NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN
1. Khái niệm tích phân
Cho F x là một nguyên hàm của f x và f x liên tục trên đoạn a; b thì
b
f ( x)dx F( x)
b
a
F ( b) F ( a )
a
Đối với biến số lấy tích phân, ta có thể chọn bất kì một chữ khác thay cho x, tức là:
b
b
b
a
a
f ( x)dx f (t )dt f (u)du ... F(b) F( a)
a
2. Tính chất của tích phân
Giả sử các hàm f , g liên tục trên K và a , b , c là 3 số bất kì thuộc K . Ta có:
a
f ( x)dx 0
a
b
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
b
b
b
b
a
a
a
b
kf ( x)dx k f ( x)dx , k
a
a
b
f ( x) g( x) dx f ( x)dx g( x)dx
c
b
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
a
b
b
b
Chú ý: f ( x) g( x)dx
a
a
b
b
f ( x)
dx
f ( x)dx. g( x)dx ,
g( x)
a
a
f ( x)dx
a
b
.
g( x)dx
a
A. BÀI TẬP TỰ LUẬN
LOẠI 1. DÙNG BẢNG NGUYÊN HÀM, ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT
b
f ( x)dx F( x)
b
a
F ( b) F ( a )
a
Bài 1:
Tính các tích phân sau:
2
a) ( x 3 2 x 1)dx .
1
1
b) ( x 2 x)(2 x 1)dx .
0
2
c).
1
x3 x
dx
x2
1
d)
0
x1
dx
2 x 3x 1
2
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 1
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Bài 2:
Tính các tích phân sau:
2
2
a) x 2 x dx .
b). max x 2 3 x 1, x 1 dx
0
0
2
c) 1 cos 2 xdx
d) min 2 x 2 x 1, x 1 dx
0
0
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
LOẠI 2. DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ
b
.
Dạng 1: Giả sử ta cần tính I f u x u x dx .
Đặt t u x dt u x dx
u b
a
Ta có: I
u b
f t dx F t
u a
u a
Đổi cận: x a t u a ; x b t u b
MỘT SỐ DẠNG HAY GẶP
f (sin x) cos xdx.
f (cos x) sin xdx.
Đặt t cos x
Đặt t ln x
1
f (ln x) x dx.
f x chỉ chứa 1 lượng căn
1
f (tan x) cos
2
x
1
f (cot x) sin
f (e
x
2
x
n
Đặt t n ax b
ax b
Đặt t tan x
dx.
Đặt t cot x
dx.
Đặt t e x
)e dx.
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Đặt t sin x
x
Page 2
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
.
Dạng 2: Giả sử ta cần tính I f x dx 0 .
f(x) có chứa
Cách đổi biến
a2 x 2
x a sin t ,
a2 x 2
x a tan t ,
x2 a2
x
a
,
sin t
2
t
t
2
2
2
t ; \0
2 2
Bài 3:
Tính các tích phân sau:
1
x 3 dx
.
2 3
0 (1 x )
a)
1
b). x 2 x 2 dx.
0
2
e) 1 sin 5 x .cos xdx f)
ln 2
ex
dx
1 ex
1
c). x 3 1 x 2 dx
0
1
2
g)
e
d)
1
3
dx
h)
1 3 ln x ln x
dx
x
dx
x 3
2
1 x
0
.........................................................................................................................................................................
0
0
0
2
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 3
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
LOẠI 3. PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN
b
b
udv u.v a vdu
a
b
a
b
Dạng : P( x).Q( x)dx Nhưng chưa tìm được nguyên hàm
a
Để làm dạng này ta tạm định nghĩa các nhóm hàm như sau:
Nhóm hàm lôgarit ln n f ( x),log na f ( x) .(Chưa có nguyên hàm trong bảng)
Nhóm hàm đa thức: f ( x) a0 a1 x a2 x 2 ... an x n .(Có nguyên hàm yếu)
Nhóm hàm lượng giác: sin( ax b),cos( ax b) .(Có nguyên hàm trong bảng)
Nhóm hàm mũ: e mx n , a mx n . (Có nguyên hàm trong bảng)
Phương pháp:
Nhận dạng: Hàm số dưới dấu nguyên hàm có 2 trong 4 nhóm hàm trên nhân với nhau.
