Tài liệu Toán tử tuyến tính trong không gian banach hữu hạn chiều

Lêi c¶m ¬n LuËn nµy ®−îc hoµn thµnh vµo th¸ng 10 n¨m 2009 víi sù gióp ®ì nhiÖt t×nh vµ chØ b¶o tËn t©m cña TS TrÇn V¨n Vu«ng, c¸c thÇy, c« gi¸o trong Khoa To¸n, Phßng Sau ®¹i häc, vµ c¸c b¹n häc viªn trong líp cao häc To¸n gi¶i tÝch kho¸ 11 Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi 2. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c nhÊt tíi TS TrÇn V¨n Vu«ng, ng−êi ®C nhiÖt t×nh gióp ®ì t«i hoµn thµnh luËn v¨n nµy. T«i xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh c¸c thÇy, c« trong Phßng Sau ®¹i häc, Tæ Gi¶i tÝch cña Khoa To¸n Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi 2, Ban Gi¸m hiÖu Tr−êng §HSP Hµ Néi 2, Tr−êng THCS §¹i §ång, Phßng Gi¸o dôc vµ §µo t¹o HuyÖn VÜnh T−êng, c¸c b¹n häc viªn líp cao häc To¸n gi¶i tÝch kho¸ 11, gia ®×nh vµ ®ång nghiÖp ®C t¹o nhiÒu ®iÒu kiÖn thuËn lîi trong thêi gian t«i häc tËp vµ nghiªn cøu t¹i tr−êng. Trong qu¸ tr×nh thùc hiÖn vµ hoµn thµnh luËn v¨n mÆc dï t«i hÕt søc nghiªm tóc vµ cè g¾ng t×m tßi, song do cßn h¹n chÕ vÒ thêi gian vµ kiÕn thøc, nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, kÝnh mong sù gãp ý nhiÖt thµnh cña c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vµ c¸c b¹n ®Ó luËn v¨n ®−îc hoµn thiÖn h¬n. Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2009 Bïi Hoµng Phóc 2 Lêi CAM §OAN T«i xin cam ®oan luËn v¨n nµy ®−îc hoµn thµnh do sù cè g¾ng t×m tßi, nghiªn cøu cña b¶n th©n d−íi sù h−íng dÉn chØ b¶o cña TS TrÇn V¨n Vu«ng còng nh− c¸c thÇy, c« Phßng Sau ®¹i häc, Tæ Gi¶i tÝch cña Khoa To¸n Tr−êng §¹i häc S− ph¹m Hµ Néi 2. LuËn v¨n nµy kh«ng trïng lÆp víi bÊt kú luËn v¨n, luËn ¸n hoÆc c«ng tr×nh nghiªn cøu nµo kh¸c. Hµ Néi, th¸ng 10 n¨m 2009 Bïi Hoµng Phóc 3 Môc Lôc Trang Lêi cam ®oan 2 Môc lôc 3 Më ®Çu 5 Ch−¬ng 1. Kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu 1.1. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh 6 1.2. §éc lËp tuyÕn tÝnh 7 1.3. C¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 8 1.4. Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu 9 1.5. Kh«ng gian con 11 1.6. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn 12 Ch−¬ng 2. Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu 21 2.1. To¸n tö tuyÕn tÝnh 21 2.2. To¸n tö liªn tôc 24 2.3. To¸n tö tuyÕn tÝnh bÞ chÆn 25 2.4. To¸n tö comp¨c 26 2.5. Tæng vµ tÝch cña to¸n tö tuyÕn tÝnh 27 2.6. To¸n tö nghÞch ®¶o 31 2.7. Phæ cña to¸n tö tuyÕn tÝnh 33 2.8. Ph−¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh 36 KÕt luËn 40 Tµi liÖu tham kh¶o 41 4 Më ®Çu 1. Lý do chän ®Ò tµi Lý thuyÕt hµm vµ gi¶i tÝch hµm cã tÇm quan träng ®Æc biÖt ®èi víi to¸n häc c¬ b¶n vµ øng dông. M«n häc vÒ lÜnh vùc nµy ®C ®−îc gi¶ng d¹y tõ l©u cho sinh viªn c¸c n¨m cuèi ë khoa To¸n c¸c tr−êng §¹i häc S− ph¹m vµ §¹i häc Khoa häc Tù nhiªn, ®Æc biÖt c¸c líp chÊt l−îng cao cña khoa To¸n. Kh«ng gian Banach vµ c¸c to¸n tö trong kh«ng gian Banach lµ mét phÇn quan träng cña gi¶i tÝch hµm nãi riªng vµ chuyªn nghµnh to¸n gi¶i tÝch nãi chung. Víi mong muèn t×m hiÓu s©u h¬n vÒ lÜnh vùc nµy, t«i ®C m¹nh d¹n nghiªn cøu ®Ò tµi: “To¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu”. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Nghiªn cøu kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. Nghiªn cøu mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. 3. NhiÖm vô nghiªn cøu Nghiªn cøu kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. Nghiªn cøu c¸c ®Þnh nghÜa, tÝnh chÊt cña to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. 4. §èi t−îng vµ ph¹m vi nghiªn cøu §Ò tµi tËp trung nghiªn cøu kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu vµ to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. LuËn v¨n gåm phÇn, môc lôc, më ®Çu, hai ch¬ng, kÕt luËn vµ tµi liÖu tham kh¶o. Trong ®ã: Ch−¬ng 1: Kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu 5 Ch−¬ng 2: Mét sè to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu 5. Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu §äc s¸ch, nghiªn cøu lý luËn, tµi liÖu chuyªn kh¶o. Ph©n tÝch tæng hîp kiÕn thøc vµ vËn dông cho môc ®Ých nghiªn cøu. 6. Gi¶ thuyÕt khoa häc Nghiªn cøu s©u mét kh¸i niÖm cña to¸n häc, n©ng nã lªn thµnh ®Ò tµi nghiªn cøu. LuËn v¨n lµ tµi liÖu tham kh¶o h÷u ich cho sinh viªn, häc viªn cao häc vµ ng−êi yªu thÝch to¸n vÒ to¸n tö tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. 6 CHƯƠNG 1 KH«NG GIAN BANACH HỮU HẠN CHIỀU 1.1. Kh«ng gian tuyến tÝnh 1.1.1. §Þnh nghÜa. Mét tập hợp X ®−îc gäi lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng Ρ ( Ρ lµ tr−êng sè thùc
hoÆc tr−êng sè phøc  ) nÕu: a) øng víi mçi cÆp phÇn tö x, y cña X ta cã, theo mét quy t¾c nµo ®ã, mét phần tử của X gäi lµ tæng cña x víi y , và ®−îc kÝ hiÖu x + y ; øng víi mçi x ∈ X vµ α ∈ Ρ ta cã, theo mét quy t¾c nµo ®ã, một phần tử của X gäi lµ tÝch cña x víi α vµ ®−îc kÝ hiÖu α x. b) C¸c quy t¾c trªn tho¶ mCn 8 tiªn ®Ò sau: i) TÝnh chất giao ho¸n: x + y = y + x, ∀x, y ∈ X . ii) TÝnh chất kết hợp: ( x + y ) + z = x + ( y + z ), ∀x, y, z ∈ X . iii) Tån t¹i phÇn tö θ (vect¬ - kh«ng) sao cho x + θ = x, ∀x ∈ X . • iv) Vect¬ ®èi: ∀x ∈ X , tån t¹i − x ∈ X sao cho x + (− x) = θ . v) TÝnh kết hợp của phÐp nh©n víi đại lượng v« hướng: α (β x) = (αβ ) x, ∀α , β ∈Ρ, ∀x ∈ X . vi) TÝnh ph©n phối đối với phÐp cộng v« hướng: (α + β ) x = α x + β x, ∀α , β ∈Ρ, ∀x ∈ X . vii) TÝnh ph©n phối đối với tổng vectơ: α ( x + y ) = α x + α y, ∀α ∈Ρ, ∀x ∈ X . viii) PhÐp nh©n víi ®¬n vÞ: 1x = x, ∀x ∈ X . PhÇn tö cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh th−êng ®−îc gäi lµ vect¬. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh còng cßn gäi lµ kh«ng gian vect¬. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng
gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc. 7 Kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng  gäi lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc. 1.1.2. VÝ dô. a)
lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n sè thùc th«ng th−êng. b)  lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n sè phøc th«ng th−êng. c)  còng lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc víi c¸c phÐp to¸n céng vµ nh©n sè phøc th«ng th−êng. 1.2. §éc lËp tuyÕn tÝnh 1.2.1. §Þnh nghÜa. Cho X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng P, TËp con M⊂ X, M ≠ ∅, gäi lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh nÕu víi mäi hÖ h÷u h¹n {x1, x2, ..., xn}⊂ M vµ mäi hÖ {α1, α2, ..., αn}⊂ P, tõ ®¼ng thøc n ∑α x k k = θ ®Òu suy ra ®−îc k =1 αk = 0 víi k = 1, n . 1.2.2. §Þnh nghÜa. Cho X lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng P. BiÓu thøc cã d¹ng n ∑α x k k , trong ®ã xk∈X víi k = 1, n vµ αk∈P víi k = 1, n , gäi lµ mét k =1 tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ xk∈X víi k = 1, n . 1.2.3. §Þnh lÝ. Cho M lµ mét tËp ®éc lËp tuyÕn tÝnh trong kh«ng gian tuyÕn tÝnh X trªn tr−êng P. NÕu y∈X lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ cña M, tøc lµ y = n ∑α x k k , xk∈M víi k = 1, n , th× tæ hîp tuyÕn tÝnh ®ã lµ duy nhÊt. k =1 Chøng minh. Gi¶ sö y = n ∑α x k k = k =1 m ∑β y víi xk, yj ∈M. j j + ∑ (−β )y j =1 NÕu c¸c xk vµ yj ®«i mét kh¸c nhau th× θ=y–y= n ∑α x k k =1 k m j j =1 j . 8 V× M ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn αk = β j = 0 víi k = 1, n vµ j = 1, m . Nh− vËy y lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ cña M víi tÊt c¶ c¸c hÖ sè b»ng 0. NÕu cã xk = yj th× b»ng c¸ch ®¸nh sè l¹i c¸c vect¬ xk, yj vµ bæ sung c¸c hÖ sè b»ng 0 ta sÏ ®−îc y = p ∑α x k k = k =1 p ∑β x k k . Do ®ã k =1 θ=y–y= p ∑ (α k − β k )x k . k =1 V× M ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn αk - βk = 0 víi k = 1, p hay lµ αk = βk víi k = 1, p . Nh− vËy y lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh duy nhÊt cña c¸c vect¬ cña M. 1.2.4. §Þnh nghÜa. Mét tËp con cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh gäi lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh. 1.2.5. §Þnh lÝ. §Ó tËp con M cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X lµ phô thuéc tuyÕn tÝnh, cÇn vµ ®ñ lµ tån t¹i mét phÇn tö cña M lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c phÇn tö cßn l¹i cña M. Chøng minh. Gi¶ sö M phô thuéc tuyÕn tÝnh. Ta xÐt n ∑α x k k = θ , trong k =1 ®ã xk∈M víi k = 1, n . V× M ®éc lËp tuyÕn tÝnh nªn ph¶i cã chØ sè k sao cho αk ≠ 0. Kh«ng lµm gi¶m tÝnh tæng qu¸t, ta cã thÓ cho r»ng αn ≠ 0. Khi ®ã xn =  αk   x k . Nh− vËy xn lµ tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ xk víi k =1  n  n −1 ∑− α k = 1, n − 1 . Gi¶ sö cã vect¬ x∈M sao cho x = n ∑α x k k , trong ®ã xk∈M víi k = 1, n . k =1 Khi ®ã θ = - 1.x + n ∑α x k k nªn M kh«ng ®éc lËp tuyÕn tÝnh, tøc lµ M phô thuéc k =1 tuyÕn tÝnh. 1.3. C¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh 9 1.3.1. §Þnh nghÜa. Mét tËp con B cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X gäi lµ c¬ së cña X nÕu B lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ mäi vect¬ cña X ®Òu lµ mét tæ hîp tuyÕn tÝnh cña c¸c vect¬ cña B. 1.3.2. §Þnh lÝ. §Ó tËp con B cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X lµ c¬ së cña X, cÇn vµ ®ñ B lµ tËp ®éc lËp tuyÕn tÝnh tèi ®¹i, nghÜa lµ B lµ ®éc lËp tuyÕn tÝnh vµ nÕu M lµ tËp ®éc lËp tuyÕn tÝnh cña X mµ B⊂M th× M = B. 1.3.3. §Þnh lÝ. Trong mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh X bÊt k×, mäi tËp ®éc lËp tuyÕn tÝnh ®Òu ®−îc chøa trong mét c¬ së cña X. NÕu B vµ C lµ hai c¬ së cña X th× B vµ C lµ hai tËp hîp t−¬ng ®−¬ng (cïng lùc l−îng). 1.3.4. §Þnh lÝ. Mäi kh«ng gian tuyÕn tÝnh X ≠ {θ} ®Òu cã c¬ së. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X = {θ} kh«ng cã c¬ së. 1.4. Kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu 1.4.1. §Þnh nghÜa. NÕu mét c¬ së cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X cã n vect¬ (n∈  * ) th× ta nãi r»ng sè chiÒu cña X lµ n vµ viÕt dimV = n. Ta quy −íc nãi r»ng sè chiÒu cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X = {θ} lµ 0 vµ còng viÕt dimV = dim{θ}= 0. 1.4.2. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian tuyÕn tÝnh X gäi lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu nÕu dimX = n∈ . ( ) 1.4.3. VÝ dô. §Æt R n = {x = x , x ,..., xn / xi ∈ R, i = 1, 2,..., n}. Ta ®−a vµo R n 1 2 hai phÐp to¸n ®−îc x¸c ®Þnh bëi c«ng thøc: ) ( ) ( ( ) a) x + y = x + y , x + y ,..., x + y , ∀ x ∈ R n , ∀y = y ∈ R n . n n i i 1 1 2 2 ( ) b) αx = αx , αx ,..., αxn , ∀x = ( xi ) ∈ R n , ∀α∈
. 1 2 Khi ®ã R n cïng hai phÐp to¸n trªn lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh trªn tr−êng R . ThËt vËy 10 ) ( ) ( 1. ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ R n ta ®Òu cã: 1 2 1 2 x j + y j = y j + x j , ∀j = 1, n ⇒ x + y = y + x, ∀x, y ∈ R n . ) ( ) ( ) ( 2. ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn , z = z , z ,..., zn ∈R n , 1 2 1 2 1 2 ta ®Òu cã:  x + y  + z = x +  y + z  , ∀j = 1, n  j j  j j  j j   ⇒ ( x + y ) + z = x + ( y + z ) , ∀x, y, z ∈ Rn . ( ) 3. §Æt θ = ( 0,0,...,0 ) ∈Rn . Víi ∀x = x , x ,..., xn ∈R n , ta lu«n cã: 1 2 0 + x j = x j , ∀j = 1, n ⇒ θ + x = x, ∀x ∈ R n . ) ( 4. ∀x = x , x ,..., xn ∈R n , tån t¹i phÇn tö 1 2 ) ( − x = − x , − x ,..., − xn ∈R n ta cã: 1 2 x j +  − x j  = 0, ∀j = 1, n   ⇒ x + ( − x ) = θ , ∀x ∈ R n . ) ( 5. ∀x = x , x ,..., xn ∈ R n , ∀α, β ∈ R ta ®Òu cã: 1 2 α  βx j  = ( αβ ) x j , ∀j = 1, n   ⇒ α (β x ) = ( αβ ) x, ∀x ∈ Rn , ∀α, β∈ R . ( ) 6. ∀x = x , x ,..., xn ∈ R n , ∀α, β∈ R ta ®Òu cã: 1 2 ( α + β) x j = αx j + βx j , ∀j = 1, n ( α +β ) x = αx + βx, ∀x ∈ R n , ∀α,β∈ R . 