Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo dục - Đào tạo Toán học Tóm tắt kiến thức hình học 10...

Tài liệu Tóm tắt kiến thức hình học 10

.PDF
92
1281
113

Mô tả:

hình học lớp 10
Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi HÌNH HỌC 10 Chương I : VECTƠ §1: CÁC ĐỊNH NGHĨA TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa: Vectơ là đoạn thẳng có hướng . + Vectơ có điểm đầu (gốc) là A, điểm cuối (ngọn) là B được kí hiệu là AB ( đọc là vectơ AB). + Một vectơ xác định còn được kí hiệu là a, b, x, y,... B A b a (Chú ý: AB  BA ) + Vectơ – không (có gạch nối giữa 2 từ): Vectơ có điểm đầu và điểm cuối cuối trùng nhau gọi là vectơkhông, kí hiệu 0 Ví dụ: MM , AA ,.... + Giá của vectơ : Mỗi vectơ AB ≠ 0 , đường thẳng AB gọi là giá của vectơ AB . Còn vectơ không AA thì mọi đường thẳng qua A đều là giá của nó. + Hướng của vectơ: là hướng từ gốc đến ngọn của vectơ. + Hai vectơ cùng phương là hai vectơ có giá song song hoặc trùng nhau. Chú ý: + Độ dài của vectơ: đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài a kí hiệu là | a |, | AB | AB  BA  Hai vectơ bằng nhau: nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài Nếu a bằng b thì ta viết a = b . AA  BB = 0 , | 0 |= 0. Ví dụ: Cho hình bình hành ABCD. Tìm A a) Tất các vectơ khác 0 ; b) Các vectơ cùng phương; c) Các vectơ bằng nhau. B o D Các kí hiệu thường gặp AB cùng phương CD kí hiệu: AB // CD AB cùng hướng CD kí hiệu: AB  CD AB ngược hướng CD kí hiệu: AB  CD -1- C Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN Dạng 1. Xác một vectơ, sự cùng phương cùng hướng Chú ý: với hai điểm phân biệt A, B ta có hai vectơ khác vectơ 0 là AB, BA Ví dụ 1: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ - không có điểm đầu và điểm cuối là các điểm đó. Giải Có 10 cặp điểm khác nhau {A,B}, {A,C}, {A,D}, {A,E}, {B,C}, {B,D}, {B,E}, {C,D}, {C,E}, {D,E}. Do đó có 20 vectơ khác 0 Ví dụ 2: Cho điểm A và vectơ a khác 0 . Tìm điểm M sao cho: AM cùng phương a Giải  m Gọi  là giá của a a Nếu AM cùng phương a thì đường thẳng AM//  Do đó M thuộc đường thẳng m đi qua A và //  Ngược lại, mọi điểm M thuôc m thì AM cùng phương a Dạng 2: Chứng minh hai vectơ bằng nhau Ta có thể dùng một trong các cách sau:  | a || b | + Sử dụng định nghĩa: a b a, b cuøng höôùng + Sử dụng tính chất của các hình . Nếu ABCD là hình bình hành thì A B AB  DC, BC  AD ,… o (hoặc viết ngược lại) D + Nếu a  b, b  c  a  c C Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. A Chứng minh: EF  CD Giải Cách 1: EF là đường trung bình của  ABC nên EF//CD, E F 1 EF= BC=CD EF=CD EF  CD (1) 2 EF cùng hướng CD (2) C B D Từ (1),(2)  EF  CD Cách 2: Chứng minh EFDC là hình bình hành 1 EF= BC=CD và EF//CD EFDC là hình bình hành EF  CD 2 Ví dụ 2: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. Điểm I là giao điểm của AM và BN, K là giao điểm của DM và CN. M D C Chứng minh: AM  NC, DK  NI Giải I Ta có MC//AN và MC=ANMACN là hình bình hành K  AM  NC Tương tự MCDN là hình bình hành nên K là trung điểm B N A của MD DK = KM . Tứ giá IMKN là hình bình hành, suy ra NI = KM  DK  NI Ví dụ 3: Chứng minh rằng hai vectơ bằng nhau có chung điểm đầu (hoặc điểm cuối) thì chúng có chung điểm cuối (hoặc điểm đầu). Giải -2- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi Giả sử AB  AC . Khi đó AB=AC, ba điểm A, B, C thẳng hàng và B, C thuôc nửa đường thẳng góc A BC. (trường hợp điểm cuối trùng nhau chứng minh tương tự) Ví dụ 4: Cho