CHỦ ĐỀ 1. TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
A. LÝ THUYẾT
1. Hệ trục tọa độ trong không gian
Trong không gian, xét ba trục tọa độ Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một và chung một
điểm gốc O. Gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, tương ứng trên các trục Ox, Oy, Oz . Hệ ba trục như vậy
gọi là hệ trục tọa độ vuông góc trong không gian.
2 2 2
Chú ý:
. j i.=
k k=
.j 0.
i= j= k= 1 và i=
2. Tọa độ của vectơ
a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) ⇔ u = xi + y j + zk
b) Tính chất:
Cho a (a=
=
(b1 ; b2 ; b3 ), k ∈
1 ; a2 ; a3 ), b
• a ± b= (a1 ± b1 ; a2 ± b2 ; a3 ± b3 )
• ka = (ka1 ; ka2 ; ka3 )
a1 = b1
• a =⇔
b
b2
a2 =
a = b
3 3
• 0 (0;0;0),
=
=
i (1;0;0),
=
j (0;1;0),
=
k (0;0;1)
=
a kb (k ∈ )
• a cùng phương b (b ≠ 0) ⇔
a1 = kb1
a
a a
⇔ a2 = kb2
⇔ 1 = 2 = 3 , (b1 , b2 , b3 ≠ 0)
b1 b2 b3
a3 = kb3
• a.b = a1.b1 + a2 .b2 + a3 .b3
• a ⊥ b ⇔ a1b1 + a2b2 + a3b3 =
0
• a 2 = a12 + a22 + a32
• a=
a12 + a22 + a22
a1b1 + a2b2 + a3b3
a.b
• cos(a=
(với a , b ≠ 0 )
, b ) =
a .b
a12 + a22 + a32 . b12 + b22 + b32
3. Tọa độ của điểm
a) Định nghĩa: M ( x; y; z ) ⇔ OM = x.i + y. j + z.k
(x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ)
Chú ý:
• M ∈ ( Oxy ) ⇔ z =0; M ∈ ( Oyz ) ⇔ x =0; M ∈ ( Oxz ) ⇔ y =0
• M ∈ Ox ⇔ y = z = 0; M ∈ Oy ⇔ x = z = 0; M ∈ Oz ⇔ x = y = 0 .
b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; z A ), B( xB ; yB ; z B )
• AB =
( xB − x A ; y B − y A ; z B − z A )
• AB =
( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2 + ( z B − z A ) 2
x + x y + yB z A + z B
• Toạ độ trung điểm M của đoạn thẳng AB : M A B ; A
;
2
2
2
• Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC :
x + x + x y + yB + yC z A + z B + zC
G A B C ; A
;
3
3
3
• Toạ độ trọng tâm G của tứ diện ABCD :
x + x + x + xD y A + yB + yC + yD z A + z B + zC + zC
G A B C
;
;
4
4
4
4. Tích có hướng của hai vectơ
a) Định nghĩa: Trong không gian Oxyz cho hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) . Tích có hướng
của hai vectơ a và b, kí hiệu là a, b , được xác định bởi
Trang 1/22
a2 a3 a3 a1 a1 a2
a , b =
;
;
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 )
=
b2 b3 b3 b1 b1 b2
Chú ý: Tích có hướng của hai vectơ là một vectơ, tích vô hướng của hai vectơ là một số.
b) Tính
chất:
[ a, b] ⊥ b
• [a, b] ⊥ a;
• a, b = − b, a
j , k i =
• i , j k ;=
=
;
k , i j
• [a, b] = a . b .sin ( a , b ) (Chương trình nâng cao)
0 (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)
• a, b cùng phương ⇔ [a, b] =
c) Ứng dụng của tích có hướng: (Chươngtrình
cao)
nâng
• Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ: a, b và c đồng phẳng ⇔ [a, b].c = 0
• Diện tích hình bình hành ABCD :
S ABCD = AB, AD
1
• Diện tích tam giác ABC :
S ∆ABC = AB, AC
2
• Thể tích khối hộp ABCDA′B′C ′D′ :
VABCD. A ' B 'C ' D ' = [ AB, AD]. AA′
1
• Thể tích tứ diện ABCD :
VABCD = [ AB, AC ]. AD
6
Chú ý:
– Tích vô hướng của hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vuông góc, tính
góc giữa hai đường thẳng.
– Tích có hướng của hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ
diện, thể tích hình hộp; chứng minh các vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh các
vectơ cùng phương.
a ⊥ b⇔ a.b =
0
[
a vaø
b
cuø
n
g
phöông
⇔
a
,b] =
0
a , b , c ñoàng phaúng ⇔ [ a , b ] .c =
0
5. Một vài thao tác sử dụng máy tính bỏ túi (Casio Fx570 Es Plus, Casio Fx570 Vn Plus, Vinacal
570 Es Plus )
Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A ( x A ; y A ; z A ) , B ( xB ; yB ; z B ) , C ( xC ; yC ; zC ) , D ( xD ; yD ; z D )
w 8 1 1 (nhập vectơ AB
)
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C q53q54= (tính AB, AC )
C q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
Cqc(Abs) q53q54q57q55= (tính [ AB, AC ]. AD )
C1a6qc(Abs) q53q54q57q55=
1
(tính VABCD = [ AB, AC ]. AD
6
Trang 2/22
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
Câu 2.
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và
a.b
a.b
A. .
B. .
a.b
a.b
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0 ) và
=
b
A. 0.
B.
2
.
5
b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng
−a.b
a+b
C. .
D. .
a.b
a.b
( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ
C.
2
.
5
bằng
2
D. − .
5
Câu 4.
Cho vectơ a = (1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b =( −2; −6; −8 ) .
B. b =( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b =
Tích vô hướng của hai vectơ a =
( −2; 2;5) , b =
( 0;1; 2 ) trong không gian bằng
Câu 5.
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
Câu 3.
A.
Câu 6.
Câu 7.
( 2; −6; −8) .
B.
C. 10.
D. 12.
8.
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
A. − xi − y j − zk .
B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu a , b , được
xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
6.
D. ( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi
C.
Câu 8.
Câu 9.
A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
1.
B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 =
0.
C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
0.
Cho vectơ a= (1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là
D. u1v2 + u2 v3 + u3v1 =
−1 .
A. 6 .
B. 2.
C. − 6 .
D. 4.
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .
B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
A. ( 0;3; 4 ) .
B. ( 4;0;3) .
C. ( 2;0;1) .
D. ( −8;0; −6 ) .
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v bằng
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .
D. u.v.sin u , v .
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =−
(1; 1; 2 ) , b =
( 3;0; −1) , c =
( −2;5;1) , vectơ
m = a + b − c có tọa độ là
A. ( 6;0; −6 ) .
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
( )
( )
( )
( )
Trang 3/22
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.
21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C.
21, 14, 37 .
D.
21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A. ; ; − .
3 3 3
5 2 4
B. ; ; .
3 3 3
C. ( 5; 2; 4 ) .
5
D. ;1; −2 .
2
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D ( −2;5;0 ) .
B. D (1; 2;3) .
C. D (1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .
A. n = ( 6; 2;6 ) .
C. n = ( 0; 2;6 ) .
D. n =
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a =
(1; 2; 3), b =
(−2; 0;1), c =
(−1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n = a + b + 2c − 3i
=
n
B.
( 6; 2; −6 ) .
( −6; 2;6 ) .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2
1
A. G ;1;3 .
B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G 2; ;3 .
3
3
Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 ) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )
B. Q ( 2;3; 4 )
C. Q ( 3; 4; 2 )
D. Q ( −2; −3; −4 )
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M (1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .
C. Q ( 6; −5; 2 ) .
D. Q ( −6; −5; −2 ) .
Câu 22. Cho 3 điểm A (1;2;0 ) , B (1;0; −1) , C ( 0; −1;2 ) . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
B. tam giác cân đỉnh A .
C. tam giác vuông đỉnh A .
D. tam giác đều.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và=
a 2;=
b 4 . Khi đó a + b bằng
A.
B. 2 7.
C. 2 5.
D. 2 .
A. 2.
B. −3 .
C. 1.
D. 3.
A. M ′ ( 2;5;0 ) .
B. M ′ ( 0; −5;0 ) .
C. M ′ ( 0;5;0 ) .
D. M ′ ( −2;0;0 ) .
8 3 + 20.
Câu 25. Cho điểm M (1; 2; −3) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
Câu 26. Cho điểm M ( −2;5;0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
Câu 27. Cho điểm M (1; 2; −3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ (1; 2;0 ) .
B. M ′ (1;0; −3) .
C. M ′ ( 0; 2; −3) .
D. M ′ (1; 2;3) .
Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A. 29 .
B. 5 .
C. 2.
D. 26 .
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
Trang 4/22
A. IA
= IB + IC.
B. IA + IB + CI =
0.
→
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
đề sau, mệnh đề nào sai:
B. a = 2.
A. b ⊥ c.
C. IA + BI + IC =
0. D. IA + IB + IC =
0.
( −1;1;0 ) ;
→
→
b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) . Trong các mệnh
C. c = 3.
D. a ⊥ b.
Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .
B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .
D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Câu 32. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
B. 4.
C. 0.
D. 2.
A. 6.
Câu 33. Cho u = (1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .
B. 2 ± 3 .
C. 1 ± 3 .
D. 3 .
Câu 34. Cho A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
1 AB, AC . AD
1 AB, AC . AD
A. h =
B. h =
.
.
3
3 AB. AC
AB. AC
AB, AC . AD
AB, AC . AD
..
C. h =
D. h =
.
AB. AC
AB. AC
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
9
9
9
.
C.
.
D.
.
14
7
7 2
2
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
18
14
A. G −9; ; −30 .
B. G ( 8;12; 4 ) .
C. G 3;3; .
D. G ( 2;3;1) .
4
4
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
1
3
1 3
A. M ; ; .
B. M ;0;0 .
C. M ;0;0 .
D. M 0; ; .
2 2 2
2
2
2 2
Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3
A. M ( 0;0; 4 ) .
B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M 0;0; .
D. M ; ; .
2
2 2 2
là
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
A.
Câu 37.
Câu 38.
Câu 39.
Câu 40.
9
.
B.
9
9
9
9
.
B.
.
C. −
.
D. −
.
2 35
35
35
2 35
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a =
(2; −1; 2), b =−
(3; 2;1) là
A. n = ( 3; 4;1) .
B.
C. n =
D. n = ( 3; −4; −1) .
=
n ( 3; 4; −1) .
( −3; 4; −1) .
2π
Câu 42. Cho=
, u=
a 2;=
b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
k a − b; v =
a + 2b. Để u vuông
3
góc với v thì k bằng
A.
Trang 5/22
45
6
45
6
B.
C.
D. − .
.
.
.
6
6
45
45
Câu 43. Cho u =
( 2; −1;1) , v =( m;3; −1) , w =(1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A. −
3
.
8
Câu 44. Cho=
hai vectơ a
A.
Câu 45.
Câu 46.
Câu 47.
Câu 48.
3
B. − .
8
=
(1;log
3 5; m ) , b
8
8
.
D. − .
3
3
( 3;log5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
C.
A. m = 1; m = −1 .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
−5; y =
A.=
x 5;=
y 11 .
B. x =
11 .
C. x =
−11; y =
−5 .
D.
=
x 11;
=
y 5.
Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
B. tam giác cân tại A .
A. tam giác vuông tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B (0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
1
6
6
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
2
3
2
Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
A. 2 83 .
B.
Câu 49. Cho 3 vecto a = (1; 2;1) ; b =
phẳng
A. 2.
83
.
2
( −1;1; 2=
) và c ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
83 .
B. −1.
C. 83 .
C. −2.
→
→
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ =
a ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c =
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. (1;0;0 ) .
B. ( 0;0;1) .
C. ( 0;1;0 ) .
D.
D. 1.
( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ
x
D. ( 0;0;0 ) .
Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
8
1
8 8
8 8
A. 3; ; − .
B. 3; ; .
C. 3;3; − .
D. 1; 2; .
3
3
3 3
3 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị
bằng
A. 43..
B. 44..
C. 42..
D. 45.
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; −3;1) .
D. D(0;3; −1) .
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
8 5 8
5 8 8
5 8 8
8 8 5
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I (− ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
( −1;1;0 ) , b =
(1;1;0 ) , c =
(1;1;1) . Cho hình hộp
OA a=
, OB b , =
OC ' c . Thể tích của hình hộp nói trên
OABC.O′A′B′C ′ thỏa mãn điều kiện=
bằng:
Trang 6/22
1
2
B. 4
C.
