Tài liệu Tốc độ hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên trong các định lí giới hạn trung tâm

Luªn v«n tèt nghi»p (Chuy¶n ng nh: To¡n Ùng Döng) TÈC Ë HËI TÖ CÕA D‚Y BI˜N NGˆU NHI–N TRONG CC ÀNH L GIÎI H„N TRUNG T…M Gi¡o vi¶n h÷îng d¨n: Th.s L¥m Ho ng Ch÷ìng Sinh vi¶n thüc hi»n: Nguy¹n Thà Huýnh Nh÷ MSSV: 1076646 Ng y 2 th¡ng 6 n«m 2011 2 LÍI CƒM ÌN Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i Håc C¦n Thì, Ban chõ nhi»m Khoa Khoa Håc Tü Nhi¶n còng quþ Th¦y Cæ thuëc Bë mæn To¡n ¢ t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho em håc tªp v  thüc hi»n · t i. C£m ìn Th¦y L¥m Ho ng Ch÷ìng ¢ tªn t¼nh ch¿ b£o, gióp ï em ho n th nh · t i. C£m ìn sü gióp ï cõa gia ¼nh v  c¡c th nh vi¶n trong lîp To¡n Ùng Döng K33. Trong qu¡ tr¼nh l m b i khæng tr¡nh khäi nhúng sai sât, em r§t mong quþ Th¦y Cæ thæng c£m v  gióp em kh­c phöc º luªn v«n cõa em ho n thi»n hìn. K½nh chóc quþ Th¦y Cæ ÷ñc nhi·u sùc khäe. Em xin ch¥n th nh c£m ìn! C¦n Thì, ng y 30 th¡ng 5 n«m 2011 Nguy¹n Thà Huýnh Nh÷ 3 PH†N MÐ †U I. Lþ do chån · t i v  möc ½ch nghi¶n cùu X¡c su§t thèng k¶ l  chuy¶n ng nh quan trång cõa tin håc, to¡n håc v  câ vai trá thi¸t y¸u èi vîi sü ph¡t triºn cõa c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷: hâa håc, vªt lþ, y håc ... èi t÷ñng nghi¶n cùu cõa x¡c su§t thèng k¶ l  c¡c hi»n t÷ñng ng¨u nhi¶n, c¡c quy luªt ng¨u nhi¶n m  chóng ta th÷íng g°p trong thüc t¸. Kh¡c vîi mët sè mæn to¡n håc trøu t÷ñng, lþ thuy¸t x¡c su§t thèng k¶ l¤i g­n li·n vîi c¡c b i to¡n thüc t¸ trong cuëc sèng, trong tü nhi¶n v  x¢ hëi nh÷: vi»c x¡c ành rõi ro trong buæn b¡n h ng hâa hay sû döng lþ thuy¸t ë tin cªy trong thi¸t k¸ s£n ph©m º gi£m thiºu x¡c su§t häng hâc Trong lþ thuy¸t x¡c su§t ành l½ giîi h¤n trung t¥m l  ành l½ n·n t£ng v  câ vai trá quan trång. Nâ l  k¸t qu£ v· sü hëi tö y¸u cõa mët d¢y c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n, vîi ành l½ n y ta câ k¸t qu£ l  têng cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n s³ hëi tö v· mët bi¸n ng¨u nhi¶n n o â. Tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t cõa ành l½ giîi h¤n trung t¥m l  ta x²t sü hëi tö cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp, câ còng k¼ vång v  ph÷ìng sai. Tuy nhi¶n công tçn t¤i sü hëi tö trong tr÷íng hñp c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi nh÷ng v¨n £m b£o i·u ki»n khæng câ bi¸n ng¨u nhi¶n n o câ ph¥n phèi trëi hìn ho°c g¥y £nh h÷ðng ¸n ph¥n phèi cõa c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n kh¡c. i·u n y ÷ñc £m b£o bði i·u ki»n Lindeberg. Ngo i ra trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m vi»c ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸n ëc lªp trong mët sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m công câ vai trá quan trång. ¥y l  mët v§n · ¢ v  ang ÷ñc r§t nhi·u nh  to¡n håc quan t¥m. â công l  möc ti¶u c¦n ¤t ÷ñc cõa luªn v«n n y. II. èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu Trong to n bë luªn v«n n y, chóng ta sû döng to¡n tû Trotter nh÷ l  mët cæng cö ch½nh cho vi»c ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö tro¡g c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m. Ð c¡c ph¦n ti¸p theo, ta s³ ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö b¬ng cæng cö to¡n tû Trotter cho d¢y c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n, b¬ng Metric Trotter cho têng ng¨u nhi¶n cõa c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n. 4 III. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu º thüc hi»n luªn v«n n y, em ¢ s÷u t¦m v  åc c¡c t i li»u chuy¶n ng nh câ li¶n quan tø internet, s¡ch tham kh£o. Thæng qua sü gióp ï cõa gi¡o vi¶n h÷îng d¨n, em ¢ s­p x¸p, chùng minh l¤i t§t c£ c¡c ph¦n trong luªn v«n n y; çng thíi công câ mët v i nhªn x²t, l÷u þ. IV. C§u tróc cõa luªn v«n Luªn v«n chia l m ba ch÷ìng: ∗ ∗ ∗ Ch÷ìng 1: To¡n tû Trotter trong chùng minh c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m. Trong ch÷ìng n y, ta s³ i chùng minh: ành l½ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ còng ph¥n phèi v  ành l½ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi b¬ng to¡n tû Trotter. Ch÷ìng 2: Tèc ë hëi tö trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m. Trong ch÷ìng n y ta chùng minh tèc ë hëi tö cõa d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n trong mët sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m b¬ng to¡n tû Trotter. Ch÷ìng 3: ¡nh gi¡ tèc ë hëi tö trong mët sè ành l½ giîi h¤n trung t¥m b¬ng ph÷ìng ph¡p Metric Trotter. Trong ph¦n n y, ta sû döng Metric Trotter º chùng minh tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi v  x²t tèc ë hëi tö cõa têng ng¨u nhi¶n c¡c bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi. Nguy¹n Thà Huýnh Nh÷ Möc löc Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m 7 1.1. To¡n tû Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: 18 Ch÷ìng 2. Tèc ë hëi tö trong ành l½ giîi h¤n trung t¥m 25 Ch÷ìng 3. Metric x¡c su§t düa tr¶n to¡n tû Trotter 41 2.1. Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.2. C¡c ành l½ v· tèc ë hëi tö cõa d¢y bi¸n ng¨u nhi¶n ëc lªp . . . . . . . . . . 