11 ) ( ) ( 7. ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈ R n , ∀α∈ R ta ®Òu cã: 1 2 1 2 α  x j + y j  = αx j + αy j , ∀j = 1, n   ⇒ α ( x + y ) = αx + αy, ∀x, y ∈ Rn , ∀α∈ R . ( ) 8. ∀x = x , x ,..., xn ∈ R n ta ®Òu cã: 1 2 1.x j = x j (1 lµ ®¬n vÞ cña R ), ∀j = 1, n ⇒ 1.x = x, ∀x ∈
n . 0 khi i ≠ j , i = 1, n vµ j = 1, n , th× (ei) lµ mét 1 khi i = j §Æt ei = (δ ij ), trong ®ã δ ij =  c¬ së cña R n . VËy R n lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh thùc n chiÒu víi hai phÐp to¸n céng vµ nh©n ®−îc x¸c ®Þnh nh− trªn. Khi thay
bëi  ta ®−îc  n lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh phøc n chiÒu víi hai phÐp to¸n céng vµ nh©n t−¬ng tù nh− trªn. 1.5. Kh«ng gian con 1.5.1. §Þnh nghÜa. TËp con Y cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X gäi lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh con, hay ng¾n gän lµ kh«ng gian con, cña X nÕu Y lµ mét kh«ng gian tuyÕn tÝnh víi c¸c phÐp to¸n cña V. 1.5.2. §Þnh lÝ. TËp con Y ≠ ∅ cña kh«ng gian tuyÕn tÝnh X lµ kh«ng gian con cña X khi vµ chØ khi Y ®ãng kÝn víi c¸c phÐp to¸n cña X, nghÜa lµ: x + y∈Y víi ∀x, y∈Y; αx ∈Y víi ∀α∈P vµ ∀x∈Y. Chøng minh. V× Y ≠ ∅ nªn cã vect¬ z∈Y. Víi α = - 1∈P ta cã – z = (-1)z ∈Y. Do ®ã θ = z + (- z) ∈Y. C¸c tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n trong X ®−îc chuyÓn tù nhiªn thµnh tÝnh chÊt cña c¸c phÐp to¸n trong Y. 12 1.6. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn 1.6.1. §Þnh nghÜa. Mét kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ kh«ng gian tuyÕn tÝnh X trªn tr−êng P cïng víi mét ¸nh x¹ tõ X vµo tËp sè thùc R , kÝ hiÖu lµ . vµ ®äc lµ chuÈn, tháa mCn c¸c tiªn ®Ò sau: 1) ( ∀x ∈ X ) x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ . 2) ( ∀x ∈ X ) ( ∀α ∈ P ) x = α x . 3) ( ∀x, y ∈ X ) x + y ≤ x + y . Sè x gäi lµ chuÈn cña vect¬ x . Ta còng ký hiÖu kh«ng gian ®Þnh chuÈn lµ X . C¸c tiªn ®Ò 1, 2, 3, gäi lµ hÖ tiªn ®Ò chuÈn. ) ( 1.6.2. VÝ dô. ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ta ®Æt: 1 2 n 1) x 1 = ∑ xi2 . i =1 2) x 2 = max x j . 1≤ j≤n 1 pp  n 3) x 3 =  ∑ xi  , ( p > 1) .  i =1  C¸c c«ng thøc 1) hoÆc 2) hoÆc 3) cho ta mét chuÈn trªn
n . ThËt vËy: a) C«ng thøc 1) cho ta mét chuÈn trªn
n . KiÓm tra c¸c tiªn ®Ò vÒ chuÈn. 2 n 1) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ta cã : ∑ x ≥ 0 ⇒ x 1 ≥ 0 . 1 2 i=1 1 ( x1=0⇔ ( ) n ∑ xi2 = 0 ⇔ x j = 0, ∀i = 1, n ⇔ x = θ . i=1 ) 2) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ∀λ ∈
, ta cã: 1 2 13 ∞ n ∑ xi2 = λ . x 1 . i=1 2 λ x 1 = ∑ λ xn = λ n=1 ) ( ) ( 3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈
n ta cã: 1 2 1 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Bunhiacovski ta cã n n n ∑ xi yi ≤ ∑ xi2 . ∑ yi2 i=1 i =1 i=1 n n n n n n n ⇔ ∑ xi2 + 2 ∑ xi yi + ∑ yi2 ≤ ∑ xi2 + 2 ∑ xi2 ∑ yi2 + ∑ yi2 i =1 i=1 i=1 i =1 i=1 i=1 i=1 2 2  n 2 n n 2 ⇔ ∑ xi + yi ≤  ∑ xi + ∑ yi   i =1 i=1   i=1 ( ) 2 n n n ∑ x1 + y1 ≤ ∑ xi2 + ∑ yi2 i=1 i=1 i=1 ⇔ x + y 1 ≤ x 1 + y 1 , ∀x, y ∈
n . ( ⇔ VËy x 1 = ) 2 n ∑ xi lµ mét chuÈn trªn
n . i =1 b) C«ng thøc 2) cho ta mét chuÈn trªn
n . KiÓm tra 3 tiªn ®Ò vÒ chuÈn. ( ) 1) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ta cã x j ≥ 0, ∀j = 1,2,..., n 1 2 ⇒ max x j ≥ 0 ⇒ x 2 ≥ 0 j x 2 = 0 ⇔ max x j = 0 ⇔ x j = 0, ∀j = 1, n ⇔ x = θ . j ( ) 2) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ∀λ ∈
ta cã: 1 2 max λ x j = λ .max x j ⇒ λ x 2 = λ x 2 . j j ( ) ( ) 3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈
n ta cã 1 2 1 2 14 x j + y j ≤ x j + y j , ∀j = 1, n. ⇒ x j + y j ≤ max x j + max y j , ∀j = 1, n j j max x j + y j ≤ max x j + max y j j j j ⇒ x + y 2 ≤ x 2 + y 2 , ∀x, y ∈
n . VËy x 2 = max x j lµ mét chuÈn trªn
n . 1≤ j ≤n c) C«ng thøc 3) cho ta mét chuÈn trªn
n . KiÓm tra 3 tiªn ®Ò vÒ chuÈn. ) ( 1) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ta cã 1 2 1 n  pp x ≥ 0, ∀i = 1, n ⇒  ∑ x  ≥ 0 hay x 3 ≥ 0 i i   i =1  1 pp  n x 3 = 0 ⇔  ∑ xi  = 0 ⇔ xi = 0, ∀i = 1, n  i=1  ⇔ xi = 0, ∀i = 1, n ⇔ x = θ . ) ( 2) ∀x = x , x ,..., xn ∈
n , ∀λ ∈
ta cã: 1 2 1 pp  n λ x 3 =  ∑ λ xi  =  i=1  ) ( 1 λ pp  n .  ∑ xi  =  i=1  λ . x 3. ) ( 3) ∀x = x , x ,..., xn , y = y , y ,..., yn ∈
n ta cã: 1 2 1 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Mincowski ta cã: 1 1 i pp  n pp  n pp  n  ∑ xi + yi  ≤  ∑ xi  +  ∑ yi  , ∀p > 1  i=1   i=1   i=1  15 ⇔ x + y 3 ≤ x 3 + y 3 , ∀x, y ∈
n . 1 pp  n VËy x 3 =  ∑ xi  , ( p > 1) lµ mét chuÈn trªn
n .  i=1  1.6.3. VÝ dô. §Æt T3 = {x(t) = at2 + bt + c | a, b, c , t∈
}. T3 lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn 3 chiÒu ®èi víi phÐp céng ®a thøc, phÐp nh©n ®a thøc víi sè thùc vµ chuÈn x = max{a , b , c} . {t2, t, 1} lµ mét c¬ së cña T3. 1.6.4. VÝ dô. §Æt S2 = {x(t) = asint + bcost | a, b, t∈
}. S2 lµ kh«ng gian ®inh chuÈn 2 chiÒu ®èi víi phÐp céng c¸c hµm sè, phÐp nh©n hµm sè víi sè thùc vµ chuÈn x = max{a , b} . {sint, cost} lµ mét c¬ së cña S2. 1.6.5. §Þnh nghÜa. Hai chuÈn . 1 vµ . 2 trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X gäi lµ t−¬ng ®−¬ng víi nhau nÕu tån t¹i hai sè d−¬ng α, β sao cho: α x 1 ≤ x 2 ≤ β x 1 , ∀x ∈ X . 1.6.6. VÝ dô. Trªn kh«ng gian
n , ngoµi chuÈn x = ∑ xi2 , cho chuÈn n i =1 x 0 = max x j , x = ( x1 , x2 ,..., xn ) ∈
n . 1≤ j ≤ n C¸c chuÈn x 0 vµ x lµ t−¬ng ®−¬ng v×: x 0 ≤ x ≤ n x 0 , ∀x ∈