D. 2
3
3
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , B (1;0;0 ) ,
A.
C ( 3;1;0 ) , D ( 0;2;1) . Cho các mệnh đề sau:
1) Độ dài AB = 2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C.1); 3).
D. 2), 1)
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a =
(1,1, 0); c =
( −1,1, 0 ) ; b =
(1,1,1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
6
A. cos b, c =
B. a + b + c =
.
0.
3
A. a, b, c đồng phẳng.
D. a.b = 1.
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B(−1;1; 2) ,
C (−1;1;0) , D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
( )
2
1
13
3 13
B.
C.
D.
.
.
.
.
2
13
13
13
Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
1
1
A. SI=
B. SI=
SA + SB + SC .
SA + SB + SC .
3
2
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC =
0.
Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(−2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
3
1
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
0
Cho hình chóp S . ABC có SA
= SB
= a, SC
= 3a, ASB
= CSB
= 60 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 5
a 7
a 15
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
A.
Câu 59.
(
Câu 60.
Câu 61.
Câu 62.
)
(
)
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D (1; 2;3) . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
27
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I ( 0; −1; −3) .
B. I (1;0;3)
C. I ( 0;1;3) .
D. I ( −1;0; −3) .
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
3
2
3
Trang 7/22
Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.
B. 1.
C. 2 .
D. 3 .
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
207
203
201
205
B.
C.
D.
.
.
.
3
3
3
3
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B(5;1; −2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
2 74
3 74
B.
C. 2 74.
D. 3 74.
A.
.
.
2
3
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3)
D(2; 2; −1) . Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z
A.
bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 6.
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B (−1; 2;0) , C (1;1; −2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
A.
B.
C.
D.
.
.
.
.
12
16
15
14
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
−3 + 177 17 − 177
3 − 177
A. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 − 177 17 + 177
3 + 177
B. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 + 177 17 − 177
3 + 177
C. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 + 177 17 + 177
3 − 177
D. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
Câu 72. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình vuông ABCD , B(3;0;8) , D(−5; −4;0) . Biết
đỉnh A thuộc mặt phẳng ( Oxy ) và có tọa độ là những số nguyên, khi đó CA + CB bằng:
A. 5 10.
B. 6 10.
C. 10 6.
D. 10 5.
Câu 73. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(5;3; −1) , B (2;3; −4) ,
C (3;1; −2) . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng:
A. 9 − 2 6.
B. 9 − 3 6.
C. 9 + 3 6.
D. 9 + 2 6.
Câu 74. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm M ( 3;0;0 ) , N ( m, n, 0 ) , P ( 0;0; p ) . Biết
600 , thể tích tứ diện OMNP bằng 3. Giá trị của biểu thức A =m + 2n 2 + p 2
=
MN =
13, MON
bằng
A. 29.
B. 27.
C. 28.
D. 30.
Câu 75. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . Gọi
I ( a; b; c ) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Tính giá trị biểu thức
P = 15a + 30b + 75c
A. 48.
B. 50.
C. 52.
D. 46.
Trang 8/22
Trang 9/22
C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
I – ĐÁP ÁN 8.1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
A B A C A D A C A A B D A C C A A D A B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B A A B D C A D D A C C B C D A D C A A
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
B D D C A A C A A D A B A C D A A B B D
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
A A B C A B D A A D A B B A B
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
Câu 1.
Câu 2.
II –HƯỚNG DẪN GIẢI
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos ϕ bằng
a
.b
−a.b
a.b
a+b
A. .
B. .
C. .
D. .
a.b
a.b
a.b
a.b
Gọi ϕ là góc giữa hai vectơ a = (1; 2;0 ) và
=
b ( 2;0; −1) , khi đó cos ϕ bằng
A. 0.
B.
2
.
5
C.
2
.
5
2
D. − .
5
Câu 4.
Cho vectơ a = (1;3; 4 ) , tìm vectơ b cùng phương với vectơ a
A. b =( −2; −6; −8 ) .
B. b =( −2; −6;8 ) .
C. b = ( −2;6;8 ) .
D. b =
Tích vô hướng của hai vectơ a =
( −2; 2;5) , b =
( 0;1; 2 ) trong không gian bằng
Câu 5.
A. 10.
B. 13.
C. 12.
D. 14.
Trong không gian cho hai điểm A ( −1; 2;3) , B ( 0;1;1) , độ dài đoạn AB bằng
Câu 3.
A.
Câu 6.
Câu 7.
( 2; −6; −8) .
C. 10.
D. 12.
8.
Trong không gian Oxyz , gọi i, j , k là các vectơ đơn vị, khi đó với M ( x; y; z ) thì OM bằng
A. − xi − y j − zk .
B. xi − y j − zk .
C. x j + yi + zk .
D. xi + y j + zk .
Tích có hướng của hai vectơ a = (a1 ; a2 ; a3 ) , b = (b1 ; b2 ; b3 ) là một vectơ, kí hiệu a , b , được
xác định bằng tọa độ
A. ( a2b3 − a3b2 ; a3b1 − a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
B. ( a2b3 + a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 + a2b1 ) .
6.
B.
D. ( a2b2 − a3b3 ; a3b3 − a1b1 ; a1b1 − a2b2 ) .
( a2b3 − a3b2 ; a3b1 + a1b3 ; a1b2 − a2b1 ) .
Cho các vectơ u = ( u1 ; u2 ; u3 ) và v = ( v1 ; v2 ; v3 ) , u.v = 0 khi và chỉ khi
C.
Câu 8.
Câu 9.
A. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
1.
B. u1 + v1 + u2 + v2 + u3 + v3 =
0.
C. u1v1 + u2 v2 + u3v3 =
0.
Cho vectơ a= (1; −1; 2 ) , độ dài vectơ a là
D. u1v2 + u2 v3 + u3v1 =
−1 .
A.
C. − 6 .
6.