29 3.1. Metric x¡c su§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. V½ dö v· mët sè metric x¡c su§t thæng döng 3.1.2. Quan h» giúa c¡c metric x¡c su§t . . . . . . 3.2. To¡n tû Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. T½nh ch§t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Metric Trotter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4. Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 42 43 43 43 44 45 53 5 6 Möc löc Ch÷ìng 1 To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m Trong ch÷ìng n y, chóng ta x¥y düng l¤i to¡n tû Trotter v  sû döng nâ nh÷ l  mët ph÷ìng ph¡p trong chùng minh sü tçn t¤i cõa c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m cê iºn. 1.1. To¡n tû Trotter Gi£ sû CB (R) l  tªp hñp c¡c h m thüc li¶n töc ·u bà ch°n tr¶n (−∞, ∞).Vîi méi f ∈ CB (R), ành ngh¾a quan h» k · k nh÷ sau: k · k : CB (R) −→ CB (R) f 7−→ k f k = sup |f (x)| x Khi â, k · k l  mët chu©n cõa f tr¶n CB (R) Thªt vªy: + Vîi måi f ∈ CB (R), kf k = sup |f (x)| ≥ 0; x + Vîi måi f ∈ CB (R), v  vîi måi α ∈ R, kf k = 0 ⇔ f = 0, kαf k = sup |αf (x)| = |α|. sup |f (x)| = |α| ||f || x x + Vîi måi f, g ∈ C B (R) ||f + g|| = sup |(f + g)(x)| ≤ sup |f (x)| + sup |g(x)| = kf k + kgk x x ành ngh¾a 1.1. nh x¤ A x¡c ành trong lîp C gåi l  mët to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n CB (R) n¸u: x B (R) v  nhªn c¡c gi¡ trà trong CB (R) ÷ñc A(αf + βg) = αAf + βAg 7 8 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m ∀f, g ∈ CB (R); α, β ∈ R. Trong ph¦n ti¸p theo ta s³ thay kþ hi»u Af b¬ng A(f )). N¸u A, B l  nhúng to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n CB (R), (A + B)f = Af + Bf, ∀f ∈ CB (R); t÷ìng tü A − B ÷ñc T½ch AB th¼ ÷ñc x¡c ành bði AB.f = A(Bf ); 2 to¡n AB = BA. th¼ têng A + B ÷ñc x¡c ành bði x¡c ành bði (A − B)f = Af − Bf . tû A, B ÷ñc gåi l  giao ho¡n n¸u To¡n tû A câ t½nh ch§t kAf k ≤ kf k vîi ∀f ∈ CB (R) ÷ñc gåi l  to¡n tû co. Nhªn x²t 1.1. Têng, hi»u v  t½ch cõa 2 to¡n tû tuy¸n t½nh l  to¡n tû tuy¸n t½nh. Chùng minh. : Gåi A, B l  2 to¡n tû tuy¸n t½nh tr¶n CB (R), vîi f, g ∈ CB (R); α, β ∈ R Ta câ: A(αf + βg) = αAf + βAg B(αf + βg) = αBf + βBg Khi â: 1. (A + B)(αf + βg) = A(αf + βg) + B(αf + βg) = αAf + βAg + αBf + βBg = α(A + B)f + β(A + B)g 2. (A − B)(αf + βg) = A(αf + βg) − B(αf + βg) = αAf + βAg − αBf − βBg = α(A − B)f + β(A − B)g 3. (A.B)(αf + βg) = AB(αf ) + AB(βg) = α(AB)f + β(AB)g ành ngh¾a 1.2. Cho khæng gian x¡c su§t tòy þ (Ω, A, P ), khi â h m ph¥n phèi F cõa ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X , kþ hi»u FX (x) ÷ñc x¡c ành bði: P {ω ∈ Ω : X(ω) ≤ x} = FX (x), ∀x 9 1.1. To¡n tû Trotter N¸u f l  h m sè b§t ký trong CB (R), ∃ E{f (X)}  E{f (X)} = v  f (x)dFX (x) Ta x¡c ành mët to¡n tû tuy¸n t½nh li¶n k¸t vîi X theo c¡ch sau: Cho b§t ký f ∈ CB (R), ta x¡c ành:  (VX f )(y) = E{f (X + y)} = f (x + y)dFX (x), vîi ∀y Bê · 1.1. N¸u f li¶n töc ·u th¼ V f công li¶n töc ·u, bà ch°n (V l  l  to¡n tû co tr¶n CB (R). Chùng minh. : Xf X VX ∈ CB (R)). Hìn núa 1. Chùng minh VX f li¶n töc ·u v  bà ch°n. Tùc l  ta chùng minh: |(VX f )(x1 ) − (VX f )(x2 )| ≤ sup |f (x + x1 ) − f (x + x2 )| x vîi ∀x1, x2 Ta câ:      |(VX f )(x1 ) − (VX f )(x2 )| =  f (x + x1 )dFX (x) − f (x + x2 )dFX (x)      ≤  [f (x + x1 ) − f (x + x2 )] dFX (x)  ≤  ≤ |f (x + x1 ) − f (x + x2 )|dFX (x) sup |f (x + x1 ) − f (x + x2 )| dFX (x) x ≤ sup |f (x + x1 ) − f (x + x2 )| x 2. Chùng minh VX l  to¡n tû co. Ta câ:        |(VX )f (x)| =  f (x + y)dFX (x) ≤ |f (x + y)| dFX (x)  ≤ sup |f |dFX (x) = kf k =⇒ |(VX f )(x)| ≤ kf k, ∀x =⇒ |VX f | ≤ kf k =⇒ VX l  to¡n tû co. x  dFX (x) = kf k 10 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m Chó þ 1.1. 1. N¸u hai ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi th¼ to¡n tû li¶n k¸t l  gièng nhau. Chùng minh. : Gi£ sû X1, X2 ëc lªp câ còng ph¥n phèi F . Khi â, ta câ:  VX1 f (y) =  VX2 f (y) =  f (x1 + y)dFX (x1 ) =  f (x2 + y)dFX (x2 ) = f (x + y)dFX f (x + y)dFX ; ∀y =⇒ VX1 f (y) = VX2 f (y) 2. N¸u X1, X2 l  hai ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp vîi h m ph¥n phèi F1, th¼: F2 t÷ìng ùng, VX1 +X2 = VX2 VX1 Chùng minh. : Gi£ sû X1, X2 l  hai ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp vîi h m ph¥n phèi F1, F2. Theo ành ngh¾a, (VX1 +X2 )(x) = E {f (X1 + X2 + x)} . V¼ X1, X2 ëc lªp  E {f (X1 + X2 + x)} = = = f (x1 + x2 + x)dF1X (x1 )dF2X (x2 )  f (x1 + x2 + x)dF1X (x1 ) dF2X (x2 )    (VX1 f )(x2 + x)dF2X (x2 ) = (VX2 VX1 f )(x) Do â: VX +X = VX VX Chó þ 1.2. B¬ng c¡ch £o ng÷ñc thù tü cõa ph²p l§y t½ch ph¥n ð tr¶n ta câ c¡ch vi¸t kh¡c l  VX VX , i·u n y cho th§y VX , VX giao ho¡n. 1 1 2 2 2 1 1 2 Hìn núa, vîi n ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X1, X2, . . . , Xn th¼: VX1 +V2 +...+Xn = VX1 .VX2 . . . . VXn ành ngh¾a 1.3. Mët d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X , vîi h m ph¥n phèi x¡c su§t t÷ìng ùng F1, F2, . . . ÷ñc gåi l  hëi tö theo ph¥n phèi ¸n mët ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X vîi h m ph¥n phèi x¡c su§t F n¸u n→∞ lim Fn (y) = F (y), ∀y m  t¤i â F (y) li¶n töc ( tùc h m ph¥n phèi x¡c su§t khæng gi£m v  li¶n töc ph£i, x¡c ành mët gi¡ trà t¤i måi iºm m  nâ li¶n töc). 1 X2 , . . . 11 1.1. To¡n tû Trotter Bê · 1.2. N¸u: 0 ≤ f (x) ≤ 1 v  ( 1 , x∈A f (x) = 0 , x∈B th¼ P {X ∈ A} ≤ E{f (X)} ≤ 1 − P {X ∈ B} Chùng minh. : Ta câ: ∞ E(f (X)) = f (x)dFX (x) −∞  =  f (x)dFX (x) + A  =  dFX (x) + R/A f (x)dFX (x)  A  R/A dFX (x) + = f (x)dFX (x) A f (x)dFX (x) R/A ≥ P (X ∈ A) v¼
