Đăng ký Đăng nhập
Trang chủ Giáo án - Bài giảng Trung học phổ thông [toanmath.com] giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính casi...

Tài liệu [toanmath.com] giải nhanh nguyên hàm, tích phân và ứng dụng bằng máy tính casio – hoàng văn bình

.PDF
44
275
85

Mô tả:

NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Bài 1. NGUYÊN HÀM I. Lý thuyết 1. Nguyên hàm  f  x  dx  F  x   C 2. Tính chất -   f  x  dx  '  f  x  và  f  x  dx  f  x   C  k. f  x  dx  k  f  x  dx  k  0    f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx 3. Bảng nguyên hàm  kdx  kx  C  k  const    x dx  x 1 C  1   1 1   u dx  u 1 C  1 1  x dx  ln x  C  u dx  ln u  C  e dx  e  e dx  e x x C u u C ax  a dx  ln a  C  cos xdx  sin x  C au  a dx  ln a  C  cos udx  sin u  C  sin xdx   cos x  C  sin udx   cos u  C x 1  cos 2 x 1  sin 2 x 1 dx  tan x  C  cos dx   cot x  C  sin a2 x x a2  x2  a  x dx  2 arcsin a  2  C dx 1 ax  a 2  x 2  2a ln a  x  C x 2 a 2 2 2 2 2  x  a dx  2 x  a  2 ln x  x  a  C 2 u 2 Hoàng Văn Bình 2 u 1  2 u 1 dx  tan u  C dx   cot u  C  arcsin x C a a x dx 1 x  a 2  x 2  a arctan a  C dx 2  x 2  k  ln x  x  k  C 2 2 4. Các phương pháp tìm nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số  f  x  dx  F  x   C thì  f u  x  .u '  x  dx  F u  x   C Nếu Đặt t  u  x   dt  u '  x  dx . Khi đó  f t  dt  F t   C  F u  x   C Cách đặt biến: Dạng 1: Đặt biến thường   f  ax  b  dx đặt t  ax  b     f  x dx đặt t  x   f  tan x  dx đặt t  tan x   f  cot x  dx đặt t  cot x   f  ln x  dx đặt t  ln x x   f  e  e dx đặt t  e x  f  x  .xdx đặt t  x n 1  n 1 f  sin x  cos xdx đặt t  sin x x x   f  cos x  sin xdx đặt t  cos x Dạng 2: Đặt lượng giác:   a2  x2   x  a tant 1     2 2  x  a cot t  a x  1  2  a  x2  a2  x2  x  a sin t     1  x  a cos t  2 2  a x a   x2  a2 x    sin t    1  2 x  a 2 x  a   cos t Sau khi tìm được nguyên hàm theo t thì ta thay ngược lại vào f  x  . b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Hoàng Văn Bình x Cho hai hàm số u  u  x  và v  v  x  liên tục và có đạo hàm trên đoạn  a; b thì khi đó ta có  udv  uv   vdu Cách làm: đặt theo quy tắc: “nhất loga – nhì đa – thức tam – lượng tứ mũ” c. Dạng nguyên hàm hữu tỉ dx 1 - Nguyên hàm dạng:  ax  b  a ln ax  b  C - Nguyên hàm dạng:  ax - Nguyên hàm dạng: P  x  G  x  dx  Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn Q  x    x  x1  x  x2  ...  x  xn  thì ta tách P  x  A1  G  x  dx    x  x 1   2 x  x1 dx 1  ln  C với   0  bx  c a  x1  x2  x  x2 An  A2  ...   dx x  x2 x  xn  Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn và nghiệm bội giả sử như Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  thì ta n tách  A P  x Bn1 Bn  A2 B1 B2 1 d x      ...    dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x3   x  x3   3   Nếu Q  x  là tích các nghiệm đơn và một tam thức bậc hai vô nghiệm giả sử  x  x1  x  x2   x2  px  q  ,   p 2  4q  0 thì ta tách P  x  A1  G  x  dx    x  x 1 d. Dạng nguyên hàm vô tỉ -  Nguyên hàm dạng R  x, Nguyên hàm dạng R  x,  a  x  đặt x  a tant a x  a  đặt x  cos t  x  a sin t Nguyên hàm dạng R x, a 2  x 2 đặt   x  a cos t 2 2 2 2 -  ax  Nguyên hàm dạng R  x,  đặt x  a cos 2t a  x   -  ax  b ax  b  Nguyên hàm dạng R  x, n  đặt t  n cx  d cx  d   Hoàng Văn Bình  A2 Bx  C   2 dx x  x2 x  px  q  - Nguyên hàm dạng R  1  ax  b   x n 2  x  đặt t  1 ax  b e. Dạng nguyên hàm lượng giác  m, n   - Nguyên hàm dạng  sin n x.cos xmdx  m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc  m lẻ thì đặt u  sin x , n lẻ thì đặt u  cos x f. Một số dạng tích phân đặc biệt - Cho hàm số f  x  liên tục là hàm chẵn trên  a; a  thì ta có Cho hàm số f  x  liên tục là hàm lẻ trên  a; a  thì ta có a a a 0  f  x  dx  2 f  x  dx . a  f  x  dx  0 . a - - Cho hàm số f  x  liên tục là hàm chẵn trên   ;  thì ta có   Cho hàm số f  x  liên tục trên 0;  thì ta có  2 a f  x dx   a x  1 0 f  x  dx .    2  f  sin x  dx   f  cos x  dx . 0 0 2 II. Sử dụng máy tính cầm tay Bấm máy tính như sau: d  DA dx x X  DB 1. Tích phân hữu tỉ  Dạng P  x  Q  x trong đó bậc của P  x   Q  x  . Ta thực hiện phép chia đa thức. Áp dụng phương pháp r100 Ta giả sử Q  x    x  x1  x  x2  x  x3  (nhiều hay ít hơn cũng làm tương tự): P  x A B C     R  x  trong đó R  x  là biểu thức dư của phép chia. Q  x  x  x1 x  x2 x  x3   P  x d   A    dx   x  x2  x  x3   x  x1    P  x d   Tìm  B   .  dx   x  x1  x  x3   x  x2    P  x C  d    dx   x  x1  x  x2   x  x3  Hoàng Văn Bình Tìm R  x   P  x d  A B C  sử dụng cách tách 100      dx   x  x1  x  x2  x  x3  x  x1 x  x2 x  x3  x  100  Dạng f  x   Cách 1. Bấm: A B ax  b  cần tách đưa về dạng x  x1 x  x2  x  x1  x  x2  aX  b d  X  x1  X  x2   dx  x X r X  x1  A r X  x2  B Cách 2. Bấm: aX  b .  X  x1   X  x1  X  x2  r X  x1  0, 0000001  A r X  x2  0, 0000001  B  A   Cách 3: Bấm  B    d  ax  b    dx  x  x2  x  x1 d  ax  b    dx  x  x1  x  x2 Cả ba cách trên nếu tìm nguyên hàm đều cho dạng: A ln x  x1  B ln x  x2  C . VD. Tách F  x   F  x  Bấm: x2  2 x  6 thành các phân thức tối giản x3  7 x 2  14 x  8 x2  2x  6 x2  2x  6 A B C     3 2 x  7 x  14 x  8  x  1 x  2  x  4  x  1 x  2 x  3 X 2  2X  6 d  X  1 X  2  X  4   dx  r X  1 hệ số A  3 r X  2 hệ số B  7 Hoàng Văn Bình x X r X  4 hệ số C  5 x2  2x  6 3 7 5    Vậy F  x   3 2 x  