NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN
Bài 1. NGUYÊN HÀM
I.
Lý thuyết
1. Nguyên hàm
f x dx F x C
2. Tính chất
-
f x dx ' f x và f x dx f x C
k. f x dx k f x dx k 0
f x g x dx f x dx g x dx
3. Bảng nguyên hàm
kdx kx C k const
x dx
x 1
C
1
1
1
u dx
u 1
C
1
1
x dx ln x C
u dx ln u C
e dx e
e dx e
x
x
C
u
u
C
ax
a dx ln a C
cos xdx sin x C
au
a dx ln a C
cos udx sin u C
sin xdx cos x C
sin udx cos u C
x
1
cos
2
x
1
sin
2
x
1
dx tan x C
cos
dx cot x C
sin
a2
x x a2 x2
a x dx 2 arcsin a 2 C
dx
1
ax
a 2 x 2 2a ln a x C
x 2
a
2
2
2
2
2
x a dx 2 x a 2 ln x x a C
2
u
2
Hoàng Văn Bình
2
u
1
2
u
1
dx tan u C
dx cot u C
arcsin
x
C
a
a x
dx
1
x
a 2 x 2 a arctan a C
dx
2
x 2 k ln x x k C
2
2
4. Các phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
f x dx F x C thì f u x .u ' x dx F u x C
Nếu
Đặt t u x dt u ' x dx . Khi đó
f t dt F t C F u x C
Cách đặt biến:
Dạng 1: Đặt biến thường
f ax b dx đặt t ax b
f
x dx đặt t
x
f tan x dx đặt t tan x
f cot x dx đặt t cot x
f ln x
dx đặt t ln x
x
f e e dx đặt t e
x
f x .xdx đặt t x
n 1
n 1
f sin x cos xdx đặt t sin x
x
x
f cos x sin xdx đặt t cos x
Dạng 2: Đặt lượng giác:
a2 x2
x a tant
1
2
2
x a cot t
a x
1
2
a x2
a2 x2
x a sin t
1
x a cos t
2
2
a x
a
x2 a2
x
sin t
1
2
x a
2
x
a
cos t
Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f x .
b. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Hoàng Văn Bình
x
Cho hai hàm số u u x và v v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn a; b thì khi đó ta có
udv uv vdu
Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ”
c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ
dx
1
-
Nguyên hàm dạng:
ax b a ln ax b C
-
Nguyên hàm dạng:
ax
-
Nguyên hàm dạng:
P x
G x dx
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn Q x x x1 x x2 ... x xn thì ta tách
P x
A1
G x dx x x
1
2
x x1
dx
1
ln
C với 0
bx c a x1 x2 x x2
An
A2
...
dx
x x2
x xn
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Q x x x1 x x2 x x3 thì ta
n
tách
A
P x
Bn1
Bn
A2
B1
B2
1
d
x
...
dx
n 1
n
G x x x1 x x2 x x3 x x 2
x x3
x x3
3
Nếu Q x là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử
x x1 x x2 x2 px q , p 2 4q 0
thì ta tách
P x
A1
G x dx x x
1
d. Dạng nguyên hàm vô tỉ
-
Nguyên hàm dạng R x,
Nguyên hàm dạng R x,
a x đặt x a tant
a
x a đặt x
cos t
x a sin t
Nguyên hàm dạng R x, a 2 x 2 đặt
x a cos t
2
2
2
2
-
ax
Nguyên hàm dạng R x,
đặt x a cos 2t
a x
-
ax b
ax b
Nguyên hàm dạng R x, n
đặt t n
cx d
cx d
Hoàng Văn Bình
A2
Bx C
2
dx
x x2 x px q
-
Nguyên hàm dạng R
1
ax b x
n
2
x
đặt t
1
ax b
e. Dạng nguyên hàm lượng giác
m, n
-
Nguyên hàm dạng sin n x.cos xmdx
m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc
m lẻ thì đặt u sin x , n lẻ thì đặt u cos x
f. Một số dạng tích phân đặc biệt
-
Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên a; a thì ta có
Cho hàm số f x liên tục là hàm lẻ trên a; a thì ta có
a
a
a
0
f x dx 2 f x dx .
a
f x dx 0 .
a
-
-
Cho hàm số f x liên tục là hàm chẵn trên ; thì ta có
Cho hàm số f x liên tục trên 0; thì ta có
2
a
f x
dx
a x 1 0 f x dx .