f (x)dFX (x) ≥ 0 R/A M°t kh¡c : ∞ E(f (X)) = f (x)dFX (x) −∞  =  f (x)dFX (x) +  B ≤ f (x)dFX (x) R/B |f (x)|dFX (x) R/B = P (X ∈ R/B) = P (X ∈ R) − P (X ∈ B) = 1 − P (X ∈ B) Tø â ta câ i·u ph£i chùng minh. Bê · 1.3. Gåi F, F1, F2, . . . l  h m ph¥n phèi x¡c su§t cõa X, X1, X2, . . . Gi£ sû y l  iºm m  t¤i â F li¶n töc. ∀ε > 0, ∃δ sao cho |F (y + δ) − F (y − δ)| < ε. Chùng minh. : V¼ F li¶n töc t¤i y n¶n ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀x ∈ [y − δ; y + δ] th¼ |F (x) − F (y)| < 2ε . 12 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m Khi â theo ành ngh¾a h m li¶n töc t¤i mët iºm ta câ: v  |F (y + δ) − F (y)| < ε 2 |F (y − δ) − F (y)| < ε 2 Suy ra: |F (y + δ) − F (y − δ)| = |F (y + δ) − F (y) + F (y) − F (y − δ)| ≤ |F (y + δ) − F (y)| + |F (y − δ) − F (y)| < Bê · 1.4. ∀f, g ∈ C 2 B (R) ε ε + =ε 2 2 sao cho 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ≤ 1, ∀x v  ( 1 , n¸u x ≤ y − δ f (x) = 0 , n¸u x ≥ y ( 1 , g(x) = 0 , Tø â suy ra n¸u n¸u x≤y x≥y+δ E{f (Xn )} ≤ Fn (y) ≤ E{g(Xn )}, ∀n Chùng minh. : 1.   y−δ P (X ≤ y − δ) = dFX (x) = F (y − δ) f (x)dFX (x) = −∞ Theo bê · 1.2 y−δ −∞ =⇒ F (y − δ) ≤ E(f (X)) 2.  y P (X ≤ y) = dFX (x) = F (y) −∞ v   +∞ E(f (X)) = f (x)dFX (x) −∞ y−δ =  dFX (x) + −∞ y−δ ≤ = F (y) +∞ f (x)dFX (x) + y−δ y dFX (x) + −∞  y dFX (x) y−δ f (x)dFX (x) y 13 1.1. To¡n tû Trotter 3.  +∞ g(x)dFX (x) E(g(X)) =  −∞ y g(x)dFX (x) + = −∞   y+δ +∞ g(x)dFX (x) + y g(x)dFX (x) y+δ y+δ g(x)dFX (x) = F (y) + y ≥ F (y) 4.  +∞ E{g(X)} = g(x)dFX (x) −∞ y+δ =  +∞ g(x)dFX (x) + −∞ y+δ ≤ g(x)dFX (x) y+δ g(x)dFX (x) −∞ = F (y + δ) Tâm l¤i, Hìn núa, F (y − δ) ≤ E {f (X)} ≤ F (y) ≤ E {g(X)} ≤ F (y + δ) E {f (Xn )} ≤ E {f (X)} ≤ Fn (y) ≤ E {g(Xn )} , ∀n Bê · 1.5. i·u ki»n õ cho mët d¢y c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X , X , . . . hëi tö theo ph¥n 1 phèi ¸n ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X l : 2 ∗ lim kVXn f − VX ∗ f k = 0, ∀f ∈ CB2 (R) n→∞ Chùng minh. : L§y c¡c h m f, g ∈ CB2 (R) thäa c¡c t½nh ch§t cõa bê · 1.5 Ta câ: lim kVXn f − VX ∗ f k = 0 n→∞ ⇐⇒ lim sup |VXn f − VX ∗ f | = 0 n→∞ x =⇒ lim |(VXn f − VX ∗ f )(0)| = 0 n→∞ ⇐⇒ lim (VXn f )(0) = (VX f )(0) n→∞ =⇒ lim E{f (Xn )} = E{f (X)} n→∞ T÷ìng tü: E{g(X)} = lim E{g(Xn )} n→∞ 