �
x 1 x
0
0
81.
4
4
sin
�
4
x 1 cos xdx 56.
�
0
4 x 2 dx
0
1
4 x 2 dx
cos
3
4
0
2
1
4
24. �
sin 3 xcos 2 xdx
e 2ln x 1
39. �
dx
x
1
x
42. �
dx
x 1
1 1
54.
2
e x 2 xdx
23. �
1
1
53. � 2
dx
cos (1 ln x)
e
2
e
1 3ln x ln x
38. �
dx
x
1
e2
73.
sin x
dx
�
1 3cosx
0
�1 4sin xcosxdx
57.
1
dx
1 x2
0
�
1
62.
0
3
x3
dx
66. 2
x 2x 1
0
2
0
74.
sin 4x
dx
1 cos2 x
0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
1
0
1
63. x 1 xdx
0
2
67. 4sin x dx
3
1 cos x
0
1
4x 11
dx
x
5x
6
0
64. 2
6
68. (sin6 x cos6 x)dx
0
1
71. x dx
e 1
0
72.
2
1 sin 2x cos 2x
dx .
sin x cos x
6
4
cos 2 x
dx
0 1 2 sin 2 x
75.
2
2
dx
78. 2
1 x 2x 5
2
79. cos3 x sin 2 xdx 80. cos5 xdx
0
1
82. x3 1 x 2 dx
4
sin 3 x
dx 76. (cos 4 x sin 4 x)dx
0 2 cos 3 x 1
0
1
0
1
60. e x dx
1
70. cos4 2xdx
2x 2
dx
2
x 2x 3
4
x
dx
2x 1
0
59. e 2 x 3 dx
83.
4
1
cos
0
4
x
dx
0
2
84. sin 2x(1 sin 2 x)3dx
0
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
e
1 ln x
dx
x
85.
1
1
86.
e
1 ln 2 x
dx
87.
x
1
1
cos xdx
0
tg 4 x
90.
dx
cos 2x
0
3 6
0
2
3 sin 2 x
0
x
dx
cos 2 x 4 sin 2 x
dx
4
96. (1 tg 8 x )dx
0
4
2
98. sin 2 x sin x dx
0
1 3 cos x
4
2
sin 2 x
0
ln(tgx )
95.
dx
sin 2 x
2
sin x cos x
97.
dx
1 sin 2 x
cos x
6 5sin x sin
0
3
94. sin 2 x dx
2
0 ( 2 sin x )
2
6
91. cos x sin x dx 92.
2
dx
93. x
x
3
ln 3 e 2e
ln 5
88.
4
3
89. x (1 x ) dx
5
4
99. sin 2 x cos x dx 100.
0 1 cos x
2
sin x
(e cos x) cos xdx
0
2
101.
x
1 x 1
1
dx
1
1
1
dx
2
1
x
0
105.
1
2
110.
1
x
1
4
1
ln 2
0
1
ex 2
(1 x )
cos x
dx
126.
x
dx
2
x
x
1
0
1
x x2 1
112.
2
3
1
x x2 1
dx
2
1 x 2x 2
dx 119.
7
dx
123. 3
0
7
3
x
dx
116.
x
1 x2
1
dx
x2 1
cos x
dx
7 cos 2 x
1
dx
0
1 1 3x
120.
3
2
0
dx
2
x 1
dx
3
3x 1
0
2
3
2
0
1 cos x
122.
0
1
115.
1
1 cos x sin x dx
108. 4
111. x 2 4 x 2 dx
dx
2
8
3
1
dx
x
x
1
0
2
0
0
x 5
1 x2
2
1
107. 2
dx
5
118.
2
121. x x 1 dx
x
104.
1
2
2
1 x
114.
1 x
dx
1 x6
0
125.
0
3
2
113. 9 23x dx
1
2
2
2
103. 1 2 sin x dx
0 1 sin 2 x
dx
4 x2
0
0
117.
1
106.
1 x dx
109.
4
102. 1 3 ln x ln x dx
x
1
e
127. x 2 x 3 1dx
0
3
124. x 5 1 x 2 dx
0
2 3
128.