2
f sin x dx f cos x dx .
0
0
2
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Bấm máy tính như sau:
d
DA
dx
x X
DB
1. Tích phân hữu tỉ
Dạng
P x
Q x
trong đó bậc của P x Q x . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương
pháp r100
Ta giả sử Q x x x1 x x2 x x3 (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự):
P x
A
B
C
R x trong đó R x là biểu thức dư của phép chia.
Q x x x1 x x2 x x3
P x
d
A
dx x x2 x x3 x x1
P x
d
Tìm B
.
dx x x1 x x3 x x2
P x
C d
dx x x1 x x2 x x3
Hoàng Văn Bình
Tìm R x
P x
d
A
B
C
sử dụng cách tách 100
dx x x1 x x2 x x3 x x1 x x2 x x3 x 100
Dạng f x
Cách 1. Bấm:
A
B
ax b
cần tách đưa về dạng
x x1 x x2
x x1 x x2
aX b
d
X x1 X x2
dx
x X
r X x1 A
r X x2 B
Cách 2. Bấm:
aX b
. X x1
X x1 X x2
r X x1 0, 0000001 A
r X x2 0, 0000001 B
A
Cách 3: Bấm
B
d ax b
dx x x2 x x1
d ax b
dx x x1 x x2
Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: A ln x x1 B ln x x2 C .
VD. Tách F x
F x
Bấm:
x2 2 x 6
thành các phân thức tối giản
x3 7 x 2 14 x 8
x2 2x 6
x2 2x 6
A
B
C
3
2
x 7 x 14 x 8 x 1 x 2 x 4 x 1 x 2 x 3
X 2 2X 6
d
X 1 X 2 X 4
dx
r X 1 hệ số A 3
r X 2 hệ số B 7
Hoàng Văn Bình
x X
r X 4 hệ số C 5
x2 2x 6
3
7
5
Vậy F x 3
2
x 7 x 14 x 8 x 1 x 2 x 3
VD. Tính
1
dx
x 1
3
Đặt t 3 x 1 3t 2 dt dx
3t 2
dt
1 t
Thực hiện phép chia bằng máy tính:
3t 2
t 1
Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được
3t 2
3t
t
Nhập màn hình: r X 100 ta được
Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách
Sửa màn hình:
Ta được
Vậy
3
3
101 t 1
3t 2
3
3t 2 3t 2
3t 3
3t 3ln 1 t C
t 1
1 t
t 1 2
Hoàng Văn Bình
300
được hệ số tự do là 3 .
101
3 3 x 1
2
2
3 3 x 1 3ln 1 3 x 1 C
VD. Tính nguyên hàm
Ta biến đổi:
1 2sin x
dx
3
x cos 4 x
2sin x.cos
1 2sin x
1 2sin x cos x
1 2sin x cos x
1
dx
dx
.
dx
3
4
3
4
2sin x cos x cos x
2 tan x 1 cos 4 x
x cos x
2sin x.cos
1
2 tan x
2
1
tan 2 x 1 2 tan x
cos x
. 2 dx
d tan x
2 tan x 1
cos x
2 tan x 1
Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu:
Đặt X tan x
X 2 2X 1
2X 1
X2 1
X
Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được
2X 2
Nhập màn hình: r X 100
Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là
1
X nên tiếp theo ta sẽ được
2
150 3
201 4
Sửa màn hình: r X 100
Tách
1
1
1
.
804 4 2 X 1
Vậy ta được thương là
1
3 1
1
1
3 1
1
X .
tan x .
2
4 4 2X 1 2
4 4 2 tan x 1
3 1
1
1
3
1
1
2
Suy ra tan x .
d tan x tan x tan x ln 2 tan x 1 C
4 4 2 tan x 1
4
4
8
2
Ta thực hiện
Hoàng Văn Bình
Tách phân thức
ax b a
K
cx d c cx d
aX b a
cX d CALC X 10 K
Nhập máy tính:
cX d c
Khi đó:
ax b
a
K
cx d dx c cx d dx
VD. Tách F x
ax
Kc ln cx d
c
2x 1
2x 1
2x 1
K
1
2x 1
2x 1
2x 1
1 2 x 1 r x 10 K 2
Bấm
2x 1
Vậy F x
2x 1
2
1
2x 1
2x 1
Tách phân thức dạng:
A
P x
Bn1
Bn
A2
B1
B2
1
d
x
...