Cách giải: Ưu tiên nhóm hàm chưa có nguyên hàm đặt là u, còn lại là dv. Từ đó ta có
cách đặt u của các dạng nguyên hàm từng phần thường gặp tuân theo câu thần chú sau:
Nhất lô – Nhì đa – Tam lượng – Tứ mũ.
Bài 4:
Tính các tích phân
2
a) ( x 3) sin xdx .
0
1
b) ( x 3)e x dx .
0
e
c) ( x 2) ln xdx .
1
1
d) ( e 2 x x)e x dx
0
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................................
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 4
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
B. PHẦN BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Loại 1. Định nghĩa và tính chất của tích phân
7
Câu 1.
Nếu F( x) là một nguyên hàm của f x , F(7) 9, f ( x)dx 2 thì giá trị F(2) bằng?
2
B. 7 .
A. 11 .
C. 7 .
D. 20 .
6
Câu 2.
Nếu f (1) 2, f (6) 21 , f ( x) liên tục thì giá trị f ( x)dx bằng ?
1
B. 19 .
A. 23 .
2
Câu 3.
Nếu f ( x)dx 3,
5
5
1
2
C. 7 .
B. 13 .
6
Câu 4.
Nếu f ( x)dx 20 thì giá trị
0
A. 40 .
Câu 5.
D. 19 .
f ( x)dx 10 thì giá trị f ( x)dx bằng ?
1
A. 7 .
C. 5 .
D. 3.
3
f (2 x)dx bằng ?
0
B. 10 .
C. 20. .
3
3
3
1
1
1
D. 24.
Nếu f ( x)dx 4, g( x)dx 3 thì giá trị 3 f ( x) 2 g( x) dx bằng ?
A. 6 .
B. 7 .
C. 18
D. 22 .
Câu 6. Cho f ( x) là hàm số liên tục trên a; b . Đẳng thức nào sau đây SAI?
b
a
b
A. f x dx f x dx.
a
B. kdx k b a ; k .
b
b
c
b
a
a
c
a
b
a
a
b
C. f x dx f x dx f x dx; c a; b . D. f x dx f x dx.
1
Câu 7.
Giả sử f x dx 2;
0
4
4
0
0
4
4
1
0
f x dx 3; g x dx 4 . Khẳng định nào sau đây là SAI?
4
A. f x dx g x dx .
B. f x g x dx 1.
0
4
C. f x g x dx 9 .
4
0
0
D. f x dx g x dx.
0
Câu 8.
4
Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?
b
A. Nếu f ( x) 0, x a; b thì f ( x)dx 0 .
a
a
B. Nếu f x f x , x a; a thì f x dx 0 .
a
b
b
b
a
a
a
C. f x .g x dx f x dx . g x dx , với mọi hàm số f x , g x liên tục trên a; b .
x2
1
D. Nếu f x dx F x C , C thì f ax b dx F ax2 b F ax1 b , a 0 .
a
x1
Câu 9.
Nếu hàm số y f x xác định, liên tục và không đổi dấu trên a; b thì đẳng thức nào
sau đây là đúng?
b
a
a
b
A. f x dx f x dx .
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
b
a
a
b
B. f x dx f x dx.
Page 5
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
b
a
a
b
b
a
D. f x dx
C. f x dx f x dx .
f x dx .
a
b
Câu 10. Nếu các hàm số f x và g x đều xác định, liên tục và có cùng một dấu trên a; b
thì đẳng thức nào sau đây là đúng?
a
b
b f x dx
a
a
f x
A. f x .g x dx f x dx . g x dx . B.
dx a
.
a
a g x
b
b
g x dx
b
b
b
C. f x g x dx
a
a
b
a
f x dx g x dx .
b
5
Câu 11. Giả sử f x dx 5,
0
a
a
b
D. f x g x dx f x g x dx .
6
6
f x dx 8. Khi đó f x dx bằng
0
5
B. 3 .
A. 3 .
b
D. 13.
C. 13 .
5
5
4
1
4
1
Câu 12. Nếu f x dx a , f x dx b thì f x dx bằng
A. a b .
B. b a .
C. a b .
D. a 4b .
a
a
0
0
Câu 13. Cho f x dx 5 và f x là hàm số chẵn. Khi đó f x dx bằng
A. 0.
C. 5 .
B. 5.
8
D. 10.
3
Câu 14. Cho f x dx 15 . Khi đó f 3 x 1 dx bằng
1
0
A. 45 .
B. 9 .
C. 5 .
1
7
0
5
D. 24 .
Câu 15. Cho f 2 x 5 dx 15 . Khi đó f x dx bằng
A.