n . 1.6.7. §Þnh lÝ. Hai chuÈn . 1 vµ . 2 cho trªn kh«ng gian tuyÕn tÝnh X lµ t−¬ng ®−¬ng khi vµ chØ khi hai chuÈn ®ã sinh cïng mét t«p« trªn X . Chøng minh. * §iÒu kiÖn cÇn Gi¶ sö hai chuÈn . 1 vµ . 2 t−¬ng ®−¬ng, nghÜa lµ tån t¹i hai sè d−¬ng α, β sao cho α x 1 ≤ x 2 ≤ β x 1 , ∀x ∈ X . 16 KÝ hiÖu τ lµ t« p« trªn X sinh bëi . 1, τ 2 lµ t« p« trªn X sinh bëi 1 . 2. LÊy mét tËp bÊt kú A ∈τ vµ mét ®iÓm bÊt kú x ∈ A . Khi ®ã a më 1 0 theo . 1, suy ra tån t¹i h×nh cÇu më ) ( S = S x , r = {x ∈ X : x − x < r} ⊂ A . 1 1 0 01 Nhê ®ã ta dùng h×nh cÇu më: ( ) S = S x , r = {x ∈ X : x − x < αr} . 2 2 0 02 Ta cã 1 1 ∀x ∈ s x − x ≤ x − x ≤ .α r = r 2 01 α 02 α ⇒ x∈S ⇒ x ∈S ⊂ S ⊂ A. 1 0 2 1 Do ®ã tËp A më theo . 2 nªn A ∈τ . 2 B©y giê lÊy mét ®iÓm bÊt kú B ∈τ vµ mét ®iÓm bÊt kú y ∈ B . Khi ®ã 2 0 B më theo . 2 , suy ra tån t¹i h×nh cÇu më. ( ) { } U =U y ,r ' = x∈ X : x − y < r' ⊂ B. 2 2 0 02 Nhê ®ã ta dùng h×nh cÇu më  r'  r ' U =U  y ,  = x∈ X : x − y <  . 1 1 0 β   01 β Ta cã ( ∀x ∈U1) x − y0 2 ≤ β x − y0 1 ≤ β rβ' = r ' ⇒ x ∈U ⇒ y ∈U ⊂ U ⊂ B . 2 0 1 2 Do ®ã tËp B më theo . 1, nªn B ∈τ . 1 17 V× vËy, τ = τ hay nãi c¸ch kh¸c, hai chuÈn t−¬ng ®−¬ng . 1 vµ . 2 1 2 sinh cïng mét t«p« trªn X . * §iÒu kiÖn ®ñ Gi¶ sö . 1 vµ . 2 lµ hai chuÈn cho trªn X vµ sinh cïng mét t« p« τ trªn X . Ký hiÖu ( )   S j = S j x ,r = x∈ X : x − x < r  , ( j = 1,2 ) . Trong ®ã x lµ ®iÓm 0 0 j 0   nµo ®ã thuéc X , r lµ mét sè d−¬ng nµo ®ã. Víi x = θ vµ r = 1 ta xÐt S = S = (θ ,1) . V× S më theo t« p« τ , suy ra S còng më theo . 2 . NÕu 2 2 2 2 ®èi víi ®iÓm θ ∈ S , tån t¹i h×nh cÇu S (θ , r ) ⊂ S . LÊy mét ®iÓm bÊt kú 2 1 2 x ∈ X , x ≠ θ . §Æt y= Hay r. x r ⇒ y 1 = ⇒ y ∈ S ( θ, r ) ⊂ S ( θ,1) ⇒ y 2 ≤ 1 . 1 2 2 x1 2 rx 2 ≤ 1 ⇒ x 2 ≤ x 1. HiÓn nhiªn hÖ thøc nµy ®óng c¶ víi x = θ . 2 x1 2 r TiÕp tôc xÐt h×nh cÇu më S* ( θ,1) = S* . V× S* më theo . 1, do ®ã S* 1 1 1 1 còng më theo τ , suy ra S* còng më theo . 2 . Nªn ®èi víi ®iÓm θ∈ S* , tån 1 1 t¹i h×nh cÇu S* = S * ( θ, R ) ⊂ S * . LÊy mét ®iÓm tïy ý z ∈ X , z ≠ θ . §Æt 2 2 1 u= Rz R ⇒ u 2 = ⇒ u ∈ S * ( θ, R ) ⊂ S* ( θ,1) ⇒ u 1 ≤ 1 2 1 2 z 2 2 hay Rz R ≤ 1⇒ z 1 ≤ z 2 . 2 z21 2 HiÓn nhiªn hÖ thøc nµy ®óng víi c¶ z = θ . V× vËy tån t¹i hai sè d−¬ng 18 α= R 2 , β = sao cho 2 r R 2 α x 1 = x 1 ≤ x 2 ≤ x 1 = β x 1 , ∀x ∈ X . 2 r nghÜa lµ hai chuÈn . 1 , . 2 t−¬ng ®−¬ng. 1.6.8. §Þnh lÝ. Hai chuÈn bÊt k× trªn kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu X ®Òu t−¬ng ®−¬ng víi nhau. 1.6.9. §Þnh nghÜa. DCy vect¬ {x }∞ trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi lµ k k =1 xk − x = 0 , nghÜa lµ nÕu víi ∀ε > 0, ∃N > 0, héi tô tíi vect¬ x ∈ X nÕu lim k →∞ ∀k > N, x − x < ε . Vect¬ x ®ã gäi lµ giíi h¹n cña dCy vect¬ {x }∞ vµ kÝ k k =1 k hiÖu lµ x = lim x . k→∞ k 1.6.10. §Þnh lÝ. Cho X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn n chiÒu vµ {e1, e2, ..., en} lµ mét c¬ së cña X. Khi ®ã mäi vect¬ x∈X ®Òu biÓu diÔn ®−îc mét c¸ch duy n nhÊt d−íi d¹ng x = ∑ α e . NÕu cho dCy vect¬ {x }∞ trong kh«ng gian k k =1 i=1 i i n (k) ∑ α i ei ®Þnh chuÈn X th× mçi vect¬ cña dCy ®ã ®Òu cã biÓu diÔn xk = i=1 . DCy vect¬ {x }∞ héi tô tíi vect¬ x khi vµ chØ khi tÊt c¶ c¸c dCy to¹ ®é {α(k)}∞ i k =1 k k =1 héi tô tíi αi , i = 1, n . Chøng minh. NÕu tÊt c¶ c¸c dCy to¹ ®é {α(k)}∞ héi tô tíi αi , i i k =1 =1, n , th× hiÓn nhiªn dCy vect¬ {x }∞ héi tô tíi vect¬ x v× k k =1 n n x − x = ∑ (α(k) − α )e ≤ ∑ α(k) − α e → 0 khi k → ∞. k i i i=1 i i i i=1 i 19 NÕu dCy vect¬ {x }∞ héi tô tíi vect¬ x mµ X chØ cã mét chiÒu th× k k =1 hiÓn nhiªn dCy to¹ ®é {x }∞ héi tô tíi α1 v× k k =1 α(k) − α . e = x − x → 0 khi k → ∞. 1 1 1 k Gi¶ sö X lµ kh«ng gian ®Þnh chuÈn n chiÒu (n > 1), dCy vect¬ {x }∞ k k =1 héi tô tíi vect¬ x mµ c¸c dCy to¹ ®é {α(k)}∞ héi tô tíi αi , i = 1, n − 1. Khi ®ã i k =1 n−1 (k) n−1 (k) α(k) − α . e = x − x − ( α − α )e ≤ x − x + ∑ ∑ α − α i . ei → 0 n n n k i i k i=1 i i=1 i khi k → ∞. ∞ Nh− vËy dCy to¹ ®é {α(k) n }k =1 còng héi tô tíi αn. VËy nÕu dCy vect¬ {x }∞ héi tô tíi vect¬ x th× tÊt c¶ c¸c dCy to¹ ®é k k =1 {α(k)}∞ héi tô tíi αi , i =1, n . i k =1 1.6.11. §Þnh nghÜa. DCy vect¬ {x }∞ trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi k k =1 lµ dCy Cauchy nÕu lim x − x = 0 , nghÜa lµ nÕu víi ∀ε > 0, ∃N > 0, m,k →∞ m k ∀m, k > N, xm − x < ε . k DÔ thÊy mäi dCy héi tô trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn X ®Òu lµ dCy Cauchy. Tuy nhiªn, ®iÒu ng−îc l¹i nãi chung kh«ng ®óng. 1.6.12. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian ®Þnh chuÈn X gäi lµ kh«ng gian Banach nÕu mäi dCy Cauchy cña X ®Òu lµ dCy héi tô. 1.6.13. §Þnh lÝ. Mäi kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu ®Òu lµ kh«ng gian Banach. 20 Chøng minh. Ta biÕt r»ng hai chuÈn bÊt k× trong kh«ng gian ®Þnh chuÈn h÷u h¹n chiÒu X ®Òu t−¬ng ®−¬ng víi nhau. V× vËy ta chØ cÇn chøng minh r»ng X lµ kh«ng gian Banach ®èi víi mét chuÈn bÊt k× trong X. Ta hCy xÐt X víi c¬ së {e1, e2, ..., en}. n Víi x = ∑ α e ∈X ta ®Æt x = max α . DÔ thÊy r»ng ®ã lµ mét 1≤ i ≤n i i=1 i i chuÈn trªn X. n Gi¶ sö {x }∞ , trong ®ã xk = ∑ α(k)e , lµ mét dCy Cauchy trong X. k k =1 i=1 i i Ta cã α(m) − α(k) ≤ max α(m) − α(k) = x m − x víi mäi i =1, n . i i i k 1≤ i ≤n i V× {x }∞ lµ dCy Cauch trong X nªn tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn ta suy k k =1 ra ®−îc r»ng c¸c dCy {α(k)}∞ ®Òu lµ dCy Cauchy trong P. Do ®ã c¸c dCy i k =1 {α(k)}∞ ®Òu héi tô vµ v× vËy dCy {x }∞ còng héi tô. i k =1 k k =1 Nh− vËy X lµ kh«ng gian Banach. 1.6.14. §Þnh nghÜa. Kh«ng gian Banach X mµ X lµ kh«ng gian h÷u h¹n chiÒu gäi lµ kh«ng gian Banach h÷u h¹n chiÒu. 1.6.15. VÝ dô.
n vµ n lµ nh÷ng kh«ng gian Banach n chiÒu víi chuÈn 1 2 2  n  x =  ∑ ξi  víi x = (ξ ,..., ξn ) ∈
n hoÆc x = (ξ ,..., ξn ) ∈ n . 1 1  i=1    1.6.16. VÝ dô. T3 lµ kh«ng gian Banach 3 chiÒu vµ S2 lµ kh«ng gian Banach 2 chiÒu.