dx
n 1
n
G x x x1 x x2 x x3 x x 2
x
x
x
x
3
3
3
VD. Phân tích hàm số F x
Ta có
x
x 1 x 1
2
x
x 1 x 1
A
B
C
x 1 x 1 x 12
Ta sẽ tìm được A, C dễ hơn tìm B
Bấm:
x
d
2
x 1 x 1
dx
x X
Tìm A r X 1 ta được A
Để tìm C ta bấm
x
x 1 x 1
2
r X 1, 00001 ta được C
Hoàng Văn Bình
1
4
x 1
1
2
2
2
thành các phân thức tối giản
Để tìm B ta bấm:
x
x 1 x 1
2
x 1
2
r X 1, 00001 ta được
sau đó trừ đi
đem chia cho x 1
B
1
2
xấp xỉ
1
vậy
4
1
4
Vậy F x
x
x 1 x 1
2
1
1
1
4 x 1 4 x 1 2 x 12
Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ
tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của
phân thức ta cần tìm hệ số.
VD. Tách F x
F x
1
thành các phân thức tối giản
x 1
3
1
A
Bx C
2
x 1 x 1 x x 1
3
Tìm hệ số A bấm
1
d 3
x 1
dx
x 1
1
3
Tìm Bx C ta có:
1 2
x x 1 Bx C x 1 1 2
1
1
Bx C
3
x x 1 Bx C x 1 1
x 3 1 3 x 1 x 2 x 1
x3 1
3
Bx C
1
Vậy Bx C
Hoàng Văn Bình
1 2
x x 1
3
. Đến đây để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x i
x 1
1
2
x
3
3
1
2
x
1
1
3
Vậy F x 3
3
x 1 3( x 1) x 2 x 1
III. Ví dụ
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f x x 2 2 x 1
A. F x
1
B. F x x3 x 2 x C
3
1 3
x 2x x C
3
C. F x 2 x 2 C
1
D. F x x3 2 x 2 x C
3
Ta có: f x dx x 2 2 x 1 dx x 2 dx 2 xdx 1dx
VD. Nguyên hàm của hàm số f x
A. ln x ln x 2 C
Ta có:
1
C
x
1
1
là
5x 1
B. ln 5 x 1 C
C.
1
ln 5 x 1 C
5
1
ax b dx a ln ax b C
Áp dụng:
1
1
5x 1 dx 5 ln 5x 1 C
VD. Tìm nguyên hàm của f x 3 x là:
4
A.
1
D. ln x C
x
1
1
1
1
dx dx 2 dx ln x C
2
x
x
x
1
ln 5 x 1 C
5
Ta có:
C. ln x
f x dx x x
VD. Nguyên hàm của hàm số f x
A.
1 1
là
x x2
1
B. ln x C
x
1
x3
x 2 x C . Chọn B.
3
3 x
5
5
C
C. 4 3 x C
5
Ta có: u dx
Hoàng Văn Bình
u 1
C
1
B.
3 x
5
5
C
D. 4 3 x C
5
D. ln 5x 1 C
Áp dụng:
3 x
4
dx
3 x
5
5
C
VD. Biết F x là một nguyên hàm của hàm số f x
1
3
và thỏa mãn F 0. Tính
x 3x 2
2
2
F 3 .
Ta có: f x
D. F 3 ln 2
1
1
A
B
x 3x 2 x 1 x 2 x 1 x 2
2
Đồng nhất thức ta được
Ta có
C. F 3 2ln 2
B. F 3 2ln 2
A. F 3 ln 2
A B 0
A 1
A B x 2A B
A
B
1
x 1 x 2
x 1 x 2
x 1 x 2
2 A B 1 B 1
1
1
dx
dx ln x 1 ln x 2 C
x 1
x2
3
f 0 C 0 . Vậy f 3 ln 2 .
2
Qua ví dụ trên ta lưu ý:
Có thể nhớ nhanh công thức:
hợp
1
1
1
x a x b dx b a ln
1
ax b
ax b cx d dx ad bc ln cx d
xb
C hay tổng quát hơn cho trường
xa
C
VD. Xét I x 3 4 x 4 3 dx. Bằng cách đặt u 4 x 4 3 . Khẳng định nào sau đâu đúng?