7 x  14 x  8 x  1 x  2 x  3 VD. Tính  1 dx x 1 3 Đặt t  3 x  1  3t 2 dt  dx   3t 2 dt 1 t Thực hiện phép chia bằng máy tính: 3t 2 t 1 Ta nhẩm lấy hệ số cao nhất của tử chia cho mẫu ta được 3t 2  3t t Nhập màn hình: r X  100 ta được Ta để ý vì bậc tử chia bậc mẫu ra bậc nhất nên ta tách Sửa màn hình: Ta được Vậy 3 3  101 t  1 3t 2 3 3t 2 3t 2  3t  3     3t  3ln 1  t  C t 1 1 t t 1 2 Hoàng Văn Bình 300 được hệ số tự do là 3 . 101  3 3  x  1 2 2  3 3 x  1  3ln 1  3 x  1  C VD. Tính nguyên hàm Ta biến đổi: 1  2sin x dx 3 x  cos 4 x  2sin x.cos 1  2sin x 1  2sin x cos x 1  2sin x cos x 1 dx   dx   . dx 3 4 3 4 2sin x cos x  cos x 2 tan x  1 cos 4 x x  cos x  2sin x.cos 1  2 tan x 2 1 tan 2 x  1  2 tan x   cos x . 2 dx   d  tan x  2 tan x  1 cos x 2 tan x  1 Ta thực hiện phép chia đa thức tử chia cho mẫu: Đặt X  tan x  X 2  2X 1 2X 1 X2 1  X Ta chia bậc cao nhất của tử cho mẫu ta được 2X 2 Nhập màn hình: r X  100 Vì thương của phép chia là bậc 1, mà hạng tử chứa bậc 1 đã là 1 X nên tiếp theo ta sẽ được 2 150 3  201 4 Sửa màn hình: r X  100 Tách 1 1 1  . 804 4 2 X  1 Vậy ta được thương là 1 3 1 1 1 3 1 1 X  .  tan x   . 2 4 4 2X 1 2 4 4 2 tan x  1 3 1 1 1 3 1 1  2 Suy ra   tan x   .  d  tan x   tan x  tan x  ln 2 tan x  1  C 4 4 2 tan x  1  4 4 8 2 Ta thực hiện Hoàng Văn Bình  Tách phân thức ax  b a K   cx  d c cx  d  aX  b a     cX  d  CALC X  10 K Nhập máy tính:   cX  d c  Khi đó: ax  b a  K  cx  d dx    c  cx  d  dx  VD. Tách F  x   ax  Kc ln cx  d c 2x 1 2x 1 2x 1 K  1 2x 1 2x 1  2x 1   1  2 x  1 r x  10  K  2 Bấm   2x 1  Vậy F  x   2x 1 2  1 2x 1 2x 1  Tách phân thức dạng:  A P  x Bn1 Bn  A2 B1 B2 1 d x      ...    dx n 1 n  G  x    x  x1 x  x2 x  x3  x  x 2  x  x x  x     3 3 3   VD. Phân tích hàm số F  x   Ta có x  x  1 x  1 2  x  x  1 x  1 A B C   x  1 x  1  x  12 Ta sẽ tìm được A, C dễ hơn tìm B Bấm: x d  2 x  1  x  1    dx  x X Tìm A r X  1 ta được A  Để tìm C ta bấm x  x  1  x  1 2 r X  1, 00001 ta được C  Hoàng Văn Bình 1 4  x  1 1 2 2 2 thành các phân thức tối giản Để tìm B ta bấm: x  x  1  x  1 2  x  1 2 r X  1, 00001 ta được sau đó trừ đi đem chia cho x 1 B 1 2 xấp xỉ 1 vậy 4 1 4 Vậy F  x   x  x  1 x  1 2  1 1 1   4  x  1 4  x  1 2  x  12 Bài này khá phức tạp vì tìm B không r được như bình thường. Các bạn chú ý theo dõi kỹ chỗ tìm B : khi r được kết quả nào thì trừ cho phần nguyên của số đó. Rồi đem chia cho mẫu của phân thức ta cần tìm hệ số. VD. Tách F  x   F  x  1 thành các phân thức tối giản x 1 3 1 A Bx  C   2 x 1 x 1 x  x  1 3 Tìm hệ số A bấm 1 d 3  x  1 dx   x 1 1 3 Tìm Bx  C ta có: 1 2  x  x  1   Bx  C  x  1 1 2 1 1 Bx  C 3      x  x  1   