B. 2.
D. 4.
Trang 10/22
Câu 10. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên trục Ox sao cho M không trùng với gốc tọa
độ, khi đó tọa độ điểm M có dạng
A. M ( a;0;0 ) , a ≠ 0 . B. M ( 0; b;0 ) , b ≠ 0 . C. M ( 0;0; c ) , c ≠ 0 . D. M ( a;1;1) , a ≠ 0 .
Câu 11. Trong không gian Oxyz , cho điểm M nằm trên mặt phẳng ( Oxy ) sao cho M không trùng với
gốc tọa độ và không nằm trên hai trục Ox, Oy , khi đó tọa độ điểm M là ( a, b, c ≠ 0 )
A. ( 0; b; a ) .
B. ( a; b;0 ) .
C. ( 0;0; c ) .
D. ( a;1;1)
Câu 12. Trong không gian Oxyz , cho a = ( 0;3; 4 ) và b = 2 a , khi đó tọa độ vectơ b có thể là
B. ( 4;0;3) .
A. ( 0;3; 4 ) .
C. ( 2;0;1) .
D. ( −8;0; −6 ) .
Câu 13. Trong không gian Oxyz cho hai vectơ u và v , khi đó u , v bằng
A. u . v .sin u , v .
B. u . v .cos u , v .
C. u.v.cos u , v .
D. u.v.sin u , v .
Câu 14. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ a =−
(1; 1; 2 ) , b =
( 3;0; −1) , c =
( −2;5;1) , vectơ
m = a + b − c có tọa độ là
A. ( 6;0; −6 ) .
B. ( −6;6;0 ) .
C. ( 6; −6;0 ) .
D. ( 0;6; −6 ) .
( )
( )
( )
( )
Câu 15. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Độ dài các cạnh
AB, AC , BC của tam giác ABC lần lượt là
A.
21, 13, 37 .
B. 11, 14, 37 .
C.
21, 14, 37 .
D.
21, 13, 35 .
Câu 16. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1;0; −3) , B ( 2; 4; −1) , C ( 2; −2;0 ) . Tọa độ trọng tâm G
của tam giác ABC là
5 2 4
A. ; ; − .
3 3 3
5 2 4
B. ; ; .
3 3 3
C. ( 5; 2; 4 ) .
5
D. ;1; −2 .
2
Câu 17. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (1; 2;0 ) , B ( −1;1;3) , C ( 0; −2;5 ) . Để 4 điểm A, B, C , D
đồng phẳng thì tọa độ điểm D là
A. D ( −2;5;0 ) .
B. D (1; 2;3) .
C. D (1; −1;6 ) .
D. D ( 0;0; 2 ) .
Hướng dẫn giải
Cách 1:Tính AB, AC . AD = 0
Cách 2: Lập phương trình (ABC) và thế toạ
trình tìm
độ D vào phương
được.
Câu 18. Trong không gian Oxyz , cho ba vecto a =
(1; 2; 3), b =
(−2; 0;1), c =
(−1; 0;1) . Tìm tọa độ của
vectơ n = a + b + 2c − 3i
A. n = ( 6; 2;6 ) .
=
n
B.
( 6; 2; −6 ) .
C. n = ( 0; 2;6 ) .
D. n =
( −6; 2;6 ) .
Câu 19. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4) . Tìm tọa độ
trọng tâm G của tam giác ABC
2
1
A. G ;1;3 .
B. G ( 2;3;9 ) .
C. G ( −6;0; 24 ) .
D. G 2; ;3 .
3
3
Câu 20. Cho 3 điểm M ( 2;0;0 ) , N ( 0; −3;0 ) , P ( 0;0;4 ) . Nếu MNPQ là hình bình hành thì tọa độ của
điểm Q là
A. Q ( −2; −3; 4 )
B. Q ( 2;3; 4 )
C. Q ( 3; 4; 2 )
D. Q ( −2; −3; −4 )
Hướng dẫn giải
x=2
Gọi Q ( x; y; z ) , MNPQ là hình bình hành thì MN = QP ⇔ y = 3
z − 4 =
0
Trang 11/22
Câu 21. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm M (1;1;1) , N ( 2;3; 4 ) , P ( 7;7;5 ) . Để tứ giác MNPQ
là hình bình hành thì tọa độ điểm Q là
A. Q ( −6;5; 2 ) .
B. Q ( 6;5; 2 ) .
C. Q ( 6; −5; 2 ) .
D. Q ( −6; −5; −2 ) .
Hướng dẫn giải
Điểm Q ( x; y; z )
MN = (1; 2;3) , QP =( 7 − x;7 − y;5 − z )
Vì MNPQ là hình bình hành nên MN
= QP ⇒ Q ( 6;5; 2 )
Câu 22. Cho 3 điểm A (1;2;0 ) , B (1;0; −1) , C ( 0; −1;2 ) . Tam giác ABC là
A. tam giác có ba góc nhọn.
C. tam giác vuông đỉnh A .
B. tam giác cân đỉnh A .
D. tam giác đều.
Hướng
dẫn giải
AB = (0; −2; −1); AC = ( −1; −3;2) . Ta thấy AB. AC ≠ 0 ⇒ ∆ABC không vuông.
AB ≠ AC ⇒ ∆ABC không cân.
Câu 23. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( −1; 2; 2 ) , B ( 0;1;3) , C ( −3; 4;0 ) . Để tứ giác
ABCD là hình bình hành thì tọa độ điểm D là
A. D ( −4;5; −1) .
B. D ( 4;5; −1) .
C. D ( −4; −5; −1) .
D. D ( 4; −5;1) .
Hướng dẫn giải
Điểm D ( x; y; z )
AB= (1; −1;1) , DC = ( −3 − x; 4 − y; − z )
Vì ABCD là hình bình hành nên AB = DC ⇒ D ( −4;5; −1)
Câu 24. Cho hai vectơ a và b tạo với nhau góc 600 và=
a 2;=
b 4 . Khi đó a + b bằng
A.
C. 2 5.
D. 2 .
Hướng dẫn giải
2 2 2
Ta có a + b = a + b + 2 a b .cos a, b = 4 + 16 + 8 = 28 ⇒ a + b = 2 7.
8 3 + 20.
B. 2 7.
( )
Câu 25. Cho điểm M (1; 2; −3) , khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ( Oxy ) bằng
A. 2.
B. −3 .
C. 1.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , ( Oxy ) ) =
c
D. 3.
Câu 26. Cho điểm M ( −2;5;0 ) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Oy là điểm
A. M ′ ( 2;5;0 ) .
B. M ′ ( 0; −5;0 ) .
C. M ′ ( 0;5;0 ) .
D. M ′ ( −2;0;0 ) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên trục Oy là M 1 ( 0; b;0 )
Câu 27. Cho điểm M (1; 2; −3) , hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ (1; 2;0 ) .
