Tài liệu Toán chuyên ngành hàm phức và toán tử laplace-chương i

Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace CHƯƠNG I: HÀM GIẢI TÍCH § 1 SỐ PHỨC VÀ CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC I. Dạng đại số: 1. Định nghĩa: Dạng đại số của số phức có dạng: z=x+iy x=Rez: phần thực y=Imz: phần ảo i: đơn vị ảo, i 2  1 Tâ âp tất cả các số phức gọi là Trường số phức: ký hiê âu C. 2. 2 số phức bằng nhau:  x x x  iy  x  iy   1 2 1 1 2 2  y1  y 2 3. Số phức liên hợp: Số phức liên hợp của z=x+iy là z  x  iy 4. Các phép toán về số phức:  Phép cô âng: z1  z 2   x1  x2   i y1  y 2   Phép trừ: z1  z 2   x1  x2   i y1  y 2   Phép nhân: z1 z 2   x1 x2  y1 y 2   i  x2 y1  x1 y 2  zz  x 2  y 2  Phép chia: z1 z1 z 2  z2 z2 z2 1 Ví dụ: Tính A   2  3i 1  i   Ví dụ : Rút gọn B  2  3i 1  i   5  i 26 26 i  i 2  i 3  i 4  i 5 i  1  i  1  i i 1  i  i  1    1 i 1 i 2 2 II.Biểu diễn hình học và dạng lượng giác 1. Mă ât phẳng phức Page 1 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 2. Dạng lượng giác: z  x  iy  r  cos   i sin   r x2  y2   Argument ( z )  Arg ( z )  arg( z )  k 2 ,  k  0,1,2,  là hàm đa trị arg(z) là giá trị chính     arg(z )      arctan  y x x0 y x  0, y  0 x y    arctan x  0, y  0 x  x  0, y  0 2   x  0, y  0 2    arctan   arg( z )         Ví dụ: Biểu diễn số phức z=-1-I về dạng lượng giác: r 2 arg z    arctan 1    z  3  4 4 3 3   2  cos  i sin  4 4   Page 2 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 3. Phép nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: z1 z 2  r1 .r2  cos 1   2   i sin  1   2   z1 r1   cos 1   2   i sin  1   2   z 2 r2 4. phép lũy thừa và phép khai căn  z  r  cos n   i sin  n   n  n n     k 2     k 2    i sin   z  n r  cos n n        , k  0; n  1  Vâ ây căn bâ âc n của số phức z gồm n giá trị Ví dụ:    Tìm 3 1  i  6 2   5. Dạng mũ Công thức Euler: Ví dụ: i        k 2   k 2    4   i sin  4  cos     3 3            , k  0; n  1   e i  cos   i sin  z  re i  4 z  1  i  2e 5. Mô ât số miền trong mă ât phẳng phức:  z  z : Khoảng cách giữa 2 số phức.  z  z  r : Đường tròn tâm Z0, bán kính r.  z  z  r : Hình tròn mở tâm Z0, bán kính r ( hình tròn không tính biên)  z  z  r : Hình tròn đóng tâm Z0, bán kính r ( hình tròn có biên)  z  z  r : Phần ngoài hình tròn mở tâm Z0, bán kính r. BÀI TÂâP 1. Viết dưới dạng mũ và dạng lượng giác các số phức sau: a) z=-5 b) 1  i 3 c)-2+2i d)  3  i 2. Tính và viết dưới dạng đại số: 1 2 0 0 0 0 2i a) 4  3i b) 1  i 3  6 c)  1 i     1 i  3.Tính và viết dưới dạng mũ: a) 1  i 3 b) 5  4  i3 5 d)  1 i 3     1 i  4 Page 3 4 e) 6 1 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 4. Tìm và biểu diễn hình