Bx  C  x  1  1 x 3  1 3  x  1 x 2  x  1 x3  1 3  Bx  C  1 Vậy Bx  C  Hoàng Văn Bình 1 2  x  x  1 3 . Đến đây để tìm B, C ta vào hệ w2 nhập hàm bên r x  i x 1 1 2 x 3 3 1 2 x 1 1 3 Vậy F  x   3   3 x  1 3( x  1) x 2  x  1 III. Ví dụ VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   x 2  2 x  1 A. F  x   1 B. F  x   x3  x 2  x  C 3 1 3 x  2x  x  C 3 C. F  x   2 x  2  C 1 D. F  x   x3  2 x 2  x  C 3 Ta có:  f  x dx    x 2  2 x  1 dx   x 2 dx   2 xdx   1dx  VD. Nguyên hàm của hàm số f  x   A. ln x  ln x 2  C Ta có: 1 C x 1 1 là 5x  1 B.  ln 5 x  1  C C. 1 ln 5 x  1  C 5 1  ax  b dx  a ln ax  b  C Áp dụng: 1 1  5x  1 dx  5 ln 5x  1  C VD. Tìm nguyên hàm của f  x    3  x  là: 4 A. 1 D. ln x   C x 1  1 1 1 dx   dx   2 dx  ln x   C 2  x x x  1 ln 5 x  1  C 5 Ta có: C. ln x   f  x dx    x  x VD. Nguyên hàm của hàm số f  x   A. 1 1  là x x2 1 B. ln x   C x 1 x3  x 2  x  C . Chọn B. 3  3  x  5 5 C C. 4  3  x   C 5 Ta có:  u dx  Hoàng Văn Bình u 1 C  1 B. 3  x  5 5 C D. 4  3  x   C 5 D. ln 5x  1  C Áp dụng:  3  x  4 dx   3  x  5 5 C VD. Biết F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   1 3 và thỏa mãn F    0. Tính x  3x  2 2 2 F  3 . Ta có: f  x   D. F  3   ln 2 1 1 A B    x  3x  2  x  1 x  2  x  1 x  2 2 Đồng nhất thức ta được Ta có   C. F  3  2ln 2 B. F  3  2ln 2 A. F  3  ln 2 A  B  0  A  1  A  B x  2A  B   A B 1      x 1 x  2  x 1 x  2   x 1 x  2  2 A  B  1  B  1 1 1 dx   dx   ln x  1  ln x  2  C x 1 x2 3 f    0  C  0 . Vậy f  3   ln 2 . 2 Qua ví dụ trên ta lưu ý: Có thể nhớ nhanh công thức: hợp 1 1 1   x  a  x  b dx  b  a ln 1 ax  b   ax  b  cx  d dx  ad  bc ln cx  d xb  C hay tổng quát hơn cho trường xa C VD. Xét I   x 3  4 x 4  3 dx. Bằng cách đặt u  4 x 4  3 . Khẳng định nào sau đâu đúng? 5 A. I  1 5 u du 4 B. I  1 u 5 du  12 Đặt u  4 x 4  3  du  16 x 3dx  x 3dx  C. I  1 u 5 du  16 D. I   u 5du 5 1 du u 5 du. thay vào I   x 3  4 x 4  3 dx. ta được  16 16 VD. Giả sử F  x    ax2  bx  c  e x là một nguyên hàm của hàm số f  x   x 2e x . Tính S  a  b  c A. S  1 B. S  0 C. S  5 Ta có F '  x    2ax  b  e x  e x  ax 2  bx  c   e x ax 2   2a  b  x  b  c   e x x 2 a  1 a  1   2a  b  0  b  2 b  c  0 c  2   Hoàng Văn Bình D. S  2 Hoặc một cách khác: dựa vào bản chất của nguyên hàm từng phần mà ta có: Tạm ký hiệu như sau: u ', u '', u ''',... là đạo hàm lần 1, 2, 3 …. Của u  x  . v1 , v2 , v3 ,... là nguyên hàm lần 1,2,3… của v  x  . Ta có được: uv1  u ' v2  u '' v3  ...  ... Áp dụng: u  x 2  u '  2 x, u ''  2 ; v  ex  v1  e x , v2  e x , v3  e x x2 .e x  2 x.e x  2e x  e x  x 2  2 x  2  vậy ta cũng đã xác định được a, b, c nhanh chóng. Vậy S  a  b  c  1  2  2  1 Bấm máy tính như sau: y Tách: 9802  10000  200  2  x 2  2 x  2  F  x   1  2  2  1. Chọn A. VD. Tìm nguyên hàm của hàm số f  x   cos 2 x A. 1 sin 2 x  C 2 B. D. 2sin 2x  C C. 2sin 2x  C Đặt t  2 x  dt  2dx  dx  Thay ngược lại ta được 1 sin 2 x  C 2 dt 1 dt thay vào  cos xdx   cos t  sin t  C 2 2 2 1 sin 2 x  C 2 Ta có công thức nhanh:  cos  ax  b dx  1 1 sin  ax  b   C ;  sin  ax  b dx   sin  ax  b   C a a VD. Cho a, b là hai số thực thỏa mãn F  x    a cos x  b sin x  e x là nguyên hàm của hàm số f  x   e x cos x . Tính P  a  b A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 Đây là dạng nguyên hàm lặp lại, vì khi ta nguyên hàm hai lần sẽ quay lại đề bài ban đầu. u '   sin x, u ''   cos x u  cos x  Đặt  (ở đây có một quy ước nhỏ là v1 , v2 là nguyên hàm)  x x dv  e dx v1  e dx Hoàng Văn Bình 1 1  Ta có I  cos x.e x  sin x.e x   e x cos xdx  2 I  e x  cos x  sin x   I  e x  cos x  sin x  2 2  Vậy a  b  1  S  a  b 1 2 Ta có công thức giải nhanh: ax  e cos bxdx  eax  a cos bx  b sin bx   C a 2  b2 eax  e sin bxdx  a 2  b2  a sin bx  b cos bx   C ax VD. Biết  xe A. ab  1 4 2x dx  axe2 x  be2 x  C  a, b  B. ab   .Tính ab 1 4 C. ab  1 8 D. ab  du  dx u  x  Đặt   1 2x 2x dv  e dx v  e  2 1  a  1 x x 1 1  2  ab   Ta có: e 2 x   e 2 x dx  e 2 x  e 2 x  C   2 2 2 4 8 b  1  4 Bấm máy tính như sau: Tách: 199 200  1 2 x 1 x 1 1       a.b  4 4 4 4 2 4 8 VD. Cho F  x   f '  x  ln x . f  x 1 . Tìm nguyên hàm của hàm số là một nguyên hàm của hàm số 3 3x x ln x 1  2 C 3 5x x A. ln x 1  2 C 3 5x x B. C. ln x 1  2 C 3 3x x D.  Hoàng Văn Bình ln x 1  2 C 3 5x x 1 8 F ' x  f  x 1 1  4  f  x  3 x x x Xét nguyên hàm  1  u  ln x  du  dx x  f '  x  ln xdx đặt   dv  f '  x  dx v  f  x    f '  x  ln xdx  ln x. f  x    f  x ln 1 dx  3  3  C x x 3x VD. Cho F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   e x  2 x thỏa mãn F  0   A. F ( x)  e x  x 2  3 2 B. F ( x)  2e x  x 2  C. F ( x)  e x  x 2  5 2 D. F ( x)  e x  x 2  Ta có:  e F  0  x 3 . Tìm F  x  . 2 1 2 1 2  2 x  dx  e x  2 x 2  C 3 3 1 1  e0  02  C   C  . Vậy F ( x)  e x  x 2  2 2 2 2 VD. Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn f '  x    x  1 e x và  f  x  dx   ax  b  e x  C với a, b  . Tính a  b A. 0 B. 3 C. 2 D. 1 Ta có F  x    ax  b  e x  C là nguyên hàm của f  x  và f '  x    x  1 e x Đặt  F ''  x   f '  x   f '  x  dx    x  1 e dx  xe x  f  x  dx   xe dx   x 1 e x x x  C  f  x C Vậy a  1, b  1  a  b  0 VD. Tìm nguyên hàm của hàm số A. ln x 2  1 C x Hoàng Văn Bình 2 x3  1  x  x3  1 dx bằng B. ln x 2  1 C x C. ln x  1 C x2 D. ln x  1 C x2 Sử dụng phương pháp tách 2 x3  1 A Bx 2   3 x  x 