15
.
2
B. 17 .
C. 21 .
D. 30 .
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm
dx x c , kdx kx C
x dx
1
x
1 ( ax b) 1
( ax b) dx .
C ,( 1)
a
1
dx
1 1
.
C ,( x b / a)
2
a ax b
( ax b)
C ,( 1)
1
dx
1
2 C ,( x 0)
x
x
3
Câu 16. Tính I (2 x 2 4 x 1)dx
1
A. I
7
.
3
B. I
1
9
.
4
C. I
10
.
3
D. I
3
.
5
Câu 17. Giá trị của tích phân y 3 3 y 2 2 dy là
0
A. 4.
3
B. .
4
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
C. 6.
Page 6
D. 3.
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
a
Câu 18. Tìm a, biết (3 x 2 2 x 1)dx 5 .
1
A. a 2 .
B. a 3 .
C. a 4 .
D. a 5 .
b
Câu 19. Tập hợp các giá trị của b sao cho 2 x 4 dx 5 là
0
B. 5; 1 .
A. 5 .
C. 4 .
D. 4; 1 .
m
Câu 20. Biết 2 x 5 dx 6 , tất cả giá trị m là
0
A. m 1, m 6 .
B. m 1, m 6 .
C. m 1, m 6 .
D.
dx
1
C ,( x 0) .
2
x
x
Câu 21. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
3
3
A. x 2 dx 0 .
B. x 2 1 dx 0 .
3
3
3
C. x 3 dx 0 .
3
3
D. x 2 x dx 0.
3
2
dx
bằng
4
1 x
31
31
A. .
B. .
5
5
2
a
2
dx
.
Câu 23. Tìm a, biết
3
100
1 3 x 1
Câu 22. Tích phân I
B. a 7 .
A. a 6 .
2
Câu 24. Cho x 3 dx
1
A. T 8 .
a
b
Câu 25. Cho 2 x 1dx
1
A. T 8 .
a
C. T 6 .
D. T 8 .
C. T 7 .
D. T 6 .
C. a 3 .
D. a 4 .
4x 2
25
.
dx
2
3
x
4
B. a 2 .
1
D. a 8 .
a 5 b
với a , b ; c . Tính T a b c
c
Câu 26. Tìm a, biết a N * và
Câu 27. Cho
7
.
24
2
2
D.
a
8 c với a , b , c ; là phân số tối giản. Tính T a b c 5 .
b
B. T 5 .
A. a 1 .
7
.
24
C. a 4 .
B. T 6 .
3
C.
x x x
a 2 b 2 c
dx
với a , b , c ; d . Tính T a b c d
x
d
3
3
A. T 5 .
B. T 5 .
C. T 10 .
D. T 10
C. a e.
D. a
C. 3.
D.
1
2
2 ln a
.
dx
2
3
0 (2 x 1)
Câu 28. Tìm a, biết
A. a 1 .
B. a 2 .
2
.
3
3
Câu 29. Giá trị của tích phân x 2 x 2 dx là
0
A. 4.
B. 5.
4
Câu 30. Tích phân x 2 3 x 2 dx
1
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
31
.