B. M ′ (1;0; −3) .
C. M ′ ( 0; 2; −3) .
D. M ′ (1; 2;3) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ hình chiếu vuông góc của M lên mặt phẳng ( Oxy ) là M 1 ( a; b;0 )
Câu 28. Cho điểm M ( −2;5;1) , khoảng cách từ điểm M đến trục Ox bằng
A.
29 .
B.
5.
C. 2.
Hướng dẫn giải
D.
26 .
Trang 12/22
Với M ( a; b; c ) ⇒ d ( M , Ox ) =
b2 + c2
Câu 29. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳngthức
đúng
A. IA
B. IA + IB + CI =
C. IA + BI + IC =
0.
0. D. IA + IB + IC =
0.
= IB + IC.
→
Câu 30. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
đề sau, mệnh đề nào sai:
A. b ⊥ c.
B. a = 2.
( −1;1;0 ) ;
→
→
b = (1;1;0 ) ; c = (1;1;1) . Trong các mệnh
C. c = 3.
D. a ⊥ b.
Hướng dẫn giải
Vì b.c= 2 ≠ 0.
Câu 31. Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là điểm
A. M ′ ( 3; −2;1) .
B. M ′ ( 3; −2; −1) .
C. M ′ ( 3; 2;1) .
D. M ′ ( 3; 2;0 ) .
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua mặt phẳng ( Oxy ) là M ( a; b; −c )
Câu 32.
Cho điểm M ( 3; 2; −1) , điểm M ′ ( a; b; c ) đối xứng của M qua trục Oy , khi đó a + b + c bằng
B. 4.
C. 0.
D. 2.
Hướng dẫn giải
Với M ( a; b; c ) ⇒ điểm đối xứng của M qua trục Oy là M ′ ( −a; b; −c )
A. 6.
⇒ M ′ ( −3; 2;1) ⇒ a + b + c =
0.
Câu 33. Cho u = (1;1;1) và v = ( 0;1; m ) . Để góc giữa hai vectơ u , v có số đo bằng 450 thì m bằng
A. ± 3 .
cos ϕ=
1.0 + 1.1 + 1.m
=
3. m 2 + 1
B. 2 ± 3 .
C. 1 ± 3 .
D. 3 .
Hướng dẫn giải
m ≥ −1
1
⇔ 2 ( m + 1)= 3 m 2 + 1 ⇔
2
2
2
3 ( m + 1)= 2 ( m + 1)
⇔ m =2 ± 3
Câu 34.
Cho A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Thể tích của tứ diện ABCD bằng
A. 5.
B. 4.
C. 3.
D. 6.
Hướng dẫn giải
Tính AB =
( 2;5; 2 ) , AC =
( −2; 4; 2 ) , AD =
( 2;5;1)
1
AB, AC . AD 3
=
V =
6
Sử dụng Casio
w 8 1 1 (nhập vectơ AB
)
q 5 2 2 2 (nhập vectơ AC )
q 5 2 3 1 (nhập vectơ AD )
C1a6qc(abs) q53q54q57q55= (tính V )
Câu 35. Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD . Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD
cho bởi công thức nào sau đây:
,
.
AB
AC
AD
1 AB, AC . AD
1
A. h =
B. h =
.
.
3
3 AB. AC
AB. AC
AB, AC . AD
AB, AC . AD
C. h =
D. h =
..
.
AB. AC
AB. AC
Hướng dẫn giải
Trang 13/22
AB, AC . AD
1 1
1
AB, AC . AD nên h =
Vì VABCD =
=
h. AB. AC
.
3 2
6
AB. AC
Câu 36. Trong không gian tọa độ Oxyz , cho bốn điểm A (1; −2;0 ) , B ( 3;3; 2 ) , C ( −1; 2; 2 ) , D ( 3;3;1) . Độ
dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống mặt phẳng ( ABC ) là
9
9
.
D.
.
14
2
7 2
Hướng dẫn giải
Tính AB ( 2;5; 2 ) , AC ( −2; 4; 2 ) , AD ( 2;5;1)
1
AB, AC . AD 3
=
V =
6
1
1
AB, AC
7 2 , h = d ( D, ( ABC ) )
V = B.h , với
B S=
=
=
∆ABC
3
2
3V
3.3
9
⇒ h=
=
=
B 7 2 7 2
Câu 37. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0; 2), B (−2;1;3), C (3; 2; 4), D(6;9; −5) . Tìm
tọa độ trọng tâm G của tứ diện ABCD
14
18
B. G ( 8;12; 4 ) .
C. G 3;3; .
D. G ( 2;3;1) .
A. G −9; ; −30 .
4
4
Câu 38. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (2; −1; 2) . Điểm M trên trục Ox và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
1 1 3
3
1
1 3
A. M ; ; .
B. M ;0;0 .
C. M ;0;0 .
D. M 0; ; .
2 2 2
2
2
2 2
Hướng dẫn giải
M ∈ Ox ⇒ M ( a;0;0 )
A.
9
.
B.
9
.
7
C.
M cách đều hai điểm A, B nên MA2 = MB 2 ⇔ (1 − a ) + 22 + 12 = ( 2 − a ) + 22 + 12
2
2
3
2
Câu 39. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(1; 2;1), B (3; −1; 2) . Điểm M trên trục Oz và cách đều
hai điểm A, B có tọa độ là
3
3 1 3
A. M ( 0;0; 4 ) .
B. M ( 0;0; −4 ) .
C. M 0;0; .
D. M ; ; .
2
2 2 2
là
Câu 40. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(−1; −2;3), B (0;3;1), C (4; 2; 2) . Cosin của góc BAC
⇔ 2a = 3 ⇔ a =
9
9
9
9
.
B.
.
C. −
.
D. −
.
35
2 35
2 35
35
Câu 41. Tọa độ của vecto n vuông góc với hai vecto a =
(2; −1; 2), b =−
(3; 2;1) là
A. n = ( 3; 4;1) .
B.
C. n =
D. n = ( 3; −4; −1) .
=
n ( 3; 4; −1) .
( −3; 4; −1) .