3  1 x x  1 r X  0, 000001 hệ số A  1 r X  1, 0000001 hệ số B  3 Suy ra: 2 x3  1 1 3 x 2   3 x  x 3  1 x x  1 d  x3  1  1 3x 2  2 x3  1 1 Khi đó:  dx     3  dx   dx   3 x x 1 x  x3  1  x x 1    ln x  ln x3  1  C  ln x3  1 1  C  ln x 2   C x x Bấm máy trực tiếp: qy VD. Tìm nguyên hàm f  x  của hàm số f '  x   A. sin x  2  sin x  Ta có: 2 C cos x   2  sin x  2 B. dx   cos x  2  sin x  1 C 2  cos x d  2  sin x   2  sin x  2  2 C. 1 C 2  sin x D. sin x C 2  sin x 1  C . Chọn C 2  sin x VD. Giả sử một nguyên hàm của hàm số f  x   x2 1  x3   1 x 1 x  2 có dạng a 1  x3  Tính a  b A. 2 Hoàng Văn Bình B. 8 3 C. 2 D. 8 3 b . 1 x Tính  x2  1 x x2 1 x Tính  x2 f  x dx    Ta có 3 3 x 1 x  2 dx 2 2 2 2 1  x3  A  dt   t  C1   3 3 3 3 1 x 1 x Vậy a  b    1 dx đặt t  1  x3  2tdt  3x 2 dx dx    1  x3 dx    2 dx  2 1 1  x  2   d 1 x  2  C2  B  2 1 x 8 3 VD. Gọi F  x  là một nguyên hàm của hàm số f  x   2 x , thỏa mãn F  0   thức T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017  A. T  1009. 22017  1 ln 2 B. T  22017.2018 C. T  22017  1 ln 2 1 . Tính giá trị biểu ln 2 D. T  22018  1 ln 2 2x C Ta có F  x    2 dx  ln 2 x Mà F  0   1 2x  C  0  F  x  ln 2 ln 2 T  F  0   F 1  F  2   ...  F  2017   20 2 21 22017 1 1  22018 22018  1    ...    ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 ln 2 1 ln 2 Bấm máy: ta cũng biến đổi để ra được F  x   2x ln 2 Bấm: qi ta được đáp án đã rút gọn . Chọn D. Hoàng Văn Bình bấm gán vào A, lấy A trừ đi Bài 2. TÍCH PHÂN I. Lý thuyết 1. Tích phân b  f  x  dx  F  b   F  a  a 2. Tính chất Tích phân của tổng thì bằng tổng các tích phân: Có thể đưa hằng số ra ngoài tích phân: b b b a a a   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx b b a a  kf  x  dx  k  f  x  dx a Tích phân tại một điểm bằng 0:  f  x  dx  0 a Chèn điểm c   a; b  vào cận ta có: b Tính bất biến của tích phân:  b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx b b a a f  x  dx   f  t  dt   f  y  dy... a II. Sử dụng máy tính cầm tay Sử dụng chức năng y để tính tích phân. III. Ví dụ 1. Tích phân dạng hàm VD. Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên 1; 4 và thỏa mãn f 1  1, 4  f '  x  dx  2 . Giá trị f  4 là 1 A. 2 Ta có: B. 3 4 4 1 1  f '  x  dx  f  x  C. 4 D. 1  f  4   f 1  2  f  4   3. VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết 9  f  x  dx  9 và 0 F  0   3 . Tính F  9  Hoàng Văn Bình A. – 6 B. – 12 C. 12 D. 6 b Ta có  f  x  dx  F b   F  a  từ đó ta có thể tính được một yếu tố khi biết hai yếu tố còn lại. a 9  f  x  dx  9  F 9  F  0  F 9  9  3  6 . Chọn D. 0 4 VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên  1; 4 , f  