14 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m Khi â, E{f (X)} ≤ lim inf Fn (y) ≤ lim sup Fn (y) ≤ E{g(X)} n→∞ Tø â n→∞ F (y) − ε ≤ lim inf Fn (y) ≤ lim sup Fn (y) ≤ F (y) + ε, n→∞ v  i·u n y cán óng vîi ∀ε > 0, n→∞ lim Fn (y) = F (y). n→∞ Trong ph¦n ti¸p theo ta dòng X ∗ º k½ hi»u cho bi¸n ng¨u nhi¶n chu©n hâa; tùc l  X ∗ l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n vîi h m ph¥n phèi x¡c su§t 1 FX ∗ (x) = √ 2π x u2 e− 2 du −∞ Ta nh­c l¤i t½nh ch§t cì b£n cõa ph¥n phèi chu©n t­c: 1. N¸u X ∗ ∈ N (0, 1) th¼ σ ∈ N (0, σ2). Thªt vªy, x P (σX ∗ < x) = P r(X ∗ < 1 x )= √ σ 2π σ e −t2 2 dt 0 °t u = σt ⇒ du = σdt t u 0 0 x σ x 1 ⇒ P (σX ∗ < x) = √ σ 2π ⇒ σX ∗ ∈ N (0; σ 2 ) 2. N¸u = X1∗, X2∗ ∈ N (0, Ta câ: 1) x −u2 e 2σ2 du 0 v  X1∗, X2∗ ëc lªp th¼ σ1X1∗ + σ2X2∗ ∈ N (0, σ12 + σ22 ). E(σ1 X1∗ + σ2 X2∗ ) = E(σ1 X1∗ ) + E(σ2 X2∗ ) = σ1 E(X1∗ ) + σ2 E(X2∗ ) = 0 V  D(σ1 X1∗ + σ2 X2∗ ) = D(σ1 X1∗ ) + D(σ2 X2∗ ) =     E(σ1 X1∗ − (E(σ1 X1∗ ))2 + E(σ2 X2∗ )2 − (E(σ2 X2∗ ))2 1.2. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi: 15     = σ12 E(X1∗ )2 − (E(X1∗ ))2 + σ22 E(X2∗ )2 − (E(X2∗ ))2 = σ12 D(X1∗ ) + σ22 D(X2∗ ) = σ12 + σ22 Hìn núa, ta công chùng minh ÷ñc σ1X1∗ + σ2X2∗ câ ph¥n phèi chu©n. =⇒ σ1 X1∗ + σ2 X2∗ ∈ N (0, σ12 + σ22 ) Tø â ta câ to¡n tû li¶n k¸t: Vσ1 X1∗ +σ2 X2∗ = Vσ1 X1∗ Vσ2 X2∗ = VσX ∗ trong â σ = (σ12 + σ22) 1 2 . 1.2. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi: Gi£ sû X l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n (vîi h m ph¥n phèi FX ) câ:  E(X) =  xdFX (x) = 0, D(X) = x2 dFX (x) = 1 Khi â, mët d¤ng cõa ành lþ giîi h¤n trung t¥m câ thº ÷ñc ph¡t biºu nh÷ sau: ành lþ 1.1. Cho X1, X2, . . . l  d¢y c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp còng ph¥n phèi vîi ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n X , v  °t: 1 Sn = √ (X1 + X2 + . . . + Xn ) n Khi â c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n Sn hëi tö theo ph¥n phèi ¸n mët bi¸n ng¨u nhi¶n chu©n hâa X ∗. Bê · 1.6. Cho A, B l  hai to¡n tû co giao ho¡n vîi nhau. Khi â, cho b§t k¼ f ∈ CB (R) kAn f − B n f k ≤ nkAf − Bf k Chùng minh. º th§y ÷ñc i·u n y, ta x²t: An f − B n f = n−1 X An−i−1 (A − B)B i f i=0 = n−1 X i=0 An−i−1 B i (A − B)f 16 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m =⇒ kAn f − B n f k = k n−1 X An−i−1 B i (A − B)f k i=0 ≤ n−1 X kAn−i−1 B i (A − B)f k i=0 ≤ n−1 X kB i (A − B)f k i=0 ≤ n−1 X k(A − B)f k i=0 = nkAf − Bf k Tø bê · 1.5, º chùng minh ành lþ 1.1 ta c¦n chùng minh lim kVSn f − VX ∗ f k = 0, ∀f ∈ CB2 (R) °t σ = √1n , ta câ: VSn = Vσ(X1 +X2 +...