2π
Câu 42. Cho=
, u=
a 2;=
b 5, góc giữa hai vectơ a và b bằng
k a − b; v =
a + 2b. Để u vuông
3
góc với v thì k bằng
6
45
45
6
A. − .
B.
C.
D. − .
.
.
45
6
45
6
Hướng dẫn giải
A.
Trang 14/22
u.v = k a − b
(
)( a + 2b ) = 4k − 50 + ( 2k − 1) a b cos 23π
=
−6k − 45
Câu 43. Cho u =
( 2; −1;1) , v =( m;3; −1) , w =(1; 2;1) . Với giá trị nào của m thì ba vectơ trên đồng phẳng
A.
3
.
8
3
B. − .
8
8
.
3
Hướng dẫn giải
u , v .w =
3m + 8
C.
8
D. − .
3
u , v =
( −2; m + 2; m + 6 ) ,
8
đồng phẳng ⇔ u , v .w =⇔
−
0
m=
3
Câu 44. Cho=
hai vectơ a (1;log
=
( 3;log5 3; 4 ) . Với giá trị nào của m thì a ⊥ b
3 5; m ) , b
Ta có:
u , v, w
A. m = 1; m = −1 .
B. m = 1 .
C. m = −1 .
D. m = 2; m = −2 .
Câu 45. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(2;5;3), B(3;7; 4), C ( x; y;6) . Giá trị của x, y để ba điểm
A, B, C thẳng hàng là
A.=
B. x =
C. x =
D.
x 5;=
y 11 .
−5; y =
11 .
−11; y =
−5 .
=
x 11;
=
y 5.
Hướng dẫn giải
AB =(1; 2;1) , AC =( x − 2; y − 5;3)
x −2 y −5 3
A, B, C thẳng hàng ⇔ AB, AC cùng phương ⇔
=
= ⇔ x = 5; y = 11
1
2
1
Câu 46. Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC là
A. tam giác vuông tại A .
B. tam giác cân tại A .
C. tam giác vuông cân tại A .
D. Tam giác đều.
Hướng
dẫn
giải
BA = (1;0; −1) , CA = ( −1; −1; −1) , CB = ( −2; −1;0 )
BA.CA= 0 ⇒ tam giác vuông tại A , AB ≠ AC .
Câu 47. Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC có A(1;0;0), B(0;0;1), C (2;1;1) . Tam giác ABC có
diện tích bằng
6
6
1
A. 6 .
B.
.
C.
.
D. .
3
2
2
Hướng dẫn giải
1
6
AB. AC
=
AB =
(1;1;1
) . S∆ABC =
( −1;0;1) , AC =
2
2
Câu 48. Ba đỉnh của một hình bình hành có tọa độ là (1;1;1) , ( 2;3; 4 ) , ( 7;7;5 ) . Diện tích của hình bình
hành đó bằng
A. 2 83 .
B.
83 .
C. 83 .
D.
Hướng dẫn giải
83
.
2
Gọi 3 đỉnh theo thứ tự là A, B, C
=
AB (1;
=
2;3) , AC ( 6;6; 4 )
2
2
S hbh = AB, AC = ( −10 ) + 142 + ( −6 ) = 2 83
Câu 49. Cho 3 vecto a = (1; 2;1) ; b = ( −1;1; 2=
) và c ( x;3x; x + 2 ) . Tìm x để 3 vectơ a, b, c đồng
phẳng
A. 2.
B. −1.
C. −2.
Hướng dẫn giải
D. 1.
a, b, c đồng phẳng thì a, b .c = 0 ⇒ x = 2.
Trang 15/22
→
→
Câu 50. Trong không gian Oxyz cho ba vectơ =
a ( 3; −2; 4 ) , b = ( 5;1;6 ) , c =
sao cho vectơ x đồng thời vuông góc với a, b, c
A. (1;0;0 ) .
B. ( 0;0;1) .
C. ( 0;1;0 ) .
( −3;0; 2 ) . Tìm vectơ
x
D. ( 0;0;0 ) .
Hướng
dẫn
giải
Dễ thấy chỉ có x = (0;0;0) thỏa mãn x=
.a x=
.b x=
.c 0.
Câu 51. Trong không gian Oxyz , cho 2 điểm B(1; 2; −3) , C (7; 4; −2) . Nếu E là điểm thỏa mãn đẳng
thức CE = 2 EB thì tọa độ điểm E là
8
1
8 8
8 8
A. 3; ; − .
B. 3; ; .
C. 3;3; − .
D. 1; 2; .
3
3
3 3
3 3
Hướng dẫn giải
x = 3
8
E ( x; y; z ) , từ CE = 2 EB ⇒ y =
.
3
8
z = − 3
Câu 52. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(1; 2; −1) , B(2; −1;3) , C (−2;3;3) .
Điểm M ( a; b; c ) là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM , khi đó P = a 2 + b 2 − c 2 có giá trị
bằng
A. 43..
B. 44..
C. 42..
Hướng dẫn giải
M ( x; y; z ) , ABCM là hình bình hành thì
D. 45.
x − 1 =−2 − 2
AM = BC ⇒ y − 2 = 3 + 1 ⇒ M (−3;6; −1) ⇒ P = 44. .
z +1 = 3 − 3
Câu 53. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A(1; 2; −1) , B (2; −1;3) , C (−2;3;3) . Tìm
tọa độ điểm D là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC
A. D(0;1;3) .
B. D(0;3;1) .
C. D(0; −3;1) .
D. D(0;3; −1) .
Hướng dẫn giải
Ta có =
AB
26, =
AC
26 ⇒ tam giác ABC cân ở A nên D là trung điểm BC
⇒ D(0;1;3).
Câu 54. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho các điểm A(−1;3;5) , B(−4;3;2) , C(0;2;1) . Tìm tọa
độ điểm I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
5 8 8
5 8 8
8 8 5
8 5 8
A. I ( ; ; ) .
B. I ( ; ; ) .
C. I (− ; ; ).
D. I ( ; ; ) .
3 3 3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
Hướng dẫn giải
= BC
= CA
= 3 2 ⇒ ∆ABC đều. Do đó tâm I của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC
Ta có: AB
5 8 8
là trọng tâm của nó. Kết luận: I − ; ; .