điểm A và vectơ a . Dựng điểm M sao cho: a) AM = a ; b) AM cùng phương a và có độ dài bằng | a |. Giải Giả sử  là giá của a . Vẽ đường thẳng d đi qua A và d//  (nếu A thuộc  thì d trùng ). Khi đó có hai điểm M1 và M2 thuộc d sao cho:  AM1=AM2=| a | d Khi đó ta có: a) AM 1 = a a A b) AM 1 = AM 2 cùng phương với a Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua O. Chứng minh: AH  B ' C . Giải BÀI TẬP §1 Bài 1: Cho tam giác ABC. Có thể xác định được bao nhiêu véctơ ( khác vectơ-không ) có điểm đầu và điểm cuối là các đỉnh tam giác?   Bài 2: Cho hai vectơ không cùng phương a và b . Có hay không một véctơ cùng phương với cả hai véctơ đó.    Bài 3: Cho ba vectơ a , b , c cùng phương và đểu khác véctơ không. Chứng minh rằng co ít nhất là hai véctơ trong chúng có cùng hướng Bài 4: Cho ba điểm A,B,C phân biệt và thẳng hàng. Trong trường hợp nào thì hai véctơ AB và AC cùng hướng, trường hợp nào hai véctơ ngược hướng. Bài 5: Cho tam gác ABC. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC , CA. Hãy vẽ hình và tìm trên hình vẽ các véctơ bằng PQ , QR , RP . Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. a) Tìm các vectơ cùng phương với AB ; -3- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi b) Tìm các vectơ cùng hướng với AB ; c) Tìm các vectơ ngược hướng với AB ; d) Tìm các vectơ bằng với MO , bằng với OB . Bài 7: Cho lục giác đều ABCDEF có tâm O a) Tìm các vectơ khác 0 và cùng phương OA ; b) Tìm các vectơ bằng vectơ AB ; c) Hãy vẽ các vectơ bằng vectơ AB và có: + Các điểm đầu là B, F, C + Các điểm cuối là F, D, C Bài 8: Cho hình bình hành ABCD có tâm là O . Tìm các vectơ từ 5 điểm A, B, C , D , O a) bằng vectơ AB ; OB b) Có độ dài bằng  OB  Bài 9: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi AB  DC Bài 10: Cho tứ giác ABCD. Chứng minh rằng nếu AB  DC thì AD  BC Bài 11 : Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh : MN  QP ; NP  MQ Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; b) AB và AC ngược hướng; c) AB và AC cùng phương; Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM  BA, MN  DA, NP  DC , PQ  BC . Chứng minh AQ  0 . HD §1 Bài 1: có các cặp điểm {A;B}, {A;C}, {B;C}. Mà mỗi cặp điểm xác định 2 véctơ. Bài 2: có, đó là vectơ-không     Bài 3: nếu a ngược hướng b và a ngược hướng a thì cùng hướng Bài 4: Cùng hướng khi A không nằm giữa B, C; ngược hướng khi A nằm giữa B, C. Bài 5: A P B R Q C Bài 6: A B M N O D Bài 7: a) DA, AD, BC, CB, AO, OD, DO, FE, EF b) OC , ED, FO -4- C Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi c)+ Trên tia AB, ta lấy điểm B’ sao cho BB’=AB khi đó BB '  AB * FO là vectơ cần tìm * Trên tia OC lấy C’ sao cho CC’=OC=AB Do CC’//AB  CC '  AB + tương tự Bài 8: a) AB  DC , OB  DO b) | OB || BO || DO || OD | A B O D C Bài 9: Chứng minh chiều  : * ABCD là hình bình hành  AB // CD   AB  CD  AB // CD *   AB  DC  AB  CD Chứng minh chiều  : * AB = DC  AB , DC cùng hướng và AB  DC * AB và DC cùng hướng  AB // CD (1) * AB  CD  AB = CD (2).Từ (1) và (2) suy ra ABCD là hình bình hành Bài 10: AB  DC  AB=DC, AB//CDABCD là hình bình hành  AD  BC Bài 11 : MP=PQ và MN//PQ vì chúng bằng 1 AC 2 Và đều //AC. Vậy MNPQ là hình bình hành  đpcm Bài 12 : Xác định vị trí tương đối của 3 điểm phân biệt A, B và C trong các trường hợp sau: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC |; b) AB và AC ngược hướng; c) AB và AC cùng phương; HD: a) AB và AC cùng hướng, | AB |>| AC | khi C nằm giữa A