học các số phức thỏa: z  z 2 GIẢI: r 0  r 1   re i  r 2 e i 2  re i  r 2 e i 2   re i 3  1   k 2    , k  0;1;2   3 5. Vẽ tâ âp điểm xác định bởi a) z  1  i  1 b) z  i  3 c) Re z  i   2 d) 2 z  i 6. Vẽ miền trong của mp phức xác định bởi: a) 0  Re z  Im z b) z  1  Re z . Page 4 4 e) z 1  z  i Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §2 HÀM 1 BIẾN PHỨC I. Miền và biên trong mp phức: Miền trong mp phức là tâ âp D có tính chất sau: 1. D là tâ âp mở z  D, S  z, r   D 2. D liên thông  z1 , z 2  D có thể nối z1, z2 bằng đường gấp khúc nằm trọn trong D. 3. Biên của D là đường cong kín C: gồm các điểm của mp phức thỏa: a) C  D   b)  hình tròn nếu chứa 1 điểm của C thì nó sẽ chứa ít ra 1 điểm của D 4. D  D  C gọi là miền đóng II. Hàm biến phức 1. Định nghĩa: S  C , Hàm số f: S  C là 1 quy tắc cho mỗi z  S tương ứng 1 phần tử duy nhất f  z   C . Hàm biến phức này gọi là hàm đơn trị. 2. Trong lý thuyết hàm phức ta thường gă âp các hàm đa trị nghĩa là ứng với mỗi z có thể có nhiều f(z). 3. Phần thực và phần ảo của hàm biến phức: z  x  iy  w  f  z   u  x; y   iv x; y  Ví dụ: Cho w  f  z   x 2  y 2  i  x  y 2  . Tính f(1+2i) GIẢI: Với x=1, y=2 ta có f(1+2i)=-3+5i. Page 5 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Ví dụ: Cho w  f  z   z . Tính u(x;y), v(x;y) GIẢI: 2  u  x2  y2 v  2 xy . w  f  x  iy   x 2  y 2  i  2 xy         u v III. Giới hạn và liên tục 1. Giới hạn: w0 gọi là Giới hạn của hàm khi z  z    w  w   lim f  z   w 0 Ký hiê âu: z  z0 0 w  f  z khi z  z 0    0,  0 lim f  z   f  z0  2. Liên tục: f(z) gọi là liên tục tại z0  z  z0 3. f  z   u  x; y   iv x; y  liên tục  Các hàm u(x;y), v(x;y) cũng liên tục. IV. Các hàm sơ cấp cơ bản 1. Hàm mũ:  e z : đơn trị và giải tích z  e z : có thể âm.  e z   e z 2.Hàm lượng giác   eiz  cos z  isin z i z  i z i z  i z e e e e   cos z  ,sin z   2i  e iz  cos z  isin z 2   cos z     sin z,  sin z    cos z 3. Hàm Hypebolic: e z  e z e z  e z sinh z cosh z chz  , shz  , tghz  , coth z  2 2 cosh z sinh z 4. Hàm Logarit: z  re i  Lnz  Lnr  i    k 2  ,          Vâ ây Lnz là hàm đa trị.  Với k=0 ta được nhánh chính của Lnz. BÀI TÂâP: 1. Tính giá trị các hàm phức sau: a) Ln  2 i 2  b)  Ln 1  i 3  c)  1 3  Ln   i 2 2   2. Viết các hàm sau về dạng đại số: Page 6 0 sao cho Toán chuyên ngành a)ch(1-i) b)sin(1+i) c) 1  i        iLn 4  15   2  h) sin  2i d) i e)  2  i  i Page 7 Hàm phức và Toán tử Laplace 1 i f) 1  i  2i 1 g) 32  i Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §3 ĐẠO HÀM 1. Định nghĩa: Đạo hàm của hàm biến phức f(z) tại z nếu giới hạn sau tồn tại f  z  z   f  z  z z  0 f  z   lim 2. Quy tắc: a)  w1  w2    w1  w2 b)  w1w2    w1 w2  w2 w1 c)   w   1   w  2    w1 w1 w2  w2 w22   w n  nw n 1.w d)   3. Điều kiê nâ để hàm biến phức khả vi tại 1 điểm: Định lý: Cho hàm f  z   u  x; y   iv  x; y  , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiê nâ Cauchy-Riemann: u v  x y u v  y x      Tại điểm z=x+iy thì f(z) khả vi tại điểm này. 4. Điều kiê ân để hàm biến phức giải tích tại 1 điểm: Định lý: Nếu hàm f  z   u  x; y   iv x; y  khả vi tại mọi điểm trong lân câ ân nào đó của điểm z0 thì f(z) giải tích tại z0. NHÂÂN XÉT:  Trong 1 miền thì tính khả vi và giải tích là tương đương nhau.  Nhưng tại 1 điểm thì tính giải tích đòi hỏi điều kiê ân nhiều hơn tính khả vi. Định lý: Cho hàm f  z   u  x; y   iv x; y  , nếu các hàm 2 biến u(x;y), v(x;y) có các đạo hàm riêng liên tục và thỏa điều kiê ân Cauchy-Riemann:      u v  x y u v  y x Trong miền D là điều kiê ân cần và đủ để hàm f(z) giải tích trong miền D và khi đó đạo hàm của f(z) cho bởi công thức: f  z   u v v u i  i x x y y 5. Liên hê â giữa hàm giải tích và hàm điều hòa 5.1 Hàm u(x;y) gọi là hàm điều hòa trên miền D nếu nó thỏa pt LPLACE: 2 u   2v x 2   2v y 2 0 Page 8 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 5.2 Định lý: hàm f  z   u  x; y   iv x; y  giải tích trên D  phần thực và phần ảo là những hàm điều hòa trên D và thỏa điều kiê ân C-RVí dụ: xét tính giải tích và tính đạo hàm của các hàm sau: a) f  z   x 2  y 2  2ixy b) f  z   e x  cos y  i sin y  GIẢI: a) u v v u  2 x,  2 y,  2 x,  2 y x x y y Các đạo hàm riêng thỏa điều kiê ân C-R f  z    z 2   2 z u b) x  cos ye x , u v i  2 x  2iy  2 z . Vâ y â x x v v u  sin ye x ,  cos ye x ,   sin ye x x y y Các đạo hàm riêng thỏa điều kiê ân C-R f  z   u v i  e x (cos y  i sin y )  e z . Vâ y â ez   ez x x   Ví dụ: xét tính khả vi của các hàm sau: a) f  z   x 2  3 y 3  9ixy b) f  z    z  2 c) f  z   z 2 GIẢI: a)  iz  izz u v v u  2 x,  9 y,  9 x,  9 y 2 x x y y Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiê ân C-R được thỏa ta có hê â pt:  x0     y  0   0;0    0;1  2   9 y  9 y   y  1   2x  9x b) f  z   x 2  y 2  2ixy u v v u  2 x,  2 y ,  2 x ,  2 y x x y y Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiê ân C-R được thỏa ta có hê â pt:  2 x  2 x  x0    0;0      2y  2y c) f  z   x 2  y 2  y  i  x 2  y 2  2 xy  x  u v v u  2 x,  2 x  2 y  1,  2 y  2 x,  2 y  1 x x y y Để hàm số khả vi khi và chỉ khi điều kiê ân C-R được thỏa ta có hê â pt: 2x  2 y  2x  y0   1;0   2x  2 y  1  2 y  1  x  1   Ví dụ: Tìm hàm giải tích f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết v  3 x 2 y  2 x 2  y 3  2 y 2 ; f  0   1 b) u  e x cos y , f (0)  1 c) u  ln( x 2  y 2 ) GỈAI: a)  Kiểm tra v là hàm điều hòa Page 9 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace 2 v  v v  2v  6 xy  4 x   4  6 y  1,  3 y 2  3 x 2  4 y,  6 y  4 x y x 2 y 2  2v  x 2   2v y 2 0 Ta có V là hàm điều hòa  u v 2 2  x  y  3x  3 y  4 y  Từ điều kiê nâ C-R ta có hê â pt: u v     6 xy  4 x  y x u     6 xy  4 x  dy  g ( x)  3 xy 2  4 xy  g ( x)  Ta có: u  3 y 2  4 y  g ( x) dx  3 x 2  3 y 2  4 y  g ( x)  3 x 2  g ( x)  x 3  C    f ( z )  3 xy 2  4 xy  x 3  C  3 x 2 y  2 x 2  y 3  2 y 2 i 2   Because : f (0)  C  1, so : f ( z )  3 xy  4 xy  x  1  3 x 2 y  2 x 2  y 3  2 y 2 i GỈAI: a) 3  Kiểm tra v là hàm điều hòa u  2v v  2v  e x cos y   e x cos y ,   sin ye x ,   cos ye x 2 2 x  y x y   2v x 2   2v y 2 0 Ta có V là hàm điều hòa    Từ điều kiê ân C-R ta có hê â pt:   u v   e x cos y x y u v    e x sin y y x v   e x sin ydx  g ( y )  e x sin y  g ( y )  Ta có: v  e x cos y  g ( y ) dy  e x cos y  g ( y )  o  g ( y )  C    f ( z )  e x cos y  e x sin y  C i   Because : f (0)  iC  1  1  C  0, so : f ( z )  e x cos y  e x sin y i c)  Kiểm tra v là hàm điều hòa     u 2x  2u 2 y 2  x 2 u 2y  2u 2  y 2  x 2    ,  ,  2 y 2 x x 2  y 2 x 2 x 2  y 2 y 2 x2  y2 x2  y2    2v x 2   2v y 2  0 Ta có v là hàm điều hòa Page 10   Toán chuyên ngành     Từ điều kiê ân C-R ta có hê â pt:   v   Ta có: 2y 2 2 Hàm phức và Toán tử Laplace u v 2x   2 x y x  y 2 u v 2y   2 y x x  y 2  x v 2x  g ( y )   g ( y )  dy  2 y   x  y2 dx  g ( y )  2acrtg  x y 2x   g ( y )  0  g ( y )  C 2 x  y2    x  f ( z )  ln( x 2  y 2 )    2arctg    C  i  y   Page 11 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace BÀI TÂÂP: HÀM GIẢI TÍCH- HÀM KHẢ VI-TÍNH ĐẠO HÀM 1. Viết mỗi hàm sau đây thành 1 đa thức theo z=x+iy       2. Tính đạo c) f  z    x 2  y 2  y  2   i  x  2 xy  , d ) f  z    2 xy  2 x  1  i  x 2  y 2  2 y  a ) f  z   x 2  y 2  2 y  1  2i  xy  x  , b) f  z   x 3  3 xy 2  y   i 3 x 2 y  y 3  x hàm: a ) w  2 z 2  3 z  4, b) w  5 z 2  4 z  2, c) w  z 3 , d ) w  z z , e) w   z  2 3. Tìm các điểm mà tại đó hàm f(z) thỏa điều kiê ân C-R f  z   xy 2  ix 2 y 4. Chứng minh rằng các hàm sau thỏa PT: LAPLACE: a ) Re z 2 & Im z 2 , b) Re z 3 & Im z 3 , c) Re z 4 & Im z 4 5. Tìm hàm giải tích: f(z)=u(x;y)+iv(x;y) biết a )u  2 x  2 xy  x 2 x  y2   , f (i )  i, b)v  ln x 2  y 2  x  2 y Page 12 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §4 PHÉP BIẾN HÌNH PHÂN TUYẾN TÍNH I. Định nghĩa: 1.Ánh xạ phân tuyến tính có dạng:  az  b cz  d , ad  bc  0 1 b a bc       az  b  z 2  a z   z 2   cz   z 2 z1 a c a  a bc a bc  ad a bc  ad    cz  d   d  z 2  z1z 2  z2   z2 c a c a c a  z1  cz  d , z 2  2.Vâ ây phép biến hình phân tuyến tính là hợp của 3 phép: 1). z1  cz  d là phép co và phép tịnh tiến. 2). 3). 1 là phép nghịch đảo. z1  = a  bc  ad z 2 là phép co c a z2  và phép tịnh tiến. 3. Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất: a) Ánh xạ phân tuyến tính có tính chất bảo giác. b) Ánh xạ phân tuyến tính biến đường tròn thành đường tròn. c) Ánh xạ phân tuyến tính biến miền thành miền. d) Ánh xạ phân tuyến tính biến các điểm đối xứng thành điểm đối xứng. 4. Ánh xạ phân tuyến tính biến 3 điểm tương ứng thành 3 điểm: z1 , z 2 , z3  w f  z     1 ,  2 , 3   1 3   2 z  z1 z3  z 2 .  . 3  1    2 z3  z1 z  z 2 ví dụ: 1) Tìm PBHPTT biến 3 điểm -1, 0, 1→ 0, i, 3i z  1 1  0  3i  i z  1 2 z 1 .  .      3i 1  1 z  0 3i   i 2z 3  i 3 z 2) Tìm PBHPTT biến 3 điểm 1, 0, -1→ i, ,1 1  i  z  i  1 z 1 1   i 1  1 i z 1 .  .   i 2 z 1 i    2 z 2z BÀI TÂâP: Tìm các PBHPTT sau: 1 a )0,1, i   ,0,1  i, 2 1 b)0, i,i  i,1, i 2 c)0,1, i  i, Page 13 i 1 , 2 d )  1,0,1  1,i,1 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace CHƯƠNG II TÍCH PHÂN HÀM BIẾN PHỨC §1 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG CỦA HÀM PHỨC I. Định nghĩa và công thức: 1. Định nghĩa: Cho đường cong C định hướng, trơn từng khúc và trên C cho hàm phức f(z). Tích phân đường của f(z) dọc theo C được tính theo công thức: 1.  f  z  dz    udx  vdy   i   vdx  udy  C C C  x  x t  2. Nếu C cho dưới dạng tham số:  y  y  t  với   t   , khi đó z(t)=x(t)+iy(t).   Ta có  f  z  dz   f  z  t  z  t  dt  C II. Tính chất: Các tính chất của tích phân đường loại II của hàm thực vẫn còn đúng cho hàm phức: a )   af  z   bg  z   dz  a  f  z  dz  b  g  z  dz C f  z  dz   b) C1  C 2 c)  C1 C  f  z  dz , withC1  C2   C2  f  z  dz    f  z  dz AB d) C f  z  dz  BA  f  z  dz  f  z  C dz  ML C L: đô â dài của C, M  max f  z  , z  C Ví dụ: Tính các tích phân sau: a) I k   z 2 dz , k  1,2 Ck trong đó C1 là đoạn thẳng nối O→1+i C2 là đường gấp khúc nối O→1&1→1+i. GIẢI:  y  xt  0  t 1 Tham số hóa đường thẳng C1: y=x   Z(t)=x(t)+iy(t)=t(1+i) 1 I1   t 0 2 1  i  2 1 3 21  i  1  i  dt   t  2  2i  dt  21  i  t  3 3 0 0 1 2 Page 14 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace  x  t ,0  t  1  z t   t y0  0 1   x  1,0  t  1  z  t   1  it yt  11  i   1 I 2   t 2t dt  0 1 t 2  1  it  idt  0 31 3 0   1 2  1  2it  t dt  3  i 1  0 t  it 2  t3 3 1     0  2i 4  3 3 Ví dụ Tính các tích phân sau Ik   z dz Trong đó C1 là đường thẳng AB Ck C2, C3 là các nửa cung tròn đơn vị ( chiều như hình vẽ. GIẢI: z  1) Page 15 có cùng điểm đầu và điểm cuối và Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace x0 y t   1  t  1   C1: AB   Tham số hóa đường thẳng Z(t)=x(t)+iy(t)=ti I1  1  x 2  y 2 idt  i  t dt  