3 3 3
Câu 55. Trong không gian Oxyz , cho 3 vectơ a =
( −1;1;0 ) , b =
(1;1;0 ) , c =
(1;1;1) . Cho hình hộp
OA a=
, OB b , =
OC ' c . Thể tích của hình hộp nói trên
OABC.O′A′B′C ′ thỏa mãn điều kiện=
bằng:
1
2
A.
B. 4
C.
D. 2
3
3
Hướng
dẫn giải
OA =a , ⇒ A( −1;1;0), OB =b ⇒ B(1;1;0), OC ' =c ⇒ C '(1;1;1)
Trang 16/22
OA, OB OO '
AB =
OC ⇒ C (2;0;0) ⇒ CC ' =
( −1;1;1) =
OO ' ⇒ VOABC .O ' A ' B ' C ' =
Câu 56. Trong không gian với hệ trục Oxyz cho tọa độ 4 điểm A ( 2; −1;1) , B (1;0;0 ) ,
C ( 3;1;0 ) , D ( 0;2;1) . Cho các mệnh đề sau:
1) Độ dài AB = 2 .
2) Tam giác BCD vuông tại B .
3) Thể tích của tứ diện ABCD bằng 6 .
Các mệnh đề đúng là:
A. 2).
B. 3).
C.1); 3).
D. 2), 1)
Câu 57. Trong không gian Oxyz , cho ba vectơ a =
(1,1, 0); c =
( −1,1, 0 ) ; b =
(1,1,1) . Trong các mệnh đề
sau, mệnh đề nào đúng:
6
A. cos b, c =
.
3
A. a, b, c đồng phẳng.
B. a + b + c =
0.
D. a.b = 1.
Hướng dẫn giải
( )
b.c
cos(b, c) =
b.c
Câu 58. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD , biết A(1;0;1) , B(−1;1; 2) ,
C (−1;1;0) , D(2; −1; −2) . Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD bằng:
A.
2
.
13
13
.
2
Hướng dẫn giải
AB, AC . AD
1
=
.
13
AB. AC
B.
Sử dụn=
g công thức h
1
.
13
C.
D.
3 13
.
13
Câu 59. Cho hình chóp tam giác S . ABC với I là trọng tâm của đáy ABC . Đẳng thức nào sau đây là
đẳng thức đúng
1
1
A. SI=
B. SI=
SA + SB + SC .
SA + SB + SC .
3
2
C. SI = SA + SB + SC.
D. SI + SA + SB + SC =
0.
Hướng dẫn giải
SI
= SA + AI
SI = SB + BI ⇒ 3SI = SA + SB + SB + AI + BI + CI
= SC + CI
SI
1
Vì I là trọng tâm tam giác ABC ⇒ AI + BI + CI =0 ⇒ SI = SA + SB + SC .
3
Câu 60. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(1;0;0), B(0;1;0), C (0;0;1), D(−2;1; −1) . Thể
tích của tứ diện ABCD bằng
1
3
A. .
B. 3 .
C. 1 .
D. .
2
2
Hướng dẫn giải
1
Thể tích tứ diện: VABCD = AB, AC . AD
6
Câu 61. Cho hình chóp S . ABC có SA
= SB
= a, SC
= 3a,
ASB
= CSB
= 600 , CSA
= 900 . Gọi G là trọng
tâm tam giác ABC . Khi đó khoảng cách SG bằng
a 15
a 5
a 7
A.
.
B.
.
C.
.
D. a 3 .
3
3
3
(
)
(
)
(
)
(
)
Trang 17/22
Hướng dẫn giải
SA a=
, SB b=
, SC c và có
Áp dụng công thức tổng quát: Cho hình chóp S . ABC có=
β=
γ . Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, khi đó
=
ASB α=
, BSC
, CSA
1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
Chứng minh:
1
Ta có: SG=
SA + SB + SC
3
2 2 2 2
SA + SB + SC = SA + SB + SC + 2 SA.SB + 2 SA.SC + 2 SB.SC
SG
=
(
(
)
)
1 2
a + b 2 + c 2 + 2ab cos α + 2ac cos γ + 2bcβ
3
a 15
Áp dụng công thức trên ta tính được SG =
3
Câu 62. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MB − 2 AC đạt giá trị nhỏ nhất thì m bằng
Khi đó SG
=
A. 2.
B. 3 .
C. 1.
D. 4.
Hướng
dẫn
giải
AC ( −1; −3; −2 ) , MB ( −2 − m; − 6 − m; 2 − m )
2
2
MB − 2 AC = m 2 + m 2 + ( m − 6 ) = 3m 2 − 12m + 36 = 3 ( m − 2 ) + 24
Để MB − 2 AC nhỏ nhất thì m = 2
Câu 63. Trong không gian tọa độ Oxyz cho ba điểm A ( 2;5;1) , B ( −2; −6; 2 ) , C (1; 2; −1) và điểm
M ( m; m; m ) , để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m bằng
A. 3.
B. 4.
C. 2.
D. 1.
Hướng
dẫn
giải
MA = ( 2 − m;5 − m;1 − m ) , MB = ( −2 − m; −6 − m; 2 − m ) , MC = (1 − m; 2 − m; −1 − m )
MA2 − MB 2 − MC 2 =
−3m 2 − 24m − 20 =
28 − 3 ( m − 4 ) ≤ 28
2
Để MA2 − MB 2 − MC 2 đạt giá trị lớn nhất thì m = 4
Câu 64. Cho hình chóp S . ABCD biết A ( −2; 2;6 ) , B ( −3;1;8 ) , C ( −1;0;7 ) , D (1; 2;3) . Gọi H là trung