và B b) AB và AC ngược hướng, khiA nằm giữa B và C c) Cùng phương thì có thể cùng hướng hay ngược hướng + cùng hướng: nếu | AB |>| AC | thì theo a); nếu | AB |< AC | thì B nằm giữa A và C. + Ngược hướng thì theo b) Bài 13 :Cho hình bình hành ABCD . Dựng AM  BA, MN  DA, NP  DC , PQ  BC . Chứng minh AQ  0 . HD: Ta có AM  BA; NP  DC  AB  AM=NP và AM//NP AMNP là hình bình hành (1) Tương tự QMNP cũng là hình bính hành (2) -5- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi Từ (1)&(2) AQ AQ  0 -6- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi BÀI TẬP KHÁI NIỆM VECTƠ  1. Cho ABC. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD  a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA.   CMR : M Q = NP 3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm AB, BC, CA.  a/ Xác định các vectơ cùng phương với M N  b/ Xác định các vectơ bằng NP    4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành.   5. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR :   a/ I là trung điểm AB và DI = CB    b/ AI = IB = DC     6. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng M K = CP và KL = BN   a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN   c/ CMR : AL = 0 -7- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi §2+3. TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ Tóm tắt lý thuyết 1. Tổng các vectơ        Định nghĩa: Cho 2 véc tơ a và b . Lấy 1 điểm A tùy ý, dựng AB = a , BC = b .   B    b a Khi đó a + b = AC Phép lấy tổng của 2 véctơ đ gọi là phép cộng véctơ . A  c  Quy tắc 3 điểm : Cho A, B ,C tùy ý, ta có : AB + BC = AC  Quy tắc hình bình hành . Nếu ABCD là hình bình hành thì AB + AD = AC B 2. Vectơ đối C A  C D  + Cho vectơ a . Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng a được gọi là vectơ đối của vectơ      a +(- a )= 0 a , kí hiệu là - a + Mọi vectơ đều có vectơ đối, ví dụ AB có vectơ đối là BA nghĩa là AB = - BA + vectơ đối của 0 là 0 . 3. Hiệu các vectơ (phép trừ)     Định nghĩa: a - b = a +(- b )  Quy tắc về hiệu vec tơ : Với ba điểm O, A, B tùy ý cho trước ta có: OB  OA  AB (hoặc OA  OB  BA )hay AB  OB  OA 4. Tính chất : với a, b, c bất kì ta có: + Giao hoán : a  b = b  a + Kết hợp ( a  b ) + c = a  (b + c ) + a +0=0+a =a + a +( a )= a + a = 0 A + | a + b | ≤ | a |+| b |, dấu “=” xảy ra khi a , b cùng hướng. + a  b và | b | ≥ | a |  | a + b |=| b || a | + a =b a +c =b +c G + a +c =b  a =b c , c =b  a + a ( b + c )= a  b  c ; a ( b  c )= a  b + c B I Ghi chú: + Điểm I là trung điểm đoạn thẳng AB  IA  IB  0 + Điểm G là trọng tâm tam giác ABC  GA  GB  GC  0 C D CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Hai điểm M và N lần lượt là trung điểm của BC và AD. a) Tìm tổng NC  MC; AM  CD; AD  NC b) Chứng minh : AM  AN  AB  AD Giải: a) + Vì MC  AN nên ta có -8- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi NC  MC = NC  AN = AN  NC = AC +Vì CD  BA nên ta có AM  CD = AM  BA = BA  AM = BM +Vì NC  AM nên ta có AD  NC = AD  AM = AE , E là đỉnh của hình bình hành AMED. b) Vì tứ giác AMCN là hình bình hành nên ta có AM  AN  AC Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB  AD  AC Vậy AM  AN  AB  AD Bài 2: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O. Chứng minh: OA  OB  OC  OD  OE  OF  0 Giải Vì O là tâm của lục giác đều nên: OA  OD  0; OB  OE  0; OC  OF  0  đpcm Bài 3: Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O. a) Chứng minh rằng vectơ OA  OB; OC  OE đều cùng