+Xn ) = VσX1 VσX2 . . . VσXn D¢y X1, X2, ..., Xn ëc lªp còng ph¥n phèi n¶n: VSn = VσX VσX . . . VσX n = VσX T÷ìng tü ta câ: n VX ∗ = VσX ∗ p döng bê · 1.6: n n kVSn f − VX ∗ f k = kVσX f − VσX ∗fk ≤ nkVσX f − VσX ∗ f k Nh÷ vªy muèn chùng minh lim kVSn f − VX ∗ f k = 0, ∀f ∈ CB2 (R) th¼ ta ch¿ c¦n chùng minh lim nkVσX f − VσX ∗ f k = 0, ∀f ∈ CB2 (R) n→∞ 1.2. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp câ còng ph¥n phèi: 17 Chùng minh. Cho f ∈ CB2 (R), ta câ chuéi khai triºn Taylor d¤ng: 1 f (x + y) = f (y) + xf 0 (y) + x2 f ”(η) 2 1 1 0 = f (y) + xf (y) + x2 f ”(y) + x2 (f ”(η) − f ”(y)) 2 2 vîi y ≤ η ≤ y + x Do f ∈ CB2 (R), f |f ”(η) − f ”(y)| < ε. li¶n töc ·u, n¶n ∀ε > 0, ∃δ > 0 sao cho ∀η thäa|η − y| < δ th¼ B¥y gií ta t½nh to¡n mët x§p x¿ tîi VσX f.  (VσX f )(y) = f (y + σx)dFX (x)   0 = f (y) dFX (x) + f (y)σ xdFX (x)   1 1 f ”(y)σ 2 x2 dFX (x) + σ 2 (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x) + 2 2  1 1 = f (y) + σ 2 f ”(y) + σ 2 (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x) 2 2  1 2 1 2 = f (y) + σ f ”(y) + σ (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x) 2 2 + 1 2 σ 2 |x|< σδ  (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x) |x|≥ σδ    1 2 1 2  ⇒ |(VσX f )(y) − f (y) − σ f ”(y)| = σ  (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x) 2 2  |x|< δ σ      + (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x)   |x|≥ σδ        1 2  2 ≤ σ  (f ”(η) − f ”(y))x dFX (x)  2  |x|< δ  σ       1 2   + σ  (f ”(η) − f ”(y))x2 dFX (x)  2  |x|≥ δ   σ ≤ 1 2 σ  2  |x|< σδ  εx2 dFX (x) + 2kf ”k |x|≥ σδ   x2 dFX (x) 18 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m 1 2 σ . 2ε = σ 2 . ε 2 = εn−1 ≤ δ (Khi
|x| < σ , |η − y| ≤ |σx| < δ 2 x dFX (x) = 0) lim k→∞ v  ∀η, |f ”(η) − f ”(y)| ≤ 2kf ”k,
x2 dFX (x) l  húu h¤n |x|≥k Do bi¸n ng¨u nhi¶n chu©n hâa công câ E(X ∗) = 0, (VσX ∗ f )(y). D(X ∗ ) = 1. ×îc l÷ñng t÷ìng tü cho 1 ⇒ |(VσX ∗ f )(y) − f (y) − σ 2 f ”(y)| ≤ εn−1 2 L§y hi»u giúa hai ÷îc l÷ñng 1 1 |(VσX f )(y) − (VσX ∗ f )(y)| = |(VσX f )(y) − f (y) − σ 2 f ”(y) − (VσX ∗ f )(y) + f (y) + σ 2 f ”(y)| 2 2 1 2 1 ≤ |(VσX f )(y) − f (y) − σ f ”(y)| + |(VσX ∗ f )(y) − f (y) − σ 2 f ”(y)| 2 2 ≤ 2εn−1 hay nkVσX f − VσX ∗ f k ≤ 2ε Chån gi¡ trà n õ lîn. i·u n y óng cho b§t k¼ ε > 0 v  do â lim nkVσX f − VσX ∗ f k = 0 n→∞ Tø â suy ra: lim kVSn f − VX ∗ f k = 0, ∀f ∈ CB2 (R) 1.3. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: Gi£ sû r¬ng X1, X2, . . . l  d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp, vîi Xi câ h m ph¥n phèi FX t÷ìng ùng. Khi â, méi Xi câ: i  E(Xi ) = °t sn =  n P σi2  xdFXi (x) = 0, D(Xi ) = x2 dFXi (x) = σi2 .  