điểm của CD, SH ⊥ ( ABCD ) . Để khối chóp S . ABCD có thể tích bằng
27
(đvtt) thì có hai
2
điểm S1 , S 2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2
A. I ( 0; −1; −3) .
B. I (1;0;3)
C. I ( 0;1;3) .
D. I ( −1;0; −3) .
Hướng dẫn giải
1
3 3
Ta có AB = ( −1; −1; 2 ) , AC = (1; −2;1) ⇒ S ABC = AB, AC =
2
2
DC = ( −2; −2; 4 ) , AB = ( −1; −1; 2 ) ⇒ DC = 2. AB ⇒ ABCD là hình thang và
S=
3=
S ABC
ABCD
9 3
2
1
SH .S ABCD ⇒
=
SH 3 3
3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0;1;5 )
Gọi S ( a; b; c ) ⇒ SH =
k AB, AC =
k ( 3;3;3) =
( −a;1 − b;5 − c ) ⇒ SH =
( 3k ;3k ;3k )
Vì V=
S . ABCD
Trang 18/22
Suy ra 3 3 = 9k 2 + 9k 2 + 9k 2 ⇒ k =
±1
+) Với k =1 ⇒ SH = ( 3;3;3) ⇒ S ( −3; −2; 2 )
+) Với k =−1 ⇒ SH =−
( 3; −3; −3) ⇒ S ( 3; 4;8)
Suy ra I ( 0;1;3)
Câu 65. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A(2; −1;7), B(4;5; −2) . Đường thẳng AB cắt mặt phẳng
(Oyz ) tại điểm M . Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số nào
1
1
2
A. .
B. 2 .
C. .
D. .
2
3
3
Hướng dẫn giải
Đường thẳng AB cắt mặt phẳng (Oyz ) tại điểm M ⇒ M (0; y; z )
⇒ MA= (2; −1 − y;7 − z ), MB= (4;5 − y; −2 − z )
2 = k .4
1
Từ MA = k MB ta có hệ −1 − =
y k (5 − y ) ⇒ =
k
2
−
=
−
−
z
k
z
7
2
(
)
Câu 66. Trong không gian Oxyz , cho tứ diện ABCD có A(2;1; −1), B(3;0;1), C(2; −1;3) và D thuộc
trục Oy . Biết VABCD = 5 và có hai điểm D1 ( 0; y1 ;0 ) , D2 ( 0; y2 ;0 ) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Khi đó y1 + y2 bằng
A. 0.
B. 1 .
C. 2 .
Hướng dẫn giải
D. 3 .
D ∈ Oy ⇒ D(0; y;0)
Ta có: AB =
(1; −1; 2 ) , AD =
( −2; y − 1;1) , AC =
( 0; −2; 4 )
⇒ AB. AC =( 0; −4; −2 ) ⇒ AB. AC . AD =−4 y + 2
1
VABCD = 5 ⇔ −4 y + 2 = 5 ⇔ y =−7; y = 8 ⇒ D1 ( 0; −7;0 ) , D2 ( 0;8;0 ) ⇒ y1 + y2 =
1
6
Câu 67. Trong không gian Oxyz , cho tam giác ABC có A(−1; 2; 4), B(3;0; −2), C(1;3;7) . Gọi D là
chân đường phân giác trong của góc A . Tính độ dài OD .
A.
207
.
3
Gọi D ( x; y; z )
B.
203
3
201
.
3
Hướng dẫn giải
C.
D.
205
.
3
DB AB 2 14
= =
= 2
DC AC
14
5
3 − x =−2 (1 − x )
x = 3
Vì D nằm giữa B, C (phân giác trong) nên DB =−2 DC ⇔ − y =−2 ( 3 − y ) ⇔ y =2
z = 4
−2 − z =−2 ( 7 − z )
205
5
Suy ra D ; 2; 4 ⇒ OD =
3
3
Câu 68. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tam giác ABC , biết A(1;1;1) , B(5;1; −2) , C (7;9;1) .
Tính độ dài phân giác trong AD của góc A
2 74
3 74
A.
B.
C. 2 74.
D. 3 74.
.
.
3
2
Hướng dẫn giải
Trang 19/22
D( x; y; z ) là chân đường phân giác trong góc A của tam giác ABC .
DB AB 1
17 11
2 74
Ta có
= = ⇒ DC =−2 DB ⇒ D( ; ; −1) ⇒ AD =
.
DC AC 2
3 3
3
Câu 69. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho 4 điểm A(2; 4; −1) , B (1; 4; −1) , C (2; 4;3)
D(2; 2; −1) . Biết M ( x; y; z ) , để MA2 + MB 2 + MC 2 + MD 2 đạt giá trị nhỏ nhất thì x + y + z
bằng
A. 7.
B. 8.
C. 9.
D. 6.
Hướng dẫn giải
7 14
Gọi G là trọng tâm của ABCD ta có: G ; ;0 .
3 3
2
2
2
2
Ta có: MA + MB + MC + MD = 4 MG 2 + GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2
7 14
≥ GA2 + GB 2 + GC 2 + GD 2 . Dấu bằng xảy ra khi M ≡ G ; ;0 ⇒ x + y + z =
7.
3 3
Câu 70. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho ba điểm A(2;3;1) , B(−1; 2;0) , C (1;1; −2) . H là
trực tâm tam giác ABC , khi đó, độ dài đoạn OH bằng
870
870
870
870
B.
C.
D.
A.
.
.
.
.
14
16
12
15
Hướng dẫn giải
H ( x; y; z ) là trực tâm của ∆ABC ⇔ BH ⊥ AC , CH ⊥ AB, H ∈ ( ABC )
BH . AC = 0
2
29
1
870
2 29 1
0
⇔ CH . AB =
⇔ x =; y = ; z =
− ⇒ H ; ; − ⇒ OH = .
15
15
3
15
15 15 3
,
.
0
AB
AC
AH
=
Câu 71. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC có A(3;1;0) , B nằm trên mặt
phẳng (Oxy ) và có hoành độ dương, C nằm trên trục Oz và H (2;1;1) là trực tâm của tam giác
ABC . Toạ độ các điểm B , C thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
−3 + 177 17 − 177
3 − 177
A. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 − 177 17 + 177
3 + 177
B. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 + 177 17 − 177
3 + 177
C. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
−3 + 177 17 + 177
3 − 177
D. B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
Hướng dẫn giải
Giả sử B( x; y;0) ∈ (Oxy ), C (0;0; z ) ∈ Oz .
AH ⊥ BC
AH .BC = 0
⇔ CH . AB = 0
H là trực tâm của tam giác ABC ⇔ CH ⊥ AB
AB, AC , AH ñoàng phaúng
AB, AH . AC = 0
0
x + z =
−3 − 177
17 + 177
3 + 177
⇔ 2x + y − 7 =
⇔ x
0=
=
;y =
;z
4
2
4
3x − 3 y + yz − z =
0
−3 − 177 17 + 177
3 + 177
⇒ B
;
;0 , C 0;0;
.
4
2
4
Trang 20/22
- Xem thêm -
.PDF 
22 
37 
73 