6
a
a
với a , b ; là phân số tối giản. Tính T a 2b .
b
b
Page 7
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
A. T 22 .
B. T 17 .
C. T 23 .
D. T 67 .
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)
dx
ln x C ,( x 0)
x
dx
1
ln ax b C ,( x b / a)
ax b a
2x3 2x 1
1
dx 2 2 ln a
2
a
x
1
B. a 3 .
C. a 4 .
a
Câu 31. Tìm a, biết a 0 và
A. a 2 .
D. a 1 .
5
1
dx ln A , giá trị của A là
2
x
1
1
Câu 32. Giả sử
A. 3.
B. 9.
5
Câu 33. Giả sử
3
C. 81.
D. 8.
dx
ln a. Khi đó giá trị của a là
x 1
A. 2 .
B. 3 .
Câu 34. Tìm a , biết a 1 và
A. a 1 .
C. 5 .
2
B. a 2 .
1
Câu 35. Tính I
0
D. 15.
2 x 3x 1
1
dx ln(2 a 1) .
2x 1
2
1
a
C. a 3 .
D. a
1
.
2
dx
.
x 4x 3
2
3
A. I ln .
2
1 3
1 3
1 3
B. I ln .
C. I ln .
D. I ln .
3 2
2 2
2 2
1
dx
a
a
Câu 36. Cho 2
ln với a , b ; là phân số tối giản. Tính T 2 a b .
b
b
0 x 5x 6
A. T 3 .
B. T 10 .
1
C. T 11 .
D. T 4 .
C. a 2 .
D. a 3 .
C. J ln 5 .
D. J ln 5 .
xdx
a
. Tìm a.
3
32
0 ( x 1)
2
Câu 37. Biết a 0 và
A. a 2 .
B. a 4 .
2
Câu 38. Tính J
0
A. J ln 2 .
(2 x 4)dx
.
x2 4x 3
B. J ln 3 .
2
Câu 39. Cho
0
( x 1)
dx a ln 5 b ln 3 với a , b . Tính T a 2b .
x 4x 3
2
B. T 7 .
C. T 9 .
D. T 9 .
x
a c
a c
dx ln với a , b , c , d ; , là các phân số tối giản. Tính
Câu 40. Cho 2
b d
b d
2 x 1
A. T 8 .
3
T a b c d .
A. T 5 .
3
Câu 41. Biết
2
A. a 1 .
B. T 4
C. T 12 .
D. T 14 .
dx
ln( a 1)
. Tìm a .
2
x 2x 1
B. a e .
C. a 1 e .
D. a 1 e .
2
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 8
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)
e x dx e x C
a x dx
1
e ax b dx e ax b C
a
1 amx n
amx ndx .
C
m Lna
ax
C ,(0 a 1)
lna
2
Câu 42. Giá trị 2 e 2 x dx bằng
0
B. e 4 1 .
4
A. e .
1
Câu 43. Cho (1 e 2 x )2 dx e 2
0
C. 4e 4 .
D. 3e 4 .
b
e4 b
với b ; là phân số tối giản. Trong không gian với
c
a c
hệ trục tọa độ Oxyz gọi điểm M a; b; c . Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng Oxy bằng
A. 1 .
B. 4 .
C. 17 .
D. 3 .
1
a 1 1
Câu 44. Cho (1 e x )2 dx 2 với a , b , c . Tính T a b c
e be
c
0
A. T 2 .
B. T 4 .
C. T 6 .
x
Câu 45. Nếu I 4 e 2 dx K 2 e thì giá trị của K là
2
25
A. 11.
B. 9.
C. . .
2
D. T 8 .
0
1
Câu 46. Tính I 2 x 3 x
2
D. 10.
dx .
0
4
12
9
.
ln 4 ln 6 ln 9
3
10
8
C. I
.
ln 4 ln 6 ln 9
A. I
B. I
3
10
8
.
ln 4 ln 6 ln 9
D. I ln 2 2 ln 3 .
Loại 2. Dùng bảng nguyên hàm(tt)
sin xdx cos x C
cos xdx sin x C
1
sin( ax b)dx cos( ax b) C
a
1
cos( ax b)dx sin( ax b) C
a
dx
1
tan( ax b) C
2
cos ( ax b) a
dx
tan x C
cos 2 x
dx
cot x C
sin 2 x
dx
1
cot( ax b) C
a
sin ( ax b)
1
tan( ax b)dx ln cos( ax b) C
a
1
cot( ax b)dx ln sin( ax b) C
a
tan xdx ln cos x C
cot xdx ln sin x C
2
2
Câu 47. Tính I (1 cos 2 x)dx .