phương OD b) Chứng minh AB và EC cùng phương. Giải a) Gọi d là đường thẳng chứa OD d là trục đối xứng của ngũ giác đều. Ta có OA  OB  OM , trong đó M là đỉnh hình thoi AMBO và M thuộc d. Tương tự OC  OE  ON , N  d. Vậy OA  OB và OC  OE cùng phương OD vì cùng giá d. b) AB và EC cùng vuông góc d  AB//EC  AB // EC Bài 4: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. a) Tìm AM  AN ; MN  NC; MN  PN ; BP  CP . b) Phân tích AM theo hai vectơ MN ; MP . Giải a) AM  AN = NM MN  NC = MN  MP = PN (Vì NC  MP ) MN  PN = MN  NP = MP BP  CP = BP  PC = BC b) AM  NP  MP  MN Bài 5: Cho hình thoi ABCD có BAD =600 và cạnh là a. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | AB  AD |;| BA  BC |;| OB  DC | B Giải Vì ABCD là hình thoi cạnh a và BAD =600 nên AC= a 3 và BD=a. Khi đó ta có : AB  AD  AC | AB  AD | AC  a 3 A C BA  BC  CA | AB  AD | CA  a 3 OB  DC  DO  DC  CO | OB  DC | CO  -9- a 3 2 D Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a có O là giao điểm của hai đường chéo. Tính | OA  CB |; | AB  DC |;| CD  DA | Giải Ta có AC=BD= a 2 ; OA  CB  CO  CB  BO Do đó a 2 2 | AB  DC || AB |  | DC | 2a (vì AB  DC ) | OA  CB | BO  Ta có CD  DA  CD  CB  BD  | CD  DA |=BD= a 2 * Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: có thể sử dụng các phương pháp sau 1) Biến đổi vế này thành vế kia. 2) Biến đểi đẳng thức cần chứng minh tương đương với một đẳng thức đã biết là đúng. 3) Biến đổi một đẳng thức biết trườc tới đẳng thức cần chứng minh. Bài 7: Cho bốn điểm A,B,C,D bất kì.     Chứng minh rằng: AB  CD  AD  CB (theo 3 cách) Giải Cách 1: (sử dụng qui tắc tổng) biến đổi vế trái AB  CD  AD  DB  CB  BD  AD  CB  BD  DB  AD  CB Cách 2: (sử dụng hiệu) AB  AD  CB  CD  DB  DB Cách 3: Biến đổi vế trái thành vế phải Bài 8: Cho sáu điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: AB  BE  CF  AE  BF  CD Giải VT = AB  BE  CF  AE  ED  BF  FE  CD  DF = AE  BF  CD  ED  DF  FE = AE  BF  CD (vì ED  DF  FE  0 )=VP đpcm Bài 9: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh rằng: AC  DE  DC  CE  CB  AB Giải Ta có  DC  CD;  CE  EC nên VT = AC  DE  DC  CE  CB = AC  DE  CD  EC  CB = AC  CD  DE  EC  CB  AB =VP đpcm Bài 10: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, AC, BC. Chứng minh rằng với điểm O bất kì ta có: OA  OB  OC  OM  ON  OP Giải VT = OA  OB  OC = OM  MA  ON  NB  OP  PC = OM  ON  OP  MA  NB  PC Mà NB  NM  NP  MA  NB  PC = MA  NM  NP  PC  NA  NC  0  VT= OM  ON  OP =VP đpcm BÀI TẬP PHÉP CỘNG, TRỪ CÁC VECTƠ -10- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi     1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 2. Cho 5 điểm A, B, C, D, E.      CMR : AB + CD + EA = CB + ED 3. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : AE  BF  CD  AF  BD  CE 4. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H.         CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 5. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR :   b/ OD + OC = BC      c/ OA + OB + OC + OD = 0       a/ DO + AO = AB   d/ M A + M C = M B + M D (với M là 1 điểm tùy ý) 6. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB.     CMR : OD + OC = AD + BC    7. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý AA' , BB' , CC'       CMR : AA' + BB' + CC' = BA' + CB' + AC' .   8. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính  AB  AD  theo a 9. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a.       a/ Tính  AB  AD  b/ Dựng u = AB  AC . Tính  u  10. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a     a/ Dựng v = AB  AC . b/ Tính  v . 11. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ OA, OB, OC, OD có độ dài bằng nhau và OA  OB  OC  OD = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.     12. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB  CD = AC + DB 13. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR :        a/ CD + FA  BA  ED + BC  FE = 0             b/ AD  FC  EB = CD  EA  FB c/ AB  DC  FE = CF  DA + EB 14. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho :         a/ M A  M B + M C = 0 b/ M B  M C + BC = 0         c/ M B  M C + M A = 0 d/ M A  M B  M C = 0      e/ M C + M A  M B + BC = 0 15. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a.       a/ Tính  AD  AB  b/ Dựng u = CA  AB . Tính  u  16. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC.   a/ Tính  AB  AC    b/ Tính  BA  BI    17. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính AB  AC  -11- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi BÀI TẬP THÊM Bài 1 : Cho A,B,C,D tìm các véctơ sau:  a) v  AB  DC  BD  CA c) n  BC  CD  AB  DB . b) m  AB  CD  BC  DA d) p  AB  BC  CD  DE Bài 2: Cho hình bình hành ABCD tâm O . Đặt AO = a ; BO = b Tính AB ; BC ; CD ; DA theo a và b Bài 3: Cho hình vuông ABCD cạnh a . Tính  BC + AB  ;  AB - AC  theo a. Bài 4: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm ; AD = 6cm . Tìm tập hợp điểm M , N thỏa a)  AO - AD =  MO  b)  AC - AD =  NB  Bài 5: Cho 7 điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G . Chứng minh rằng : a) AB + CD + EA = CB + ED b) AD + BE + CF = AE + BF + CD c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0 Bài 6 : Cho tam giác OAB. Giả sử OA  OB  OM , OA  OB  ON . Khi nào điểm M nằm trên đường phân giác trong của góc AOB? Khi nào N nằm trên đường phân giác ngoài của góc AOB ? Bài 7 : Cho ngũ giác đều ABCDE tâm O Chứng minh : OA  OB  OC  OD  OE  O Bài 8 : Cho tam giác ABC . Gọi A’ la điểm đối xứng của B qua A, B’ là điểm đối xứng với C qua B, C’ là điểm đối xứng của A qua C. với một điểm O bất kỳ, ta có: OA  OB  OC  OA'  OB'  OC ' Bài 9: Cho lụ giác đều ABCDEF có tâm là O . CMR : a) OA + OB + OC + OD + OE + OF = 0 b) OA + OC + OE = 0 c) AB + AO + AF = AD d) MA + MC + ME = MB + MD + MF ( M tùy ý ) Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O , trực tâm H , vẽ đường kính AD a) Chứng minh rằng HB + HC = HD b) Gọi H’ là đối xứng của H qua O .Chứng minh rằng HA + HB + HC = HH ' Bài 11: Tìm tính chất tam giác ABC, biết rằng :  CA + CB  =  CA - CB  -12- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ 1) Định nghĩa: Cho a ≠ 0 , 0≠k  ta có c =k a (gọi là phép một số thực với 1 vectơ). Khi đó: + c cùng phương a + c cùng hướng a khi k>0 + c ngược hướng a khi k<0 + | c |=| k a |=|k|.| a | Quy ước: 0 a = 0 ; k 0 = 0 2) Tính chất: Cho a , b bất kì và k,h  , khi đó + k( a + b )= k a +k b + (k+h) a = k a +h b + k(h a )= (kh) a + 1. a = a ; (1) a = a * Tính chất trung điểm: Nếu I là trung điểm đoạn AB, vớii mọi M ta có: MA  MB  2MI * Tính chất trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC, với mọi M ta có: MA  MB  MC  3MG 3) Điều kiện để hai vectơ cùng phương  a , b ; a cùng phương b ≠ 0   0≠k  : a =k b ( a , b ; b cùng phương a ≠ 0   0≠k  : b =k a ) 4) Điều kiện để ba điểm A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương AC  0≠k  : AB  k AC 5) Phân tích (biểu