i  1  1 1 Tham số hóa nửa đường I2  3 2 3 3 3      it it  ie dt  e 2   cos 2  i sin 2    cos 2  i sin 2   i  i  2i     nửa đường tròn C3:      2 i e 3  2 Tham số hóa 2 2 I3  1   tdt    tdt    i  1  0  z  re it  e it   tròn C2:  r  1    t  3  2 2 0  it dt  e it z  re it  eit r 1 3   t  2 2  2   cos    i sin      cos  3  i sin  3   i  i  2i 3 2 2  2 2     2  ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên hình vành khăn I  C  C1  C2  C3  C4 z  z dz C GIẢI: z z z z I  I1  I 2  I 3  I 4   z dz   z dz   z dz   z dz C C C3 C 1 2 4 Page 16 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace xt y0  1  t  2  Tham số hóa đường thẳng C2:  BC   Z(t)=x(t)+iy(t)=t 1 t 1 I 2   dt  t 2  1 t 2   Tham số hóa đường thẳng C4: DA    xt y0  2  t  1 Z(t)=x(t)+iy(t)=t I2  2 t 2 dt  t 1  1 t 1  Tham số hóa nửa đường tròn C1: I1  2 2eit   it  2e 2ie it dt   Vâ ây   e it 0e  it ie it dt  I  1  1   2i 3it 2 2 6 i 4 e  e  e 3 i  3i 3 3  Tham số hóa nửa đường tròn C3: I3   z  re it  2e it   r2    t  2    z  re it  eit    r 1  0t    i 3it  1 3i 2 e  e  e0   3i 3 3 0 2 4 4   3 3 3 Page 17 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace ví dụ: Tính tích phân sau với C là biên nửa trên đường tròn đơn vị I   z z dz C Tham số hóa nửa đường tròn C3:   z  re it  eit    r 1  0t    I 3   ie it e  it dt  it 0  i 0 ví dụ: Tính tích phân I   zdz với C là đường nối từ z=0→z=4+2i trong C các trường hợp sau: a) C1 là đường x  y 2 b) C2 là đường gấp khúc từ 0→2i & 2i→4+2i GIẢI:   a) Tham số hóa đường cong C1     Z(t)=x(t)+iy(t)= t I  t 2  t  it  2t  i  dt  2 2 0 4 2 x  t2 yt 0t 2  it  it 3 t2  3 2 2  10  0 8i 3 x0 y t  0  t  2  b) Tham số hóa đường thẳng  C2: AB   Page 18 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace Z(t)=x(t)+iy(t)=it 2 I1    itidt  0 t2 2 2 2 0 xt y2  0  t  4  Tham số hóa đường thẳng C2:  BC   Z(t)=x(t)+iy(t)=t+2i I2  4   t  2i  dt  0 BÀITÂâP: 1.Tính Ik  t2  2it 2 4  8  8i  I  2  8  8i  10  8i 0   x  y  dz Ck với a) C1 :0→i& i→1+i b) C2: 0→1+i theo đường thẳng: y=x c) C3: 0→1+i theo đường thẳng: y  x 2 Page 19 Toán chuyên ngành Hàm phức và Toán tử Laplace §2 TÍCH PHÂN CAUCHY CHO MIỀN ĐƠN LIÊN& ĐA LIÊN I. Các định lý 1. Định lý 1 f(z) giải tích trong miền đơn liên D, thì C f  z  dz đối với mọi đường cong trong miền này có cùng điểm đầu và điểm cuối sẽ có cùng giá trị: b  f  z  dz   f  z  dz   f  z  dz C1 C2 a 2. Định lý 2 f(z) giải tích trong miền đơn liên D và C là đường cong kín trơn từng khúc bất kỳ trong D thì  f  z  dz  0 C 3. Mở rô âng của định lý 2:  f  z  dz  0 C Nếu D là miền giới nô âi với biên C thì 3. Nguyên hàm và tích phân bất định  f  z  dz  F  z   C Ví dụ: Page 20