0
A. I
2
1
.
2
B. I
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
2
.
C. I 0 .
Page 9
D. I
4
.
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2
Câu 48. Cho (1 sin 3 x)dx
0
A. T 4 .
b
b
với a , c ; là phân số tối giản. Tính T 2 a b c .
a c
c
B. T 2 .
C. T 6 .
D. T 8 .
2
Câu 49. Cho sin x cos x 1 dx
0
a
b với a , b . Trong hệ trục tọa độ Oxyz gọi M a; b; 3 .
Tính độ dài đoạn OM .
A. OM 17 .
B. OM 7 .
D. OM 8 .
C. OM 17 .
4
Câu 50. Cho e x ( e x
0
ex
)dx a với a , b . Tính T a 2b .
2
b
cos x
B. T 6 .
A. T 9 .
C. T 2 .
D. T 7
4
Câu 51. Cho
1
a c
a
với b , c ; là phân số tối giản. Tính T a 2b c .
dx
2
b
b
sin x.cos x
2
6
A. T 11 .
B. T 5 .
D. T 11 .
C. T 10 .
Câu 52. Cho
4
sin
b
cos 2 x
b
3 với với b , c ; a ; là phân số tối giản. Tính
dx a
2
2
c
c
x.cos x
6
T a b c .
A. T 9 .
B. T 5 .
C. T 5 .
D. T 9 .
1
Câu 53. Để sin 2 t dt 0, với k thì x thỏa:
2
0
x
A. x k 2 .
B. x k .
C. x
k
.
2
D. x k 2
a
Câu 54. Nếu sin x cos x dx 0, 0 a 2 thì giá trị a bằng:
0
A.
4
.
B.
2
.
C.
3
.
2
m
D.
Câu 55. Với giá trị nào của tham số m thì tích phân I x sin 2 x dx bằng
2 4 8
32
0
A. m 1 .
B. m
.
6
Câu 56. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
C. m
3
D. m
.
2
2
2
2
0
0
0
0
A. sin xdx cos xdx .
4
.
B. sin xdx tan xdx.
2
2
2
2
0
0
0
0
C. sin xdx cos xdx .
?
D. sin xdx tan xdx.
3
Câu 57. Tính I tan xdx
4
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 10
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
6
.
2
A. I ln
C. I ln 2 .
B. I ln 2 .
D. I ln 2
3
a c
a c
Câu 58. Cho cot xdx ln với b , d ; , là các phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa
b d
b d
4
độ Oxy gọi M a; b , N c; d . Tính độ dài đoạn thẳng MN
B. MN 4 2 .
A. MN 2 .
C. MN 2 2 .
D. MN 4 .
4
Câu 59. Tính I sin 2 xdx
0
A. I
8
1
.
4
B. I
8
1
.
2
C. I
8
1
.
2
D. I
8
1
4
4
a
a
Câu 60. Cho cos 2 xdx với a , c ; là phân số tối giản. Tính T a b c .
b c
b
0
A. T 11 .
B. T 13 .
C. T 8 .
D. T 9
a
Câu 61. Nếu sin x cos xdx 0,0 a 2 thì a bằng
0
A. a .
B. a
2
C. a
.
3
.
2
D. a
4
m
Câu 62. Giải phương trình ẩn m sau đây cos xdx 0.
0
A. m
3
B. m
. .
3
k 2 , k . C. m
6
k 2 , k . . D. m k , k .
4
Câu 63. Tính I sin 3 x cos xdx .
0
B. I 1 .
A. I 0 .
C. I
1
.
2
D. I
1
.
4
4
Câu 64. Cho cos 3 x cos xdx
0
A. T 1 .
a
a
với b ; là phân số tối giản. Tính T a b
b
b
B. T 5 .
C. T 3 .
D. T 3
4
a
a
Câu 65. Cho sin 3 x sin xdx với b ; là phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa độ
b
b
0
Oxy , điểm M a; b là tâm đối xứng của đồ thị hàm số nào sau đây?
A. y
x4
.
x 1
B. I
1 4x
.
