Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
HÌNH HỌC 10
Chương I : VECTƠ
§1: CÁC ĐỊNH NGHĨA
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng .
+ Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được
kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB).
+ Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,...
B
A
b
a
(Chú ý: AB BA )
+ Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ):
Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0
Ví dụ: MM , AA ,....
+ Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ
không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó.
+ Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ.
+ Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau.
Chú ý:
+ Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí
hiệu là | a |,
| AB | AB BA
Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
Nếu a bằng b thì ta viết a = b .
AA BB = 0 , | 0 |= 0.
Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm
A
a) Tất các vectơ khác 0 ;
b) Các vectơ cùng phương;
c) Các vectơ bằng nhau.
B
o
D
Các kí hiệu thường gặp
AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD
AB cùng hướng CD kí hiệu: AB CD
AB ngược hướng CD kí hiệu: AB CD
-1-
C
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng
Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA
Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm
cuối là các điểm đó.
Giải
Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E},
{D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0
Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho:
AM cùng phương a
Giải
m
Gọi là giá của a
a
Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//
Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //
Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a
Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau
Ta có thể dùng một trong các cách sau:
| a || b |
+ Sử dụng định nghĩa:
a b
a, b cuøng höôùng
+ Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì
A
B
AB DC, BC AD ,…
o
(hoặc viết ngược lại)
D
+ Nếu a b, b c a c
C
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
A
Chứng minh: EF CD
Giải
Cách 1: EF là đường trung bình của ABC nên EF//CD,
E
F
1
EF= BC=CD EF=CD EF CD (1)
2
EF cùng hướng CD (2)
C
B
D
Từ (1),(2) EF CD
Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành
1
EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF CD
2
Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I
là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN.
M
D
C
Chứng minh: AM NC, DK NI
Giải
I
Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành
K
AM NC
Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm
B
N
A
của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành,
suy ra NI = KM DK NI
Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có
chung điểm cuối (hoặc điểm đầu).
Giải
-2-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Giả sử AB AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng
góc A BC.
(trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự)
Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho:
a) AM = a ;
b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |.
Giải
Giả sử là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//
(nếu A thuộc thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:
AM1=AM2=| a |
d
Khi đó ta có:
a) AM 1 = a
a
A
b) AM 1 = AM 2 cùng phương với a
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối
xứng của B qua O. Chứng minh: AH B ' C .
Giải
BÀI TẬP §1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và
điểm cuối là các đỉnh tam giác?
Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ
đó.
Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai
véctơ trong chúng có cùng hướng
Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng
hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng.
Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm
trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP .
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ;
-3-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ;
c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ;
d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB .
Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O
a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ;
b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ;
c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có:
+ Các điểm đầu là B, F, C
+ Các điểm cuối là F, D, C
Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O
a) bằng vectơ AB ; OB
b) Có độ dài bằng OB
Bài 9: Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB DC
Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB DC thì AD BC
Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : MN QP ; NP MQ
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA, MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD §1
Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ.
Bài 2: có, đó là vectơ-không
Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng
Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C.
Bài 5:
A
P
B
R
Q
C
Bài 6:
A
B
M
N
O
D
Bài 7: a) DA, AD, BC, CB, AO, OD, DO, FE, EF
b) OC , ED, FO
-4-
C
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB
khi đó BB ' AB
* FO là vectơ cần tìm
* Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB
Do CC’//AB CC ' AB
+ tương tự
Bài 8: a) AB DC , OB DO
b) | OB || BO || DO || OD |
A
B
O
D
C
Bài 9:
Chứng minh chiều : * ABCD là hình bình hành
AB // CD
AB CD
AB // CD
*
AB DC
AB CD
Chứng minh chiều :
* AB = DC AB , DC cùng hướng và AB DC
* AB và DC cùng hướng AB // CD (1)
* AB CD
AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành
Bài 10: AB DC AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành AD BC
Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng
1
AC
2
Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành
đpcm
Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau:
a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |;
b) AB và AC ngược hướng;
c) AB và AC cùng phương;
HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B
b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C
c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng
+ cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C.
+ Ngược hướng thì theo b)
Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng
AM BA, MN DA, NP DC , PQ BC . Chứng minh AQ 0 .
HD: Ta có AM BA; NP DC AB
AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1)
Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2)
-5-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Từ (1)&(2) AQ AQ 0
-6-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ
1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0
2. Cho tứ giác ABCD
a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0
b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.
CMR : M Q = NP
3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.
a/ Xác định các vectơ cùng phương với M N
b/ Xác định các vectơ bằng NP
4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD
CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.
5. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :
a/ I là trung điểm AB và DI = CB
b/ AI = IB = DC
6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng M K = CP và KL = BN
a/ CMR : KP = PN
b/ Hình tính tứ giác AKBN
c/ CMR : AL = 0
-7-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
§2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ
Tóm tắt lý thuyết
1. Tổng các vectơ
Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b .