5
A. I
1 5
u du
4
B. I
1
u 5 du
12
Đặt u 4 x 4 3 du 16 x 3dx x 3dx
C. I
1
u 5 du
16
D. I u 5du
5
1
du
u 5 du.
thay vào I x 3 4 x 4 3 dx. ta được
16
16
VD. Giả sử F x ax2 bx c e x là một nguyên hàm của hàm số f x x 2e x . Tính S a b c
A. S 1
B. S 0
C. S 5
Ta có F ' x 2ax b e x e x ax 2 bx c e x ax 2 2a b x b c e x x 2
a 1
a 1
2a b 0 b 2
b c 0
c 2
Hoàng Văn Bình
D. S 2
Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có:
Tạm ký hiệu như sau: u ', u '', u ''',... là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của u x . v1 , v2 , v3 ,... là nguyên hàm
lần 1,2,3… của v x .
Ta có được: uv1 u ' v2 u '' v3 ... ...
Áp dụng: u x 2 u ' 2 x, u '' 2 ; v ex v1 e x , v2 e x , v3 e x
x2 .e x 2 x.e x 2e x e x x 2 2 x 2 vậy ta cũng đã xác định được a, b, c nhanh chóng.
Vậy S a b c 1 2 2 1
Bấm máy tính như sau: y
Tách: 9802 10000 200 2 x 2 2 x 2 F x 1 2 2 1. Chọn A.
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f x cos 2 x
A.
1
sin 2 x C
2
B.
D. 2sin 2x C
C. 2sin 2x C
Đặt t 2 x dt 2dx dx
Thay ngược lại ta được
1
sin 2 x C
2
dt 1
dt
thay vào cos xdx cos t sin t C
2 2
2
1
sin 2 x C
2
Ta có công thức nhanh: cos ax b dx
1
1
sin ax b C ; sin ax b dx sin ax b C
a
a
VD. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn F x a cos x b sin x e x là nguyên hàm của hàm số
f x e x cos x . Tính P a b
A. 2
B. 1
C. 4
D. 3
Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu.
u ' sin x, u '' cos x
u cos x
Đặt
(ở đây có một quy ước nhỏ là v1 , v2 là nguyên hàm)
x
x
dv e dx v1 e dx
Hoàng Văn Bình
1
1
Ta có I cos x.e x sin x.e x e x cos xdx 2 I e x cos x sin x I e x cos x sin x
2
2
Vậy a b
1
S a b 1
2
Ta có công thức giải nhanh:
ax
e cos bxdx
eax
a cos bx b sin bx C
a 2 b2
eax
e sin bxdx a 2 b2 a sin bx b cos bx C
ax
VD. Biết
xe
A. ab
1
4
2x
dx axe2 x be2 x C a, b
B.
ab
.Tính ab
1
4
C. ab
1
8
D. ab
du dx
u x
Đặt
1 2x
2x
dv e dx v e
2
1
a
1
x
x
1
1
2
ab
Ta có: e 2 x e 2 x dx e 2 x e 2 x C
2
2
2
4
8
b 1
4
Bấm máy tính như sau:
Tách:
199 200 1 2 x 1 x 1
1
a.b
4
4
4 4 2 4
8
VD. Cho F x
f ' x ln x .
f x
1
. Tìm nguyên hàm của hàm số
là một nguyên hàm của hàm số
3
3x
x
ln x
1
2 C
3
5x
x
A.
ln x
1
2 C
3
5x
x
B.
C.
ln x
1
2 C
3
3x
x
D.
Hoàng Văn Bình
ln x
1
2 C
3
5x
x
1
8
F ' x
f x 1
1
4 f x 3
x
x
x
Xét nguyên hàm
1
u ln x
du dx
x
f ' x ln xdx đặt
dv f ' x dx
v f x
f ' x ln xdx ln x. f x
f x
ln
1
dx 3 3 C
x
x 3x
VD. Cho F x là một nguyên hàm của hàm số f x e x 2 x thỏa mãn F 0
A. F ( x) e x x 2
3
2
B. F ( x) 2e x x 2
C. F ( x) e x x 2
5
2
D. F ( x) e x x 2
Ta có:
e
F 0
x
3
. Tìm F x .
2
1
2
1
2
2 x dx e x 2 x 2 C
3
3
1
1
e0 02 C C . Vậy F ( x) e x x 2
2
2
2
2
VD. Cho hàm số y f x thỏa mãn f ' x x 1 e x và
f x dx ax b e
x
C với a, b .