5
dx
x x2 4
III. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
1.Tính các tích phân sau
e
e
ln 3 x
1. � 3 dx
2. �
x ln xdx
x
1
1
e
ln 3 x
5. � 3 dx
x
1
1
�
3. x ln( x 2 1)dx
�
7. x ln( x 1)dx
�
6. x ln xdx
0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
2
1
e
e
�
1
x
10. ( x ) ln xdx
1
�
8. x 2 ln xdx
0
1
9. ( x cosx)s inxdx
�
�
0
1
e
2
e
4. x 2 ln xdx
1
2
�
11. ln( x 2 x)dx
1
3
�
12. x tan 2 xdx
4
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
2
ln x
dx
x5
�
13.
1
2
1
�
14. x cos xdx
�
�
15. xe x dx
16. e x cos xdx
0
0
0
2.Tính các tích phân sau
2
1
1. x.e 3 x dx
2. ( x 1) cos xdx
0
0
e
e
5. x ln xdx
6. (1 x 2 ). ln x.dx
1
1
6
2
3. (2 x) sin 3 xdx
4. x. sin 2 xdx
0
0
3
7. 4 x. ln x.dx
8.
1
1
x. ln(3 x
2
).dx
0
2
9. ( x 1).e .dx
2
x
1
10. x. cos x.dx
0
ln x
13. 5 dx
x
1
2
1
3
18. x sin xdx
cos
0
2
ln(1 x)
21. 2 dx
x
1
ln x
25. ( x 1)2 dx
1
e
ln x
dx
29.
1
x
e
2
x
1
22. (x 1)2 e2x dx
0
5.
2
26. xtg2 xdx
0
2
30. ( x cos 3 x) sin xdx
x
dx
3
(
3
x
1
)
0
3
4
x
9. 2
dx
2
2 ( x 1)
2
1
dx
4 x2
13.
0
1
x
(1 x
0
2
)3
1
dx
2
( x 2) ( x 3) 2
6.
0
1
x 2n 3
dx
(1 x 2 ) n
10.
0
2
x
dx
4
0 1 x
0
4
20. x(2 cos2 x 1)dx
0
0
2
e
23. (x ln x)2 dx
24. cos x.ln(1 cos x)dx
1
0
1
1
27. ( x 2)e 2 x dx
28. x ln(1 x 2 )dx
0
0
2
31. (2 x 7) ln( x 1)dx
0
1
1
x3 x 1
3.
dx
x 1
0
2
x3 x 1
dx
x 2 1
4.
0
0
2x3 6x 2 9x 9
8.
dx
x 2 3x 2
1
2008
1 x
7.
dx
2008
)
1 x (1 x
2
11.
3
32. ln( x 2 x)dx
2
x2 3
dx
4
2
1 x ( x 3 x 2)
1
14.
16. sin xdx
19. x sin x cos2 xdx
0
1
0
0
1
III. TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
5
b
2x 1
1
1. 2
2.
dx
dx
( x a )( x b)
3 x 3x 2
a
1
12. ( x 2 2 x). sin x.dx
15. ex sin xdx
0
e
e
11. x 2 . cos x.dx
1
14. x cos xdx
17. x ln 2 xdx
2
0
2
2
2
2
1
dx
x 2x 2
15.
0
2
1
12.
dx
4
1 x (1 x )
16.
2
dx
4
1
17. 3
dx
2
2 x 2x x
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
3
3x 2 3x 3
18. 3
dx
2 x 3x 2
2
1 x2
19.
dx
4
1 1 x
1
1
dx
3
0 1 x
20.
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
1
2 x4
dx
21.
2
0 1 x
1
25.
x6 x5 x4 2
dx
22.
x6 1
0
dx
x2 x 1
�
0
2
x 2 2x 3
dx
30.
x 3
0
x2
dx
x 1
2
1
1 x4
dx
23.
6
0 1 x
24.
�
0
1
4 x 11
dx
x 5x 6
2
0
28. x 2 2 x 1 dx
27. 2 x
2
3 dx
x 1
0
1
0
x2 x 1
2 x 1dx
31.
x 1
1
2x 1
1
2
IV. TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
2
2
1. sin 2 x cos 4 xdx
2. sin 2 x cos 3 xdx
0
0
4. (sin 3 x cos 3 )dx
0
2
8. (sin 10 x cos 10 x cos 4 x sin 4 x)dx
0
3
13.
2
1
dx
2 sin x
0
16.
11.
cos x
dx
cos x
14.
2
0
sin x
dx
2 sin x
0
17.
2
2
sin 3 x
dx
2
0 1 cos x
2
2
cos 3 x
dx
1 cos x
0
3
4
25.