B
b
a
Khi đó a + b = AC
Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . A
c
Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC
Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC
B
2. Vectơ đối
C
A
C
D
+ Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ
a +(- a )= 0
a , kí hiệu là - a
+ Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là
AB = - BA
+ vectơ đối của 0 là 0 .
3. Hiệu các vectơ (phép trừ)
Định nghĩa: a - b = a +(- b )
Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có:
OB OA AB (hoặc OA OB BA )hay AB OB OA
4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có:
+ Giao hoán : a b = b a
+ Kết hợp
( a b ) + c = a (b + c )
+ a +0=0+a =a
+ a +( a )= a + a = 0
A
+ | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng.
+ a b và | b | ≥ | a | | a + b |=| b || a |
+ a =b a +c =b +c
G
+ a +c =b a =b c , c =b a
+ a ( b + c )= a b c ; a ( b c )= a b + c
B
I
Ghi chú:
+ Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB IA IB 0
+ Điểm G là trọng tâm tam giác ABC GA GB GC 0
C
D
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD.
a) Tìm tổng NC MC; AM CD; AD NC
b) Chứng minh : AM AN AB AD
Giải:
a) + Vì MC AN nên ta có
-8-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
NC MC = NC AN = AN NC = AC
+Vì CD BA nên ta có
AM CD = AM BA = BA AM = BM
+Vì NC AM nên ta có
AD NC = AD AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED.
b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM AN AC
Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB AD AC
Vậy AM AN AB AD
Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O.
Chứng minh: OA OB OC OD OE OF 0
Giải
Vì O là tâm của lục giác đều nên:
OA OD 0; OB OE 0; OC OF 0
đpcm
Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O.
a) Chứng minh rằng vectơ OA OB; OC OE đều cùng phương OD
b) Chứng minh AB và EC cùng phương.
Giải
a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của
ngũ giác đều. Ta có OA OB OM , trong đó M là đỉnh
hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC OE ON
, N d. Vậy OA OB và OC OE cùng phương OD
vì cùng giá d.
b) AB và EC cùng vuông góc d AB//EC
AB // EC
Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC.
a) Tìm AM AN ; MN NC; MN PN ; BP CP .
b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP .
Giải
a) AM AN = NM
MN NC = MN MP = PN (Vì NC MP )
MN PN = MN NP = MP
BP CP = BP PC = BC
b) AM NP MP MN
Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | AB AD |;| BA BC |;| OB DC |
B
Giải
Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= a 3
và BD=a. Khi đó ta có :
AB AD AC | AB AD | AC a 3
A
C
BA BC CA | AB AD | CA a 3
OB DC DO DC CO | OB DC | CO
-9-
a 3
2
D
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo.
Tính | OA CB |; | AB DC |;| CD DA |
Giải
Ta có AC=BD= a 2 ; OA CB CO CB BO
Do đó
a 2
2
| AB DC || AB | | DC | 2a (vì AB DC )
| OA CB | BO
Ta có CD DA CD CB BD | CD DA |=BD= a 2
* Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau
1) Biến đổi vế này thành vế kia.
2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng.
3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh.
Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.
Chứng minh rằng: AB CD AD CB
(theo 3 cách)
Giải
Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái
AB CD AD DB CB BD AD CB BD DB AD CB
Cách 2: (sử dụng hiệu)
AB AD CB CD DB DB
Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải
Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F.
Chứng minh: AB BE CF AE BF CD
Giải
VT = AB BE CF AE ED BF FE CD DF
= AE BF CD ED DF FE
= AE BF CD (vì ED DF FE 0 )=VP đpcm
Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
Chứng minh rằng: AC DE DC CE CB AB
Giải
Ta có DC CD; CE EC nên
VT = AC DE DC CE CB = AC DE CD EC CB
= AC CD DE EC CB AB =VP đpcm
Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh
rằng với điểm O bất kì ta có:
OA OB OC OM ON OP
Giải
VT = OA OB OC
= OM MA ON NB OP PC
= OM ON OP MA NB PC
Mà NB NM NP
MA NB PC = MA NM NP PC NA NC 0
VT= OM ON OP =VP đpcm
BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ
-10-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC
2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.
CMR : AB + CD + EA = CB + ED
3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F.
CMR : AE BF CD AF BD CE
4. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.
CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF
5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :
b/ OD + OC = BC
c/ OA + OB + OC + OD = 0
a/ DO + AO = AB
d/ M A + M C = M B + M D (với M là 1 điểm tùy ý)
6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.
CMR : OD + OC = AD + BC
7. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'
CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .
8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB AD theo a
9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.
a/ Tính AB AD
b/ Dựng u = AB AC . Tính u
10. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a
a/ Dựng v = AB AC .
b/ Tính v .
11. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC, OD có độ dài bằng
nhau và OA OB OC OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.
12. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB
13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :
a/ CD + FA BA ED + BC FE = 0
b/ AD FC EB = CD EA FB
c/ AB DC FE = CF DA + EB
14. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :
a/ M A M B + M C = 0
b/ M B M C + BC = 0
c/ M B M C + M A = 0
d/ M A M B M C = 0
e/ M C + M A M B + BC = 0
15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.
a/ Tính AD AB
b/ Dựng u = CA AB . Tính u
16. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.
a/ Tính AB AC
b/ Tính BA BI
17. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB AC
-11-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
BÀI TẬP THÊM
Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:
a) v AB DC BD CA
c) n BC CD AB DB .
b) m AB CD BC DA
d) p AB BC CD DE
Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b
Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b
Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính BC + AB ; AB - AC theo a.
Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa
a) AO - AD = MO
b) AC - AD = NB
Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng :
a) AB + CD + EA = CB + ED
b) AD + BE + CF = AE + BF + CD
c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF
d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0
Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA OB OM , OA OB ON . Khi nào điểm M nằm trên đường
phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ?
Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh :
OA OB OC OD OE O
Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là
điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có:
OA OB OC OA' OB' OC '
Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR :
a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0
b) OA + OC + OE = 0
c) AB + AO + AF = AD
d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý )
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD
a) Chứng minh rằng HB + HC = HD
b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH '
Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng : CA + CB = CA - CB
-12-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó:
+ c cùng phương a
+ c cùng hướng a khi k>0
+ c ngược hướng a khi k<0
+ | c |=| k a |=|k|.| a |
Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0
2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h , khi đó
+ k( a + b )= k a +k b
+ (k+h) a = k a +h b
+ k(h a )= (kh) a
+ 1. a = a ; (1) a = a
* Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có:
MA MB 2MI
* Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có:
MA MB MC 3MG
3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương
a , b ; a cùng phương b ≠ 0 0≠k
: a =k b
( a , b ; b cùng phương a ≠ 0 0≠k : b =k a )
4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng
AB cùng phương AC 0≠k : AB k AC
5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương:
Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó x bao giờ cũng tìm được hai số m,
n sao cho: x = m a +n b .
A
Nếu G là trọng tâm
AG=
AG=2GI
G
B
1
2
AI; GI= AI
3
3
C
I
CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN
1. Xác định vectơ k a
PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất
1) Cho a AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho :
OM 3a; ON 4a
Giải
a
N
O
M
Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O giá của a thì d là giá của a )
Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM 3a .
-13-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON 4a
1
2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các
5
đẳng thức sau:
a) AM k AB;
b) MA kMB;
c) MA k AB
Giải
A
M
B
| AM | AM 1
1
, vì AM AB k=
AB 5
5
| AB |
1
1
b) k=
c) k=
5
4
3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a
b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b
Giải
a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a
b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b
c) Tương tự
a) AM k AB | k |
2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương
1) Cho ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và
I là giao điểm của AD và EF. Đặt u AE; v AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE, DC theo
hai vectơ u, v .
A
1
1
1
1
AD ( AE AF ) u v)
2
2
2
2
2
2
2
AG AD u v
3
3
3
DE FA AF 0.u (1)v
Giải Ta có AI
C
DC FE AE AF u v
2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai
vectơ u AB, v AC .
Giải
Ta có AM AB BM AB
2
BC
3
mà BC AC AB
2
1
2
AM AB ( AC AB) u v
3
3
3
3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
+ A, B, C thẳng hàng AB cùng phương AC 0≠k
: AB k AC
+ Nếu AB kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD.
1
1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC.
3
Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng.
-14-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Giải
1
2 BI BA BM BA BC
2
Ta có
4 BI 2 BA BC (1)
Ta có
1
BK BA AK BA AC
3
1
2
1
BA ( BC BA) BA BC
3
3
3
3BK 2 BA BC
(2)
4
Từ (1)&(2) 3BK 4 BI BK BI B, I, K thẳng hàng.
3
2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức:
BC MA 0 , AB NA 3AC 0 . Chứng minh MN//AC
Giải
BC MA AB NA 3 AC 0
hay AC MN 3 AC 0 MN 2 AC
MN / / AC . Theo giả thiết BC AM
Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành
M không thuộc AC MN//AC
4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số
1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh:
2MN AC BD
Giải
M
VP AC BD AM MN NC BM MN ND
B
A
2MN AM BM ND NC
C
N
D
2MN
2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB 2 AC AD 3AC .