4   2017,  f '  x  dx  2016 . Tính f  1 1 A. f  1  3 D. f  1  2 C. f  1  1 B. f  1  1 4  f '  x  dx  f  4   f  1  2017  f  1  2016  f  1  1 . Chọn B. Ta có: 1 VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên  1; 2 và F  x  là nguyên hàm của f  x  , biết 2  f  x  dx  1 và 1 F  1  1 . Tính F  2  A. 2 B. 0 C. 3 D. 1 Chọn A. VD. Cho hàm số f  x  thỏa mãn 5  2 2 f  x  dx  10 . Tính I    2  4 f  x  dx 5 D. I  40 C. I  36 B. I  34 A. I  32 2 2 2 2 5 5 5 5 5 2 Từ I    2  4 f  x  dx   2dx  4 f  x   2 x  4 f  x   6  40  34 Hoặc b Mẹo: K  f  x  dx K  f  x   b  a a 5 Áp dụng:  f  x  dx  10  f  x   2 10 3 10   I    2  4 f  x dx    2  4.   34 3 5 5 2 2 VD. Cho hàm số f  x  thỏa mãn Hoàng Văn Bình 10 6 2 10 0 2 0 6  f  x  dx  7 và  f  x  dx  3 . Tính I   f  x  dx   f  x  dx A. I  10 Áp dụng tính chất D. I  4 C. I  7 B. I  4 b c b a a c  f  x  dx   f  x  dx   f  x dx Ta có: 10 2 6 10 2 10 2 10 0 0 2 6 0 6 0 6  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  7   f  x  dx  3   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  4 2 VD. Cho 4 f  x  dx  1,   2 4  f  y  dy. f  t  dt  4 . Tính I  2 2 A. – 5 B. – 3 C. 3 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 D. 5  f  y  dy   f  y  dy   f  y  dy    f  x  dx   f t  dt  1  4  5 x2 VD. Tính F '  0  của hàm số F  0    cos tdt  x  0 . 0 A. 0 B. – 2 C. 2 D. 2 Đặt y  t  2 ydy  dt t  0 y  0  Đổi cận tích phân:  2 y  x t  x x2 x 0 0 Ta được: F  x    cos tdt   2 y cos ydy u  2 y du  2dy  Đặt  dv  cos ydy v  sin y x x x x 0 0 0 0 Ta có: 2 y sin y  2 sin ydy  2 y sin y  2 cos y  2 x sin x  2 cos x  2  F  x  Ta có f '  x   2 x cos x  f  0   0 VD. Cho hàm số f  x  liên tục trên 4 và thỏa mãn  f  x  dx  2. Khẳng đinh nào sau đây sai? 2 2 A.  f  2 x  dx  1 1 Hoàng Văn Bình 3 B.  3 f  x  1  2 2 C.  1 f  2 x  dx  2 6 D. 1 f  x  2  dx  1 2 0 4 Ta có: 2 1  f  x  dx  2  f  x   4  2  3 2 Bấm: Đáp án A. Đáp án B Đáp án D Chọn C vì ở câu A ta đã loại được C. VD. Cho f  x  liên tục trên  0; 2 thỏa mãn f  x   2 f  2  x   2 x. Tính 2  f  x  dx. 0 A. 4 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 2 Cách 1: 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 Từ f  x   2 f  2  x   2 x   f  x  dx  2 f  2  x  dx   2xdx  4  3 f  x  dx  4   f  x  dx  Cách 2: Chọn x  1 thay vào f  x   2 f  2  x   2 x  f 1  2 f 1  2  3 f 1  2  f 1  2 2 2 2 2 4 4   f 1dx   dx    f  x  dx  3 3 3 3 0 0 0 f  x 1 1  2 x dx  4 trong đó y  f  x  là hàm số chẵn trên 1;1 . Khi đó 1 VD. Cho A. 2 B. 16 C. 4 Vì y  f  x  là hàm số chẵn nên ta chọn f  x   x 2 . Bấm máy như sau: Hoàng Văn Bình 1  f  x  dx 1 D. 8 bằng 4 3
- Xem thêm -

Tài liệu liên quan