Tính a b
A. 0
B. 3
C. 2
D. 1
Ta có F x ax b e x C là nguyên hàm của f x và f ' x x 1 e x
Đặt F '' x f ' x
f ' x dx x 1 e dx xe
x
f x dx xe dx x 1 e
x
x
x
C f x
C
Vậy a 1, b 1 a b 0
VD. Tìm nguyên hàm của hàm số
A. ln x 2
1
C
x
Hoàng Văn Bình
2 x3 1
x x3 1 dx bằng
B. ln x 2
1
C
x
C. ln x
1
C
x2
D. ln x
1
C
x2
Sử dụng phương pháp tách
2 x3 1
A Bx 2
3
x x 3 1 x x 1
r X 0, 000001
hệ số A 1
r X 1, 0000001
hệ số B 3
Suy ra:
2 x3 1
1 3 x 2
3
x x 3 1 x x 1
d x3 1
1 3x 2
2 x3 1
1
Khi đó:
dx 3 dx dx 3
x
x 1
x x3 1
x x 1
ln x ln x3 1 C ln
x3 1
1
C ln x 2 C
x
x
Bấm máy trực tiếp: qy
VD. Tìm nguyên hàm f x của hàm số f ' x
A.
sin x
2 sin x
Ta có:
2
C
cos x
2 sin x
2
B.
dx
cos x
2 sin x
1
C
2 cos x
d 2 sin x
2 sin x
2
2
C.
1
C
2 sin x
D.
sin x
C
2 sin x
1
C . Chọn C
2 sin x
VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số f x
x2
1 x3
1
x 1 x
2
có dạng a 1 x3
Tính a b
A. 2
Hoàng Văn Bình
B.
8
3
C. 2
D.
8
3
b
.
1 x
Tính
x2
1 x
x2
1 x
Tính
x2
f x dx
Ta có
3
3
x 1 x
2
dx
2
2
2
2
1 x3 A
dt t C1
3
3
3
3
1
x 1 x
Vậy a b
1
dx đặt t 1 x3 2tdt 3x 2 dx
dx
1 x3
dx
2
dx 2
1
1 x
2
d 1 x
2
C2 B 2
1 x
8
3
VD. Gọi F x là một nguyên hàm của hàm số f x 2 x , thỏa mãn F 0
thức T F 0 F 1 F 2 ... F 2017
A. T 1009.
22017 1
ln 2
B. T 22017.2018
C. T
22017 1
ln 2
1
. Tính giá trị biểu
ln 2
D. T
22018 1
ln 2
2x
C
Ta có F x 2 dx
ln 2
x
Mà F 0
1
2x
C 0 F x
ln 2
ln 2
T F 0 F 1 F 2 ... F 2017
20
2
21
22017
1 1 22018 22018 1
...
ln 2 ln 2 ln 2
ln 2 ln 2 1
ln 2
Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F x
2x
ln 2
Bấm: qi
ta được
đáp án đã rút gọn
. Chọn D.
Hoàng Văn Bình
bấm gán vào A, lấy A trừ đi
Bài 2. TÍCH PHÂN
I.
Lý thuyết
1. Tích phân
b
f x dx F b F a
a
2. Tính chất
Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân:
Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân:
b
b
b
a
a
a
f x g x dx f x dx g x dx
b
b
a
a
kf x dx k f x dx
a
Tích phân tại một điểm bằng 0:
f x dx 0
a
Chèn điểm c a; b vào cận ta có:
b
Tính bất biến của tích phân:
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
b
b
a
a
f x dx f t dt f y dy...
a
II. Sử dụng máy tính cầm tay
Sử dụng chức năng y để tính tích phân.
III. Ví dụ
1. Tích phân dạng hàm
VD. Cho hàm số f x có đạo hàm trên 1; 4 và thỏa mãn f 1 1,
4
f ' x dx 2 . Giá trị f 4 là
1
A. 2
Ta có:
B. 3
4
4
1
1
f ' x dx f x
C. 4
D. 1
f 4 f 1 2 f 4 3.
VD. Cho hàm số f x liên tục trên
và F x là nguyên hàm của f x , biết
9
f x dx 9 và
0
F 0 3 . Tính F 9
Hoàng Văn Bình
A. – 6
B. – 12
C. 12
D. 6
b
Ta có
f x dx F b F a từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại.
a
9
f x dx 9 F 9 F 0 F 9 9 3 6 . Chọn D.
0
4
VD. Cho hàm số f x liên tục trên 1; 4 , f 4 2017, f ' x dx 2016 . Tính f 1
1
A. f 1 3
D. f 1 2
C. f 1 1
B. f 1 1
4
f ' x dx f 4 f 1 2017 f 1 2016 f 1 1 . Chọn B.
Ta có:
1
VD. Cho hàm số f x liên tục trên 1; 2 và F x là nguyên hàm của f x , biết
2
f x dx 1 và
1
F 1 1 . Tính F 2
A. 2
B. 0
C. 3
D. 1
Chọn A.
VD. Cho hàm số f x thỏa mãn
5
2
2
f x dx 10 . Tính I 2 4 f x dx
5
D. I 40
C. I 36
B. I 34
A. I 32
2
2
2
2
5
5
5
5
5
2
Từ I 2 4 f x dx 2dx 4 f x 2 x 4 f x 6 40 34
Hoặc
b
Mẹo:
K
f x dx K f x b a
a
5
Áp dụng:
f x dx 10 f x
2
10
3
10
I 2 4 f x dx 2 4. 34
3
5
5
2
2
VD. Cho hàm số f x thỏa mãn
Hoàng Văn Bình
10
6
2
10
0
2
0
6
f x dx 7 và f x dx 3 . Tính I f x dx f x dx
A. I 10
Áp dụng tính chất
D. I 4
C. I 7
B. I 4
b
c
b
a
a
c
f x dx f x dx f x dx
Ta có:
10
2
6
10
2
10
2
10
0
0
2
6
0
6
0
6
f x dx f x dx f x dx f x dx 7 f x dx 3 f x dx f x dx f x dx 4
2
VD. Cho
4
f x dx 1,
2
4
f y dy.
f t dt 4 . Tính I
2
2
A. – 5
B. – 3
C. 3
4
2
4
2
4
2
2
2
2
2
D. 5
f y dy f y dy f y dy f x dx f t dt 1 4 5
x2
VD. Tính F ' 0 của hàm số F 0 cos tdt
x 0 .
0
A. 0
B. – 2
C. 2
D.
2
Đặt y t 2 ydy dt
t 0
y 0
Đổi cận tích phân:
2
y x
t x
x2
x
0
0
Ta được: F x cos tdt 2 y cos ydy
u 2 y
du 2dy
Đặt
dv cos ydy v sin y
x
x
x
x
0
0
0
0
Ta có: 2 y sin y 2 sin ydy 2 y sin y 2 cos y
2 x sin x 2 cos x 2 F x
Ta có f ' x 2 x cos x f 0 0
VD. Cho hàm số f x liên tục trên
4
và thỏa mãn
f x dx 2. Khẳng đinh nào sau đây sai?
2
2
A.
f 2 x dx 1
1
Hoàng Văn Bình
3
B.
3
f x 1 2
2
C.
1
f 2 x dx 2
6
D.
1
f x 2 dx 1
2 0
4
Ta có:
2
1
f x dx 2 f x 4 2 3
2
Bấm:
Đáp án A.
Đáp án B
Đáp án D
Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C.
VD. Cho f x liên tục trên 0; 2 thỏa mãn f x 2 f 2 x 2 x. Tính
2
f x dx.
0
A.
4
3
B.
2
3
C.
4
3
D. 2
Cách 1:
2
2
2
2
2
0
0
0
0
0
Từ f x 2 f 2 x 2 x f x dx 2 f 2 x dx 2xdx 4 3 f x dx 4 f x dx
Cách 2:
Chọn x 1 thay vào f x 2 f 2 x 2 x f 1 2 f 1 2
3 f 1 2 f 1
2
2
2
2
2
4
4
f 1dx dx f x dx
3
3
3
3
0
0
0
f x
1 1 2 x dx 4 trong đó y f x là hàm số chẵn trên 1;1 . Khi đó
1
VD. Cho
A. 2
B. 16
C. 4
Vì y f x là hàm số chẵn nên ta chọn f x x 2 . Bấm máy như sau:
Hoàng Văn Bình
1
f x dx
1
D. 8
bằng
4
3
- Xem thêm -