Giải
Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB AD AC
VT= AC 2 AC 3 AC VP (đpcm)
3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì
3GG ' AA ' BB ' CC ' .
Giải
VP AA ' BB ' CC '
AG GG ' G ' A ' BG GG ' G ' B ' CG GG ' G ' C '
3GG ' AG BG CG G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG ' (GA GB GC ) G ' A ' G ' B ' G ' C '
3GG '
5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ
+ AB 0 A B
+ Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM a
-15-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
+ AB AC B C ; AD BD A B
1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG 2GD .
Giải
A
AG 2GD A,G,D thẳng hàng.
AG=2GD gà G nằm giữa A và D.
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC.
G
2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA 2IB 0 .
HD
A
B
C
DI
B
I
IA 2IB 0 IA 2IB IA 2IB
1
3
3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA GB GC GD 0
hay IA=2IB , IA IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB
Giải
Ta có GA GB 2GI , trong đó I là trung điểm AB
Tương tự GC GD 2GK , K là trung điểm CD
GA GB GC GD 2GI 2GK
B
C
I
K
hay GI GK 0
G là trung điểm IK
A
D
BÀI TẬP
Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AM + BN + CP = 0
b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP
Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 M C
a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM
b/ CMR : M A + M B + M C = 3 M G
Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.
a/ CMR : AD + BC = 2 EF
b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0
c/ CMR : M A + M B + M C + M D = 4 M O (với M tùy ý)
d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất
Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.
a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0
b/ CMR : M A + M B+ M C+ M D = M E + M F + M G + M H
c/ CMR : AB AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH)
-16-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.
CMR : AD + BE + CF = 3 GH
Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :
a/ OA + OB + OC + OD = 0
b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB
c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC
Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN =
1
NC .
2
Gọi K là trung điểm của MN.
a/ CMR : AK =
1
1
AB + AC
6
4
b/ CMR : KD =
1
1
AB + AC
3
4
Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M
là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :
1
1
a/ AM = AB + AC
8
3
1
3
b/ M I = AB + AC
8
6
Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a
a) Phân tích AD theo AB và AF
b) Tinh
1
1
AB BC theo a
2
2
Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC).
Phân tích AM theo AB và AC
Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung
điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC .
Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho
5JB = 2JC.
a) Tính AI , AJ theo AB, AC
b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ
Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.
Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho M B= 3 M C; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0
a/ Tính PM , PN theo AB và AC
b/ CMR : M, N, P thẳng hàng.
Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là
điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.
Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các
trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB
a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui
b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC
Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau :
-17-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
a/ MA MB .
b/ MA MB MC O
d/ C
e/
-18-
c/
| C
| C
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
§4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1.Trục tọa độ
Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng
1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox
i
O
x'
x
I
O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.
Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục
+ Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM mi . Số m gọi là
tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ).
+ Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u xi . Số x gọi là tọa độ của
vectơ u đối với trục (O; i ).
Độ dài đại số của vectơ trên trục
Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài
đại số của AB đối với trục đã cho.
Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i
*Nhận xét:
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu AB i thì AB = AB
+ Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì
AB = ba
Tính chất:
+ AB CD AB CD
+ AB BC AC (hệ thức Salơ)
2. Hệ trục tọa độ
y
j
O
i
x
Hệ trục tọa độ
Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là
i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ).
+ Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung.
+ Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.
Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ
Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a .
Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y)
Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’)
a =b
x x'
y y'
Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó:
1) a b = (x x’; y y’)
2) k a =(kx ; ky) với k
3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’)
-19-
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi
4) a // b 0 có số k thỏa a =k b
x
y
x kx '
xy ' yx ' 0
y ky '
x' y'
Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy,
y
cặp số (x ; y) là tọa độ của M OM =(x ; y)
M(x;y)
M2
Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y)
+ x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M
M1
O
x
+ M(x ; y) OM xi y j OM =(x;y)
x= OM1 ; y= OM 2
+ Gốc tọa độ là O(0;0)
Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N
Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có :
MN = (xM – xN ; yM – yN)
Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì:
xP =
xM xN
y yN
; yP = M
2
2
Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm
G(xG;yG) được tính theo công thức:
xG =
1) | u | =
xA xB xC
y yB yC
; yG = A
3
3
x 2 y 2 với u = (x;y)
2) | AB | = ( x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB)
3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k 1 thì
M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø:
x kxB
y kyB
;
(nếu k= 1 thì M là trung điểm AB)
xM A
yM A
1 k
1 k
4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng
xC x A yC y A
AC / / AB xC x A yC y A ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi
xB x A y B y A
xB x A
yB y A
-20-
- Xem thêm -