0 cos x cos( x
)
4
0
4
23. tg xdx
dx
9.
2
2
0
29.
13
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
4
3
dx
12. 4
sin x. cos x
15.
6
4
sin
2
0
18.
dx
x 2 sin x cos x cos 2 x
2
1
sin x cos x 1 dx
0
4
21. tg 3 xdx
0
24.
4
1
1 tgx dx
2
2
sin x 7 cos x 6
dx
4 sin x 5 cos x 5
0
3
4 sin x
dx
4
x
1 cos
0
dx
cos x
0
26.
dx
2 sin x 3 cos x
0
2
3
22. cot g xdx
28.
cos x
1 cos x dx
sin x cos x 1
20.
dx
sin x 2 cos x 3
3
4
6. sin 4 x cos 5 xdx
2
cos xdx
19.
2
(1 cos x )
6
4
2
0
2
4
0
0
1
7.
dx
sin x
2
3. (2 sin 2 x sin x cos x cos 2 x)dx
5. cos 2 x(sin 4 x cos 4 x) dx
2
10.
2
2
2
27.
2x 2 x 2
x 1dx
x 1
0
32.
dx
x 4x 3
33.
0
1dx
1
3
29.
3x 1
x
x2
0
26.
1
1
1 sin x dx
0
2
30. 1 cos 2 x sin 2 x dx
sin x cos x
0
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
2
dx
32.
sin 2 x sin x
31. sin 3x dx
1 cos x
0
4
2
3 3
35. cos x sin x dx
0
0
40.
2
dx
38.
1 sin x cos x
2
dx
0
2 sin x 1
4
2
41.
dx
5 sin x 3
0
dx
43.
sin x sin( x
)
6
6
4 sin xdx
47.
3
0 (sin x cos x )
6
2
dx
42. 4
sin x cos x
6
3
sin 2 xdx
45.
6
cos x
4
48.
2
51. sin 2 x.e 2 x 1 dx
0
0
4
2
sin 3 x sin 4 x
53.
dx
tgx
cot
g
2
x
52. 1 sin x e x dx
1 cos x
0
54.
55. cos(ln x) dx
1
60. e 2 x sin 2 xdx
59. xtg 2 xdx
0
0
0
4
61. e sin x sin x cos 3 xdx
62. ln(1 tgx) dx
2
0
63.
0
(1 sin x ) cos x
0
2
x)
sin 2 x sin 7 xdx
�
3
4sin x
dx
1
cos
x
0
�
dx 65.
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
2
2
68.
cos 5 x. cos 3 xdx
2
4
dx
(sin x 2 cos x)
2
0
2
(1 sin x)(2 cos
sin 2 xdx
x 5 sin x 6
0
6
2
57. (2 x 1) cos 2 xdx
4
58. x sin x cos 2 xdx
sin
2
3
ln(sin x)
56.
dx
2
cos
x
2
0
6
2
2
2
50. x 2 cos xdx
0
sin 2 x
( 2 sin x )
2
49. sin 3 x dx
67.
4
6
0
3
46. tgxtg ( x )dx
6
2
39. cos 3 x sin 5 xdx
dx
44.
sin x cos( x
)
4
4
3
64.
4
2
sin 3 x sin x
dx
sin 3 xtgx
3
3
2
36.
0
sin 4 xdx
2
0 1 cos x
2
3
33. sin x dx
2
0 cos x
34. sin 2 x(1 sin 2 x) 3 dx
37.
4
2
66.
�
cos x(sin 4 x cos 4 x) dx
0
2
69. sin 7 x. sin 2 xdx
2
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
4
4
70. sin x cos xdx
71. sin 2 xdx
2
0
0
V. TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ:
2 3
1.
2
dx
x
2.
2
x 4
5
2
1 x 2 dx
0
6.
8.
9.
0
13. 1 x
2
17.
0
7
1
22.
6
3
5
1 cos x sin x cos xdx
0
3
0
5
1 x2
ln 3
x
ln 2
3
0
x3
1
21.
10 x 2 dx
0
2x 1 1
ln x 1
dx
35.
0
cos xdx
38.
2 cos 2 x
2
1 3 cos x
xdx
2x 1
1 3 x 8 dx
dx
1 x
x
e 1
x 2 1
1
e
30.
1
1 3 ln x ln x
dx
x
0
33. x(e 2 x 3 x 1)dx
x 3 2 x 2 x dx
0
3
7 cos 2 x
27. 1
4
ln 2 x
cos xdx
0
5
4
32.