diễn) một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai a , b khác 0 và không cùng phương. Khi đó  x bao giờ cũng tìm được hai số m, n sao cho: x = m a +n b . A Nếu G là trọng tâm AG= AG=2GI G B 1 2 AI; GI= AI 3 3 C I CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN 1. Xác định vectơ k a PP: Dựa vào định nghĩa vectơ k a và các tính chất 1) Cho a  AB và điểm O. Xác định hai điểm M và N sao cho : OM  3a; ON  4a Giải a N O M Vẽ d đi qua O và // với giá của a (nếu O  giá của a thì d là giá của a )  Trên d lấy điểm M sao cho OM=3| a |, OM và a cùng hướng khi đó OM  3a . -13- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi  Trên d lấy điểm N sao cho ON= 4| a |, ON và a ngược hướng nên ON  4a 1 2) Cho đoạn thẳng AB và M là một điểm nằm trên đoạn AB sao cho AM= AB. Tìm k trong các 5 đẳng thức sau: a) AM  k AB; b) MA  kMB; c) MA  k AB Giải A M B | AM | AM 1 1   , vì AM  AB  k= AB 5 5 | AB | 1 1 b) k=  c) k=  5 4 3) a) Chứng minh:vectơ đối của 5 a là (5) a b) Tìm vectơ đối của các véctơ 2 a +3 b , a 2 b Giải a) 5 a =(1)(5 a )=((1)5) a = (5) a b) (2 a +3 b )= (1)( 2 a +3 b )= (1) 2 a +(1)3 b =(2) a +(3) b =2 a 3 b c) Tương tự a) AM  k AB | k | 2. Biểu diễn (phân tích, biểu thị) thành hai vectơ không cùng phương 1) Cho  ABC có trọng âtm G. Cho các điểm D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB và I là giao điểm của AD và EF. Đặt u  AE; v  AF . Hãy phân tích các vectơ AI , AG, DE, DC theo hai vectơ u, v . A 1 1 1 1 AD  ( AE  AF )  u  v) 2 2 2 2 2 2 2 AG  AD  u  v 3 3 3 DE  FA   AF  0.u  (1)v Giải Ta có AI  C DC  FE  AE  AF  u  v 2) Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho MB= 2MC. Hãy phân tích vectơ AM theo hai vectơ u  AB, v  AC . Giải Ta có AM  AB  BM  AB  2 BC 3 mà BC  AC  AB 2 1 2  AM  AB  ( AC  AB)  u  v 3 3 3 3. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng + A, B, C thẳng hàng  AB cùng phương AC  0≠k  : AB  k AC + Nếu AB  kCD và hai đường thẳng AB và CD phân biệt thì AB//CD. 1 1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM và K là trung điểm AC sao AK= AC. 3 Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng. -14- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi Giải 1 2 BI  BA  BM  BA  BC 2 Ta có 4 BI  2 BA  BC (1) Ta có 1 BK  BA  AK  BA  AC 3 1 2 1  BA  ( BC  BA)  BA  BC 3 3 3 3BK  2 BA  BC (2) 4 Từ (1)&(2) 3BK  4 BI  BK  BI  B, I, K thẳng hàng. 3 2) Cho tam giác ABC. Hai điểm M, N được xác định bởi hệ thức: BC  MA  0 , AB  NA  3AC  0 . Chứng minh MN//AC Giải BC  MA  AB  NA  3 AC  0 hay AC  MN  3 AC  0  MN  2 AC MN / / AC . Theo giả thiết BC  AM Mà A,B,C không thẳng hàng nên bốn điểm A,B,C,M là hình bình hành  M không thuộc AC MN//AC 4. Chứng minh đẳng thức vetơ có chứa tích của vectơ với một số 1) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng AB và CD. Chứng minh: 2MN  AC  BD Giải M VP  AC  BD  AM  MN  NC  BM  MN  ND B A  2MN  AM  BM  ND  NC C N D  2MN 2) Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh: AB  2 AC  AD  3AC . Giải Áp dụng qi tắc hình bình hành ta có AB  AD  AC  VT= AC  2 AC  3 AC  VP (đpcm) 3) Chứng minh rằng nếu G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’ thì 3GG '  AA '  BB '  CC ' . Giải VP  AA '  BB '  CC '  AG  GG '  G ' A '  BG  GG '  G ' B '  CG  GG '  G ' C '  3GG '  AG  BG  CG  G ' A '  G ' B '  G ' C '  3GG '  (GA  GB  GC )  G ' A '  G ' B '  G ' C '  3GG ' 5. Xác định vị trí của một điểm nhờ đẳng thức véctơ + AB  0  A  B + Cho điểm A và a . Có duy nhất M sao cho : AM  a -15- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi + AB  AC  B  C ; AD  BD  A  B 1) Cho tam giác ABC có D là trung điểm BC. Xác định vị trí của G biết AG  2GD . Giải A AG  2GD  A,G,D thẳng hàng. AG=2GD gà G nằm giữa A và D. Vậy G là trọng tâm tam giác ABC. G 2) Cho hai điểm A và B. Tìm điểm I sao cho: IA  2IB  0 . HD A B C DI B I IA  2IB  0  IA  2IB  IA  2IB 1 3 3) Cho tứ giác ABCD. Xác định vị trí điểm G sao cho: GA  GB  GC  GD  0 hay IA=2IB , IA  IB . Vậy I là điểm thuộc AB sao cho IB= AB Giải Ta có GA  GB  2GI , trong đó I là trung điểm AB Tương tự GC  GD  2GK , K là trung điểm CD GA  GB  GC  GD  2GI  2GK B C I K hay GI  GK  0  G là trung điểm IK A D BÀI TẬP Bài 1: Cho ABC. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý.     a/ CMR : AM + BN + CP = 0       b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP   Bài 2: Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 M C    a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM     b/ CMR : M A + M B + M C = 3 M G Bài 3: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF.    a/ CMR : AD + BC = 2 EF      b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0      c/ CMR : M A + M B + M C + M D = 4 M O (với M tùy ý)     d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD  nhỏ nhất Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý.      a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0         b/ CMR : M A + M B+ M C+ M D = M E + M F + M G + M H     c/ CMR : AB  AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) -16- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi Bài 5: Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lượt là G và H.     CMR : AD + BE + CF = 3 GH Bài 6: Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR :      a/ OA + OB + OC + OD = 0     b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB     c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC  Bài 7: Cho ABC có M, D lần lượt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 1  NC . 2 Gọi K là trung điểm của MN.  a/ CMR : AK = 1  1  AB + AC 6 4  b/ CMR : KD = 1  1  AB + AC 3 4     Bài 8: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR :  1  1  a/ AM = AB + AC 8 3   1 3  b/ M I = AB + AC 8 6 Bài 9: Cho lục giác đều ABCDEF tâm O cạnh a a) Phân tích AD theo AB và AF b) Tinh 1 1 AB  BC theo a 2 2 Bài 10: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM (M là trung điểm BC). Phân tích AM theo AB và AC Bài 11: Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm AB, N là một điểm trên AC sao cho NA=2NC. Gọi K là trung điểm của MN. Phân tích AK theo AB và AC . Bài 15: Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a) Tính AI , AJ theo AB, AC b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG theo AI và AJ   Bài 16: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5. CMR : B, C, D thẳng hàng.         Bài 17: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho M B= 3 M C; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0     a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. Bài 18: Cho tam giác ABC.Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua B, B’ là điểm đối xứng với B qua C, C’ là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm. Bài 19: Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đường thẳng AA’, BB’, CC’ đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC Bài 20: Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tưng đtều kiện sau : -17- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi a/ MA  MB . b/ MA  MB  MC  O  d/   C       e/ -18- c/ |     C |   C   Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi §4 TRỤC TỌA ĐỘ VÀ HỆ TRỤC TỌA ĐỘ 1.Trục tọa độ  Trục tọa độ (trục, trục số) là đường thẳng trên đó xác định điểm O và một vectơ i có độ dài bằng 1. Ký hiệu trục (O; i ) hoặc x’Ox i O x' x I O gọi là gốc tọa độ; i vectơ đơn vị của trục tọa độ.  Tọa độ của vectơ và của điểm trên trục + Cho điểm M nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất một số m sao cho OM  mi . Số m gọi là tọa độ của m đối với trục (O; i ) (nó cũng là tọa độ của OM ). + Cho vectơ u trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số x sao cho u  xi . Số x gọi là tọa độ của vectơ u đối với trục (O; i ).  Độ dài đại số của vectơ trên trục Cho A,B nằm trên trục (O; i ). Khi đó có duy nhất số a sao cho AB = a i . Ta gọi số a là độ dài đại số của AB đối với trục đã cho. Kí hiệu: a= AB . Như vậy AB = AB i *Nhận xét: + Nếu AB  i thì AB = AB + Nếu AB  i thì AB = AB + Nếu hai điểm A và B trên trục (O; i ) có tọa độ lần lượt là a và b thì AB = ba  Tính chất: + AB  CD  AB  CD + AB  BC  AC (hệ thức Salơ) 2. Hệ trục tọa độ y  j O  i x  Hệ trục tọa độ Hệ trục tọa độ vuông góc gồm 2 trục tọa độ Ox và Oy vuông góc nhau. Vectơ đơn vị trên Ox là i , vectơ đơn vị trên Oy là j . Ký hiệu Oxy hoặc (O; i ; j ). + Điểm O gọi là gốc tọa độ; trục Ox gọi là trục hoành, trục Oy gọi là trục tung. + Khi một mặt phẳng đã cho một hệ trục tọa độ, ta gọi mặt phẳng đó là mặt phẳng tọa độ.  Tọa độ của vectơ đối với hệ trục tọa độ Đối với hệ trục (O; i ; j ), nếu a =x i +y j thì cặp số (x;y) là toạ độ của a . Ký hiệu a = (x ; y) hoặc a (x ; y) Nhận xét: (hai vectơ bằng nhau) Cho a = (x ; y), b = (x’;y’) a =b   x  x' y  y'  Một số tính chất: Cho a = (x ; y), b = (x’;y’). Khi đó: 1) a  b = (x  x’; y  y’) 2) k a =(kx ; ky) với  k 3) m a + n b =(mx+nx’ ; my+ny’) -19- Timgiasuhanoi.com – Trung taâm Gia sö Haø Noäi 4) a // b  0  có số k thỏa a =k b   x y x  kx '    xy ' yx '  0 y  ky ' x' y'  Tọa độ của một điểm đối với hệ trục tọa độ Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ của vectơ OM được gọi là tọa độ của điểm M. Như vậy, y cặp số (x ; y) là tọa độ của M  OM =(x ; y) M(x;y) M2 Khi đó, ta viết M(x ; y) hoặc M(x ; y) + x gọi là hoành độ điểm M, y gọi là tung độ điểm M M1 O x + M(x ; y) OM  xi  y j  OM =(x;y) x= OM1 ; y= OM 2 + Gốc tọa độ là O(0;0)  Tọa độ vectơ MN khi biết tọa độ hai điểm M, N Cho M(xM ; yM) và N(xN ; yN) ta có : MN = (xM – xN ; yM – yN)  Tọa độ trung điểm: Nếu P( xP ; yP ) là trung điểm của đoạn thẳng MN thì: xP = xM  xN y  yN ; yP = M 2 2  Tọa độ trọng tâm tan giác ABC: Nếu A(xA;yA), B(xB;yB), C(xC;yC). Khi đó tọa độ trọng tâm G(xG;yG) được tính theo công thức: xG =  1) | u | = xA  xB  xC y  yB  yC ; yG = A 3 3  x 2  y 2 với u = (x;y)  2) | AB | = ( x B  x A ) 2  ( y B  y A ) 2 với A(xA ; yA) , B(xB ; yB) 3) Cho hai ñieåm A=(xA ; yA),B=(xB ; yB) . Neáu ñieåm M chia ñoaïn thaúng AB theo tæ soá k  1 thì M(xM ; yM) coù toaï ñoä laø: x  kxB y  kyB ; (nếu k= 1 thì M là trung điểm AB) xM  A yM  A 1 k 1 k 4) Ba điểm A(xA ; yA) , B(xB ; yB), C(xC ; yC) thẳng hàng xC  x A yC  y A   AC / / AB  xC  x A  yC  y A  ba điểm A, B, C không thẳng hàng khi xB  x A y B  y A xB  x A yB  y A -20-
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan