Tài liệu Tối ưu hóa với các hàm lipschitz

  • Số trang: 56 |
  • Loại file: PDF |
  • Lượt xem: 98 |
  • Lượt tải: 0
nguyetha

Đã đăng 8490 tài liệu

Mô tả:

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------------------- BÙI VĂN DŨNG TỐI ƯU HÓA VỚI CÁC HÀM LIPSCHITZ ĐỊA PHƯƠNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2012 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - ĐHTN http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1 MỞ ĐẦU Lớp các bài toán tối ưu với các hàm Lipschitz địa phương là một bộ phận quan trọng của lớp các bài toán tối ưu không trơn. Bởi vì các hàm Lipschitz địa phương xác định trên các không gian hữu hạn chiều là khả vi hầu khắp nơi nên ta có thể xem các bài toán Lipschitz địa phương là lớp trung gian giữa các lớp bài toán với các hàm khả vi và không khả vi. Năm 1983 cuốn sách chuyên khảo “Optimization and Nonsmooth Analysis” của F.H. Clarke 5 ra đời đánh dấu một bước tiến quan trọng của lí thuyết tối ưu không trơn F.H. Clarke 5 đã xây dựng lí thuyết đạo hàm suy rộng theo phương và gradient suy rộng cho hàm Lipschitz địa phương giá trị thực và jacobian suy rộng cho hàm giá trị véc tơ và thiết lập các điều kiện cần tối ưu cho bài toán với hàm theo phương và dưới vi phân cho hàm Lipschitz địa phương mà ta gọi là đạo hàm theo phương Michel-Penot và dưới vi phân Michel-Penot. Chú ý rằng một hàm khả vi Gâteaux thì dưới vi phân Michel-Penot là đạo hàm Gâteaux, trong khi đó nếu hàm khả vi chặt thì đạo hàm chặt mới là gradient suy rộng Clarke. Mới đây Đ.V.Lưu 12 đã thiết lập các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu Lipschitz địa phương với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Đây là vấn đề đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chính vì thế mà em chọn đề tài luận văn: “Tối ưu hóa với các hàm Lipschitz địa phương”. Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho các bài toán với các hàm Lipschitz địa phương đơn và đa mục tiêu dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke và dưới vi phân Michel-Penot. Luận văn bao gồm phần mở đầu, hai chương, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo. Chương 1: điều kiện cần dưới ngôn ngữ gradient suy rộng Clarke. Chương một trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của 2 F.H.Clarke và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D. Craven. Chương 2: Điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Chương 2 trình bày các điều kiện cần cho nghiệm hữu hiệu của Đ.V.Lưu 12 cho bài toán tối ưu đa mục tiêu với ràng buộc nón, ràng buộc đẳng thức và ràng buộc tập. Bài toán tối ưu đa mục tiêu ở đây bao gồm các hàm Lipschitz địa phương hoặc có đạo hàm Fréchet (không nhất thiết lớp C1 ). Với một trong sáu điều kiện chính qui (CQ1) –(CQ6), các điều kiện cần Kuhn-Tucker được trình bày dưới ngôn ngữ dưới vi phân Michel-Penot. Ngày 26 tháng 09 năm 2012 Bùi Văn Dũng 3 Chương 1 ĐIỀU KIỆN CẦN TỐI ƯU DƯỚI NGÔN NGỮ GRADIENT SUY RỘNG CLARKE Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản của giải tích Lipschitz, điều kiện cần tối ưu cho bài toán tối ưu đơn mục tiêu có ràng buộc với các hàm Lípschitz địa phương của F.H.Clarke 5 và điều kiện cần cho cực tiểu yếu địa phương của bài toán tối ưu đa mục tiêu với các hàm Lipschitz địa phương của B.D.Craven  4. Các kiến thức trình bày trong chương này được tham khảo từ các tài liệu 1 ,  2. 1.1 Một số kiến thức về giải tích Lipschitz 1.1.1 Đạo hàm suy rộng Clarke và gradient suy rộng Clarke Giả sử X là không gian Banach, X * là không gian đối ngẫu tôpô của X và f là hàm Lipschitz địa phương tại x  X . Định nghĩa 1.1.1 Đạo hàm suy rộng của hàm f theo phương v  X  tại x , kí hiệu là f0  x ; v  được xác định như sau: f 0  x , v   lim sup x  x t 0 f  y  tv   f  x  , t trong đó x  X , t  0. Đây là khái niệm đạo hàm suy rộng theo phương của F.H. Clarke. (1.1) 4 Định lí 1.1.1 Giả sử f Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz K tại x . Khi đó, (i) Hàm v  f 0  x; v  hữu hạn ,thuần nhất dương, dưới cộng tính trên X và f 0  x; v  K v ; (ii) f 0  x; v  nửa liên tục trên theo  x, v  ; f 0  x;. Lipschitz( theo v ) với hằng số K trên X ; (iii) f0  x ; v     f   x, v  . 0 Chứng minh (i) Do f Lipschitz địa phương tại x với hằng số Lipschitz K, cho nên tồn tại lân cận U của x sao cho với mọi y, z U , f  y  f  z  K y  z . Do đó, từ (1.1) ta có f 0  x, v   limsup K tv y  x t 0 t K v , bởi vì với t đủ nhỏ , y U thì y  tv U . Từ đó suy ra tính chất hữu hạn của hàm f 0  x,. . Với   0 , ta có f  y  tv   f  y  y  x t 0 t f  y  tv   f  y    limsup   f 0  x; v  y  x t 0 t f 0  x; v   limsup  hàm f 0  x;. thuần nhất dương. Bây giờ ta kiểm tra tính dưới cộng tính: f 0  x; v     limsup y  x t 0 f  y  tv  t   f  y  t 5  limsup y  x t 0 bởi vì y  tv  x f  y  tv  t   f  y  tv  f  y  tv   f  y   limsup  f 0  x;    f 0  x; v  , y  x t 0 t t khi y  x và t  0. (ii) Lấy các dãy  xi  và vi  hội tụ đến x và v tương ứng. Theo định nghĩa limsup, với i, yi  X , ti  0 sao cho 1 yi  xi  ti  , i 1 f  yi  ti vi   f  yi  f 0  xi , vi    i ti  Để ý rằng f  yi  ti v   f  yi  f  yi  ti vi   f  yi  ti v   . ti ti f  yi  ti vi   f  yi  ti v   K vi  v ti với i đủ lớn. Khi đó, từ (1.2) ta có limsup f 0  xi , vi   f 0  x, v  . i  Do đó f 0 .;. nửa liên tục trên. Ta chứng minh f 0  x;. Lipschitz trên X . Với u,   X , ta có f  y  tv   f  y   f  y  t   f  y   K v   t (với y gần x , t dương gần 0 ) (1.2) 6  f  y  tv   f  y  f  y  t   f  y    K v  t t  f 0  x; v   f 0  x;    K v   (1.3) Đổi vai trò của v và  ta nhận được f 0  x;    f 0  x; v   K v   . (1.4) Từ (1.3) và (1.4) ta suy ra f 0  x; v   f 0  x;    K v   . Như vậy là f 0  x;. Lipschitz với hằng số K trên (iii) X. Chứng minh f 0  x; v     f 0  x; v  . f 0  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t f 0  x; v   lim sup x x ; t 0 f  x  tv   f  x    f u  tv     f u   lim sup u  x ; t 0 t t (đặt u  x  tv )    f   x, v  . 0 Định nghĩa 1.1.2 Gradien suy rộng của hàm f tại x , kí hiệu là f  x  là tập hợp sau đây trong X *: f  x  :   X * : f 0  x ; u    , u , u  X . Đây là khái niệm gradient suy rộng của F.H. Clarke. Nhận xét 1.1.1 f  x    f  x ;0  , c 7 trong đó  f 0  x ;0  là dưới vi phân của hàm lồi c Bây giờ ta lấy   X * . Khi đó, chuẩn của f o  x ;. tại 0.  được xác định bởi công thức  * : sup   , v . vX ; V 1 Ký hiệu B* là hính cầu đơn vị mở trong X *. Định lí 1.1.2 Gỉả sử f là hàm Lipshitz địa phương với hằng số K tại x . Khi đó f  x    , lồi compact *yếu trong a)  *K b) Với mọi X * và  f  x  ; v  X , ta có f 0  x ; v   max   , v :  f  x . Chứng minh a) Theo định lí 1.1.1 f 0  x ;. là hàm dưới cộng tính, thuần nhất dương trên X . Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại hàm tuyến tính  : X  R sao cho f 0  x ; v    , v   v  X    f  x   f  x    Ta chứng minh f  x  lồi: lấy 1 , 2 f  x  ,0    1. Khi đó f 0  x;u    u  X ; i  1, 2   f 0  x ; u    f 0  x ; u   1    f 0  x ; u      1 , u   1     2 , u   1  1     2 ,u   1  1    2 f  x   f  x  lồi.  i , u  8 Bây giờ ta chứng minh f  x  compắc *yếu: với  f  x  ,  *  K  f  x   B*  0, K  , trong đó B*  0, K  B*  0, K  là compact *yếu trong Mà hình cầu đóng *yếu b) là hình cầu đóng tâm tại 0 với bán kính K . X * (định lí Alaoglu), f  x  là  f  x  compact*yếu. Theo định nghĩa 1.1.2 max   , v :  f  x   f 0  x ; v  . Giả sử tồn tại v0 sao cho max   , v0 :  f  x   f 0  x ; v0  . Theo định lí Hahn-Banach, tồn tại phiếm hàm tuyến tính  thảo mãn   ,v   f 0  x ; v   v  X  , f 0  x ; v0  .   , v0     f  x   f 0  x ; v0   Vô lí ! .   , v0  f 0  x , v0  Ví dụ 1.1.1 Xét trường hợp X  R, f  x   x . Khi đó, f là hàm Lipschitz trên hằng số Lipschitz K  1 Bây giờ, ta lấy x  0 . Khi đó f 0  x; v   lim y  x ;t 0 y  tv  y v t  f  x     R : v   , v  R  1 Tương tự, với v  0 , ta có   1 . Do đó,   1 . Một cách tương tự, nếu x0, f  x   1. R với 9 Xét trương hợp x  0 f 0  0; v   v   f  0    R : v   v, v R  f  0    1,1 1.1.2 Các phép tính của gradient suy rộng Clarke Định nghĩa 1.1.3 Ánh xạ đa trị  được gọi là đóng, nếu Gr đóng trong X  Y . Định nghĩa 1.1.4 Ánh xạ đa trị  được gọi là nửa liên tục trên tại x , nếu với   0,   0 sao cho  x  x   BX    X     X    BY , trong đó BX và BY là các hình cầu đơn vị mở trong X và Y . Định lí 1.1.3 1 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương. x Ta có các khẳng định sau đây: (i)  f  x   f 0  x ; v    , v (ii) Giả sử các dãy  v  X  ; xi   X , i   X * thỏa mãn  i f  xi  ;  xi  hội tụ đến x ,  là điểm giới hạn của  i  theo tô pô *yếu. Khi đó,  f  x  (tức là ánh xạ đa trị f  x  đóng *yếu ); (iii) f  x    0  yx  B f  y  ; (iiii) Nếu X hữu hạn chiều thì f là nửa liên tục trên tại x . 10 Nhắc lại 3 : cho hàm lối hàm lồi f tại f trên tập lồi mở U ,  f : U  R  dưới vi phân của x U được định nghĩa như sau    c f  X     X * : f  X   f  X    , X  X , X U . Định lí 1.1.4 1 Giả sử f là hàm lồi trên U , Lipschitz địa phương tại x U . Khi đó, f  x    c f  x  , f 0  x; v  f ,  x; v trong đó f là gradient suy rộng của f ;  v  X  , f '  x ;. là đạo hàm theo phương của f tại x . giả sử f là hàm Lipschitz trên tập con mở U trong R n . Khi đó, f khả nơi (theo độ đo Lebesgue) trên U . hầu khắp Ký hiệu  f là tập tất cả các điểm mà tại đó hàm f không khả v ( f : Rn  R ). Định lí 1.1.5 1 n Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x ; S là tập tùy ý trong R có độ đo Lebesgue bằng 0 . Khi đó f  x   co lim f  xi  : xi  x , xi  S , xi  f  , (1.5) trong đó co kí hiệu bao lồi. 1.1.3 Nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến Cho tập C  X , C   . Ta xét hàm khoảng cách dC : X  R được định nghĩa như sau: dC  x  : inf  x  c : c  C. 11 Khi C là tập đóng ta có: x  C  dC  x   0 . Hàm dC . không khả vi. Tuy nhiên dC . là hàm Lipschitz trên X . Định nghĩa 1.1.5 Vectơ v  X được gọi là tiếp xúc với tập C tại x  C , nếu: dC0  x ; v   0 . Ký hiệu TC  x  là tập tất cả các véc tơ tiếp xúc với C tại x  C : TC  x  : v  X : dC0  x ; v   0 . Khi đó, TC  x  là một nón lồi đóng trong X . TC  x  được gọi là nón tiếp tuyến Clarke (tangent cone) của tập C tại x . Nón pháp tuyến Clarke (normal cone) của tập C tại x được định nghĩa như sau: NC  x  :   X  :  , v  0, v  TC  x  . Ta có NC  x   TC0  x  (nón cực của nón TC  x   , NC  x   TC  x  TC  x   là nón đối ngẫu của TC  x  theo 1 NC  x   cl   0dC  x  , trong đó cl ký hiệu bao đóng * yếu. Định nghĩa 1.1.6 Giả sử C là một tập lồi. Vec tơ   X  được gọi là pháp tuyến của C tại x , nếu   , x  x  0  x  C  . Định nghĩa 1.1.6 cho ta vec tơ pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi. 12 Chú ý rằng nếu C là một tập lồi thì NC  x  trùng với nón pháp tuyến theo định nghĩa giải tích lồi. Khi C là một tập lồi, ta có dC . là một hàm lồi. Định nghĩa 1.1.7 Nón tiếp liên (contingent cone) của tập hợp C tại x được định nghĩa như sau: KC  x  : v  X :   0, t   0,   ,   v  tB .sao cho x  t  C . Nhận xét 1.1.2 a) Từ định nghĩa của KC  x  suy ra : x  clC ; b) Định nghĩa 1.1.7 có thể viết dưới dạng: KC  x   v  X : tn   0, n   v sao cho : x  tnn  C c) Ta có TC  x   KC  x  ; d) Nón KC  x  có thể không lồi. Định nghĩa 1.1.8 Tập C được gọi là chính qui tại x , nếu: TC  x   KC  x  . Định nghĩa 1.1.9 Trên đồ thị (epigraph) của hàm f : X  R được định nghĩa như sau: epif :  x, r   X  R : f  x   r . Định lí 1.1.6 1 Giả sử f là hàm Lipschitz địa phương tại x . Khi đó f chính qui tại x  epif chính quy tại  x , f  x   .  13 1.2 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán đơn mục tiêu Giả sử X là không gian Banach, f : X  R, gi : X  R  i  1,..., n  , h j : X  R  j  1,..., m  , C  X . Xét bài toán: mìn  x  ,  g  x   0 i  1,..., n ,  P1  i hi  x   0  j  1,..., m ,  x  C.  Kí hiệu g :  g1 ,..., g n  , h :  h1 ,..., hm  ; L  x,  , r , s, k  : X  R  Rn  Rm  R  R là hàm Lagrange của bài toán (P1): L  x,  , r , s, k     f  x    r , g  x     s, h  x    k   , r , s  d C  x  , trong đó dC . là hàm khoảng cách đến tập C. Nếu C  X thì hàm Lagrange có dạng: L  x,  , r , s    f  x    r , g  x     s, h  x   . Định lý 1.2.1 (Qui tắc nhân tử Lagrange của F.H.Clarke) Giả sử x là nghiệm của bài toán (P.1); tập C đóng và các hàm f , g i , h j  i  1,..., n; j  1,..., m  Lipschitz địa phương tại x  C . Khi đó, với số k đủ lớn, tồn tại   R, r  Rn , s  Rm không đồng thời bằng 0,   0, r  0 sao cho: 0  x L  x ,  , r, s, k  , (1.6) 14 r , g  x   0, (1.7) trong đó  x L là gradient suy rộng Clarke của hàm L theo biến x . Vec tơ   , r , s  thỏa mãn (1.6), (1.7) được gọi là nhân tử Lagrange của bài toán (P.1). Nhận xét 1.2.1 Khẳng định của định lý 1.2.1 vẫn đúng cho trường hợp x là cực tiểu địa phương. Thật vậy, vì x là cực tiểu địa phương, cho nên   0 sao cho f  x   f  x   x  C  x   B , trong đó B là hình cầu đơn vị đóng trong X . Thay C bằng tập C  x   B ta nhận được (1.6), (1.7). Nhận xét 1.2.2 Khẳng định của định lý 1.2.1 vẫn đúng, nếu ta lấy  , r, s   1. Thật vậy, nếu   , r , s  là nhân tử Lagrange, tức là thỏa mãn (1.6),(1.7) (với số k nào đó ), thì với t  0 , véc tơ  t , tr , ts  cũng là nhân tử Lagrange. 1 Lấy t    , r , s  , ta nhận được (t , tr , ts)  1. Chứng minh định lí 1.2.1 Đặt : T : t    , r , s   R1mn :   0, r  0, ( , r, s)  1. Với số   0, ta xác định hàm F : X  R F  x  : max   , r , s T  , r, s . f  x   f  x    , g  x  , h  x . 15 Chú ý rằng F là hàm Lipschitz địa phương tại x và F  x    . Ta có F  x   0  x  C  . Thật vậy, nếu y  C : F  y   0 , thì gi  y   0, h j  y   0  i  1,..., n; j  1,..., n  tức là y là điểm của bài toán (P.1) và f  y  f  x   . Điều này mâu thuẫn với tính cực tiểu của x ! . Vì vậy , F  x   inf F   C Theo nguyên lí biến phân Ekeland 1 , tồn tại u  x   B sao cho: x  C F  x    x  u  F u  .  Nếu k là hằng số Lipschitz của hàm  f , g , h  trong lân cận của x , thì với   0 đủ  nhỏ , k  k cũng là hằng số Lipschitz của hàm F  x    x  u trong một lân cận của điểm x  u. Do đó, u đạt cực tiểu trong một lân cận (của u ) của hàm số sau đây ( 5 , mệnh đề 2.4.3): x  F  x    x  u  kdC  x   max L  x,  , r , s, k    f  x    T   x u  G  x   x  u , trong đó G  x  : max L  x, , r, s, k    f  x    . T Vì vậy, với   0 đủ nhỏ ta có 0 G  u    B (1.8)  t, x    x L  x, t , k  (1.9) Ta chứng minh ánh xạ: Là đóng theo định nghĩa 1.1.3 16 Lấy t1 , t2  T , xét hàm số: x  L  x, t1 , k   L  x, t2 , k    t1  t2  f , g , h  x  . Hàm số này Lipschitz địa phương tại x với hằng số k t1  t2 . Vì vậy theo mệnh đề 1.1, ta có  x L  x, t1 , k    x L  x, t2 , k   k t2  t1 B. Từ đó suy ra ánh xạ (1.9) là đóng, Do F  u   0, tồn tại véc tơ đơn vị tu  T đạt cực đại   F  u   max t  f  u   f  x    , g  u  , h u   tT (có nghĩa là tu đạt cực đại cả G  u  ). Áp dụng định lí 3.2  2 , từ ( 1.8) ta nhận được 0  x L  u, tu , k    B. (1.10) Chú ý: nếu gi  u   0 , thì trong tu ta có ri  0. Nếu ta làm cho một chuỗi dãy  i  0, thì có dãy tương ứng ui  x , còn dãy con tu  i hội tụ đến một phần tử của T . Từ (1.10) và tính đóng của ánh xạ (1.9), ta suy ra kết luận của định lí. Hệ quả 1.2.1 : Giả sử x là nghiệm của bài toán (P1); các giả thiết của định lí 1.2.1 thỏa mãn. Khi đó , với số k đủ lớn , tồn tại   R, r  Rn , s  Rm không đồng thời bằng 0,   0, r  0 sao cho n m i 1 j 1 0  f  x    ri gi  x    s j h j  x   k   , r , s  dC  x  , r , g  x   0. 17 Hệ quả 1.2.2 Giả sử x là nghiệm của bài toán (P1); các giả thiết của định lí 1.2.1 thỏa mãn, khi đó, tồn tại   R, r  Rn , s  Rm không đồng thời bằng 0,   0, r  0 sao cho n m i 1 j 1 0  f  x    ri gi  x    s j h j  x   NC  x  , r , g  x   0, trong đó NC  x  là nón pháp tuyến Clarke của C tại x . Chứng minh Bởi vì   NC  x   cl  dC  x   ,   0  trong đó cl kí hiệu là bao đóng *yếu, cho nên áp dụng định lí 1.2.1 ta nhận được hệ quả 1.2.2. 1.3 Điều kiện cần tối ưu cho bài toán qui hoạch đa mục tiêu Giả sử F : Rn  R p , g : Rn  Rm , h : Rn  Rr là các hàm Lipschitz địa phương tại x  Rn ; Q  R p , S  Rm,T  Rr là các nón lồi đóng với int Q   và int S   . Xét bài toán tối ưu véc tơ  WMINF  x  ,  P 2    g  x   S ,  h  x   T ,  trong đó WMIN kí hiệu cực tiểu yếu địa phương mà ta sẽ định nghĩa dưới đây Kí hiệu  là tập chấp nhận được của bài toán (P2):  :  x  R n :  g  x   S , h  x  T  18 Định nghĩa 1.3.1 (i) Điểm x  được gọi là nghiệm pareto địa phương (local Pareto solution) hay nghiệm hữu hiệu địa phương (local efficient solution ) của bài toán (P2), nếu tồn tại số   0 sao cho: x  B  x ,   F  x   F  x  Q \ 0 , (1.11) trong đó B  x ,   là hình cầu mở tâm x , bán kính  , (ii) Điểm x  được gọi là cực tiểu yếu địa phương (local weak minimum) hay nghiệm hữu hiệu yếu địa phương (local weak- efficient solution) của bài toán (P2) nếu tồn tại số   0 sao cho F  x   F  x   int Q(x  B  x ,  ); ( (iii) ( 1.12) Điểm x  được gọi là cực tiểu mạnh địa phương (local strong minimum)của bài toán (P2) nếu tồn tại số   0 sao cho: (1.13) F  x   F  x   Q (x  B  x ,  ); hay F  x   F  x  (x  B  x ,  ); Q trong đó y1  y2  y1  y2  Q. Q Nhận xét 1.3.1 x là cực tiểu mạnh  x làcực tiểu Pareto  x là cực tiểu yếu. Với tập E   R m  và điểm c  E , ta định nghĩa Ec :   x  c  :   0, x  E , 19 Trở lại với bài toán (P2), nón Q có int Q   . Khi đó, nón liên hợp Q* có một cơ sở lồi compắc B . Như vậy, Q*   b :   0, b  B và 0  B. Cho x  là cực tiểu yếu của bài toán (P2). Kí hiệu A là một cơ sở lồi compắc của  S g  x   ; cơ sở này tồn tại bởi vì int S   và S g  x   S. * Mệnh đề 1.3.1 Giả sử Q là nón lồi đóng , int Q   và B là cơ sở lồi compắc của nón Q* ; điểm u  X thỏa mãn  , u  0    B  . Khi đó, u   int Q. Chứng minh Theo giả thiết,  , u  0    B    , u  0    Q*   u  Q** Mặt khác, theo mệnh đề 1.10  2 , do Q là nón lồi đóng, nên Q**  coQ  Q. Vì vậy, u  Q. Giả sử u  bdQ (biên của Q ). Theo định lí tách ,tồn tại  0  0  0  Rm  sao cho  0 , u  0  0 , v  0  v  Q    0  Q* : Mâu thuẫn với giả thiết (!) Vậy, u   int Q.
- Xem thêm -