(1 x 2 ) 3
24. x 15
2
29. 12 x 4 x 8dx
dx
dx
1
1
e 1
31. x
0
dx
x
0
2
26. ln 3 dx
e 2 x dx
2 cos x
2
2
2
dx
18. sin 2 x sin x dx
0
x x 1
x 2 x 2 1
0
2
23.
x2 1
2
cos xdx
7
2
ln 2
2
0
0
37.
1 x2
20. x 3
1 x2
x 3 dx
0
15.
3
x 3 dx
19. 3
34.
x dx
(2 x 3) 4 x 2 12 x 5
x 2 2008
0
2
0
16. sin x cos x cos 2 x dx
12.
(1 x 2 ) 3
2
2
14.
dx
2
28.
dx
0
0
25.
1
1
2
dx
3
11.
1
2
1
(1 x 2 ) 3 dx
1
1 x
dx
1 x
0
2
5. x 2 2008dx
0
2
2
10.
1
1
1
7. x 2
dx
3.
x2 1
2
2
x x3 1
1
x
3
dx
4.
1
2
dx
1
cos 2 x
2 3tgx
cos 2 x
dx
cos 2 x
36.
cos xdx
39. 3
1 cos
0
2
ln 2
0
7
x
0
e x dx
(e x 1) 3
x2
x 3
dx
2a
40. x 2 a 2 dx
0
VI. MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bµi to¸n 0: Hµm sè f(x) liªn tôc trªn [-a; a], khi ®ã:
a
a
VÝ dô: Cho f(x) liªn tôc trªn [- 3
2
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
;
3
2
a
f ( x)dx [ f ( x) f ( x)]dx
0
] tháa m·n f(x) + f(-x) =
2 2 cos 2 x
,
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
3
2
a)TÝnh:
1
x 4 sin x
1 x 2 dx
1
b)TÝnh
f ( x)dx
3
2
a
Bµi to¸n 1: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ lÎ trªn [-a, a], khi ®ã:
f ( x)dx = 0.
a
2
1
VÝ dô: TÝnh:
a) ln( x 1 x 2 )dx
b) cos x ln( x 1 x 2 )dx
1
2
a
Bµi to¸n 2: Hµm sè y = f(x) liªn tôc vµ ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
a
f ( x)dx
a
1
x dx
VÝ dô: TÝnh a)
1
2
4
b)
2
x x 1
x cos x
dx
4 sin 2 x
2
Bµi to¸n 3: Cho hµm sè y = f(x) liªn tôc, ch½n trªn [-a, a], khi ®ã:
a)
2
x 1
dx
x
31 2
VÝ dô: TÝnh:
a)
b)
2
VÝ dô: TÝnh a)
2
b)
f (a b
a
0
sin x cos x
x
dx
1 sin x
0
a)
a
f (b
0
f (sin x)dx
0
x sin x
dx
2 cos x
0
b
x)dx f ( x )dx
0
4
x sin x
dx
a)
2
0 1 cos x
VÝ dô: TÝnh
dx
b)
b
x)dx f ( x)dx
2
sin x
Bµi to¸n 5: Cho f(x) x¸c ®Þnh trªn [-1; 1], khi ®ã: xf (sin x)dx
2
0
Bµi to¸n 6:
sin x sin 3 x cos 5 x
dx
1 ex
0
2
b
2
2
0
sin 2009 x
dx
2009
x cos 2009 x
0 sin
b
a
f ( x)
dx f ( x )dx
x
a1 b
0
f (sin x) f (cos x)dx
2
VÝ dô: TÝnh
a
Bµi to¸n 4: NÕu y = f(x) liªn tôc trªn [0; ], th×
0
�
3
= 2 f ( x) dx
b) sin 4 x ln(1 tgx )dx
0
Bµi to¸n 7: NÕu f(x) liªn tôc trªn R vµ tuÇn hoµn víi chu k× T th×:
a T
T
nT
f ( x)dx f ( x)dx
a
VÝ dô: TÝnh
C¸c bµi tËp ¸p dông:
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
0
T
f ( x)dx n f ( x)dx
0
0
2008
1
cos 2 x dx
0
TỔ: TOÁN
(1 b>0,
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
1.
1
2
1 x
dx
1 2x
4
2.
7
4
1
dx
2
1 (1 e )(1 x )
3.
x
2
1 x
) dx
5. cos 2 x ln(
1 x
1
tga
3
x x x x 1
dx
cos 4 x
1
2
5
6. sin(sin x nx)dx
7.
0
xdx
1 x
1
e
2
dx
x(1 x
2
1
e
)
1
2
cot ga
2
2
4.
2
x cos x
dx
2
x
4 sin
2
sin 5 x
1 cos x
dx 8.
(tga>0)
VII. TÍCH PHÂN HÀM GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:
3
2
2. x 2
1. x 2 1 dx
3
1
3. x x
4 x 3 dx
0
4.
m dx
0
2
sin x dx
2
5.
3
1 sin x dx
6. tg 2 x cot g 2 x 2dx
6
0
3
10. 2 x 4 dx
11. cos x cos x cos 3 x dx
0
2
2
3
9. ( x 2 x 2 )dx
x
2
8. 1 cos x dx
sin 2 x dx
4
5
4
7.
3
4
12.
2
3x 2dx
1
5
13. ( x 2 x 2 )dx
3
2
17. 1 sin xdx
0
2
14.
1
2
x2
1
2dx
x2
3
15. 2 4dx
x
0
16. 1 cos 2xdx
0
2
18. x 2 x dx
0
VIII. ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN:
C.TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
Ví dụ 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Ví dụ 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
a/ Đồ thị hàm số y = x + x -1 , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 1
b/ Đồ thị hàm số y = ex +1 , trục hoành , đường thẳng x = 0 và đường thẳng x = 1
c/ Đồ thị hàm số y = x3 - 4x , trục hoành , đường thẳng x = -2 và đường thẳng x = 4
d/ Đồ thị hàm số y = sinx , trục hoành , trục tung và đường thẳng x = 2
Bµi 1: Cho (p) : y = x2+ 1 vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + 2. T×m m ®Ó diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
hai ®êng trªn cã diÖn tÝch nhá nhÈt
Bµi 2: Cho y = x4- 4x2 +m (c) T×m m ®Ó h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (c) vµ 0x cã diÖn tÝch ë phÝa trªn 0x
vµ phÝa díi 0x b»ng nhau
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
3
x x
Bµi 3: X¸c ®Þnh tham sè m sao cho y = mx chia h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi y o x 1
y 0
Cã hai phÇn diÖn tÝch b»ng nhau
Bµi 4: (p): y2=2x chia h×nh ph¼ng giíi bëi x2+y2 = 8 thµnh hai phÇn.TÝnh diÖn tÝch mçi phÇn
x 2 2ax 3a 2
y
4
1
a
Bµi 5: Cho a > 0 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi
T×m a ®Ó diÖn tÝch lín nhÊt
2
y a ax
1 a 4
Bµi 6: Tính diện tích của các hình phẳng sau:
y x 2 4x 3
2.(H2) :
y x 3
3x 1
y x 1
3.(H3): y 0
x 0
y x
5.(H5):
2
y 2 x
y 2 x 5 0
6.(H6):
x y 3 0
y x 2 2x
8.(H8):
2
y x 4x
3
3
2
y x x
2
2
9.(H9):
y x
y 2 2y x 0
10.(H10):
x y 0
(C ) : y x
11. (d ) : y 2 x
(Ox)
(C ) : y e x
12. (d ) : y 2
() : x 1
y 2 2 x 1
13.
y x 1
y 4 x 2
14.
x 2 3 y 0
y x
15. x y 2 0
y 0
x2
y 4
4
1.(H1):
2
y x
4 2
y x 2
4.(H4):
2
x y
ln x
y 2 x
7.(H7): y 0
x e
x 1
x2
y
2
16.
y 1
1 x 2
y 2 2 x
17.
y x, y 0, y 3
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
y ln x, y 0
18. 1
x e , x e
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1
1
y
;
y
sin 2 x cos 2 x
19.
20.: y = 4x – x2 ; (p) vµ tiÕp tuyÕn cña (p) ®i qua M(5/6,6)
x ; x
6
3
2
2
y x 4x 5
21. y 2 x 4
y 4 x 11
y x 6 x 5
22. y x 2 4 x 3
y 3x 15
y / x 2 1 /
24.
y / x / 5
y x3
25.