1 x
C. y
4x 1
.
x1
D. y
x2
x4
4
1
a
a
dx với b ; là phân số tối giản. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,
1 sin 2 x
b
b
0
Câu 66. Cho
điểm I a; b là đỉnh của parabol có phương trình nào sau đây?
A. y x 2 2 x 3 .
B. y x 2 4 x 5 .
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
C. y x 2 6 x 7 .
Page 11
D. y x 2 2 x 3 .
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
4
1
a
a
dx với với b ; là phân số tối giản. Tính T a b
b
1 cos 2 x
b
0
Câu 67. Cho
A. T 1 .
B. T 1 .
C. T 3 .
D. I 2
2
1
dx a b với a , b . Tính T 2 a b .
1 cos x
Câu 68. Cho
3
A. T 11 .
B. T 5 .
C. T 6 .
Câu 69. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
D. T 7
4
A. sin x dx sin x dx .
4
4
0
0
3
4
B. sin x dx cos x dx .
4
4
0
0
C. sin x dx
4
0
0
sin x dx sin x dx .
4
4
3
4
4
D. sin x dx 2 sin x dx .
4
4
0
0
Loại 3. Đổi biến số
1
Câu 70. Tích phân I
0
x1
dx bằng
x 2x 5
2
8
A. ln .
5
1 8
B. ln .
2 5
1
xdx
Câu 71. Tích phân: J
bằng
3
0 ( x 1)
8
D. 2 ln .
5
1
.
C. J 2 .
D. J 1 .
4
3
x
a c
a c
Câu 72. Cho 2
dx ln với b , d ; a , c ; , là các phân số tối giản. Tính
b d
b d
2 x 1
A. J
1
.
8
8
C. 2 ln .
5
B. J
S a b c d .
A. S 5 .
B. S 11 .
1
Câu 73. Gọi I
0
A. I
2
3
Câu 74. Cho
x
1
D. S 16 .
xdx
thì
x2 1
B. I
.
C. S 13 .
4
.
C. I
ln 2
.
2
D. I ln 2.
a c
a c
1 x 2 dx
2 với b , d ; a , c ; , là các phân số tối giản. Trong
b d
b d
mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M a; b , N c; d . Tọa độ trung điểm của đoạn MN là
3
A. ; 3 .
2
B. 3; 3 .
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
5
C. ; 3 .
2
Page 12
D. 5; 3 .
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
1
Câu 75. Tích phân I x 1 x dx bằng
19
0
A.
1
.
420
B.
1
.
380
C.
1
.
342
D.
1
.
462
1
Câu 76. Tích phân L x 1 x 2 dx bằng
0
A. L 1 .
B. L
1
.
4
C. L 1 .
D. L
1
.
3
2
Câu 77. Cho I 2 x x 2 1dx và u x x 2 1 . Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:
1
3
2
2
B. I
27 .
3
A. I udu .
0
1
Câu 78. Biết tích phân x 1 xdx
0
A. 18 .
C. I udu .
0
M
M
, với
là phân số tối giản. Giá trị M N bằng:
N
N
B. 19 .
7
dx có giá trị là:
1 x 1
9
3
9
2
B. 3 ln .
C. 3 ln .
2
2
2
3
3
3
A. 3 ln .
2
2
Câu 80. Cho I
cos ln x
1
D. 21
3
0
C. 20 .
1
Câu 79. Tích phân I
e2
3
2 3
D. I u 2 .
3 0
x
dx , ta tính được:
B. I 1 .
A. I cos1 .
9
2
D. 3 ln .
2
3
C. I sin 1 .
D. I sin 2 sin 1 .
a
sin x.cos 3 x
a 1
0 cos2 x 1 dx b c ln 2 với b ; a, c ; b là phân số tối giản. Tính
2
Câu 81. Cho
T a b c .
A. T 2 .
B. T 6 .
C. T 3 .
D. T 1 .
1
Câu 82. Cho tích phân I
0
A. I J .
2
x
x3
dx và J
0
cos x
dx , phát biểu nào sau đây đúng:
3 sin x 12
B. I 2 .
Câu 83. Tích phân I
0
1
C. J ln 5 .
3
D. I 2 J .
C. ln 2 .
D. ln 2 .
cos x
2 sin x dx có giá trị là:
A. ln 3 .
2
B. 0 .
6
Câu 84. Cho I sin m x cos xdx
0
A. 6.
1
. Khi đó m bằng
64
B. 5.
C. 4.
D. 3.
6
Câu 85. Tích phân I sin 3 x.cos xdx bằng:
0
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 13
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
A. 6 .
C. 4 .
B. 5 .
D.
1
.
64
2
Câu 86. Tính 1 cos x sin xdx ta được
n
0
2
2
1
A. 1 cos x sin xdx
.
2n
0
B. 1 cos x sin xdx
n
n
0
1
.
n1
2
2
1
C. 1 cos x sin xdx
.
n1
0
D. 1 cos x sin xdx
n
n
0
1
.
2n 1
4
Câu 87. Tích phân I cos 2 x cos 4 x sin 4 x dx bằng
0
A.
5
.
6
B.
5
7
.
C. .
24
12
e
2
1 ln x
Câu 88. Tích phân I
dx có giá trị là:
x
1
A.
1
.
3
B.
1
2
.
3
D.
5
.
12
4
D. .
3
C. 1 .
Câu 89. Tích phân I x.e x 1dx có giá trị là:
2
0
e e
.
2
2
A.
B.
e2 e
.
3
C.
e2 e
.
2
D.
e2 e
.
3
2
Câu 90. Tích phân I cos xe sin x dx m thì m thỏa mãn phương trình
0
B. ln x 1 0 .
A. ln x 1 .
Câu 91. Tích phân I
2 3
x x2 3
2
A.
6
3
Câu 92. Đặt I
6
3 2
A. dx
dx
x x 9
2
D. ln x 1 1 .
dx bằng:
B. .
.
C. ln x 1 0 .
C.
và x
3
.
D.
2
.
3
. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào SAI?
cos t
3 sin t
dt .
cos 2 t
B. I
sin tdt
.
3 cos t tan t
D.
36
.
3
C. I
dx
x x 9
2
sin tdt
.
3 cos t tan t
4
a
Câu 93. Tích phân x 2 a 2 x 2 dx a 0 bằng
0
A.
.a 4
8
.
B.
.a4
16
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
.
C.
.a3
16
Page 14
.
D.
.a3
8
.
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
3
2
1
0
Câu 94. Cho xf 1 x dx 6 . Tính I x 2 f 1 x 3 1 dx .
A. I 9 .
Câu 95. Cho xf 1 e
x
dx 2000 . Tính I x f 1 e dx .
B. I 4000 .
Câu 96. Cho xf
0
x
3
1
A. I 2000 .
2
D. I 2 .
2
1
A. I
C. I 4 .
B. I 6 .
4
C. I 1000 .
x 2 1 dx 5 . Tính I
5
.
2
xf x dx .
1
C. I 5 5 .
B. I 10 .
1
dx
Câu 97. Đổi biến x 2 sin t tích phân
4 x2
0
6
6
6
0
1
C. dt .
t
0
B. dt .
0
D. I 5 .
trở thành:
A. tdt .
D. I 3000 .
5
3
D. dt
0
Loại 4. Phương pháp tích phân từng phần
b
b
udv u.v a vdu
a
b
a
Câu 98. Tích phân L x sin xdx bằng:
0
A. L .
B. L .
C. L 2 .
D. L 0 .
3
1 3
Câu 99. Cho x cos xdx
với a , b . Tính T 2 a 2 b .
a
b
0
A. T 5 .
B. T 9 .
C. T 14 .
D. T 16 .
C. 2 2 3 .
D. 2 2 3
Câu 100. Tích phân I x 2 sin xdx bằng :
0
A. 4 .
B. 2 4 .
2
4
Câu 101. Cho x.cos xdx
0
A. T 15 .
2
a
b
(2 x 1) ln xdx a ln 2 c
1
T a b c .
A. T 6 .
B. T 3 .
ln 2
Câu 103. Cho
C. T 11 .
B. T 13 .
2
Câu 102. Cho
2
c với a , b , c . Tính T a b c .
b
xe
0
T abcd
A. T 3 .
x
dx
D. T 9 .
b
với c ; a , b ; là phân số tối giản. Tính
c
C. T 5 .
D. T 1 .
a
a
c d ln 2 với b ; a , c , d ; là phân số tối giản. Tính
b
b
B. T 5 .
C. T 4 .
D. T 7 .
C. 1.
D. 1 .
1
Câu 104. Giá trị xe 1 x dx bằng
0
A. 1 e .
B. e 2 .
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 15
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
2
ln x
dx bằng:
2
1 x
1
B. 1 ln 2 .
2
Câu 105. Tích phân I
A.
1
1 ln 2 .
2
C.
1
ln 2 1 .
2
D.
1
1 ln 2 .
4
1
Câu 106. Cho 1 x e x dx a.e b với a , b . Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , khoảng cách từ
0
điểm M a; b đến đường thẳng : x y 2 0 bằng
A.
5 2
.
2
B.
3 2
.
2
C.
2
.
2
D. 3 .
3
Câu 107. Cho ln( x 2 x)dx a b ln 3 với a , b . Tính T a b .
2
A. T 3 .
B. T 3 .
a
C. T 5 .
D. T 5 .
x
2
Câu 108. Tìm a 0 sao cho x.e dx 4
0
1
1
.
C. .
D. 2 .
4
2
1
a c
a c
Câu 109. Cho x 2 e 3 x dx .e 3 với b , d ; a , c ; , là các phân số tối giản. Tính
b d
b d
0
A. 4 .
B.
S a b c d .
A. S 75 .
B. S 57 .
C. S 61 .
D. S 67 .
Loại 5. Một số dạng đặc biệt
Câu 110. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
3
3
A. x 2 dx 0 .
3
B. x 2 1 dx 0 .
3
3
3
C. x 3 dx 0 .
D. x 2 x dx 0 .
3
3
Câu 111. Đẳng thức nào sau đây là đúng?
A.
sin xdx 0 .
B.
cos xdx 0 .
C.
sin x
2
dx 0 .
D.
cos x
2
dx 0 .
1
3x 2
dx
x
0 1 2016
Câu 112. Giá trị của tích phân I
A. 3 .
B. 2 .
Câu 113. Đẳng thức nào sau đây đúng
5
A.
5
C. 1 .
5
D. 0 .
3
sin 2017 x
3x2
. B.
d
x
0
x dx 0.
2 cos 3 x
5 1 5
3x2
dx 0 .
2
3 x 1
C.
D.
sin x cos x
2
dx 0.
2
Câu 114. Tích phân I
0
A. sin 2 x 0 .
cos x
dx m thì m là nghiệm phương trình nào sau đây?
cos x sin x
B. cos x 0 .
4
C. sin x 1 .
D. cos 2 x 0 .
Câu 115. Tích phân I max x 2 2 x 1, x 1 dx .
0
A.
83
.
6
B.
3
7
.
6
7
C. .
6
D.
83
.
6
Câu 116. Tích phân I min x 2 x , x dx .
0
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 16
ĐT: 0977802424
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN – ỨNG DỤNG
Câu
1
2
3
4
5
6
7
11
.
6
ĐÁP ÁN
8
9 10
ĐA
C
D
A
B
A
D
A
C
D
D
A
A
C
C
D
C
B
Câu 18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
A
B
A
C
C
B
B
C
A
B
C
D
C
A
A
A
B
Câu 35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
D
C
A
C
A
D
C
B
B
A
D
B
B
C
A
A
A
Câu 52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
B
C
C
D
A
B
A
A
B
A
D
C
B
B
A
A
D
Câu 69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
B
D
A
D
D
D
Câu 86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100 101 102
B
D
D
C
D
A
D
B
C
C
D
B
A
C
A.
ĐA
ĐA
ĐA
ĐA
ĐA
11
.
6
B.
19
.
6
D.
C.
19
.
6
11
12
13
14
15
16
17
A
D
A
Câu 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119
ĐA
A
B
A
C
C
D
B
C
A
C
A
D
A
B
Biên tập: ĐẶNG NGỌC HIỀN
Page 17
ĐT: 0977802424
- Xem thêm -