12 i=1 D¢y X1, X2, . . . tho£ i·u ki»n Lindeberg n¸u: lim n→∞ s−2 n  n X i=1 |x|≥δsn x2 dFXi (x) = 0, ∀δ > 0 19 1.3. ành lþ giîi h¤n trung t¥m cho c¡c ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n khæng còng ph¥n phèi: ành lþ 1.2. Cho X , X , . . . l  d¢y ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n ëc lªp nh÷ tr¶n. 1 2 °t Sn = s−1 n (X1 + X2 + . . . + Xn ) Khi â, n¸u i·u ki»n Lindeberg ÷ñc thäa th¼ ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n Sn hëi tö theo ph¥n phèi ¸n mët bi¸n ng¨u nhi¶n chu©n hâa X ∗ ∼ N (0, 1). Bê · 1.7. Cho A1, A2, . . . , An; B1, B2, . . . , Bn l  nhúng to¡n tû co, giao ho¡n vîi nhau. Khi â, cho b§t ký f ∈ CB (R) ||A1 A2 . . . An f − B1 B2 . . . Bn f || ≤ n X kAi f − Bi f k i=1 Chùng minh. : Ta câ: A1 A2 . . . An f − B1 B2 . . . Bn f = n X A1 A2 . . . Ai−1 (Ai − Bi )Bi+1 Bi+2 . . . Bn f i=1 = n X A1 A2 . . . Ai−1 .Bi+1 Bi+2 . . . Bn (Ai − Bi )f i=1 =⇒ ||A1 A2 . . . An f − B1 B2 . . . Bn f || = k n X A1 A2 . . . Ai−1 .Bi+1 Bi+2 . . . Bn (Ai − Bi )f k i=1 ≤ n X kA1 A2 . . . Ai−1 .Bi+1 Bi+2 . . . Bn (Ai − Bi )f k i=1 ≤ n X kBi+1 Bi+2 . . . Bn (Ai − Bi )f k i=1 ≤ n X k(Ai − Bi )f k i=1 = n X kAi f − Bi f k i=1 Bê · 1.8. Gåi X l  ¤i l÷ñng ng¨u nhi¶n câ h m ph¥n phèi F , câ E(X ) = 0, D(X ) = 1. ∗ X∗ ∗ ∗ N¸u x¡c ành Xi∗ = σiX ∗, khi â Xi∗ câ ph÷ìng sai gièng nh÷ Xi. N¸u d¢y X1, X2, . . . thäa i·u ki»n Lindeberg, th¼ d¢y X1∗, X2∗, . . . công thäa i·u ki»n Lindeberg. Chùng minh. °t kn = max {σi s−1 n } i≤n Ta chùng minh n¸u X1, X2, . . . thäa i·u ki»n Lindeberg, th¼ n→∞ lim kn = 0, khi â i·u ki»n cõa X1∗, X2∗, . . . công ÷ñc thäa. 20 Ch÷ìng 1. To¡n tû Trotter trong c¡c ành l½ giîi h¤n trung t¥m V¼ kn = max {σi s−1 n } n¶n ∃j ∈ 1, i≤n Ta câ: s−2 n  n X i=1 n : σj = kn sn  s−2 n 2 x dFXi (x) ≥ |x|≥δsn x2 dFXj (x)  |x|≥δsn 2 s−2 n (σj = x2 dFXj (x)) − |x|<δsn 2 2 2 ≥ s−2 n (σj − δ sn ) = kn2 − δ 2 Gi£ thi¸t, s−2 n n P
x2 dfi (x) → 0 i=1 |x|≥δsn khi n → ∞, ∀δ > 0 Do â, lim sup kn2 − δ 2 ≤ 0 n→∞ ⇒ lim sup kn2 ≤ δ 2 , ∀δ > 0 n→∞ Cho δ → 0 =⇒ lim sup kn2 = 0 n→∞ =⇒ lim kn2 = 0 n→∞ =⇒ lim kn = 0 n→∞ N¸u FX i l  h m ph¥n phèi cõa ∗ 0  x2i dFX ∗ i0 (xi )  , ta câ:  σi2 x2 dFX ∗ (x) = ≤ |x|≥δsn σi−1 |xi |≥δsn L§y têng tr¶n i v  chia s2n = s−2 n n X i=1 Cho b§t ký δ > 0, Xi∗
n P i=1 σi2 , ta ÷ñc:  x2i dFX ∗ i0 (xi ) x2 dFX ∗ (x). ≤ −1 |x|≥δkn |xi |≥δsn x2 dFX ∗ (x) → 0 −1 |x|≥δkn ⇒ x2 dFX ∗ (x). −1 |x|≥δkn  s−2 n σi2 n X i=1 khi n → ∞ v¼ kn → 0  |xi |≥δsn Tùc l  i·u ki»n Lindeberg ÷ñc thäa. x2i dFX ∗ i0 (xi ) → 0