2
y
x
y x 2
27.
y 4 x
y x 2 2x 2
28. y x 2 4 x 5
y 1
y x3
30. y 0
x 2; x 1
y sin x 2 cos x
31. y 3
x 0; x
2
y x
y 1
23.
x
y 0
x e
y 3 x 2 / x / 2
26.
y 0
y / x 2 1 /
29.
y x 2 7
2
y x 3
32.
x
y 0
y x 2x
33.
y x 2
y 2 x 2 2 x
34. y x 2 3x 6
x 0; x 4
y / x 2 5x 6 /
35.
y 6
y 2 x 2
36. y x 2 2 x 1
y 2
y / x 2 3x 2 /
37.
y 2
y / x 2 5x 6 /
38.
y x 1
2
2
y / x 3x 2 /
y x 2
39.
2
y / x 4 x 3 /
y 3
40.
x2
y 2 6
42.
x x
x 0; x 1
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
y sin/ x /
y / x /
43.
y e Ï
41. y e x
x 1
y 2 x 2
44. y x 2 4 x 4
y 8
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
y 2 x
45. 2 x 2 y 1 0
y 0
y ( x 1) 2
47.
x sin y
y 2 x 2 (a 2 x 2 )
46.
a 0
48.
49.
x ( y 1) 2
32. y sin x
x 0
x2
y 4
4
33.
2
y x
4 2
x 0;
1
34. x
2
x
; y 0
y
1 x4
y 5 x 2
35. y 0
x 0; y 3 x
y 2 6 x
36.
x 2 y 2 16
2
y x
2
x
37. y
27
27
y x
y 2 (4 x) 3
38.
y 2 4 x
y / log x /
39. y 0
1
x , x 10
10
ax y 2
40
ay x 2
y x
41. y sin 2 x x
0 x
y 2 2 x
42.
27 y 2 8( x 1) 2
43.x2/25+y2/9 = 1 vµ hai tiÕp tuyÕn ®i qua A(0;15/4)
2
2
y / x 1 /
x / y 1 /
x 2
x 2
(a>0)
44. Cho (p): y = x2 vµ ®iÓm A(2;5) ®êng th¼ng (d) ®i qua A cã hÖ sè gãc k .X¸c ®Þnh k ®Ó diÖn tÝch
h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi (p) vµ (d) nhá nhÊt
y x 3 2x 2 4x 3
45.
y 0
D.TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY
Công thức:
O
y
x a
a
x b
(C ) : y f ( x )
y 0
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
b
x
y
b
x 0
a
O
y b
(C ) : x f ( y )
y a
x
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
2
b
b
2
V f ( y ) dy
V f ( x) dx
a
a
2
Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y x; y 2 x; y 0
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Oy
Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y (x 2)2 và y = 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh:
a. Trục Ox
b. Trục Oy
Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : y 4 x 2 ; y x 2 2 .
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 5: Cho miền D giới hạn bởi các đường : y
1
x2
;
y
x2 1
2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 6: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = 2x2 và y = 2x + 4
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 7: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = y2 = 4x và y = x
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
1
x
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x 2 .e 2 ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các đường y = x ln(1 x ) ; y = 0 ; x = 1
Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox
3
y ( x 2) 2
1.
y 4
y x 2 , y 4 x 2
2.
y 4
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
1
y
2
3.
x 1
y 0, x 0, x 1
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
y 2 x x 2
4.
y 0
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
TỔ: TOÁN
TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
y x. ln x
5. y 0
x 1; x e
quay quanh trôc a) 0x;
y x 2 ( x 0)
6.(D) y 3x 10 quay quanh trôc a) 0x;
y 1
y x 2
7.
y x
( H) n»m ngoµi y = x2
quay quanh trôc a) 0x;
8. MiÒn trong h×nh trßn (x – 4)2 + y2 = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
9. MiÒn trong (E):
y xe Ï
10. y 0
x 1, ;0 x 1
x2 y2
1
9
4
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
quay quanh trôc 0x;
y cos 4 x sin 4 x
11. y 0
quay quanh trôc 0x;
x ; x
2
y x 2
12.
y 10 3x
quay quanh trôc 0x;
13. H×nh trßn t©m I(2;0) b¸n kÝnh R = 1 quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
4
14. y
x 4
x 0; x 2
y x 1
15. y 2
x 0; y 0
quay quanh trôc 0x;
quay quanh trôc a) 0x; b) 0y
GV: NGUYỄN THÀNH HƯNG
TỔ: TOÁN
- Xem thêm -
.DOC 
16 
484 
84 
